Дотичні, що стосуються кола. Візуальний гід (2020)

Сікаючі, дотичні – все це сотні разів можна було чути на уроках геометрії. Але випуск зі школи позаду, минають роки, і всі ці знання забуваються. Що слід згадати?

Сутність

Термін "дотик до кола" знайомий, напевно, всім. Але навряд чи всім вдасться швидко сформулювати його визначення. Тим часом дотичною називають таку пряму, що лежить в одній площині з колом, яке перетинає її лише в одній точці. Їх може існувати безліч, але всі вони мають однакові властивості, про які йтиметься нижче. Як неважко здогадатися, точкою торкання називають те місце, де коло і пряме перетинаються. У кожному конкретному випадку вона одна, якщо їх більше, то це буде вже січна.

Історія відкриття та вивчення

Поняття дотичної з'явилося ще в давнину. Побудова цих прямих спочатку до кола, та був до еліпсів, параболам і гиперболам з допомогою лінійки і циркуля проводилося ще початкових етапах розвитку геометрії. Зрозуміло, історія не зберегла ім'я першовідкривача, але очевидно, що ще на той час людям були цілком відомі властивості щодо кола.

У Новий час інтерес до цього явища спалахнув знову - почався новий виток вивчення цього поняття у поєднанні з відкриттям нових кривих. Так, Галілей ввів поняття циклоїди, а Ферма та Декарт побудували до неї дотичну. Що ж до кіл, здається, ще для стародавніх не залишилося секретів у цій галузі.

Властивості

Радіус, проведений в точку перетину,

основна, але не єдина властивість, яка має відносну до кола. Ще одна важлива особливість включає вже дві прямі. Так, через одну точку, що лежить поза колом, можна провести дві дотичні, при цьому їх відрізки будуть рівними. Є ще одна теорема з цієї теми, проте її рідко проходять у рамках стандартного шкільного курсу, хоча для вирішення деяких завдань вона вкрай зручна. Звучить вона в такий спосіб. З однієї точки, розташованої поза колом, проведено дотичну та січну до неї. Утворюються відрізки AB, AC та AD. А - перетин прямих, B точка дотику, C і D - перетину. У цьому випадку буде справедливою наступна рівність: довжина дотичної до кола, зведена в квадрат, дорівнюватиме добутку відрізків AC і AD.

Зі сказаного вище є важливе слідство. Для кожної точки кола можна побудувати дотичну, але тільки одну. Доказ цього досить просто: теоретично опустивши на неї перпендикуляр із радіусу, з'ясовуємо, що утворений трикутник існувати не може. І це означає, що дотична – єдина.

Побудова

Серед інших завдань із геометрії є особлива категорія, як правило, не

користується любов'ю учнів та студентів. Для вирішення завдань із цієї категорії потрібні лише циркуль та лінійка. Це завдання на побудову. Є вони і на побудову дотичної.

Отже, дано коло і точка, що лежить поза її межами. І необхідно провести через них дотичну. Як це зробити? Насамперед, потрібно провести відрізок між центром кола Про та заданою точкою. Потім за допомогою циркуля слід розділити його навпіл. Щоб це зробити, необхідно задати радіус - трохи більше половини відстані між центром початкового кола та даною точкою. Після цього потрібно побудувати дві дуги, що перетинаються. Причому радіус у циркуля міняти не треба, а центром кожної частини кола будуть початкова точка і відповідно. Місця перетинів дуг потрібно з'єднати, що розділить відрізок навпіл. Задати на циркулі радіус, рівний цій відстані. Далі з центром у точці перетину побудувати ще одне коло. На ній лежатиме як початкова точка, так і О. При цьому буде ще два перетину з даним завданням колом. Саме вони і будуть точками дотику для заданої точки.

Саме побудова дотичних до кола призвела до народження.

диференціального обчислення. Першу працю з цієї теми було опубліковано відомим німецьким математиком Лейбніцем. Він передбачав можливість знаходження максимумів, мінімумів та дотичних незалежно від дробових та ірраціональних величин. Що ж, тепер воно використовується і для багатьох інших обчислень.

Крім того, дотична до кола пов'язана з геометричним змістом тангенсу. Саме від цього і походить його назва. У перекладі з латині tangens - "дотик". Таким чином, це поняття пов'язане не тільки з геометрією та диференціальним обчисленням, але і з тригонометрією.

Два кола

Не завжди дотична торкається лише однієї фігури. Якщо до одного кола можна провести безліч прямих, то чому ж не можна навпаки? Можна, можливо. Ось тільки завдання в цьому випадку серйозно ускладнюється, адже дотична до двох кіл може проходити не через будь-які точки, а взаємне розташування всіх цих фігур може бути дуже

різним.

Типи та різновиди

Коли йдеться про два кола і одну або кілька прямих, то навіть якщо відомо, що це дотичні, не відразу стає ясно, як всі ці постаті розташовані по відношенню одна до одної. Виходячи з цього, розрізняють кілька різновидів. Так, кола можуть мати одну або дві спільні точки або не мати їх зовсім. У першому випадку вони перетинатимуться, а в другому - торкатимуться. І ось тут розрізняють два різновиди. Якщо одне коло хіба що вкладено у друге, то дотик називають внутрішнім, якщо ні - зовнішнім. Зрозуміти взаємне розташування фігур можна не тільки, виходячи з креслення, але й маючи інформацію про суму їх радіусів та відстань між їхніми центрами. Якщо ці дві величини рівні, то кола стосуються. Якщо перша більше – перетинаються, а якщо менше – то не мають спільних точок.

Так само і з прямими. Для будь-яких двох кіл, що не мають спільних точок, можна

побудувати чотири дотичні. Дві з них перетинатимуться між фігурами, вони називаються внутрішніми. Пара інших – зовнішні.

Якщо йдеться про кола, які мають одну спільну точку, то завдання серйозно спрощується. Справа в тому, що за будь-якого взаємного розташування в цьому випадку дотична у них буде тільки одна. І проходитиме вона буде через точку їхнього перетину. Тож побудова проблеми не викличе.

Якщо ж фігури мають дві точки перетину, то для них може бути побудована пряма, що стосується кола як однієї, так і другої, але тільки зовнішня. Вирішення цієї проблеми аналогічне тому, що буде розглянуто далі.

Вирішення задач

Як внутрішня, так і зовнішня до двох кіл, у побудові не такі вже й прості, хоч ця проблема і вирішувана. Справа в тому, що для цього використовується допоміжна фігура, тому додуматися до такого способу самостійно

досить проблематично. Отже, дано два кола з різним радіусом та центрами О1 та О2. Для них потрібно збудувати дві пари дотичних.

Насамперед, біля центру більшого кола потрібно побудувати допоміжне. При цьому на циркулі має бути встановлена різниця між радіусами двох початкових фігур. З центру меншого кола будуються дотичні до допоміжного. Після цього з О1 та О2 проводяться перепендикуляри до цих прямих до перетину з первісними фігурами. Як випливає з основної якості дотичної, шукані точки на обох колах знайдені. Завдання вирішено принаймні її перша частина.

Для того, щоб побудувати внутрішні дотичні, доведеться вирішити практично

аналогічне завдання. Знову знадобиться допоміжна фігура, проте цього разу її радіус дорівнюватиме сумі початкових. До неї будуються дотичні з центру однієї з цих кіл. Подальший хід рішення можна зрозуміти з попереднього прикладу.

Стосовно кола або навіть двох і більше - не така вже складна задача. Звичайно, математики давно перестали вирішувати подібні проблеми вручну та довіряють обчислення спеціальним програмам. Але не варто думати, що тепер необов'язково вміти робити це самостійно, адже для правильного формулювання завдання для комп'ютера потрібно багато зробити та зрозуміти. На жаль, є побоювання, що після остаточного переходу на тестову форму контролю знань завдання на побудову викликатимуть у учнів дедалі більше труднощів.

Що ж до знаходження спільних дотичних для більшої кількості кіл, це не завжди можливо, навіть якщо вони лежать в одній площині. Але в деяких випадках можна знайти таку пряму.

Приклади з життя

Загальна дотична до двох кіл часто зустрічається і на практиці, хоч це і не завжди помітно. Конвеєри, блокові системи, передавальні ремені шківів, натяг нитки в швейній машинці, та навіть просто велосипедний ланцюг - все це приклади з життя. Так що не варто думати, що геометричні завдання залишаються лише в теорії: в інженерній справі, фізиці, будівництві та багатьох інших галузях вони знаходять практичне застосування.

Згадаймо випадки взаємного розташування прямої та кола.

Задано коло з центром Про і радіусом r. Пряма Р, відстань від центру до прямої, тобто перпендикуляр ЗМ, дорівнює d.

Випадок 1- відстань від центру кола до прямої менше радіусу кола:

Ми довели, що у випадку, коли відстань d менша за радіус кола r, пряма і коло мають лише дві загальні точки (рис. 1).

Мал. 1. Ілюстрація на випадок 1

Випадок другий- відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу кола:

Ми довели, що у цьому випадку загальна точка єдина (рис. 2).

Мал. 2. Ілюстрація до випадку 2

Випадок 3- відстань від центру кола до прямої більше радіусу кола:

Ми довели, що в даному випадку коло і пряме не мають спільних точок (рис. 3).

Мал. 3. Ілюстрація на випадок 3

На даному уроці нас цікавить другий випадок, коли пряма та коло мають єдину спільну точку.

Визначення:

Пряма, що має з колом єдину загальну точку, називається дотичною до кола, загальна точка називається точкою торкання прямої та кола.

Пряма р – дотична, точка А – точка дотику (рис. 4).

Мал. 4. Стосовна

Теорема:

Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання (рис. 5).

Мал. 5. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Від неприємного - нехай ОА не перпендикулярно прямий р. У такому разі опустимо з точки Про перпендикуляр на пряму р, який буде відстанню від центру кола до прямої:

З прямокутного трикутника можемо сказати, що гіпотенуза ВІН менше катета ОА, тобто пряма і коло мають дві загальні точки, пряма р є січною. Таким чином, ми набули протиріччя, а, отже, теорема доведена.

Мал. 6. Ілюстрація до теореми

Справедлива та зворотна теорема.

Теорема:

Якщо пряма проходить через кінець радіусу, що лежить на колі, і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною.

Доведення:

Оскільки пряма перпендикулярна радіусу, то відстань ОА - це відстань від прямої до центру кола і вона дорівнює радіусу: . Тобто, а в цьому випадку, як ми раніше доводили, у прямої та кола єдина загальна точка - це точка А, таким чином, пряма р є дотичною до кола за визначенням (рис. 7).

Мал. 7. Ілюстрація до теореми

Пряму і зворотну теореми можна поєднати так (рис. 8):

Задано коло з центром О, пряма р, радіус ОА

Мал. 8. Ілюстрація до теореми

Теорема:

Пряма є дотичною до кола тоді і тільки тоді, коли радіус, проведений у точку торкання, перпендикулярний їй.

Дана теорема означає, що якщо пряма є дотичною, то радіус, проведений у точку торкання, перпендикулярний їй, і навпаки, з перпендикулярності ОА і р випливає, що р - дотична, тобто пряма та коло мають єдину загальну точку.

Розглянемо дві дотичні, проведені з однієї точки до кола.

Теорема:

Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні і становлять рівні кути з прямої, проведеної через цю точку та центр кола.

Задано коло, центр О, точка А поза коло. З точки А проведено дві дотичні точки В і С - точки дотику. Потрібно довести, що і що дорівнюють кути 3 і 4.

Мал. 9. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Доказ ґрунтується на рівності трикутників . Пояснимо рівність трикутників. Вони є прямокутними, оскільки радіус, проведений у точку торкання, перпендикулярний дотичній. Значить, кути і прямі і дорівнюють . Катети ОВ і ОС рівні, оскільки є радіусом кола. Гіпотенуза АТ – загальна.

Таким чином, трикутники рівні за рівністю катета та гіпотенузи. Звідси очевидно, що катети АВ та АС також рівні. Також кути, що лежать навпроти рівних сторін, рівні, отже, рівні кути і , .

Теорему доведено.

Отже, ми познайомилися з поняттям щодо кола, на наступному уроці ми розглянемо градусну міру дуги кола.

Список літератури

Александров А.Д. та ін. Геометрія 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія 8. – К.: Просвітництво, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Univer.omsk.su().
Oldskola1.narod.ru ().
School6.aviel.ru ().

Домашнє завдання

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. та ін, Геометрія 7-9, № 634-637, с. 168.

Доведення

Якщо хорда є діаметром, теорема очевидна.

На малюнку 287 зображено коло з центром O , M - точка перетину діаметра CD та хорди AB , CD ⊥ AB . Потрібно довести, що AM = MB .

Проведемо радіуси OA та OB. У рівнобедреному трикутнику AOB (OA = OB) відрізок OM - висота, а значить, і медіана, тобто AM = MB.

Теорема 20.2

Діаметр кола, що ділить хорду, відмінну від діаметра, навпіл, перпендикулярний цій хорді.

Доведіть цю теорему самостійно. Подумайте, чи буде вірним це твердження, якщо хорда є діаметром.

На малюнку 288 показані всі можливі випадки взаємного розташування прямої та кола. На малюнку 288, які мають спільних точок, малюнку 288, б - мають дві загальні точки, малюнку 288, в - одну.

Мал. 288

Визначення

Пряму, що має з колом лише одну загальну точку, називають дотичною до кола.

Дотична до кола має лише одну загальну точку з колом, обмеженим цим колом. На малюнку 288, пряма a - дотична до кола з центром у точці O , A - точка торкання.

Якщо відрізок (промінь) належить дотичному до кола і має із цим колом загальну точку, то кажуть, що відрізок (промінь) стосується кола. Наприклад, на малюнку 289 зображено відрізок AB , який стосується кола в точці С .

Теорема 20.3

(Властивість дотичної)

Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.

Доведення

На малюнку 290 зображено коло з центром O , A - точка торкання прямої a та кола. Потрібно довести, що OA ⊥ a .

Мал. 289	Мал. 290	Мал. 291

Припустимо, що це не так, т. Е. Відрізок OA - похила до прямої a . Тоді з точки O опустимо перпендикуляр OM на пряму a (рис. 291). Оскільки точка A - єдина загальна точка прямої a і кола з центром O точка M не належить цьому колу. Звідси OM = MB + OB , де точка B - точка перетину кола та перпендикуляра OM . Відрізки OA та OB рівні як радіуси кола. Отже, OM > OA. Отримали протиріччя: перпендикуляр OM більший за похилу OA . Отже, OA ⊥ a .

Теорема 20.4

(Ознака дотичної до кола)

Якщо пряма, яка проходить через точку кола, перпендикулярна радіусу, проведеному в цю точку, то ця пряма є дотичною до цього кола.

Доведення

Мал. 292

На малюнку 290 зображено коло з центром у точці O , відрізок OA - її радіус, точка A належить прямій a , OA ⊥ a . Доведемо, що пряма a - дотична до кола.

Нехай пряма a не є дотичною, а має ще одну загальну точку B з колом (рис. 292). Тоді ∆ AOB – рівнобедрений (OA = OB як радіуси). Звідси ∠ OBA = ∠ OAB = 90 °. Отримуємо протиріччя: у трикутнику AOB є два прямі кути. Отже, пряма a є дотичною до кола.

Слідство

Якщо відстань від центру кола до деякої прямої дорівнює радіусу кола, то ця пряма є дотичною до цього кола.

Мал. 293

Доведіть це слідство самостійно.

Завдання. Доведіть, що якщо через цю точку до кола проведено дві дотичні, то відрізки дотичних, що з'єднують цю точку з точками дотику, дорівнюють.

Рішення. На малюнку 293 зображено коло з центром O. Прямі AB та AC - дотичні, точки B та C - точки дотику. Потрібно довести, що AB = AC .

Проведемо радіуси OB і OC у торканні точки. За якістю щодо OB ⊥ AB і OC ⊥ AC . У прямокутних трикутниках AOB та AOC катети OB та OC рівні як радіуси одного кола, AO – загальна гіпотенуза. Отже, трикутники AOB і AOC рівні з гіпотенузи та катету. Звідси AB = AC.

Як ділить хорду діаметр перпендикулярний їй?
Чому дорівнює кут між хордою, відмінною від діаметра, і діаметром, що ділить цю хорду навпіл?
Опишіть усі можливі випадки взаємного розташування прямого та кола.
Яку пряму називають дотичною до кола?
Якою властивістю має радіус, проведений у точку торкання прямого та кола?
Сформулюйте ознаку щодо кола.
Яку властивість мають дотичні, проведені до кола через одну точку?

Практичні завдання

507. Накресліть коло з центром O, проведіть хорду AB. Користуючись косинцем, розділіть цю хорду навпіл.

508. Накресліть коло з центром O, проведіть хорду CD. Користуючись лінійкою зі шкалою, проведіть діаметр перпендикулярний хорді CD .

509. Накресліть коло, позначте на ньому точки A та B. Користуючись лінійкою та косинцем, проведіть прямі, які стосуються кола в точках A та B .

510. Проведіть пряму a і позначте на ній точку M. Користуючись косинцем, лінійкою та циркулем, проведіть коло радіуса 3 см, яке стосується прямої a у точці M. Скільки таких кіл можна провести?

Вправи

511. На малюнку 294 точка O - центр кола, діаметр CD перпендикулярний хорді AB . Доведіть, що ∠ AOD = ∠ BOD .

512. Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від її центру.

513. Доведіть, що й хорди кола рівновіддалені від її центру, всі вони рівні.

514. Чи вірно, що пряма, перпендикулярна радіусу кола, стосується цього кола?

515. Пряма CD стосується кола з центром O у точці A , відрізок AB - хорда кола, ∠ BAD = 35° (рис. 295). Знайдіть ∠ AOB.

516. Пряма CD стосується кола з центром O у точці A , відрізок AB - хорда кола, ∠ AOB = 80° (див. рис. 295). Знайдіть ∠BAC.

517. Дано коло, діаметр якого дорівнює 6 см. Пряма a віддалена від її центру на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. У якому разі пряма a є дотичною до кола?

518. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°. Доведіть, що:

1) пряма BC є дотичною до кола з центром A, що проходить через точку C;

2) пряма AB не є дотичною до кола з центром C, що проходить через точку A.

519. Доведіть, що діаметр кола більший за будь-яку хорду, відмінну від діаметра.

520. В колі з центром O через середину радіусу провели хорду AB перпендикулярну йому. Доведіть, що AOB = 120°.

521. Знайдіть кут між радіусами OA та OB кола, якщо відстань від центру O кола до хорди AB у 2 рази менша: 1) довжини хорди AB ; 2) радіуса кола.

522. В колі провели діаметр AB та хорди AC і CD так, що AC = 12 см, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD . Знайдіть довжину хорди CD.

523. Через точку M до кола з центром O провели дотичні MA та MB , A та B - точки дотику, ∠ OAB = 20°. Знайдіть ∠ AMB.

524. Через кінці хорди AB , що дорівнює радіусу кола, провели дві дотичні, що перетинаються в точці C .Знайдіть ∠ ACB .

525. Через точку З кола з центром O провели дотичну до цього кола, AB - діаметр кола. З точки A на дотику опущений перпендикуляр AD. Доведіть, що промінь AC - бісектриса кута BAD .

526. Пряма AC стосується кола з центром O у точці A (рис. 296). Доведіть, що кут BAC у 2 рази менший від кута AOB .

Мал. 294	Мал. 295	Мал. 296

527. Відрізки AB і BC - відповідно хорда та діаметр кола, ∠ ABC = 30°. Через точку A провели дотичну до кола, що перетинає пряму BC у точці D. Доведіть, що ∆ ABD - рівнобедрений.

528. Відомо, що діаметр AB ділить хорду CD навпіл, але не перпендикулярний їй. Доведіть, що CD – також діаметр.

529. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які стосуються даної прямої в даній точці.

530. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які стосуються обох сторін даного кута.

531. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які стосуються даної прямої.

532. Прямі, що стосуються кола з центром O у точках A і B перетинаються в точці K , ∠ AKB = 120°. Доведіть, що AK + BK = OK.

533. Коло стосується сторони AB трикутника ABC у точці M та стосується продовження двох інших сторін. Доведіть, що сума довжин відрізків BC та BM дорівнює половині периметра трикутника ABC .

Мал. 297

534. Через точку C проведено дотичні AC та BC до кола, A та B - точки дотику (рис. 297). На колі взяли довільну точку M , що лежить в одній напівплощині з точкою C щодо прямої AB і через неї провели дотичну до кола, що перетинає прямі AC і BC в точках D і E відповідно. Доведіть, що периметр трикутника DEC залежить від вибору точки M .

Вправи для повторення

535. Доведіть, що середина M відрізка, кінці якого належать двом паралельним прямим, є серединою будь-якого відрізка, що проходить через точку M та кінці якого належать цим прямим.

536. Відрізки AB та CD лежать на одній прямій і мають загальну середину. Точку M вибрали так, що трикутник AMB - рівнобедрений з основою AB. Доведіть, що ∆ CMD також є рівнобедреним із основою CD .

537. На стороні MK трикутника MPK відзначили точки E і F так, що точка E лежить між точками M і F, ME = EP, PF = FK. Знайдіть кут M , якщо ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.

538. У гострокутному трикутнику ABC проведено бісектрису BM, з точки M на бік BC опущено перпендикуляр MK, ∠ABM = ∠KMC. Доведіть, що трикутник ABC – рівнобедрений.

Спостерігайте, малюйте, конструюйте, фантазуйте

539. Встановіть закономірність форм фігур, зображених на малюнку 298. Яку фігуру слід поставити наступною?

Мал. 298

Крапки $x_0\in \mathbb(R)$ , і що диференціюється в ній: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Стосовно прямої до графіка функції $f$ у точці $x_0$ називається графік лінійної функції , що задається рівнянням $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0), \quad x\in \mathbb(R)$ .

Якщо функція

f

має в точці

x_0

нескінченну похідну

f"(x_0) = \pm \infty,

то дотичною прямою в цій точці називається вертикальна пряма, що задається рівнянням

x = x_0.

Зауваження

Прямо з визначення слідує, що графік дотичної прямої проходить через точку $(x_0, f(x_0))$ . Кут $\alpha$ між дотичною до кривої та віссю Ох задовольняє рівняння

$\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0) = k,$

де $\operatorname(tg)$ позначає тангенс , а $\operatorname (k)$ - Коефіцієнт нахилу дотичної. Похідна у точці $x_0$ дорівнює кутовому коефіцієнту щодо графіку функції $y = f(x)$ у цій точці.

Стосовна як граничне становище сіючої

Нехай $f\colon U(x_0) \to \R$ і $x_1 \ in U (x_0).$ Тоді пряма лінія, що проходить через крапки $(x_0, f(x_0))$ і $(x_1, f(x_1))$ задається рівнянням

$y = f(x_0) + frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Ця пряма проходить через точку $(x_0, f(x_0))$ для будь-кого $x_1\in U(x_0),$ та її кут нахилу $\alpha(x_1)$ задовольняє рівняння

$\operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Через існування похідної функції $f$ у точці $x_0,$ переходячи до межі при $x_1 \to x_0,$ отримуємо, що існує межа

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

а через безперервність арктангенса і граничний кут

$\alpha = \operatorname(arctg)\,f"(x_0).$

Пряма, що проходить через точку $(x_0, f(x_0))$ і має граничний кут нахилу, що задовольняє $\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ задається рівнянням дотичної:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

Стосовно кола

Пряма , що має одну загальну точку з колом і лежача з нею в одній площині, називається дотичною до кола.

Властивості

Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку торкання.
Відрізки дотичних до кола , проведені з однієї точки , рівні і становлять рівні кути з прямої , що проходить через цю точку та центр кола.
Довжина відрізка дотичної, проведеної до кола одиничного радіусу, взятого між точкою торкання і точкою перетину дотичної з променем, проведеним з центру кола, є тангенсом кута між цим променем і напрямком від центру кола на точку торкання. "Тангенс" від лат. tangens- «Дотик».

Варіації та узагальнення

Односторонні напівдотичні

Якщо існує права похідна $f"_+(x_0)< \infty,$ то правої напівдотичноїдо графіку функції $f$ у точці $x_0$ називається промінь

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0), \quad x \geqslant x_0.

Якщо існує ліва похідна $f"_-(x_0)< \infty,$ то лівою напівдотичноюдо графіку функції $f$ у точці $x_0$ називається промінь

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0), \quad x \leqslant x_0.

Якщо існує нескінченна права похідна $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ у точці $x_0$ називається промінь

x = x_0, \;  y \geqslant f(x_0)\;  (y \ leqslant f (x_0)).

Якщо існує нескінченна ліва похідна $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ то правою напівторкальною до графіка функції $f$ у точці $x_0$ називається промінь

x = x_0, \;  y \leqslant f(x_0)\;  (y \ geqslant f (x_0)).

Див. також

Нормаль, бінормаль

Напишіть відгук про статтю "Достокова пряма"

Література

Топоногов В. А.Диференціальна геометрія кривих та поверхонь. - Фізматкнига, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Енциклопедичний словник Брокгауза та Єфрона: в 86 т. (82 т. і 4 дод.). - СПб. , 1890-1907.

Уривок, що характеризує Відносна пряма

- По місцях! - крикнув молоденький офіцер на солдатів, що зібралися навколо П'єра. Молоденький офіцер цей, мабуть, виконував свою посаду вперше чи вдруге і тому з особливою виразністю та формовістю поводився і з солдатами, і з начальником.
Перекатна стрілянина гармат і рушниць посилювалася по всьому полю, особливо вліво, там, де були флеші Багратіона, але через дим пострілів з того місця, де був П'єр, не можна було майже нічого бачити. До того ж, спостереження за тим, як би сімейним (відокремленим від усіх інших) гуртком людей, які були на батареї, поглинали всю увагу П'єра. Перше його несвідомо радісне збудження, зроблене виглядом і звуками поля битви, замінилося тепер, особливо після виду цього солдата, що самотньо лежав на лузі, іншим почуттям. Сидячи тепер на схилі канави, він спостерігав його обличчя.
До десятої години вже чоловік двадцять забрали з батареї; дві гармати були розбиті, частіше і частіше на батарею потрапляли снаряди і залітали, дзижчання і свистячи, далекі кулі. Але люди, що були на батареї, наче не помічали цього; з усіх боків чулася весела гомон і жарти.
- Чиненко! - кричав солдат на гранату, що наближалася, що летіла зі свистом. – Не сюди! До піхотних! - з реготом додав інший, помітивши, що граната перелетіла і потрапила до лав прикриття.
– Що, знайома? - сміявся інший солдат на чоловіка, що присів під ядром, що пролетіло.
Декілька солдатів зібралися біля валу, розглядаючи те, що робилося попереду.
– І ланцюг зняли, бачиш, назад пройшли, – говорили вони, показуючи через вал.
- Своє діло дивись, - крикнув на них старий унтер офіцер. - Назад пройшли, значить, назад справа є. - І унтер офіцер, взявши за плече одного з солдатів, штовхнув його коліном. Почувся регіт.
– До п'ятої зброї накочуй! – кричали з одного боку.
- Разом, дружніше, бурлацьки, - чулися веселі крики тих, хто змінював гармату.
— Ай, нашому пану трохи капелюшка не збила, — показуючи зуби, сміявся на П'єра червонорожий жартівник. - Ех, нескладна, - докірливо додав він на ядро, що потрапило в колесо та ногу людини.
– Ну ви, лисиці! - Сміявся інший на ополченців, що згинаються, входили на батарею за пораненим.
- Чи не смачна каша? Ах, ворони, заколянились! – кричали на ополченців, що зам'ялися перед солдатом із відірваною ногою.
— Дещо, хлопче, — передражнювали мужиків. – Пристрасть не люблять.
П'єр помічав, як після кожного ядра, що потрапив, після кожної втрати все більше і більше розгорялося загальне пожвавлення.
Як з грозової хмари, що присувається, частіше і частіше, світліше і світліше спалахували на обличчях всіх цих людей (ніби у відсіч відбувається) блискавки прихованого, вогню, що розгоряється.
П'єр не дивився вперед на полі битви і не цікавився знати про те, що там робилося: він весь був поглинений у споглядання цього вогню, що все більше і більше розпалюється, який так само (він відчував) розгорявся і в його душі.
О десятій годині піхотні солдати, що були попереду батареї в кущах і річкою Кам'янці, відступили. З батареї видно було, як вони пробігали назад повз неї, несучи на рушницях поранених. Якийсь генерал із почтом увійшов на курган і, поговоривши з полковником, сердито подивившись на П'єра, зійшов знову вниз, наказавши прикриттю піхоти, що стояла позаду батареї, лягти, щоб менше піддаватися пострілам. Потім у рядах піхоти, правіше батареї, почувся барабан, командні крики, і з батареї видно було, як ряди піхоти рушили вперед.
П'єр дивився через вал. Одне обличчя особливо впало йому в очі. То був офіцер, який з блідим молодим обличчям ішов задом, несучи опущену шпагу, і неспокійно озирнувся.
Ряди піхотних солдатів зникли в диму, почувся їхній протяжний крик і часта стрілянина рушниць. За кілька хвилин юрби поранених і нош пройшли звідти. На батарею ще частіше стали потрапляти снаряди. Кілька людей лежали неприбрані. Біля гармат дбайливіше і жвавіше рухалися солдати. Ніхто вже не звертав уваги на П'єра. Два рази на нього сердито крикнули за те, що він був на дорозі. Старший офіцер, з похмурим обличчям, великими, швидкими кроками переходив від однієї гармати до іншої. Молоденький офіцерик, ще більше розрум'янившись, ще старанніше командував солдатами. Солдати подавали заряди, поверталися, заряджали і робили свою справу з напруженою чепурністю. Вони на ходу стрибали, як на пружинах.

Пряма ( MN), що має з колом лише одну загальну точку ( A), називається дотичної до кола.

Загальна точка називається у цьому випадку точкою торкання.

Можливість існування дотичної, і до того ж проведеної через будь-яку точку кола, як точку торкання, доводиться наступною теорема.

Нехай потрібно провести до колаз центром O дотичнучерез точку A. Для цього з точки A,як із центру, описуємо дугурадіусом AO, а з точки O, як центру, перетинаємо цю дугу в точках Bі Зрозчином циркуля, що дорівнює діаметру даного кола.

Провівши потім хорди OBі OС, з'єднаємо точку Aз точками Dі E, у яких ці хорди перетинаються з цим колом. Прямі ADі AE - дотичні до кола O. Справді, з побудови видно, що трикутники AOBі AOС рівнобедрені(AO = AB = AС) з основами OBі OС, рівними діаметру кола O.

Так як ODі OE- радіуси, то D - середина OB, а E- середина OС, значить ADі AE - медіани, Проведені до основ рівнобедрених трикутників, і тому перпендикулярні до цих основ. Якщо ж прямі DAі EAперпендикулярні до радіусів ODі OE, то вони - дотичні.

Слідство.

Дві дотичні, проведені з однієї точки до кола, рівні та утворюють рівні кути з прямою, що з'єднує цю точку з центром.

Так AD=AEта ∠ OAD = ∠OAEтому що прямокутні трикутники AODі AOE, що мають загальну гіпотенузу AOта рівні катети ODі OE(Як радіуси), рівні. Зауважимо, що тут під словом "стосовна" мається на увазі власне " відрізок дотичної” від цієї точки до точки дотику.