Квантова механіка підказала можливе підтвердження гіпотези римана. Гіпотеза Рімана
Енциклопедичний YouTube
1 / 5
✪ #170. ГІПОТЕЗА РИМАНУ - ПРОБЛЕМА ТИСЯЧОЛІТТЯ!
✪ Science show. Випуск 30. Гіпотеза Рімана
✪ Гіпотеза Рімана. Вирішено проблему тисячоліття (але це не точно) | трушин відповість #031 +
✪ Гіпотеза Рімана. Вирішено проблему тисячоліття (але це не точно). Частина ІІ | трушин відповість #032 +
✪ Що довів Григорій Перельман?
Субтитри
Якщо натуральне число має лише два дільники - саме себе і одиницю, його називають простим. Найменше просте число - це два, трійка теж ділиться лише на саму себе і на одиницю, а ось двічі-два - чотири, і це число складене, з п'яти квадратиків можна лише скласти прямокутник зі сторонами 5 і 1, а ось шість квадратиків можна побудувати не тільки в один ряд, але ще прямокутником 2х3. Інтерес до простих чисел з'явився ще в давнину: перші записи на тему, відомі нам, відносяться до другого тисячоліття до нашої ери - стародавні єгиптяни зналися на математиці. В Античні часи Евклід довів, що простих чисел - нескінченно багато, а, крім того, він мав уявлення про основну теорему арифметики. Ератосфен у свою чергу вигадав (або принаймні зафіксував) алгоритм пошуку простих чисел. Це дуже крута штука, яка називається решетом Ератосфена, дивіться: зараз ми швидко з його допомогою визначимо у першій сотні натуральних чисел усі прості. Одиниця не є простою за визначенням, двійка - перше просте: викреслюємо всі числа кратні їй, адже вони обов'язково складові. Ну ось, кандидатів уже вдвічі менше! Беремо наступне просте число - три, викреслюємо всі числа, кратні трьом. Зауважте, п'ятірка вибиває не так вже й багато чисел, адже багато хто вже виявився кратним двом чи трьом. Але що найдивовижніше - наш алгоритм можна закінчити на числі сім! Подумайте чому це так! І якщо здогадалися, напишіть у коментарях, на якому числі можна закінчити процедуру під час роботи з першим десятком тисяч натуральних чисел! Отже, всього в першій сотні ми мали двадцять п'ять простих чисел. Хм… а скільки простих чисел у першій тисячі чи, скажімо, мільйоні? Це питання потривожило найсвітліші уми людства не на жарт, нікому тоді задарма не потрібна була практична користь криптографії: математика - це швидше розмова з Богом або, принаймні, один із способів його почути. Ну а прості числа – це як у хімії атоми та як у літературі алфавіт. Гаразд, ближче до теми! Естафету давньогрецьких учених через століття приймає вся Європа: розробляє теорію чисел П'єр Ферма, величезний внесок робить Леонард Ейлер, ну і, звичайно, ким тільки не складаються величезні таблиці простих чисел. Однак закономірність появи наших особливих нумерів серед складових виявити не вдається. І лише наприкінці 18-го століття Гауссом і Лежандром висувається припущення, що чудова функція π(x), яка б підраховувала кількість простих чисел, менших чи рівних дійсному числу x, влаштована так π(x)=x/lnx. До речі, у нас у першій сотні скільки чисел виявилося простих? Двадцять п'ять, правда? Навіть таких малих значень функція видає на виході адекватний до істини результат. Хоча мова, швидше про межі відносини π(x) і x/lnx: на нескінченності він дорівнює одиниці. Ось це твердження є теорема про розподіл простих чисел. Істотний внесок у її доказ зробив наш співвітчизник Пафнутий Львович Чебишев, а покінчити з темою цілком можна було б, повідомивши вам наостанок, що ця теорема була доведена незалежно Жаком Адамаром та Валле-Пуссеном ще 1896 року. Ага ... якби не одне "але"! У своїх міркуваннях вони спиралися на тезу одного колеги-попередника. І цим ученим з огляду на те, що Ейнштейн ще не народився, був Бернхард Ріман. Ось вам кадр із оригіналом рукопису Рімана. Знаєте, чому саме з цією темою він виступив: причина стара як наша освітня система: простими числами займався науковий керівник Рімана - Карл Фрідріх Гаус, король математики, між іншим! Ось тут стара друкована версія доповіді німецькою. Мені пощастило знайти російський переклад, але навіть струсивши з нього пилюку, деякі формули важко розглянути, тому ми скористаємося англійським варіантом. Дивимося! Бернхард відштовхується від результатів Ейлера: праворуч за допомогою великої грецької літери сигма записана сума всіх натуральних чисел, а ліворуч за допомогою великої і не менш грецької літери Пі позначено твір, притому мала літера p пробігає всі прості числа. Це дуже гарне співвідношення - задумайтеся! Далі вводиться дзета-функція та розвиваються ідеї, пов'язані з нею. А потім оповідання за допомогою тернистої дороги математичного аналізу йде до заявленої теореми про розподіл простих чисел, хоч і дещо з іншого ракурсу. А тепер поглянемо сюди: рівняння, в якому ліворуч – кси-функція, тісно пов'язана з дзетою, а праворуч – нулик. Ріман пише: «Ймовірно, всі нулі ксі-функції дійсні, принаймні було б бажано знайти суворий доказ цієї пропозиції». Потім додає, що після кількох марних, не дуже наполегливих спроб розшукати таке, він тимчасово відмовився, оскільки для подальшої мети у цьому потреби немає. Ось так і народилася гіпотеза Рімана! На сучасний лад і з усіма уточненнями вона звучить так: усі нетривіальні нулі дзета-функції мають дійсну частину, що дорівнює ½. Є, звісно, й інші еквівалентні формулювання. 1900-го року Давид Гільберт включив гіпотезу Рімана до знаменитого списку 23 невирішених проблем. До речі, вам не здається дивним, що Гільберт працював на тій же кафедрі Геттінгенського університету, що й Ріман свого часу. Якщо це був прояв земляцтва, то із чистою совістю ще раз додаю сюди послідовно кадри берізки та Чебишева. Чудово! Можемо рухатися далі. У 2000 році інститут Клея включив гіпотезу Рімана до списку семи відкритих проблем тисячоліття, і тепер за її вирішення належить 10⁶ ($). Да-а, розумію, що вас, як справжніх математиків, гроші не дуже манять, але все-таки це гарна нагода усвідомити суть гіпотези Рімана. Поїхали! Все дуже легко та зрозуміло! Принаймні було таким для Рімана. Ось дзета-функція у явному вигляді. Як і завжди, ми змогли побачити нулі функції, якби намалювали її графік. Хм ... Гаразд, спробуємо це зробити! Якщо взяти замість аргументу s двієчку, отримаємо знамениту базельську проблему – потрібно буде обчислити суму низки обернених квадратів. Але це не біда, із завданням давно впорався Ейлер: йому відразу стало очевидно, що ця сума дорівнює π²/6. Добре, тоді візьмемо s=4 - а втім, Ейлер порахував і це! Очевидно, π⁴/90. Загалом, ви зрозуміли, хто обчислив значення дзета-функции, у точках 6, 8, 10 тощо. А це що таке? Діта-функція Рімана від одиначки? Давайте подивимося! А-а-а, то це ж гармонійний ряд! Отже, як ви думаєте, чому дорівнює сума ось такого ряду? Доданки маленькі-маленькі, але все-таки більше, ніж у ряді зворотних квадратів, правда? Клацніть паузу, подумайте трохи і дайте ваше оцінне значення. Ну, скільки тут? Два? Чи, може, три? Барабанний дріб… гармонійний ряд розходиться! У безкінечність відлітає ця сума, розумієте, ні?! Ось дивіться, беремо ряд, у якого кожен із доданків не перевищує відповідних членів гармонійного ряду. І бачимо: ½, потім ще ½, знову ½ і так далі до нескінченності! Це я чого хилю? Дзета-функція від одиниці не визначена! Ну що ж, тепер здається зрозуміло, як виглядає графік діти. Одне тільки незрозуміло, де ж нули дзета-функції? Ну, покажіть мені, де нетривіальні нулі дзета-функції, а ще дійсна частина, що дорівнює одній другій! Адже якщо ми візьмемо аргументом дзета-функції ½, то всі члени отриманого ряду будуть не меншими за гармонійний, а отже, сум, розбіжність, нескінченність. Тобто взагалі у будь-якому дійсному s меншому або рівному одиниці, ряд розходиться. І вже, звичайно, при s=-1 дзета постане сумою всіх натуральних чисел і не зрівняється з жодним конкретним числом. Ага… є лише одне «але»! Якщо мого кмітливого друга попросити обчислити дзета-функцію в точці -1, то він, будучи бездушною залізякою, видасть значення -1/12. Та й взагалі, діта у нього визначена для будь-яких аргументів, крім одиначки, до того ж і нулі досягаються – у парних негативних значеннях! Так-а-а, приїхали, з чим це може бути пов'язано? О, добре, що під рукою є підручник з теорії функції комплексного змінного: тут, напевно, знайдеться відповідь. Так і є, і є! Виявляється, деякі функції мають аналітичне продовження! Йдеться про функції, які диференціюються скільки завгодно багато разів, в ряд Тейлора розкладаються, пам'ятаєте такі? Вони мають продовження у вигляді деякої іншої функції, до речі, єдиної. І, зокрема, нашу рідну дзета-функцію для дійсного аргументу, якщо під всі умови вона підходить, можна розширити на всю комплексну площину за принципом аналітичного продовження. І Ріман із цим впорався на ура! Відразу скажу, що різні значення комплексного аргументу можна було б зобразити тільки на площині. Але якщо аргумент пробігає точки площини, як зобразити значення функції? На поверхні можна обмежитися нулями функції, а можна взяти на озброєння третій вимір, хоча для діти їх потрібно чотири. Ну а ще можна спробувати використати колір. Самі дивіться! По осі абсцис відкладається дійсна частина аргументу, по осі ординат -уявна. Ну що ж, тепер тримайте вухо гостро: всі нетривіальні нулі дзета-функції мають дійсну частину, що дорівнює ½. Тут уже й казці кінець, а хто слухав – молодець! Домашнє завдання - довести чи спростувати гіпотезу Рімана, і не надумайте списувати в Атьї! Думайте критично, займайтеся математикою, щасливо! [Грає музика]
Формулювання
Еквівалентні формулювання
Міркування про істинність гіпотези
Серед даних, що дозволяють припускати істинність гіпотези, можна виділити успішний доказ подібних гіпотез (зокрема, гіпотези Рімана про різноманіття над кінцевими полями). Це найбільш сильний теоретичний аргумент, що дозволяє припустити, що умова Рімана виконується для всіх дзета-функцій, пов'язаних з автоморфними відображеннями (англ.)російська.що включає класичну гіпотезу Рімана. Істинність аналогічної гіпотези вже доведена для дзета-функції Сельберга (англ.)російська., у деяких відносинах подібною до функції Рімана, і для дзета-функції Госа (англ.)російська.(Аналог дзета-функції Рімана для функціональних полів).
З іншого боку, деякі з дзета-функцій Епштейна (англ.)російська.не задовольняють умову Рімана, хоча вони мають нескінченну кількість нулів на критичній лінії. Однак ці функції не виражаються через ряди Ейлера і пов'язані безпосередньо з автоморфними відображеннями.
До «практичних» аргументів на користь істинності Ріманівської гіпотези належить обчислювальна перевірка великої кількості нетривіальних нулів дзета-функції в рамках проекту ZetaGrid.
Пов'язані проблеми
Дві гіпотези Харді-Літтлвуда
- Для будь-кого ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)існує T 0 = T 0 (ε) > 0 (\displaystyle T_(0)=T_(0)(\varepsilon)>0), Таке що при і H = T 0 , 25 + ε (\displaystyle H=T^(0(,)25+\varepsilon ))інтервал містить нуль непарного порядку функції.
- Для будь-кого ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)існують такі T 0 = T 0 (ε) > 0 (\displaystyle T_(0)=T_(0)(\varepsilon)>0)і c = c (ε) > 0 (\displaystyle c=c(\varepsilon)>0), що за T ⩾ T 0 (\displaystyle T\geqslant T_(0))і справедлива нерівність N 0 (T + H) − N 0 (T) ⩾ c H (\displaystyle N_(0)(T+H)-N_(0)(T)\geqslant cH).
Гіпотеза А. Сельберга
У 1942 році Атле Сельберг досліджував проблему Харді-Літтлвуда 2 і довів, що для будь-кого ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)існують T 0 = T 0 (ε) > 0 (\displaystyle T_(0)=T_(0)(\varepsilon)>0)і c = c (ε) > 0 (\displaystyle c=c(\varepsilon)>0), такі що для T ⩾ T 0 (\displaystyle T\geqslant T_(0))і H = T 0 , 5 + ε (\displaystyle H=T^(0(,)5+\varepsilon ))справедлива нерівність N (T + H) - N (T) ⩾ c H log T (\displaystyle N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T).
У свою чергу, Атле Сельберг висловив гіпотезу, що можна зменшити показник ступеня a = 0 , 5 (\displaystyle a=0(,)5)для величини H = T 0 , 5 + ε (\displaystyle H=T^(0(,)5+\varepsilon )).
У 1984-му році А. А. Карацуба довів, що за фіксованого з умовою 0 < ε < 0,001 {\displaystyle 0<\varepsilon <0{,}001} , досить великому T (\displaystyle T)і H = Ta + ε (\displaystyle H=T^(a+\varepsilon )), a = 27 82 = 1 3 − 1 246 (displaystyle a = (tfrac (27) (82)) = (tfrac (1) (3))проміжок (T , T + H) (\displaystyle (T,T+H))містить не менше c H ln T (\displaystyle cH\ln T)речових нулів дзета-функції Рімана ζ (1 2 + i t) (\displaystyle \zeta (\Bigl ()(\tfrac (1)(2))+it(\Bigr))). Тим самим він підтвердив гіпотезу Сельберга.
Оцінки А.Сельберга і А.А. T → + ∞ (\displaystyle T\to +\infty ).
У 1992-му році А. А. Карацуба довів, що аналог гіпотези Сельбергасправедливий для «майже всіх» проміжків (T , T + H ] (\displaystyle (T,T+H]), H = T ε (\displaystyle H = T^(\varepsilon)), де ε (\displaystyle \varepsilon)- скільки завгодно мале фіксоване позитивне число. Метод, розроблений Карацубою, дозволяє досліджувати нулі дзета-функції Рімана на «надкоротких» проміжках критичної прямої, тобто на проміжках (T , T + H ] (\displaystyle (T,T+H]), Довжина H (\displaystyle H)яких зростає повільніше будь-якого, навіть як завгодно малого, ступеня T (\displaystyle T). Зокрема, він довів, що для будь-яких заданих чисел ε (\displaystyle \varepsilon), ε 1 (\displaystyle \varepsilon _(1))з умовою 0 < ε , ε 1 < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1} майже всі проміжки (T , T + H ] (\displaystyle (T,T+H])при H ⩾ exp ( (ln T) ε ) (\displaystyle H\geqslant \exp (\((\ln T)^(\varepsilon )\))))містять не менше H (ln T) 1 − ε 1 (\displaystyle H(\ln T)^(1-\varepsilon _(1)))нулів функції ζ (1 2 + i t) (\displaystyle \zeta (\bigl ()(\tfrac (1)(2))+it(\bigr))). Ця оцінка дуже близька до тієї, що випливає з гіпотези Рімана.
Див. також
Примітки
- Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Rules for the Millennium Prizes
- Що дещо незвичайно, тому що lim sup n → ∞ σ (n) n log log n = e γ . (\displaystyle \limsup _(n\rightarrow \infty )(\frac (\sigma (n))(n\ \log \log n))=e^(\gamma ).)
Нерівність порушується при n= 5040 і деяких менших значеннях, але Гай Робін в 1984 році показав, що воно дотримується для всіх більших цілих, тоді і тільки тоді, коли гіпотеза Рімана вірна.
Я хотів докладніше розповісти про начебто доведену нещодавно гіпотезу Анрі Пуанкаре, але потім вирішив «розширити завдання» і в стислому вигляді розповісти «про все». Отже, математичний інститут Клея у Бостоні 2000 року визначив «сім завдань тисячоліття» і призначив премії мільйон доларів за рішення кожної з них. Ось вони:
1. Гіпотеза Пуанкаре
2. Гіпотеза Рімана
3. Рівняння Навье-Стокса
4. Гіпотеза Кука
5. Гіпотеза Ходжу
6. Теорія Янга-Мілліса
7. Гіпотеза Берча-Свіннертона-Дайєра
Про гіпотезу Пуанкаре ми поговоримо наступного разу, зараз загалом розповімо про інші проблеми
Гіпотеза Рімана (1859 р.)
Всі знають що таке прості числа - це числа, що діляться на 1 і на самих себе. Тобто. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 і т.д. Але що цікаво, позначити якусь закономірність у їхньому розміщенні поки що виявлялося неможливим.
Так, вважається, що на околиці цілого числа х середня відстань між послідовними простими числами пропорційна логарифму х. Тим не менш, вже давно відомі так звані парні прості числа (прості числа-близнюки, різниця між якими дорівнює 2, наприклад 11 і 13, 29 і 31, 59 і 61. Іноді вони утворюють цілі скупчення, наприклад 101, 103, 107, 109 і 113. Якщо такі скупчення будуть знайдені і в області дуже великих простих чисел, то стійкість криптографічних ключів, що використовуються в даний час, може виявитися під дуже великим питанням.
Ріман запропонував свій варіант, зручний виявлення великих простих чисел. Відповідно до нього, характер розподілу простих чисел може суттєво відрізнятися від передбачуваного нині. Ріман виявив, що число P(x) простих чисел, що не перевищують x, виражається через розподіл нетривіальних нулів дзета-функції Рімана Z(s). Ріман висловив гіпотезу, не доведену і спростовану досі, що це нетривіальні нулі дзета-функции лежать прямої лінії R(z) = (1/2). (Вибачте, але я не знаю як змінити кодування щоб показувалися грецькі букви).
Загалом, довівши гіпотезу Рімана (якщо це взагалі можливо) і підібравши відповідний алгоритм, можна буде поламати багато паролів та секретних кодів.
Рівняння Навье-Стокса. (1830 р.)
Нелінійний дифур описує теплову конвекцію рідин та повітряних потоків. Є одним із ключових рівнянь у метеорології.
p - тиск
F – зовнішня сила
r (ро) - щільність
n (ню) - в'язкість
v - комплексна швидкість
Напевно, його точне аналітичне рішення цікаве з суто математичної точки зору, але наближені методи вирішення давно існують. Як завжди в таких випадках, нелінійний дифур розбивають на кілька лінійних, інша справа, що рішення системи лінійних дифурів виявилося надзвичайно чутливим до початкових умов. Це стало очевидно, коли з введенням комп'ютерів стало можливо обробляти великі масиви даних. Так у 1963 році американський метеоролог із Массачусетського технологічного інституту Едвард Лоренц запитав: чому стрімке вдосконалення комп'ютерів не призвело до втілення в життя мрії метеорологів – достовірного середньострокового (на 2-3 тижні вперед) прогнозу погоди? Едвард Лоренц запропонував найпростішу модель, що складається з трьох звичайних диференціальних рівнянь, що описує конвекцію повітря, прорахував її на комп'ютері та отримав разючий результат. Цей результат – динамічний хаос – є складним неперіодичним рухом, що має кінцевий обрій прогнозу, в детермінованих системах (тобто в таких, де майбутнє однозначно визначається минулим). Так було відкрито дивний атрактор. Причина непередбачуваності поведінки цієї та інших подібних систем полягає в не в тому, що не вірна математична теорема про існування і єдиність рішення при заданих початкових умовах, а саме в надзвичайній чутливості рішення до цих початкових умов. Близькі початкові умови з часом призводять до абсолютно різного кінцевого стану системи. Причому часто відмінність наростає з часом експоненційно, тобто надзвичайно швидко.
Гіпотеза Кука (1971)
Наскільки швидко можна перевірити конкретну відповідь – ось невирішена проблемою логіки та комп'ютерних обчислень! Вона була сформульована Стівеном Куком так: «Чи може перевірка правильності розв'язання задачі бути більш тривалою, ніж саме отримання рішення, незалежно від алгоритму перевірки?». Вирішення цієї проблеми могло б революційним чином змінити основи криптографії, що використовується при передачі та зберіганні даних і розробити алгоритм т.зв. «квантових комп'ютерів» що знову-таки допоможе у прискоренні алгоритму вирішення завдань пов'язаних з перебором кодів (наприклад, той самий злам паролів).
Нехай задана функція від 10000 змінних: f (х 1 …х 10000 ), для простоти приймемо, що змінні можуть приймати значення 0 або 1, результат функції теж 0 або 1. Існує алгоритм, що обчислює цю функцію для будь-якого заданого набору аргументів за досить малий час (Припустимо, за t = 0,1 сек).
Потрібно дізнатися, чи існує набір аргументів, у якому значення функції дорівнює 1. У цьому сам набір аргументів, у якому функція дорівнює 1, нас цікавить. Нам просто треба знати, є він чи ні. Що ми можемо вдіяти? Найпростіше взяти і тупо перебрати всю послідовність від 1 до 10000 у всіх комбінаціях обчислюючи значення функції на різних наборах. У самому несприятливому випадку ми на це витратимо 2 tN або 2 1000 секунд, що у багато разів більше за вік Всесвіту.
Але якщо ми знаємо природу функції f, то
можна скоротити перебір, відкинувши набори аргументів, у яких функція свідомо дорівнює 0. Багато реальних завдань дозволять вирішити їх за прийнятний час. У той самий час є завдання (так звані NP-повні завдання), котрим навіть після скорочення перебору, загальний час рішення залишається неприйнятним.
Тепер щодо фізичної сторони. Відомо, що квант
може бути в стані 0 або 1 з якоюсь ймовірністю. І що цікаво, можна дізнатися, в якому стані вона знаходиться:
A: 0 з ймовірністю 1
У: 1 з ймовірністю 1
З: 0 з ймовірністю р, 1 з ймовірністю 1-р
Суть обчислень на квантовому комп'ютері у тому, щоб узяти 1000 квантів може З і подати в вхід функції f. Якщо виході буде отримано квант може А, це, що у всіх можливих наборах f=0. Ну а якщо на виході буде отримано квант у стані
B або С це означає, що існує набір, на якому f=1.
Очевидно. що «квантовий комп'ютер» значно прискорить завдання пов'язані з перебором даних, але малоефективний у плані прискорення запису чи зчитування даних.
Теорія Янга-Міллса
Ось це, напевно, єдине з зазначених семи питань, які мають по-справжньому фундаментальне значення. Вирішення його істотно просуне створення «єдиної теорії поля», тобто. виявлення детермінованого зв'язку між чотирма відомими типами взаємодій
1. Гравітаційним
2. Електромагнітним
3. Сильним
4. Слабким
У 1954 році Янг Чженьнін (представник жовтої кореневої раси) і Роберт Міллс запропонували теорію, відповідно до якої було об'єднано електромагнітну та слабку взаємодію (Глешоу, Вайнберг, Салам - Ноб. Премія 1979). Більше того, вона досі є основою квантової теорії поля. Але вже почав давати збій математичний апарат. Справа в тому, що «квантові частинки» поводяться зовсім не так як «великі тіла» у ньютонівській фізиці. І хоча є загальні моменти, наприклад, заряджена частка створює електромагнітне поле, а частка з ненульовою масою — гравітаційне; або, наприклад, частка еквівалентна сукупності полів, які вона створює, адже будь-яка взаємодія з іншими частинками здійснюється за допомогою цих полів; з погляду фізики, розглядати поля, породжені часткою, - те саме, що розглядати саму частинку.
Але це так би мовити «у першому наближенні».
При квантовому підході ту саму частинку можна описувати двома різними способами: як частинку з деякою масою і як хвилю з деякою довжиною. Єдина частка-хвиля описується не своїм становищем у просторі, а хвильової функцією (зазвичай позначається як Y), та її місцезнаходження має імовірнісну природу — можливість виявити частинку у цій точці x у час t дорівнює Y = P(x,t)^2 . Здавалося б нічого незвичайного, але на рівні мікрочастинок виникає наступний «неприємний» ефект — якщо на частинку діють кілька полів відразу, їхній сукупний ефект уже не можна розкласти на дію кожного з них поодинці, класичний принцип суперпозиції не працює. Так виходить тому, що в цій теорії одна до одної притягуються не лише частинки матерії, а й самі силові лінії поля. Через це рівняння стають нелінійними і весь арсенал математичних прийомів на вирішення лінійних рівнянь до них застосувати не можна. Пошук рішень і навіть доказ їх існування стають незрівнянно складнішим завданням.
Ось чому вирішити її «в лоб», напевно, неможливо, принаймні теоретики обрали інший шлях. Так, спираючись на висновки Янга та Міллза, Мюррей Гелл-Манн побудував теорію сильної взаємодії (Ноб. премія).
Головна «фішка» теорії – введення частинок із дробовим електричним зарядом – кварків.
Але щоб математично «прив'язати» один до одного електромагнітну, сильну і слабку взаємодію, потрібно щоб виконалися три умови:
1. Наявність «щілини» у спектрі мас, англійською — mass gap
2. Кварковий конфайнмент: кварки замкнені всередині адронів і принципово не можуть бути отримані у вільному вигляді
3. Порушення симетрії
Експерименти показали, що ці умови в реалі виконуються, але суворого математичного доказу немає. Тобто. по суті, потрібно теорію Я-М адаптувати до 4-мірного простору, що мають три зазначені властивості. На мою думку, так це завдання тягне куди більше ніж на мільйон. І хоча в існуванні кварків жоден пристойний фізик не сумнівається, що експериментально їх виявити не вдалося. Передбачається що на масштабі 10 -30 між електромагнітною, сильною і слабкою взаємодією втрачається будь-яка відмінність (т.зв. «Велике Об'єднання»), інша справа що потрібна для таких експериментів енергія (більше 10 16 ГеВ) не може бути отримана на прискорювачів. Але ви не хвилюйтеся — перевірка Великого Об'єднання — справа найближчих років, якщо, звісно, на людство не впадуть надмірні проблеми. Фізики вже розробили перевірочний експеримент, пов'язаний з нестабільністю протона (наслідком теорії Я-М). Але ця тема виходить за межі нашого повідомлення.
Ну і пам'ятатимемо, що це ще не все. Залишається останній бастіон – гравітація. Про неї ми реально нічого не знаємо, крім того, що все притягується і викривляється простір-час. Зрозуміло, що всі сили у світі зводяться до однієї суперсили або, як то кажуть, «Супероб'єднання». Але який принцип супероб'єднання? Алік Ейнштейн вважав, що цей принцип геометричний, як і принцип ОТО. Цілком можливо. Тобто. фізика на початковому рівні — лише геометрія.
Гіпотеза Берча та Свіннертон-Дайєра
Пам'ятаєте Велику Теорему Ферма, начебто доведену якимось інглізом у 1994 році? 350 років на це знадобилося! Так от тепер проблема отримала продовження — треба описати всі рішення в цілих числах
x, y, z алгебраїчних рівнянь, тобто рівнянь від кількох змінних
із цілими коефіцієнтами. Прикладом рівняння алгебри є рівняння
x 2 + y 2 = z 2. Евклід дав повний опис
рішень цього рівняння, але для складніших рівнянь отримання рішення
стає надзвичайно важким (наприклад, доказ відсутності цілих
розв'язків рівняння x n + y n = z n).
Берч і Свіннертон-Дайєр припустили, що число рішень визначається значенням пов'язаної з рівнянням дзета-функції ζ(s) у точці 1: якщо значення дзета-функції ζ(s) у точці 1 дорівнює 0, то є нескінченна кількість рішень, і навпаки, якщо не дорівнює 0, то є лише кінцеве число таких рішень. Тут завдання, до речі, перегукується з гіпотезою Рімана, лише там досліджувався розподіл нетривіальних нулів дзета-функції ζ(s)
Гіпотеза Ходжа
Напевно, найабстрактніша тема.
Як відомо, для опису властивостей складних геометричних об'єктів їх властивості апроксимуються. Ну наприклад кулю (хоча вона зовсім нескладна) можна уявити як поверхню, що складається з маленьких квадратиків. Але якщо є поверхні більш складні, виникає питання, наскільки ми можемо апроксимувати форму даного об'єкта, склеюючи разом прості тіла зростаючої розмірності? Цей метод виявився ефективним при описі різноманітних об'єктів, що зустрічаються в математиці, але в деяких випадках було необхідно додавати частини, які не мали жодного геометричного тлумачення.
Я переглянув на цю тему незрозумілу книжку Гельфанда-Маніна, там описується теорія Ходжа для гладких некомпактних утворень, але чесно кажучи мало що зрозумів, я взагалі аналітичну геометрію якось не дуже розумію. Там сенс у тому, що інтеграли за деякими циклами можна обчислити через відрахування, а це сучасні комп'ютери добре вміють.
Сама гіпотеза Ходжа у тому, що з деяких типів просторів, званих проективними алгебраїчними різноманіттями, т.зв. цикли Ходжа є комбінаціями об'єктів, що мають геометричну інтерпретацію, - циклів алгебри.
Знаменитий британський математик Майкл Атья, професор Оксфордського, Кембриджського та Единбурзького інститутів та лауреат майже десятка престижних премій у галузі математики, представив доказ гіпотези, одним із «задач тисячоліття». Доказ займає лише 15 рядків, а разом із запровадженням та списком літератури — п'ять сторінок. Текст Атья виклавна сервісі Drive.
Гіпотеза про розподіл нулів дзета-функції Рімана була сформульована математиком Бернхардом Ріманом у 1859 році.
Вона описує, як розташовані на числовій прямій прості числа.
У той час як не знайдено якоїсь закономірності, що описує розподіл простих чисел серед натуральних, Ріман виявив, що кількість простих чисел, що не перевищують x, — функція розподілу простих чисел, що позначається π(x) — виражається через розподіл так званих «нетривіальних нулів» » Дзета-функції.
Гіпотеза Рімана стверджує, що це нетривіальні нулі дзета-функции лежать на вертикальної лінії Re=0,5 комплексної площині. Гіпотеза Рімана важлива не тільки для чистої математики — дзета-функція постійно спливає у практичних завданнях, пов'язаних із простими числами, наприклад, у криптографії.
За словами Атьї, рішення він знайшов, експериментуючи з постійною тонкою структурою - фундаментальною фізичною постійною, що характеризує силу електромагнітної взаємодії. Вона визначає розмір дуже малої зміни величини (розщеплення) енергетичних рівнів атома і, отже, утворення тонкої структури - набору вузьких та близьких частот у спектральних лініях.
Гіпотеза Рімана входить до списку семи «завдань тисячоліття», за рішення кожної з яких Математичний інститут Клея в США зобов'язується виплатити нагороду в один мільйон доларів США.
Якщо підтвердження буде підтверджено, Атья отримає нагороду.
Математичний інститут Клея оголосив про своє рішення віддати премію Перельману 19 березня 2010 року. Роботи, за які математик удостоївся нагороди, були написані ним у 2002 році, причому вони були викладені в архів електронних препринтів, а не надруковані в науковому журналі, що рецензується. У своїх викладках Перельман завершив доказ гіпотези геометризації Терстона, яка пов'язана з гіпотезою Пуанкаре.
У 2005 році за ці роботи Перельману було присуджено Філдсівську премію, яку часто називають Нобелівською премією для математиків. Від цієї нагороди російський математик також відмовився.
У 2014 році математик з Казахстану Мухтарбай Отелбаєв, що вирішив ще одне із «завдань тисячоліття» — знайшов умови системи рівнянь Навье — Стокса, за яких для кожного набору параметрів є єдине рішення. Рівняння Навье - Стокса - система диференціальних рівнянь у приватних похідних, що описує рух в'язкої ньютонівської рідини. Рівняння Навье-Стокса є одними з найважливіших в гідродинаміці і застосовуються в математичному моделюванні багатьох природних явищ і технічних завдань.
Щоб визнати рішення Отелбаєва вірним, наукове співтовариство має його перевірити. Наразі результати перевірки невідомі.
У 2010 році американський математик індійського походження Винай Деолалікар, що вирішив ще одне із завдань тисячоліття - знайшов доказ нерівності класів складності P та NP.
Ця проблема полягає в наступному: якщо позитивну відповідь на якесь питання можна швидко перевірити (за поліноміальний час), то чи правда, що відповідь на це питання можна швидко знайти (за поліноміальний час та використовуючи поліноміальну пам'ять), тобто чи справді завдання Легше перевірити, ніж вирішити?
Даних про те, що наукова спільнота визнала доказ вірним, поки що немає.
8 серпня 1900 року на 2-му Міжнародному конгресі математиків у Парижі один із найбільших математиків сучасності Давид Гільберт сформулював двадцять три завдання, які багато в чому визначили розвиток математики XX століття. У 2000 році фахівці з Clay Mathematics Institute вирішили, що грішно входити в нове тисячоліття, не намітивши нову програму розвитку, - тим більше що від двадцяти трьох проблем Гільберта залишилися лише дві. а з приводу ще однієї – знаменитої континуум-гіпотези – консенсусу поки не досягнуто ()].
В результаті з'явився знаменитий список із семи завдань, за повне рішення будь-яке з яких обіцяно мільйон доларів із спеціально заснованого фонду. Щоб отримати гроші, потрібно опублікувати рішення та почекати два роки; якщо протягом двох років ніхто його не спростує (будьте впевнені – спробують), ви отримаєте мільйон омріяних зелених папірців.
Я спробую викласти суть одного з цих завдань, а також постараюся (в міру своїх скромних сил) пояснити її складність та важливість. Наполегливо рекомендую зайти на офіційний сайт конкурсу www.claymath.org/millennium; опубліковані там описи проблем сповнені та цікаві, і саме вони стали головним джерелом при написанні статті.
Гіпотеза Рімана
Якось один із моїх наукових керівників, видатний петербурзький алгебраїст Микола Олександрович Вавілов, почав заняття свого спецкурсу з формули
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = –1/12.
Ні, заняття не було присвячене гіпотезі Рімана, і я дізнався про неї зовсім не від Миколи Олександровича. Але формула, тим не менш, має до гіпотези пряме відношення. І що дивно - це здається абсурдним рівність дійсно вірно. Точніше сказати, не зовсім воно, але він деталей теж незабаром буде задоволений.
В 1859 Бернард Ріман (Bernhard Riemann) опублікував статтю (або, як тоді висловлювалися, мемуар), якій було судилося дуже довге життя. У ньому він виклав зовсім новий метод асимптотичної оцінки розподілу простих чисел. В основі методу лежала функція, зв'язок якої з простими числами виявив ще Леонард Ейлер, але яка все ж таки отримала ім'я математика, що продовжив її на всю комплексну площину: так звана дзета-функція Рімана. Визначається вона дуже просто:
ς (s) = 1/1 s + 1/2 s + 1/3 s + 1/3 s + ….
Будь-який студент, який прослухав курс математичного аналізу, відразу скаже, що цей ряд сходиться для будь-якого речового s > 1. Більше того, він сходиться і для комплексних чисел, речова частина яких більше одиниці. Ще більше, функція ς (s) - аналітична у цій напівплощині.
Розглядати формулу для негативних s здається поганим жартом: ну який сенс складати, наприклад, усі позитивні цілі числа чи тим більше їх квадрати чи куби? Однак комплексний аналіз - уперта наука, і властивості дзета-функції такі, що її можна продовжити на всю площину. Це було однією з ідей Рімана, викладених у мемуарі 1859 року. Отримана функція має лише одну особливу точку (полюс): s = 1, а, наприклад, у негативних речових точках функція цілком визначена. Саме значення аналітично продовженої дзета-функції у точці –1 і виражає формула, з якої почав цей розділ.
(Спеціально для патріотів та небайдужих до історії науки людей зазначу у дужках, що, хоча мемуар Бернарда Рімана вніс у теорію чисел багато свіжих ідей, він не був першим дослідженням, у якому розподіл простих чисел вивчався аналітичними методами. Вперше це зробив наш співвітчизник Пафнутий Чебишев, 24 травня 1848 року прочитав у петербурзької Академії наук доповідь, у якому виклав асимптотичні оцінки кількості простих чисел, що стали класичними.)
Але повернемося до Рімана. Йому вдалося показати, що розподіл простих чисел – а це центральна проблема теорії чисел – залежить від того, де дзета-функція перетворюється на нуль. Вона має звані тривіальні нулі - у парних негативних числах (–2, –4, –6, …). Завдання полягає в тому, щоб описати решту нулі дзета-функції.
Цей горішок ось уже півтори сотні років не можуть розгризти найталановитіші математики планети.
Щоправда, мало хто сумнівається у тому, що гіпотеза Рімана вірна. По-перше, чисельні експерименти більш ніж переконливі; про останній з них розповідає стаття Хав'єра Гурдона (Xavier Gourdon), назва якої говорить сама за себе: «Перші 10 13 нулів дзета-функції Рімана та обчислення нулів на дуже великій висоті» (друга частина назви означає, що запропоновано метод обчислення не лише перших нулів, але й деяких, хай і не всіх, більш далеких, аж до нулів із номером близько 10 24). Ця робота поки вінчає більш ніж сторічну історію спроб перевірки гіпотези Рімана для деякої кількості перших нулів. Зрозуміло, контрприкладів до гіпотези Рімана не знайдено. Крім того, суворо встановлено, що більше 40% нулів дзета функції гіпотезі задовольняють.
Другий аргумент нагадує один із доказів існування Бога, спростованих ще Іммануїлом Кантом. Якщо Ріман все ж таки помилився, то невірною стане дуже багато красивої та правдоподібної математики, побудованої у припущенні, що гіпотеза Рімана правильна. Так, цей аргумент не має наукової ваги, але все ж таки... математика - це наука, де краса відіграє ключову роль. Гарний, але невірний доказ часто-густо виявляється кориснішим, ніж вірний, але негарний. Так, наприклад, із невдалих спроб довести велику теорему Ферма виріс не один напрямок сучасної алгебри. І ще одне естетичне зауваження: теорема, аналогічна гіпотезі Рімана, була доведена в геометрії алгебри. Теорема Деліня (Deligne), що вийшла, по праву вважається одним з найскладніших, красивих і важливих результатів математики XX століття.
Отже, гіпотеза Рімана, мабуть, вірна - але з доведена. Хто знає, можливо, зараз цей журнал читає людина, якій судилося увійти до історії математики, довівши гіпотезу Рімана. У будь-якому випадку, як і з усіма іншими великими завданнями, відразу попереджаю: не намагайтеся повторити ці трюки вдома. Іншими словами, не намагайтеся вирішувати великі проблеми, не зрозумівши теорію, яка їх оточує. Заощадіть нерви і собі, і оточуючим.
На десерт - ще трохи цікавого про дзета-функцію. Виявляється, вона має і практичні застосування, і навіть фізичний зміст. Більше того, і гіпотеза Рімана (точніше кажучи, її узагальнення, яке вважається настільки ж складним, як і вона сама) має прямі практичні наслідки. Наприклад, однією з важливих обчислювальних задач є перевірка чисел на простоту (дано число, треба сказати, просте чи ні). Найтеоретичніший на даний момент алгоритм вирішення цього завдання - тест Міллера-Рабіна (Miller-Rabin test) - працює за час O(log 4 n), де n - це число (відповідно log n - довжина входу алгоритму). Однак доказ того, що він працює так швидко, спирається на гіпотезу Рімана.
Втім, тест на простоту - не надто складна проблема з точки зору теорії складності (у 2002 році був розроблений алгоритм, що не залежить від гіпотези Рімана, який повільніший за тест Міллера-Рабіна, але теж поліноміальний). Розкладати числа на прості співмножники набагато цікавіше (і прямі криптографічні програми очевидні - стійкість схеми RSA залежить від того, чи можна швидко розкласти число на прості), і тут гіпотеза Рімана теж є необхідною умовою для доказу оцінок часу роботи деяких швидких алгоритмів.
Звернемося до фізики. У 1948 році голландський вчений Хендрік Казімір (Hendrik Casimir) передбачив ефект, що носить тепер його ім'я [Ефект Казимира довгий час залишався лише витонченою теоретичною ідеєю; проте в 1997 році Стів Ламоро (Steve K. Lamoreaux), Умар Мохідін (Umar Mohideen) і Анушрі Руа (Anushri Roy) змогли провести підтверджуючі попередні теорію експерименти]. Виявляється, якщо зблизити дві незаряджені металеві пластини на відстань у кілька атомних діаметрів, вони притягнуться один до одного за рахунок флуктуацій розташованого між ними вакууму - пар частинок і античастинок, що постійно народжуються. Цей ефект чимось нагадує тяжіння суден в океані, що підпливли надто близько один до одного (ще більше він нагадує теорію Стівена Хокінга про те, що чорні дірки все ж випромінюють енергію, - втім, тут важко сказати, хто кого нагадує). Розрахунки фізичної моделі цього процесу показують, що сила, з якою притягуються пластини, повинна бути пропорційна сумі частот стоячих хвиль, що виникають між пластинами. Ви вже здогадалися – ця сума зводиться до суми 1+2+3+4+. І більше - правильним значенням цієї суми для розрахунків ефекту Казимира є саме -1/12.
Але це ще не все. Деякі дослідники вважають, що дзета-функція відіграє важливу роль у музиці! Можливо[Я пишу "можливо", тому що єдине джерело, яке мені вдалося розшукати, це листування в usenet-конференції sci.math. Якщо ви (читачі) зможете знайти авторитетніші джерела, мені буде дуже цікаво про це почути], максимуми дзета-функції відповідають значенням частот, які можуть служити гарною основою для побудови музичної шкали (такої, як наш нотний стан). Що ж, Герман Гессе у своїй «Грі в бісер» не дарма оголосив Гра комбінацією математики та музики: між ними і справді багато спільного…
Відповідь редакціїПрофесор Оксфордського, Кембриджського та Единбурзького університетів, а також лауреат майже десятка престижних премій у галузі математики Майкл Френсіс Атья представив доказ гіпотези Рімана, однієї з семи «проблем тисячоліття», яка описує, як розташовані на числовій прямій прості числа.
Доказ Атті невеликий, разом із запровадженням та списком літератури він займає п'ять сторінок. Вчений стверджує, що знайшов рішення гіпотези, аналізуючи проблеми, пов'язані з постійною тонкою структурою, а як інструмент використовував функцію Тодда. Якщо наукове співтовариство визнає доказ коректним, то за нього британець отримає $1 млн від Інституту математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс).
На приз також претендують інші вчені. У 2015 році про вирішення гіпотези Рімана заявляв професор математики Опіємі Енох (Opeyemi Enoch)з Нігерії, а у 2016 році свій доказ гіпотези представив російський математик Ігор Турканов. За словами представників Інституту математики, для того, щоб досягнення було зафіксовано, його необхідно опублікувати в авторитетному міжнародному журналі з подальшим підтвердженням доказу науковою спільнотою.
У чому суть гіпотези?
Гіпотезу ще 1859 року сформулював німецька математик Бернхард Ріман. Він визначив формулу так звану дзета-функцію для кількості простих чисел до заданої межі. Вчений з'ясував, що немає ніякої закономірності, яка описувала б, як часто в числовому ряду з'являються прості числа, при цьому він виявив, що кількість простих чисел, що не перевищують x, виражається через розподіл про «нетривіальних нулів» дзета-функции.
Ріман був упевнений у правильності виведеної формули, проте він не міг встановити, від якого простого твердження повністю залежить цей розподіл. В результаті він висунув гіпотезу, яка полягає в тому, що всі нетривіальні нулі дзета-функції мають дійсну частину, що дорівнює ½, і лежать на вертикальній лінії Re=0,5 комплексної площини.
Доказ чи спростування гіпотези Рімана дуже важливий для теорії розподілу простих чисел, каже аспірант факультету математики Вищої школи економіки Олександр Калминін. «Гіпотеза Рімана — це твердження, яке еквівалентне певній формулі для кількості простих чисел, що не перевищують дане число x. Гіпотеза, наприклад, дозволяє досить швидко і з великою точністю порахувати кількість простих чисел, що не перевершують, наприклад, 10 млрд. Це не єдина цінність гіпотези, тому що в неї є ще цілий ряд узагальнень, що досить далеко йдуть, які відомі як узагальнена гіпотеза Рімана , розширена гіпотеза Рімана та велика гіпотеза Рімана. Вони мають ще більше значення для різних розділів математики, але насамперед важливість гіпотези визначається теорією простих чисел», – каже Калминін.
За словами експерта, за допомогою гіпотези можна вирішувати ряд класичних завдань теорії чисел: задачі Гауса про квадратичні поля (проблема десятого дискримінанта), завдання Ейлера про зручні числа, гіпотезу Виноградова про квадратичні невирахування і т. д. У сучасній математиці цією гіпотезою користуються для доказу тверджень про прості числа. «Ми відразу припускаємо, що вірна якась сильна гіпотеза на кшталт гіпотези Рімана, і дивимося, що виходить. Коли в нас це виходить, ми запитуємо себе: чи можемо ми це довести без припущення гіпотези? І хоча таке твердження поки за межами того, чого ми можемо досягти, воно працює як маяк. Через те, що є така гіпотеза, ми можемо дивитися, куди нам рухатися», — каже Калминін.
Доказ гіпотези може вплинути на вдосконалення інформаційних технологій, оскільки процеси шифрування і кодування сьогодні залежать від ефективності різних алгоритмів. «Якщо ми візьмемо два простих великих числа по сорок знаків і перемножимо, то в нас вийде велике вісімдесятизначне число. Якщо поставити завдання розкласти це число на множники, то це буде дуже складне обчислювальне завдання, на основі якого побудовано багато питань інформаційної безпеки. Усі вони полягають у створенні різних алгоритмів, які зав'язані на подібних складностях», — каже Калминін.
