Калькулятор трапеції. Спецприйоми репетитора з математики

Існує безліч способів знайти площу трапеції. Зазвичай репетитор з математики володіє кількома прийомами її обчислення, зупинимося на них.
1) де AD і BC основи, а BH-висота трапеції. Доказ: проведемо діагональ BD і виразимо площі трикутників ABD і CDB через напіввитвор їх підстав на висоту:

, де DP - зовнішня висота в

Складемо почленно ці рівності та враховуючи, що висоти BH та DP рівні, отримаємо:

Винесемо за дужку

Що й потрібно було довести.

Наслідок із формули площі трапеції:
Так як напівсума основ дорівнює MN - середньої лінії трапеції, то

2) Застосування загальної формули площі чотирикутника.
Площа чотирикутника дорівнює половині твору діагоналей, помноженої на синус кута між ними.
Для доказу достатньо розбити трапецію на 4 трикутники, висловити площу кожного через «половину твору діагоналей на синус кута між ними» (як кут береться, скласти вирази, винести за дужку і розкладаю цю дужку на множники методом угруповання отримати її рівність виразу.

3) Метод зсуву діагоналі
Це моя назва. У шкільних підручниках репетитор з математики не зустріне такого заголовка. Опис прийому можна знайти лише у додаткових навчальних посібниках як приклад вирішення якогось завдання. Зазначу, що більшість цікавих та корисних фактів планиметрії репетитори з математики відкривають учням у процесі виконання практичної роботи. Це вкрай неоптимально, бо школяру треба виділяти в окремі теореми і називати «гучними іменами». Одне з таких – «зсув діагоналі». Про що йде мова? Проведемо через вершину B пряму паралельну до АС до перетину з нижньою основою в точці E. У такому разі чотирикутник EBCA буде паралелограмом (за визначенням) і тому BC=EA та EB=AC. Нам зараз важлива перша рівність. Маємо:

Зауважимо, що трикутник BED, площа якого дорівнює площі трапеції, має ще кілька чудових властивостей:
1) Його площа дорівнює площі трапеції
2) Його рівнобедреність відбувається одночасно з рівнобедреністю самої трапеції
3) Верхній кут при вершині B дорівнює куту між діагоналями трапеції (що дуже часто використовується в задачах)
4) Його медіана BK дорівнює відстані QS між серединами основ трапеції. Із застосуванням цієї властивості я нещодавно зіткнувся під час підготовки учня на мехмат МДУ за підручником Ткачука, варіант 1973 (завдання наводиться внизу сторінки).

Спеціальні прийоми репетитора з математики.

Іноді я пропоную завдання на дуже хитрий шлях знаходження я площі трапеції. Я відношу його до спецприйомів, бо на практиці репетитор їх використовує вкрай рідко. Якщо вам потрібна підготовка до ЄДІ з математики тільки в частині B, можна про них не читати. Для решти розповідаю далі. Виявляється площа трапеції вдвічі більша за площу трикутника з вершинами в кінцях однієї бічної сторони і серединою іншої, тобто трикутника ABS на малюнку:
Доказ: проведемо висоти SM та SN у трикутниках BCS та ADS і виразимо суму площ цих трикутників:

Оскільки точка S – середина CD, то (доведіть це самі).Знайдемо суму площ трикутників:

Так як ця сума дорівнювала половині площі трапеції, то — друга її половина. Ч.т.д.

У скарбничку спецприйомів репетитора я відніс форму обчислення площі рівнобедреної трапеції по її сторонах: де p - напівпериметр трапеції. Доказ я наводити не буду. Інакше ваш репетитор з математики залишиться без роботи:). Приходьте на заняття!

Завдання на площу трапеції:

Зауваження репетитора з математики: Нижченаведений список не є методичним супроводом до теми, це лише невелика добірка цікавих завдань на вищезазначені прийоми.

1) Нижня основа рівнобедреної трапеції дорівнює 13, а верхня дорівнює 5. Знайдіть площу трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна бічній стороні.
2) Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 2см і 5см, а бічні сторони 2см і 3см.
3) У рівнобокій трапеції більша основа дорівнює 11, бічна сторона дорівнює 5, а діагональ дорівнює Знайти площу трапеції.
4) Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює 5, а середня лінія дорівнює 4. Знайти площу.
5) У рівнобедреній трапеції основи дорівнюють 12 і 20, а діагоналі взаємно перпендикулярні. Обчислити площу трапеції
6) Діагональ рівнобічної трапеції складає з її нижньою основою кут. Знайти площу трапеції, якщо її висота дорівнює 6см.
7) Площа трапеції дорівнює 20, а одна з її бічних сторін дорівнює 4 см. Знайдіть відстань до неї від середини протилежної бічної сторони.
8) Діагональ рівнобічної трапеції ділить її на трикутники з площами 6 та 14. Знайти висоту, якщо бічна сторона дорівнює 4.
9) У трапеції діагоналі дорівнюють 3 і 5, а відрізок, що з'єднує середини основ дорівнює 2. Знайти площу трапеції (Мехмат МДУ, 1970р).

Я вибирав не найскладніші завдання (не варто лякатися мехмата!) з розрахунком на можливість самостійного їх вирішення. Вирішуйте на здоров'я! Якщо вам потрібна підготовка до ЄДІ з математики, то без участі у цьому формули площі трапеції можуть виникнути серйозні проблеми навіть із завданням B6 і тим більше з C4. Не запускайте тему та у разі будь-яких труднощів звертайтеся за допомогою. Репетитор з математики завжди радий вам допомогти.

Ковпаков О.М.
Репетитор з математики у Москві, підготовка до ЄДІ у Строгіному.

Цей калькулятор розрахував 2192 завдання на тему "Площа трапеції"

ПЛОЩА ТРАПЕЦІЇ

Виберіть формулу обчислення площі трапеції, яку Ви плануєте застосувати для вирішення поставленої перед Вами задачі:

Загальна теорія обчислення площі трапеції.

Трапеція - це плоска фігура, що складається з чотирьох точок, три з яких не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків (сторон), що попарно з'єднують ці чотири точки, у якої дві протилежні сторони паралельні (лежать на паралельних прямих), а дві інші не паралельні.

Крапки називаються вершинами трапеції і позначаються великими латинськими літерами.

Відрізки називаються сторонами трапеції і позначаються парою великих латинських букв відповідно до вершин, які відрізки з'єднують.

Дві паралельні сторони трапеції називаються основами трапеції .

Дві не паралельні сторони трапеції називаються бічними сторонами трапеції .

Малюнок №1: Трапеція ABCD

На малюнку №1 представлена ​​трапеція ABCD з вершинами A, B, C, D та сторонами AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - основи трапеції ABCD.

AD, BC – бічні сторони трапеції ABCD.

Кут, утворений променями AB і AD, називається кутом при вершині A. Позначається він як ÐA або ÐBAD, або ÐDAB.

Кут, утворений променями BA і BC, називається кутом при вершині B. Позначається він як B або BBC, або CBA.

Кут, утворений променями CB і CD, називається кутом при вершині C. Позначається він як ?C або ?DCB, або ?BCD.

Кут, утворений променями AD і CD, називається кутом при вершині D. Позначається він як D або DAC, або CDA.

Малюнок №2: Трапеція ABCD

На малюнку №2 відрізок MN, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньої лінії трапеції.

Середня лінія трапеціїпаралельна основам і дорівнює їх напівсумі. Тобто, .

Малюнок №3: Рівностегнова трапеція ABCD

На малюнку №3, AD=BC.

Трапеція називається рівностегновий (рівнобокий)якщо її бічні сторони рівні.

Малюнок №4: Прямокутна трапеція ABCD

На малюнку №4 кут D - прямий (рівний 90 о).

Трапеція називається прямокутної,якщо кут при бічній стороні прямий.

Площею S плоскоюфігури, до яких належить і трапеція, називається обмежений замкнутий простір на площині. Площа плоскої постаті показує величину цієї постаті.

Площа має кілька властивостей:

1. Вона може бути негативною.

2. Якщо дана деяка замкнута область на площині, яка складена з декількох фігур, що не перетинаються одна з одною (тобто, фігури не мають загальних внутрішніх точок, але можуть стосуватися одна одної), то площа такої області дорівнює сумі площ складових її фігур .

3. Якщо дві фігури рівні, то й площі їх рівні.

4. Площа квадрата, який побудований на одиничному відрізку, дорівнює одиниці.

За одиницю вимірювання площіприймають площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці вимірюваннявідрізків.

При розв'язанні задач часто використовуються такі формули обчислення площі трапеції:

1. Площа трапеції дорівнює напівсумі її основ помноженої на висоту:

2. Площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту:

3. При відомих довжинах основ та бічних сторін трапеції її площу можна обчислити за формулою:

4. Можливо обчислити площу рівнобедреної трапеції при відомій довжині радіусу вписаного в трапецію кола та відомому значенні кута при підставі за наступною формулою:

Приклад 1:Обчислити площу трапеції з основами a=7, b=3 та висотою h=15.

Рішення:

Відповідь:

Приклад 2:Знайти бік основи трапеції з площею S=35 см 2 , висотою h=7см і другою основою b = 2 см.

Рішення:

Для знаходження сторони підстави трапеції скористаємося формулою обчислення площі:

Виразимо з цієї формули бік основи трапеції:

Таким чином, маємо таке:

Відповідь:

Приклад 3:Знайти висоту трапеції з площею S=17 см 2 та основами a=30 см, b = 4 см.

Рішення:

Для знаходження висоти трапеції скористаємося формулою обчислення площі:

Таким чином, маємо таке:

Відповідь:

Приклад 4:Обчислити площу трапеції з висотою h=24 та середньою лінією m=5.

Рішення:

Для знаходження площі трапеції скористаємося такою формулою обчислення площі:

Таким чином, маємо таке:

Відповідь:

Приклад 5:Знайти висоту трапеції з площею S = 48 см 2 та середньою лінією m = 6 см.

Рішення:

Для знаходження висоти трапеції скористаємося формулою обчислення площі трапеції:

Виразимо з цієї формули висоту трапеції:

Таким чином, маємо таке:

Відповідь:

Приклад 6:Знайти середню лінію трапеції із площею S = 56 і заввишки h=4.

Рішення:

Для знаходження середньої лінії трапеції скористаємося формулою обчислення площі трапеції:

Виразимо з цієї формули середню лінію трапеції:

Отже, маємо таке.

Практика минулорічних ЄДІ та ДПА показує, що завдання з геометрії викликають складності у багатьох школярів. Ви легко впораєтеся з ними, якщо завчите всі потрібні формули та попрактикуєтеся у вирішенні завдань.

У цій статті ви побачите формули знаходження площі трапеції, а також приклади завдань із рішеннями. Такі ж можуть потрапити вам у КІМах на атестаційних іспитах або на олімпіадах. Тому поставтеся до них уважно.

Що потрібно знати про трапецію?

Для початку пригадаємо, що трапецієюназивається чотирикутник, у якого дві протилежні сторони, їх ще називають основами, паралельні, а дві інші – ні.

У трапеції також може бути опущена висота (перпендикуляр до основи). Проведена середня лінія – це пряма, яка паралельна основам і дорівнює половині їх суми. А також діагоналі, які можуть перетинатися, утворюючи гострі та тупі кути. Або, в окремих випадках, під прямим кутом. Крім того, якщо трапеція рівнобедрена, до неї можна вписати коло. І описати коло біля неї.

Формули площі трапеції

Спочатку розглянемо стандартні формули знаходження площі трапеції. Способи обчислити площу рівнобедреної та криволінійної трапецій розглянемо нижче.

Отже, уявіть, що у вас є трапеція з основами a та b, в якій до більшої основи опущена висота h. Обчислити площу фігури у разі простіше простого. Треба лише розділити на дві суму довжин підстав і помножити те, що вийде, на висоту: S = 1/2(a + b)*h.

Візьмемо інший випадок: припустимо, у трапеції, крім висоти, проведено середню лінію m. Нам відома формула знаходження довжини середньої лінії: m = 1/2 (a + b). Тому з повним правом можемо спростити формулу площі трапеції до такого: S = m * h. Іншими словами, щоб знайти площу трапеції, треба помножити середню лінію на висоту.

Розглянемо ще один варіант: у трапеції проведені діагоналі d 1 і d 2 які перетинаються не під прямим кутом α. Щоб обчислити площу такої трапеції, вам потрібно розділити на два твори діагоналей і помножити те, що вийде, на sin кута між ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Тепер розглянемо формулу для знаходження площі трапеції, якщо про неї невідомо нічого, крім довжин її сторін: a, b, c і d. Це громіздка і складна формула, але вам буде корисно запам'ятати про всяк випадок її: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

До речі, наведені вище приклади вірні і для того випадку, коли вам знадобиться формула площі прямокутної трапеції. Ця трапеція, бічна сторона якої примикає до основ під прямим кутом.

Рівностегнова трапеція

Трапеція, бічні сторони якої рівні, називається рівнобедреною. Ми розглянемо кілька варіантів формули площі рівнобедреної трапеції.

Перший варіант: для випадку, коли всередину рівнобедреної трапеції вписано коло з радіусом r, а бічна сторона та більша основа утворюють гострий кут α. Коло може бути вписано в трапецію за умови, що сума довжин її основ дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Площа рівнобедреної трапеції обчислюється так: помножте квадрат радіусу вписаного кола на чотири і розділіть все це на sinα: S = 4r 2 /sinα. Ще одна формула площі є окремим випадком для того варіанту, коли кут між великою основою і бічною стороною дорівнює 30 0: S = 8r 2.

Другий варіант: цього разу візьмемо рівнобедрену трапецію, в якій також проведено діагоналі d 1 і d 2 , а також висота h. Якщо діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, висота становить половину суми основ: h = 1/2(a + b). Знаючи це, легко перетворити вже знайому вам формулу площі трапеції на такий вигляд: S = h 2.

Формула площі криволінійної трапеції

Почнемо із того, що розберемося: що таке криволінійна трапеція. Уявіть собі вісь координат та графік безперервної та невід'ємної функції f, яка не змінює знака в межах заданого відрізка на осі x. Криволінійну трапецію утворюють графік функції у = f(x) – угорі, вісь х – внизу (відрізок), а з боків – прямі, проведені між точками a та b та графіком функції.

Обчислити площу такої нестандартної фігури не можна наведеними вище способами. Тут необхідно застосувати математичний аналіз і використовувати інтеграл. А саме: формулу Ньютона-Лейбніца S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). У цій формулі F – первісна наша функція на вибраному відрізку . І площа криволінійної трапеції відповідає прирощенню первісної на заданому відрізку.

Приклади завдань

Щоб усі ці формули краще вщухли в голові, ось вам кілька прикладів завдань на знаходження площі трапеції. Найкраще буде, якщо ви спершу спробуєте вирішити завдання самі, і тільки потім звірите отриману відповідь із готовим рішенням.

Завдання №1:Дано трапецію. Її більша основа – 11 см, менша – 4см. У трапеції проведено діагоналі, одна довжиною 12 см, друга – 9 см.

Рішення: Побудуйте трапецію АМРС. Проведіть пряму РХ через вершину Р так, щоб вона виявилася паралельною діагоналі МС і перетнула пряму АС у точці Х. Вийде трикутник АРХ.

Ми розглянемо дві отримані внаслідок цих маніпуляцій фігури: трикутник АРХ і паралелограм СМРХ.

Завдяки паралелограму ми дізнаємося, що РХ = МС = 12 см та СХ = МР = 4см. Звідки можемо обчислити бік АХ трикутника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Ми можемо довести, що трикутник АРХ – прямокутний (для цього застосуйте теорему Піфагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). І вирахувати його площу: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 см 2 .

Далі вам знадобиться довести, що трикутники АМР і РСХ є рівновеликими. Підставою послужить рівність сторін МР та СГ (вже доведене вище). А також висоти, які ви опустите на ці сторони, – вони рівні висоті трапеції АМРС.

Все це дозволить вам стверджувати, що SAMPC = SAPX = 54 см 2 .

Завдання №2:Дано трапецію КРМС. На її бокових сторонах розташовані точки О та Е, при цьому ОЕ та КС паралельні. Також відомо, що площі трапецій ОРМЕ та ОКСЄ знаходяться у співвідношенні 1:5. РМ = а та КС = b. Потрібно знайти ОЕ.

Рішення: Проведіть через точку М пряму, паралельну РК, і точку її перетину з ОЕ позначте Т. А – точка перетину прямої, проведеної через точку Е паралельно РК, з основою КС.

Введемо ще одне позначення - ОЕ = х. А також висоту h1 для трикутника ТМЕ та висоту h2 для трикутника АЕС (ви можете самостійно довести подібність цих трикутників).

Вважатимемо, що b > а. Площі трапецій ОРМЕ та ОКСЄ відносяться як 1:5, що дає нам право скласти таке рівняння: (х + а) * h 1 = 1/5 (b + х) * h 2 . Перетворимо та отримаємо: h 1 /h 2 = 1/5 * ((b + х) / (х + а)).

Якщо трикутники ТМЕ і АЕС подібні, маємо h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Об'єднаємо обидва записи і отримаємо: (х - а) / (b - х) = 1/5 * ((b + х) / (х + а)) ↔ 5 (х - а) (х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Отже, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Висновок

Геометрія не найлегша з наук, але ви, напевно, зможете впоратися з екзаменаційними завданнями. Достатньо виявити трохи посидючості при підготовці. І, звісно, ​​запам'ятати усі потрібні формули.

Ми постаралися зібрати в одному місці всі формули обчислення площі трапеції, щоб ви могли скористатися ними, коли готуватиметеся до іспитів і повторюватимете матеріал.

Обов'язково розкажіть про цю статтю однокласникам та друзям у соціальних мережах. Нехай хороших оцінок за ЄДІ та ДПА буде більше!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Для того, щоб почуватися на уроках геометрії впевнено та успішно вирішувати завдання, недостатньо вивчити формули. Їх треба насамперед розуміти. Боятися, а тим більше ненавидіти формули – непродуктивно. У цій статті доступною мовою буде проаналізовано різні способи пошуку площі трапеції. Для кращого засвоєння відповідних правил та теорем приділимо деяку увагу її властивостям. Це допоможе розібратися в тому, як працюють правила та в яких випадках слід застосовувати ті чи інші формули.

Визначаємо трапецію

Що це за фігура загалом? Трапецією називають багатокутник із чотирьох кутів із двома паралельними сторонами. Дві інші сторони трапеції можуть бути нахилені під різними кутами. Її паралельні сторони називають основами, а для непаралельних сторін застосовують найменування "бічні сторони" або "стегна". Такі постаті часто зустрічаються у повсякденному житті. Контури трапеції можна побачити в силуетах одягу, предметах інтер'єру, меблів, посуду та багатьох інших. Трапеція буває різних видів: різнобічна, рівнобока та прямокутна. Більш детально їх типи та властивості розберемо далі у статті.

Властивості трапеції

Зупинимося коротко на властивостях цієї постаті. Сума кутів, що прилягають до будь-якої сторони, завжди дорівнює 180°. Слід зазначити, що це кути трапеції у сумі становлять 360°. У трапеції є поняття середньої лінії. Якщо з'єднати середини бічних сторін відрізком – це буде середня лінія. Її позначають m. У середній лінії є важливі властивості: вона завжди паралельна основам (ми пам'ятаємо, що основи також паралельні між собою) і дорівнює їх напівсумі:

Це визначення обов'язково треба вивчити і зрозуміти, адже це ключ до вирішення безлічі завдань!

У трапеції завжди можна опустити висоту на основу. Висота - це перпендикуляр, що часто позначається символом h, який проведений з будь-якої точки однієї основи на іншу основу або її продовження. Середня лінія та висота допоможуть знайти площу трапеції. Подібні завдання є найпоширенішими у шкільному курсі геометрії та регулярно з'являються серед контрольних та екзаменаційних робіт.

Найпростіші формули площі трапеції

Розберемо дві найпопулярніші та найпростіші формули, за допомогою яких знаходять площу трапеції. Достатньо помножити висоту на півсуму підстав, щоб легко знайти те, що шукає:

S = h * (a + b) /2.

У цій формулі a, b позначають основи трапеції, h – висоту. Для зручності сприйняття цієї статті знаки множення позначені символом (*) у формулах, хоча у офіційних довідниках знак множення зазвичай опускають.

Розглянемо приклад.

Дано: трапеція з двома основами, рівними 10 і 14 см, висота становить 7 см. Чому дорівнює площа трапеції?

Розберемо розв'язання цього завдання. За цією формулою спочатку потрібно знайти напівсуму основ: (10+14)/2 = 12. Отже, напівсума дорівнює 12 см. Тепер напівсуму множимо на висоту: 12*7 = 84. Знайдене. Відповідь: площа трапеції дорівнює 84 кв. див.

Друга відома формула свідчить: площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту трапеції. Тобто фактично випливає із попереднього поняття середньої лінії: S = m * h.

Використання діагоналей для обчислень

Інший спосіб знаходження площі трапеції насправді не такий вже й складний. Він пов'язаний із її діагоналями. За цією формулою для знаходження площі потрібно помножити напівтвор її діагоналей (d 1 d 2) на синус кута між ними:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Розглянемо завдання, що свідчить про застосування цього способу. Дано: трапеція з довжиною діагоналей, що дорівнює відповідно 8 і 13 см. Кут a між діагоналями дорівнює 30°. Знайти площу трапеції.

Рішення. Використовуючи наведену вище формулу, легко обчислити необхідне. Як відомо, sin 30° становить 0,5. Отже, S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Відповідь: площа дорівнює 52 кв. див.

Шукаємо площу рівнобічної трапеції

Трапеція може бути рівнобокою (рівностегнової). Її бічні сторони однакові І кути при основах рівні, що добре ілюструє малюнок. Рівностегнова трапеція має такі ж властивості, що і звичайна плюс ряд особливих. Навколо рівнобічної трапеції може бути описана коло, і в неї може бути вписано коло.

Які є методики обчислення площі такої фігури? Нижченаведений спосіб вимагатиме великих обчислень. Для його застосування потрібно знати значення синуса (sin) та косинуса (cos) кута на підставі трапеції. Для їх розрахунків потрібні таблиці Брадіса або інженерний калькулятор. Ось ця формула:

S = c*sin a*(a - c*cos a),

де з- бічне стегно, a- Кут при нижній підставі.

Рівнобока трапеція має діагоналі однакової довжини. Правильне і зворотне твердження: якщо в трапеції діагоналі рівні, вона є рівнобедренной. Звідси наступна формула, що допомагає знайти площу трапеції - напівтвор квадрата діагоналей на синус кута між ними: S = ½ d 2 sin a.

Знаходимо площу прямокутної трапеції

Відомий окремий випадок прямокутної трапеції. Це трапеція, у якої одна бічна сторона (її стегно) примикає до основ під прямим кутом. Вона має властивості звичайної трапеції. Крім цього, вона має дуже цікаву особливість. Різниця квадратів діагоналей такої трапеції дорівнює різниці квадратів її основ. Для неї використовують усі раніше наведені методики обчислення площі.

Застосовуємо кмітливість

Є одна хитрість, яка може допомогти у разі забудькуватості специфічних формул. Розглянемо уважніше, що є трапеція. Якщо подумки розділити її на частини, ми отримаємо знайомі і зрозумілі геометричні фігури: квадрат чи прямокутник і трикутник (один чи два). Якщо відомі висота та сторони трапеції, можна скористатися формулами площі трикутника та прямокутника, після чого скласти всі отримані величини.

Проілюструємо це наступним прикладом. Дано прямокутну трапецію. Кут C = 45 °, кути A, D становлять 90 °. Верхня основа трапеції дорівнює 20 см, висота дорівнює 16 см. Потрібно обчислити площу фігури.

Дана фігура очевидно складається з прямокутника (якщо два кути дорівнюють 90°) і трикутника. Так як трапеція прямокутна, отже її висота дорівнює її бічній стороні, тобто 16 см. Маємо прямокутник зі сторонами 20 і 16 см відповідно. Розглянемо тепер трикутник, кут якого дорівнює 45 °. Ми знаємо, що одна його сторона становить 16 см. Так як ця сторона є одночасно висотою трапеції (а нам відомо, що висота опускається на основу під прямим кутом), отже, другий кут трикутника дорівнює 90 °. Звідси кут трикутника, що залишився, становить 45°. Наслідком цього ми отримуємо прямокутний рівнобедрений трикутник, у якого дві сторони однакові. Значить, інша сторона трикутника дорівнює висоті, тобто 16 см. Залишилося обчислити площу трикутника та прямокутника і скласти отримані величини.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині твору його катетів: S = (16 * 16) / 2 = 128. Площа прямокутника дорівнює добутку його ширини на довжину: S = 20 * 16 = 320. Ми знайшли необхідне: площа трапеції S = 128 + 320 = 448 кв. див. Можна легко себе перевіряти ще раз, скориставшись наведеними вище формулами, відповідь буде ідентична.

Використовуємо формулу Піка

S = M/2 + N - 1,

у цій формулі M – кількість вузлів, тобто. перетинів ліній фігури з лініями клітини на межах трапеції (помаранчеві точки на малюнку), N – кількість вузлів усередині фігури (сині точки). Найзручніше користуватися нею при знаходженні площі неправильного багатокутника. Тим не менш, чим більше арсенал використовуваних методик, тим менше помилок і кращі результати.

Зрозуміло, наведеними відомостями далеко ще не вичерпуються типи та властивості трапеції, і навіть способи пошуку її площі. У цій статті наведено огляд найважливіших її характеристик. У вирішенні геометричних завдань важливо діяти поступово, починати з легких формул і завдань, послідовно закріплювати розуміння, переходити на інший рівень складності.

Зібрані докупи найпоширеніші формули допоможуть учням зорієнтуватися у різноманітних способах обчислення площі трапеції та якісніше підготуватися до тестів та контрольних робіт з цієї теми.

Трапецієюназивається чотирикутник, у якого тільки двісторони паралельні між собою.

Вони називаються основами фігури, що залишилися – бічними сторонами. Окремими випадками фігури вважається паралелограм. Також існує криволінійна трапеція, яка включає графік функції. Формули площі трапеції включають практично всі її елементи, і краще рішення підбирається в залежності від заданих величин.
Основні ролі у трапеції відводяться висоті та середній лінії. Середня лінія- Це лінія, що з'єднує середини бічних сторін. Висотатрапеції проводиться під прямим кутом від верхнього кута до основи.
Площа трапеції через висоту дорівнює добутку напівсуми довжин основ, помноженому на висоту:

Якщо за умовами відома середня лінія, то ця формула значно спрощується, так як вона дорівнює напівсумі довжин основ:

Якщо за умовами дано довжини всіх сторін, можна розглянути приклад розрахунку площі трапеції через ці дані:

Припустимо, дана трапеція з основами a = 3 см, b = 7 см і бічними сторонами c = 5 см, d = 4 см. Знайдемо площу фігури:

Площа рівнобічної трапеції

Окремим випадком вважається рівнобока або, як її ще називають, рівностегна трапеція.
Особливим випадком є ​​і знаходження площі рівнобедреної (рівнобічної) трапеції. Формула виводиться різними способами – через діагоналі, через кути, що прилягають до основи та радіус вписаного кола.
Якщо за умовами задана довжина діагоналей та відомий кут між ними можна використовувати таку формулу:

Пам'ятайте, що діагоналі рівнобічної трапеції рівні між собою!

Тобто, знаючи одну з підстав, бік і кут, можна легко розрахувати площу.

Площа криволінійної трапеції

Окремий випадок – це криволінійна трапеція. Вона знаходиться на осі координат і обмежується графіком безперервної позитивної функції.

Її основа розташовує на осі X і обмежується двома точками:
Інтеграли допомагають обчислити площу криволінійної трапеції.
Формула прописується так:

Розглянемо приклад розрахунку площі криволінійної трапеції. Формула потребує певних знань до роботи з певними інтегралами. Для початку розберемо значення певного інтегралу:

Тут F(a) – це значення первісної функції f(x) у точці a , F(b) – значення цієї функції f(x) у точці b .

Тепер вирішимо завдання. На малюнку зображено криволінійну трапецію, обмежену функцією . Функція
Нам необхідно знайти площу виділеної фігури, яка є криволінійною трапецією, обмеженою зверху графіком, праворуч прямою x = (-8), зліва прямою x = (-10) і віссю OX знизу.
Площа цієї фігури ми будемо розраховувати за такою формулою:

Умовами завдання нам задано функцію. По ній ми знайдемо значення первісної у кожній з наших точок:


Тепер
Відповідь:площа заданої криволінійної трапеції дорівнює 4.

Нічого складного у розрахунках цього значення немає. Важлива лише гранична уважність у обчисленнях.