Які вам відомі форми уявлення залежностей. Види залежностей між випадковими величинами

Залежність однієї випадкової величини від значень, які приймає інша випадкова величина (фізична характеристика), у статистиці називається регресією. Якщо цій залежності надано аналітичний вигляд, то таку форму уявлення зображують рівнянням регресії.

Процедура пошуку передбачуваної залежності між різними числовими сукупностями зазвичай включає такі етапи:

встановлення значущості зв'язку між ними;

можливість представлення цієї залежності у формі математичного виразу (рівняння регресії).

Перший етап у зазначеному статистичному аналізі стосується виявлення так званої кореляції або кореляційної залежності. Кореляція сприймається як ознака, що вказує на взаємозв'язок низки числових послідовностей. Інакше висловлюючись, кореляція характеризує силу взаємозв'язку у даних. Якщо це стосується взаємозв'язку двох числових масивів xi та yi, то таку кореляцію називають парною.

При пошуку кореляційної залежності зазвичай виявляється ймовірний зв'язок однієї виміряної величини x (для якогось обмеженого діапазону її зміни, наприклад, від x1 до xn) з іншою виміряною величиною y (також змінюється в якомусь інтервалі y1...yn). У такому разі ми матимемо справу з двома числовими послідовностями, між якими і слід встановити наявність статистичного (кореляційного) зв'язку. На цьому етапі поки не ставиться завдання визначити, чи одна з цих випадкових величин функцією, а інша - аргументом. Знаходження кількісної залежності між ними у формі конкретного аналітичного виразу y = f(x) - це вже іншого аналізу, регресійного.

Таким чином, кореляційний аналіз дозволяє зробити висновок про силу взаємозв'язку між парами даних х та у, а регресійний аналіз використовується для прогнозування однієї змінної (у) на підставі іншої (х). Інакше кажучи, у разі намагаються виявити причинно-наслідковий зв'язок між аналізованими сукупностями.

Строго кажучи, прийнято розрізняти два види зв'язку між числовими сукупностями - це може бути функціональна залежність або статистична (випадкова). За наявності функціонального зв'язку кожному значенню фактора, що впливає (аргументу) відповідає строго певна величина іншого показника (функції), тобто. зміна результативного ознаки цілком зумовлено дією факторного ознаки.

Аналітично функціональна залежність представляється в такому вигляді: y = f (x).

У разі статистичного зв'язку значення одного фактора відповідає якесь наближене значення досліджуваного параметра, його точна величина є непередбачуваною, непрогнозованою, тому одержувані показники виявляються випадковими величинами. Це означає, що зміна результативного ознаки обумовлено впливом факторного ознаки лише частково, т.к. можлива дія та інших факторів, внесок яких позначений як є: y = ф(x) + є.

За характером кореляційні зв'язку – це співвідносні зв'язку. Прикладом кореляційного зв'язку показників комерційної діяльності є, наприклад, залежність сум витрат від обсягу товарообігу. У цьому крім факторного ознаки х (обсягу товарообігу) на результативний ознака у (суму витрат звернення) впливають та інші чинники, зокрема і невраховані, породжують внесок є.

Для кількісної оцінки існування зв'язку між сукупністю випадкових величин, що вивчаються, використовується спеціальний статистичний показник - коефіцієнт кореляції r.

Якщо передбачається, що цей зв'язок можна описати лінійним рівнянням типу y=a+bx (де a та b - константи), то прийнято говорити про існування лінійної кореляції.

Коефіцієнт r – це безрозмірна величина, вона може змінюватися від 0 до ±1. Чим ближче значення коефіцієнта до одиниці (неважливо, з яким знаком), тим більшою впевненістю можна стверджувати, що між двома аналізованими сукупностями змінних існує лінійний зв'язок. Іншими словами, значення якоїсь однієї з цих випадкових величин (y) істотно залежить від того, яке значення набуває інша (x).

Якщо виявиться, що r = 1 (або -1), то має місце класичний випадок суто функціональної залежності (тобто реалізується ідеальний взаємозв'язок).

При аналізі двовимірної діаграми розсіювання можна знайти різні взаємозв'язки. Найпростішим варіантом є лінійний взаємозв'язок, який виявляється у тому, що точки розміщуються випадковим чином уздовж прямої лінії. Діаграма свідчить про відсутність взаємозв'язку, якщо точки розташовані випадково, і при переміщенні зліва направо неможливо виявити будь-який ухил (ні вгору, ні вниз).

Якщо точки на ній групуються вздовж кривої лінії, діаграма розсіювання характеризується нелінійним взаємозв'язком. Такі ситуації цілком можливі

Поняття величини, що приймає різні чисельні значення, є відображенням змінності дійсності, що нас оточує.

Математика вивчає взаємозв'язки між різними величинами. Зі шкільного курсу нам відомі формули, що пов'язують різні величини:

площа квадрата та довжину його сторони: S = а 2 ,

об'єм куба і довжину його ребра: V = а 3 ,

відстань, швидкість, час: S = V t,

вартість, ціну та кількість: М = з k та ін.

Дошкільнята не вивчають точні зв'язки, але зустрічаються з властивостями цих залежностей. Наприклад:

Чим довший шлях, тим більше часу необхідно витратити,

Чим більша ціна, тим більша вартість товару,

У більшого квадрата сторона довша.

Ці властивості використовуються дітьми в міркуваннях та допомагають їм правильно робити висновки.

4.5. Історія розвитку системи одиниць величин

Примітка: Лекція починається з повідомлень на теми:«Історія створення та розвитку систем одиниць величин»;«Міжнародна система одиниць», попередньо підготовленістудентами.

У розвитку одиниць величин можна назвати кілька періодів:

I. Одиниці довжини ототожнюються з частинами тіла:

долоня -ширина чотирьох пальців,

лікоть –довжина руки від кисті до ліктя,

фут -довжина ступні,

дюйм -довжина суглоба великого пальця та ін.

Як одиниці площі використовувалися такі одиниці: Криниця -площа, яку можна полити з одного колодязя,

соха чи плуг- Середня площа, оброблена за день сохою або плугом.

Нестача таких одиниць – нестабільні, необ'єктивні.

II. У XIV-XVI століттях з'являються об'єктивні одиниці у зв'язку з розвитком торгівлі:

дюйм– довжина трьох приставлених один до одного ячмінних зерен;

фут -ширина 64 ячмінних зерен, покладених пліч-о-пліч,

карат -маса насіння одного з видів бобів.

Недолік: немає взаємозв'язку між одиницями величин.

III. Введення одиниць, взаємопов'язаних один з одним:

3 аршини –сажень,

500 сажнів –верста,

7 верст -миля.

Недолік: у різних країнах різні одиниці величин, що гальмує міжнародні відносини, наприклад, торгівлю.

IV. Створення нової системи одиниць мови у Франції кінці XVIII в.

Основна одиниця довжини – метр –одна сорокамільйонна частина довжини земного меридіана, що проходить через Париж, «метр» - грец. metron - "захід".

Всі інші величини були пов'язані з метром, тому нова система величин отримала назву метричної системи заходів:

ар– площа квадрата із стороною 10 м;

літр -об'єм куба з довжиною ребра 0,1 м;

грам- Маса чистої води, що займає об'єм куба з довжиною ребра 0,01 м.

Були введені десяткові кратні та подільні одиниці за допомогою приставок:

кіло – 10 3 деци – 10 -1

гекто – 10 2 санти – 10 -2

дека - 10 1 мілі - 10 -3.

Недолік: з розвитком павуки були потрібні нові одиниці і точніший вимір.

V. У 196Ог. XI Генеральна конференція заходів та ваг прийняла рішення про запровадження Міжнародної системи одиниць СІ.

SI - система міжнародна.

У цій системі 7 основних одиниць ( метр, кілограм, секунда, ампер, кельвін, моль, кандела) та 2 додаткові ( радіан, стерадіан).

Ці одиниці, визначені у курсі фізики, не змінюються за будь-яких умов.

Величини, що визначаються через них, називаються похідними величинами:

площа –квадратний метр - м 2

Об `єм -кубічний метр - м 3

швидкість –метр за секунду - м/с та ін.

У нашій країні використовуються і позасистемні одиниці:

маса -тонна,

площа –гектар,

температура- градус Цельсія,

час –хвилина, година, рік, століття та ін.

Завдання для самостійної роботи.

Придумайте завдання для дошкільнят, що відображають властивості довжини, площі, маси, часу.

Придумайте план навчання дошкільнят виміру довжини (смужками), обсягу (склянками).

Придумайте розмову з дошкільнятами про системні одиниці величин: метр, кілограм, секунду та ін.

Випишіть старовинні одиниці величин, які у дитячій літературі. Знайдіть у довідниках їх значення у системі СІ. У яких країнах вони зародились?

Наприклад, чому Дюймовочку так назвали? Чому дорівнює 1дюйм у мм?

Величини та залежності між ними
Зміст розділу підручника пов'язані з комп'ютерним математичним моделюванням. Застосування математичного моделювання завжди потребує врахування залежностей одних величин від інших. Наведемо приклади таких залежностей:
1) час падіння тіла на землю залежить від його первісної висоти;
2) тиск газу в балоні залежить від його температури;
3) рівень захворюваності жителів міста на бронхіальну астму залежить від концентрації шкідливих домішок у міському повітрі.
Реалізація математичної моделі комп'ютера (комп'ютерна математична модель) вимагає володіння прийомами уявлення залежностей між величинами.
Розглянемо різноманітні методи подання залежностей.
Будь-яке дослідження слід розпочинати з виділення кількісних характеристик досліджуваного об'єкта. Такі показники називаються величинами.
З поняттям величини ви зустрічалися в базовому курсі інформатики. Нагадаємо, що з будь-якою величиною пов'язані три основні властивості: ім'я, значення, тип.
Ім'я величини може бути смисловим та символічним. Прикладом смислового імені є «тиск газу», а символічне ім'я цієї ж величини — Р. У базах даних величинами є поля записів. Для них, як правило, використовуються смислові імена, наприклад: ПРІЗВИЩЕ, ВАГА, ОЦІНКА тощо. У фізиці та інших науках, що використовують математичний апарат, застосовуються символічні імена для позначення величин. Щоб не губився сенс, для певних величин використовуються стандартні імена. Наприклад, час позначають буквою t, швидкість - V, силу - F та ін.
Якщо значення величини не змінюється, вона називається постійної величиною чи константою. Приклад константи - число Піфагора = 3,14259 ... . Розмір, значення якої може змінюватися, називається змінною. Наприклад, в описі процесу падіння тіла змінними величинами є висота Н та час падіння t.
Третьою властивістю величини є її тип. З поняттям типу величини ви також зустрічалися, знайомлячись із програмуванням та базами даних. Тип визначає безліч значень, які може набувати величина. Основні типи величин: числовий, символьний, логічний. Оскільки в цьому розділі ми говоритимемо лише про кількісні характеристики, то й розглядатимуться лише величини числового типу.
А тепер повернемося до прикладів 1-3 і позначимо (назвемо) всі змінні величини, залежності між якими нас цікавитимуть. Крім імен вкажемо розмірності величин. Розмірності визначають одиниці, у яких надаються значення величин.
1) t(с) - час падіння; Н(м) - висота падіння. Залежність уявлятимемо, нехтуючи обліком опору повітря; прискорення вільного падіння g (м/с 2) вважатимемо константою.
2) Р (н/м 2 ) - Тиск газу (в одиницях системи СІ тиск вимірюється в ньютонах на квадратний метр); t °С - температура газу. Тиск при нулі градусів Ро вважатимемо константою для цього газу.
3) Забрудненість повітря характеризуватимемо концентрацією домішок (яких саме, буде сказано пізніше) - С (мг/м 3). Одиниця виміру - маса домішок, що містяться в 1 кубічному метрі повітря, виражена в міліграмах. Рівень захворюваності будемо характеризувати числом хронічних хворих на астму, що припадають на 1000 жителів цього міста — Р (бол./тис.).
Відзначимо важливу якісну різницю між залежностями, описаними в прикладах 1 і 2, з одного боку, і в прикладі 3, з іншого. У першому випадку залежність між величинами є цілком визначеною: значення Н однозначно визначає значення t (приклад 1), значення t однозначно визначає значення Р (приклад 2). Але у третьому прикладі залежність між значенням забрудненості повітря та рівнем захворюваності носить значно складніший характер; при тому самому рівні забрудненості у різні місяці одному й тому самому місті (чи у різних містах у той самий місяць) рівень захворюваності може бути різним, оскільки на нього впливають і багато інших факторів. Відкладемо більш детальне обговорення цього прикладу до наступного параграфа, а поки лише зазначимо, що математичною мовою залежності в прикладах 1 і 2 є функціональними, а в прикладі 3 — ні.
Математичні моделі
Якщо залежність між величинами вдається у математичної формі, ми маємо математичну модель.
Математична модель - це сукупність кількісних характеристик деякого об'єкта (процесу) та зв'язків між ними, представлених мовою математики.
Добре відомі математичні моделі перших двох прикладів. Вони відображають фізичні закони та подаються у вигляді формул:

Це приклади залежностей, представлених у функціональній формі. Першу залежність називають кореневою (час пропорційно квадратному кореню висоти), другу - лінійною.
У складніших завданнях математичні моделі представляються як рівнянь чи систем рівнянь. Наприкінці цього розділу буде розглянуто приклад математичної моделі, що виражається системою нерівностей.
У ще складніших завданнях (приклад 3 — одне з них) залежності теж можна у математичній формі, але з функціональної, а інший.
Табличні та графічні моделі
Розглянемо приклади двох інших, не формульних, способів подання залежностей між величинами: табличного та графічного. Уявіть, що ми вирішили перевірити закон вільного падіння тіла експериментальним шляхом. Експеримент організуємо наступним чином: кидатимемо сталеву кульку з 6-метрової висоти, 9-метрової і т. д. (через 3 метри), заміряючи висоту початкового положення кульки і час падіння. За результатами експерименту складемо таблицю та намалюємо графік.

Якщо кожну пару значень Н і t з даної таблиці підставити наведену вище формулу залежності висоти від часу, то формула перетвориться на рівність (з точністю до похибки вимірів). Значить, модель добре працює. (Однак якщо скидати не сталеву кульку, а велику легку м'яч, то рівність не досягатиметься, а якщо надувна кулька, то значення лівої та правої частин формули відрізнятимуться дуже сильно. Як ви думаєте, чому?)
У цьому вся прикладі ми розглянули три способу моделювання залежності величин: функціональний (формула), табличний і графічний. Однак математичною моделлю процесу падіння тіла на землю можна назвати лише формулу. Формула універсальніша, вона дозволяє визначити час падіння тіла з будь-якої висоти, а не тільки для того експериментального набору значень Н, який відображено на рис. 6.1. Маючи формулу, можна легко створити таблицю та побудувати графік, а навпаки – дуже проблематично.
Так само трьома способами можна відобразити залежність тиску від температури. Обидва приклади пов'язані з відомими фізичними законами – законами природи. Знання фізичних законів дозволяють робити точні розрахунки, вони є основою сучасної техніки.
Інформаційні моделі, що описують розвиток систем у часі, мають спеціальну назву: динамічні моделі. У прикладі 1 наведено саме таку модель. У фізиці динамічні інформаційні моделі описують рух тіл, у біології – розвиток організмів чи популяцій тварин, у хімії – перебіг хімічних реакцій тощо.
Система основних понять

Регресійного аналізу

Обробка результатів експерименту методом

При вивченні процесів функціонування складних систем доводиться мати справу з низкою одночасно діючих випадкових величин. Для з'ясування механізму явищ, причинно-наслідкових зв'язків між елементами системи тощо, за отриманими спостереженнями намагаємося встановити взаємовідносини цих величин.

У математичному аналізі залежність, наприклад, між двома величинами виражається поняттям функції

де кожному значенню однієї змінної відповідає лише одне значення інший. Така залежність зветься функціональною.

Набагато складніше справа з поняттям залежності випадкових величин. Як правило, між випадковими величинами (випадковими факторами), що визначають процес функціонування складних систем, зазвичай існує такий зв'язок, при якому зі зміною однієї величини змінюється розподіл іншої. Такий зв'язок називається стохастичної, або імовірнісний. У цьому величину зміни випадкового чинника Y, що відповідає зміні величини Х, можна розбити на два компоненти. Перший пов'язаний із залежністю Yвід X, а другий із впливом "власних" випадкових складових величин Yі X. Якщо перший компонент відсутній, то випадкові величини Yі Xє незалежними. Якщо відсутній другий компонент, то Yі Xзалежать функціонально. За наявності обох компонентів співвідношення між ними визначає силу або тісноту зв'язку між випадковими величинами. Yі X.

Існують різні показники, що характеризують ті чи інші сторони стохастичного зв'язку. Так, лінійну залежність між випадковими величинами Xі Yвизначає коефіцієнт кореляції.

де – математичні очікування випадкових величин X та Y.

- Середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Y.

Лінійна ймовірнісна залежність випадкових величин полягає в тому, що при зростанні однієї випадкової величини інша має тенденцію зростати (або зменшуватися) за лінійним законом. Якщо випадкові величини Xі Yпов'язані строгою лінійною функціональною залежністю, наприклад,

y=b 0 +b 1 x 1,

то коефіцієнт кореляції дорівнюватиме ; причому знак відповідає знаку коефіцієнта b 1. Якщо величини Xі Yпов'язані довільною стохастичною залежністю, то коефіцієнт кореляції буде змінюватися в межах

Слід наголосити, що для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Однак коефіцієнт кореляції як показник залежності між випадковими величинами має серйозні недоліки. По-перше, з рівності r= 0 не слідує незалежність випадкових величин Xі Y(за винятком випадкових величин, підпорядкованих нормальному закону розподілу, для яких r= 0 означає одночасно відсутність будь-якої залежності). По-друге, крайні значення також дуже корисні, оскільки відповідають не всякої функціональної залежності, лише суворо лінійної.

Повний опис залежності Yвід X, і притому виражене в точних функціональних співвідношеннях, можна отримати, знаючи умовну функцію розподілу .

Слід зазначити, що при цьому одна із змінних величин, що спостерігаються, вважається невипадковою. Фіксуючи одночасно значення двох випадкових величин Xі Y, ми при зіставленні їх значень можемо віднести всі помилки лише до величини Y. Таким чином, помилка спостереження складатиметься з власної випадкової помилки величини Yі з помилки зіставлення, що виникає через те, що з величиною Yзіставляється не зовсім те значення X, що мало місце насправді.

Проте відшукання умовної функції розподілу, зазвичай, виявляється дуже складним завданням. Найбільш просто дослідити залежність між Хі Yпри нормальному розподілі Y, оскільки воно повністю визначається математичним очікуванням та дисперсією. В цьому випадку для опису залежності Yвід Xне потрібно будувати умовну функцію розподілу, а достатньо лише вказати, як за зміни параметра Xзмінюються математичне очікування та дисперсія величини Y.

Таким чином, ми приходимо до необхідності пошуку лише двох функцій:

(3.2)

Залежність умовної дисперсії Dвід параметра Хносить назву сходастичноїзалежності. Вона характеризує зміну точності методики спостережень за зміни параметра і використовується досить рідко.

Залежність умовного математичного очікування Mвід Xносить назву регресії, вона дає справжню залежність величин Хі У, позбавлену всіх випадкових нашарувань. Тому ідеальною метою будь-яких досліджень залежних величин є відшукання рівняння регресії, а дисперсія використовується лише з оцінки точності отриманого результату.

Конспект уроку з інформатики та ІКТ у 11 класі