Які залежності можна встановити між величинами? Open Library - відкрита бібліотека навчальної інформації

Моделювання залежностей

між величинами

«Єдиний шлях, який веде до знань – це ДІЯЛЬНІСТЬ» Б. Шоу

Назвався грузде - лізь

в кузов

Як гукнеться, так і відгукнеться.

Значення

• Ім'я: смислове (тиск газу, час) та символічне (P, t)
• Значення: постійна величина (константа) чи змінна
• Тип: логічний, символічний, логічний

За способом подання

інформаційні

матеріальні

вербальні

знакові

образні

комп'ютерні

некомп'ютерні

Інформаційні моделі

Ч і с л о в о й т і п

Математичні Табличні графічні

Час падіння тіла на землю залежить від його початкової висоти

t(с) - час падіння; H(м) – висота падіння. Залежність уявлятимемо, нехтуючи обліком опору повітря; прискорення вільного падіння g (м/с 2) вважатимемо константою

Тиск газу в балоні залежить від його температури

P (н/м2) – тиск газу; t (°С) – температура газу. Тиск при нулі градусів P 0 вважатимемо константою для цього газу.

Рівень захворюваності мешканців міста на бронхіальну астму залежить від концентрації шкідливих домішок у міському повітрі.

Забрудненість повітря характеризуватимемо концентрацією домішок – С (мг/м 3 ). Одиниця виміру - маса домішок, що міститься в 1 кубічному метрі повітря, виражена в міліграмах. Рівень захворюваності будемо характеризувати числом хронічних хворих на астму, що припадають на 1000 жителів

Математична модель

Це сукупність кількісних характеристик деякого об'єкта (процесу) та зв'язків між ними, представлених мовою математики

Табличні та графічні моделі

Перевіримо закон вільного падіння тіла експериментальним шляхом.

Будемо кидати сталеву кульку з 6-метрової висоти, 9-метрової і т. д. (через 3 метри), заміряючи висоту початкового положення кульки та час її падіння.

Таблиця та графік результатів експерименту

H, м

t, з

• Існує три способи моделювання числових величин: функціональний (формула), табличний та графічний;

• Формула універсальніша; маючи формулу, можна легко створити таблицю та побудувати графік

Уявіть математичну модель залежності тиску газу від температури

T= від 10 до 150 з кроком 10

Рефлексія

Ціль : виявлення рівня усвідомлення змісту пройденого матеріалу

Продовжіть фразу:

• Сьогодні я дізнався…
• Я купив…
• У мене вийшло …
• Я зміг…
• Урок дав мені для життя.
• Мені захотілось…
• Було цікаво…
• Було важко…
• Я виконував завдання.
• Найскладнішим для виконання завдання для мене було…
• Найпростішим при виконанні завдання для мене було…
• Найцікавішим під час виконання завдання для мене було…

Рефлексія (від позднелат. reflexio - звернення назад) - це звернення уваги суб'єкта на себе і свою свідомість, зокрема, на продукти своєї активності, і навіть якесь їх переосмислення.

Домашнє завдання

• З вікна будинку на висоті 19,6 м кинуто монету зі швидкістю 5 м/с. Визначити час, через який монета впаде на землю. Використовуючи MS EXCEL, побудувати модель падіння зі зміною початкової швидкості від 5 до 20м/с

Крок зміни швидкості 1 м/с.

Результат надіслати на адресу:

Перший слайд на екрані.

Добридень! Сідайте. Відкриємо робочі зошити запишемо сьогоднішнє число та тему уроку:

«Моделювання залежностей між величинами». Відкрийте робочі зошити та запишіть сьогоднішню дату та назву теми. А як епіграф до уроку я хотів би взяти відому фразу лауреата Нобелівської премії в галузі літератури Джоржа Бернарда Шоу: «Єдиний шлях, який веде до знань – це

ДІЯЛЬНІСТЬ»

Визначте мету сьогоднішнього уроку. (Навчитися моделювати залежність між величинами).

Що таке модель?

Спрощене уявлення про реальний об'єкт, процес або явище, що відображає його суттєві властивості.

що таке моделювання?

Моделювання

Процес побудови моделей для дослідження та вивчення об'єктів, процесів чи явищ;

Метод пізнання, що полягає у створенні та дослідженні моделей.

Які ви знаєте моделі за способом їхнього уявлення

Матеріальні та інформаційні

Яке стандартне програмне забезпечення дозволяє нам будувати

інформаційні моделі?

Майкрософт ексес

Майкрософт ексель

Який додаток з перерахованих включає більш розвинений математичний апарат?

Майкрософт ексель

Як ви вважаєте, яким стандартним програмним забезпеченням необхідно навчитися користуватися для отримання результату позначеного темою уроку?

Майкрософт ексель

Другий слайд.

Отже, почнемо. Перед вами на слайді прислів'я:

4. Як відгукнеться - так і відгукнеться.

5. Назвався грузде - лізь у кузов.

Визначте поняття, яке поєднує всі ці прислів'я.

ЗАЛЕЖНІСТЬ

На яких уроках ви зустрічалися із цим поняттям?

(На математиці фізиці хімії біології інформатиці і т.д).

Які бувають залежності?

Залежно бувають математичні, фізичні соціальні інформаційні і т.д.

Давайте визначимо поняття залежність як вид зв'язку між величинами, об'єктами та суб'єктами.

Запишіть це визначення. Зауважте, що визначення поняття залежність може змінюватися виходячи зі сфери застосування цього поняття. (Наприклад визначення наркотичної залежності включатиме складові відмінні від складових інформаційної залежності).

Зазначимо ще дві суттєві форми залежності величин, що мають

утилітарне значення

Це – функціональна та статистична. У математиці функціональної залежністю змінної Y від змінної Х називають залежність виду y=f(x). Проте, якщо X і Y випадкові величини, між ними може існувати залежність іншого роду, звана статистичної.

Різновидом статистичної залежності є кореляційна залежність, моделювання якої, ми займемося в наступній чверті.

Третій слайд

Визначимо поняття величина.

Що таке величина?

Розмір – кількісна характеристика досліджуваного об'єкта.

Запишемо це визначення та перерахуємо властивості величин.

Властивості величин:

Назва величини.

може бути повним (що підкреслює її зміст), а може бути символічним.

значення.

Якщо значення величини не змінюється, вона називається постійної величиною чи константою. Приклад константи - число Піфагора n = З, 14159 ... Величина, що змінює своє значення, називається змінною.

визначає безліч значень, які може набувати величина. Основні типи величин: числовий, символьний, логічний.

Оскільки при розкритті теми уроку ми говоритимемо лише про кількісні характеристики, то й розглядатимуть лише величини числового типу, що описуються математичними, табличними і графічними моделями.

Четвертий слайд

Слайд «Місце інформатики у системі наук»

Міжпредметне значення інформатики значною мірою проявляється саме через впровадження комп'ютерного моделювання в різні наукові та прикладні галузі: математику та фізику, техніку, біологію та медицину, економіку, управління та багато інших. За допомогою комп'ютерного моделювання вирішуються багато наукових та виробничих завдань. Гнучким інструментом комп'ютерного моделювання є MS Excel.

Шостий слайд

Розглянемо побудову комп'ютерних моделей на

Приклади наступних залежностей:

1) час падіння тіла на землю залежить від початкової висоти;

2) тиск залежить від температури газу в балоні;

3) частота захворювання мешканців бронхіальною астмою залежить від якості міського повітря.

Розглянемо різноманітні методи подання залежностей.

Будь-яке дослідження слід розпочинати з виділення кількісних показників досліджуваного об'єкта (процесу, явища).

Наприклад, в описі процесу падіння тіла змінними величинами є висота (Н) та час падіння (t).

Крім імен вкажемо розмірності величин.

t (сек) – час падіння; Н(ж) – висота падіння. Залежність уявлятимемо, нехтуючи обліком опору повітря. Прискорення вільного падіння g (м/сек2) – константа.

Відмітимо, що

Якщо залежне між величинами вдається у математичної формі, ми маємо математичну модель.

Математична модель - це сукупність кількісних характеристик деякого об'єкта (процесу) та зв'язків між ними, представлених мовою математики.

Добре відомі математичні моделі для перших двох прикладів з наведених вище. Вони відображають фізичні закони та подаються у вигляді формул:

Побудувати самостійно табличну та графічну модель процесу зміни тиску газу при зміні температури.

Для того, щоб згадати основні принципи роботи з MS Excel, побудуємо модель процесу падіння тіла з висоти.

Демонстрації на екрані.

У цьому прикладі ми розглянули три способи відображення залежності величин: функціональний (формула), табличний та графічний. Однак математичною моделлю процесу падіння тіла на землю можна назвати лише формулу. Чому? Тому що формула є універсальною. Вона дозволяє визначити час падіння тіла з будь-якої висоти, а не лише для того експериментального набору значень Н, який відображено на рис. 2.11.

Крім того, таблиця та діаграма (графік) констатують факти, а математична модель дозволяє прогнозувати, передбачати шляхом розрахунків.

Тепер ви виконаєте комп'ютерний тест.

Підніміть руки ті, хто отримав тест 5.

Визначте проблемні місця.

і після завершення тестування побудуйте модель процесу зміни тиску.

Вихідні дані:

t змінюється від 0 до 150 з кроком 10 ПЕРЕВІРИТИ!

Коротко про головне

Величина – деяка кількісна характеристика об'єкта.

Залежності між величинами можуть бути представлені у вигляді математичної моделі, у табличній та графічній формах.

Залежність, подана у вигляді формули, є математичною моделлю.

MS Excel є гнучким доступним та зрозумілим засобом моделювання.

Згадаймо мету, яку поставили на початку уроку.

Чи досягли її?

Чи все було зрозуміло на уроці?

Запитання та завдання

1. а) Які вам відомі форми подання залежностей між величинами?

б) Що таке математична модель?

в) Чи може математична модель включати лише константи?

2. Наведіть приклад відомої вам функціональної залежності (формули) між характеристиками певної системи.

3. Обґрунтуйте переваги та недоліки кожної з трьох форм подання залежностей.

пильнувати &36. Відповісти письмово на вопорси після параграфа.

На початку уроку буде перевірка зі створення залежності між величинами в Excel на час.

Величини та залежності між ними
Зміст розділу підручника пов'язані з комп'ютерним математичним моделюванням. Застосування математичного моделювання завжди потребує врахування залежностей одних величин від інших. Наведемо приклади таких залежностей:
1) час падіння тіла на землю залежить від його первісної висоти;
2) тиск газу в балоні залежить від його температури;
3) рівень захворюваності жителів міста на бронхіальну астму залежить від концентрації шкідливих домішок у міському повітрі.
Реалізація математичної моделі комп'ютера (комп'ютерна математична модель) вимагає володіння прийомами уявлення залежностей між величинами.
Розглянемо різноманітні методи подання залежностей.
Будь-яке дослідження слід розпочинати з виділення кількісних характеристик досліджуваного об'єкта. Такі показники називаються величинами.
З поняттям величини ви зустрічалися в базовому курсі інформатики. Нагадаємо, що з будь-якою величиною пов'язані три основні властивості: ім'я, значення, тип.
Ім'я величини може бути смисловим та символічним. Прикладом смислового імені є «тиск газу», а символічне ім'я цієї ж величини — Р. У базах даних величинами є поля записів. Для них, як правило, використовуються смислові імена, наприклад: ПРІЗВИЩЕ, ВАГА, ОЦІНКА тощо. У фізиці та інших науках, що використовують математичний апарат, застосовуються символічні імена для позначення величин. Щоб не губився сенс, для певних величин використовуються стандартні імена. Наприклад, час позначають буквою t, швидкість - V, силу - F та ін.
Якщо значення величини не змінюється, вона називається постійної величиною чи константою. Приклад константи - число Піфагора = 3,14259 ... . Розмір, значення якої може змінюватися, називається змінною. Наприклад, в описі процесу падіння тіла змінними величинами є висота Н та час падіння t.
Третьою властивістю величини є її тип. З поняттям типу величини ви також зустрічалися, знайомлячись із програмуванням та базами даних. Тип визначає безліч значень, які може набувати величина. Основні типи величин: числовий, символьний, логічний. Оскільки в цьому розділі ми говоритимемо лише про кількісні характеристики, то й розглядатимуться лише величини числового типу.
А тепер повернемося до прикладів 1-3 і позначимо (назвемо) всі змінні величини, залежності між якими нас цікавитимуть. Крім імен вкажемо розмірності величин. Розмірності визначають одиниці, у яких надаються значення величин.
1) t(с) - час падіння; Н(м) - висота падіння. Залежність уявлятимемо, нехтуючи обліком опору повітря; прискорення вільного падіння g (м/с 2) вважатимемо константою.
2) Р (н/м 2 ) - Тиск газу (в одиницях системи СІ тиск вимірюється в ньютонах на квадратний метр); t °С - температура газу. Тиск при нулі градусів Ро вважатимемо константою для цього газу.
3) Забрудненість повітря характеризуватимемо концентрацією домішок (яких саме, буде сказано пізніше) - С (мг/м 3). Одиниця виміру - маса домішок, що містяться в 1 кубічному метрі повітря, виражена в міліграмах. Рівень захворюваності будемо характеризувати числом хронічних хворих на астму, що припадають на 1000 жителів цього міста — Р (бол./тис.).
Відзначимо важливу якісну різницю між залежностями, описаними в прикладах 1 і 2, з одного боку, і в прикладі 3, з іншого. У першому випадку залежність між величинами є цілком визначеною: значення Н однозначно визначає значення t (приклад 1), значення t однозначно визначає значення Р (приклад 2). Але у третьому прикладі залежність між значенням забрудненості повітря та рівнем захворюваності носить значно складніший характер; при тому самому рівні забрудненості у різні місяці одному й тому самому місті (чи у різних містах у той самий місяць) рівень захворюваності може бути різним, оскільки на нього впливають і багато інших факторів. Відкладемо більш детальне обговорення цього прикладу до наступного параграфа, а поки лише зазначимо, що математичною мовою залежності в прикладах 1 і 2 є функціональними, а в прикладі 3 — ні.
Математичні моделі
Якщо залежність між величинами вдається у математичної формі, ми маємо математичну модель.
Математична модель - це сукупність кількісних характеристик деякого об'єкта (процесу) та зв'язків між ними, представлених мовою математики.
Добре відомі математичні моделі перших двох прикладів. Вони відображають фізичні закони та подаються у вигляді формул:

Це приклади залежностей, представлених у функціональній формі. Першу залежність називають кореневою (час пропорційно квадратному кореню висоти), другу - лінійною.
У складніших завданнях математичні моделі представляються як рівнянь чи систем рівнянь. Наприкінці цього розділу буде розглянуто приклад математичної моделі, що виражається системою нерівностей.
У ще складніших завданнях (приклад 3 — одне з них) залежності теж можна у математичній формі, але з функціональної, а інший.
Табличні та графічні моделі
Розглянемо приклади двох інших, не формульних, способів подання залежностей між величинами: табличного та графічного. Уявіть, що ми вирішили перевірити закон вільного падіння тіла експериментальним шляхом. Експеримент організуємо наступним чином: кидатимемо сталеву кульку з 6-метрової висоти, 9-метрової і т. д. (через 3 метри), заміряючи висоту початкового положення кульки і час падіння. За результатами експерименту складемо таблицю та намалюємо графік.

Якщо кожну пару значень Н і t з даної таблиці підставити наведену вище формулу залежності висоти від часу, то формула перетвориться на рівність (з точністю до похибки вимірів). Значить, модель добре працює. (Однак якщо скидати не сталеву кульку, а велику легку м'яч, то рівність не досягатиметься, а якщо надувна кулька, то значення лівої та правої частин формули відрізнятимуться дуже сильно. Як ви думаєте, чому?)
У цьому вся прикладі ми розглянули три способу моделювання залежності величин: функціональний (формула), табличний і графічний. Однак математичною моделлю процесу падіння тіла на землю можна назвати лише формулу. Формула універсальніша, вона дозволяє визначити час падіння тіла з будь-якої висоти, а не тільки для того експериментального набору значень Н, який відображено на рис. 6.1. Маючи формулу, можна легко створити таблицю та побудувати графік, а навпаки – дуже проблематично.
Так само трьома способами можна відобразити залежність тиску від температури. Обидва приклади пов'язані з відомими фізичними законами – законами природи. Знання фізичних законів дозволяють робити точні розрахунки, вони є основою сучасної техніки.
Інформаційні моделі, що описують розвиток систем у часі, мають спеціальну назву: динамічні моделі. У прикладі 1 наведено саме таку модель. У фізиці динамічні інформаційні моделі описують рух тіл, у біології – розвиток організмів чи популяцій тварин, у хімії – перебіг хімічних реакцій тощо.
Система основних понять

Конспект уроку з інформатики та ІКТ у 11 класі

Поняття величини, що приймає різні чисельні значення, є відображенням змінності дійсності, що нас оточує.

Математика вивчає взаємозв'язки між різними величинами. Зі шкільного курсу нам відомі формули, що пов'язують різні величини:

площа квадрата та довжину його сторони: S = а 2 ,

об'єм куба і довжину його ребра: V = а 3 ,

відстань, швидкість, час: S = V t,

вартість, ціну та кількість: М = з k та ін.

Дошкільнята не вивчають точні зв'язки, але зустрічаються з властивостями цих залежностей. Наприклад:

Чим довший шлях, тим більше часу необхідно витратити,

Чим більша ціна, тим більша вартість товару,

У більшого квадрата сторона довша.

Ці властивості використовуються дітьми в міркуваннях та допомагають їм правильно робити висновки.

4.5. Історія розвитку системи одиниць величин

Примітка: Лекція починається з повідомлень на теми:«Історія створення та розвитку систем одиниць величин»;«Міжнародна система одиниць», попередньо підготовленістудентами.

У розвитку одиниць величин можна назвати кілька періодів:

I. Одиниці довжини ототожнюються з частинами тіла:

долоня -ширина чотирьох пальців,

лікоть –довжина руки від кисті до ліктя,

фут -довжина ступні,

дюйм -довжина суглоба великого пальця та ін.

Як одиниці площі використовувалися такі одиниці: Криниця -площа, яку можна полити з одного колодязя,

соха чи плуг- Середня площа, оброблена за день сохою або плугом.

Нестача таких одиниць – нестабільні, необ'єктивні.

II. У XIV-XVI століттях з'являються об'єктивні одиниці у зв'язку з розвитком торгівлі:

дюйм– довжина трьох приставлених один до одного ячмінних зерен;

фут -ширина 64 ячмінних зерен, покладених пліч-о-пліч,

карат -маса насіння одного з видів бобів.

Недолік: немає взаємозв'язку між одиницями величин.

III. Введення одиниць, взаємопов'язаних один з одним:

3 аршини –сажень,

500 сажнів –верста,

7 верст -миля.

Недолік: у різних країнах різні одиниці величин, що гальмує міжнародні відносини, наприклад, торгівлю.

IV. Створення нової системи одиниць мови у Франції кінці XVIII в.

Основна одиниця довжини – метр –одна сорокамільйонна частина довжини земного меридіана, що проходить через Париж, «метр» - грец. metron - "захід".

Всі інші величини були пов'язані з метром, тому нова система величин отримала назву метричної системи заходів:

ар– площа квадрата із стороною 10 м;

літр -об'єм куба з довжиною ребра 0,1 м;

грам- Маса чистої води, що займає об'єм куба з довжиною ребра 0,01 м.

Були введені десяткові кратні та подільні одиниці за допомогою приставок:

кіло – 10 3 деци – 10 -1

гекто – 10 2 санти – 10 -2

дека - 10 1 мілі - 10 -3.

Недолік: з розвитком павуки були потрібні нові одиниці і точніший вимір.

V. У 196Ог. XI Генеральна конференція заходів та ваг прийняла рішення про запровадження Міжнародної системи одиниць СІ.

SI - система міжнародна.

У цій системі 7 основних одиниць ( метр, кілограм, секунда, ампер, кельвін, моль, кандела) та 2 додаткові ( радіан, стерадіан).

Ці одиниці, визначені у курсі фізики, не змінюються за будь-яких умов.

Величини, що визначаються через них, називаються похідними величинами:

площа –квадратний метр - м 2

Об `єм -кубічний метр - м 3

швидкість –метр за секунду - м/с та ін.

У нашій країні використовуються і позасистемні одиниці:

маса -тонна,

площа –гектар,

температура- градус Цельсія,

час –хвилина, година, рік, століття та ін.

Завдання для самостійної роботи.

Придумайте завдання для дошкільнят, що відображають властивості довжини, площі, маси, часу.

Придумайте план навчання дошкільнят вимірюванню довжини (смужками), обсягу (склянками).

Придумайте розмову з дошкільнятами про системні одиниці величин: метр, кілограм, секунду та ін.

Випишіть старовинні одиниці величин, які у дитячій літературі. Знайдіть у довідниках їх значення у системі СІ. У яких країнах вони зародились?

Наприклад, чому Дюймовочку так назвали? Чому дорівнює 1дюйм у мм?

Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при збільшенні однієї з них у кілька разів інша збільшується в стільки ж разів. Відповідно, при зменшенні однієї з них у кілька разів, інша зменшується у стільки ж разів.

Залежність між такими величинами – пряма пропорційна залежність. Приклади прямої пропорційної залежності:

1) при постійній швидкості пройдений шлях прямо пропорційно залежить від часу;

2) периметр квадрата та його сторона - прямо пропорційні величини;

3) вартість товару, купленого за однією ціною, прямо пропорційно залежить від кількості.

Щоб відрізнити пряму пропорційну залежність від зворотної можна використовувати прислів'я: «Що далі лісом, то більше дров».

Завдання прямо пропорційні величини зручно вирішувати за допомогою пропорції.

1) Для виготовлення 10 деталей потрібно 3,5 кг металу. Скільки металу піде на виготовлення 12 таких деталей?

(Розмірковуємо так:

1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямку від більшого числа до меншого.

2. Чим більше деталей, тим більше металу потрібно їх виготовлення. Отже, це прямо пропорційна залежність.

Нехай х кг металу потрібно виготовлення 12 деталей. Складаємо пропорцію (в напрямку від початку стрілки до її кінця):

12:10 = х: 3,5

Щоб знайти , треба твір крайніх членів поділити на відомий середній член:

Отже, знадобиться 4,2 кг металу.

Відповідь: 4,2 кг.

2) За 15 метрів тканини заплатили 1680 рублів. Скільки коштує 12 метрів такої тканини?

(1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямку від більшого числа до меншого.

2. Що менше тканини купують, то менше за неї треба заплатити. Отже, це прямо пропорційна залежність.

3. Тому друга стрілка однаково спрямована першою).

Нехай х рублів коштують 12 метрів тканини. Складаємо пропорцію (від початку стрілки до її кінця):

15:12 = 1680:х

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, добуток середніх членів ділимо на відомий крайній член пропорції:

Значить, 12 метрів коштують 1344 рублі.

Відповідь: 1344 рублі.