Коли система рівнянь має розв'язок. Розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь алгебри

Продовжуємо розбиратися із системами лінійних рівнянь. До цього часу ми розглядали системи, які мають єдине рішення. Такі системи можна вирішити будь-яким способом: методом підстановки(«шкільним»), за формулами Крамера, матричним методом, методом Гауса. Однак на практиці широко поширені ще два випадки, коли:

1) система несумісна (не має рішень);

2) система має безліч рішень.

Для цих систем застосовують найбільш універсальний із усіх способів вирішення – метод Гауса. Насправді, до відповіді призведе і «шкільний» спосіб, але у вищій математиці прийнято використовувати гаусівський метод послідовного виключення невідомих. Ті, хто не знайомий з алгоритмом методу Гауса, будь ласка, спочатку вивчіть урок метод Гауса

Самі елементарні перетворення матриці – такі самі, різниця буде наприкінці рішення. Спочатку розглянемо кілька прикладів, коли система немає рішень (несовместная).

Приклад 1

Що відразу впадає в око в цій системі? Кількість рівнянь – менше, ніж кількість змінних. Є така теорема, яка стверджує: «Якщо кількість рівнянь у системі менша за кількість змінних, то система або несумісна, або має безліч рішень».І це залишилося лише з'ясувати.

Початок рішення цілком звичайний - запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1). На лівій верхній сходинці нам потрібно отримати (+1) або (-1). Таких чисел у першому стовпці немає, тож перестановка рядків нічого не дасть. Одиниці доведеться організувати самостійно, і зробити це можна кількома способами. Ми вчинили так. До першого рядка додаємо третій рядок, помножений на (-1).

(2). Тепер отримуємо два нулі у першому стовпці. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3. До третього рядка додаємо перший, помножений на 5.

(3). Після виконаного перетворення завжди доцільно переглянути, а чи не можна спростити отримані рядки? Можна, можливо. Другий рядок ділимо на 2, заодно отримуючи необхідну (-1) на другій сходинці. Третій рядок ділимо на (-3).

(4). До третього рядка додаємо другий рядок. Напевно, всі звернули увагу на поганий рядок, який вийшов у результаті елементарних перетворень:

. Зрозуміло, що так не може бути.

Дійсно, перепишемо отриману матрицю

назад у систему лінійних рівнянь:

Якщо в результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , деλ - Число, відмінне від нуля, то система несумісна (не має рішень).

Як записати закінчення завдання? Необхідно записати фразу:

«В результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де λ ≠ 0 ». Відповідь: "Система не має рішень (неспільна)".

Зверніть увагу, що в цьому випадку немає жодного зворотного ходу алгоритму Гаусса, рішень немає і знаходити нічого.

Приклад 2

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Знову нагадуємо, що Ваш хід рішення може відрізнятись від нашого ходу рішення, метод Гауса не задає однозначного алгоритму, про порядок дій та про самі дії треба здогадуватися в кожному випадку самостійно.

Ще одна технічна особливість рішення: елементарні перетворення можна припиняти одразу жяк тільки з'явився рядок виду , де λ ≠ 0 . Розглянемо умовний приклад: припустимо, що після першого перетворення вийшла матриця

Ця матриця ще не приведена до ступінчастого вигляду, але в подальших елементарних перетвореннях немає необхідності, тому що з'явився рядок виду, де λ ≠ 0 . Слід одразу дати відповідь, що система несумісна.

Коли система лінійних рівнянь не має рішень – це майже подарунок студенту, зважаючи на те, що виходить коротке рішення, іноді буквально на 2-3 дії. Але все в цьому світі врівноважене, і завдання, в якому система має безліч рішень – якраз довше.

Приклад 3:

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Тут 4 рівнянь і 4 невідомих, таким чином, система може мати або єдине рішення, або не мати рішень, або мати безліч рішень. Як би там не було, але метод Гауса у будь-якому випадку приведе нас до відповіді. У цьому та його універсальність.

Початок знову стандартний. Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Ось і все, а ви боялися.

(1). Зверніть увагу, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2, тому на лівій верхній сходинці нас влаштовує двійка. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на (-4). До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на (-2). До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на (-1).

Увага!У багатьох може виникнути спокуса з четвертого рядка віднятиперший рядок. Так робити можна, але не потрібно, досвід показує, що ймовірність помилки у обчисленнях збільшується у кілька разів. Тільки складаємо: до четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на (–1) – саме так!

(2). Останні три рядки пропорційні, два можна видалити. Тут знову треба виявити підвищена увага, а чи справді рядки пропорційні? Для перестрахування не зайвим буде другий рядок помножити на (–1), а четвертий рядок розділити на 2, отримавши в результаті три однакові рядки. І лише після цього видалити дві з них. В результаті елементарних перетворень розширена матриця системи наведена до ступінчастого вигляду:

При оформленні завдання у зошиті бажано для наочності робити такі самі позначки олівцем.

Перепишемо відповідну систему рівнянь:

"Звичайним" єдиним рішенням системи тут і не пахне. Поганого рядка , де λ ≠ 0, теж немає. Значить, це і є третій випадок, що залишився – система має нескінченно багато рішень.

Безліч рішень системи коротко записують у вигляді так званого загального вирішення системи.

Загальне рішення системи знайдемо за допомогою зворотного ходу методу Гаусса. Для систем рівнянь з безліччю рішень з'являються нові поняття: «базисні змінні»і «вільні змінні». Спочатку визначимо, які змінні у нас є базисними, а які змінні - вільними. Не обов'язково докладно роз'яснювати терміни лінійної алгебри, досить запам'ятати, що ось такі базисні змінніі вільні змінні.

Базисні змінні завжди сидять строго на сходах матриці.. У цьому прикладі базовими змінними є x 1 та x 3 .

Вільні змінні – це все рештазмінні, яким не дісталося сходинки. У нашому випадку їх дві: x 2 та x 4 – вільні змінні.

Тепер потрібно Усебазисні зміннівисловити тільки черезвільні змінні. Зворотний хід алгоритму Гауса традиційно працює знизу нагору. З другого рівняння системи виражаємо базову змінну x 3:

Тепер дивимося на перше рівняння: . Спочатку в нього підставляємо знайдений вираз:

Залишилося висловити базову змінну x 1 через вільні змінні x 2 та x 4:

У результаті вийшло те, що потрібно – Усебазисні змінні ( x 1 та x 3) виражені тільки черезвільні змінні ( x 2 та x 4):

Власне, загальне рішення готове:

Як правильно записати загальне рішення? Насамперед, вільні змінні записуються у загальне рішення «самі собою» і суворо своїх місцях. У цьому випадку вільні змінні x 2 та x 4 слід записати на другій та четвертій позиції:

Отримані вирази для базисних змінних і, очевидно, потрібно записати на першій та третій позиції:

Із загального рішення системи можна знайти нескінченно багато приватних рішень. Це дуже просто. Вільними змінні x 2 та x 4 називають так, тому що їм можна надавати будь-які кінцеві значення. Найпопулярнішими значеннями є нульові значення, оскільки при цьому приватне рішення виходить найпростіше.

Підставивши ( x 2 = 0; x 4 = 0) у загальне рішення, отримаємо одне із приватних рішень:

, або - це приватне рішення, що відповідає вільним змінним при значеннях ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Іншою солодкою парочкою є одиниці, підставимо ( x 2 = 1 та x 4 = 1) у загальне рішення:

, Т. е. (-1; 1; 1; 1) - ще одне приватне рішення.

Легко помітити, що система рівнянь має нескінченно багато рішень,оскільки вільним змінним ми можемо надати будь-якізначення.

кожнеприватне рішення має задовольняти кожномурівняння системи. На цьому ґрунтується «швидка» перевірка правильності рішення. Візьміть, наприклад, часткове рішення (-1; 1; 1; 1) і підставте його в ліву частину кожного рівняння вихідної системи:

Все має зійтися. І з будь-яким отриманим вами приватним рішенням – також все має зійтися.

Строго кажучи, перевірка приватного рішення іноді дурить, тобто. якесь приватне рішення може задовольняти кожному рівнянню системи, а загальне рішення насправді знайдено неправильно. Тому, насамперед, ґрунтовніша і надійніша перевірка загального рішення.

Як перевірити отримане загальне рішення ?

Це нескладно, але вимагає тривалих перетворень. Потрібно взяти вирази базиснихзмінних, у разі і , і підставити їх у ліву частину кожного рівняння системи.

У ліву частину першого рівняння системи:

Отримано праву частину вихідного першого рівняння системи.

У ліву частину другого рівняння системи:

Отримано праву частину вихідного другого рівняння системи.

І далі – у ліві частини третього та четвертого рівняння системи. Ця перевірка довша, проте гарантує стовідсоткову правильність загального рішення. Крім того, деякі завдання потребують саме перевірку загального рішення.

Приклад 4:

Вирішити систему методом Гаусса. Знайти спільне рішення та два приватні. Зробити перевірку загального рішення.

Це приклад самостійного рішення. Тут, до речі, знову кількість рівнянь менша, ніж кількість невідомих, а отже, відразу зрозуміло, що система буде або несумісною, або з безліччю рішень.

Приклад 5:

Розв'язати систему лінійних рівнянь. Якщо система має нескінченно багато рішень, знайти два приватних рішення та зробити перевірку загального рішення

Рішення:Запишемо розширену матрицю системи та, за допомогою елементарних перетворень, наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1). До другого рядка додаємо перший рядок. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3.

(2). До третього рядка додаємо другий рядок, помножений на (-5). До четвертого рядка додаємо другий рядок, помножений на (-7).

(3). Третій і четвертий рядки однакові, один з них видаляємо. Ось така краса:

Базисні змінні сидять на сходах, тому базисні змінні.

Вільна змінна, якій не дісталося сходинки тут лише одна: .

(4). Зворотній хід. Висловимо базисні змінні через вільну змінну:

Із третього рівняння:

Розглянемо друге рівняння і підставимо в нього знайдений вираз:

, , ,

Розглянемо перше рівняння і підставимо в нього знайдені вирази:

Таким чином, загальне рішення при одній вільній змінній x 4:

Ще раз, як воно вийшло? Вільна змінна x 4 самотньо сидить на своєму законному четвертому місці. Отримані висловлювання для базисних змінних, - теж на своїх місцях.

Відразу здійснимо перевірку загального рішення.

Підставляємо базисні змінні , , в ліву частину кожного рівняння системи:

Отримано відповідні праві частини рівнянь, таким чином знайдено правильне рішення.

Тепер із знайденого загального рішення отримаємо два приватні рішення. Усі змінні виражаються тут через єдину вільну змінну x 4 . Ламати голову не треба.

Нехай x 4 = 0, тоді - Перше приватне рішення.

Нехай x 4 = 1, тоді - Ще одне приватне рішення.

Відповідь:Загальне рішення: . Приватні рішення:

та .

Приклад 6:

Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь.

Перевірку загального рішення у нас уже зроблено, відповіді можна довіряти. Ваш хід рішення може відрізнятись від нашого ходу рішення. Головне, щоб збіглися спільні рішення. Напевно, багато хто помітив неприємний момент у рішеннях: дуже часто при зворотному ході методу Гауса нам довелося возитися зі звичайними дробами. Насправді це справді так, випадки, коли дробів немає – зустрічаються значно рідше. Будьте готові морально і, найголовніше, технічно.

Зупинимося на особливостях рішення, які не зустрілися у прикладах, що вирішують. До загального рішення системи іноді може входити константа (або константи).

Наприклад, загальне рішення: . Тут з базисних змінних дорівнює постійному числу: . У цьому немає нічого екзотичного, то буває. Очевидно, що в даному випадку будь-яке приватне рішення міститиме п'ятірку на першій позиції.

Рідко, але зустрічаються системи, у яких кількість рівнянь більша за кількість змінних. Однак метод Гауса працює в найсуворіших умовах. Слід незворушно привести розширену матрицю системи до ступінчастого виду стандартного алгоритму. Така система може бути несумісною, може мати безліч рішень, і, як не дивно, може мати єдине рішення.

Повторимося у своїй раді – щоб комфортно почуватися при вирішенні системи методом Гаусса, слід набити руку і вирішувати хоча б десяток систем.

Рішення та відповіді:

Приклад 2:

Рішення:Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду.

Виконані елементарні перетворення:

(1) Перший і третій рядки поміняли місцями.

(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на (–6). До третього рядка додали перший рядок, помножений на (-7).

(3) До третього рядка додали другий рядок, помножений на (–1).

В результаті елементарних перетворень отримано рядок виду, де λ ≠ 0 .Отже система несумісна.Відповідь: рішень немає.

Приклад 4:

Рішення:Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення:

(1). До другого рядка додали перший рядок, помножений на 2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

Для другої сходинки немає одиниці , і перетворення (2) спрямовано її одержання.

(2). До третього рядка додали другий рядок, помножений на -3.

(3). Другий з третього рядка поміняли місцями (переставили отриману –1 на другу сходинку)

(4). До третього рядка додали другий рядок, помножений на 3.

(5). У перших двох рядків змінили знак (помножили на –1), третій рядок поділили на 14.

Зворотній хід:

(1). Тут - базисні змінні (які на сходах), а - Вільні змінні (кому не дісталося сходинки).

(2). Виразимо базисні змінні через вільні змінні:

Із третього рівняння: .

(3). Розглянемо друге рівняння:, приватні рішення:

Відповідь: Загальне рішення:

Комплексні числа

У цьому розділі ми познайомимося з поняттям комплексного числа, розглянемо алгебраїчну, тригонометричнуі показову формукомплексного числа. А також навчимося виконувати дії з комплексними числами: додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення у ступінь та витяг коріння.

Для освоєння комплексних чисел не потрібні якісь спеціальні знання з курсу вищої математики, і матеріал доступний навіть школяру. Достатньо вміти виконувати алгебраїчні дії зі «звичайними» числами, і пам'ятати тригонометрію.

Спочатку згадаємо «звичайні» Числа. У математиці вони називаються безліччю дійсних чиселі позначаються буквою R,або R (потовщеною). Усі дійсні числа сидять на знайомій числовій прямій:

Компанія дійсних чисел дуже строката - тут і цілі числа, і дроби, і ірраціональні числа. У цьому кожній точці числової осі обов'язково відповідає деяке дійсне число.

де x* - один із рішень неоднорідної системи (2) (наприклад (4)), (E-A + A)утворює ядро (нуль простір) матриці A.

Зробимо скелетне розкладання матриці (E-A + A):

E−A + A=Q·S

де Q n×n−r- матриця rank (Q)=n−r, S n−r×n-матриця rank (S)=n−r.

Тоді (13) можна записати у такому вигляді:

x = x * + Q · k, ∀ k ∈ R n-r.

де k=Sz.

Отже, процедура знаходження загального рішеннясистеми лінійних рівнянь за допомогою псевдозворотної матриці можна подати у наступному вигляді:

Обчислюємо псевдозворотну матрицю A + .
Обчислюємо окреме рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь (2): x*=A + b.
Перевіряємо спільність системи. Для цього обчислюємо AA + b. Якщо AA + b≠b, то система несумісна. В іншому випадку продовжуємо процедуру.
Висилаємо E-A + A.
Робимо скелетне розкладання E-A + A = Q · S.
Будуємо рішення

x = x * + Q · k, ∀ k ∈ R n-r.

Рішення системи лінійних рівнянь онлайн

Онлайн калькулятор дозволяє знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь із докладними поясненнями.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

I. Постановка задачі.

ІІ. Спільність однорідних та неоднорідних систем.

ІІІ. Система трівнянь з тневідомими. Правило Крамер.

IV. Матричний метод розв'язання систем рівнянь.

V. Метод Гауса.

I. Постановка задачі.

Систему рівнянь виду

називають системою mлінійних рівнянь з nневідомими
. Коефіцієнти рівнянь цієї системи записують як матриці

яку називають матрицею системи (1).

Числа, що стоять у правих частинах рівнянь, утворюють стовпець вільних членів {B}:

Якщо стовпець ( B}={0 ), то система рівнянь називається однорідний. В іншому випадку, коли ( B}≠{0 ) – система неоднорідна.

Система лінійних рівнянь (1) може бути записана у матричному вигляді

[A]{x}={B}. (2)

Тут - Стовпець невідомих.

Розв'язати систему рівнянь (1) - значить знайти сукупність n чисел
таку, що при підстановці до системи (1) замість невідомих
кожне рівняння системи перетворюється на тотожність. Числа
називаються розв'язком системи рівнянь.

Система лінійних рівнянь може мати одне рішення

може мати безліч рішень

чи не мати рішень зовсім

Системи рівнянь, які не мають рішень, називаються несумісними. Якщо система рівнянь має хоча одне рішення, вона називається спільної. Система рівнянь називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо має безліч рішень.

ІІ. Спільність однорідних та неоднорідних систем.

Умова спільності системи лінійних рівнянь (1) формулюється в теоремі Кронекера-Капеллі: система лінійних рівнянь має хоча б одне рішення в тому і тільки в тому випадку, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці:
.

Розширеною матрицею системи називають матрицю, що виходить із матриці системи приписуванням до неї праворуч стовпця вільних членів:

Якщо Rg AA* , то система рівнянь несумісна.

Однорідні системи лінійних рівнянь відповідно до теорії Кронекера-Капеллі завжди спільні. Розглянемо випадок однорідної системи, у якій число рівнянь дорівнює числу невідомих, тобто т=п. Якщо визначник матриці такої системи дорівнює нулю, тобто.
, однорідна система має єдине рішення, яке є тривіальним (нульовим) Однорідні системи мають безліч рішень, якщо серед рівнянь системи є лінійно залежні, тобто.
.

приклад.Розглянемо однорідну систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими:

та досліджуємо питання про кількість її рішень. Кожне з рівнянь вважатимуться рівнянням площині, що проходить через початок координат ( D=0 ). Система рівнянь має єдине рішення, коли всі три площини перетинаються в одній точці. У цьому їх нормальні вектори некомпланарны, отже, виконується умова

Рішення системи при цьому x=0, y=0, z=0 .

Якщо хоча дві з трьох площин, наприклад, перша і друга, паралельні, тобто. , то визначник матриці системи дорівнює нулю, а система має безліч рішень. Причому рішеннями будуть координати x, y, zвсіх точок, що лежать на прямий

Якщо ж всі три площини збігаються, то система рівнянь зведеться до одного рівняння

а рішенням будуть координати всіх точок, що лежать у цій площині.

При дослідженні неоднорідних систем лінійних рівнянь питання спільності вирішується з допомогою теореми Кронекера-Капелли. Якщо ж кількість рівнянь у такій системі дорівнює числу невідомих, то система має єдине рішення, якщо її визначник не дорівнює нулю. В іншому випадку система або несумісна, або має безліч рішень.

приклад. Досліджуємо неоднорідну систему двох рівнянь із двома невідомими

Рівняння системи можна як рівняння двох прямих на площині. Система несовместна, коли прямі паралельні, тобто.
,
. У цьому випадку ранг матриці системи дорівнює 1:

Rg A=1 , т.к.
,

а ранг розширеної матриці
дорівнює двом, тому що для неї як базисний мінор може бути обраний мінор другого порядку, що містить третій стовпець.

У даному випадку Rg AA * .

Якщо прямі збігаються, тобто. , то система рівнянь має безліч рішень: координати точок на прямій
. У цьому випадкуRg A= Rg A * =1.

Система має єдине рішення, коли прямі не паралельні, тобто.
. Рішенням цієї системи є координати точки перетину прямих

ІІІ. Системат рівнянь зт невідомими. Правило Крамер.

Розглянемо найпростіший випадок, коли кількість рівнянь системи дорівнює числу невідомих, тобто. m= n. Якщо детермінант матриці системи відмінний від нуля, рішення системи можна знайти за правилом Крамера:

(3)

Тут
- Визначник матриці системи,

- визначник матриці, що отримується з [ A] заміною i-ого стовпця на стовпець вільних членів:

приклад. Розв'язати систему рівнянь методом Крамера.

Рішення :

1) знайдемо визначник системи

2) знайдемо допоміжні визначники

3) знайдемо рішення системи за правилом Крамера:

Результат рішення може бути перевірений підстановкою до системи рівнянь

Здобуто вірні тотожності.

IV. Матричний метод розв'язання систем рівнянь.

Запишемо систему лінійних рівнянь у матричному вигляді (2)

[A]{x}={B}

і помножимо праву та ліву частини співвідношення (2) зліва на матрицю [ A -1 ], зворотну матриці системи:

[A -1 ][A]{x}=[A -1 ]{B}. (2)

За визначенням зворотної матриці добуток [ A -1 ][A]=[E], а за властивостями одиничної матриці [ E]{x}={x). Тоді із співвідношення (2") отримуємо

{x}=[A -1 ]{B}. (4)

Співвідношення (4) лежить в основі матричного методу вирішення систем лінійних рівнянь: необхідно знайти матрицю, обернену до матриці системи, і помножити на неї зліва вектор-стовпець правих частин системи.

приклад. Розв'яжемо матричним методом систему рівнянь, розглянуту в попередньому прикладі.

Матриця системи
її визначник det A==183 .

Стовпець правих частин
.

Щоб знайти матрицю [ A -1 ], знайдемо матрицю, приєднану до [ A]:

або

У формулу для обчислення зворотної матриці входить
тоді

Тепер можна знайти рішення системи

Тоді остаточно отримуємо .

V. Метод Гауса.

При велику кількість невідомих рішення системи рівнянь методом Крамера або матричним методом пов'язане з обчисленням визначників високого порядку або зверненням матриць великих розмірів. Ці процедури дуже трудомісткі навіть для сучасних ЕОМ. Тому для вирішення систем великої кількості рівнянь найчастіше користуються методом Гаусса.

Метод Гаусса полягає у послідовному виключенні невідомих шляхом елементарних перетворень розширеної матриці системи. До елементарних перетворень матриці відносять перестановку рядків, додавання рядків, множення рядків на числа, відмінні від нуля. В результаті перетворень вдається матрицю системи звести до верхньої трикутної, на головній діагоналі якої стоять одиниці, а нижче від головної діагоналі - нулі. У цьому полягає прямий перебіг методу Гауса. Зворотний хід методу полягає у безпосередньому визначенні невідомих, починаючи з останнього.

Проілюструємо метод Гауса на прикладі розв'язання системи рівнянь

На першому кроці прямого ходу домагаються того, щоб коефіцієнт
перетвореної системи став рівний 1 , а коефіцієнти
і
звернулися до нуля. Для цього перше рівняння помножимо на 1/10 , друге рівняння помножимо на 10 і складемо з першим, третє рівняння помножимо на -10/2 та складемо з першим. Після цих перетворень отримаємо

На другому кроці добиваємося того, щоб після перетворень коефіцієнт
став рівним 1 , а коефіцієнт
. Для цього друге рівняння розділимо на 42 , а третє рівняння помножимо на -42/27 та складемо з другим. Отримаємо систему рівнянь

На третьому кроці мають отримати коефіцієнт
. Для цього третє рівняння розділимо на (37 - 84/27) ; отримаємо

У цьому прямий хід способу Гаусса закінчується, т.к. матриця системи зведена до верхньої трикутної:

Здійснюючи зворотний хід, знайдемо невідомі

Системи mлінійних рівнянь з nневідомими.
Розв'язання системи лінійних рівнянь- це така безліч чисел ( x 1 , x 2 , …, x n), при підстановці яких у кожне із рівнянь системи виходить правильна рівність.
де a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n- Коефіцієнти системи;
b i , i = 1, …, m- вільні члени;
x j, j = 1, …, n- Невідомі.
Наведена вище система може бути записана в матричному вигляді: A · X = B,

де ( A|B) - основна матриця системи;
A- Розширена матриця системи;
X- Стовпець невідомих;
B- Стовпець вільних членів.
Якщо матриця Bне є нуль-матрицею ∅, то дана система лінійних рівнянь називається неоднорідною.
Якщо матриця B= ∅, то дана система лінійних рівнянь називається однорідною. Однорідна система завжди має нульове (тривіальне) рішення: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Спільна система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що має рішення.
Несумісна система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що не має рішення.
Певна система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що має єдине рішення.
Невизначена система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що має безліч рішень.
Системи n лінійних рівнянь із n невідомими
Якщо число невідомих дорівнює кількості рівнянь, то матриця – квадратна. Визначник матриці називається головним визначником системи лінійних рівнянь та позначається символом Δ.
Метод Крамерадля вирішення систем nлінійних рівнянь з nневідомими.
Правило Крамер.
Якщо головний визначник системи лінійних рівнянь не дорівнює нулю, то система спільна та визначена, причому єдине рішення обчислюється за формулами Крамера:
де Δ i - визначники, одержувані з головного визначника системи Δ заміною i-го стовпця на стовпець вільних членів .
Системи m лінійних рівнянь із n невідомими
Теорема Кронекера-Капеллі.

Для того щоб дана система лінійних рівнянь була спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці системи, rang(Α) = rang(Α|B).
Якщо rang(Α) ≠ rang(Α|B), то система свідомо немає рішень.
Якщо rang(Α) = rang(Α|B), то можливі два випадки:
1) rang(Α) = n(числу невідомих) - рішення єдине і може бути отримане за формулами Крамера;
2) rang(Α)< n − рішень нескінченно багато.
Метод Гаусадля вирішення систем лінійних рівнянь

Складемо розширену матрицю ( A|B) даної системи з коефіцієнтів при невідомих та правих частин.
Метод Гауса або метод виключення невідомих полягає у приведенні розширеної матриці ( A|B) за допомогою елементарних перетворень над її рядками до діагонального вигляду (до верхнього трикутного вигляду). Повертаючись до системи рівнянь, визначають усі невідомі.
До елементарних перетворень над рядками відносяться такі:
1) зміна місцями двох рядків;
2) множення рядка на число, відмінне від 0;
3) додавання до рядка іншого рядка, помноженого на довільне число;
4) викидання нульового рядка.
Розширеної матриці, наведеної до діагонального вигляду, відповідає лінійна система, еквівалентна даній, вирішення якої не викликає труднощів. .
Система однорідних лінійних рівнянь.
Однорідна система має вигляд:

їй відповідає матричне рівняння A · X = 0.
1) Однорідна система завжди спільна, оскільки r(A) = r(A|B), завжди існує нульове рішення (0, 0, …, 0).
2) Для того, щоб однорідна система мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб r = r(A)< n , Що рівносильно Δ = 0.
3) Якщо r< n , то наперед Δ = 0, тоді виникають вільні невідомі c 1 , c 2 , …, c n-rсистема має нетривіальні рішення, причому їх нескінченно багато.
4) Загальне рішення Xпри r< n може бути записано у матричному вигляді наступним чином:
X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r,
де рішення X 1 , X 2 , …, X n-rутворюють фундаментальну систему рішень.
5) Фундаментальна система рішень може бути отримана із загального рішення однорідної системи:

,
якщо послідовно вважати значення параметрів рівними (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
Розкладання загального рішення щодо фундаментальної системи рішень- Це запис загального рішення у вигляді лінійної комбінації рішень, що належать до фундаментальної системи.
Теорема. Для того щоб система лінійних однорідних рівнянь мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб Δ ≠ 0.
Отже, якщо визначник ≠ 0, то система має єдине рішення.
Якщо ж Δ ≠ 0, то система лінійних однорідних рівнянь має безліч рішень.
Теорема. Для того, щоб однорідна система мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб r(A)< n .
Доведення:
1) rне може бути більше n(Ранг матриці не перевищує числа стовпців або рядків);
2) r< n , т.к. якщо r = n, то головний визначник системи Δ ≠ 0 і, за формулами Крамера, існує єдине тривіальне рішення x 1 = x 2 = … = x n = 0що суперечить умові. Значить, r(A)< n .
Слідство. Для того, щоб однорідна система nлінійних рівнянь з nневідомими мала ненульове рішення, необхідно та достатньо, щоб Δ = 0.

§1. Системи лінійних рівнянь.

Система виду

називається системою mлінійних рівнянь з nневідомими.

Тут
- невідомі, - Коефіцієнти при невідомих,
- Вільні члени рівнянь.

Якщо всі вільні члени рівнянь дорівнюють нулю, система називається однорідний.Рішеннямсистеми називається сукупність чисел
, при підстановці яких у систему замість невідомих усі рівняння звертаються до тотожності. Система називається спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Спільна система, що має єдине рішення, називається певною. Дві системи називаються еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Система (1) може бути представлена в матричній формі за допомогою рівняння

(2)

§2. Спільність систем лінійних рівнянь.

Назвемо розширеною матрицею системи (1)

Теорема Кронекера - Капелі. Система (1) спільна тоді і лише тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці:

§3. Рішення системn лінійних рівнянь зn невідомими.

Розглянемо неоднорідну систему nлінійних рівнянь з nневідомими:

(3)

Теорема Крамера. Якщо головний визначник системи (3)
, то система має єдине рішення, що визначається за формулами:

тобто.
,

де - визначник, що отримується з визначника заміною -го стовпця на стовпець вільних членів

Якщо
, а хоча б один із ≠0, то система рішень не має.

Якщо
, то система має безліч рішень.

Систему (3) можна вирішити, використовуючи її матричну форму запису (2). Якщо ранг матриці Адорівнює n, тобто.
, то матриця Амає зворотну
. Помноживши матричне рівняння
на матрицю
зліва, отримаємо:

Остання рівність виражає спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці.

приклад.Розв'язати систему рівнянь за допомогою зворотної матриці.

Рішення. Матриця
невироджена, оскільки
Отже, існує зворотна матриця. Обчислимо зворотну матрицю:
.

Завдання. Вирішити систему методом Крамера.

§4. Вирішення довільних систем лінійних рівнянь.

Нехай дано неоднорідну систему лінійних рівнянь виду (1).

Припустимо, що система спільна, тобто. виконано умову теореми Кронекера-Капеллі:
. Якщо ранг матриці
(числу невідомих), система має єдине рішення. Якщо
, то система має безліч рішень. Пояснимо.

Нехай ранг матриці r(A)= r< n. Оскільки
, то існує деякий ненульовий мінор порядку r. Назвемо його базовим мінором. Невідомі, коефіцієнти яких утворюють базовий мінор, назвемо базовими змінними. Інші невідомі назвемо вільними змінними. Переставимо рівняння та перенумеруємо змінні так, щоб цей мінор розташовувався у лівому верхньому кутку матриці системи:

Перші rрядків лінійно незалежні, інші виражаються них. Отже, ці рядки (рівняння) можна відкинути. Отримаємо:

Дамо вільним змінним довільні числові значення: . Залишимо в лівій частині лише базисні змінні, вільні перенесемо у праву частину.

Отримали систему rлінійних рівнянь з rневідомими, визначник якої відмінний від 0. Вона має єдине рішення.

Ця система називається загальним розв'язком системи лінійних рівнянь (1). Інакше: вираз базисних змінних через вільні називається загальним рішеннямсистеми. З нього можна отримати безліч приватних рішень, Надаючи вільним змінним довільні значення. Приватне рішення, отримане із загального при нульових значеннях вільних змінних називається базовим рішенням. Число різних базисних рішень не перевищує
. Базове рішення з невід'ємними компонентами називається опорнимрішенням системи.

приклад.

,r=2.

Змінні
- базисні,
- Вільні.

Складемо рівняння; висловимо
через
:

- загальне рішення.

- приватне рішення при
.

- базисне рішення, опорне.

§5. Метод Гауса.

Метод Гаусса - це універсальний метод дослідження та розв'язання довільних систем лінійних рівнянь. Він полягає у приведенні системи до діагонального (або трикутного) виду шляхом послідовного виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень, що не порушують еквівалентність систем. Змінна вважається виключеною, якщо вона міститься лише в одному рівнянні системи з коефіцієнтом 1.

Елементарними перетвореннямисистеми є:

Розмноження рівняння на число, відмінне від нуля;

Додавання рівняння, помноженого на будь-яке число, з іншим рівнянням;

Перестановка рівнянь;

Відкидання рівняння 0 = 0.

Елементарні перетворення можна здійснювати не над рівняннями, а над розширеними матрицями еквівалентних систем, що виходять.

приклад.

Рішення.Випишемо розширену матрицю системи:

Виконуючи елементарні перетворення, наведемо ліву частину матриці до одиничного вигляду: на головній діагоналі створюватимемо одиниці, а поза нею - нулі.

Зауваження. Якщо під час виконання елементарних перетворень отримано рівняння виду 0 = до(де до0), то система несумісна.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих можна оформлювати у вигляді таблиці.

Лівий стовпець таблиці містить інформацію про виключені (базисні) змінні. Інші стовпці містять коефіцієнти при невідомих і вільні члени рівнянь.

У вихідну таблицю записують розширену матрицю системи. Далі приступають до виконання перетворень Жордана:

1. Вибирають змінну , яка стане базисною Відповідний стовпець називають ключовим. Вибирають рівняння, в якому ця змінна залишиться, виключеною з інших рівнянь. Відповідний рядок таблиці називають ключовим. Коефіцієнт , що стоїть на перетині ключового рядка та ключового стовпця, називають ключовим.

2. Елементи ключового рядка поділяють на ключовий елемент.

3. Ключовий стовпець заповнюють нулями.

4. Інші елементи обчислюють за правилом прямокутника. Складають прямокутник, у протилежних вершинах якого знаходяться ключовий елемент і елемент, що перераховується; з добутку елементів, що стоять на діагоналі прямокутника з ключовим елементом, віднімають добуток елементів іншої діагоналі, отриману різницю ділять на ключовий елемент.

приклад. Знайти загальне рішення та базисне рішення системи рівнянь:

Рішення.

Загальне рішення системи:

Базове рішення:
.

Перейти від одного базису системи до іншого дозволяє перетворення одноразового заміщення: замість однієї з основних змінних базис вводять одну з вільних змінних. Для цього в стовпці вільної змінної вибирають ключовий елемент і виконують перетворення за вказаним вище алгоритмом.

§6. Знаходження опорних рішень

Опорним рішенням системи лінійних рівнянь називається базисне рішення, що не містить негативних компонентів.

Опорні рішення системи знаходять методом Гауса під час наступних умов.

1. У вихідній системі всі вільні члени мають бути невід'ємними:
.

2. Ключовий елемент вибирають серед позитивних коефіцієнтів.

3. Якщо при змінній, що вводиться в базис, є кілька позитивних коефіцієнтів, то як ключовий рядок береться той, у якому відношення вільного члена до позитивного коефіцієнта буде найменшим.

Зауваження 1. Якщо в процесі виключення невідомих з'явиться рівняння, в якому всі коефіцієнти є непозитивними, а вільний член
, то система не має невід'ємних рішень.

Зауваження 2. Якщо в стовпцях коефіцієнтів при вільних змінних немає жодного позитивного елемента, то перехід до іншого опорного рішення неможливий.

приклад.