"Комбінаторика це цікаво!"-науковий проект секція математика.

Зміст

Вступ

стор 2

Концепція комбінаторики.

стор 4

Історія розвитку комбінаторики.

стор 5

2.1

Дерево можливих варіантів

стор 6

2.2

Перестановки.

стор 9

2.3

Розміщення.

стор. 10

Комбінаторика у різних галузях життєдіяльності людини.

стор 13

3.1

Комбінаторика у літературі

стор 13

3.2

Комбінаторика на шахівниці та в іграх

стор. 15

3.3

Комбінаторика та кубик Рубіка

стор. 16

3.4

Старовинні завдання

стор. 17

Висновок

стор 18

Література

стор 19

додаток

стор 21

У практичній діяльності людині часто доводиться мати справу із завданнями, в яких потрібно підрахувати число всіх можливих способів розташування деяких предметів або число всіх можливих способів здійснення певної дії.
З комбінаторними обчисленнями доводиться мати справу представникам багатьох спеціальностей: виконробу при розподілі між робітниками різних видів робіт, диспетчеру при складанні графіка руху. Завуч школи, складаючи розклад навчальних занять, використовує різні комбінації, шахіст із різних комбінацій вибирає найкращу і т.д.

Сучасне життя робить завдання на комбінаторні обчислення актуальнимиОскільки поява комп'ютерів різко збільшила можливості комбінаторики і розширила сферу її застосування.

Прикладне значення цієї теми дуже велике і зачіпає фінансову, демографічну, екологічну, соціологічну та інші сторони нашого життя. Інтерес до теми виник, коли я брала участь в олімпіаді з математики, і там зустрічалися такі завдання:

Завдання 1. Зі 100 туристів, що вирушають у закордонну подорож, німецькою мовою володіють 30 осіб, англійською – 28, французькою – 42. Англійською та німецькою одночасно володіють 8 осіб, англійською та французькою – 10, німецькою та французькою – 5, усіма трьома мовами – 3. , туристів не володіють жодною мовою?

Завдання 2.Біг з перешкодами

На доріжках стадіону розставлені бар'єри (кількість бар'єрів на кожній доріжці вказано на малюнку). Кенгуру хоче пробігти від старту до фінішу, перестрибуючи через найменшу можливу кількість бар'єрів. Скільки разів доведеться перестрибнути Кенгуру через бар'єри?

(A)11; (B) 8; (C) 10; (D) 18; (E) 6;

Після олімпіади, я поставив вчителю математики питання: «Як можна зручним способом вирішити завдання такого типу?» І, після цього дізнався, що є розділ математики - "Комбінаторика".

Знаючи комбінаторику, ми зможемо знайти відповіді на багато цікавих питань: скільки існує тризначних чисел, скільки способів у футбольній команді можна обрати капітана та його заступника, скільки способами 8 осіб можуть стати в чергу до театральної каси, скільки існує семи значних чисел, що не містять цифри 5 і, нарешті, яка можливість виграти в російське лото. Дуже цікаво! Невже і я – чи зможу це зрозуміти?

Так виник цей проект. Бажання відповісти на ці запитання та визначило мету мого проекту.

Мета проекту: навчитися вирішувати завдання з розділу «комбінаторика»

Для досягнення мети було поставлено такі завдання:

Вивчити історичний та теоретичний матеріал про комбінаторику.

Систематизувати завдання на комбінаторику за типами розв'язання.

З'ясувати, які завдання у житті доводиться вирішувати людям.

Під час роботи над проектом застосовувалися такі теоретичні методи:

Вивчення та аналіз джерел інформації з комбінаторики та цікавої математики;

Моделювання прийомів використання комбінаторики у завданнях.

Концепція комбінаторики.

У повсякденному житті часто зустрічаються завдання, які мають кілька різних варіантів рішення. Щоб зробити правильний вибір, важливо не пропустити жодного з них. І тому треба вміти здійснювати перебір всіх можливих варіантів чи підраховувати їх число. Завдання, які потребують такого рішення, називають комбінаторними. Область математики, де вивчають комбінаторні завдання, називається комбінаторикою .

В Енциклопедичному словнику юного математика дано визначення: «Комбінаторика - це розділ математики, у якому вивчають, скільки комбінацій, підпорядкованих тим чи іншим умовам, можна з цих об'єктів» . Комбінаторика потрібна вивчення розділу математики «Теорія ймовірностей», який буде обов'язковим щодо шкільного курсу математики.

Спосіб міркування, яким користуються під час вирішення завдання, називають перебором можливих варіантів.

Розділ 2.

2.1. Історія розвитку комбінаторики

Із завданнями, що отримали назву комбінаторних, виявляється, люди стикалися в давнину. Вже кілька тисячоліть тому у Стародавньому Китаї захопилися упорядкуванням магічних квадратів, у яких задані числа розташовувалися отже їх сума за всіма горизонталями, вертикалями і головним діагоналям була однієї й тієї ж.

У Стародавню Грецію підраховували кількість різних комбінацій довгих і коротких слів у віршованих розмірах, займалися теорією фігурних чисел, вивчали постаті, які можна становити з частин особливим чином розрізаного квадрата тощо. Комбінаторні завдання виникли у зв'язку з такими іграми, як шашки, шахи, доміно, карти, кістки і т.д.

Першим розглядав комбінаторику як самостійну галузь науки всесвітньо відомий німецький вчений Готфрід Вільгельм Лейбніц.

У 1666 році Лейбніц опублікував «Міркування про комбінаторне мистецтво». У своєму творі Лейбніц, вводячи спеціальні символи, терміни знаходить все k-поєднання з nелементів, що виводить властивості поєднань, будує таблиці поєднань, після чого розмірковує про додатки комбінаторики до логіки, арифметики, до проблем віршування та ін.

У у вісімнадцятому сторіччі до вирішення комбінаторних завдань зверталися видатні математики. Чудові досягнення у галузі комбінаторики належать Леонарду Ейлеру. Він розглядав завдання про розбиття чисел, про циклічні розстановки, про побудову магічних та латинських квадратів. У 1713 році було опубліковано твір Я. Бернуллі, в якому з достатньою повнотою було викладено відомі на той час комбінаторні факти. Комбінаторними завданнями цікавилися і математики, які займалися складанням та розгадуванням шифрів, вивченням давніх писемностей. Тепер комбінаторика знаходить додатки у багатьох галузях науки: в біології, де вона застосовується вивчення складу білків і ДНК, в хімії, механіці складних споруд тощо. Комбінаторні завдання фізики, хімії, біології, економіки та інших наук, які раніше не піддавалися вирішенню через трудомісткості обчислень, стали успішно вирішуватися на ЕОМ. Внаслідок цього комбінаторні методи дослідження все глибше проникають у багато розділів науки і техніки. Зокрема, за допомогою ЕОМ вирішено проблему чотирьох фарб: доведено, що будь-яку карту можна розфарбувати в чотири кольори так, щоб жодні дві країни, які мають спільний кордон, не були забарвлені в той самий колір.

Ще в 1844 році Дж. Сильвестр говорив: "Кількість, становище і комбінація - три взаємно перетинаються, але різні сфери думки, до яких можна віднести всі математичні ідеї".

2.2. Дерево можливих варіантів.

Різні комбінаторні завдання вирішуються за допомогою складання спеціальних схем. Зовні така схема нагадує дерево, звідси і назва методу. дерево можливі варіанти.Гілки дерева відображають різні події, які можуть мати місце. Корінь дерева – стан, у якому виникає потреба вибору.

Завдання 1.Які трицифрові числа можна становити з цифр 0, 2, 4?

Рішення.Побудуємо дерево можливих варіантів з огляду на те, що 0 не може бути першою цифрою в числі.

Відповідь: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Завдання 2.Шкільні туристи вирішили здійснити подорож до гірського озера. Перший етап колії можна подолати поїздом або автобусом. Другий етап – на байдарках, велосипедах чи пішки. І третій етап шляху – пішки чи за допомогою канатної дороги. Які можливі варіанти подорожі мають шкільні туристи?

Рішення.Збудуємо дерево можливих варіантів, позначивши подорож поїздом П, на автобусі - А, на байдарках - Б, велосипедах - У, пішки - Х,на канатній дорозі - До.

Відповідь:На малюнку перераховано всі 12 можливих варіантів подорожі шкільних туристів.

Завдання 3.Запишіть усі можливі варіанти розкладу п'яти уроків на день із предметів: математика, російська мова, історія, англійська мова, фізкультура, причому математика має бути другим уроком.

Рішення.Побудуємо дерево можливих варіантів, позначивши М- математика, Р- російська мова, І- історія, А- англійська мова, Ф- Фізкультура.

Відповідь:Усього 24 можливі варіанти.

Завдання 4.

Саша ходить до школи в штанах або джинсах, до них надягає сорочки сірого, блакитного, зеленого кольору або в клітку, а як змінне взуття бере туфлі або кросівки.

а) Скільки днів Сашко зможе виглядати по-новому?

б) Скільки днів при цьому він ходитиме у кросівках?

в) Скільки днів він ходитиме в сорочці в клітку та джинсах?

Рішення.Побудуємо дерево можливих варіантів, позначивши Б – штани, Д – джинси, С – сіра сорочка, Г – блакитна сорочка, З – зелена сорочка, Р – сорочка в клітину, Т – туфлі, К – кросівки.

Відповідь:а) 16 днів; б) 8 днів; в) 2 дні.

2.3. Перестановки.

Найпростішими комбінаціями, які можна скласти з елементів кінцевої множини перестановки.

Два елементи a і b можуть бути виписані в рядок лише двома способами: ab та ba. Для трьох елементів існує 6 варіантів. Порахуємо і число перестановок для 4 елементів:

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432,

2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,

3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421,

4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

Усього 24 перестановки, розташовані в 4 стовпці по 6 перестановок у кожному.

Для числа перестановок елементів є позначення: n!(читаємо: «Ен факторіал»).

Факторіалдорівнює добутку всіх натуральних чисел від n до 1.

Наприклад, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Здорово! Один рядок, а перебираючи всі можливі випадки вище, скільки запису всіх перестановок. А якби було не 4 елементи, а 8? Значить, і не треба було виписувати всі можливі перестановки. Невже так легко. Ось завдання, які я зміг вирішити.

Завдання 1.У сім'ї – 6 осіб, і за столом у кухні стоять 6 стільців. Сім'я вирішила щовечора, вечерячи, розсідатись на ці стільці по-новому. Скільки днів члени сім'ї матимуть змогу здійснювати задумане?

Рішення.Відповідь виявляється несподівано великою: виходить майже два роки! Поясню його.

Для зручності міркувань, будемо вважати, що сім'я (бабуся, дідусь, мама, тато, дочка, син) розсаджуватиметься на стільці по черзі. Мене цікавить, скільки всього існує різних способів їхнього розміщення на стільцях. Припустимо, що першою сідає бабуся. У неї є шість варіантів вибору стільця. Другим сідає дідусь і незалежно вибирає стілець із 5, що залишилися. Мама робить свій вибір третьою, і вибір у неї буде із 4 стільців. У тата буде вже три варіанти, у доньки – 2, а син сяде на єдиний незайнятий стілець. За правилом множення отримуємо, що є 720 різних способів розміщення. Отже, у «гра з розсадженнями» сім'я може грати 720 днів, тобто. майже два роки. Тепер стало зрозуміло, що в обох завданнях йшлося про п'ять перестановок.

Завдання 2.З групи тенісистів, до якої входять чотири особи – Антонов, Григор'єв, Сергєєв та Федоров, тренер виділяє пару для участі у змаганнях. Скільки існує варіантів вибору такої пари?

Рішення: Складемо спочатку всі пари, в які входить Антонов (для стислості будемо писати перші літери прізвищ)

Отримаємо три пари: АГ, АС, АФ.

Випишемо тепер пари, куди входить Григор'єв, але з входить Антонов. Таких пар дві: ДС, ГФ.

Інших варіантів складання пар немає, оскільки всі пари, до яких входить Федоров, вже складено.

Отже, ми отримали 6 пар:

АГ, АС, АФ

ДС, ДФ

СФ,

тобто. 3 2 1 = 6. значить,

Існує всього шість варіантів вибору тренером пари тенісистів із групи.

2.4. Розміщення

Наступне важливе поняття комбінаторики – розміщення.

Розміщеннямназивається розташування «предметів» (об'єктів) на деяких «місцях» за умови, що кожне місце зайняте точно одним предметом і всі предмети різні.

Завдання 1. У кафе пропонують дві перші страви: борщ, розсольник – і чотири другі страви: гуляш, котлети, сосиски, пельмені. Вкажіть усі обіди із двох страв, які може замовити відвідувач.

Рішення:

Борщ

Розсольник

гуляш

котлети

сосиски

пельмені

гуляш

котлети

сосиски

пельмені

Відповідь: 8 обідів.

Завдання 2 . У класі, у якому 25 учнів, потрібно обрати командира, його заступника та помічника заступника. Скільки способами це можна зробити?

Рішення:

25 способами можна вибрати будь-якого учня у командири.

Потім із 24 решти - заступника старости.

Після цього будь-хто з 23, хто залишився, може виявитися помічником заступника.

Усього маємо: 25 · 24· 23 = 13800

Відповідь: 13800 способів.

Завдання 3. У футбольній команді (11 осіб) потрібно вибрати капітана та воротаря. Скільки способами це можна зробити?

Рішення:

1. Капітаном може стати будь-хто з 11 футболістів.

2. Після вибору капітана на роль воротаря можуть претендувати 10 осіб, що залишилися.

Таким чином, є 11 · 10 = 110 різних варіантів вибору.

Відповідь: 110 способів.

Завдання 4. Скільки семизначних чисел не містять цифри 2?

Рішення :

Усього цифр 10. Першу цифру може бути нулем і двійкою, отже її можна вибрати 8 способами. Кожну наступну цифру можна вибрати 9 способами.

8 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 4251528.

Відповідь. 4251528 семизначних чисел.

Ось ця кількість. А якби не знати цього способу вирішення, перебрати всі можливі випадки, здається, неможливо. Це довго та небезпечно помилитися.

Завдання 5. Скількими способами можна скласти розклад на день із 5 різних уроків, якщо вивчається 14 предметів.

Рішення:

У цьому прикладі з 14 предметів потрібно вибрати 5. Число способів складання розкладу можна вважати за формулою:

14 · 13 · 12 · 11 · 10 = 240240

Відповідь: 240240 способів.

Завдання 6.Скільки часу потрібно, щоб відкрити двері з кодовим замком, якщо на один набір чисел із 3-х цифр триває 3 секунди. (Причому порядок натискання кнопок із числами неважливий).

Рішення: Першу цифру коду можна вибрати одним із 10 - всього 10 варіантів. Другу цифру можна вибрати будь-який з 9, що залишилися. Отже, лише 10*9*8 = 720 комбінацій. Рішення було б правильним, якби не зауваження в задачі: Причому порядок натискання кнопок з числами неважливий. Це означає, що композиція 123, 321, 213 і т.п. (Усього їх 6) однакові.

Тому треба брати не розміщення, а поєднання. Для поєднань – результат слід розділити на 6, тобто. на число перестановок із трьох елементів, рівних 3!.

720: 6 = 120 комбінацій, 120 · 3 = 360 секунд = 6 хвилин і код буде розгаданий.

Відповідь: 6 хвилин.

3. Комбінаторика у різних галузях життєдіяльності людини.

Області застосування комбінаторики:

навчальні заклади (складання розкладів)

сфера громадського харчування (складання меню)

лінгвістика (розгляд варіантів комбінацій букв)

географія (розмальовка карт)

спортивні змагання (розрахунок кількості ігор між учасниками)

виробництво (розподіл кількох видів робіт між робітниками)

агротехніка (розміщення посівів на кількох полях)

азартні ігри (підрахунок частоти виграшів)

хімія (аналіз можливих зв'язків між хімічними елементами)

економіка (аналіз варіантів купівлі-продажу акцій)

криптографія (розробка методів шифрування)

доставка пошти (розгляд варіантів пересилання)

біологія (розшифрування коду ДНК)

військова справа (розташування підрозділів)

астрологія (аналіз розташування планет та сузір'їв)

3.1 Комбінаторика у літературі.

У байці Івана Андрійовича Крилова "Квартет":«пустунка Мавпа, Осел, Козел і клишоногий Ведмедик» влаштували цікавий досвід, вони досліджували вплив взаємного розташування музикантів на якість виконання.

Проказниця-Марця, Осел, Козел, та клишоногий Ведмедик

Затіяли зіграти Квартет.

Дістали нот, басу, альта, дві скрипки

І сіли на лужок під липки - полонити своїм мистецтвом світло.

Вдарили в смички, б'ють, а толку немає.

«Стій, братики, стій! - кричить Мавпа. - Стривайте!

Як йти музиці? Ви ж не так сидите.

Ти з басом, Мишенько, сідай проти альта,

Я, прима, сяду проти другої;

Тоді піде вже музика не та: у нас затанцюють ліс та гори!»

Розсілися, розпочали Квартет;

Він все-таки на лад не йде.

«Заждіть, я знайшов секрет, -

Кричить Осел: - ми, мабуть, порозуміємося, якщо поруч сядемо».

Послухалися Осла: посідали поважно в ряд;

А все-таки Квартет не ладнає.

Ось ще дужче пішли в них розбори

І суперечки, кому та як сидіти.

Сталося Солов'ю на шум їх прилетіти.

Тут із проханням все до нього, щоб їх вирішити сумнів:

«Мабуть, – кажуть: – візьми на годину терпіння,

Щоб Квартет упорядкував наші навести:

І ноти є в нас, і є інструменти;

Скажи лише, як нам сісти! -

«Щоб музикантом бути, так треба вміння

І вуха ваших, ніжніших, -

Їм відповідає Соловей: -

А ви, друзі, як не сідайте,

Все музиканти не годіться».

Мавпа, Осел, Козел і Ведмедик пересідали, вважаючи, що від цього залежить звучання музики. І якби не втрутився Соловей, учасники квартету напевно перепробували б усі можливі варіанти.

То скільки ж існує способів, щоб розсадити, наприклад, в один ряд, чотирьох музикантів?

Відповідь: 24 способи.

3.2 Комбінаторика на шахівниці та в іграх.

Шахи не тільки популярна гра, а й джерело безлічі цікавих комбінаторних завдань. Не випадково шахові терміни можна зустріти у літературі з комбінаторики. Розглянемо приклади завдань на шахівниці.

Завдання 1: Обійти конем усі поля дошки, відвідавши кожне з них по одному разу

Цим завданням займалися багато математиків XVIII і XIX ст., У тому числі і Л. Ейлер. Хоча завдання було відоме і до Ейлера, лише він вперше звернув увагу на її математичну сутність. Доведено, що таких маршрутів трохи більше 30 млн. Завдання про маршрути складено й інших постатей.

Завдання 2: Скільки способами можна розставити на дошці вісім ферз так, щоб вони не загрожували один одному, тобто ніякі два з них не стояли б на одній лінії (вертикалі, горизонталі, діагоналі).

Доведено, що існує 92 необхідні розстановки. Подібні завдання ставляться всім шахових фігур. Дослідження конкретних позицій або їх класів у грі застосовується для досягнення певних результатів, наприклад, матової позиції за певну кількість ходів. Оскільки боротьба зменшення часу на «обдумування» ходу всієї програмою є важливим чинником, то математики витрачають масу зусиль створення додатків (завдань, що вирішуються при пошуку потрібного ходу), що працюють найбільш швидко, а також вимагають по мінімуму оперативної пам'яті. Цей напрямок породило безліч витончених логіко-обчислювальних проблем. Деякі з них і досі пропонуються на різних математичних та програмістських олімпіадах, а також для розваг на дозвіллі.

Видатні шахісти Клод Шеннон та Михайло Ботвінник зробили величезний внесок у створення математичної моделі шахової гри та сприяли прогресу в інтелектуалізації програм для неї.

Комп'ютерні шахи - чи не найпереконливіший приклад за півстоліття розвитку інформаційних технологій, коли саме в інтелектуальній діяльності автомат успішно змагається з людиною.

3.3 Комбінаторика та кубик Рубіка.

Надзвичайно популярною головоломкою став кубик Рубіка, винайдений у 1975 році викладачем архітектури з Будапешта Ерне Рубіком для розвитку просторової уяви у студентів.

Кубик Рубика- Це куб, як би розрізаний на 27 однакових кубиків. У вихідному положенні кожна грань куба пофарбована в один із 6 кольорів. Дотепний механізм дозволяє повертати будь-який шар із 9 кубиків, що примикає до однієї грані куба, навколо її центру. При цьому кольори граней поєднуються. Завдання полягає в тому, щоб повернути різнокольорові грані кубика у вихідне положення. Теоретично з будь-якого стану кубика можна повернутися у вихідне, не більше ніж за 23 ходи. Найкращий час, показаний на чемпіонаті світу 1982 р. зі швидкісного збирання кубика Рубіка, становив лише 22,95 секунди.

Кубик Рубіка служить не тільки розвагою, а й чудовим наочним посібником з комбінаторики.

3.4 Старовинні завдання

Завдання: «Вовк, козел та капуста»

Селянину треба перевезти через річку вовка, цапа та капусту. Човен такий малий, що в ньому, крім селянина, може поміститися тільки або вовк, або козел, або капуста. Але якщо залишити вовка з козлом, він його з'їсть, а якщо залишити козла з капустою, то буде з'їдено капусту. Як бути селянинові?

Для вирішення потрібно шляхом взаємної перестановки елементів розташувати їх відповідно до умови завдання у певному порядку. Що стосується селянином переправу слід розпочати з перевезення козла. Потім селянин повертається і бере вовка, якого перевозить на інший берег і залишає там, а цапа повертає назад на попередній берег. Звідти забирає капусту та перевозить її до вовка. А потім повертається та забирає козла.

Завдання-гра: "Хрестики нулики"

Найвідоміша давня гра. У квадраті, поділеному на дев'ять клітинок, гравці по черзі ставлять у вільну клітку свій знак: хрестик або нулик, намагаючись побудувати три хрестики або три нуліки поспіль. Той, хто першим це зробить, той і виграє.

Якщо не робити помилок, то гра закінчується у нічию. Виграти можна лише у тому випадку, якщо противник помилиться. Найправильніший хід –

зайняти кутову клітину. І якщо партнер не відповість на це своїм знаком у центрі, він програв.

Завдання-гра: «Нім»Нехай є одна чи кілька груп предметів. Гравці беруть по черзі предмети з груп за правилами, які встановлюють заздалегідь: яку кількість предметів дозволяється брати за один раз і з скількох груп. Існує безліч варіантів гри, і для більшості відома найкраща стратегія, яка веде до виграшу.

Висновок

У ході проекту мною розглядається історія виникнення комбінаторики як науки, починаючи з Стародавнього Китаю та Стародавньої Греції та закінчуючи сучасним періодом її розвитку. У роботі наводяться відомості про великих математиків, які стояли біля витоків теорії комбінаторних завдань, таких як П. Ферма, Галілео Галілей, Я. Бернуллі, Паскаль, Лейбніц, Л. Ейлер та багато інших.

Таким чином, викладені відомості доводять, що комбінаторні завдання супроводжують людство протягом усієї історії, переплітаючись із мистецтвом і наукою, що математиці притаманний елемент гри, яка тренує інтелект і розвиває найрізноманітніші здібності, особливо творчі.

В рамках проекту отримана інформація була вивчена та застосована при вирішенні завдань на перестановки, розміщення, і були зроблені висновки, що, безперечно, знання правил вирішення комбінаторних завдань дає шанс набагато швидше дійти позитивного результату у логічних міркуваннях.

У найближчому майбутньому я навчуся вирішувати складніші завдання комбінаторики, а знання з цієї теми будуть потрібні при вирішенні завдань олімпіадного типу і допоможуть мені в майбутньому при підготовці до підсумкової атестації з математики.

Висновок:Комбінаторика всюди. Комбінаторика скрізь. Комбінаторика навколо нас. Думаю, що мети я досяг, оскільки після написання роботи розширив і поглибив свої знання з комбінаторики і навчився вирішувати завдання з цього розділу.

Література:

1. Енциклопедичний словник юного математика - /упорядник Савінов А.П..- М.: Педагогіка »-1985г.-352стр з іл.

2.Віленкін Н.Я. Комбінаторика.: Вид. "Наука", 1969р.

3.Деплан І. Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника математики. - Посібник для учнів 5-6кл середніх шкіл. М.: Просвітництво, 1989-287стор. з ілюстраціями.

4.Г. Я. Гік «Цікаві математичні ігри». - М.: Знання, 1982р.

5. Математична енциклопедія / Виноградов І.М..-М.: Радянська енциклопедія. Том 3., 1984г

6.Богомолов Н.В. Практичні заняття з математики: Навч. Посібник для технікумів. - 2-ге вид., перераб.-М.: Вищ. Школа, 1983.-399 с., Іл.

7. Енциклопедія для дітей. Т.11. Математика/Голов. ред. М.Д. Аксьонова.- М.: Аванта+, 2002.- 688с.: іл.

Розділ 5.

додаток

Завдання. У мене є улюблений костюм, у якому я ходжу до школи. Я надягаю до нього білу, блакитну, рожеву чи червону блузу. Крім того у

Влітку на канікулах наша сім'я планує поїздку у відпустку до м. Тюмень.

Скільки існує варіантів маршрутів із м. Білоярський до м. Тюмені

і який із них вигідніший за часом і вартістю?

Популярна до омбінаторика . Віленкін Н.Я.

М.: Наука, 1975. - 208 с.

Комбінаторика - важливий розділ математики, знання якого необхідне представникам різних спеціальностей. З комбінаторними завданнями доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, фахівцям з кодів та ін. У книзі в популярній формі розповідається про цікаві комбінаторні завдання та методи їх вирішення.

Формат: djvu/zip

Розмір: 3,3 Мб

/ Download файл

З передмови:

Комбінаторика - галузь математики, що вивчає комбінації та перестановки предметів, - виникла XVII в. Довгий час здавалося, що комбінаторика лежить поза основним руслом розвитку математики та її додатків. Стан справ різко змінилося після появи швидкодіючих обчислювальних машин і пов'язаного з цим розквіту кінцевої математики. Зараз комбінаторні методи застосовуються в теорії випадкових процесів, статистики, математичного програмування, обчислювальної математики, планування експериментів і т. д. У математиці комбінаторика використовується щодо кінцевих геометрій, комбінаторної геометрії, теорії уявлень груп, неасоціативних алгебр і т. д.

Російською мовою є кілька книг, присвячених комбінаториці: "Комбінаторика" М. Холла (М., 1970), "Введення в комбінаторний аналіз" Дж. Ріордаїа (М., 19G3), "Прикладна комбінаторна математика" (М., 1968) . Окремим питанням комбінаторики присвячені книги А. А. Зикова «Теорія кінцевих графів» (Новосибірськ, 1969), Ф. Харарі «Теорія графів» (М., 1973), Т. Сааті «Цілочисленні методи оптимізації та пов'язані з ними екстремальні проблеми» ( М., 1973) та інших. Однак ці книги пред'являють високі вимоги до математичної підготовки читача. Популярні ж книги зазвичай охоплюють лише деякі початкові відомості.

У 1969 р. автор зробив спробу популярно викласти деякі питання комбінаторики («Комбінаторика». М., 1969). Здебільшого книга була присвячена питанням перерахувань. Такі важливі розділи, як теореми про різних та загальних представників, теорема Рамсея, метод Пойя перерахування орбіт тощо, залишилися поза рамками книги. Тому виникла потреба написати нову книгу, в якій поряд із питаннями перечислювальної комбінаторики висвітлювалися б інші сторони цієї науки. Така книга і пропонується до уваги читача.

Зміст
Передмова 3
Глава I. З історії комбінаторики та її додатків 5
Справи давно минулих днів
Таємнича черепаха 6
Комбінаторика у Стародавній Греції 8
Містики, астрологи, каббалісти 11
Комбінаторика та схоластики 12
Комбінаторика у країнах Сходу 13
Liber Abaci 14
Гра в кістки 15
Гравець та науковці 17
Нова гілка математики 18
Шифри та апаграми 20
Ієрогліфи та клинопис 22
Комбінаторика в біології 25
Модель ДНК 26
Генетичний код 27
Хімічний пасьянс. . . 32
Комбінаторика епохи комп'ютерів 33
Розділ II. Можливе та неможливе в комбінаториці 35
Проблеми комбінаторики 35
Магічні квадрати 38
Вісім королів 40
Вся королівська кіннота 42
Гра в 15 43
Офіцерське каре 45
Посів пшениці 47
Число знайомих 49
Наукове листування 50
Вибір представників 52
Графічне рішення 55
Загальні представники 58
Острови та мости 59
Навколосвітня подорож 60
Чотири фарби 61
Завдання до глави II 62
Розділ III. Комбінаторика кортежів та множин 73
Забобонні голова 73
Кортежі 74
Правило твору 76
Розміщення про повторення.. 77
Коди. 77
Секретні замки 78
Першість з футболу 79
Завдання про тури 80
Перестановки з повтореннями 81
Купівля тістечок 83
Картки «Спортлото» 85
Виграші «Спортлото» 86
Генуезька лотерея 87
Деякі властивості поєднань 89
Арифметичний трикутник 90
Людина блукає містом 91
Броунівський рух 93
Блукання по нескінченній площині 94
Корова чи ворона? 96
Аналіз звіту 99
Погана погода 100
Формула включень та виключень 102
Частковий випадок формули включень та виключень 103
Решето Ератосфена 103
Завдання до глави III. 105
Комбінаторика розкладок а розбиття 118
Кулі та лузи. 118
Партія у преферанс 120
Сушіння грибів 121
Різні статистики 122
Прапори на щоглах 123
Повна кількість сигналів 124
Розподіл навантаження 124
Числа Стірлінга 126
Комбінаторика класифікацій 127
Жетони в мішку 129
Узагальнений арифметичний трикутник.... 130
Проблема абітурієнта. , 131
Відправка бандеролі 132
Комбінаторні задачі теорії інформації. . 134
Кролики Фібоначчі 134
Розбиття чисел 136
Сплата грошей 136
Як розміняти гривеньник? 138
Діаграмна техніка 139
Розбиття фігур
Алгебра комбінаторики
Дробові предмети
Ряд Ньютона
Виробляючі функції
Щасливі тролейбусні квитки
Набір гір

Завдання до розділу IV
Глава V. Комбінаторні завдання з обмеженнями 161
Перестановки з обмеженнями 161
Будівництво сходів 162
Книжкова полиця 163
Лицарі короля Артура 163
Дівчина поспішає на побачення 164
Заборонені зони 165
Загальна формула 166
За обіднім столом 169
Слони, що розбушувалися, 171
Симетричні розташування 173
Караван у пустелі 175
Утруднення мажордома 177
Черга до каси 178
У Шамаханської цариці 182
Поглинаюча та відбиваюча стінки 184
Завдання про дві шеренги 184
Завдання до розділу V 186
Глава VI. Комбінаторика орбіт 191
Перетворення та орбіти 191
Хоровод 192
Розмальовка куба 103
Чорно-білий квадрат 194
Орбіти та групи перетворень 195
Нерухомі елементи 197
Чорно-білий куб 199
Сполучення та цикли
Завдання до розділу VI 204

Інші книги схожої тематики:

також в інших словниках:

- (Комбінаторний аналіз) розділ математики, що вивчає дискретні об'єкти, множини (поєднання, перестановки, розміщення та перерахування елементів) та відношення на них (наприклад, часткового порядку). Комбінаторика пов'язана з багатьма іншими ... Вікіпедія

У Вікіпедії є статті про інших людей з таким прізвищем, див. Віленкін. Наум Якович Віленкін (30 жовтня 1920 р., Москва 19 жовтня 1991 р.) відомий математик і популяризатор математики. Біографія Закінчив МДУ (1942), доктор фізико-математичних… … Вікіпедія

Висвітлює розвиток комбінаторики розділу кінцевої математики, який досліджує в основному різні способи вибірки заданого числа m елементів із заданої кінцевої множини: розміщення, поєднання, перестановки, а також перерахування та суміжні… Вікіпедія

У комбінаториці перестановка це впорядкований набір чисел зазвичай трактується як бієкція на множині, яка числу i ставить відповідність i елемент з набору. Число n у своїй називається порядком перестановки. Як синонім слову… … Вікіпедія

У комбінаториці розміщенням називається розташування «предметів» (об'єктів) на деяких «місцях» за умови, що кожне місце зайняте точно одним предметом і всі предмети різні. Більш формально, розміщенням (з n до k) називається… … Вікіпедія

Наум Якович Віленкін (1921-1991) відомий математик і популяризатор математики. Є автором широко відомої монографії «Спеціальні функції та теорія уявлень груп» (1965, 1991), яка згодом була (разом з А. У. Климиком)… … Вікіпедія

Наум Якович Віленкін (1921-1991) відомий математик і популяризатор математики. Є автором широко відомої монографії «Спеціальні функції та теорія уявлень груп» (1965, 1991), яка згодом була (разом з А. У. Климиком)… … Вікіпедія

Наум Якович Віленкін (1921-1991) відомий математик і популяризатор математики. Є автором широко відомої монографії «Спеціальні функції та теорія уявлень груп» (1965, 1991), яка згодом була (разом з А. У. Климиком)… … Вікіпедія

Наум Якович Віленкін (1921-1991) відомий математик і популяризатор математики. Є автором широко відомої монографії «Спеціальні функції та теорія уявлень груп» (1965, 1991), яка згодом була (разом з А. У. Климиком)… … Вікіпедія

Наум Якович Віленкін (1921-1991) відомий математик і популяризатор математики. Є автором широко відомої монографії «Спеціальні функції та теорія уявлень груп» (1965, 1991), яка згодом була (разом з А. У. Климиком)… … Вікіпедія

Назва: Популярна комбінаторика 1975.

Комбінаторика- важливий розділ математики, знання якого необхідне представникам різних спеціальностей. З комбінаторними завданнями доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, фахівцям з кодів та ін. У книзі в популярній формі розповідається про цікаві комбінаторні завдання та методи їх вирішення.

Зміст
Передмова 3
Глава I. З історії комбінаторики та її додатків 5
Справи давно минулих днів
Таємнича черепаха 6
Комбінаторика у Стародавній Греції 8
Містики, астрологи, каббалісти 11
Комбінаторика та схоластики 12
Комбінаторика у країнах Сходу 13
Liber Abaci 14
Гра в кістки 15
Гравець та науковці 17
Нова гілка математики 18
Шифри та апаграми 20
Ієрогліфи та клинопис 22
Комбінаторика в біології 25
Модель ДНК 26
Генетичний код 27
Хімічний пасьянс 32
Комбінаторика епохи комп'ютерів 33
Розділ II. Можливе та неможливе у комбінаториці 35
Проблеми комбінаторики 35
Магічні квадрати 38
Вісім королів 40
Вся королівська кіннота 42
Гра в 15 43
Офіцерське каре 45
Посів пшениці 47
Число знайомих 49
Наукове листування 50
Вибір представників 52
Графічне рішення 55
Загальні представники 58
Острови та мости 59
Навколосвітня подорож 60
Чотири фарби 61
Завдання до глави II 62
Розділ III. Комбінаторика кортежів та множин 73
Забобонні голова 73
Кортежі 74
Правило твору 76
Розміщення про повторення 77
Коди. 77
Секретні замки 78
Першість з футболу 79
Завдання про тури 80
Перестановки з повтореннями 81
Купівля тістечок 83
Картки «Спортлото» 85
Виграші «Спортлото» 86
Генуезька лотерея 87
Деякі властивості поєднань 89
Арифметичний трикутник 90
Людина блукає містом 91
Броунівський рух 93
Блукання по нескінченній площині 94
Корова чи ворона? 96
Аналіз звіту 99
Погана погода 100
Формула включень та виключень 102
Частковий випадок формули включень та виключень 103
Решето Ератосфена 103
Завдання до глави III 105
Комбінаторика розкладок а розбиття 118
Кулі та лузи 118
Партія у преферанс 120
Сушіння грибів 121
Різні статистики 122
Прапори на щоглах 123
Повна кількість сигналів 124
Розподіл навантаження 124
Числа Стірлінга 126
Комбінаторика класифікацій 127
Жетони в мішку 129
Узагальнений арифметичний трикутник.... 130
Проблема абітурієнта 131
Відправка бандеролі 132
Комбінаторні задачі теорії інформації. . 134
Кролики Фібоначчі 134
Розбиття чисел 136
Сплата грошей 136
Як розміняти гривеньник? 138
Діаграмна техніка 139
Розбиття фігур
Алгебра комбінаторики
Дробові предмети
Ряд Ньютона
Виробляючі функції
Щасливі тролейбусні квитки
Набір гір
Завдання до розділу IV
Глава V. Комбінаторні завдання з обмеженнями 161
Перестановки з обмеженнями 161
Будівництво сходів 162
Книжкова полиця 163
Лицарі короля Артура 163
Дівчина поспішає на побачення 164
Заборонені зони 165
Загальна формула 166
За обіднім столом 169
Слони, що розбушувалися, 171
Симетричні розташування 173
Караван у пустелі 175
Утруднення мажордома 177
Черга до каси 178
У Шамаханської цариці 182
Поглинаюча та відбиваюча стінки 184
Завдання про дві шеренги 184
Завдання до розділу V 186
Розділ VI. Комбінаторика орбіт 191
Перетворення та орбіти 191
Хоровод 192
Розмальовка куба 103
Чорно-білий квадрат 194
Орбіти та групи перетворень 195
Нерухомі елементи 197
Чорно-білий куб 199
Сполучення та цикли
Завдання до розділу VI 204

Безкоштовно завантажити електронну книгу у зручному форматі, дивитися та читати:
Скачати книгу Популярна комбінаторика - Віленкін Н.Я. - fileskachat.com, швидке та безкоштовне скачування.

Завантажити djvu
Нижче можна купити цю книгу за найкращою ціною зі знижкою з доставкою по всій Росії.