Як записати число у тригонометричній формі приклади. Тригонометрична форма комплексних чисел

Тригонометрична форма комплексного числа

План

1.Геометричне зображення комплексних чисел.

2.Тригонометричний запис комплексних чисел.

3.Дії над комплексними числами у тригонометричній формі.

Геометричне зображення комплексних чисел.

а) Комплексні числа зображують точками площини за таким правилом: a + bi = M ( a ; b ) (Рис.1).

Малюнок 1

б) Комплексне число можна зобразити вектором, який має початок у точціПро і кінець у цій точці (рис.2).

Малюнок 2

Приклад 7. Побудуйте точки, що зображають комплексні числа:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Рис.3).

Малюнок 3

Тригонометричний запис комплексних чисел.

Комплексне числоz = a + bi можна задати за допомогою радіусу. з координатами( a ; b ) (Рис.4).

Малюнок 4

Визначення . Довжина вектора , що зображує комплексне числоz , називається модулем цього числа та позначається абоr .

Для будь-якого комплексного числаz його модульr = | z | визначається однозначно за формулою .

Визначення . Величина кута між позитивним напрямком дійсної осі та вектором , що зображує комплексне число, називається аргументом цього комплексного числа і позначаєтьсяА rg z абоφ .

Аргумент комплексного числаz = 0 не визначений. Аргумент комплексного числаz≠ 0 – величина багатозначна і визначається з точністю до доданку2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк , деarg z - Головне значення аргументу, укладене в проміжку(-π; π] , тобто-π < arg z ≤ π (Іноді як головне значення аргументу беруть величину, що належить проміжку .

Цю формулу приr =1 часто називають формулою Муавра:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Приклад 11. Обчисліть(1 + i ) 100 .

Запишемо комплексне число1 + i у тригонометричній формі.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + i sin )] 100 = ( ) 100 (cos · 100 + i sin · 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Вилучення квадратного кореня з комплексного числа.

При вилучення квадратного кореня з комплексного числаa + bi маємо два випадки:

якщоb > про , то ;

3.1. Полярні координати

На площині часто застосовується полярна система координат . Вона визначена, якщо задана точка O, яка називається полюсом, і промінь, що виходить з полюса (для нас це вісь Ox) – полярна вісь.Положення точки M фіксується двома числами: радіусом (або радіус-вектором) та кутом φ між полярною віссю та вектором .Кут φ називається полярним кутом; вимірюється в радіанах та відраховується від полярної осі проти годинникової стрілки.

Положення точки в полярній системі координат визначається впорядкованою парою чисел (r; φ). Біля полюса r = 0,а φ не визначено. Для всіх інших точок r > 0,а φ визначено з точністю до складеного кратного 2π. При цьому парам чисел (r; φ) і (r 1 ; φ 1) зіставляється одна і та ж точка, якщо .

Для прямокутної системи координат xOyДекартові координати точки легко виражаються через її полярні координати таким чином:

3.2. Геометрична інтерпретація комплексного числа

Розглянемо на площині декартову прямокутну систему координат xOy.

Будь-якому комплексному числу z=(a, b) ставиться у відповідність точка площини з координатами ( x, y), де координата x = a, тобто. дійсній частині комплексного числа, а координата y = bi - уявної частини.

Площина, точками якої є комплексні числа - комплексна площина.

На малюнку комплексному числу z = (a, b)відповідає точка M(x, y).

Завдання.Зобразіть на координатній площині комплексні числа:

3.3. Тригонометрична форма комплексного числа

Комплексне число на площині має координати точки M (x; y). При цьому:

Запис комплексного числа - тригонометрична форма комплексного числа.

Число r називається модулем комплексного числа zі позначається. Модуль – невід'ємне речове число. Для .

Модуль дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли z = 0, тобто. a = b = 0.

Число φ називається аргументом z і позначається. Аргумент z визначений неоднозначно, як і полярний кут в полярній системі координат, а саме з точністю до кратного 2π.

Тоді приймаємо: , де - найменше значення аргументу. Очевидно, що

.

За більш глибокого вивчення теми вводиться допоміжний аргумент φ*, такий, що

Приклад 1. Знайти тригонометричну форму комплексного числа.

Рішення. 1) вважаємо модуль: ;

2) шукаємо φ: ;

3) тригонометрична форма:

приклад 2.Знайти форму алгебри комплексного числа .

Тут достатньо підставити значення тригонометричних функцій і перетворити вираз:

приклад 3.Знайти модуль та аргумент комплексного числа;

1) ;

2); φ – у 4 чверті:

3.4. Дії з комплексними числами у тригонометричній формі

· Додавання та відніманнязручніше виконувати з комплексними числами в формі алгебри:

· множення– за допомогою нескладних тригонометричних перетворень можна показати, що при множенні модулі чисел перемножуються, а аргументи складаються: ;

Дії над комплексними числами, записаними в формі алгебри

Алгебраїчною формою комплексного числа z =(a,b).називається алгебраїчне вираз виду

z = a + bi.

Арифметичні операції над комплексними числами z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 i, Записаними в формі алгебри, здійснюються наступним чином.

1. Сума (різниця) комплексних чисел

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

тобто. додавання (віднімання) здійснюються за правилом складання багаточленів з приведенням подібних членів.

2. Добуток комплексних чисел

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

тобто. множення проводиться за звичайним правилом множення багаточленів, з урахуванням того, що i 2 = 1.

3. Розподіл двох комплексних чисел здійснюється за таким правилом:

, (z 2 ≠ 0),

тобто. розподіл здійснюється множенням ділимого та дільника на число, пов'язане дільнику.

Зведення до ступеня комплексних чисел визначається так:

Легко показати, що

Приклади.

1. Знайти суму комплексних чисел z 1 = 2 – iі z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Знайти добуток комплексних чисел z 1 = 2 – 3iі z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i∙ 5i = 7+22i.

3. Знайти приватне zвід розподілу z 1 = 3 - 2на z 2 = 3 – i.

z = .

4. Розв'язати рівняння: , xі y Î R.

(2x + y) + (x + y)i = 2 + 3i.

В силу рівності комплексних чисел маємо:

звідки x =–1 , y= 4.

5. Обчислити: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Обчислити, якщо.

.

7. Обчислити число протилежне числу z=3-i.

Комплексні числа у тригонометричній формі

Комплексною площиноюназивається площину з декартовими координатами ( x, y), якщо кожній точці з координатами ( a, b) поставлено у відповідність комплексне число z = a + bi. При цьому вісь абсцис називається справжньою віссю, а вісь ординат - уявний. Тоді кожне комплексне число a + biгеометрично зображується на площині як точка A (a, b) або вектор.

Отже, положення точки А(і, отже, комплексного числа z) можна встановити довжиною вектора | | = rта кутом j, утвореним вектором | | із позитивним напрямком дійсної осі. Довжина вектора називається модулем комплексного числата позначається | z |=r, а кут jназивається аргументом комплексного числаі позначається j = arg z.

Зрозуміло, що | z| ³ 0 та | z | = 0 Û z = 0.

З рис. 2 видно, що .

Аргумент комплексного числа визначається неоднозначно, а з точністю до 2 pk, kÎ Z.

З рис. 2 видно також, що якщо z=a+biі j = arg z,то

cos j =, sin j =, tg j = .

Якщо zÎRі z > 0,то arg z = 0 +2pk;

якщо z ÎRі z< 0,то arg z = p + 2pk;

якщо z = 0,arg zне визначений.

Головне значення аргументу визначається на відрізку 0 £ arg z£ 2 p,

або -p£ arg z £ p.

Приклади:

1. Знайти модуль комплексних чисел z 1 = 4 – 3iі z 2 = –2–2i.

2. Визначити на комплексній площині області, що задаються умовами:

1) | z | = 5; 2) | z| £ 6; 3) | z – (2+i) | £ 3; 4) 6 £ | z – i| £ 7.

Рішення та відповіді:

1) | z| = 5 ¢ ¢ - рівняння кола радіусом 5 і з центром на початку координат.

2) Коло радіусом 6 з центром на початку координат.

3) Коло радіусом 3 з центром у точці z 0 = 2 + i.

4) Кільце, обмежене колами з радіусами 6 та 7 з центром у точці z 0 = i.

3. Знайти модуль та аргумент чисел: 1) ; 2).

1) ; а = 1, b = Þ ,

j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Вказівка: для визначення головного аргументу скористайтеся комплексною площиною.

Таким чином: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА XI

§ 256. Тригонометрична форма комплексних чисел

Нехай комплексному числу а + bi відповідає вектор OA> з координатами ( а, b ) (див. рис. 332).

Позначимо довжину цього вектора через r , а кут, який він утворює з віссю х , через φ . За визначенням синуса та косинуса:

a / r = cos φ , b / r = sin φ .

Тому а = r cos φ , b = r sin φ . Але в такому разі комплексне число а + bi можна записати у вигляді:

а + bi = r cos φ + ir sin φ = r (cos φ + i sin φ ).

Як відомо, квадрат довжини будь-якого вектора дорівнює сумі квадратів координат. Тому r 2 = a 2 + b 2 , звідки r = √a 2 + b 2

Отже, будь-яке комплексне число а + bi можна уявити у вигляді :

а + bi = r (cos φ + i sin φ ), (1)

де r = √a 2 + b 2 , а кут φ визначається за умови:

Така форма запису комплексних чисел називається тригонометричної.

Число r у формулі (1) називається модулем, а кут φ - аргументом, комплексного числа а + bi .

Якщо комплексне число а + bi не дорівнює нулю, то модуль його позитивний; якщо ж а + bi = 0, то а = b = 0 і тоді r = 0.

Модуль будь-якого комплексного числа визначено однозначно.

Якщо комплексне число а + bi не дорівнює нулю, то аргумент визначається формулами (2) однозначноз точністю до кута, кратного 2 π . Якщо ж а + bi = 0, то а = b = 0. У цьому випадку r = 0. З формули (1) легко зрозуміти, що як аргумент φ в даному випадку можна вибрати будь-який кут: адже за будь-якого φ

0 (cos φ + i sin φ ) = 0.

Тому аргумент нуля не визначено.

Модуль комплексного числа r іноді позначають | z |, а аргумент arg z . Розглянемо кілька прикладів представлення комплексних чисел в тригонометричній формі.

приклад. 1. 1 + i .

Знайдемо модуль r та аргумент φ цього числа.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Отже, sin φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2, звідки φ = π / 4 + 2nπ .

Таким чином,

1 + i = √ 2 ,

де п - Будь-яке ціле число. Зазвичай з безлічі значень аргументу комплексного числа вибирають те, яке укладено між 0 і 2 π . В даному випадку таким значенням є π / 4 . Тому

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i sin π / 4)

приклад 2.Записати у тригонометричній формі комплексне число √ 3 - i . Маємо:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2

Тому з точністю до кута, кратного 2 π , φ = 11 / 6 π ; отже,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i sin 11 / 6 π ).

Приклад 3Записати у тригонометричній формі комплексне число i.

Комплексному числу i відповідає вектор OA> , що закінчується в точці А осі у з ординатою 1 (рис. 333). Довжина такого вектора дорівнює 1, а кут, який він утворює з віссю абсцис, дорівнює π / 2 . Тому

i = cos π / 2 + i sin π / 2 .

приклад 4.Записати у тригонометричній формі комплексне число 3.

Комплексному числу 3 відповідає вектор OA > х абсцисою 3 (рис. 334).

Довжина такого вектора дорівнює 3, а кут, який він утворює з віссю абсцис, дорівнює 0. Тому

3 = 3 (cos 0 + i sin 0),

Приклад 5.Записати у тригонометричній формі комплексне число -5.

Комплексному числу -5 відповідає вектор OA> , що закінчується в точці осі х з абсцисою -5 (рис. 335). Довжина такого вектора дорівнює 5, а кут, який він утворює з віссю абсцис, дорівнює π . Тому

5 = 5 (cos π + i sin π ).

Вправи

2047. Дані комплексні числа записати у тригонометричній формі, визначивши їх модулі та аргументи:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Вказати на площині безлічі точок, що зображують комплексні числа, модулі г та аргументи ф яких задовольняють умовам:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Чи можуть модулем комплексного числа одночасно бути числа r і - r ?

2050. Чи можуть аргументом комплексного числа одночасно бути кути φ і - φ ?

Дані комплексні числа подати у тригонометричній формі, визначивши їх модулі та аргументи:

2051*. 1 + cos α + i sin α . 2054*. 2(cos 20° - i sin 20 °).

2052*. sin φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i sin 15 °).