Як записати рівняння прямої, що проходить через точки. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

Рівняння прямої через дві точки. у статті" " я обіцяв вам розібрати другий спосіб вирішення представлених завдань на знаходження похідної, при даному графіку функції та дотичної до цього графіка. Цей спосіб ми розберемо в , НЕ пропустіть! Чомуу наступній?

Справа в тому, що там використовуватиметься формула рівняння прямої. Звичайно, можна було б просто показати цю формулу та порадити вам її вивчити. Але краще пояснити – від куди вона походить (як виводиться). Це необхідно! Якщо ви забудете її, то швидко відновити їїне уявить труднощів. Нижче докладно все викладено. Отже, у нас на координатній площині є дві точки А(х 1 ;у 1) і (х 2 ;у 2), через зазначені точки проведена пряма:

Ось сама формула пряма:

* Тобто при підстановці конкретних координат точок ми отримаємо рівняння виду y=kx+b.

**Якщо цю формулу просто «зазубрити», то є велика можливість заплутатися з індексами при х. Крім того, індекси можуть позначатися по-різному, наприклад:

Тому й важливо розуміти сенс.

Тепер виведення цієї формули. Все дуже просто!

Трикутники АВЕ і ACF подібні до гострого кута (перша ознака подібності прямокутних трикутників). З цього випливає, що відносини відповідних елементів рівні, тобто:

Тепер просто виражаємо дані відрізки через різницю координат точок:

Звичайно, не буде ніякої помилки якщо ви запишите відносини елементів в іншому порядку (головне дотримуватися відповідності):

В результаті вийде одне й теж рівняння прямої. Це все!

Тобто, як би не були позначені самі точки (та їх координати), розуміючи цю формулу, ви завжди знайдете рівняння прямої.

Формулу можна вивести використовуючи властивості векторів, але принцип виведення буде той самий, оскільки йтиметься про пропорційність їх координат. У цьому випадку працює все подібність прямокутних трикутників. На мій погляд описаний вище висновок більш зрозумілий)).

Подивитися висновок через координати векторів >>>

Нехай на координатній площині побудована пряма, що проходить через дві задані точки А(х 1 ;у 1) і В(х 2 ;у 2). Зазначимо на прямій довільну точку З координатами ( x; y). Також позначимо два вектори:

Відомо, що у векторів, що лежать на паралельних прямих (або на одній прямій), їх відповідні координати пропорційні, тобто:

- Записуємо рівність відносин відповідних координат:

Розглянемо приклад:

Знайти рівняння прямої, що проходить через дві точки з координатами (2; 5) та (7: 3).

Можна навіть не будувати саму пряму. Застосовуємо формулу:

Важливо, щоб ви вловили відповідність при складанні співвідношення. Ви не помилитеся, якщо запишіть:

Відповідь: у=-2/5x+29/5 йди у=-0,4x+5,8

Щоб переконатися, що отримане рівняння знайдено правильно, обов'язково робіть перевірку — підставте у нього координати даних за умови точок. Повинні вийти вірні рівності.

На цьому все. Сподіваюся, матеріал вам був корисний.

З повагою, Олександр.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Нехай дані дві точки М(Х 1 ,У 1) та N(Х 2,y 2). Знайдемо рівняння прямої, що проходить через ці точки.

Так як ця пряма проходить через точку М, то згідно з формулою (1.13) її рівняння має вигляд

У – Y 1 = K(X - x 1),

Де K- Невідомий кутовий коефіцієнт.

Значення цього коефіцієнта визначимо з тієї умови, що пряма пряма проходить через точку N, Отже, її координати задовольняють рівнянню (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Звідси можна знайти кутовий коефіцієнт цієї прямої:

,

Або після перетворення

(1.14)

Формула (1.14) визначає Рівняння пряме, що проходить через дві точки М(X 1, Y 1) та N(X 2, Y 2).

В окремому випадку, коли точки M(A, 0), N(0, B), А ¹ 0, B¹ 0, лежать на осях координат, рівняння (1.14) набуде більш простого вигляду

Рівняння (1.15)називається Рівнянням прямий у відрізках, тут Аі Bпозначають відрізки, що відсікаються прямою на осях (рисунок 1.6).

Малюнок 1.6

приклад 1.10. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки М(1, 2) та B(3, –1).

. Відповідно до (1.14) рівняння шуканої прямої має вигляд

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Переносячи всі члени до лівої частини, остаточно отримуємо шукане рівняння

3X + 2Y – 7 = 0.

приклад 1.11. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(2, 1) та точку перетину прямих X+ Y – 1 = 0, Х – у+ 2 = 0.

. Координати точки перетину прямих знайдемо, вирішивши спільно дані рівняння

Якщо скласти почленно ці рівняння, отримаємо 2 X+ 1 = 0, звідки. Підставивши знайдене значення будь-яке рівняння, знайдемо значення ординати У:

Тепер напишемо рівняння прямої, що проходить через точки (2, 1) і :

або .

Звідси або -5 ( Y – 1) = X – 2.

Остаточно отримуємо рівняння шуканої прямої у вигляді Х + 5Y – 7 = 0.

приклад 1.12. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки M(2,1) та N(2,3).

Використовуючи формулу (1.14), отримаємо рівняння

Воно немає сенсу, оскільки другий знаменник дорівнює нулю. З умови завдання видно, що абсциси обох точок мають те саме значення. Отже, шукана пряма паралельна осі ОYта її рівняння має вигляд: x = 2.

Зауваження . Якщо запису рівняння прямої за формулою (1.14) одне із знаменників виявиться рівним нулю, то шукане рівняння можна отримати, прирівнявши до нуля відповідний чисельник.

Розглянемо інші способи завдання прямої на площині.

1. Нехай ненульовий вектор перпендикулярний даній прямій L, а крапка M 0(X 0, Y 0) лежить на цій прямій (рисунок 1.7).

Малюнок 1.7

Позначимо М(X, Y) довільну точку на прямій L. Вектори та Ортогональні. Використовуючи умови ортогональності цих векторів, отримаємо або А(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Ми отримали рівняння прямої, що проходить через точку M 0 перпендикулярно вектору. Цей вектор називається Вектор нормалі до прямої L. Отримане рівняння можна переписати у вигляді

Ах + Ву + З= 0, де З = –(АX 0 + By 0), (1.16),

Де Аі У- Координати вектора нормалі.

Отримаємо загальне рівняння прямої у параметричному вигляді.

2. Пряму на площині можна задати так: нехай ненульовий вектор паралельний даній прямій Lі крапка M 0(X 0, Y 0) лежить на цій прямій. Знову візьмемо довільну точку М(Х, y) на прямий (рисунок 1.8).

Малюнок 1.8

Вектори та колінеарні.

Запишемо умову колінеарності цих векторів: , де T- Довільне число, зване параметром. Розпишемо цю рівність у координатах:

Ці рівняння називаються Параметричними рівняннями Прямий. Виключимо з цих рівнянь параметр T:

Ці рівняння інакше можна записати як

. (1.18)

Отримане рівняння називають Канонічним рівнянням прямої. Вектор називають Напрямний вектор прямий .

Зауваження . Легко бачити, що якщо вектор нормалі до прямої L, її напрямним вектором може бути вектор , оскільки , тобто .

приклад 1.13. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку M 0(1, 1) паралельно прямий 3 Х + 2У– 8 = 0.

Рішення . Вектор є вектором нормалі до заданої та шуканої прямої. Скористаємося рівнянням прямою, яка проходить через точку M 0 із заданим вектором нормалі 3( Х –1) + 2(У- 1) = 0 або 3 Х + 2у– 5 = 0. Отримали рівняння прямої.

Нехай дані дві точки М 1 (х 1, у 1)і М 2 (х 2, у 2). Запишемо рівняння прямої у вигляді (5), де kпоки невідомий коефіцієнт:

Бо точка М 2належить заданої прямої, її координати задовольняють рівнянню (5): . Висловлюючи звідси і підставивши їх у рівняння (5) отримаємо шукане рівняння:

Якщо це рівняння можна переписати у вигляді, зручнішому для запам'ятовування:

(6)

приклад.Записати рівняння прямої, що проходить через точки М 1 (1,2) та М 2 (-2,3)

Рішення. . Використовуючи властивість пропорції і виконавши необхідні перетворення, отримаємо загальне рівняння прямої:

Кут між двома прямими

Розглянемо дві прямі l 1і l 2:

l 1: , , і

l 2: , ,

φ-кут між ними (). З рис.4 видно: .

Звідси , або

За допомогою формули (7) можна визначити один із кутів між прямими. Другий кут дорівнює.

приклад. Дві прямі задані рівняннями у=2х+3 та у=-3х+2. знайти кут між цими прямими.

Рішення. З рівнянь видно, що k1 = 2, а k2 = -3. підставляючи дані значення формулу (7), знаходимо

. Таким чином, кут між даними прямими дорівнює .

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих

Якщо прямі l 1і l 2паралельні, то φ=0 і tgφ=0. з формули (7) випливає, що , звідки k 2 =k 1. Таким чином, умовою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів.

Якщо прямі l 1і l 2перпендикулярні, то φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Таким чином, умова перпендикулярності двох прямих полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною та протилежні за знаком.

Відстань від точки до прямої

Теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій.

Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад.Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x+1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p/4.

приклад.Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад.Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

k=. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0.

Відстань від точки до прямої визначається довжиною перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Якщо пряма паралельна площині проекції (h | | П 1), то для того щоб визначити відстань від точки Адо прямої hнеобхідно опустити перпендикуляр з точки Ана горизонталь h.

Розглянемо складніший приклад, коли пряма займає загальне становище. Нехай необхідно визначити відстань від точки Мдо прямої азагального становища.

Завдання визначення відстані між паралельними прямимивирішується аналогічно до попередньої. На одній прямій береться точка, з неї опускається перпендикуляр в іншу пряму. Довжина перпендикуляра дорівнює відстані між паралельними прямими.

Кривий другого порядкуназивається лінія, яка визначається рівнянням другого ступеня щодо поточних декартових координат. У випадку Ах 2 + 2Вху +Су 2 + 2Дх + 2Еу +F = 0,

де А, В, С, Д, Е, F – дійсні числа і, принаймні, одне з чисел А 2 +В 2 +С 2 ≠0.

Окружність

Центр кола– це геометричне місце точок у площині, що рівно від точки площини С(а,b).

Окружність задається наступним рівнянням:

Де х,у - координати довільної точки кола, R - радіус кола.

Ознака рівняння кола

1. Відсутня доданок з х,у

2. Рівні Коефіцієнти при х 2 та у 2

Еліпс

Еліпсомназивається геометричне місце точок у площині, сума відстаней кожної з яких від двох даних точок цієї площини називається фокусами (постійна величина).

Канонічне рівняння еліпса:

Х і у належать еліпсу.

а – велика піввісь еліпса

b – мала піввісь еліпса

У еліпса 2 осі симетрії ОХ та ОУ. Осі симетрії еліпса – його осі, точка їхнього перетину – центр еліпса. Та вісь на якій розташовані фокуси, називається фокальною віссю. Крапка перетину еліпса з осями – вершина еліпса.

Коефіцієнт стиснення (розтягування): ε = с/а– ексцентриситет (характеризує форму еліпса), що він менше, тим менше витягнутий еліпс вздовж фокальної осі.

Якщо центри еліпса перебувають над центрі З(α, β)

Гіперболу

Гіперболоюназивається геометричне місце точок у площині, абсолютна величина різниці відстаней, кожна з яких від двох даних точок цієї площини, званих фокусами, є величина постійна, відмінна від нуля.

Канонічне рівняння гіперболи

Гіпербола має 2 осі симетрії:

а – дійсна піввісь симетрії

b – уявна піввісь симетрії

Асимптоти гіперболи:

Парабола

Параболоюназивається геометричне місце точок у площині, рівновіддалених від даної точки F, яка називається фокусом і даною прямою, званою директрисою.

Канонічне рівняння параболи:

У 2 = 2рх, де р - Відстань від фокусу до директриси (параметр параболи)

Якщо вершина параболи (α, β), то рівняння параболи (у-β) 2 =2р(х-α)

Якщо фокальну вісь прийняти за вісь ординат, то рівняння параболи набуде вигляду: х 2 =2qу

Ця стаття розкриває отримання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки прямокутної системі координат, розташованої на площині. Виведемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки у прямокутній системі координат. Наочно покажемо і вирішимо кілька прикладів щодо пройденого матеріалу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед отриманням рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, необхідно звернути увагу на деякі факти. Існує аксіома, яка говорить про те, що через дві точки, що не збігаються, на площині можливо провести пряму і тільки одну. Інакше висловлюючись, дві задані точки площини визначаються прямою лінією, що проходить через ці точки.

Якщо площина задана прямокутною системою координат Оху, то будь-яка зображена в ньому пряма буде відповідати рівнянню прямої на площині. Також є зв'язок з напрямним вектором прямої. Цих даних достатньо для того, щоб зробити складання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Розглянемо на прикладі розв'язання такого завдання. Необхідно скласти рівняння прямої a , що проходить через дві точки M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) , що знаходяться в декартовій системі координат.

У канонічному рівнянні прямої на площині, що має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y , визначається прямокутна система координат О х у з прямою, яка перетинається з нею в точці з координатами M 1 (x 1 , y 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y).

Необхідно скласти канонічне рівняння прямої a, яка пройде через дві точки з координатами M 1 (x 1, y 1) і M 2 (x 2, y 2).

Пряма а має напрямний вектор M 1 M 2 → з координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1), оскільки перетинає точки М 1 і М 2 . Ми отримали необхідні дані для того, щоб перетворити канонічне рівняння з координатами напрямного вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) і координатами точках, що лежать на них, M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2, y 2). Отримаємо рівняння виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Наслідуючи обчислення, запишемо параметричні рівняння прямої на площині, яке проходить через дві точки з координатами M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) . Отримаємо рівняння виду x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ.

Розглянемо докладніше на вирішенні кількох прикладів.

Приклад 1

Записати рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки з координатами M 1 - 5 2 3 M 2 1 - 1 6 .

Рішення

Канонічним рівнянням для прямої, що перетинається у двох точках з координатами x 1 , y 1 і x 2 , y 2 набуває вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . За умовою завдання маємо, що x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необхідно підставити числові значення рівняння x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Звідси отримаємо, що канонічне рівняння набуде вигляду x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Відповідь: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

При необхідності розв'язання задачі з іншим видом рівняння, то для початку можна перейти до канонічного, тому що з нього простіше дійти будь-якого іншого.

Приклад 2

Скласти загальне рівняння прямої, яка проходить через точки з координатами M 1 (1 , 1) і M 2 (4 , 2) у системі координат О х у.

Рішення

Для початку необхідно записати канонічний рівняння заданої прямої, яка проходить через задані дві точки. Отримаємо рівняння виду x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Наведемо канонічне рівняння до виду, тоді отримаємо:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Відповідь: x - 3 y + 2 = 0.

Приклади таких завдань було розглянуто у шкільних підручниках під час уроків алгебри. Шкільні завдання відрізнялися тим, що відомим було рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Якщо необхідно знайти значення кутового коефіцієнта k та числа b, при яких рівняння y = k x + b визначає лінію в системі О х у, яка проходить через точки M 1 (x 1 , y 1) та M 2 (x 2 , y 2) де x 1 ≠ x 2 . Коли x1 = x2 тоді кутовий коефіцієнт набуває значення нескінченності, а пряма М 1 М 2 визначена загальним неповним рівнянням виду x - x 1 = 0 .

Тому що точки М 1і М 2знаходяться на прямій, тоді їх координати задовольняють рівняння y 1 = k x 1 + b і y 2 = k x 2 + b. Слід вирішити систему рівнянь y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b щодо k і b.

Для цього знайдемо k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

З такими значеннями k і b рівняння прямої, що проходить через задані дві точки, набуває наступного вигляду y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запам'ятати відразу таку величезну кількість формул не вдасться. Для цього необхідно частішати кількість повторень у розв'язках задач.

Приклад 3

Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точки з координатами M 2 (2 1) і y = k x + b .

Рішення

Для вирішення задачі застосовуємо формулу з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Коефіцієнти k і b повинні набувати такого значення, щоб дане рівняння відповідало прямий, що проходить через дві точки з координатами M 1 (- 7 , - 5) і M 2 (2 , 1) .

Крапки М 1і М 2розташовуються на прямій, тоді їх координати повинні звертати рівняння y = k x + b правильну рівність. Звідси отримуємо, що - 5 = k · (- 7) + b та 1 = k · 2 + b . Об'єднаємо рівняння в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b і розв'яжемо.

При підстановці отримуємо, що

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Тепер значення k = 2 3 і b = - 1 3 піддаються підстановці рівняння y = k x + b. Отримуємо, що шуканим рівнянням, що проходить через задані точки, буде рівняння, що має вигляд y = 23x - 13.

Такий спосіб вирішення визначає витрати великої кількості часу. Існує спосіб, у якому завдання вирішується буквально на дві дії.

Запишемо канонічне рівняння прямої, що проходить через M 2 (2 , 1) і M 1 (- 7 , - 5) , що має вигляд x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Тепер переходимо до рівняння у кутовому коефіцієнті. Отримуємо, що: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Відповідь: y = 2 3 x - 1 3 .

Якщо в тривимірному просторі є прямокутна система координат О х у z з двома заданими незбігаючими точками з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , що проходить через них пряма M 1 M 2 необхідно отримати рівняння цієї прямої.

Маємо, що канонічні рівняння виду x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z та параметричні види x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ здатні задати лінію в системі координат О х у z , що проходить через точки, що мають координати (x 1 , y 1 , z 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y , a z) .

Пряма M 1 M 2 має напрямний вектор виду M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , де пряма проходить через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) та M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , звідси канонічне рівняння може бути виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , у свою чергу параметричні x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Розглянемо малюнок, на якому зображені 2 задані точки у просторі та рівняння прямої.

Приклад 4

Написати рівняння прямої, визначеної у прямокутній системі координат О х у z тривимірного простору, що проходить через задані дві точки з координатами M 1 (2 , - 3 , 0) та M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Рішення

Потрібно знайти канонічне рівняння. Оскільки йдеться про тривимірний простір, значить при проходженні прямої через задані точки, шукане канонічне рівняння набуде вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

За умовою маємо, що x1 = 2, y1 = -3, z1 = 0, x2 = 1, y2 = -3, z2 = -5. Звідси випливає, що необхідні рівняння запишуться таким чином:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Відповідь: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Властивості прямої в евклідовій геометрії.

Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.

Через будь-які дві точки, що не збігаються, можна провести єдину пряму.

Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

• прямі перетинаються;

• прямі паралельні;

• прямі схрещуються.

Пряма лінія— крива алгебри першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія

задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- Пряма проходить через початок координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- Пряма паралельна осі Ох

. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- Пряма паралельна осі Оу

. В = С = 0, А ≠0- Пряма збігається з віссю Оу

. А = С = 0, В ≠0- Пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному вигляді залежно від будь-яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій системі прямокутної координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже

З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,

проходить через ці точки:

Якщо один із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання

прямий через точку та напрямний вектор прямий.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямний вектор прямий.

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або , де

Геометричний зміст коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число , Яке називається

нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої у відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

Рівняння прямої:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осям або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кут між цими прямими

визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й З 1 = λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даної прямої.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b

є рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 у 0),та відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:

Доведення. Нехай крапка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.