Координати прямий за двома точками. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки: приклади, рішення

Властивості прямої в евклідовій геометрії.

Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.

Через будь-які дві точки, що не збігаються, можна провести єдину пряму.

Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

прямі перетинаються;

прямі паралельні;

прямі схрещуються.

Пряма лінія— крива алгебри першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія

задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- Пряма проходить через початок координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- Пряма паралельна осі Ох

. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- Пряма паралельна осі Оу

. В = С = 0, А ≠0- Пряма збігається з віссю Оу

. А = С = 0, В ≠0- Пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному вигляді залежно від будь-яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій системі прямокутної координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже

З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,

проходить через ці точки:

Якщо один із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання

прямий через точку та напрямний вектор прямий.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямний вектор прямий.

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або , де

Геометричний зміст коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число , Яке називається

нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої у відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

Рівняння прямої:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осям або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кут між цими прямими

визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й З 1 = λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b

є рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 у 0),та відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:

Доведення. Нехай крапка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Визначення.Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 (By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А ≠0 – пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В ≠0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямий може бути представлено у різному вигляді залежно від якихось заданих початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі

Визначення.У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже, С = -1 . Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.

якщо х 1 ≠ х 2 і х = х 1 якщо х 1 = х 2 .

Дроб = k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення.Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом

Якщо загальне Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтомk.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.

Визначення.Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові А α 1 + В α 2 = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення.Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

Рівняння прямої у відрізках

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо: або

Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямий з віссю Оу.

приклад.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 помножити на число , Яке називається нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

нормальне рівняння прямої. Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ*С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цієї прямої.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або проходять через початок координат.

приклад. Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .

Рішення.Рівняння прямої має вигляд: , ab/2 = 8; ab=16; a = 4, a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.

Рішення. Рівняння прямої має вигляд: де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Кут між прямими на площині

Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = А, В 1 = В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

Доведення.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = π /4.

приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Ця стаття розкриває отримання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки прямокутної системі координат, розташованої на площині. Виведемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки у прямокутній системі координат. Наочно покажемо і вирішимо кілька прикладів щодо пройденого матеріалу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед отриманням рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, необхідно звернути увагу на деякі факти. Існує аксіома, яка говорить про те, що через дві точки, що не збігаються, на площині можливо провести пряму і тільки одну. Інакше висловлюючись, дві задані точки площини визначаються прямою лінією, що проходить через ці точки.

Якщо площина задана прямокутною системою координат Оху, то будь-яка зображена в ньому пряма буде відповідати рівнянню прямої на площині. Також є зв'язок з напрямним вектором прямої. Цих даних достатньо для того, щоб зробити складання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Розглянемо на прикладі розв'язання такого завдання. Необхідно скласти рівняння прямої a , що проходить через дві точки M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) , що знаходяться в декартовій системі координат.

У канонічному рівнянні прямої на площині, що має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y , визначається прямокутна система координат О х у з прямою, яка перетинається з нею в точці з координатами M 1 (x 1 , y 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y).

Необхідно скласти канонічне рівняння прямої a, яка пройде через дві точки з координатами M 1 (x 1, y 1) і M 2 (x 2, y 2).

Пряма а має напрямний вектор M 1 M 2 → з координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1), оскільки перетинає точки М 1 і М 2 . Ми отримали необхідні дані для того, щоб перетворити канонічне рівняння з координатами напрямного вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) і координатами точках, що лежать на них, M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2, y 2). Отримаємо рівняння виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Наслідуючи обчислення, запишемо параметричні рівняння прямої на площині, яке проходить через дві точки з координатами M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) . Отримаємо рівняння виду x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ.

Розглянемо докладніше на вирішенні кількох прикладів.

Приклад 1

Записати рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки з координатами M 1 - 5 2 3 M 2 1 - 1 6 .

Рішення

Канонічним рівнянням для прямої, що перетинається у двох точках з координатами x 1 , y 1 і x 2 , y 2 набуває вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . За умовою завдання маємо, що x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необхідно підставити числові значення рівняння x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Звідси отримаємо, що канонічне рівняння набуде вигляду x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Відповідь: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

При необхідності розв'язання задачі з іншим видом рівняння, то для початку можна перейти до канонічного, тому що з нього простіше дійти будь-якого іншого.

Приклад 2

Скласти загальне рівняння прямої, яка проходить через точки з координатами M 1 (1 , 1) і M 2 (4 , 2) у системі координат О х у.

Рішення

Для початку необхідно записати канонічний рівняння заданої прямої, яка проходить через задані дві точки. Отримаємо рівняння виду x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Наведемо канонічне рівняння до виду, тоді отримаємо:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Відповідь: x - 3 y + 2 = 0.

Приклади таких завдань було розглянуто у шкільних підручниках під час уроків алгебри. Шкільні завдання відрізнялися тим, що відомим було рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Якщо необхідно знайти значення кутового коефіцієнта k та числа b, при яких рівняння y = k x + b визначає лінію в системі О х у, яка проходить через точки M 1 (x 1 , y 1) та M 2 (x 2 , y 2) де x 1 ≠ x 2 . Коли x1 = x2 тоді кутовий коефіцієнт набуває значення нескінченності, а пряма М 1 М 2 визначена загальним неповним рівнянням виду x - x 1 = 0 .

Тому що точки М 1і М 2знаходяться на прямій, тоді їх координати задовольняють рівняння y 1 = k x 1 + b і y 2 = k x 2 + b. Слід вирішити систему рівнянь y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b щодо k і b.

Для цього знайдемо k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

З такими значеннями k і b рівняння прямої, що проходить через задані дві точки, набуває наступного вигляду y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запам'ятати відразу таку величезну кількість формул не вдасться. Для цього необхідно частішати кількість повторень у розв'язках задач.

Приклад 3

Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точки з координатами M 2 (2 1) і y = k x + b .

Рішення

Для вирішення задачі застосовуємо формулу з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Коефіцієнти k і b повинні набувати такого значення, щоб дане рівняння відповідало прямий, що проходить через дві точки з координатами M 1 (- 7 , - 5) і M 2 (2 , 1) .

Крапки М 1і М 2розташовуються на прямій, тоді їх координати повинні звертати рівняння y = k x + b правильну рівність. Звідси отримуємо, що - 5 = k · (- 7) + b та 1 = k · 2 + b . Об'єднаємо рівняння в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b і розв'яжемо.

При підстановці отримуємо, що

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Тепер значення k = 2 3 і b = - 1 3 піддаються підстановці рівняння y = k x + b. Отримуємо, що шуканим рівнянням, що проходить через задані точки, буде рівняння, що має вигляд y = 23x - 13.

Такий спосіб вирішення визначає витрати великої кількості часу. Існує спосіб, у якому завдання вирішується буквально на дві дії.

Запишемо канонічне рівняння прямої, що проходить через M 2 (2 , 1) і M 1 (- 7 , - 5) , що має вигляд x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Тепер переходимо до рівняння у кутовому коефіцієнті. Отримуємо, що: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Відповідь: y = 2 3 x - 1 3 .

Якщо в тривимірному просторі є прямокутна система координат О х у z з двома заданими незбігаючими точками з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , що проходить через них пряма M 1 M 2 необхідно отримати рівняння цієї прямої.

Маємо, що канонічні рівняння виду x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z та параметричні види x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ здатні задати лінію в системі координат О х у z , що проходить через точки, що мають координати (x 1 , y 1 , z 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y , a z) .

Пряма M 1 M 2 має напрямний вектор виду M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , де пряма проходить через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) та M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , звідси канонічне рівняння може бути виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , у свою чергу параметричні x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Розглянемо малюнок, на якому зображені 2 задані точки у просторі та рівняння прямої.

Приклад 4

Написати рівняння прямої, визначеної у прямокутній системі координат О х у z тривимірного простору, що проходить через задані дві точки з координатами M 1 (2 , - 3 , 0) та M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Рішення

Потрібно знайти канонічне рівняння. Оскільки йдеться про тривимірний простір, значить при проходженні прямої через задані точки, шукане канонічне рівняння набуде вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

За умовою маємо, що x1 = 2, y1 = -3, z1 = 0, x2 = 1, y2 = -3, z2 = -5. Звідси випливає, що необхідні рівняння запишуться таким чином:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Відповідь: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Ця стаття продовжує тему рівняння прямої на площині: розглянемо такий вид рівняння, як загальне рівняння прямої. Задамо теорему та наведемо її доказ; Розберемося, що таке неповне загальне рівняння прямої і як здійснювати переходи від загального рівняння до інших типів рівнянь прямої. Усю теорію закріпимо ілюстраціями та вирішенням практичних завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нехай на площині задано прямокутну систему координат O x y .

Теорема 1

Будь-яке рівняння першого ступеня, що має вигляд A x + B y + C = 0 де А, В, С – деякі дійсні числа (А і В не рівні одночасно нулю) визначає пряму лінію в прямокутній системі координат на площині. У свою чергу, будь-яка пряма у прямокутній системі координат на площині визначається рівнянням, що має вигляд A x + B y + C = 0 при деякому наборі значень А, В, С.

Доведення

зазначена теорема і двох пунктів, доведемо кожен із них.

Доведемо, що рівняння A x + B y + C = 0 визначає на площині пряму.

Нехай існує деяка точка М 0 (x 0 , y 0) координати якої відповідають рівнянню A x + B y + C = 0 . Отже: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Віднімемо з лівої та правої частин рівнянь A x + B y + C = 0 ліву та праву частини рівняння A x 0 + B y 0 + C = 0 отримаємо нове рівняння, що має вигляд A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Воно еквівалентне A x + B y + C = 0.

Отримане рівняння A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 є необхідною та достатньою умовою перпендикулярності векторів n → = (A , B) та M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0 ). Таким чином, безліч точок M (x , y) задає у прямокутній системі координат пряму лінію, перпендикулярну до напрямку вектора n → = (A , B) . Можемо припустити, що це не так, але тоді вектори n → = (A , B) і M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) не були б перпендикулярними, і рівність A (x - x 0 ) + B(y - y 0) = 0 не було б вірним.

Отже, рівняння A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 визначає деяку пряму у прямокутній системі координат на площині, а отже, і еквівалентне йому рівняння A x + B y + C = 0 визначає ту саму пряму. Так ми довели першу частину теореми.

Наведемо доказ, що будь-яку пряму в прямокутній системі координат на площині можна встановити рівнянням першого ступеня A x + B y + C = 0 .

Задамо в прямокутній системі координат на прямій площині a ; точку M 0 (x 0 , y 0) , якою проходить ця пряма, і навіть нормальний вектор цієї прямої n → = (A , B) .

Нехай також існує деяка точка M (x, y) - плаваюча точка пряма. У такому разі вектори n → = (A , B) і M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) є перпендикулярними один одному, і їх скалярний твір є нуль:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Перепишемо рівняння A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, визначимо C: C = - A x 0 - B y 0 і в кінцевому результаті отримаємо рівняння A x + B y + C = 0.

Так ми довели і другу частину теореми, і довели всю теорему в цілому.

Визначення 1

Рівняння, що має вигляд A x + B y + C = 0 – це загальне рівняння прямоїна площині у прямокутній системі координатO x y.

Спираючись на доведену теорему, ми можемо зробити висновок, що задані на площині фіксованої прямокутної системи координат пряма лінія та її загальне рівняння нерозривно пов'язані. Інакше висловлюючись, вихідної прямої відповідає її загальне рівняння; загальному рівнянню прямої відповідає задана пряма.

З доказу теореми також випливає, що коефіцієнти А і В при змінних x та y є координатами нормального вектора прямої, яка задана загальним рівнянням прямої A x + B y + C = 0 .

Розглянемо конкретний приклад загального рівняння прямої.

Нехай встановлено рівняння 2 x + 3 y - 2 = 0 , якому відповідає пряма лінія в заданій прямокутній системі координат. Нормальний вектор цієї прямої – це вектор n → = (2, 3) . Зобразимо задану пряму лінію на кресленні.

Також можна стверджувати і таке: пряма, яку ми бачимо на кресленні, визначається загальним рівнянням 2 x + 3 y - 2 = 0 оскільки координати всіх точок заданої прямої відповідають цьому рівнянню.

Ми можемо отримати рівняння λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , помноживши обидві частини загального рівняння прямої на число λ, що не дорівнює нулю. Отримане рівняння є еквівалентом вихідного загального рівняння, отже, описуватиме ту ж пряму на площині.

Визначення 2

Повне загальне рівняння прямої– таке загальне рівняння прямої A x + B y + C = 0 , в якому числа А, В, відмінні від нуля. В іншому випадку рівняння є неповним.

Розберемо всі варіації неповного загального рівняння прямої.

Коли А = 0 , ≠ 0 , С ≠ 0 , загальне рівняння набуває вигляду B y + C = 0 . Таке неповне загальне рівняння задає у прямокутній системі координат O x y пряму, яка паралельна осі O x , оскільки за будь-якого дійсного значення x змінна y набуде значення -C B. Інакше кажучи, загальне рівняння прямої A x + B y + C = 0 , коли А = 0 , В ≠ 0 задає геометричне місце точок (x , y) , координати яких рівні одному й тому ж числу -C B.
Якщо А = 0, В ≠ 0, С = 0, загальне рівняння набуває вигляду y = 0. Таке неповне рівняння визначає вісь абсцис O x.
Коли А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 отримуємо неповне загальне рівняння A x + С = 0 , що задає пряму, паралельну осі ординат.
Нехай А ≠ 0, В = 0, С = 0, тоді неповне загальне рівняння набуде вигляду x = 0, і це є рівняння координатної прямої O y.
Нарешті, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неповне загальне рівняння набуває вигляду A x + B y = 0 . І це рівняння визначає пряму, яка проходить через початок координат. Справді, пара чисел (0 , 0) відповідає рівності A x + B y = 0, оскільки А 0 + 0 = 0 .

Графічно проілюструємо всі вищезгадані види неповного загального рівняння прямої.

Приклад 1

Відомо, що задана пряма паралельна осі ординат і проходить через точку 2 7 - 11 . Необхідно записати загальне рівняння заданої прямої.

Рішення

Пряма, паралельна осі ординат, визначається рівнянням виду A x + C = 0 , в якому А ≠ 0 . Також умовою задані координати точки, якою проходить пряма, і координати цієї точки відповідають умовам неповного загального рівняння A x + C = 0 , тобто. вірна рівність:

A · 2 7 + C = 0

З нього можна визначити C , якщо надати A якесь ненульове значення, наприклад, A = 7 . У такому разі отримаємо: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 . Нам відомі обидва коефіцієнти A і C, підставимо їх у рівняння A x + C = 0 і отримаємо необхідне рівняння прямої: 7 x - 2 = 0

Відповідь: 7 x - 2 = 0

Приклад 2

На кресленні зображено пряму, необхідно записати її рівняння.

Рішення

Наведене креслення дозволяє нам легко взяти вихідні дані для вирішення задачі. Ми бачимо на кресленні, що задана пряма паралельна осі O x проходить через точку (0 , 3) .

Пряму, яка паралельна очи абсцис, визначає неповне загальне рівняння B y + С = 0 . Знайдемо значення B та C . Координати точки (0 , 3) , оскільки через неї проходить задана пряма, будуть задовольняти рівняння прямої B y + С = 0 тоді справедливою є рівність: · 3 + С = 0 . Задамо для якогось значення, відмінне від нуля. Припустимо, У = 1 , у разі з рівності · 3 + З = 0 можемо знайти З: З = - 3 . Використовуємо відомі значення і З, отримуємо необхідне рівняння прямої: y - 3 = 0 .

Відповідь: y - 3 = 0.

Загальне рівняння прямої, що проходить через задану точку площини

Нехай задана пряма проходить через точку М 0 (x 0 , y 0) тоді її координати відповідають загальному рівнянню прямий, тобто. Правильність рівності: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Віднімемо ліву та праву частини цього рівняння від лівої та правої частини загального повного рівняння прямої. Отримаємо: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0 це рівняння еквівалентно вихідному загальному, проходить через точку М 0 (x 0 , y 0) і має нормальний вектор n → = (A , B).

Результат, який ми отримали, дає можливість записувати загальне рівняння прямої при відомих координатах нормального вектора прямої та координатах певної точки цієї прямої.

Приклад 3

Дано точку М 0 (- 3 , 4) , через яку проходить пряма, і нормальний вектор цієї прямої n → = (1, - 2) . Необхідно записати рівняння заданої прямої.

Рішення

Вихідні умови дозволяють отримати необхідні дані для складання рівняння: А = 1 , В = - 2 , x 0 = - 3 , y 0 = 4 . Тоді:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 · (x - (- 3)) - 2 · y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Завдання можна було вирішити інакше. Загальне рівняння прямої має вигляд A x + B y + C = 0. Заданий нормальний вектор дозволяє отримати значення коефіцієнтів A і B тоді:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x - 2 · y + C = 0 ⇔ x - 2 · y + C = 0

Тепер знайдемо значення З, використовуючи задану умовою завдання точку М 0 (- 3 , 4) , якою проходить пряма. Координати цієї точки відповідають рівнянню x - 2 · y + C = 0, тобто. - 3 - 2 · 4 + С = 0. Звідси З = 11. Необхідне рівняння прямої набуває вигляду: x - 2 · y + 11 = 0 .

Відповідь: x - 2 · y + 11 = 0.

Приклад 4

Задано пряму 2 3 x - y - 1 2 = 0 і точку М 0 , що лежить на цій прямій. Відома лише абсцис цієї точки, і вона дорівнює - 3 . Необхідно визначити ординату заданої точки.

Рішення

Задамо позначення координат точки М0 як x0 та y0. У вихідних даних зазначено, що x0 = -3. Оскільки точка належить заданої прямої, то її координати відповідають загальному рівнянню цієї прямої. Тоді вірною буде рівність:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Визначаємо y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Відповідь: - 5 2

Перехід від загального рівняння прямої до інших видів рівнянь прямої та назад

Як ми знаємо, існує кілька видів рівняння однієї і тієї ж прямої на площині. Вибір виду рівняння залежить від умов задачі; можна вибирати той, який більш зручний для її вирішення. Тут дуже знадобиться навичка перетворення рівняння одного виду на рівняння іншого виду.

Спочатку розглянемо перехід від загального рівняння виду A x + B y + C = 0 до канонічного рівняння x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Якщо А ≠ 0 тоді переносимо доданок B y в праву частину загального рівняння. У лівій частині виносимо A за дужки. У результаті отримуємо: A x + C A = - B y.

Цю рівність можна записати як пропорцію: x + C A - B = y A .

У разі, якщо В ≠ 0 залишаємо в лівій частині загального рівняння тільки доданок A x , інші переносимо в праву частину, отримуємо: A x = - B y - C . Виносимо – за дужки, тоді: A x = - B y + C B .

Перепишемо рівність як пропорції: x - B = y + C B A .

Звичайно, заучувати отримані формули немає потреби. Достатньо знати алгоритм дій під час переходу від загального рівняння до канонічного.

Приклад 5

Встановлено загальне рівняння прямої 3 y - 4 = 0 . Необхідно перетворити їх у канонічне рівняння.

Рішення

Запишемо вихідне рівняння як 3 y - 4 = 0. Далі діємо за алгоритмом: у лівій частині залишається доданок 0 x; а у правій частині виносимо – 3 за дужки; отримуємо: 0 x = - 3 y - 43.

Запишемо отриману рівність як пропорцію: x - 3 = y - 430. Так ми отримали рівняння канонічного виду.

Відповідь: x - 3 = y - 4 3 0.

Щоб перетворити загальне рівняння прямої в параметричні рівняння, спочатку здійснюють перехід до канонічного вигляду, а потім перехід від канонічного рівняння прямої до параметричних рівнянь.

Приклад 6

Пряма задана рівнянням 2 x – 5 y – 1 = 0 . Запишіть параметричні рівняння цієї прямої.

Рішення

Здійснимо перехід від загального рівняння до канонічного:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Тепер приймемо обидві частини отриманого канонічного рівняння рівними λ тоді:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Відповідь:x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Загальне рівняння можна перетворити на рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = k · x + b , але тільки тоді, коли В ≠ 0 . Для переходу в лівій частині залишаємо доданок B y інші переносяться в праву. Отримаємо: B y = - A x - C. Розділимо обидві частини отриманого рівність на B відмінне від нуля: y = - A B x - C B .

Приклад 7

Встановлено загальне рівняння прямої: 2 x + 7 y = 0 . Необхідно перетворити те рівняння на рівняння з кутовим коефіцієнтом.

Рішення

Зробимо потрібні дії за алгоритмом:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Відповідь: y = - 2 7 x.

Із загального рівняння прямої досить просто отримати рівняння у відрізках виду x a + y b = 1 . Щоб здійснити такий перехід, перенесемо число C у праву частину рівності, розділимо обидві частини одержаної рівності на – С і, нарешті, перенесемо у знаменники коефіцієнти при змінних x та y:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Приклад 8

Необхідно перетворити загальне рівняння прямої x - 7 y + 1 2 = 0 рівняння прямої у відрізках.

Рішення

Перенесемо 1 2 до правої частини: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Розділимо на -1/2 обидві частини рівності: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Відповідь: x-1 2 + y 1 14 = 1 .

Загалом, нескладно проводиться і зворотний перехід: від інших рівнянь до загального.

Рівняння прямої у відрізках і рівняння з кутовим коефіцієнтом легко перетворити на загальне, просто зібравши всі складові в лівій частині рівності:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Канонічне рівняння перетворюється на загальне за такою схемою:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C =

Для переходу від параметричних спочатку здійснюється перехід до канонічного, а потім до загального:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Приклад 9

Задані параметричні рівняння прямої x = - 1 + 2 · y = 4 . Необхідно записати загальне рівняння цієї прямої.

Рішення

Здійснимо перехід від параметричних рівнянь до канонічного:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Перейдемо від канонічного до загального:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Відповідь: y - 4 = 0

Приклад 10

Задано рівняння прямої у відрізках x 3 + y 1 2 = 1 . Потрібно здійснити перехід до загального виду рівняння.

Рішення:

Просто перепишемо рівняння у необхідному вигляді:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Відповідь: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Складання загального рівняння прямої

Вище ми говорили про те, що загальне рівняння можна записати при відомих координатах нормального вектора та координатах точки, через яку проходить пряма. Така пряма визначається рівнянням A(x – x 0) + B (y – y 0) = 0 . Там ми розібрали відповідний приклад.

Зараз розглянемо складніші приклади, у яких спочатку необхідно визначити координати нормального вектора.

Приклад 11

Задано пряму, паралельну прямій 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Також відома точка M 0 (4 , 1) через яку проходить задана пряма. Необхідно записати рівняння заданої прямої.

Рішення

Вихідні умови говорять нам про те, що прямі паралельні, тоді як нормальний вектор прямий, рівняння якої потрібно записати, візьмемо напрямний вектор прямий n → = (2 , - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Тепер нам відомі всі необхідні дані, щоб скласти загальне рівняння прямої:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Відповідь: 2 x - 3 y - 5 = 0.

Приклад 12

Задана пряма проходить через початок координат перпендикулярно до прямої x - 2 3 = y + 4 5 . Необхідно скласти загальне рівняння заданої прямої.

Рішення

Нормальний вектор заданої прямої буде напрямний вектор прямий x - 2 3 = y + 4 5 .

Тоді n → = (3, 5) . Пряма проходить через початок координат, тобто. через точку О (0 , 0). Складемо загальне рівняння заданої прямої:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Відповідь: 3 x + 5 y = 0

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Лінії рівняння на площині.

Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в будь-якій системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису та початку координат.

Визначення. Рівнянням лініїназивається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Зазначимо, що рівняння лінії може бути виражене параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через незалежний параметр t.

Характерний приклад - траєкторія точки, що рухається. І тут роль параметра грає час.

Рівняння прямої на площині.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно, тобто. А 2 + В 2  0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А  0, В  0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В  0, С  0 (By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А  0, С  0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А  0 – пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В  0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямий може бути представлено у різному вигляді залежно від якихось заданих початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже С = -1.

Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2, y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.

На площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1  х 2 і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб
=k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

та позначити
, то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтомk.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

Визначення. Кожен ненульовий вектор ( 1 ,  2), компоненти якого задовольняють умові А 1 + В 2 = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах + Ву + З = 0.

приклад.Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1A + (-1)B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C/A = 0.

за х = 1, у = 2 отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то розділивши на –С, отримаємо:
або

, де

приклад.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

З = 1,
, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число
, Яке називається нормуючим множником, то отримаємо

xcos + ysin - p = 0 –

нормальне рівняння прямої.

Знак  нормуючого множника треба вибирати так, щоб С< 0.

р - Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а  - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад.Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цієї прямої.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

нормальне рівняння прямої:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

приклад.Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .

Рівняння прямої має вигляд:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не підходить за умовою завдання.

Разом:
або х + у - 4 = 0.

приклад.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.

Рівняння прямої має вигляд:
де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 та А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 =  А, В 1 =  В. Якщо ще й 1 =  З, то прямі збігаються.

Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

перпендикулярно даній прямій.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 , у 0 ), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій.

Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад.Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x+1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

приклад.Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад.Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Знаходимо рівняння сторони АВ:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

k = . Тоді y =
. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню:
звідки b = 17. Разом:
.

Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0.

Аналітична геометрія у просторі.

Рівняння лінії у просторі.

Рівняння прямої в просторі по точці та

напрямний вектор.

Візьмемо довільну пряму та вектор (m, n, p), паралельний даній прямий. Вектор називається напрямним векторомпрямий.

На прямій візьмемо дві довільні точки М 0 (x0, y0, z0) і M(x, y, z).

M 1

Позначимо радіус- вектори цих точок як і , очевидно, що - =
.

Т.к. вектори
і колінеарні, то вірне співвідношення
= t де t – деякий параметр.

Отже, можна записати: = + t.

Т.к. цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки прямої, отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути подане в координатній формі:

Перетворивши цю систему і прирівнявши значення параметра t, отримуємо канонічні рівняння прямої в просторі:

Визначення. Напрямними косинусамипрямий називаються напрямні косинуси вектора , які можуть бути обчислені за формулами:

;

.

Звідси отримаємо: m: n: p = cos : cos : cos.

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтамипрямий. Т.к. - ненульовий вектор, тоm, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два з цих чисел можуть дорівнювати нулю. І тут у рівнянні прямої слід прирівняти нулю відповідні чисельники.

Рівняння прямої у просторі, що проходить

через дві точки.

Якщо на прямій у просторі відзначити дві довільні точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), то координати цих точок повинні задовольняти отримане вище рівняння прямої:

Крім того, для точки М1 можна записати:

Вирішуючи спільно ці рівняння, отримаємо:

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки у просторі.

Загальні рівняння прямої у просторі.

Рівняння прямої може бути розглянуте як рівняння лінії перетину двох площин.

Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

+ D = 0, де

- Нормаль площини; - радіус- вектор довільної точки площини.