Які вирази називаються алгебраїчними. Дробові раціональні вирази

Алгебраїчний вираз

вираз, складений з літер і цифр, з'єднаних знаками дій складання, віднімання, множення, поділу, зведення в цілий ступінь та вилучення кореня (показники ступеня та кореня мають бути постійними числами). А. в. називається раціональним щодо деяких літер, що до нього входять, якщо воно не містить їх під знаком вилучення кореня, наприклад

раціонально щодо a, b та с. А. в. називається цілим щодо деяких букв, якщо воно не містить поділу на вирази, що містять ці букви, наприклад 3а/с + bc 2 - 3ас/4 є цілим щодо а та b. Якщо деякі з літер (чи всі) вважати змінними, то А. в. є алгебраїчна функція.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Алгебраїчне вираз" в інших словниках:

Вираз, складений з літер і чисел, з'єднаних знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь, отримання кореня... Великий Енциклопедичний словник

алгебраїчний вираз- — Тематика нафтогазова промисловість EN algebraic expression … Довідник технічного перекладача

Алгебраїчним виразом називається одна або кілька алгебраїчних величин (чисел і літер), з'єднаних між собою знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення та поділу, а також вилучення кореня та зведення в цілу… Вікіпедія

Вираз, складений з літер і чисел, з'єднаних знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь, добування кореня. * * * АЛГЕБРАЇЧНЕ ВИРАЗ АЛГЕБРАЇЧНЕ ВИРАЗ, вираз,… … Енциклопедичний словник

алгебраїчний вираз- algebrinė iraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expresion vok. algebraischer Ausdruck, m rus. вираз алгебри, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas

Вираз, складений із літер і чисел, з'єднаних знаками алгебр. дій: додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь, отримання кореня … Природознавство. Енциклопедичний словник

Алгебраїчним виразом щодо даного змінного, на відміну від трансцендентного, називають такий вираз, який не містить інших функцій від даної кількості, крім сум, творів або ступенів цієї кількості, причому доданками … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

ВИРАЗ, вирази, порівн. 1. Дія за гол. висловити. Не знаходжу слів для висловлення вдячності. 2. частіше од. Втілення ідеї у формах якогось мистецтва (філос.). Тільки великий художник здатний створити такий вислів, … Тлумачний словник Ушакова

Рівняння, що виходить при прирівнюванні двох виразів алгебри (Див. Алгебраїчне вираз). А. в. з одним невідомим називається дробовим, якщо невідоме входить у знаменник, та ірраціональним, якщо невідоме входить під… Велика Радянська Енциклопедія

ВИРАЗ- первинне математичне поняття, під яким мають на увазі запис із букв і чисел, з'єднаних знаками арифметичних дій, при цьому можуть бути використані дужки, позначення функцій тощо; Традиційно в формула млн. її частина. Розрізняють В (1)… … Велика політехнічна енциклопедія

Уроки алгебри знайомлять нас із різними видами виразів. У міру надходження нового матеріалу вирази ускладнюються. При знайомстві зі ступенями вони поступово додаються у вираз, ускладнюючи його. Також відбувається з дробами та іншими виразами.

Щоб вивчення матеріалу було максимально зручним, це проводиться за певними назвами для того, щоб їх можна було виділити. Ця стаття дасть повний огляд всіх основних шкільних виразів алгебри.

Одночлени та багаточлени

Вирази одночлени та багаточлени вивчаються у шкільній програмі, починаючи з 7 класу. У підручники було дано визначення такого виду.

Визначення 1

Одночлени- Це числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником, будь-які твори, зроблені за їх допомогою.

Визначення 2

Багаточленаминазивають суму одночленів.

Якщо взяти, наприклад число 5, змінну x, ступінь z 7, тоді твори виду 5 · xі 7 · x · 2 · 7 · z 7вважаються одночленами. Коли береться сума одночленів виду 5+xабо z 7 + 7 + 7 · x · 2 · 7 · z 7, Тоді отримуємо багаточлен.

Щоб відрізняти одночлен від многочлена, звертають увагу до ступеня та його визначення. Важливим є поняття коефіцієнта. При приведенні подібних доданків їх поділяють на вільний член багаточлена чи старший коефіцієнт.

Над одночленами та багаточленами найчастіше виконуються якісь дії, після яких вираз наводиться до бачу одночлена. Виконується додавання, віднімання, множення та розподіл, спираючись на алгоритм для виконання дій з багаточленами.

Коли є одна змінна, не виключено розподіл багаточлена на багаточлен, які подаються у вигляді твору. Така дія отримала назву розкладання багаточлена на множники.

Раціональні (алгебраїчні) дроби

Поняття раціональні дроби вивчаються у 8 класі середньої школи. Деякі автори називають їх алгебраїчними дробами.

Визначення 3

Раціональним алгебраїчним дробомназивають дріб, у якій дома чисельника і знаменника виступають многочлены чи одночлени, числа.

Розглянемо з прикладу записи раціональних дробів типу 3 x + 2 , 2 · a + 3 · b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 і 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4 . Спираючись на визначення, можна сказати, що кожен дріб вважається раціональним дробом.

Алгебраїчні дроби можна складати, віднімати, множити, ділити, зводити до ступеня. Докладніше це у розділі дій з алгебраїчними дробами. Якщо необхідно перетворити дріб, нерідко користуються властивістю скорочення та приведення до спільного знаменника.

Раціональні вирази

У шкільному курсі вивчається поняття ірраціональних дробів, оскільки потрібна робота з раціональними виразами.

Визначення 4

Раціональні виразивважаються числовими та літерними виразами, де використовуються раціональні числа та літери зі складанням, відніманням, множенням, розподілом, зведенням у цілий ступінь.

Раціональні вирази можуть мати знаків, що належать функції, які призводять до ірраціональності. Раціональні вирази не містять коренів, ступенів з дрібними ірраціональними показниками, ступенів зі змінними в показнику, логарифмічних виразів, тригонометричних функцій і так далі.

Ґрунтуючись на правилі, наведеному вище, наведемо приклади раціональних виразів. З вище сказаного визначення маємо, що як числове вираз виду 1 2 + 3 4 , так і 5 , 2 + (- 0 , 1) 2 · 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 · 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 3 вважаються раціональними. Вирази, що містять буквені позначення, також відносять до раціональних a 2 + b 2 3 · a - 0 , 5 · b , зі змінними виду a · x 2 + b · x + c та x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Усі раціональні вирази поділяють на цілі та дробові.

Цілі раціональні вирази

Цілі раціональні вирази- Це такі вирази, що не містять поділу на вирази зі змінними негативного ступеня.

З визначення маємо, що цілий раціональний вираз - це і вираз, що містить літери, наприклад, а + 1, вираз, що містить кілька змінних, наприклад, x 2 · y 3 - z + 3 2 і a + b 3 .

Вирази виду x: (y − 1)і 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 неможливо знайти цілими раціональними, оскільки мають розподіл вираз зі змінними.

Дробові раціональні вирази

Дробний раціональний вираз– це вираз, що містить розподіл вираз зі змінними негативного ступеня.

З визначення слідує, що дробові раціональні вирази можу бути 1: x , 5 x 3 - y 3 + x + x 2 і 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Якщо розглядати вирази такого типу (2 · x − x 2) : 4 і a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4 , 2 , то дробовими раціональними вони не вважаються, оскільки не мають знаменника виразів зі змінними.

Вирази зі ступенями

Вирази, які містять ступеня у будь-якій частині запису, називають виразами зі ступенямиабо статечними виразами.

Для поняття наведемо приклад такого виразу. Вони можуть бути відсутні змінні, наприклад, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 , 5 3 , 5 · 5 - 2 5 - 1 , 5 . Також характерні статечні вирази виду 3 · x 3 · x - 1 + 3 x, x · y 2 1 3 . Для того щоб вирішити їх, необхідно виконувати деякі перетворення.

Ірраціональні вирази, вирази з корінням

Корінь, що має місце бути у виразі, дає йому іншу назву. Їх називають ірраціональними.

Визначення 8

Ірраціональними висловлюванняминазивають вирази, які мають у записі знаки коренів.

З визначення видно, що це вирази виду 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x · y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x та x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . У кожному їх є хоча б один значок кореня. Коріння та ступеня пов'язані, тому можна бачити такі записи виразів, як x 7 3 - 2 5 , n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 .

Тригонометричні вирази

Тригонометричний вираз- Це вирази з вмістом sin, cos, tg і ctg та їх зворотні - arcsin, arccos, arctg і arcctg.

Приклади тригонометричних функцій очевидні: sin ?

Для роботи з такими функціями необхідно скористатися властивостями, основними формулами прямих та зворотних функцій. Стаття перетворення тригонометричних функцій розкриє це докладніше.

Логарифмічні вирази

Після знайомства з логарифмами можна говорити про складні логарифмічні вирази.

Визначення 10

Вирази, які мають логарифми, називають логарифмічними.

Прикладом таких функцій можуть бути log 3 9 + lne, log 2 (4 · a · b), log 7 2 (x · 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Можна зустріти такі вирази, де є ступеня та логарифми. Це зрозуміло, оскільки з визначення логарифму слід, що це показник ступеня. Тоді отримуємо вирази виду x l g x - 10, log 3 3 x 2 + 2 x - 3, log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2.

Для поглиблення вивчення матеріалу слід звернутися до матеріалу про перетворення логарифмічних виразів.

Дроби

Існують вирази особливого виду, які дістали назву дробу. Оскільки вони мають чисельник і знаменник, вони можуть містити непросто числові значення, і навіть висловлювання будь-якого типу. Розглянемо визначення дробу.

Визначення 11

Дробиноюназивають таке вираз, має чисельник і знаменник, у яких є як числові, і буквені позначення чи висловлювання.

Приклади дробів, які мають числа в чисельнику та знаменнику, виглядають так 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Чисельник і знаменник може містити як чисельні, так і буквені вирази виду (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .

Хоча такі вирази, як 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 не є дробами, однак мають дріб у своєму записі.

Вираз загального вигляду

Старші класи розглядають завдання підвищеної складності, де зібрані всі комбіновані завдання групи З ЄДІ. Ці вирази відрізняються особливою складністю та різними комбінаціями коренів, логарифмів, ступенів, тригонометричних функцій. Це завдання типу x 2 - 1 · sin x + π 3 або sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .

Їхній вигляд говорить про те, що можна віднести до будь-якого з перерахованих вище видів. Найчастіше їх не відносять до жодного, оскільки вони мають специфічне комбіноване рішення. Їх розглядають як вирази загального вигляду, причому для опису не використовуються додаткові уточнення чи вирази.

При вирішенні такого виразу алгебри завжди необхідно звертати увагу на його запис, наявність дробу, ступенів або додаткових виразів. Це потрібно для того, щоб точно визначитися із способом його вирішення. Якщо немає впевненості в його назві, то рекомендується називати його виразом загального типу та вирішувати, згідно з вище написаним алгоритмом.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Розв'яжемо завдання.

Учень купив зошитів по 2 коп. за зошит та підручник за 8 коп. Скільки він заплатив за всю покупку?

Щоб дізнатися вартість всіх зошитів, треба ціну одного зошита помножити на число зошитів. Значить, вартість зошит дорівнюватиме копійкам.

Вартість ж усієї покупки дорівнюватиме

Зауважимо, що перед множником, вираженим буквою, знак множення прийнято опускати, він мається на увазі. Тому попередній запис можна подати у такому вигляді:

Отримали формулу розв'язання задачі. Вона показує, що для розв'язання задачі треба ціну зошита помножити на кількість куплених зошитів і додати додати вартість підручника.

Замість слова «формула» для подібних записів вживають також назву «вираз алгебри».

Алгебраїчним виразом називається запис, що складається з чисел, позначених цифрами або літерами та з'єднаних знаками дій.

Для стислості замість «алгебраїчне вираження» іноді говорять просто «вираз».

Наведемо ще приклади виразів алгебри:

З цих прикладів бачимо, що вираз алгебри може складатися тільки з однієї літери, а може зовсім не містити чисел, позначених літерами (два останні приклади). У цьому разі вираз називається також арифметичним виразом.

Дамо в отриманому нами алгебраїчному вираженні букві значення 5 (означає, учень купив 5 зошитів). Підставивши замість число 5, отримаємо:

що дорівнює 18 (тобто 18 коп.).

Число 18 є значенням даного виразу алгебри при

Значенням алгебраїчного виразу називається число, яке вийде, якщо цей вислів підставити замість букв дані їх значення і зробити над числами зазначені дії.

Наприклад, ми можемо сказати: значення виразу дорівнює 12 (12 коп.).

Значення цього ж виразу дорівнює 14 (14 коп.) і т. д.

Ми бачимо, що значення алгебраїчного виразу залежить від того, які значення ми дамо літерам, що входять до нього. Щоправда, іноді буває, що значення виразу не залежить від значень входять до нього букв. Наприклад, вираз дорівнює 6 за будь-яких значень а.

Знайдемо як приклад числові значення висловлювання за різних значеннях букв a і b.

Підставимо в даний вираз замість число 4, а замість 6 число 2 і обчислимо отриманий вираз:

Отже, при значення виразу дорівнює 16.

Таким же чином знайдемо, що при значення виразу дорівнює 29, при і воно дорівнює 2 і т.д.

Результати обчислень можна записати у вигляді таблиці, яка наочно покаже, як змінюється значення виразу залежно від зміни значень літер, що входять до нього.

Складемо таблицю із трьох рядків. У першому рядку записуватимемо значення а, у другому - значення 6 і

у третій - значення виразу Отримаємо таку таблицю.

Алгебраїчний вираз- це будь-який запис з букв, чисел, знаків арифметичних дій та дужок, складений із змістом. Власне, алгебраїчне вираз – це числове вираз , у якому крім чисел використовуються ще й букви. Тому алгебраїчні вирази також називають літерними виразами.

В основному в буквених виразах використовують літери латинського алфавіту. Навіщо ж потрібні ці літери? Натомість ми можемо підставити різні числа. Тому ці літери називаються змінними. Тобто, вони можуть змінювати своє значення.

Приклади виразів алгебри.

$\begin(align) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac(a-b)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(align)$

Бувають такі значення змінної, у якому алгебраїчне вираз втрачає сенс. Так, наприклад, буде, якщо вираз 1:x ми підставимо замість x значення 0.
Бо на нуль ділити не можна.

Область визначення виразу алгебри.

Безліч значень змінної, у яких вираз не втрачає сенс, називається областю визначенняцього виразу. Також можна сказати, що область визначення виразу – це множина всіх допустимих значень змінної.

Розглянемо приклади:

1. y+5 – областю визначення будуть будь-які значення y.
2. 1:x – вираз матиме сенс при всіх значеннях x крім 0. Тому областю визначення будуть будь-які значення x, за винятком нуля.
3. (x+y):(x-y) – область визначення – будь-які значення x та y, при яких x ≠ y.

Раціональні вирази алгебри- Це цілі та дробові алгебраїчні вирази.

1. Ціле вираз алгебри – не містить зведення в ступінь з дробовим показником, вилучення кореня зі змінної, а також поділу на змінну. У цілих виразах алгебри всі значення змінних є допустимими. Наприклад, ax + bx + c - ціле вираз алгебри.
2. Дробове – містить розподіл на змінну. $\frac(1)(a)+bx+c$ - дробове вираз алгебри. У дробових алгебраїчних виразах допустимими є значення змінних, у яких немає поділу на нуль.

$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((b)^(\frac(1)(3)));$- ірраціональні вирази алгебри. У ірраціональних алгебраїчних виразах допустимими є значення змінних, у яких вираз, що стоїть під знаком кореня парного ступеня не негативно.