Якою формулою виражається площа бічної поверхні циліндра. Циліндр, площа циліндра

Циліндр (походить з грецької мови, від слів "ковзанка", "валик") - це геометричне тіло, яке обмежене зовні поверхнею, що називається циліндричною, і двома площинами. Дані площини перетинають поверхню фігури і є паралельними одна одній.

Циліндрична поверхня – це поверхня, яка отримана прямою лінією в просторі. Ці рухи такі, що виділена точка цієї прямої лінії здійснює рух вздовж кривої плоского типу. Така пряма лінія називається твірною, а крива лінія - спрямовуючою.

Циліндр складається з пари основ та бічної циліндричної поверхні. Циліндри бувають декількох видів:

1. Круговий, прямий циліндр. У такого циліндра основи і направляюча перпендикулярні до утворюючої лінії, і є

2. Похилий циліндр. У нього кут між твірною лінією і основою не є прямим.

3. Циліндр іншої форми. Гіперболічний, еліптичний, параболічний та інші.

Площа циліндра, а також площа повної поверхні будь-якого циліндра знаходиться за допомогою складання площ основ цієї фігури та площі бічної поверхні.

Формула, за якою обчислюється повна площа циліндра для кругового, прямого циліндра:

Sp = 2п Rh + 2п R2 = 2п R (h + R).

Площа бічної поверхні шукається трохи складніше, ніж площа циліндра цілком, вона обчислюється шляхом множення довжини утворюючої лінії на периметр перерізу, утвореного площиною, яка перпендикулярна до утворюючої лінії.

Ця циліндра для кругового, прямого циліндра дізнається по розгортці цього об'єкта.

Розгортка - це прямокутник, який має висоту h і довжину P, яка дорівнює периметру основи.

Звідси випливає, що бічна площа циліндра дорівнює площі розгортки і може бути обчислена за даною формулою:

Якщо взяти круговий, прямий циліндр, то для нього:

P = 2п R, а Sb = 2п Rh.

Якщо циліндр похилий, то площа бічної поверхні повинна дорівнювати добутку довжини його утворюючої лінії і периметра перерізу, який перпендикулярно даної утворюючої лінії.

На жаль, не існує простої формули для вираження площі бічної поверхні похилого циліндра через його висоту та параметри його основи.

Щоб обчислити циліндр, необхідно знати кілька фактів. Якщо перетин своєю площиною перетинає основи, такий переріз завжди є прямокутником. Але ці прямокутники будуть різними, залежно від положення перетину. Одна зі сторін осьового перерізу фігури, яка перпендикулярна основам, дорівнює висоті, а інша - діаметру основи циліндра. А площа такого перерізу, відповідно, дорівнює добутку однієї сторони прямокутника на іншу, перпендикулярну першій, або добутку висоти даної фігури на діаметр його основи.

Якщо перетин буде перпендикулярно основ фігури, але не проходитиме через вісь обертання, то площа цього перерізу дорівнюватиме добутку висоти цього циліндра і певної хорди. Щоб отримати хорду, потрібно побудувати коло біля основи циліндра, провести радіус і відкласти на ньому відстань, на якій знаходиться перетин. А від цієї точки потрібно провести перпендикуляри до радіусу від перетину з колом. Точки перетину з'єднуються із центром. А основа трикутника - це шукана якою шукається по звучить так: «Сума квадратів двох катетів дорівнює гіпотенузі, зведеній у квадрат»:

С2 = А2 + В2.

Якщо перетин не торкається основи циліндра, а сам циліндр круговий і прямий, то площа цього перерізу знаходиться як площа кола.

Площа кола дорівнює:

S окр. = 2п R2.

Щоб знайти R, потрібно її довжину C розділити на 2п:

R = C \ 2п, де п - число пі, математична постійна, обчислена для роботи з даними кола та дорівнює 3,14.

Як обчислити площу поверхні циліндра – тема цієї статті. У будь-якій математичній задачі почати потрібно з введення даних, визначити, що відомо і чим оперувати надалі, і потім розпочати безпосередньо розрахунку.

Дане об'ємне тіло є геометричною фігурою циліндричної форми, обмеженою зверху і знизу двома паралельними площинами. Якщо докласти трохи уяви, можна помітити, що геометричне тіло утворюється обертанням прямокутника навколо осі, причому віссю одна із його сторін.

Звідси випливає, що крива зверху і знизу циліндра, що описується, буде колом, основним показником якого є радіус або діаметр.

Площа поверхні циліндра - онлайн калькулятор.

Дана функція остаточно полегшує процес розрахунку, і все зводиться лише автоматичному підставленню заданих значень висоти та радіусу (діаметра) основи фігури. Єдине, що потрібно - точно визначити дані та не помилитися під час введення цифр.

Площа бічної поверхні циліндра

Спочатку потрібно уявити, як виглядає розгортка у двомірному просторі.

Це не що інше, як прямокутник, одна сторона якого дорівнює довжині кола. Формула її відома з давніх-давен - 2π *r, де r- Радіус кола. Інша сторона прямокутника дорівнює висоті h. Знайти шукане не складе труднощів.

Sбік= 2π *r * h,

де число π = 3.14.

Площа повної поверхні циліндра

Для знаходження повної площі циліндра потрібно отримати S бікдодати площі двох кіл, верху та низу циліндра, які вважаються за формулою S про =2π * r 2 .

Кінцева формула виглядає так:

Sпідлога= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Площа циліндра – формула через діаметр

Для полегшення розрахунків іноді потрібно зробити обчислення через діаметр. Наприклад, є шматок порожнистої труби відомого діаметра.

Не обтяжуючи себе зайвими розрахунками, маємо готову формулу. На допомогу приходить алгебра за 5 клас.

Sпідлога = 2π*r 2 + 2 π*r*h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d * h,

Замість rна повну формулу потрібно вставити значення r =d/2.

Приклади розрахунку площі циліндра

Озброївшись знаннями, приступаємо до практики.

приклад 1. Потрібно обчислити площу зрізаного шматка труби, тобто циліндра.

Маємо r = 24 мм, h = 100 мм. Використовувати необхідно формулу через радіус:

S підлога = 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (мм 2).

Перекладаємо у звичні м2 і отримуємо 0,01868928, приблизно 0.02 м2.

приклад 2. Потрібно дізнатися площу внутрішньої поверхні пічної азбестової труби, стінки якої облицьовані вогнетривкою цеглою.

Дані такі: діаметр 0,2 м; висота 2 м. Використовуємо формулу через діаметр:

S підлога = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3,14 * 0.2 * 2 = 0,0628 + 1.256 = 1.3188 м 2 .

приклад 3. Як дізнатися, скільки матеріалу потрібно для пошиття мішка, r = 1 м і висотою 1 м.

Один момент є формула:

S бік = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 м 2 .

Висновок

Наприкінці статті назріло питання: а чи так необхідні всі ці обчислення та переведення одних значень до інших. Навіщо все це потрібне і найголовніше, для кого? Але не варто нехтувати і забувати прості формули із середньої школи.

Світ стояв і стоятиме на елементарних знаннях з математики, в тому числі. І, приступаючи до якоїсь важливої ​​роботи, ніколи не зайве освіжити в пам'яті дані викладки, застосувавши їх на практиці з великим ефектом. Точність – ввічливість королів.

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутника, основа якого дорівнює 2π r, а висота дорівнює висоті циліндра h, Т. е. 2π rh.

Повна поверхня циліндра становитиме: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа розгорткийого бічній поверхні.

Тому площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює площі відповідного прямокутника (рис.) і обчислюється за формулою

S б.ц. = 2πRH, (1)

Якщо до площі бічної поверхні циліндра додати площі двох його основ, то отримаємо площу повної поверхні циліндра

S повн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Об'єм прямого циліндра

де Q – площа основи, а Н – висота циліндра.

Так як площа основи циліндра дорівнює Q, то існують послідовності описаних та вписаних багатокутників з площами Q nта Q’ nтаких, що

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.

Побудуємо послідовності призм, основами яких є розглянуті вище описані та вписані багатокутники, а бічні ребра паралельні утворює даного циліндра і мають довжину H. Ці призми є описаними та вписаними для даного циліндра. Їхні обсяги знаходяться за формулами

V n= Q n H та V’ n= Q’ n H.

Отже,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.

Слідство.
Об'єм прямого кругового циліндра обчислюється за формулою

V = π R 2 H

де R – радіус основи, а H – висота циліндра.

Так як основа кругового циліндра є коло радіусу R, то Q = π R 2 і тому

Є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею.

Циліндр складається з бічної поверхні та двох підстав. Формула площі поверхні циліндра включає окремий розрахунок площі підстав і бічної поверхні. Так як основи в циліндрі рівні, то повна його площа розраховуватиметься за формулою:

Приклад розрахунку площі циліндра ми розглянемо після того, як дізнаємося про всі необхідні формули. Для початку нам знадобиться формула площі основи циліндра. Оскільки основою циліндра є коло, то нам потрібно буде застосувати :
Ми пам'ятаємо, що у цих розрахунках використовується постійне число Π = 3,1415926, яке розраховане як співвідношення довжини кола до його діаметра. Це є математичною константою. Приклад розрахунку площі основи циліндра ми також розглянемо трохи згодом.

Площа бічної поверхні циліндра

Формула площі бічної поверхні циліндра є твір довжини основи на його висоту:

А тепер розглянемо завдання, в якому нам потрібно буде розрахувати повну площу циліндра. У заданій фігурі висота h = 4 см, r = 2 см. Знайдемо повну площу циліндра.
Для початку розрахуємо площу підстав:
Тепер розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні циліндра. У розгорнутому вигляді вона є прямокутником. Його площа розраховується за наведеною вище формулою. Підставимо до неї всі дані:
Повна площа кола являє собою суму подвійної площі основи та бічний:

Таким чином, використовуючи формули площі основ та бічної поверхні фігури, ми змогли знайти повну площу поверхні циліндра.
Осьовий переріз циліндра є прямокутником, в якому сторони рівні висоті і діаметру циліндра.

Формула площі осьового перерізу циліндра виводиться з формули розрахунку:

Знайдіть площу осьового перерізу, перпендикулярного основам циліндра. Одна зі сторін цього прямокутника дорівнює висоті циліндра, друга - діаметру кола основи. Відповідно, площа перерізу в цьому випадку дорівнюватиме добутку сторін прямокутника. S = 2R * h, де S - площа перерізу, R - радіус кола основи, заданий умовами задачі, а h - висота циліндра, також задана умовами задачі.

Якщо перетин перпендикулярно основам, але при цьому не проходить через вісь обертання, прямокутника не дорівнюватиме діаметру кола. Її треба вирахувати. Для цього завдання має бути сказано, на якій відстані від осі обертання проходить площина перерізу. Для зручності обчислень побудуйте коло основи циліндра, проведіть радіус і відкладіть на ньому відстань, на якій від центру кола знаходиться перетин. Від цієї точки проведіть до перпендикуляра до їхнього перетину з колом. З'єднайте точки перетину із центром. Вам потрібно знайти хорди. Знайдіть розмір половини хорди за теоремою Піфагора. Він дорівнюватиме квадратному кореню з різниці квадратів радіусу кола від центру до лінії перерізу. a2 = R2-b2. Вся хорда буде відповідно дорівнює 2а. Обчисліть площу перерізу, яка дорівнює добутку сторін прямокутника, тобто S = 2a * h.

Циліндр можна розсікти, що не проходить через площину основи. Якщо поперечний переріз проходить перпендикулярно осі обертання, воно буде коло. Площа його в цьому випадку дорівнює площі основ, тобто обчислюється за формулою S = R2.

Корисна порада

Щоб точніше уявити перетин, зробіть креслення та додаткові побудови до нього.

Джерела:

• переріз циліндра площа

Лінія перетину поверхні з площиною належить одночасно поверхні та січній площині. Лінія перетину циліндричної поверхні січною площиною, паралельною прямою твірною – пряма лінія. Якщо січна площина перпендикулярна до осі поверхні обертання – у перерізі буде коло. У загальному випадку лінія перетину циліндричної поверхні із січною площиною – крива лінія.

Вам знадобиться

• Олівець, лінійка, трикутник, лекала, циркуль, вимірювач.

Інструкція

На фронтальній площині проекцій П₂ лінія перерізу збігається з проекцією площини, що січе, Σ₂ у вигляді прямої.
Позначте точки перетину циліндра, що утворюють, з проекцією Σ₂ 1₂, 2₂ і т.д. до точок 10₂ та 11₂.

На площині П₁ – це коло. Зазначені на площині перерізу Σ₂ точки 1₂ , 2₂ і т.д. за допомогою лінії проекційного зв'язку спроектуються на нарисі цього кола. Позначте їх горизонтальні проекції симетрично щодо горизонтальної осі кола.

Отже, проекції шуканого перерізу визначено: на площині П₂ – пряма (точки 1₂, 2₂…10₂); на площині П₁ – коло (точки 1₁, 2₁…10₁).

По двох побудуйте натуральну величину перерізу даного циліндра площиною, що фронтально-проектує, Σ. Для цього використовуйте метод проекцій.

Проведіть площину П₄ паралельно до проекції площини Σ₂. На цій новій осі x₂₄ позначте точку 1₀. Відстань між точками 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ і т.д. з фронтальної проекції перерізу відкладіть на осі x₂₄, проведіть тонкі лінії проекційного зв'язку перпендикулярно до осі x₂₄.

У цьому способі площиною П₄ замінюється площина П₁, тому з горизонтальної проекції розміри від осі до точок перенесіть на вісь площини П₄.

Наприклад, на П₁ для точок 2 і 3 це буде відстань від 2₁ і 3₁ до осі (точка А) і т.д.

Відклавши з горизонтальної проекції зазначені відстані, отримайте точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Потім для більшої точності побудови визначаються інші проміжні точки.

З'єднавши лекальною кривою всі точки, отримайте натуральну величину перерізу циліндра, що шукає фронтально-проектуючою площиною.

Джерела:

• як замінити площину

Порада 3: Як знайти площу осьового перерізу зрізаного конуса

Щоб вирішити це завдання, необхідно згадати, що таке усічений конус і які властивості він має. Обов'язково зробіть креслення. Це дозволить визначити, яку геометричну фігуру є переріз . Цілком можливо, що після цього розв'язання задачі вже не представлятиме вам складності.

Інструкція

Круглий конус – тіло, отримане шляхом обертання трикутника навколо одного з його катетів. Прямі, що виходять із вершини конусаі перетинають його основу, називаються утворюючими. Якщо всі утворюють рівні, конус є прямим. В основі круглого конусалежить коло. Перпендикуляр, опущений на основу з вершини, є висотою конуса. У круглого прямого конусависота збігається з його віссю. Вісь – це пряма, що з'єднує з центром основи. Якщо горизонтальна січна площина кругового конуса, то його верхня основа є коло.

Оскільки в умові завдання не обумовлено, саме конус дається в даному випадку, можна зробити висновок, що це прямий усічений конус, горизонтальний переріз якого паралельно до основи. Його осьовий перетин, тобто. вертикальна площина, яка через вісь круглого конуса, являє собою рівнобічну трапецію Усі осьові перерізукруглого прямого конусарівні між собою. Отже, щоб знайти площаосьового перерізу, потрібно знайти площатрапеції, основами якої діаметри основ усіченого конуса, А бічні сторони - його утворюють. Висота усіченого конусає одночасно заввишки трапеції.

Площа трапеції визначається за формулою: S = ½(a+b) h, де S – площатрапеції; a – величина нижньої основи трапеції; b – величина її верхньої основи; h – висота трапеції.

Оскільки в умові не обумовлено, які саме дані, можна визначити, що діаметри обох підстав усіченого конусавідомі: AD = d1 – діаметр нижньої основи усіченого конуса;BC = d2 – діаметр його верхньої основи; EH = h1 – висота конуса.Таким чином, площаосьового перерізуусіченого конусавизначається: S1 = ½ (d1+d2) h1

Джерела:

• площа зрізаного конуса

Циліндр є просторовою фігурою і складається з двох рівних основ, які являють собою кола та бічній поверхні, що з'єднує лінії, що обмежують основи. Щоб обчислити площа циліндра, знайдіть площі всіх поверхонь і складіть їх.