Якими основними способами можна встановити функцію. Поняття функції Способи завдання функції

Що означають слова "задати функцію"?Вони означають: пояснити всім охочим, про яку конкретної функціїйде мова. До того ж, пояснити чітко і однозначно!

Як це можна зробити? Як встановити функцію?

Можна написати формулу. Можна намалювати графік. Можна скласти табличку. Будь-який спосіб – це якесь правило, яким можна дізнатися значення грека для обраного нами значення икса.Тобто. "задати функцію", це означає - показати закон, правило, яким ікс перетворюється на игрек.

Зазвичай, у різних завданнях присутні вже готовіфункції. Вони нам вже задано.Вирішуй собі, та вирішуй.) Але... Найчастіше школярі (та й студенти) працюють із формулами. Звикають, розумієш ... Так звикають, що будь-яке елементарне питання, що відноситься до іншого способу завдання функції, відразу засмучує людину ...)

Щоб уникнути подібних випадків, є сенс розібратися з різними способами завдання функцій. Ну і, звичайно, застосувати ці знання до "хитрих" питань. Це досить просто. Якщо знаєте, що таке функція...)

Поїхали?)

Аналітичний метод завдання функції.

Найуніверсальніший і наймогутніший спосіб. Функція, задана аналітично,це функція, яка задана формулами.Власне, це і є все пояснення.) Знайомі всім (хочеться вірити!) функції, наприклад: y = 2x,або y = x 2і т.д. і т.п. задані саме аналітично.

До речі, не всяка формула може задавати функцію. Не в кожній формулі дотримується жорстка умова визначення функції. А саме - на кожен ікс може бути лише одинігрек.Наприклад, у формулі у = ±х, для одногозначення х=2, виходить двазначення у: +2 та -2. Не можна цією формулою встановити однозначну функцію. А з багатозначними функціями у цьому розділі математики, у матаналізі, не працюють, як правило.

Чим добрий аналітичний спосіб завдання функції? Тим, що якщо у вас є формула - ви знаєте про функцію Усе!Ви можете скласти табличку. Побудувати графік. Дослідити цю функцію за повною програмою. Точно передбачити, де і як поводитиметься ця функція. Весь матаналіз стоїть саме такому способі завдання функцій. Скажімо, взяти похідну від таблиці дуже важко...)

Аналітичний спосіб досить звичний і проблем не створює. Хіба деякі різновиди цього способу, з якими стикаються студенти. Я про параметричне та неявне завдання функцій.) Але такі функції – у спеціальному уроці.

Переходимо до менш звичних способів завдання функції.

Табличний спосіб завдання функції.

Як випливає з назви, цей спосіб є простою табличкою. У цій таблиці кожному іксу відповідає ( ставиться у відповідність) якесь значення грека. У першому рядку - значення аргументу. У другому рядку - відповідні їм значення функції, наприклад:

Таблиця 1.

Прошу звернути увагу! У цьому прикладі ігрек залежить від ікса абияк.Я спеціально так вигадав.) Немає ніякої закономірності. Нічого страшного так буває. Значить, саме такя поставив цю конкретну функцію. Саме такя встановив правило, яким ікс перетворюється на игрек.

Можна скласти іншутабличку, у якій буде закономірність. Цією табличкою буде задано іншафункція, наприклад:

Таблиця 2.

Вловили закономірність? Тут всі значення грека виходять множенням ікса на двійку. Ось і перше "хитре" питання: чи можна функцію, задану за допомогою Таблиці 2, вважати функцією у = 2х? Подумайте поки що, відповідь буде нижче, у графічному способі. Там це все дуже наочно.)

Чим гарний табличний спосіб завдання функції?Та тим, що рахувати нічого не треба. Все вже пораховано і написано в таблиці.) А нічого хорошого немає. Ми не знаємо значення функції для іксів, яких немає у таблиці.У цьому способі такі значення ікса просто не існують.До речі, це підказка до хитрого питання.) Ми не можемо дізнатися, як поводиться функція поза таблицею. Нічого не можемо. Та й наочність у цьому способі бажає кращого... Для наочності хороший графічний спосіб.

Графічний спосіб завдання функції.

У цьому методі функція представлена ​​графіком. По осі абсцис відкладається аргумент (х), а по осі ординат – значення функції (у). За графіком також можна вибрати будь-який хта знайти відповідне йому значення у. Графік може бути будь-який, але... не абияк.) Ми працюємо тільки з однозначними функціями. У визначенні такої функції чітко сказано: кожному хставиться у відповідність єдиний у. Одинігорок, а не два, чи три... Для прикладу, подивимося на графік кола:

Коло, як коло... Чому б їй не бути графіком функції? А давайте знайдемо, який гравець буде відповідати значенню ікса, наприклад, 6? Наводимо курсор на графік (або торкаємося малюнку на планшеті), і... бачимо, що цьому іксу відповідає двазначення гравця: у=2 і у=6.

Два та шість! Отже, такий графік не буде графічним завданням функції. на одинікс доводиться дваігрека. Цей графік не відповідає визначенню функції.

Але якщо умова однозначності виконано, графік може бути будь-яким. Наприклад:

Ця сама кривулина - і є закон, яким можна перекласти ікс в игрек. Однозначний. Захотілося нам дізнатися значення функції для х = 4,наприклад. Потрібно знайти четвірку на осі іксів і подивитися, який гравець відповідає цьому іксу. Наводимо мишку на малюнок і бачимо, що значення функції удля х = 4дорівнює п'яти. Якою формулою задано таке перетворення ікса на ігрок - ми не знаємо. І не треба. Графіком все поставлено.

Тепер можна повернутися до "хитрого" питання про у = 2х.Побудуємо графік цієї функції. Ось він:

Зрозуміло, при малюванні цього графіка ми не брали безліч значень х.Взяли кілька значень, порахували у,склали табличку – і все готово! Найписьменніші взагалі лише два значення ікса взяли! І вірно. Для прямої більше і не треба. Навіщо зайва робота?

Але ми абсолютно точно знали,що ікс може бути будь-яким.Цілим, дрібним, негативним... Будь-яким. Це за формулою у=2хвидно. Тому сміливо з'єднали крапки на графіку суцільною лінією.

Якщо ж функція буде нам задана Таблицею 2, то значення ікса нам доведеться брати лише з таблиці.Бо інші ікси (і ігреки) нам не дано, і взяти їх нема де. Немає їх, цих значень, у цій функції. Графік вийде з точок.Наводимо мишку на малюнок і бачимо графік функції, заданої Таблицею 2. Значення ікс-гравців на осях я не писав, розберетеся, мабуть, по клітинах?)

Ось і відповідь на "хитре" питання. Функція, задана Таблицею 2 та функція у=2х - різні.

Графічний спосіб гарний своєю наочністю. Відразу видно, як поводиться функція, де зростає. де зменшується. За графіком одразу можна дізнатися деякі важливі характеристики функції. А вже в темі з похідною, завдання з графіками - часто-густо!

Взагалі, аналітичний і графічний способи завдання функції йдуть пліч-о-пліч. Робота із формулою допомагає побудувати графік. А графік частенько підказує рішення, які у формулі й не помітиш... Ми з графіками будемо дружити.)

Майже будь-який учень знає три способи завдання функції, які ми щойно розглянули. Але на запитання: "А четвертий!?" - зависає ґрунтовно.)

Такий спосіб є.

Словесний опис функції.

Так Так! Функцію можна цілком однозначно поставити словами. Велика і могутня російська мова багато на що здатна!) Скажімо, функцію у=2хможна задати наступним словесним описом: кожному дійсному значенню аргументу х ставиться у відповідність його подвоєне значення.Ось так! Правило встановлено, функцію встановлено.

Більше того, словесно можна задати функцію, яку формулою задати вкрай скрутно, а то й неможливо. Наприклад: кожному значенню натурального аргументу х ставиться у відповідність сума цифр, у тому числі складається значення х.Наприклад, якщо х=3,то у=3.Якщо х = 257,то у = 2 +5 +7 = 14.І так далі. Формулою це записати проблематично. А ось табличку легко скласти. І графік збудувати. До речі, графік кумедний виходить...) Спробуйте.

Спосіб словесного опису – спосіб досить екзотичний. Але іноді трапляється. Тут же я його привів, щоб надати вам впевненості у несподіваних та нестандартних ситуаціях. Потрібно просто розуміти зміст слів "функція задана..."Ось він, цей сенс:

Якщо є закон однозначної відповідності між хі у- Отже, є функція. Який закон, у якій формі він виражений – формулою, табличкою, графіком, словами, піснями, танцями – суті справи не змінює. Цей закон дозволяє за значенням ікса визначити відповідне значення гравця. Всі.

Зараз ми застосуємо ці глибокі знання до деяких нестандартних завдань.) Як і обіцяно на початку уроку.

Завдання 1:

Функція у = f(x) задана Таблицею 1:

Таблиця 1.

Знайти значення функції p (4), якщо p (x) = f (x) - g (x)

Якщо ви взагалі не можете зрозуміти що до чого - прочитайте попередній урок "Що таке функція?" Там про такі літери і дужки дуже зрозуміло написано.) А якщо вас бентежить тільки таблічна форма, то знаємося тут.

З попереднього уроку ясно, що, якщо, p(х) = f(x) - g(x), то p(4) = f(4) - g(4). Літери fі gозначають правила, за якими кожному іксу ставиться у відповідність свій гравець. Для кожної літери ( fі g) - своєправило. Який поставлений відповідною таблицею.

Значення функції f(4)визначаємо по Таблиці 1. Це буде 5. Значення функції g(4)визначаємо по Таблиці 2. Це буде 8. Залишається найважче.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Це правильна відповідь.

Розв'язати нерівність f(x) > 2

Ось раз! Треба вирішити нерівність, яка (у звичній формі) блискуче відсутня! Залишається або кидати завдання, або увімкнути голову. Вибираємо друге і розмірковуємо.)

Що означає вирішити нерівність? Це означає, знайти всі значення ікса, за яких виконується дана нам умова f(x) > 2. Тобто. всі значення функції ( у) повинні бути більше двійки. А у нас на графіці ігор кожен є... І більше двійки є, і менше... А давайте, для наочності, по цій двійці кордон проведемо! Наводимо курсор на малюнок і бачимо цей кордон.

Строго кажучи, цей кордон є графіком фукції. у=2,але це не має значення. Важливо те, що зараз на графіку добре видно, де, за яких іксів,значення функції, тобто. у, більше двійки.Вони більше за х > 3. При х > 3 вся наша функція проходить вищеМежі у=2.Ось і все рішення. Але вимикати голову ще рано!) Треба ще відповідь записати...

На графіці видно, що наша функція не простягається ліворуч і праворуч на нескінченність. Про це крапки на кінцях графіка говорять. Закінчується там функція. Отже, у нашій нерівності всі ікси, які йдуть межі функції сенсу немає. Для функції цих іксів не існує.А ми взагалі нерівність для функції вирішуємо...

Правильна відповідь буде:

3 < х ≤ 6

Або, в іншій формі:

х ∈ (3; 6]

Тепер все як треба. Трійка не входить у відповідь, т.к. вихідне нерівність суворе. А шістка включається, т.к. і функція при шістці існує, і умова нерівності виконується. Ми успішно вирішили нерівність, якої (у звичній формі) немає...

Ось так деякі знання та елементарна логіка рятують у нестандартних випадках.)

Функція та способи її завдання.

Задати функцію означає встановити правило (закон), за допомогою якого за даними значення незалежної змінної слід знаходити відповідні значення функції. Розглянемо деякі методи завдання функцій.

Табличний метод. Досить поширений, полягає у завданні таблиці окремих значень аргументу та відповідних їм значень функції. Такий спосіб завдання функції застосовується в тому випадку, коли область визначення функції є кінцевим кінцевим безліччю.

При табличному способі завдання функції можна приблизно обчислити значення функції, що не містяться в таблиці, відповідні проміжним значенням аргументу. Для цього використовують спосіб інтерполяції.

Переваги табличного способу завдання функції полягають у тому, що дає можливість визначити ті чи інші конкретні значення відразу, без додаткових вимірів чи обчислень. Проте, у деяких випадках таблиця визначає функцію в повному обсязі, лише для деяких значень аргументу і дає наочного зображення характеру зміни функції залежно від зміни аргументу.

Графічний метод. Графіком функції y = f(x) називається множина всіх точок площини, координати яких задовольняють даному рівнянню.

Графічний спосіб завдання функції який завжди дає можливість точно визначити чисельні значення аргументу. Однак він має велику перевагу перед іншими способами – наочність. У техніці та фізиці часто користуються графічним способом завдання функції, причому графік буває єдино доступним для цього способом.

Щоб графічне завдання функції було цілком коректним з математичної точки зору, необхідно вказувати точну геометричну конструкцію графіка, яка найчастіше задається рівнянням. Це призводить до наступного способу завдання функції.

Аналітичний метод. Найчастіше закон, що встановлює зв'язок між аргументом та функцією, задається за допомогою формул. Такий спосіб завдання функції називається аналітичним.

Цей спосіб дає можливість за кожним чисельним значенням аргументу x знайти відповідне йому чисельне значення функції y точно або з деякою точністю.

Якщо залежність між x та y задана формулою, дозволеної щодо y, тобто. має вигляд y = f(x), то кажуть, що функція від x задана у явному вигляді.

Якщо значення x і y пов'язані деяким рівнянням виду F(x,y) = 0, тобто. формула не дозволяється щодо y, що кажуть, що функція y = f(x) задана неявно.

Функція може бути визначена різними формулами на різних ділянках свого завдання.

Аналітичний спосіб є найпоширенішим способом завдання функцій. Компактність, лаконічність, можливість обчислення значення функції при довільному значенні аргументу з області визначення, можливість застосування цієї функції апарату математичного аналізу - основні переваги аналітичного способу завдання функції. До недоліків можна віднести відсутність наочності, що компенсується можливістю побудови графіка та необхідність виконання іноді дуже громіздких обчислень.

Словесний метод. Цей спосіб у тому, що функціональна залежність виражається словами.

Приклад 1: функція E(x) – ціла частина числа x. Взагалі через E(x) = [x] позначають найбільше цілих чисел, яке перевищує x. Іншими словами, якщо x = r + q, де r – ціле число (може бути і негативним) і q належить інтервалу = r. Функція E(x) = [x] стала на проміжку = r.

Приклад 2: функція y = (x) - дрібна частина числа. Точніше y = (x) = x - [x], де [x] - ціла частина числа x. Ця функція визначена всім x. Якщо x - довільне число, то представивши його у вигляді x = r + q (r = [x]), де r - ціле число і q лежить в інтервалі = m ~ \ forall (x \ in. Однак, і це важливо підкреслити , до їхнього числа з розвитком наших відомостей з аналізу приєднуватимуться й інші операції, насамперед - граничний перехід, з яким читач вже знайомий з глави I.

Таким чином, повний зміст терміна "аналітичний вираз" або "формула" буде розкриватися лише поступово.

2° Друге зауваження стосується області визначення функції аналітичним виразом або формулою.

Кожен аналітичний вираз, що містить аргумент х, має, так би мовити, природну сферу застосування: це безліч усіх тих значень х, для яких воно зберігає сенс, тобто має цілком певне, кінцеве, речове значення. Пояснимо це на найпростіших прикладах.

Так, для вираження такою областю буде вся безліч речових чисел. Для вираження ця область зведеться до замкнутого проміжку за межами якого значення його перестає бути речовим. Навпаки, виразу доведеться в якості природної області застосування віднести відкритий проміжок бо на кінцях його знаменник звертається в 0. Іноді область значень, для яких вираз зберігає сенс, складається з розрізнених проміжків: для цього будуть проміжки - проміжки і т.д.

Як останній приклад розглянемо суму нескінченної геометричної прогресії

Якщо те, як ми знаємо, ця межа існує і має значення. При межу або дорівнює або не існує. Таким чином, для наведеного аналітичного виразу природною сферою застосування буде відкритий проміжок

У наступному викладі нам доведеться розглядати як складніші, так і більш загальні аналітичні висловлювання, і ми не раз займатимемося дослідженням властивостей функцій, що задаються подібним виразом у всій області, де воно зберігає сенс, тобто вивчення самого аналітичного апарату.

Проте можливе й інший стан речей, потім ми вважаємо за потрібне заздалегідь звернути увагу читача. Уявімо, що будь-яке конкретне питання, в якому змінна х по суті справи обмежена областю зміни X, призвело до розгляду функції, що допускає аналітичний вираз. Хоча може статися, що це вираз має сенс і поза області X, виходити за її межі, зрозуміло, все ж таки не можна. Тут аналітичний вираз відіграє підлеглу, допоміжну роль.

Наприклад, якщо, досліджуючи вільне падіння важкої точки з висоти над поверхнею землі, ми вдамося до формули

То безглуздо було б розглядати негативні значення t або значення більші, ніж бо, як легко бачити, коли точка вже впаде на землю. І це незважаючи на те, що саме вираз - зберігає сенс для всіх речових.

3° Може статися, що функція визначається не однієї й тієї формулою всім значень аргументу, але з одних - однією формулою, а інших - інший. Прикладом такої функції у проміжку може бути функція, яка визначається наступними трьома формулами:

і, нарешті, якщо .

Згадаємо ще про функцію Діріхле (P. G. Lejeune-Dinchlet), яка визначається так:

Нарешті, разом із Кронекером (L. Kroneckcf) розглянемо функцію, яку він назвав «сигнум і позначив через

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.