Квантова інформація. Хаос

КВАНТОВА ТЕОРІЯ ІНФОРМАЦІЇ, розділ математики, в якому вивчаються загальні закономірності передачі, зберігання та перетворення інформації в системах, що підпорядковуються законам квантової механіки. Квантова теорія інформації використовує математичні моделі для дослідження потенційних можливостей таких систем, а також розробляє принципи їх раціональної та завадостійкої побудови. Квантова теорія інформації призводить до нового розуміння фундаментальних закономірностей квантової теорії, її підстав та співвідношень з реальністю, а також стимулює розвиток експериментальної фізики.

Квантова теорія інформації сформувалася як самостійна дисципліна в 1990-і роки, проте її зародження відноситься до 1950-х років і пов'язане з появою основ класичної теорії інформації та завадостійкого зв'язку в працях В. А. Котельникова та К. Шеннона. На початковому етапі (1950-80-ті роки) основним питанням квантової теорії інформації було з'ясування фундаментальних обмежень на можливості передачі та обробки інформації, зумовлених квантово-механічною природою її носія. Розвиток інформаційних технологій у напрямі мікромініатюризації, використання досягнень квантової оптики та квантової електроніки, супрамолекулярної хімії, що досліджує кібернетичні властивості молекулярних сполук, призводять до висновку про те, що в найближчій перспективі ці обмеження стануть основною перешкодою для подальшого розвитку існуючих технологій. З іншого боку, поява у 1980-90-ті роки ідей побудови квантового комп'ютера, квантової криптографії та нових комунікаційних протоколів дозволяє говорити не лише про обмеження, а й про нові можливості, укладені у використанні специфічно квантових ресурсів, так званого квантового паралелізму, зчепленості ( переплутаності) квантових станів та додатковості між вимірюванням та обуренням.

У квантовій теорії інформації носієм інформації є стан квантової системи Н, який є інформаційним ресурсом, оскільки він має статистичну невизначеність. Математичним описом чистого стану є оператор проектування (проектор) Р ψ на вектор ψ з гільбертового простору системи Н. Розглядаються також змішані стани, що являють собою статистичний ансамбль чистих станів Р i з ймовірностями p i . Такий стан описується оператором щільності ρ = ∑ i p i Ρ ψ, який характеризується такими властивостями: ρ - позитивний оператор; ρ має одиничний слід. Т.ч., власні числа j оператора щільності утворюють розподіл ймовірностей. Ентропія цього розподілу

звана ентропією фон Неймана, подібно до ентропії Шеннона класичного джерела повідомлень, є мірою невизначеності, тобто інформаційного змісту стану, що описується оператором нар.

При передачі класичного (не квантового) повідомлення квантовим каналом зв'язку воно записується в квантовому стані за допомогою завдання значень параметрів приладу, що формує стан. Однак вся повнота інформаційного змісту квантового стану не може бути зведена до класичного повідомлення, і тому для інформації, яка міститься в квантовому стані, використовується спеціальний термін "квантова інформація". Це з тим, що вона містить у собі статистику всіляких, зокрема і взаємовиключних (так званих додаткових), вимірів над системою. Найбільш яскравою відмінністю квантової інформації від класичної є неможливість копіювання, лінійність рівнянь квантової еволюції призводить до неможливості "квантового ксероксу", тобто фізичного пристрою, що дозволяє копіювати довільну квантову інформацію.

Подібно до того, як кількість класичної інформації може бути виміряна мінімальним числом двійкових символів (бітів), необхідним для кодування (стиснення) повідомлення, кількість квантової інформації може бути визначена як мінімальна кількість елементарних квантових систем з двома рівнями (q-бітів, кубитів), необхідна для зберігання чи передачі даного ансамблю квантових станів при оптимальному кодуванні. Для асимптотично безпомилкового кодування квантового повідомлення довжини n, в якому стану Р i з'являються з ймовірностями p i , необхідне число q-бітів асимптотично (при n →∞) дорівнює nН(ρ). Це означає, що розмірність квантової системи, в якій здійснюється оптимальне стиснення квантової інформації, що міститься в стані, асимптотично дорівнює 2 nH(ρ) , що дає інформаційну інтерпретацію ентропії фон Неймана.

В основі феномена зчепленості квантових станів лежать незвичайні (для класичних систем) властивості складових квантових систем, які описуються тензорним (а не декартовим, як у класичній механіці) твором підсистем. Простір складової системи AB, поряд з векторами виду ψ А ⊗ψ, містить і всілякі їх лінійні комбінації ∑ j ψ j A ⊗ j B . Статті складової системи, що задаються векторами-творами, називаються незчепленими, а не зводяться до таких - зчепленими. Зчепленість є чисто квантовим властивістю, частково споріднене класичної корелюваності, проте до неї не зводиться (говорять про кореляції Ейнштейна - Подільського - Розена). Саме наявність зчеплених станів суперечить гіпотезі про можливість класичного статистичного опису квантових систем, що задовольняють так звану фізичну вимогу локальності. Кількісна теорія зчепленості є своєрідною комбінаторною геометрією тензорних творів гільбертових просторів.

Подвійним чином у складових квантових системах існують зчеплені та незчеплені спостережувані (вимірювання). Якщо квантові системи А і В знаходяться в незчепленому стані, то максимальні шенноновські кількості інформації Ι Α , Ι В, Ι АВ про стани систем А, В та складової системи AB задовольняють у загальному випадку співвідношення I АВ > I A + I В. Цей некласичний феномен Суворої суперадитивності інформації відіграє важливу роль у теорії пропускної спроможності квантового каналу зв'язку.

Поняття каналу зв'язку та його пропускної спроможності, що дає граничну швидкість безпомилкової передачі, відіграє центральну роль інформації теорії. Математичний підхід надає цим поняттям універсальну значимість: наприклад, пам'ять комп'ютера (класичного або квантового) може розглядатися як канал з минулого в майбутнє, тоді пропускна здатність дає кількісний вираз для граничної ємності пам'яті при виправленні помилок. p align="justify"> Важливість розгляду квантових каналів зв'язку обумовлюється тим, що всякий фізичний канал, в кінцевому рахунку, є квантовим і такий підхід дозволяє врахувати фундаментальні квантово-механічні закономірності. Істотно, що в квантовому випадку поняття пропускної спроможності розгалужується, породжуючи цілий спектр інформаційних характеристик каналу, що залежать від виду інформації, що передається (квантової або класичної), а також від додаткових ресурсів, що використовуються при передачі.

У квантовій теорії інформації квантовий канал зв'язку задається відображенням Ф, що переводить стани на вході у стані на виході, ρ → Ф[ρ], що дає стислий статистичний опис результату взаємодії системи на вході з її оточенням (шумом). Класична пропускна здатність С(Ф) ​​визначається як максимальна швидкість передачі класичних повідомлень через канал Ф ⊗ n з n блоками з асимптотичною (при n →∞) зникаючою помилкою і дорівнює максимальній кількості інформації Шеннона, яка може бути отримана застосуванням довільних кодувань класичних повідомлень у стані на вході та квантових вимірів - декодувань на виході каналу. Для величини С(Ф) ​​отримано явний вираз через ентропійні характеристики каналу, що містить зміст теореми кодування Холево - Шумахера - Вестморленда.

Класична пропускна здатність каналу Ф може бути збільшена шляхом використання зчепленості між входом і виходом каналу, при цьому тільки зчепленість не дозволяє передавати інформацію, зчепленість грає роль «каталізатора», що виявляє приховані інформаційні ресурси квантової системи. Якщо Ф - ідеальний канал, тобто канал без шуму, то виграш у пропускній здатності, що доставляється так званим надщільним кодуванням, дворазовий. Чим більше канал відрізняється від ідеального, тим більший виграш і асимптотично (для каналів з дуже великими шумами) може бути як завгодно великим. Відповідна максимальна швидкість передачі С еа (Ф) зветься класичної пропускної здатності з використанням зчепленого стану; для неї також є явна формула, отримана американськими вченими Ч. Беннеттом, П. Шором, Дж. Смоліном та А. Тапліялом.

Саме перетворення квантового стану ρ → Ф[ρ] можна як передачу квантової інформації. Теорія передбачає можливість нетривіального способу передачі, у якому стану фізично не пересилаються, а передається лише деяка класична інформація (так звана квантова телепортація). При цьому необхідним додатковим ресурсом є зчепленість між входом і виходом каналу зв'язку. Звести передачу довільного квантового стану лише до передачі класичної інформації, не використовуючи додаткового квантового ресурсу, неможливо: оскільки класична інформація копіюється, це означало б можливість копіювання та квантової інформації.

У зв'язку з розробкою квантових кодів, що виправляють помилки, постало питання про асимптотично (при n→∞) безпомилкову передачу квантової інформації каналом Ф ⊗ n . При цьому квантова пропускна здатність Q(Ф) визначається як максимальна швидкість передачі квантової інформації. Вивчення квантової пропускної спроможності засноване на аналогії між квантовим каналом і класичним каналом з перехопленням, причому у квантовому випадку роль перехоплювача інформації грає оточення аналізованої системи. Виявилося, що величина Q(Ф) пов'язана з криптографічними характеристиками каналу, такими як пропускна здатність для секретної передачі класичної інформації Р (Ф) і швидкість розподілу випадкового ключа. Пропускні здібності каналу Ф пов'язані співвідношеннями Q(Φ) ≤ С р (Ф) ≤ С(Ф) ​​≤ С еа (Ф).

Великий розділ квантової теорії інформації пов'язані з дослідженнями систем з безперервними змінними, заснованих на принципах квантової оптики. Їх отримано низку результатів, що стосуються пропускних здібностей, зчепленості станів та інших інформаційних характеристик. Багато експериментів з квантової обробки інформації, включаючи надщільне кодування та телепортацію фотонних станів, а також квантові криптографічні протоколи, реалізовані саме в таких системах. Дивись також Квантовий зв'язок.

Bennett С. Н., Shor Р. W. Quantum information theory // Transactions on Information Theory. 1998. Vol. 44. № 6; Валієв К. А., Кокін А. А. Квантові комп'ютери: надії та реальність. М., 2001; Фізика квантової інформації / За редакцією Д. Боумейстера та ін. М., 2002; Хольова А. С. Введення в квантову теорію інформації. М., 2002; він же. Імовірнісні та статистичні аспекти квантової теорії. 2-ге вид. М., 2003; Нільсен М. А., Чуанг І. Квантові обчислення та квантова інформація. М., 2006; Hayashi М. Quantum information: an introduction. Ст; N. Y., 2006.

«Кванти» тут і зараз (частина 3)

• Науково-популярне ,

У попередніх статтях я коротко розповів про передумови у розвитку та , які призвели до появи квантової інформації та квантових обчислень як таких. Сьогодні ж хотів розглянути подібним чином ще один напрямок, який зробив істотний внесок: теорію інформації.

Теорія інформації.

Квантова теорія інформації.

Мережева квантова теорія інформації.

Висновок.

Олександр Хольово

Сучасним підліткам важко уявити світ без мобільних телефонів, комп'ютерів, цифрових фотокамер, MP3-плеєрів та інших атрибутів століття інформаційних технологій. А тим часом історичний момент, який визначив принциповий перехід до "цифри", визначається досить точно

Цифрова революція почалася в 1948 р., коли було винайдено транзистор, який відкрив шлях мініатюризації електронних пристроїв та радикального зниження матеріальних та енергетичних витрат на створення систем обробки інформації (hardware). У тому ж році було опубліковано основну працю американського інженера-математика Клода Шеннона, батька теорії інформації, що обґрунтувала перехід до цифрового представлення та цифрової обробки даних (software). Ще раніше з'явилися роботи нашого вченого В.О. Котельникова з основ перешкодостійкого зв'язку, які передбачили деякі ідеї Шеннона.

Сильною і водночас слабкою стороною класичної теорії інформації, що забезпечує її універсальність, стало абстрагування від змісту та природи даних, що передаються. Таку теорію цікавлять лише два аспекти: кількість інформації, що передається, і якість передачі. Названі характеристики пов'язані зворотної залежністю: що точніше ми хочемо передати повідомлення за наявності перешкод у каналі зв'язку, то більше сповільнюється передача. Особливу увагу теорії інформації приділяється оптимальним характеристикам, таким як пропускна здатність каналу, тобто. максимально можлива швидкість передачі при використанні кодування-декодування, що забезпечує виправлення помилок, спричинених перешкодами.

Інформація фізична

Один із піонерів фізичної теорії інформації Рольф Ландауер, який довгі роки пропрацював у IBM, стверджував, що інформація фізична, і відволікаючись від її фізичної природи, дослідник робить далеко не завжди виправдане припущення. Фундаментальний носій інформації - це електромагнітне поле, наприклад, у формі видимого світла, або радіохвилі. У звичайних умовах перешкоди під час передачі сигналу обумовлені хаотичним поведінкою квантів поля (фотонів), що має теплову природу. Виявляється, зниження температури до абсолютного нуля не призводить до повного зникнення шуму: першому плані виходять звані вакуумні флуктуації, зумовлені квантової природою випромінювання. Квантові властивості світла особливо яскраво виявляються в когерентному випромінюванні лазера, яке відрізняється від випромінювання природного теплового джерела так само, як упорядкована колона солдатів відрізняється від строкатого ярмаркового натовпу. Вже в 1950-х роках. вчені задумалися про фундаментальні квантовомеханічні межі точності та швидкості передачі інформації. Подальший розвиток інформаційних технологій, досягнення квантової оптики, електроніки та супрамолекулярної хімії, що досліджує кібернетичні властивості високомолекулярних сполук, змушує припустити, що незабаром такі обмеження стануть головною перешкодою для подальшої екстраполяції існуючих технологій та принципів обробки інформації.

Нові питання до старої теорії

Щоб вдягнути якісні висновки фізиків у точну форму, знадобився синтез математичних ідей теорії інформації та квантової механіки. У 1960-х роках. вже існували квантова статистична механіка і квантова теорія поля, проте ці дисципліни націлені інше коло завдань, що з динамікою квантових систем. Так, у статистичній механіці виникає і широко використовується найближчий родич інформації – ентропія, проте вона виступає там лише як термодинамічна характеристика. Інформаційний зміст квантової ентропії був прояснений у роботі Бена Шумахера, присвяченої квантовому стиску даних і опублікованій у Physical Reviews в 1995 р. Найближчим до потреб ще не народженої квантової теорії інформації була теорія квантового виміру, над якою працював Джон фон Нейман. Однак вона потребувала суттєвого вдосконалення та розвитку.

Будь-яка схема передачі інформації складається з передавача (можливо, що включає в себе пристрій, повідомлення, що кодує), каналу зв'язку і, нарешті, приймача (разом з можливим декодуючим пристроєм). Зазвичай всі три названі компоненти описуються мовою класичної фізики та статистики. Сигнал, що посилається передавачем (для простоти 0 або 1) піддається в каналі випадковим перешкодам і може спотворитися. Тому сигнал на виході приймача не обов'язково збігається з надісланим сигналом, а якість зв'язку характеризується ймовірністю помилки. Зазвичай потрібно розробити таку конструкцію приймача, яка б оптимальне виявлення або оцінювання посланого сигналу для заданого каналу і методу передачі. Такі завдання вирішуються методами теорії статистичних рішень. Теорія інформації має більш амбітну мету: для заданого каналу з перешкодами розробити такі методи кодування та декодування сигналу, які б передавати за одиницю часу якнайбільше повідомлень, практично невразливих для перешкод. Гранична максимальна швидкість такої передачі називається пропускною здатністю каналу. Придумані хитромудрі методи виправлення помилок, які придатні передачі та надійного зберігання інформації. Зчепленість відіграє роль "каталізатора", що виявляє приховані інформаційні ресурси квантової системи, але сама по собі не дозволяє передавати інформацію: це означало б миттєву передачу на кінцеву відстань

Вивчати квантові канали зв'язку потрібно, т.к. всякий фізичний канал зрештою є квантовим. У квантовому світі передавач готує квантовий стан носія інформації залежно від повідомлення, що надходить. Наприклад, передавач може бути лазер, який випромінює або вертикально, або горизонтально поляризовані фотони. Двійковий сигнал, що посилається, кодується відповідним станом поля випромінювання. Однак у каналі зв'язку він, як правило, спотворюється, і на приймач надходять стани, відмінні від надісланих передавачем. Приймач здійснює квантовий вимір тієї чи іншої фізичної величини, можливо, з подальшою обробкою класичної інформації. Кінцевий результат такого вимірювання - вихідний сигнал 0 або 1, що дає більш менш достовірну оцінку посланого вихідного сигналу, причому якість лінії зв'язку знову характеризується ймовірністю помилки. Аналогія із класичною лінією зв'язку очевидна. Таким чином, виникає потреба у квантовій теорії статистичних рішень та методах оптимального оцінювання параметрів квантових станів на підставі результатів вимірювань. Очевидною є і перспектива створення методів кодування-декодування, що враховують квантовомеханічну природу носія інформації, що дозволяло б компенсувати негативний вплив квантового шуму. Повертаючись до статистичної механіки, зауважимо, що такі процедури викликають асоціацію зі знаменитим "демоном Максвелла", що створює порядок з безладдя, проте перед ними ставиться скромніша, зате досяжна мета: збереження острівця порядку в морі хаосу. Величина цього острівця і визначає пропускну спроможність каналу зв'язку.

Пильне розгляд поняття квантового виміру з інформаційно- статистичної точки зору призвело до нового парадоксального висновку: додавання незалежного квантового шуму до спостережень дозволяє збільшити кількість отриманої інформації. Парадокс у тому, що такого ніколи не буває у класичній статистиці: додавання шуму (рандомізація) лише псує якість спостережень. У квантовій оптиці є приклад реальної вимірювальної процедури, яка використовує незалежне джерело квантового шуму (своєї квантової рулетки). Йдеться про оптичне гетеродинування, у якому випромінювання, несучу інформацію, складається з опорним випромінюванням від незалежного джерела. Така процедура дозволяє здійснити наближений спільний вимір обох компонент сигналу, електричної і магнітної, незважаючи на те, що квантова теорія забороняє їх точну спільну вимірність. З математичної точки зору такі вимірювання описуються переповненими системами векторів, відмінними від повних ортонормованих систем (баз) стандартної теорії вимірювання фон Неймана. Зокрема, статистика оптичного гетеродинування описується переповненою системою когерентних векторів, які настільки ефективно використані в роботах нобелівського лауреата Роя Глаубера. Будь-яку переповнену систему векторів у просторі H можна описати як проекцію на H базису в деякому об'ємному просторі K, що виходить з H додаванням незалежних (рандомізуючих) ступенів свободи. Виявилося, що переповнені системи є лише окремий випадок більш загального поняття ймовірнісної операторнозначної міри, дослідженого радянським математиком М.А. Наймарком ще у 1940 р.р. і знайшов природне місце у квантовій теорії статистичних рішень, створеної в 1970-1980-х роках.

ПРИРОДНИЙ КВАНТОВИЙ КОМП'ЮТЕР

Не виключено, що у природі квантовий комп'ютер давно вже існує. Висловлюється думка, що елементи квантового комп'ютера є в людському мисленні, і тоді квантова інформатика відкриває нові перспективи для принципового пояснення можливих алгоритмів мислення. Зупинимося на тих особливостях людського мислення, які справді викликають асоціації з квантовими закономірностями

1. Здатність цілісного сприйняття інформації в протилежність до розкладання на складові властивості; можливо, око здатне приймати не тільки класичні стани вхідного світла, а й безпосередньо квантові стани фотонів, чим і пояснюються особлива міць і пропускна здатність візуальних комунікацій, а також їхній органічний зв'язок з розпізнаванням образів.
2. Подібність додатковості між дією та роздумом і квантовою додатковістю між становищем і швидкістю, на яку звертав увагу ще Нільс Бор у своїх фізико-філософських есеях. Примітно, що при розробці концепції квантової додатковості Бор виходив із аналогічної концепції віталізму в біології, що вже існувала.
3. Риси зчепленості (або нелокальності), коли інформація, що міститься в об'єднанні підсистем деякої складної системи, перевищує арифметичну суму кількостей інформації, що одержуються з підсистем
4. Феномен свідомості-підсвідомості. Важко утриматися від такої (звичайно, вкрай спрощеної) аналогії: некомутативна алгебра квантовомеханічних спостережуваних, в якій у кожний момент часу "сканується" деяка доступна спостереженню комутативна (класична) подалегебра
5. Органічне поєднання аналогових та цифрових методів, ефективний паралелізм обробки інформації

Зрозуміло, ці та інші міркування, такі як наявність інтуїції та вільної волі, носять непрямий характер і не тягнуть з неминучістю висновку, що в мозку людини або нервової системи інших живих істот присутні "квантові мікрочіпи" або інші квантово-фізичні механізми, відповідальні за некласичні обчислення та відповідна поведінка. Але вони, можливо, свідчать про те, що робота мозку принципово нездійсненна до функцій скільки завгодно досконалого і складного класичного суперкомп'ютера, і тоді теоретичні моделі таких систем повинні брати до уваги цю некласичність

Ефективність математики

Квантова теорія статистичних рішень та інформації спирається на далекосяжний логічний розвиток математичного апарату квантової фізики, доповненого статистичною інтерпретацією. Існують й інші інтерпретації, наприклад, багатосвітова, але всі вони надто екзотичні, щоб серйозно конкурувати зі статистичною, яку називають ще "мінімальною", оскільки вона спирається лише на можливу в принципі статистику квантових вимірювань і не залучає спеціальних припущень про механізм виникнення цієї статистики. Статистична інтерпретація настільки органічно сплавлена ​​з математичною структурою квантової теорії, що виникає як би сама собою. Ті об'єкти гільбертового простору, які раніше здавалися суто математичними абстракціями, завдяки статистичній інтерпретації стають двійниками фізичних ідей та понять. Так сталося зі згаданими вище переповненими системами та ймовірнісними операторно-значними заходами, так само сталося і з абстрактним поняттям цілком позитивного відображення з теорії операторних алгебр, що виявилося адекватною математичною моделлю квантового каналу з шумом.

Історично квантова теорія інформації зародилася під час розгляду фундаментальних квантовомеханічних обмежень. Найпростішим є відоме з 1920-х гг. співвідношення невизначеностей Гейзенберга У 1970-ті роки. були встановлені тонші математичні факти, такі як ентропійна нерівність, що обмежує зверху кількість інформації, яка може бути передана носієм, що підпорядковується законам квантової механіки (наприклад, випромінюванням лазера). Однак у 1980-1990-ті рр. вчені дійшли висновку, що квантова теорія як вводить свої обмеження, а й відкриває принципово нові можливості, такі як квантова телепортація та інші ефективні комунікаційні протоколи, фізично стійкі протоколи квантової криптографії, ефективні алгоритми на вирішення важких обчислювальних завдань та інших. Ідеї ці з'явилися в результаті логічного розвитку апарату квантової теорії, з статистичною інтерпретацією, а якщо прийняти, що квантова теорія та її мінімальна інтерпретація мають необмежену застосовність, то немає підстав сумніватися і в принциповій можливості нових ефективних додатків квантової теорії. Втім, все не так просто. Квантовий комп'ютер - це гіпотетичний обчислювальний пристрій, що використовує специфічно квантові ефекти і набагато перевершує за своїми можливостями будь-яку класичну обчислювальну машину

Конференції з квантової теорії інформації все ще зберігають приємну і досить рідкісну особливість: вони поєднують як фахівців-теоретиків, аж до фахівців у абстрактних розділах математики, так і фізиків, безпосередньо причетних до експерименту. На одній із таких конференцій вчений-експериментатор розпочав доповідь з ілюстрації, на якій було зображено розкішний "Кадилак" з написом "теорія" та скромний "Трабант" - "експеримент". Відрив теорії від експериментальних реалізацій справді великий. Будь-який експеримент, що передбачає маніпуляції станами індивідуальних мікрочастинок, надзвичайно складний через їхню надчутливість до будь-яких зовнішніх впливів. Більше того, труднощі реалізації приписів квантової теорії закладені і в самому її фундаменті: вона надає математичну модель для будь-якого феномена мікросвіту, що реально спостерігається, проте дає лише найзагальніші натяки на те, як можна рухатися у зворотному напрямку - від елемента математичної моделі до його матеріального прототипу . У неперевершеному трактаті Поля Дірака "Принципи квантової механіки" ця проблема описана таким чином: "Виникає природне питання: чи може бути виміряна будь-яка спостерігається? Теоретично на це питання можна відповісти - так. Практично може виявитися, що дуже важко побудувати такий прилад, який міг Можливо, що експериментатор не може сказати, як побудувати такий прилад, проте теоретик завжди може уявити, що такий вимір може бути зроблений". Іншими словами, немає ні регулярного способу дати конструктивний опис відповідної вимірювальної процедури, ні навіть гарантії, що такий опис можливий у принципі. Залишається тільки вірити, що його рано чи пізно буде знайдено. Наведемо приклад із квантової оптики. Теоретично добре відомі стану випромінювання з певним числом фотонів (їх називають станами Фока). Сьогодні ніхто не сумнівається у існуванні фотонів, проте досі не відомий спосіб генерування таких станів. Існували теоретичні пропозиції, зокрема, засновані на використанні оптичного зворотного зв'язку, і лише нещодавно японським ученим вдалося здійснити це в експерименті. Адже, зокрема, надійність протоколу квантової криптографії полягає в припущенні, що секретний ключ розподіляється з допомогою одиничних фотонів. Як реальне джерело використовується слабкий когерентний сигнал лазера, для якого ймовірність появи більше одного фотона мала. Але це залишає лазівку для потенційного перехоплювача "зайвих" фотонів.

На даний момент вже здійснено низку принципових дослідів з квантової обробки інформації. Згадаємо лише відомі експерименти А. Цайлінгера та Дж. Кімбла з телепортації станів фотонів, а також діючі квантово-криптографічні лінії, реалізовані групами Н. Джизена у Швейцарії та С.М. Молоткова ціна в Росії | Дослідження теоретичних та експериментальних аспектів квантової інформатики ведуться у всіх розвинених країнах, у тому числі й у Росії.

Дві відмінності

Фундаментальні відмінності між класичним і квантовим світами можна висловити двома словами: додатковість і зчепленість. Додатковість означає наявність таких властивостей того самого об'єкта, які принципово недоступні спільному спостереженню. Різні фізичні вимірювання мікрооб'єктів здійснюються різними макроскопічними експериментальними установками, кожна з яких передбачає складну та специфічну організацію просторово-часового середовища. Способи такої організації, що відповідають різним властивостям, що спостерігаються, можуть бути взаємно виключають, тобто. додатковими. На мові математики взаємно додаткові величини, такі як координата та імпульс, електричне та магнітне поля, компоненти спина, зображуються неперестановними (некоммутуючими) операторами. Їх мають місце співвідношення невизначеностей, забороняють точну спільну вимірність, отже саме додатковість відповідальна за специфічні обмеження інформаційного характеру.

Додатковість також призводить до того, що стани квантової системи неможливо знайти задані простим перерахуванням властивостей, тобто. точкою в якомусь фазовому просторі. Натомість стану описуються векторами в деякому лінійному (гільбертовому) просторі H, причому будь-яка суперпозиція (лінійна комбінація) векторів також задає стан.

Нові незвичайні можливості квантових систем, як правило, пов'язані зі зчепленістю (entanglement; в російській літературі використовується також переклад "заплутаність", "переплутаність"). В її основі лежать незвичайні властивості складових квантових систем, що описуються тензорним (а не декартовим, як у класичній механіці) твором HA Z HB просторів підсистем. В силу принципу суперпозиції простір складової системи AB поряд з векторами-творами A Z B повинен містити всілякі їх лінійні комбінації. Стану складової системи, що задаються векторами-творами, називаються незчепленими, а інші - зчепленими. Зчепленість є квантовим властивістю, частково споріднене класичної корелюваності, проте до неї не зводиться (у фізиці говорять про кореляції Ейнштейна-Подільського-Розена). Зчеплені стани - не рідкість у квантовій фізиці: зазвичай вони виникають у результаті взаємодії чи розпаду квантових систем. Однак квантова теорія не виключає можливості зчепленого стану для пари частинок, які, якось провзаємодіявши, розлетілися на макроскопічну відстань. На незвичайні "телепатичні" властивості такої пари і вказали свого часу Ейнштейн, Подільський та Розен. Недавні експерименти підтверджують можливість штучного створення внутрішньої зчепленості фотонів і навіть масивних мікрочастинок на відстанях близько кількох метрів, хоча таке явище ніколи не спостерігається в природних умовах і гидко самій природі класичного макроскопічного світу. Той спосіб опису навколишнього світу, що лежить в основі доквантових уявлень про простір-час, отримав назву "локальний реалізм". На чому б не ґрунтувалося об'єднання квантової механіки та загальної теорії відносності – на некомутативній геометрії, теорії струн, нелінійній квантовій механіці, траєкторних чи інших підходах – воно має вирішити протиріччя між квантовою зчепленістю та локальним реалізмом.

Квантові канали та інформація

Великий розділ квантової теорії інформації присвячений кількісній теорії зчепленості. Виявляється, зчепленість можна вимірювати кількісно, ​​як температуру чи іншу фізичну характеристику стану. Більше того, її можна концентрувати, "розбавляти", пересилати; вона може існувати в латентній "пов'язаній" формі і виявлятися лише в особливих обставинах.

У разі складових квантових систем має сенс говорити не тільки про зчеплені та незчеплені стани, а й про відповідні виміри. При цьому якщо квантові системи A і B знаходяться в незчепленому стані, то максимальна кількість інформації про стан, одержуваний з вимірювань складової системи AB, може бути більшою за суму кількостей інформації, що одержуються з вимірювань систем A і B. Така некласична строга суперадитивність інформації проявляється при дослідженні пропускну здатність квантового каналу зв'язку.

У квантовому випадку саме поняття пропускної спроможності розгалужується, породжуючи цілий "зоопарк" інформаційних характеристик каналу, що залежать від виду інформації, що передається (квантової або класичної), а також від додаткових ресурсів, що використовуються при передачі. Зупинимося коротко на чотирьох основних мешканців цього зоопарку. Канал задається цілком позитивним відображенням T, що перетворює стани на вході в стани на виході. Це відображення є стислим статистичним описом результату взаємодії системи на вході з її оточенням (шумом). Властивість позитивності гарантує від появи негативних ймовірностей, а прислівник "цілком" означає, що позитивність повинна виконуватися не тільки для самого каналу T, але і для його розширень виду T T", де T" - будь-який інший канал, що дозволяє розглядати багаторазове використання каналу. Найважливіша характеристика квантового каналу - його класична пропускну здатність C(T), тобто. максимальна максимальна швидкість безпомилкової передачі класичних повідомлень при використанні оптимального кодування/декодування довгих повідомлень. Зі згаданої вище ентропійної нерівності випливає, що кількість переданої класичної інформації не може бути більшою, ніж log d, де d - розмірність простору квантового носія інформації. Таким чином, та обставина, що будь-який гільбертовий простір містить безліч різних векторів станів, не допомагає передати необмежену кількість інформації: чим більше станів використовується для передачі, тим вони ближчі один до одного і, отже, невиразніші.

Однак, як показали американські вчені Чарльз Беннетт та Пітер Шор, класична пропускна здатність каналу T може бути збільшена шляхом використання додаткової зчепленості між входом та виходом каналу. У цьому сама собою зчепленість Демшевського не дозволяє передавати інформацію, т.к. це означало б миттєву передачу кінцеву відстань. Зчепленість грає роль "каталізатора", що виявляє приховані інформаційні ресурси квантової системи. Якщо T - канал без шуму, то виграш у пропускній здатності, що забезпечується надщільним кодуванням, дворазовий. Чим сильніший канал відрізняється від ідеального, тим більше виграш, і для каналів з дуже великим шумом може бути як завгодно великий. Класична пропускна здатність з використанням зчепленого стану Cea(T) – найбільша. На Європейському конгресі математиків в Амстердамі квантова теорія інформації виділена у спеціальний напрямок

При передачі класичної інформації квантовим каналом повідомлення записується в квантовому стані. Однак вся повнота інформаційного змісту не може бути зведена до класичного повідомлення і заслуговує на спеціальний термін - квантова інформація, т.к. квантовий стан містить у собі інформацію про статистику всіляких, зокрема і взаємовиключних (додаткових) вимірів системи. Кількість квантової інформації вимірюється величиною ентропії стану. Принципова відмінність квантової інформації від класичної полягає у неможливості копіювання. Просте міркування, заснований на лінійності рівнянь квантової еволюції, показує, що немає " квантового ксероксу " , тобто. фізичного пристрою, що дозволяє копіювати довільний квантовий стан. Проте теорія передбачає можливість нетривіального способу передачі квантової інформації, у якому носій стану фізично не передається, а пересилається лише деяка класична інформація (так звана телепортація квантового стану). Необхідним додатковим ресурсом знову стає зчепленість між входом та виходом каналу зв'язку. Звести передачу довільного квантового стану лише до передачі класичної інформації без використання додаткового квантового ресурсу неможливо: оскільки класична інформація копіюється, це означало б можливість копіювання та квантової інформації.

Квантова пропускна здатність Q(T) - це максимальна максимальна кількість квантової інформації, яка може бути як завгодно точно передано каналом T. Є глибока аналогія між квантовим каналом і каналом з підслуховувачем, причому в квантовому випадку роль перехоплювача інформації грає оточення аналізованої системи. Величина Q(T) тісно пов'язана з криптографічними характеристиками каналу, такими як пропускна здатність секретної передачі класичної інформації Cp(T) і швидкість розподілу випадкового ключа. Вона є найменшою з пропускних можливостей, т.к. пред'являє до каналу найвищі вимоги.

Обчислення чи оцінка величин Q(T), Cp(T), C(T), Cea(T) - це важлива і важка математична задача. Свого часу поява квантової механіки справила потужний взаємозбагачувальний вплив на ряд галузей математики: насамперед на теорію операторів, операторних алгебр, уявлень груп.

Процес триває і зараз, і в ньому дедалі більшу роль відіграють досягнення квантової теорії інформації. Так, дослідження зчепленості стимулювало прогрес у розумінні геометрії тензорних творів, а канали та теореми кодування виявилися тісно пов'язані зі структурами позитивності в операторних просторах та алгебрах. Новий імпульс отримав некомутативний аналіз; навіть у такій, здавалося б, добре вивченій галузі, як теорія матриць, з'явилися нові яскраві результати та нові важкі та цікаві проблеми. На Європейському конгресі математиків 2008 р. в Амстердамі квантова теорія інформації виділена у спеціальний напрям, якому присвячено низку запрошених доповідей.

"Мезо": на кордоні "мікро" та "макро"

Прогрес мікроелектроніки та нанотехнологій наближається до рубежу, за яким ігнорувати квантову природу носіїв інформації буде вже неможливо. Елементи сучасної обчислювальної техніки лише на два-три порядки перевищують характерні атомні розміри. Почесний голова ради директорів та засновник корпорації Intel Гордон Мур вважає, що на подолання цієї різниці піде лише 10-15 років. Тоді мимоволі доведеться шукати нові рішення, і фундаментальні результати квантової теорії інформації можуть відіграти вирішальну роль.

Квантовий комп'ютер - це гіпотетичний обчислювальний пристрій, який використовує специфічно квантові ефекти і тому набагато перевершує за своїми можливостями будь-яку класичну обчислювальну машину. Його пам'ять (квантовий регістр) повинна складатися з безлічі елементарних осередків - кубитів, які знаходяться в зчепленому стані, а операції передбачають керовану квантовомеханічну взаємодію між ними. Дані в процесі обчислень є квантовою інформацією, яка після закінчення процесу перетворюється на класичну шляхом вимірювання кінцевого стану квантового регістру. Виграш у квантових алгоритмах досягається за рахунок того, що при застосуванні однієї квантової операції велика кількість коефіцієнтів суперпозиції квантових станів, які у віртуальній формі містять класичну інформацію, перетворюється одночасно (квантовий паралелізм).

Квантовий комп'ютер перебуває на межі між мікро- і макросвітом, чим і зумовлені труднощі його втілення. Основною технічною перешкодою для реалізації квантового комп'ютера є декогерентизація – розпад квантових суперпозицій, зумовлений надчутливістю мікросистем до зовнішніх впливів макросвіту. Якщо швидкість декогерентизації не перевищує деякого порогового значення, то застосування квантових кодів, що виправляють помилки, теоретично дозволяє зробити квантові обчислення завадостійкими. Однак при цьому розмір квантового регістру має бути збільшений на порядок. Наразі ведуться інтенсивні пошуки вирішення цих проблем: розроблено теоретичні методи оптимізації архітектури квантового комп'ютера, запропоновано схеми адіабатичних обчислень, квантових клітинних автоматів, обчислень, що ґрунтуються на вимірах; обговорюється ідея топологічного квантового комп'ютера, що фізично стійкий до помилок. Експериментально досліджуються моделі кубитів, що ґрунтуються на принципах ядерного магнітного резонансу, квантової оптики та електродинаміки, напівпровідникових квантових точках, іонних пастках, надпровідникових мезо-структурах тощо.

Квантова інформатика стала новим міждисциплінарним науковим напрямом на стику фізики, інформатики та математики, що порушує нові важливі питання та дає ключ до розуміння деяких фундаментальних закономірностей Природи, які донедавна залишалися поза увагою дослідників. Її теоретичні розробки стимулюють як нові досягнення в галузі математики, так і розвиток експериментальної фізики, що значно розширює можливості маніпулювання станами мікросистем та потенційно важливе для появи нових ефективних технологій.

ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА

1. Бор Н. Атомна фізика і людське пізнання, М.: ІЛ, 1961.
2. Валієв К.А., Кокін А.А. Квантові комп'ютери: надії та реальність (2-ге вид.). М: ІКІ, 2004.
3. Валієв К.А. Дослідження у галузі квантових технологій в інформатиці та метрології // Вісник РАН, 2003. Т. 73. N 5. С. 400-405.
4. Кадомцев Б.Б. Динаміка та інформація. М: УФН, 1999.
5. Нільсен М.А., Чанг І. Квантові обчислення та квантова інформація (пер. з англ.). М: Світ, 2006.
6. Хольова А.С. Введення у квантову теорію інформації. М: МЦНМО, 2002.
7. Хольова А.С. Імовірнісні та статистичні аспекти квантової теорії (2-ге вид.). М: ІКІ, 2003.

Олександр Семенович Хольово – професор, доктор фізико-математичних наук, працює у Математичному інституті ім. В.А. Стеклова РАН.

Область наукових інтересів – квантова теорія інформації, квантові обчислення; некомутативна теорія ймовірностей, квантові випадкові процеси, динамічні (марківські) напівгрупи; статистична структура квантової теорії, квантові виміри.

Квантова механіка Принцип невизначеності Введення... Математичне формулювання … Вікіпедія

Квантова механіка Принцип невизначеності Вступ... Математичне формулювання... Основа … Вікіпедія

Квантова криптографія – метод захисту комунікацій, заснований на принципах квантової фізики. На відміну від традиційної криптографії, яка використовує математичні методи, щоб забезпечити секретність інформації, квантова криптографія… … Вікіпедія

Квантова механіка … Вікіпедія

У цій статті не вистачає посилань на джерела інформації. Інформація має бути перевіряється, інакше вона може бути поставлена ​​під сумнів та видалена. Ви можете … Вікіпедія

Квантова телепортація передача квантового стану на відстань за допомогою роз'єднаної в просторі зчепленої (заплутаної) пари та класичного каналу зв'язку, при якій стан руйнується в точці відправлення під час проведення … Вікіпедія

Розділ статистичної оптики, що вивчає мікроструктуру світлових полів та оптич. явища, в яких видно квант. природа світла. Подання про квант. структуру випромінювання введено в ньому. фізиком М. Планком у 1900. Статистич. структуру інтерференц. поля… … Фізична енциклопедія

Зв'язати? … Вікіпедія

Загальна теорія відносності Математичне формулювання ОТО Космологія Фундаментальні ідеї Спеціальна теорія відносності … Вікіпедія

Вивчає стани мікрочастинок та їх систем (елементарних частинок, атомних ядер, атомів, молекул, кристалів), зміну цих станів у часі, а також зв'язок величин, що характеризують стан мікрочастинок, з експерим. макроскопіч. величинами. До … Хімічна енциклопедія

Книги

• Квантові обчислення та квантова інформація , Нільсен М.. Книга відомих американських фахівців дає докладне і всебічне введення в нову галузь досліджень: вивчення ролі фізичних законів (і, особливо, законів квантової механіки) при…
• Квантова інформація та квантові обчислення. Том 2, Дж. Прескілл. Книга Дж. Прескілла являє собою найбільш повне сучасне введення в нову область науки, що бурхливо розвивається, - теорію квантової інформації і квантових обчислень. Запитання,…