Як визначити пропорцію. Збільшення числа на вказаний відсоток

Вміння обчислення відсотка від числа, коли потрібно дізнатися пеню за прострочення, розмір переплати за кредитом або прибуток компанії, якщо відомий її обіг та націнка.

• Як знайти число за його відсотком?

Правило. Щоб знайти число за його вказаним відсотком, потрібно задане число поділити на задану величину відсотка, а результат помножити на 100.

Таким обчисленням спочатку визначимо, скільки одиниць цього числа міститься в 1%, а потім у цілому (у 100%).

Наприклад:
Число, 23% якого становлять 52, так:
52: 23 * 100 = 226.1

Значить, якщо число 226,1 дорівнює 100%, число 52 дорівнює 23% від цього числа.

Число, 125% якого становлять 240, знаходимо так:
240: 125 * 100 = 192.

При визначенні числа за його відсотком слід пам'ятати, що:

— якщо відсоток менший за 100%, то число, отримане в результаті обчислень, більше за задане число (якщо 23%< 100%, то 226,1 > 52);
— якщо відсоток більший за 100%, то число, отримане в результаті обчислень, менше від заданого числа (якщо 125% > 100%, то 192< 240).

Отже, при обчисленні числа за відсотком для самоконтролю потрібно перевірити:

— заданий за умови відсоток більший або менший за 100%;
— результат обчислення більше чи менше від заданого числа.

• Як дізнатися відсоток від суми у загальному випадку?

Після цього є два варіанти:

1. Якщо потрібно дізнатися, скільки відсотків складає інша сума від початкової, потрібно просто поділити її на розмір 1%, отриманий раніше.
2. Якщо ж потрібний розмір суми, яка становить, скажімо, 27,5% від початкової, потрібно розмір 1% помножити на потрібну кількість відсотків.

• Як вирахувати відсоток від суми за допомогою пропорції?

Для цього доведеться використовувати знання про метод пропорцій, що проходять у рамках шкільного курсу математики. Це буде виглядати так:

Нехай А - основна сума, що дорівнює 100%, і В - сума, співвідношення якої з А у відсотках нам потрібно дізнатися. Записуємо пропорцію:

(Х у цьому випадку - кількість відсотків).

За правилами розрахунку пропорцій ми отримуємо таку формулу:

Х = 100 * В/А

Якщо ж потрібно дізнатися, скільки складатиме сума В при вже відомій кількості відсотків від суми А, формула виглядатиме інакше:

В = 100*Х/А

Тепер залишається підставити у формулу відомі числа — і можна робити розрахунок.

• Як розрахувати відсоток суми за допомогою відомих співвідношень?

Зрештою, можна скористатися і більш простим способом. Для цього достатньо пам'ятати, що 1% у вигляді десяткового дробу – це 0,01. Відповідно, 20% - це 0,2; 48% - 0,48; 37,5% - це 0,375 і т.д. Достатньо помножити вихідну суму на відповідне число — і результат означатиме розмір відсотків.

Крім того, іноді можна скористатися простими дробами. Наприклад, 10% — це 0,1, тобто 1/10 отже, дізнатися, скільки становитимуть 10%, просто: потрібно лише розділити вихідну суму на 10.

Іншими прикладами таких співвідношень будуть:

1. 12,5% - 1/8, тобто потрібно ділити на 8;
2. 20% - 1/5, тобто потрібно розділити на 5;
3. 25% - 1/4, тобто ділимо на 4;
4. 50% - 1/2, тобто потрібно розділити навпіл;
5. 75% - 3/4, тобто потрібно розділити на 4 і помножити на 3.

Щоправда, в повному обсязі прості дроби зручні до розрахунку відсотків. Наприклад, 1/3 близька за розмірами до 33%, але не дорівнює точно: 1/3 - це 33, (3)% (тобто дріб з нескінченними трійками після коми).

• Як відняти відсоток від суми без допомоги калькулятора?

Якщо ж потрібно від уже відомої суми відібрати невідоме число, що становить якусь кількість відсотків, можна скористатися такими методами:

1. Обчислити невідоме число за допомогою одного з наведених вище способів, після чого відібрати його від вихідного.
2. Відразу розрахувати суму, що залишається. Для цього від 100% віднімаємо те число відсотків, яке потрібно відняти, і отриманий результат переводимо з відсотків до числа будь-яким з описаних вище способів.

Другий приклад зручніший, тому проілюструємо його. Припустимо, треба дізнатися, скільки залишиться, якщо від 4779 відібрати 16%. Розрахунок буде таким:

1. Забираємо від 100 (загальна кількість відсотків) 16. Отримуємо 84.
2. Вважаємо, що складе 84% від 4779. Отримуємо 4014,36.

• Як вирахувати (відняти) із суми відсоток з калькулятором у руках?

Всі наведені вище обчислення простіше робити, використовуючи калькулятор. Він може бути як у вигляді окремого пристрою, так і у вигляді спеціальної програми на комп'ютері, смартфоні або звичайному мобільному телефоні (навіть найстаріші з нині використовуваних пристроїв зазвичай мають цю функцію). З їхньою допомогою питання, як вирахувати відсоток із суми,вирішується дуже просто:

1. Набирається вихідна сума.
2. Натискається знак "-".
3. Вводиться кількість відсотків, яку потрібно відняти.
4. Натискається символ "%".
5. Натискається знак =.

У результаті екрані висвічується шукане число.

• Як відібрати від суми відсоток за допомогою онлайн-калькулятора?

Нарешті, зараз у мережі достатньо сайтів, де реалізовано функцію онлайн-калькулятора. У цьому випадку навіть не потрібно знання того, як порахувати відсоток від суми: всі операції користувача зводяться до введення в віконця потрібних цифр (або пересування повзунків для їх отримання), після чого результат одразу висвічується на екрані.

Особливо ця функція зручна для тих, хто розраховує не просто абстрактний відсоток, а конкретний розмір податкового відрахування або суму державного мита. Справа в тому, що в цьому випадку обчислення складніше: потрібно не лише знайти відсотки, а й додати до них постійну частину суми. Онлайн-калькулятор дозволяє уникнути подібних додаткових обчислень. Головне — вибрати сайт, який користується даними, які відповідають чинному закону.

Онлайн-калькулятор відсотків:

calculator.ru - дозволяє виконувати різноманітні розрахунки під час роботи з відсотками;

mirurokov.ru - калькулятор відсотків;

Джерело інформації:

• nsovetnik.ru - стаття про те, як вирахувати відсоток від суми;

Для вирішення більшості завдань у математиці середньої школи необхідно знання зі складання пропорцій. Це нескладне вміння допоможе як виконувати складні вправи з підручника, а й заглибитися у саму суть математичної науки. Як скласти пропорцію? Нині розберемо.

Найпростішим прикладом є завдання, де відомі три параметри, а четвертий потрібно знайти. Пропорції бувають, звичайно, різні, але часто потрібно знайти по відсотках якесь число. Наприклад, всього хлопчик мав десять яблук. Четверту частину він подарував своїй мамі. Скільки яблук у хлопчика? Це найпростіший приклад, який дозволить скласти пропорцію. Головне це зробити. Спочатку було десять яблук. Нехай це сто відсотків. Це ми окреслили всі його яблука. Він віддав одну четверту частину. 1/4 = 25/100. Значить, у нього залишилося: 100% (було спочатку) – 25% (він віддав) = 75%. Ця цифра показує процентне відношення кількості фруктів, що залишилися, до кількості наявних спочатку. Тепер ми маємо три числа, за якими вже можна вирішити пропорцію. 10 яблук – 100%, хяблук - 75%, де х - кількість фруктів, що шукається. Як скласти пропорцію? Потрібно розуміти, що це таке. Математично виглядає так. Знак поставлений для вашого розуміння.

10 яблук = 100%;

х яблук = 75%.

Виявляється, що 10/х = 100%/75. Це і є основна властивість пропорцій. Адже що більше x, то більше відсотків становить це число від вихідного. Вирішуємо цю пропорцію та отримуємо, що x = 7,5 яблук. Чому хлопчик вирішив віддати нецілу кількість, нам невідомо. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Головне, знайти два співвідношення, в одному з яких є невідоме.

Рішення пропорції часто зводиться до простого множення, та був до поділу. У школах дітям не пояснюють, чому це так. Хоча важливо розуміти, що пропорційні відносини є математичною класикою, сама суть науки. Для вирішення пропорцій необхідно вміти поводитися з дробами. Наприклад, часто доводиться переводити відсотки у звичайні дроби. Тобто, запис 95% не підійде. А якщо одразу написати 95/100, то можна провести солідні скорочення, не починаючи основного підрахунку. Відразу варто сказати, що якщо ваша пропорція вийшла з двома невідомими, її не вирішити. Жодний професор вам тут не допоможе. А ваше завдання, швидше за все, має складніший алгоритм правильних дій.

Розглянемо ще один приклад, де немає відсотків. Автомобіліст купив 5 літрів бензину за 150 рублів. Він подумав про те, скільки він заплатив би за 30 літрів палива. Для вирішення цього завдання позначимо за x кількість грошей, що шукається. Можете самостійно вирішити це завдання і потім перевірити відповідь. Якщо ви ще не зрозуміли, як скласти пропорцію, дивіться. 5 літрів бензину – це 150 рублів. Як і в першому прикладі, запишемо 5л – 150р. Тепер знайдемо третє число. Звісно, ​​це 30 літрів. Погодьтеся, що пара 30 л - х рублів доречна у цій ситуації. Перейдемо математичною мовою.

5 літрів – 150 рублів;

30 літрів – х рублів;

Вирішуємо цю пропорцію:

x = 900 рублів.

От і вирішили. У своєму завданні не забудьте перевірити відповідність на адекватність. Буває, що при неправильному вирішенні автомобілі досягають нереальних швидкостей 5000 кілометрів на годину і так далі. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Також ви зможете її вирішити. Як бачите, у цьому немає нічого складного.

§ 125. Поняття про пропорцію.

Пропорцією називається рівність двох відносин. Ось приклади рівностей, які називають пропорціями:

Примітка. Найменування величин у пропорціях не вказано.

Пропорції прийнято читати так: 2 так відноситься до 1 (одиниці), як 10 відноситься до 5 (перша пропорція). Можна читати інакше, наприклад: 2 у стільки разів більше 1, скільки разів 10 більше 5. Третю пропорцію можна прочитати так: - 0,5 стільки разів менше 2, у скільки разів 0,75 менше 3.

Числа, що входять до пропорції, називаються членами пропорції. Отже, пропорція складається із чотирьох членів. Перший і останній члени, тобто члени, що стоять по краях, називаються крайніми, А члени пропорції, що знаходяться в середині, називаються середнімичленами. Значить, у першій пропорції числа 2 та 5 будуть крайніми членами, а числа 1 та 10 – середніми членами пропорції.

§ 126. Основна властивість пропорції.

Розглянемо пропорцію:

Перемножимо окремо її крайні та середні члени. Добуток крайніх 6 4 = 24, добуток середніх 3 8 = 24.

Розглянемо іншу пропорцію: 10: 5 = 12: 6. Перемножимо і тут окремо крайні та середні члени.

Добуток крайніх 10 6 = 60, добуток середніх 5 12 = 60.

Основна властивість пропорції: Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів.

У загальному вигляді основна властивість пропорції записується так: ad = bc .

Перевіримо його на кількох пропорціях:

1) 12: 4 = 30: 10.

Пропорція ця вірна, оскільки рівні відносини, у тому числі вона складена. Разом про те, взявши твір крайніх членів пропорції (12 10) і середніх її членів (4 30), побачимо, що вони рівні між собою, тобто.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Пропорція вірна, що легко переконатися, спростивши перше і друге відносини. Основна властивість пропорції набуде вигляду:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Неважко переконатися в тому, що якщо ми напишемо таку рівність, у якої в лівій частині стоїть твір двох чисел, а в правій частині твір двох інших чисел, то з цих чотирьох чисел можна скласти пропорцію.

Нехай у нас є рівність, до якої входять чотири числа, попарно перемножені:

ці чотири числа можуть бути членами пропорції, яку неважко написати, якщо прийняти перший твір за твір крайніх членів, а другий - за твір середніх. Виданої рівності можна скласти, наприклад, таку пропорцію:

Взагалі, з рівності ad = bc можна отримати такі пропорції:

Виконайте самостійно таку вправу. Маючи добуток двох пар чисел, напишіть пропорцію, яка відповідає кожній рівності:

а) 16 = 23;

б) 215 = б 5.

§ 127. Обчислення невідомих членів пропорції.

Основна властивість пропорції дозволяє обчислити будь-який із членів пропорції, якщо він невідомий. Візьмемо пропорцію:

х : 4 = 15: 3.

У цій пропорції невідомий один крайній член. Ми знаємо, що у будь-якій пропорції твір крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. На цій підставі ми можемо написати:

x 3 = 4 15.

Після множення 4 на 15 ми можемо переписати цю рівність так:

х 3 = 60.

Розглянемо цю рівність. У ньому перший співмножник невідомий, другий співмножник відомий і твір відомий. Ми знаємо, що знаходження невідомого співмножника досить твір розділити інший (відомий) сомножитель. Тоді вийде:

х = 60: 3, або х = 20.

Перевіримо знайдений результат підстановкою числа 20 замість х у цю пропорцію:

Пропорція вірна.

Подумаємо, які дії довелося виконати для обчислення невідомого крайнього члена пропорції. З чотирьох членів пропорції нам був невідомий лише один крайній; два середніх і другий крайній були відомі. Для знаходження крайнього члена пропорції ми спочатку перемножили середні члени (4 і 15), а потім знайдений твір поділили відомий крайній член. Зараз ми покажемо, що дії не змінилися б, якби крайній член пропорції, що шукається, стояв не на першому місці, а на останньому. Візьмемо пропорцію:

70: 10 = 21: х .

Запишемо основну властивість пропорції: 70 х = 10 21.

Перемноживши числа 10 і 21, перепишемо рівність у такому вигляді:

70 х = 210.

Тут невідомий один співмножник, для його обчислення достатньо твір (210) розділити на інший співмножник (70),

х = 210: 70; х = 3.

Таким чином, ми можемо сказати, що кожен крайній член пропорції дорівнює добутку середніх, поділеному на інший крайній.

Тепер перейдемо до обчислення невідомого середнього члена. Візьмемо пропорцію:

30: х = 27: 9.

Напишемо основну властивість пропорції:

30 9 = х 27.

Обчислимо добуток 30 на 9 і переставимо частини останньої рівності:

х 27 = 270.

Знайдемо невідомий співмножник:

х = 270: 27, або х = 10.

Перевіримо підстановкою:

30: 10 = 27: 9. Пропорція вірна.

Візьмемо ще одну пропорцію:

12: б = х : 8. Напишемо основну властивість пропорції:

12 . 8 = 6 х . Перемножуючи 12 і 8 і переставляючи частини рівності, отримаємо:

6 х = 96. Знаходимо невідомий співмножник:

х = 96: 6, або х = 16.

Таким чином, кожен середній член пропорції дорівнює добутку крайніх, поділеному на інший середній.

Знайдіть невідомі члени таких пропорцій:

1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .

Два останні правила загалом можна записати так:

1) Якщо пропорція має вигляд:

х: а = b: с , то

2) Якщо пропорція має вигляд:

а: х = b: с , то

§ 128. Спрощення пропорції та перестановка її членів.

У цьому параграфі ми виведемо правила, що дозволяють спрощувати пропорцію у тому випадку, коли до неї входять великі числа чи дробові члени. До числа перетворень, що не порушують пропорцію, належать такі:

1. Одночасне збільшення або зменшення обох членів будь-якого відношення в однакове число разів.

П р і м е р. 40: 10 = 60: 15.

Збільшивши в 3 рази обидва члени першого відношення, отримаємо:

120:30 = 60: 15.

Пропорція не порушилась.

Зменшивши в 5 разів обидва члени другого відношення, отримаємо:

Здобули знову правильну пропорцію.

2. Одночасне збільшення або зменшення обох попередніх або обох наступних членів у однакове число разів.

приклад. 16:8 = 40:20.

Збільшимо вдвічі попередні члени обох відносин:

Отримали правильну пропорцію.

Зменшимо у 4 рази наступні члени обох відносин:

Пропорція не порушилась.

Два отримані висновки можна коротко висловити так: Пропорція не порушиться, якщо ми одночасно збільшимо або зменшимо в однакове число разів будь-який крайній член пропорції і середній.

Наприклад, зменшивши в 4 рази 1-й крайній та 2-й середній члени пропорції 16:8 = 40:20, отримаємо:

3. Одночасне збільшення чи зменшення всіх членів пропорції в однакове число разів. приклад. 36:12 = 60:20. Збільшимо всі чотири числа у 2 рази:

Пропорція не порушилась. Зменшимо всі чотири числа у 4 рази:

Пропорція вірна.

Перелічені перетворення дозволяють, по-перше, спрощувати пропорції, а по-друге, звільняти їхню відмінність від дробових членів. Наведемо приклади.

1) Нехай є пропорція:

200: 25 = 56: x .

У ній членами першого відносини є порівняно великі числа, і якби ми побажали знайти значення х нам довелося б виконувати обчислення над цими числами; але ми знаємо, що пропорція не порушиться, якщо обидва члени відносини розділити одне й те число. Розділимо кожен із них на 25. Пропорція набуде вигляду:

8:1 = 56: x .

Таким чином, ми отримали більш зручну пропорцію, з якої х можна знайти в розумі:

2) Візьмемо пропорцію:

2: 1 / 2 = 20: 5.

У цій пропорції є дрібний член (1/2), від якого можна звільнитися. Для цього доведеться помножити цей член, наприклад, на 2. Але один середній член пропорції ми не маємо права збільшувати; потрібно разом з ним збільшити якийсь із крайніх членів; тоді пропорція не порушиться (на підставі перших двох пунктів). Збільшимо перший із крайніх членів

(2 2): (2 1 / 2) = 20: 5, або 4: 1 = 20:5.

Збільшимо другий крайній член:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), або 2: 1 = 20: 10.

Розглянемо ще три приклади звільнення пропорції від дробових членів.

Приклад 1. 1/4: 3/8 = 20:30.

Наведемо дроби до спільного знаменника:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Помноживши на 8 обидва члени першого відношення, отримаємо:

Приклад 2. 12: 15/14 = 16: 10/7. Наведемо дроби до спільного знаменника:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Помножимо обидва наступні члени на 14, отримаємо: 12:15 = 16:20.

Приклад 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.

Помножимо всі члени пропорції на 48:

24: 1 = 960: 40.

При вирішенні завдань, у яких зустрічаються якісь пропорції, часто доводиться для різних цілей переставляти члени пропорції. Розглянемо, які перестановки є законними, т. е. пропорції, що не порушують. Візьмемо пропорцію:

3: 5 = 12: 20. (1)

Переставивши в ній крайні члени, отримаємо:

20: 5 = 12:3. (2)

Переставимо тепер середні члени:

3:12 = 5: 20. (3)

Переставимо одночасно і крайні, і середні члени:

20: 12 = 5: 3. (4)

Усі ці пропорції вірні. Тепер поставимо перше ставлення місце другого, а друге - місце першого. Вийде пропорція:

12: 20 = 3: 5. (5)

У цій пропорції ми зробимо ті ж самі перестановки, які робили раніше, тобто переставимо спочатку крайні члени, потім середні і, нарешті, одночасно і крайні, і середні. Вийдуть ще три пропорції, які теж будуть справедливими:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Отже, з однієї пропорції шляхом перестановки можна отримати ще 7 пропорцій, що разом з даною становить 8 пропорцій.

Особливо легко можна знайти справедливість всіх цих пропорцій при буквеному записі. Отримані вище 8 пропорцій набувають вигляду:

а: b = с: d; c: d = a: b;

d: b = с: a; b: d = a: c;

a: c = b: d; c: a = d: b;

d: c = b: a; b: a = d: c.

Легко бачити, що в кожній з цих пропорцій основна властивість набуває вигляду:

ad = bc.

Таким чином, зазначені перестановки не порушують справедливості пропорції та ними можна користуватися у разі потреби.

Пропорція - це математичне вираз, у якому два чи більше числа порівнюються один з одним. У пропорціях можуть порівнюватися абсолютні величини та кількості абочастини більшого цілого. Пропорції можна записувати і обчислювати кількома різними способами, проте в основі лежить той самий загальний принцип.

Кроки

Частина 1

Дізнайтеся, навіщо служать пропорції.Пропорції використовуються як у наукових дослідженнях, так і в повсякденному житті для порівняння різних величин та кількостей. У найпростішому випадку порівнюються два числа, але пропорція може включати будь-яку кількість величин. При порівнянні двох або більше величин завжди можна застосувати пропорцію. Знання того, як величини співвідносяться одна з одною, дозволяє, наприклад, записати хімічні формули або рецепти різних страв. Пропорції знадобляться вам для різних цілей.

1. Ознайомтеся з тим, що означає пропорція.Як зазначено вище, пропорції дозволяють визначити співвідношення між двома та більше величинами. Наприклад, якщо для приготування печива необхідно 2 склянки борошна та 1 склянка цукру, ми говоримо, що між кількістю борошна та цукру існує пропорція (ставлення) 2 до 1.

   • За допомогою пропорцій можна показати, як різні величини ставляться одна до одної, навіть якщо вони не пов'язані між собою безпосередньо (на відміну рецепту). Наприклад, якщо в класі п'ять дівчаток і десять хлопчиків, відношення кількості дівчаток до хлопчиків становить 5 до 10. У цьому випадку одне число не залежить від іншого і не пов'язане з ним безпосередньо: пропорція може змінитися, якщо хтось залишить клас або навпаки , до нього прийдуть нові учні Пропорція легко дозволяє порівняти дві величини.

2. Зверніть увагу на різні способи вираження пропорцій.Пропорції можна записати словами або використати математичні символи.

   • У повсякденному житті пропорції частіше висловлюють словами (як наведено вище). Пропорції використовуються в різних областях, і якщо ваша професія не пов'язана з математикою або іншою наукою, найчастіше вам буде траплятися саме такий спосіб запису пропорцій.
   • Пропорції часто записують за допомогою двокрапки. При порівнянні двох чисел за допомогою пропорції їх можна записати через двокрапку, наприклад 7:13. Якщо порівнюється більше двох чисел, двокрапка ставиться послідовно між кожними двома числами, наприклад 10:2:23. У наведеному вище прикладі для класу ми порівнюємо кількість дівчаток та хлопчиків, причому 5 дівчаток: 10 хлопчиків. Таким чином, пропорцію можна записати у вигляді 5:10.
   • Іноді під час запису пропорцій використовують знак дробу. У прикладі з класом ставлення 5 дівчаток до 10 хлопчикам запишеться як 5/10. І тут слід читати знак “ділити” і пам'ятати, що це дріб, а співвідношення двох різних чисел.

   Частина 2

   Операції із пропорціями

   1. Наведіть пропорцію до найпростішої форми.Пропорції можна спрощувати, як і дроби, за рахунок скорочення членів, що входять до них, на спільний дільник . Щоб спростити пропорцію, поділіть всі числа, що входять до неї, на спільні дільники. Однак при цьому не слід забувати про початкові величини, що призвели до цієї пропорції.

      • У наведеному вище прикладі з класом із 5 дівчаток і 10 хлопчиків (5:10) обидві сторони пропорції мають спільний дільник 5. Поділивши обидві величини на 5 (найбільший загальний дільник), отримуємо відношення 1 дівчинка на 2 хлопчики (тобто 1:2) . Однак при використанні спрощеної пропорції слід пам'ятати про початкові числа: у класі не 3 учні, а 15. Скорочена пропорція лише показує відношення між кількістю дівчаток та хлопчиків. На кожну дівчинку припадає два хлопчики, але це аж ніяк не означає, що в класі 1 дівчинка та 2 хлопчики.
      • Деякі пропорції не піддаються спрощенням. Наприклад, відношення 3:56 не можна скоротити, так як величини, що входять у пропорцію, не мають спільного дільника: 3 є простим числом, а 56 не ділиться на 3.

   2. Для “масштабування” пропорції можна множити чи ділити.Пропорціями часто користуються у тому, щоб збільшити чи зменшити числа пропорції друг до друга. Множення або розподіл всіх величин, що входять в пропорцію, на одне і те ж число зберігає незмінним відношення між ними. Отже, пропорції можна множити чи ділити на “масштабний” чинник.

      • Припустимо, пекарю необхідно потроїти кількість печива, що випікається. Якщо борошно та цукор беруться у пропорції 2 до 1 (2:1), для збільшення кількості печива втричі цю пропорцію слід помножити на 3. У результаті вийде 6 склянок борошна на 3 склянки цукру (6:3).
      • Можна чинити і навпаки. Якщо пекарю необхідно зменшити кількість печива вдвічі, слід обидві частини пропорції поділити на 2 (або помножити на 1/2). В результаті вийде 1 склянка борошна на півсклянки (1/2, або 0,5 склянки) цукру.

   3. Навчіться за двома еквівалентними пропорціями знаходити невідому величину.Ще одним поширеним завданням, для вирішення якої широко використовуються пропорції, є знаходження невідомої величини в одній із пропорцій, якщо дана аналогічна їй друга пропорція. Правило множення дробів значно спрощує це завдання. Запишіть кожну пропорцію у вигляді дробу, потім прирівняйте ці дроби один одному і знайдіть потрібну величину.

      • Припустимо, у нас є невелика група учнів із 2 хлопчиків та 5 дівчаток. Якщо ми хочемо зберегти співвідношення між хлопчиками та дівчатками, скільки хлопчиків має бути у класі, до якого входить 20 дівчаток? Для початку складемо обидві пропорції, одна з яких містить невідому величину: 2 хлопчики: 5 дівчаток = х хлопчиків: 20 дівчаток. Якщо ми запишемо пропорції у вигляді дробів, у нас вийде 2/5 та x/20. Після множення обох частин рівності знаменники отримуємо рівняння 5x=40; ділимо 40 на 5 і в результаті знаходимо x = 8.

   Частина 3

   Виявлення помилок

   1. При операціях з пропорціями уникайте складання та віднімання.Багато завдань із пропорціями звучать подібно до наступної: “Для приготування страви потрібно 4 картоплини та 5 морквин. Якщо ви хочете використовувати 8 картоплин, скільки морквин вам знадобиться? Багато хто припускається помилки і намагається просто скласти відповідні величини. Проте задля збереження колишньої пропорції слід множити, а чи не складати. Ось помилкове і правильне вирішення цієї задачі:

      • Неправильний метод: “8 - 4 = 4, тобто у рецепті додалося 4 картоплини. Значить, необхідно взяти попередні 5 морквин і додати до них 4, щоб... щось не те! Із пропорціями діють по-іншому. Спробуємо ще раз".
      • Правильний метод: “8/4 = 2, тобто кількість картоплин зросла вдвічі. Це означає, що число морквин слід помножити на 2. 5 x 2 = 10, тобто у новому рецепті необхідно використовувати 10 морквин“.

   2. Переведіть усі значення в однакові одиниці виміру.Іноді проблема виникає через те, що величини мають різні одиниці виміру. Перш ніж записувати пропорцію, переведіть усі величини в однакові одиниці виміру. Наприклад:

      • Дракон має 500 грамів золота і 10 кілограмів срібла. Яким є співвідношення золота до срібла в драконьих запасах?
      • Грами та кілограми є різними одиницями виміру, тому їх слід уніфікувати. 1 кілограм = 1 000 грамів, тобто 10 кілограмів = 10 кілограмів x 1 000 грамів/1 кілограм = 10 x 1 000 грамів = 10 000 грамів.
      • Отже, дракон має 500 г золота і 10 000 г срібла.
      • Відношення маси золота до маси срібла становить 500 г золота/10 000 г срібла = 5/100 = 1/20.

   3. Записуйте у розв'язанні задачі одиниці виміру.У задачах із пропорціями набагато легше знайти помилку у тому випадку, якщо записувати після кожної величини її одиниці виміру. Пам'ятайте про те, що якщо в чисельнику та знаменнику стоять однакові одиниці виміру, вони скорочуються. Після всіх можливих скорочень у відповіді мають вийти правильні одиниці виміру.

      • Наприклад: дано 6 коробок, і в кожних трьох коробках знаходиться 9 кульок; скільки всього кульок?
      • Неправильний метод: 6 коробок х 3 коробки/9 кульок = ... Хм, нічого не скорочується, і у відповіді виходить “коробки x коробки/кульки“. Це не має сенсу.
      • Правильний метод: 6 коробок х 9 кульок/3 коробки = 6 коробок х 3 кульки/1 коробка = 6 х 3 кульки/1 = 18 кульок.

Завдання 1. Товщина 300 аркушів паперу для принтера становить 3, 3 см. Яку товщину матиме пачка з 500 аркушів такого самого паперу?

Рішення.Нехай х см – товщина пачки паперу із 500 аркушів. Двома способами знайдемо товщину одного аркуша паперу:

3,3: 300 або х : 500.

Оскільки аркуші паперу однакові, ці два відносини рівні між собою. Отримуємо пропорцію ( нагадування: пропорція - це рівність двох відносин):

х = (3,3 · 500): 300;

х = 5,5. Відповідь:пачка 500 листів паперу має товщину 5,5 см.

Це класичне міркування та оформлення розв'язання задачі. Такі завдання часто включають до тестових завдань для випускників, які зазвичай записують рішення в такому вигляді:

або вирішують усно, розмірковуючи так: якщо 300 листів мають товщину 3,3 см, то 100 листів мають товщину в 3 рази меншу. Ділимо 3,3 на 3, отримуємо 1,1 см. Це товщина 100 листової пачки паперу. Отже, 500 листів матимуть товщину в 5 разів більшу, тому 1,1 см множимо на 5 і отримуємо відповідь: 5,5 см.

Зрозуміло, що це виправдано, оскільки час тестування випускників та абітурієнтів обмежений. Однак, на цьому занятті ми міркуватимемо і записуватимемо рішення так, як належить це робити в 6 класі.

Завдання 2.Скільки води міститься в 5 кг кавуна, якщо відомо, що кавун складається з 98% води?

Рішення.

Вся вага кавуна (5 кг) становить 100%. Вода становитиме х кг або 98%. Двома способами можна визначити, скільки кг припадає на 1% маси.

5: 100 або х : 98. Отримуємо пропорцію:

5: 100 = х : 98.

х = (5 · 98): 100;

х = 4,9 Відповідь: у 5кгкавуна міститься 4,9 кг води.

Маса 21 літра нафти складає 16,8 кг. Яка маса 35 літрів нафти?

Рішення.

Нехай маса 35 літрів нафти становить x кг. Тоді двома способами можна знайти масу 1 літра нафти:

16,8: 21 або х : 35. Отримуємо пропорцію:

16,8: 21=х : 35.

Знаходимо середній член пропорції. Для цього перемножуємо крайні члени пропорції ( 16,8 і 35 ) і ділимо на відомий середній член ( 21 ). Скоротимо дріб на 7 .

Помножуємо чисельник і знаменник дробу на 10 щоб у чисельнику і знаменнику були тільки натуральні числа. Скорочуємо дріб на 5 (5 і 10) та на 3 (168 та 3).

Відповідь: 35 літрів нафти мають масу 28 кг.

Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?

Рішення.

Нехай площа всього поля х га, що становить 100%. Залишилося зорати 9 га, що становить 100% - 82% = 18% всього поля. Двома способами виразимо 1% площі поля. Це:

х : 100 або 9 : 18. Складаємо пропорцію:

х : 100 = 9: 18.

Знаходимо невідомий крайній член пропорції. Для цього перемножуємо середні члени пропорції ( 100 і 9 ) і ділимо на відомий крайній член ( 18 ). Скорочуємо дріб.

Відповідь: площа всього поля 50 га.

Сторінка 1 з 1 1