Конспект уроку з геометрії "циліндр, його елементи". Опорний конспект з геометрії на тему "циліндр" Неправильний циліндр

Циліндр

Опр. Циліндром називається тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються

паралельним перенесенням та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки

цих кіл.

Кола називають основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл цих кіл – утворюють циліндра (рис. 1)

Мал. 1 рис. 2 рис. 3 рис. 4

Властивості циліндра:

1) Основи циліндра рівні і лежать у паралельних площинах.

2) Утворювальні циліндри рівні і паралельні.

Опр. Радіусом циліндра називається радіус його основи.

Опр. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ.

Опр. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином.

Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами 2R та l(У прямому циліндрі l= Н) рис. 2

Перетин циліндра, паралельні осі, є прямокутниками (рис. 3).

Перетин циліндра площиною, паралельною основам – коло, рівне основам (рис. 4)

Площа поверхні циліндра.

Бічна поверхня циліндра складена з утворюючих.

Повна поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні.

S повний = 2 S осн + S бік ; S осн = П ∙ R 2 ; S бік = 2 П ∙ R ∙НS повний = 2ПR ∙(R + Н)

Практична частина:

№1. Радіус циліндра дорівнює 3см, яке висота- 5см. Знайдіть площу осьового перерізу і площу пів-

ної поверхні циліндра.

№2. Діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом.
і дорівнює 20 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

№3. Радіус циліндра дорівнює 2см, яке висота- 3см. Знайдіть діагональ осьового перерізу циліндра.

№4. Діагональ осьового перерізу циліндра, рівна
, утворює з площиною основи кут
. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

№5. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 15 . Знайдіть площу осьового перерізу.

№6. Знайдіть висоту циліндра, якщо площа його основи дорівнює 1, а S бік =
.

№7. Діагональ осьового перерізу циліндра має довжину 8см і нахилена до площини основи під кутом.
. Знайдіть повну поверхню циліндра.

Циліндрична димова труба з діаметром 65см має висоту 18м. Скільки жерсті потрібно для виготовлення, якщо на заклепку йде 10% матеріалу?

Тема уроку: Циліндр, його елементи.

Мета уроку:

Закріплення у учнів знань про тілі обертання – циліндр (елементи циліндра, формули площі бічної та повної поверхні циліндра).

Мета учня:вміти вирішувати типові завдання на циліндр у завданнях ЕНТ.

Завдання уроку:

1. сформувати навички вирішення типових завдань;

2. розвивати просторові уявлення з прикладу круглих тіл;

3. продовжити формування логічних та графічних умінь.

Тип уроку: комбінований.

Методи навчання:словесний, практична діяльність, робота з книгою, проблемна.

Обладнання:дошка, таблиця №3, набір моделей.

Хід уроку

1. Організаційний момент:

1. цілепокладання

2. психологічний настрій.

2. Актуалізація опорних знань.

1) Робота за картками.

Учням пропонується заповнити лист із завданнями.

Можливий варіант роботи із застосуванням копіювання (у разі один примірник здається вчителю, а другий учень перевіряє під час подальшої роботи на уроці).

Картка.

1. Нанесіть на рисунок основні елементи циліндра.

2

.Зобразіть а) осьовий переріз циліндра; б) переріз циліндра площиною, що проходить перпендикулярно до осі циліндра; в) переріз циліндра площиною, що проходить паралельно осі циліндра. Яка постать виходить у кожному випадку?

3. Запишіть формули для обчислення площі поверхні циліндра.

Що можна знайти за цими формулами? Що має бути відомо у цих випадках?

Учні здають листи із завданням.

3. Усна робота з моделей. (з метою узагальнення знань та перевірки виконаної роботи)

1) Яка фігура називається циліндром?

Циліндр – це геометричне тіло, що складається з двох рівних кіл, розташованих у паралельних площинах та безлічі відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл.

2) Чому циліндр називають тілом обертання?

Циліндр можна отримати обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін.

3) Назвіть види циліндрів?

Похилі циліндри, прямі циліндри, циліндричні поверхні.

4) Назвіть елементи циліндра.

Основи циліндра - Рівні кола, розташовані в паралельних площинах.

Висота циліндра - це відстань між площинами його основ.

Радіус циліндра - Це радіус його заснування.

Вісь циліндра - Це пряма, що проходить через центри основи циліндра (вісь циліндра є віссю обертання циліндра).

Утворююча циліндра - це відрізок що з'єднує точку кола верхньої основи з відповідною точкою кола нижньої основи. Усі утворюють паралельні осі обертання і мають однакову довжину, що дорівнює висоті циліндра.

Утворююча циліндра при обертанні навколо осі утворює бічну (циліндричну) поверхню циліндра .

5) Що таке розгортка циліндра?

6) Як знайти площу бічної поверхні циліндра?

S б = H · C = 2 π RH

7) Як знайти площу повної поверхні циліндра?

S п = S б + 2 S = 2 π R (R + H ).

8) Назвіть основні види перерізів циліндра. Яка постать виходить у кожному випадку?

Осьовий переріз циліндра – переріз циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра (осьовий переріз циліндра є площиною симетрії циліндра). Усі осьові перерізи циліндра – рівні прямокутники.

Переріз площиною паралельної осі циліндра. У перетині – прямокутники.

Перетин площиною перпендикулярної осі циліндра. У перерізі кола, рівні основи.

9) Наведіть приклади використання циліндрів.

Циліндрична гастрономія. Циліндрична архітектура. Циліндри фараона (виступ учня 1-2 хв).

4. Закріплення матеріалу. Вирішення задач.

У ченики бачать список завдань для класної роботи. За бажанням учні мають можливість вирішувати з випередженням на оцінку.

№ 2 . Осьовий переріз циліндра – квадрат, діагональ якого дорівнює 20 см. Знайдіть: а) висоту циліндра; б) So циліндра.

№3 Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 10 м 2 а площа основи - 5 м 2 . Знайдіть висоту циліндра.

№4 Кінці відрізка АВ лежать різних підставах циліндра. Радіус циліндра дорівнює r, його висота - h, відстань між прямою АВ і віссю циліндра дорівнює d. Знайдіть: a) висоту, якщо r = 10, d= 8; AB = 13.

№5* Через утворюючу АА 1 циліндра проведено дві сіючі площини, одна з яких проходить через вісь циліндра. Знайдіть відношення площ перерізів циліндра цими площинами, якщо кут між ними дорівнює j .

Площина g , паралельна осі циліндра, відсікає від кола основи дугу A m D із градусною мірою a . Радіус циліндра дорівнює a, висота дорівнює h, відстань між віссю циліндра ГО 1 і площиною g дорівнює d.

Чого ви навчилися?

Який у вас настрій наприкінці уроку?

Чи можете ви пояснити розв'язання цих завдань однокласнику, який сьогодні пропустив урок?

Циліндр (круговий циліндр) – тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються паралельним переносом, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл колів, - утворюють циліндра.

Основи циліндра рівні й лежать у паралельних площинах, а утворюють циліндри паралельні й рівні. Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бокову поверхню складають утворюючі.

Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні площинам основи. Циліндр можна як тіло, отримане при обертанні прямокутника навколо однієї зі сторін як осі. Існують інші види циліндра – еліптичний, гіперболічний, параболічний. Призму так само розглядають як різновид циліндра.

На малюнку 2 зображено похилий циліндр. Кола з центрами Про і Про є його основами.

Радіус циліндра – радіус його основи. Висота циліндра – відстань між площинами основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином. Площина, що проходить через утворює прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною циліндра.

Площина, перпендикулярна осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи.

Призмою, вписаною в циліндр, називається така призма, основи якої рівні багатокутники, вписані в основи циліндра. Її бічні ребра є утворюючими циліндрами. Призма називається описаною біля циліндра, якщо її основи - рівні багатокутники, описані біля основ циліндра. Площини її граней стосуються бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра можна обчислити, помноживши довжину утворюючої на периметр перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.

Площу бічної поверхні прямого циліндра можна знайти по його розгортці. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою h і довжиною P, яка дорівнює периметру основи. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:

Зокрема, для прямого кругового циліндра:

P = 2πR, і S b = 2πRh.

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та її основ.

Для прямого кругового циліндра:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Для знаходження об'єму похилого циліндра є дві формули.

Можна знайти об'єм, помноживши довжину утворюючої на площу перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.

Об'єм похилого циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту (відстань між площинами, в яких лежать основи):

V = Sh = S l sin α,

де l – довжина утворюючої, а α – кут між утворюючою та площиною основи. Для прямого циліндра h = l.

Формула для знаходження об'єму кругового циліндра виглядає так:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

де d – Діаметр основи.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Циліндрична поверхня утворюється за допомогою руху прямої паралельно до самої себе. Точка прямої, яка виділена, переміщається вздовж заданої плоскої кривої - спрямовуючою. Ця пряма називається утворює циліндричної поверхні.

Прямий циліндр- це такий циліндр, в якому утворюють перпендикулярні основи. Якщо утворювальні циліндри не перпендикулярні до основи, то це буде похилий циліндр.

Круговий циліндр- Циліндр, основою якого є коло.

Круглий циліндр- Такий циліндр, який одночасно і прямий, і круговий.

Прямий круговий циліндрвизначається радіусом основи Rі твірною L, яка дорівнює висоті циліндра H.

Призма – це окремий випадок циліндра.

Формули знаходження елементів циліндра.

Площа бічної поверхні прямого кругового циліндра:

S бік = 2πRH

Площа повної поверхні прямого кругового циліндра:

S = Sбік+ 2Sосн = 2 π R(H + R)

Об'єм прямого кругового циліндра:

V = S осн H = πR 2 H

Прямий круговий циліндр зі скошеною основою або коротко скошений циліндр визначають за допомогою радіусу основи R, мінімальної висоти h 1та максимальної висоти h 2.

Площа бічної поверхні скошеного циліндра:

S бік = πR(h 1 + h 2)

Площа основ скошеного циліндра.

Циліндр є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.

У циліндра є три поверхні: вершина, основа, та бічна поверхня.

Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.

Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр, це звичайна консервна банка, яка не має верхньої кришки і дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).

Після повного розкриття отриманої банки побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.

Коли бічна стінка циліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола (L = 2πr) та висота циліндра (h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.

Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh

Площа повної поверхні циліндра

Зрештою, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхонь, ми отримаємо формулу площі повної поверхні циліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).

Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра

Приклади розрахунку площі поверхні циліндра

Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.

1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S бік. = 2πrh

S бік. = 2 * 3,14 * 2 * 34.6. Усього отримано оцінок: 990.