Б. Гнєденко «Курс теорії ймовірностей

Анотація

Дається систематичний виклад основ теорії ймовірностей, проілюстрований великою кількістю докладно розглянутих прикладів, у тому числі прикладного змісту. Серйозна увага приділена розгляду питань методологічного характеру.
Справжнє видання значно відрізняється за змістом від 5-го (1969 р.): запроваджено додаткові параграфи математичного та прикладного характеру, додано великий нарис історії теорії ймовірностей, що містить результати досліджень останнього часу.
Для студентів математичних спеціальностей університетів та педагогічних інститутів.

Інші книги з теорії ймовірностей на сайті:
Борель Е. Імовірність та достовірність
Вентцель Є.С. Теорія імовірності
Вентцель Є.С. Введення у дослідження операцій
Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика
Айвазян C.A. та ін. Прикладна статистика у 3-х томах
Бос В. Лекції з Математики. Ймовірність, інформація, статистика
Чернова Н.І. Теорія ймовірності
Цвєткова Г.М. Теорія імовірності

File буде бути вибраний email address. Це може отримати до 1-5 хвилин до того, як він був отриманий.

File буде бути для свого Kindle рахунок. Це може отримати до 1-5 хвилин до того, як він був отриманий.
Please note you"введіть у нас email [email protected] to approved e-mail адреси. Read more .

Ви можете отримати book review і share your experiences. Інші вірші будуть завжди зацікавлені в вашій думці про книги, які ви '.

В.В. FHEEHKO KYPC TEOPHH BEPO5tTHOCTEH H3./IAHHE IIIECTOE. (075.8) F H e a e H K O B.B. Kypc Teop4n 3epoaxaoerefi: Yqe6m4i< -- H3. 6-e, uepepa6. vi 2,on. - M.: HayiFasmneo Farmhen ........................ 390 4. Bv, na;l B. Ilac) K-eHbI CTaJIIKe KaK 14 JIHTeJIbHOC-) pa3roopon Me>Kzly a6one14TaM14, CJlyqafilfbI. B rpyoofi MopcKofi nOpT cya aab.ero n.aa.a nocTynamT )e TOq. O no pacn14ca14.m, a MOMeHTb peme.a, .epe/to cymecTe..o OT.rI14q14ble OT anna.14poa)mbx. Toq14o Ta naen14OCTb norpyo-parpy3oq14bx pa6oT (o6pa6oTK cyilna) Nope)robin opaBoM 3aBI. IC14T He TO.rIbI KHBI CqI4TaTbCl;l C, iaK Cl KHbI on14paTbcfl Ha 9T cnyqafiHbie aBneH14. 3TO O6CTOtTeJibCTBO np14eno K TOMy, TO 3a nocnej1814e Tp14 CTOJIeT14, I4 B oco6e14-14OCT)t 3a IlOCJIelH14e JleCtTJIeT14t, cJy hl CI4C-TeMaT14qeCKOMy 14ccneJIoBam4m. KpaTKI4 14CTOpnqeCK14fi ouepK TOFO npoRec-ca npano>eH B KOHRe HacToflulefi KHHFH. Flpe>Kle qeM 11epexo114Tb K 143J10>Ke1414tO OCHOBttbIX pe3y.rlbTaTOB Teop1414 BepOtTHOCTefi, MBI O.rl)KHbl qbopMaJIH3OBaTb Te HO HOKa >Ke IIOHtT14e "cyqafiHoro" nBJie1414t nMeeT n14mb qI4CTO OHHCaTeYlbHblfi, 14HTyHTHBHbI171 14 BeCbMa paCHJlbIBqaTbIfi OJ1H Mbl yB14JI14M, qTO TeOp14H BepotTHOCTeI 3aH14MaeTCR H3yqeH14eM Fie JllObX COblTHI, KOTOpble B )oT OllpeJIeJleHHbIM14 CBOI71CTBaM14. Ilpe,jle BceFo, ()Ha oFpaHHqHBaeTcl;I 1,13yqeHI4eM JI1411Ib Tex CO"bIT14171, KOTOpble B B tte143MeHHblX yCJ1OBHtX.Hp14Be/IeM np14Mepbl. qcno BO3MOXKHbIX cJyqafIHblX CObITISI, KOTO-poe MOHO o6pa3OBaTb 3 n 9eMeHTapHbX. OqeBHO, qTO MOrO o6pa3oBaTb C, co6m, aoe a3 oxopix 6yeT coepax не max TO 3neMeH-xapulx co6ixa (1 m n). Hp m = n cnyqafioe co6ne ncera npoacxo-T, T.e. OHO fleTgfl OCTOBepHbM. BYO, TaKM ofpa3oM, o6pa3oBaHO Cf = 2" - 1 co6xafi. OqeBtO, O OHO HHKOFa He MOneT HacynTb (HOCKOSbKy eMy He COOTBeTByeT H OO 3fleMeHTapHoe CO6blTe). 3TO cnyqafiHoe CO6blTHC HOCT Ha3BaHHe HeBO3MOHOFO CObITfl. TaKM o6pa3oM, Bcex cnyqax co6xafi a paCCMOTHHOM a cnyqae 6yex 2". b HKCHpOBaHHblM KOMHJteKC yCJIOBH H CTeM paccMaxpBaTb HeKoIopym cucze S CO6blXfi A, B, C ... *), a,oe a3 KO"Opblx OflHo npn ao ocyecTBeHHgKOMeKCa npo30T HH He Me COblflM CHCTeMbl S MoryT cyeBoBaTb H3BeHble COOTHOmeHH, C KoIOpblMH MT0 pee cero 1) Ecn npu agOM ocymecxnneuu OMmeca ycnonfi , np KOTOpOM IIpOHCXOT COfiblTHe A, npoucxomvr COblTHe B. До Mbl 6yReM roBOpIb, qXO A neuer sa cok***) B, O3HaqaTb 3TO O6CTOflTebCTBO CHMBOOM C: ACB 1 CHMBO 2) EcJIH A BJleqei 3a co6ofi B u n zo enpea B nneue 3a co6ofi A, x.e. ecJm upu Kao peaJm3aau KOmJleKca yCOBU CO6blTHfl A H B oa Hacxynam Jm ofa e HacxynamT, TO Mbl 6yeM FoBopHTb, CO6blTHg A H B pasnOCUYlbnbt u 6yeM fblXUe, coc"roamee acxynJleHu o6oux CO6bUfi A B, 6ye 3blBaTb npoueOeuue co6mfi A B u o6o3auaxb AB. *) COhl"l HH B aJIbHClllUM o60 $llilqilR)"rcH Jla 1HHCKHMH lIpOIIHCHblM **] BMCc"IO "11poH30IH" l"OBoprl " "laKe "IJOBH"ffl "HH C"l yflHTb" * * *)BMeC"rO "A BJlOtlC"l "Ba CO60" roBopa"r TaKc "A flBJIH�IC qaclHblM cJlyqaeM 24 rn. 1. Cnyaitm,e co6ra t x epoarocr A B A +B AB A-B A+B+...+N oo3HaqaeI CO6blTHe, 3aKnoqamuleeca B Hacxyrmem4) xoxfl bI O]j4OFO PI3 COObl- m A,B. ..N oo3HaqaeT COblT14e, 3aKYloqaoLtleec B acxyre4 Bcex CO6blT14I A,B, .... N. 7) COBITI4e Ha3blBaeTci C)OCTOt3epttblM, ecH4 OHO C m3attm4 comneca ycnoaafi). Hanpu-Mep; np 6pocavm myx IarpasbHbIX KOCTefi JIOCTOepo, qTO CyMMa OqKOB 6yjxex )e Mebme ;a3yx. Co6bi13,Ie itaabxBaexca neaomoy, cnt, ecn ouo ale,oMo ue MO:a K-Hoe A, COCTOIil B IOM, qTO cpe;uJa BblHyTbIX KapT lie OKa7KeTCI HI4 olDIoro Ty3a. OqeBa, to, qxo Tplt nexy3a Mox<}to BblHylb 143 KOJ1OJIbI n) aqee<. Hafi N BepOHIHOCTb TOFO, o2 l) B onpeenebix n nqefiKaX oKaexcn no oofi qacKe, 2) a KaKHX-O n BqefiKax OKaeca no oofi qacTHKe. P e m e n e. 3xa 3aaqa rpaew Baym poHb B CoBpeMennofi CTaTHH- qeCKOfi 3tTHblX cJyqaeB B CTaTUcI4Ke Io3e - gfiHllliefilta. C 3TOil tlenbm 3aMeTHM, tllO BCeBO3MO>mtble pa3Memem4a uacnm no auefiKam UbI Mo)KeM nonymaTb cneJIymmuM nyTeM: pacnono>vdaM auefiKu Ha npaMofi Bn nee paJIOM OJIHy BO3JIe pyrofi Ha TOil KHble nepecraaoBK) UaCT14t[ 14 neperopo/IoI< Me>Kay nuefiKaMI4. pa3oM, KaK nerKo COO6pa3b, yllyT ym"eHb BCOBO3MO>Kl-lble 3anonHeHH8 aqeeK, orn14qamu.mxcfl KaK IIOpltj!KOM pacnoao>Keua qaCT14R B aqeK m(O yKa3aTb Ha CJO>KHOCTb BbtmcneHHfi B 3a/Iaqe 0 BCTpeqe a cJlyqaa 00rib- moro m4cna nHu (CTaHKoB). A aTy 3aaaqy HepeKo Hy> THJIbHOM HpOH3BO;IICTBe, HaHpHMep, HeKoTopbIe Tcatmm4 6panH Ha o6cJy> k2Te (0, 1). CnpamaBaeTca, ueq paBHa BepO8THOCT TORO, trro opHI4 yyI ICTBHTeJIbHblMH tmCnaMH? qTof,x 4qt. B HpaMoyroJIb- HblX eKapTOBblX Koop/ltlHaTax (pHc. 5) MHoeCTBO Bcex BO3MOhKHBIX нап m4cen (p, q) 3aaaeca TomcaM KBaapaTa c BepLtmitaMa (0, 0), (0, 0), ). Tom xaT noa napa- 1 6onoft q = _ p2. TaKtM o6pa3oM, comaclio onpeaeneumo, aCKOMaa 4 � 4. ]eoMeTpnqecKne BepoaTHOCTH 41 Bepo,"tTHOCTb paBHa p: 0 1 12 3aaa, noaonbe xonb D/2 r D 14 D- 2x arccos .... npn x< D/2. D � 4. FeoMeTph"qecKHe BepOTHOCTI 43 HaKoreR, B xpexseM pemeama MbI fipocaeM Hay21aqy TOqKy BHyTpb Kpyra a cnpamBaeM ce6a o BepoaxtOCTa nonaaamm aayxpb aeoToporo Mebmero orme.xpaqecKoro Kpyra (pac. 6 6). Pa3te nOCTaHOBOK 3a21aq BO BCeX Tpex cyaax coaepmermo OqeB21nO. IIp a M e p 4. 3 a 2I a q a B IO qb qb o a. ILococx pa3rpa0paeHa napa- e,m, ItbiMI ripaMbIMI, OCOartMI 21pyr ox pyra aa paccTos_rm 2a. Ha ruIOC- KOCT, aay21auy*) fipocaeTca arna mi 21 (l < a). Hafix Bepoamocxb xoro, uxo arna nepeceuex acym-m6y/a, npaMym. Pac. 7 0 7r . lc. 8 P e m e e. 06031taqHM qepe3 X paccxoame ox Reuxpa 21o 6nafimefi napnena epe3 -yron, cocxannenaffi arnofi c xo napnenm. Ben- x nonobm onpeaenamx nonoee arni. Bceo3Moe nono- ea rnbi onpeaenamxca roam npaMOOnbKa CO CXOHa a an. H3 pac. 7 Bao, qxo a nepeqea rnbi c napmenm eo6xoMO OCTaTOO, qTOM x / sin . HCKOMa BepOaOCTb B cy cenabix npeoaoefi paBa omomem oa 3ampxoBanofi Ha pc. 8 oOnacm K nnoma npaMoonKa I 21 p= f/sind= " . a 0 a 3aMeXM, qO 3aaqa moHa aanaexca HCXOIM HKTOM a peme- a eKoTopbx npofneM Teop cxpenb6i, xbBamx pa3Mepb caapam. H p a e p 5. Ha ropa3oxym ococxb, pa3rpanem nap- HeHbHbI HpaMbI, OTCTOa apyr ox apyra na paccxoaa 2a, y- 44 Fn. 1. Cnyqa/tme co6a:ma x BpOHTHOCTH aqy*) 6mea BbmbI KOaXyp, aMexp KOxOrO Meame 2a. Hafi aepoaocT Toro, O Kop nepeceqex o a3 napenax npaMxx. P e m e H R e. + + +"""+PCn-l,n) = =2 +P, +...+P,)+�:, +P: +-..+P:)+---+P-,- Hon3yac paaeucxaoM p/ = p/, M1 Moex 3amT aepoamocx p HIM CnOCOM: 1 P= [�12 +P13 +-.-+Pln)+�21 +P23 +---+P2n) +--. � ..+� +v2 +--.+.,.-x)]- Ho CyMMa Vpi/, rIe nOnO)KeHO Pii = 0, npe/IcTaBmieT co6ofi He qTO ]{HOe, /=1 KaK tepofHOClb nepeceqemm bfi CTOpOHbI MHOFOyFOJlbH14Ka C OjHO 143 napan- nenb14bxx npaMX. Ecn14 Jln14Hy i-fi cTopoHb[ OO3Haq14Tb qepe3 21i,TO 143 aaua BmqbqboHa HaxOjlaM, qTO n Z" Pit = --, /= ra *) B TOM npanepe "Hayllaqy" 3}{auaT, rro n] 6epen Kaxo-JmOo oxpe3oK, KeCIKO CB13aHIlbI C KOll?ypon, 14 6pocaeM ero "Hayjlay" B CMblCJIe npelyulero npanepa. HeTpyHo no} eHs[ce/IyeT accloMa aenpepmaocm. /Ieficmaxenao, nycx co6ma B, B:,..., Bn,... k = tt k = n. P (Bn) ecx ocxaxo< cxojmeroca pajm Z = /c=l 11o3xoj P(B.) 0 npa n 54 Fn. 1. CnyqallHble CO6bITI4 H HX BeposTFIOC"rH � 7. YCJIOBHa$[ BeposTttoc"rb H OClOBttbIe qb0pMyab 55 Ta6nnaa 6 (1,1) (2.1) (3,1) (4,1) (5,1) ] (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) I (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3.5) (4,5) (5,5) (6,5) I (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) ; (6,6) Bce BO3MOW, HbIe cyqa31, geHHOfi bTaTe KOTOpOFO nepellBHFaeTcn Ha 1 C BIIpaBo C BepotTItOCTblO p HJH Ha I C BJleBO" C BepOATHOCTbIO q = 1 -- p. 0), npeae qeM oHa nonaeT B nonoMreuMe, pacnonoCeuuoe neBee Toql eaaa, ta maM paOOTbI czaalca OOJlbliIHe orpa- H14qeHl, Ia, OJll-IaKo cymecTBytOT IIpOI43BOiICTBa, .rge OHO BblllOJ1HReTCR C OJIb- mofi cTeneIfbm TOq B Kaq��IBe np)IMepa MoZ r P(A(t + At) ) = P(A(t))P(Bo(At)) + + P(A(t - r))P (Bo(r)) ) + o(/Xt), anpa0< t< r P{A(t +/xt)l = P{A(t)}P{Bo(At)} + P{Bo(t) } + P{B(/xt)} + o(/Xt). O60naua jlrm zR rr(t + At) = rr(t) e-a"t + (t - r) e-a"taAte-at + o(At). IIyeM nepexo;aa z< npe;aeny npa At -->0 HaxoBj4M, UO npa 0< r < r }mee MecO pae.co cl r (t) - arr(t)+ae -t, (4) dt a npa t >r - paeI4cxo drr(t) - a. (5) dt I43 ypameImfi (4) Iaxola, qxo npa 0< t < r rr(t) = e-at(c +at). Ha ycnomm r(0) = onpeenae nocxommym c. OHO jlox gyTOl< BpeMeH Me:aIy t H t + At, paa XAt + o (At). HaRr BcpOSTHOCTI, TORO, qTo speMs cBo6ooro Ilpo�eI"a (T.e. BpeMs Me:aIy IByMs coce- HHIH CTO.KHOBeHHHMH) 6yleT 6omme t. 22. Crra, ro p paMoem 6aepfi leneHleM (Ha Ie 6aTepM) sepoT- OCT 6aTep paenmc a npoMeyro speMe At pasha At + o (At) H He 3a- BHC OT qHcHa npeRmeCTB encHHfl, a Te qna eca 6aKxepH, a aepoarom oro, qxo ecna MOMe 0 6bzna 1 6axep, ro MOMe t oRa- exca i 6xepa. FJ1ABA 2 IIOCJIEOBATEJ"IbHOCTb HE3ABHCI,MblX HCIIblTAHHII � 9. Baomn,e aaeamm 11poBeJIeHHe pa3I}tqHoro poma HCHblTaHH H 9gCnepMeHTOB aBaeTCa HenpeMeHHblM yCOBHeM pa3BIR HayKH nporpecca npKaHbIX o6acxe eaxenuocxa. Hpee eM BHeCIH B percxp ofi copx nmea, .eo6xo- MO npo3BecIH oFoqcneHHble CnbllaH, KOIOpble ObI alb y6e- IebHble aHHble O IeX HHb npeMyeciB HOBOFO copxa no cp- HeH C npeM: OBbIeHH ypOHOCTb yCTOBOClb K HOFOHblM yCOBM, 6onee KopoxKae cpogu Bere/auaa, yCIOUHBOCIb K 3aOoeBaHUM a np. Hepe TeM KaK BBeCTH B MaCCOBOe npoH3BOClBO HOBbI THH TeneB30pa (BblUCHTebHO MamHbl, CTKa, caMoeTa H I..) npoaBoicR pecla- BIebHble CbITaHHR Ha ero Oe3OTKa3HOCTb B paOoxe, npocloly HaKH, npcnocoOeHHOCTb K peMOHXy, OFOBeqHOCTb. HoBxe MeTObI penoaBa- HHR H3MeHeHHOe coepaae oOyqeH xaKe xpeOymx HIebHblX H npe- cIaBHIebHbm HaOnmeHfi H 3KcepHMeHIOB, KoIopble MOFH 0hi npoeMOH- clppoBalb x npeHMyeclBa. To e CaMOe MOrO cKaaalb o npoOeM MeHHbI, KOHOKH, opraa npo3BocTBa, CObHblX Hcceo- Bafi. Bce HOBOe, npee gem CTaTb OCTOHeM HpaKTHK, OHO 0blTb npeBapHTebHO TaTebHO HpoBepeHo H noTBepeHo HCHblTHRMH, cne- pHMeHTaMH H HpxoalCa CTKHBaTbcH H C apyrofi cxyaaaefi, Koraa CHCTeMaTHqecKHe HaHeHHH aa HBHeHHHMH, HpoHcxoflHMH He3aBHCHMO OT HccHeaTea. maK, HH npHMepa, MeTeOpoHorH HpOHaBOflT HaHeHHH aa qHCHOM o6naqHbXX aaefi, xeMnepaxypofi Boaayxa B onpeaeeHnbe qacbI cyxo<, ero BHaHOCTb H rip. Too xaKe opraaxop npoaoacxBa Ha6n- aaex aa npoHaBoaaxenbHOClbm xpyaa np paanablx opMax ero opranaaamt. B Hayloft H HpaglHqeCKj!OM R3 HRX CO6bITHe A rpoRcxo/!Ht C aepOaTHOCTblO Po TO aeponT-ItOCTb toro, qxo an He3aIqCllMbX acnbxtaHaaX noaaaTCa m CO6bXTRfi At, me coaIa ! m 1 m. m k, Pn(mt,m2 ..... talc) = P P2 -...Pt (1") m !m 2 ! e y6eaaTbca a TOM, qTo ata BepoaTHOCTb aanaeTca KoaqbqbitiitleH- TOM npa xn"x n: ... X e paanoaceaaa nonaHOMa (px + p2x2 + ... �. + pkxe) n no czeneaaM x, x. EcxecTaeuHo, ufo aepoaTnocta (I") Ha3bmamTca noauuouant, m,t. pacnpedeaeuue. HonauoMaanb))