Краса чисел. Математичні константи у природі

Другий період розвитку математики відомий у літературі як період математики постійних величин(або елементарної математики).Він розпочався у VII ст. до зв. е. та закінчився у XVII ст. н. е. Основним досягненням математичної думки, що характеризує початок цього періоду, було виникнення та розвиток поняття про доказ. Грецькі математики свідомо прагнули розташувати математичні докази в такі ланцюжки, щоб перехід від однієї ланки до наступної не залишав жодного місця сумнівів і змушував усіх погодитися з ним.

рівність кутів на підставі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів, одна з ознак рівності трикутників, рівність частин, на які діаметр розбиває коло, і т.д.

Створений Фалесом метод логічного доказу математичних тверджень було розвинено і вдосконалено вченими піфагорійської школи період між кінцем VI в. та серединою V ст. до зв. е., які довели, зокрема, твердження, зване тепер теорема Піфагора(формулювання цього твердження було відоме ще вавилонянам).

Піфагорійці зробили першу спробу звести геометрію та алгебру того часу до арифметики. Вони вважали, що «все число», розуміючи під словом «число» лише натуральні числа. Зокрема, вони були довгий час переконані, що довжини будь-яких відрізків можна порівняти один з одним, а тому для вимірювання будь-яких величин достатньо раціональних чисел.

Поворотним пунктом було відкриття піфагорійцями того, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною. Це відкриття, зроблене з урахуванням теореми Піфагора, показало неспроможність спроби звести геометрію до натуральним числам. Аналіз отриманого доказу привів до дослідження початкових питань теорії чисел (парності та непарності простих чисел, розкладання чисел на прості множники, властивостей взаємно простих чисел тощо).

Після робіт Піфагора стало ясно, що не всі величини виражаються раціональними числами. Оскільки поняття ірраціонального числа не могло бути створене в ту епоху, грецькі математики зробили іншу спробу обґрунтувати всю математику на основі геометричних понять. Вони стали розвивати геометричну алгебру, тлумачачи, наприклад, додавання величин, як додавання відрізків, а множення - як побудова прямокутника із заданими сторонами. У цьому говорили про рівність відрізків, а чи не про рівність їх довжин, оскільки довжина відрізка виражається числом, а числа було вигнано з давньогрецької математики. Сліди такого підходу до алгебри збереглися у сучасних термінах квадрат числа, куб числа, геометричне середнє, геометрична прогресіяі т.д.

Давньогрецькі математики просунулися дуже далеко. Вони провели, наприклад, класифікацію квадратичних ірраціональностей, відкрили всі види правильних багатогранників, вивели формули для обсягів багатьох тіл, досліджували різноманітні криві лінії (еліпс, гіперболу, параболу, спіралі). Визначну роль формуванні математики як теоретичної науки зіграла знаменита книга Евкліда «Початку», що представляла синтез і систематизацію основних результатів давньогрецької математичної думки і тривалий час служила джерелом знань і взірцем суворого математичного викладу.

Книга Евкліда є першою з спроб аксіоматичного викладу математичної дисципліни, що дійшли до нашого часу. Хоча в часи Евкліда не вставало ще питання про опис логічних засобів, що застосовуються для вилучення змістових наслідків з аксіом, в системі Евкліда була вже чітко проведена основна ідея отримання всього основного змісту геометричної теорії суто дедуктивним шляхом з невеликої кількості тверджень - аксіом, істинність яких представлялася наочно очевидною.

У ХІХ ст. було показано, що список аксіом Евкліда неповний і багато теорем він доводив, залучаючи твердження, що не увійшли до цього списку. Не було у Евкліда і аксіом порядку. Ознаки рівності трикутників доводилися з урахуванням поняття накладання постатей, т. е., насправді, з урахуванням ідеї руху, що належить швидше до механіці, ніж до математики.

Протягом двох тисячоліть основна увага критиків та коментаторів Евкліда була спрямована на аксіому про паралельних, оскільки передбачалося, що її можна довести на основі решти аксіом. Лише відкриття на початку ХІХ ст. Неевклідова геометрія показала безнадійність спроб такого доказу.

На формулювання аксіом Евкліда сильний вплив справили суперечки між прихильниками і противниками атомізму. Атомісти (Демокріт, Левкіпп) стверджували, що матерія складається з неподільних атомів, причому існує межа ділимості простору (тобто що і простір складається з неподільних частинок далі). Їх противники вважали, що простір безмежно ділимо і тому неприпустимо вважати, що лінії складаються з точок, оскільки точки не мають ні частин, ні розмірів, а лінії мають певну довжину.

Хоча атомісти досягли великих успіхів у геометрії (наприклад, Демокріт вивів формулу обсягу піраміди), їхні спроби дати логічне обґрунтування геометрії не мали успіху. Справа в тому, що з атомістичних поглядів випливала сумірність будь-яких двох відрізків, а це суперечило відомої вже на той час теоремі про несумірність сторони та діагоналі квадрата. У той же час Евкліду вдалося побудувати логічно замкнуту систему геометрії, в якій вважалося, що будь-який відрізок ділимо безмежно, а тому не існує неподільних елементів простору.

Книга Евкліда підвела також підсумок тривалого розвитку ідеї нескінченності, що призвело до формування, з одного боку, поняття про нескінченний ряд натуральних чисел, а з іншого - поняття про безмежно поділені геометричні фігури (відрізки, круги і т. д.). Однак нескінченність розумілася лише як потенційна можливість продовжувати певний процес (додавання одиниці до натурального числа, поділу навпіл відрізка тощо). Ідея проактуальної (закінченої) нескінченності виганялася з робіт Евкліда та її послідовників (Архімеда, Аполлонія та інших.). Ця ідея була дискредитована в результаті відкриття грецьким філософом Зеноном труднощів, до яких вело її використання. Наприклад, Зенон «доводив», що стріла не може пролетіти свій шлях, оскільки вона повинна спочатку пролетіти половину шляху, а до цього – половину половини і т. д. – отже, він ніколи не зрушить з місця.

Тому формули для обсягу кулі та конуса, площі кола тощо викладалися без застосування граничного переходу, без розкладання нанескінченно малі частини, хоча знаходження цих формул математики застосовували «заборонені прийоми». Архімед вирішив такі складні для тодішньої математики завдання, як відшукання об'єму сегмента параболоїда обертання та площі сектора архімедової спіралі.

Недоліком геометричного підходу до математики було те, що вінперешкоджав розвитку алгебри (хоча греки і вміли, наприклад, у геометричній формі вирішувати квадратні рівняння) - неможливо було уявити геометрично четвертий і вищий ступінь довжини, а, крім того, не можна було складати вирази різних ступенів: ця сума геометричного сенсу не мала.

З тієї ж причини в грецькій математиці не було негативних чисел і нуля, ірраціональних чисел та літерного обчислення. Лише у ІІІ ст. н. е. у роботах олександрійського математика Діофанта з'являються зачатки літерного числення. Але цим роботам не судилося мати продовження у грецькій математиці, оскільки після прийняття християнства V ст. н. е. язичницька культура, складовою якої була математика, виявилася зруйнованою, а 529 р. імператор Юстиніан під страхом смертної кари заборонив заняття математикою.

Центр математичних досліджень перемістився на Схід – до Індії, Китаю та арабського світу. Індійські математики ввели нуль та негативні числа, проводили дослідження з комбінаторики (Аріабхатта, V ст. н. е.). Основною заслугою арабських математиків (аль-Беруні, Омар Хайям, Гіяседдін Джемшид, IX-XIII ст. н.е.) слід вважати розвиток тригонометрії (у зв'язку з астрономічними дослідженнями) і, особливо, створення нової галузі математики – алгебри.

Алгебра, яку тепер розглядають як загальне вчення про формальні дії та їх властивості, з'явилася в арабів як наука про розв'язання рівнянь. Саме слово «алгебра» арабського походження і означало «відновлення», тобто перенесення негативних доданків в іншу частину рівнянь.

З початку XIII ст. знову відроджуються математичні дослідження у Європі. Але лише у XVI ст. були отримані перші наукові результати, що перевершили досягнення греків і арабів, - італійські математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррарі та ін. вивели формули для вирішення рівнянь третього та четвертого ступенів. Водночас формується система алгебраїчних позначень, словесна алгебра поступово замінюється буквеною. На початку XVII ст. у працях французьких та англійських математиків (Вієта, Декарта, Герріота) завершується розвиток алгебраїчної символіки, створюються правила літерного числення. Одночасно з розвитком символіки відбувається розширення поняття про число: ще в середині XVI століття в математиці остаточно затверджуються негативні числа, а незабаром з'являються і комплексні числа (хоча вони довгий час не знаходили визнання, оскільки не допускали тлумачення відомими на той час засобами). При цьому виявилося, що правила буквеної алгебри однаковою мірою застосовуються до чисел будь-якого виду.

Найважливішу роль відіграли роботи італійського вченого Бомбеллі (XVI ст.) та французького математика Р. Декарта (XVII ст.), які фактично ввели ідею дійсного числа, звільнивши тим самим алгебру від невластивого їй геометричного одягу. Користуючись цим, Декарт, на відміну грецьких математиків, які зводили проблеми алгебри до геометрії, почав алгебраїчно вирішувати геометричні завдання. Цим було започатковано аналітичної геометрії

Другий період розвитку математики відомий у літературі як період математики постійних величин (або елементарної математики). Він розпочався у VII ст. до зв. е. та закінчився у XVII ст. н. е. Основним досягненням математичної думки, що характеризує початок цього періоду, було виникнення та розвиток поняття про доказ. Грецькі математики свідомо прагнули розташувати математичні докази в такі ланцюжки, щоб перехід від однієї ланки до наступної не залишав жодного місця сумнівів і змушував усіх погодитися з ним.

На жаль, до нашого часу не дійшли тексти, якими можна було б судити про виникнення цього «дедуктивного методу». Традиція називає першим із філософів, що застосував у математиці докази, грецького вченого Фалеса з Мілета (міста в Малій Азії), що жив у VII-VI ст. до н.е. За даними, що дійшли до нас, Фалес довів деякі найпростіші геометричні твердження: рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів, одна з ознак рівності трикутників, рівність частин, на які діаметр розбиває коло, і т. д.

Створений Фалесом метод логічного доказу математичних тверджень було розвинено і вдосконалено вченими піфагорійської школи період між кінцем VI в. та серединою V ст. до зв. е., які довели, зокрема, твердження, зване тепер теоремою Піфагора (формулювання цього твердження було відоме ще вавилонянам).

Після робіт Піфагора стало ясно, що не всі величини виражаються раціональними числами. Оскільки поняття ірраціонального числа не могло бути створене в ту епоху, грецькі математики зробили іншу спробу обґрунтувати всю математику на основі геометричних понять. Вони стали розвивати геометричну алгебру, тлумачачи, наприклад, додавання величин, як додавання відрізків, а множення - як побудова прямокутника із заданими сторонами. У цьому говорили про рівність відрізків, а чи не про рівність їх довжин, оскільки довжина відрізка виражається числом, а числа було вигнано з давньогрецької математики. Сліди такого підходу до алгебри збереглися в сучасних термінах квадрат числа, куб числа, середнє геометричне, геометрична прогресія і т.д.

Книга Евкліда підвела також підсумок тривалого розвитку ідеї нескінченності, що призвело до формування, з одного боку, поняття про нескінченний ряд натуральних чисел, а з іншого - поняття про безмежно поділені геометричні фігури (відрізки, круги і т. д.). Однак нескінченність розумілася лише як потенційна можливість продовжувати певний процес (додавання одиниці до натурального числа, поділу навпіл відрізка тощо). Ідея про актуальну (закінчену) нескінченність виганялася з робіт Евкліда та його послідовників (Архімеда, Аполлонія та ін.). Ця ідея була дискредитована в результаті відкриття грецьким філософом Зеноном труднощів, до яких вело її використання. Наприклад, Зенон «доводив», що стріла не може пролетіти свій шлях, оскільки вона повинна спочатку пролетіти половину шляху, а до цього – половину половини і т. д. – отже, він ніколи не зрушить з місця.

Тому формули для об'єму кулі і конуса, площі кола тощо викладалися без застосування граничного переходу, без розкладання на нескінченно малі частини, хоча для відшукання цих формул математики застосовували «заборонені прийоми». Архімед вирішив такі складні для тодішньої математики завдання, як відшукання об'єму сегмента параболоїда обертання та площі сектора архімедової спіралі.

Недоліком геометричного підходу до математики було те, що він перешкоджав розвитку алгебри (хоча греки і вміли, наприклад, у геометричній формі вирішувати квадратні рівняння) - неможливо було уявити геометрично четвертий і вищий ступінь довжини, а, крім того, не можна було складати виразів різних ступенів. : ця сума геометричного сенсу не мала

Центр математичних досліджень перемістився на Схід – до Індії, Китаю та арабського світу. Індійські математики ввели нуль та негативні числа, проводили дослідження з комбінаторики (Аріабхатта, V ст. н. е.). Основною заслугою арабських математиків (аль-Беруні, Омар Хайям, Гіяседдін Джемшид, IX-XIII ст. н. е.) слід вважати розвиток тригонометрії (у зв'язку з астрономічними дослідженнями) і, особливо, створення нової галузі математики – алгебри.

E математична константа, основа натурального логарифму, ірраціональне та трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера (не плутати з так званими числами Ейлера I роду) або числом Непера. Позначається малою латинською літерою «e».

Для покращення цієї статті бажано?: Додати ілюстрації. Доповнити статтю (стаття надто коротка або містить лише словникове визначення). У 1919 році … Вікіпедія

Постійна Ейлера Маскероні або постійна Ейлера математична константа, що визначається як межа різниці між частковою сумою гармонійного ряду та натуральним логарифмом числа: Константа введена Леонардом Ейлером у 1735, який запропонував… …

Константа: Постійна Математична Фізична Константа (у програмуванні) Константа дисоціації кислоти Константа рівноваги Константа швидкості реакції Константа (Залишитися в живих) Див.

У статті розглядається математичний базис загальної теорії відносності. Загальна теорія відносності … Вікіпедія

У статті розглядається математичний базис загальної теорії відносності. Загальна теорія відносності Математичне формулювання ОТО Космологія Фундаментальні ідеї … Вікіпедія

Теорія деформованого пластичного твердого тіла, в якій досліджуються завдання, що полягають у визначенні полів вектора переміщень і(х, t).або вектора швидкостей v(x,t), тензора деформації eij(х, t).або швидкостей деформації vij(x , t).і тензора… … Математична енциклопедія

Магічний, або чарівний квадрат це квадратна таблиця, заповнена n2 числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці та обох діагоналях однакова. Якщо у квадраті рівні суми чисел лише у рядках та стовпцях, то він … Вікіпедія