Логарифми з однаковою основою приклади. Логарифм

У співвідношенні

може бути завдання знайти будь-якого з трьох чисел за двома іншими, заданим. Якщо дані а то N знаходять дією зведення в ступінь. Якщо дані N і то а знаходять вилученням кореня ступеня х (або зведенням у ступінь). Тепер розглянемо випадок, коли з заданим а і N потрібно знайти х.

Нехай число N позитивно: число а позитивно і дорівнює одиниці: .

Визначення. Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня, в який потрібно звести а, щоб отримати число N; логарифм позначається через

Таким чином, у рівності (26.1) показник ступеня знаходять як логарифм N на підставі а. Записи

мають однаковий зміст. Рівність (26.1) іноді називають основною тотожністю теорії логарифмів; насправді воно висловлює визначення поняття логарифму. За цим визначенням основа логарифму завжди позитивно і від одиниці; логарифмується N позитивно. Негативні числа та нуль логарифмів не мають. Можна довести, що всяке число при даній підставі має певний логарифм. Тому рівність тягне за собою. Зауважимо, що тут істотно умова інакше висновок було б обгрунтований, оскільки рівність вірно за будь-яких значеннях х і у.

Приклад 1. Знайти

Рішення. Для отримання числа слід звести основу 2 у ступінь Тому.

Можна проводити записи при вирішенні таких прикладів у такій формі:

Приклад 2. Знайти.

Рішення. Маємо

У прикладах 1 і 2 ми легко знаходили шуканий логарифм, представляючи число, що логарифмується, як ступінь підстави з раціональним показником. У випадку, наприклад і т. буд., цього зробити вдасться, оскільки логарифм має ірраціональне значення. Звернімо увагу на одне пов'язане з цим твердженням питання. У п. 12 ми дали поняття про можливість визначення будь-якого дійсного ступеня цього позитивного числа. Це було необхідне запровадження логарифмів, які, взагалі кажучи, може бути ірраціональними числами.

Розглянемо деякі властивості логарифмів.

Властивість 1. Якщо число і основа рівні, то логарифм дорівнює одиниці, і, якщо логарифм дорівнює одиниці, то число і основа рівні.

Доведення. Нехай За визначенням логарифму маємо а звідки

Назад, нехай Тоді за визначенням

Властивість 2. Логарифм одиниці з будь-якої основи дорівнює нулю.

Доведення. За визначенням логарифму (нульовий ступінь будь-якої позитивної основи дорівнює одиниці, див. (10.1)). Звідси

що і потрібно було довести.

Правильне і зворотне твердження: якщо , то N = 1. Дійсно, маємо .

Перш ніж сформулювати таку властивість логарифмів, умовимося говорити, що два числа а і b лежать по одну сторону від третього числа с, якщо вони обидва або більше, або менше с. Якщо одне з цих чисел більше с, а інше менше с, то говоритимемо, що вони лежать по різні боки від с.

Властивість 3. Якщо число і основа лежать з одного боку від одиниці, то логарифм позитивний; якщо число та основа лежать по різні боки від одиниці, то логарифм негативний.

Доказ властивості 3 заснований на тому, що ступінь а більше одиниці, якщо основа більше одиниці і показник позитивний або основа менше одиниці і показник негативний. Ступінь менше одиниці, якщо основа більша за одиницю і показник від'ємний або основа менша за одиницю і показник позитивний.

Потрібно розглянути чотири випадки:

Обмежимося розбором першого їх, інші читач розгляне самостійно.

Нехай тоді рівності показник ступеня може бути ні негативним, ні рівним нулю, отже, він позитивний, т. е. що потрібно було довести.

Приклад 3. З'ясувати, які із наведених нижче логарифмів позитивні, які негативні:

Рішення, а) оскільки число 15 і основа 12 розташовані по один бік від одиниці;

б) , оскільки 1000 та 2 розташовані по один бік від одиниці; при цьому несуттєво, що підстава більша за число, що логарифмується;

в) , оскільки 3,1 та 0,8 лежать по різні боки від одиниці;

г); чому?

д); чому?

Наступні властивості 4-6 часто називають правилами логарифмування: вони дозволяють, знаючи логарифми деяких чисел, знайти логарифми їхнього твору, приватного, ступеня кожного з них.

Властивість 4 (правило логарифмування твору). Логарифм добутку кількох позитивних чисел з цієї підстави дорівнює сумі логарифмів цих чисел з тієї ж підстави.

Доведення. Нехай дані позитивні числа.

Для логарифму їхнього твору напишемо визначальну логарифм рівність (26.1):

Звідси знайдемо

Порівнявши показники ступеня першого та останнього виразів, отримаємо необхідну рівність:

Зауважимо, що умова суттєво; логарифм добутку двох негативних чисел має сенс, але в цьому випадку отримаємо

У випадку, якщо добуток кількох співмножників позитивно, його логарифм дорівнює сумі логарифмів модулів цих співмножників.

Властивість 5 (правило логарифмування приватного). Логарифм приватного позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника, взятих з тієї ж підстави. Доведення. Послідовно знаходимо

що і потрібно було довести.

Властивість 6 (правило логарифмування ступеня). Логарифм ступеня якогось позитивного числа дорівнює логарифму цього числа, помноженого на показник ступеня.

Доведення. Запишемо знову основну тотожність (26.1) для числа:

що і потрібно було довести.

Слідство. Логарифм кореня з позитивного числа дорівнює логарифму підкореного числа, поділеному на показник кореня:

Довести справедливість цього слідства можна, представивши, як і скориставшись властивістю 6.

Приклад 4. Прологарифмувати на підставі а:

а) (передбачається, що всі величини b, с, d, е позитивні);

б) (передбачається, що).

Рішення, а) Зручно перейти в даному виразі до дробових ступенів:

На підставі рівностей (26.5)-(26.7) тепер можна записати:

Ми зауважуємо, що над логарифмами чисел виконуються дії простіші, ніж над самими числами: при множенні чисел їх логарифми складаються, при розподілі - віднімаються і т.д.

Саме тому логарифми набули застосування у обчислювальній практиці (див. п. 29).

Дія, зворотне логарифмування, називається потенціюванням, а саме: потенціюванням називається дія, за допомогою якого за даним логарифмом числа знаходиться саме це число. По суті потенціювання не є якоюсь особливою дією: воно зводиться до зведення підстави в ступінь (рівну логарифму числа). Термін "потенціювання" можна вважати синонімом терміна "зведення в ступінь".

При потенціювання треба користуватися правилами, зворотними по відношенню до правил логарифмування: суму логарифмів замінити логарифмом твору, різниця логарифмів - логарифмом приватного і т. д. Зокрема, якщо перед знаком логарифму знаходиться якийсь множник, то його при потенці ступінь під знак логарифму.

Приклад 5. Знайти N, якщо відомо, що

Рішення. У зв'язку з щойно висловленим правилом потенціювання множники 2/3 і 1/3, які стоять перед знаками логарифмів у правій частині цієї рівності, перенесемо до показників ступеня під знаками цих логарифмів; отримаємо

Тепер різницю логарифмів замінимо логарифмом приватного:

для отримання останнього дробу у цьому ланцюжку рівностей ми попередній дріб звільнили від ірраціональності у знаменнику (п. 25).

Властивість 7. Якщо основа більше одиниці, то більше число має більший логарифм (а менше - менший), якщо основа менше одиниці, то більше число має менший логарифм (а менше - більший).

Цю властивість формулюють також як правило логарифмування нерівностей, обидві частини яких позитивні:

При логарифмуванні нерівностей з основи, більшої одиниці, знак нерівності зберігається, а при логарифмуванні з основи, меншої одиниці, знак нерівності змінюється на протилежний (див. також п. 80).

Доказ заснований на властивості 5 і 3. Розглянемо випадок, коли Якщо , то і, логарифмуючи, отримаємо

(а та N/М лежать по один бік від одиниці). Звідси

Випадок отже, читач розбере самостійно.

основними властивостями.

logax + logay = loga (x · y);
logax – logay = loga (x: y).

однакові підстави

Log6 4+log6 9.

Тепер трохи ускладнимо завдання.

Приклади вирішення логарифмів

Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x >

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Перехід до нової основи

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Дивіться також:

Основні властивості логарифму

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого.

Основні властивості логарифмів

Знаючи це правило знатимете і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

4. де .

Приклад 2. Знайти х, якщо

Приклад 3. Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

logax + logay = loga (x · y);
logax – logay = loga (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником.

Формули логарифмів. Логарифми – приклади рішення.

Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log2 7. Оскільки log2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log25 64 = log5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
loga 1 = 0 це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

Дивіться також:

Логарифмом числа b на підставі a позначають вираз . Обчислити логарифм означає знайти такий ступінь x (), при якому виконується рівність

Основні властивості логарифму

Наведені властивості необхідно знати, оскільки, на їх основі вирішуються практично всі завдання та приклади пов'язані з логарифмами. Інші екзотичні властивості можна вивести шляхом математичних маніпуляцій з даними формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При обчисленнях формули суми та різниці логарифмів (3,4) зустрічаються досить часто. Інші дещо складні, але у ряді завдань є незамінними для спрощення складних виразів та обчислення їх значень.

Поширені випадки логарифмів

Одними з поширених логарифмів є такі в яких основа рівна десять, експоненті або двійці.
Логарифм на основі десять прийнято називати десятковим логарифмом і спрощено позначати lg(x).

Із запису видно, що основи запису не пишуть. Для прикладу

Натуральний логарифм – це логарифм, у якого за основу експонента (позначають ln(x)).

Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого. Знаючи це правило знатимете і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

І ще один важливий логарифм на основі два позначають

Похідна від логарифм функції дорівнює одиниці розділеної на змінну

Інтеграл чи первісна логарифма визначається залежністю

Наведеного матеріалу Вам достатньо, щоб вирішувати широкий клас завдань, пов'язаних з логарифмами та логарифмування. Для засвоєння матеріалу наведу лише кілька поширених прикладів зі шкільної програми та ВНЗ.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

2.
За властивістю різниці логарифмів маємо

3.
Використовуючи властивості 3,5 знаходимо

4. де .

На вигляд складне вираження з використанням низки правил спрощується до вигляду

Знаходження значень логарифмів

Приклад 2. Знайти х, якщо

Рішення. Для обчислення застосуємо до останнього доданку 5 і 13 властивості

Підставляємо в запис і сумуємо

Оскільки основи рівні, то прирівнюємо вирази

Логарифми. Початковий рівень.

Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо

Рішення: Прологарифмуємо змінну, щоб розписати логарифм через суму доданків

На цьому знайомство з логарифмами та їх властивостями лише починається. Вправляйтеся в обчисленнях, збагачуйте практичні навички - отримані знання скоро знадобляться для вирішення логарифмічних рівнянь. Вивчивши основні методи вирішення таких рівнянь, ми розширимо Ваші знання для іншої не менш важливої теми — логарифмічні нерівності.

Основні властивості логарифмів

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

logax + logay = loga (x · y);
logax – logay = loga (x: y).

Завдання. Знайдіть значення виразу: log6 4 + log6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Перехід до нової основи

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
loga 1 = 0 це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Логарифмом позитивного числа b на підставі a (a>0, a не дорівнює 1) називають таке число с, що a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) nbsp nbsp nbsp

Зверніть увагу: логарифм від позитивного числа не визначено. Крім того, в основі логарифму має бути позитивне число, не рівне 1. Наприклад, якщо ми зведемо -2 у квадрат, отримаємо число 4, але це не означає, що логарифм на підставі -2 від 4 дорівнює 2.

Основне логарифмічне тотожність

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важливо, що області визначення правої та лівої частин цієї формули відрізняються. Ліва частина визначена тільки за b>0, a>0 і a ≠ 1. Права частина визначена за будь-якого b, а від a взагалі не залежить. Таким чином, застосування основної логарифмічної "тотожності" при вирішенні рівнянь та нерівностей може призвести до зміни ОДЗ.

Два очевидні наслідки визначення логарифму

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Дійсно, при зведенні числа a в першу міру ми отримаємо те саме число, а при зведенні в нульовий ступінь - одиницю.

Логарифм твору та логарифм приватного

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотілося б застерегти школярів від бездумного застосування даних формул під час вирішення логарифмічних рівнянь та нерівностей. При їх використанні "зліва направо" відбувається звуження ОДЗ, а при переході від суми чи різниці логарифмів до логарифму твору або приватного - розширення ОДЗ.

Дійсно, вираз log a (f (x) g (x)) визначено у двох випадках: коли обидві функції суворо позитивні або коли f (x) і g (x) обидві менше від нуля.

Перетворюючи цей вираз у суму log a f (x) + log a g (x) , ми змушені обмежуватися лише випадком, коли f(x)>0 і g(x)>0. В наявності звуження області допустимих значень, а це категорично неприпустимо, тому що може призвести до втрати рішень. Аналогічна проблема існує й у формули (6).

Ступінь можна виносити за знак логарифму

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

І знову хотілося б покликати до акуратності. Розглянемо наступний приклад:

Log a (f(x) 2 = 2 log a f(x)

Ліва частина рівності визначена, очевидно, за всіх значень f(х), крім нуля. Права частина - тільки за f(x)>0! Виносячи ступінь із логарифму, ми знову звужуємо ОДЗ. Зворотна процедура призводить до розширення області допустимих значень. Всі ці зауваження стосуються не тільки ступеня 2, але й будь-якого парного ступеня.

Формула переходу до нової основи

log a b = log c b log ca (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Той рідкісний випадок, коли ОДЗ не змінюється під час перетворення. Якщо ви розумно вибрали основу з (позитивна і не рівна 1), формула переходу до нової основи є абсолютно безпечною.

Якщо в якості нової підстави вибрати число b, отримаємо важливий окремий випадок формули (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Декілька простих прикладів з логарифмами

Приклад 1. Обчисліть: lg2 + lg50.
Рішення. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Ми скористалися формулою суми логарифмів (5) та визначенням десяткового логарифму.

Приклад 2. Розрахуйте: lg125/lg5.
Рішення. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Ми використали формулу переходу до нової основи (8).

Таблиця формул, пов'язаних із логарифмами

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log ca (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня х , в яку потрібно звести а , щоб отримати число N

За умови, що
,
,

З визначення логарифму випливає, що
, тобто.
- ця рівність є основною логарифмічною тотожністю.

Логарифми на підставі 10 називаються десятковими логарифмами. Замість
пишуть
.

Логарифми на підставі e називаються натуральними та позначаються
.

Основні властивості логарифмів.

Логарифм одиниці за будь-якої підстави дорівнює нулю

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

3) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів

Множник
називається модулем переходу від логарифмів на підставі a до логарифмів на підставі b .

За допомогою властивостей 2-5 часто вдається звести логарифм складного виразу результату простих арифметичних дій над логарифмами.

Наприклад,

Такі перетворення логарифму називаються логарифмуванням. Перетворення зворотні логарифмування називаються потенціюванням.

Розділ 2. Елементи вищої математики.

1. Межі

Межею функції
є кінцеве число А, якщо при прагненні xx 0 для кожного наперед заданого
, знайдеться таке число
, що як тільки
, то
.

Функція, що має межу, відрізняється від нього на нескінченно малу величину:
, де -б.м.в., тобто.
.

приклад. Розглянемо функцію
.

При прагненні
, функція y прагне до нуля:

1.1. Основні теореми про межі.

Межа постійної величини дорівнює цій постійній величині

Межа суми (різниці) кінцевого числа функцій дорівнює сумі (різниці) меж цих функцій.

Межа добутку кінцевого числа функцій дорівнює добутку меж цих функцій.

Межа частки двох функцій дорівнює приватній межі цих функцій, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.

Чудові межі

,
, де

1.2. Приклади обчислення меж

Однак не всі межі обчислюються так просто. Найчастіше обчислення межі зводиться до розкриття невизначеності типу: або .

2. Похідна функції

Нехай ми маємо функцію
, безперервну на відрізку
.

Аргумент отримав деякий приріст
. Тоді і функція отримає збільшення
.

Значення аргументу відповідає значення функції
.

Значення аргументу
відповідає значення функції.

Отже, .

Знайдемо межу цього відношення при
. Якщо ця межа існує, то вона називається похідною цієї функції.

Визначення 3Виробної даної функції
за аргументом називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли збільшення аргументу довільним чином прагне до нуля.

Похідна функції
може бути позначена таким чином:

; ; ; .

Визначення 4Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням.

2.1. Механічний сенс похідної.

Розглянемо прямолінійний рух деякого твердого тіла чи матеріальної точки.

Нехай у певний момент часу точка, що рухається
знаходилась на відстані від початкового становища
.

Через деякий проміжок часу
вона перемістилася на відстань
. Ставлення =- Середня швидкість матеріальної точки
. Знайдемо межу цього відношення, враховуючи що
.

Отже визначення миттєвої швидкості руху матеріальної точки зводиться до знаходження похідної від шляху за часом.

2.2. Геометричне значення похідної

Нехай ми маємо графічно задану деяку функцію
.

Рис. 1. Геометричний зміст похідної

Якщо
, то крапка
, буде переміщатися кривою, наближаючись до точки
.

Отже
, тобто. значення похідної за даного значення аргументу чисельно дорівнює тангенсу кута утвореного дотичної в даній точці з позитивним напрямом осі
.

2.3. Таблиця основних формул диференціювання.

Ступінна функція

Показова функція

Логарифмічна функція

Тригонометрична функція

Зворотна тригонометрична функція

2.4. Правила диференціювання.

Похідна від

Похідна суми (різниці) функцій

Похідна робота двох функцій

Похідна приватного двох функцій

2.5. Похідна від складної функції.

Нехай дана функція
така, що її можна подати у вигляді

і
, де змінна є проміжним аргументом, тоді

Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу по x.

Приклад1.

Приклад2.

3. Диференціал функції.

Нехай є
, що диференціюється на деякому відрізку
і нехай у цієї функції є похідна

тоді можна записати

(1),

де - нескінченно мала величина,

так як при

Помножуючи всі члени рівності (1) на
маємо:

Де
- Б.М.В. вищого ладу.

Величина
називається диференціалом функції
і позначається

3.1. Геометричне значення диференціалу.

Нехай дана функція
.

Рис.2. Геометричний зміст диференціала.

Очевидно, що диференціал функції
дорівнює приросту ординати дотичної в цій точці.

3.2. Похідні та диференціали різних порядків.

Якщо є
тоді
називається першою похідною.

Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку та записується
.

Похідний n-го порядку від функції
називається похідна (n-1)-го порядку та записується:

Диференціал від диференціалу функції називається другим диференціалом чи диференціалом другого порядку.

.

.

3.3 Розв'язання біологічних завдань із застосуванням диференціювання.

Задача1. Дослідження показали, що зростання колонії мікроорганізмів підпорядковується закону
, де N – чисельність мікроорганізмів (у тис.), t -Час (Дні).

б) Чи буде в цей період чисельність колонії збільшуватися чи зменшуватись?

Відповідь. Чисельність колонії збільшуватиметься.

Задача 2. Вода в озері періодично тестується контролю вмісту хвороботворних бактерій. Через t днів після тестування концентрація бактерій визначається співвідношенням

Коли в озері настане мінімальна концентрація бактерій і чи можна буде в ньому купатися?

РішенняФункція досягає max або min, коли її похідна дорівнює нулю.

Визначимо max чи min буде через 6 днів. Для цього візьмемо другу похідну.

Відповідь: Через 6 днів буде мінімальна концентрація бактерій.

Перевірте, чи під знаком логарифму не стоять негативні числа чи одиниця.Даний метод застосовний до виразів виду log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Однак він не підходить для деяких особливих випадків:
- Логарифм негативного числа не визначено за будь-якої підстави (наприклад, log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3))або log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). У цьому випадку напишіть "ні рішення".
- Логарифм нуля з будь-якої основи також не визначено. Якщо вам попався ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), запишіть "ні рішення".
- Логарифм одиниці з будь-якої основи ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) завжди дорівнює нулю, оскільки x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)для всіх значень x. Запишіть замість такого логарифму 1 і не використовуйте наведений нижче метод.
- Якщо логарифми мають різні підстави, наприклад l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), і зводяться до цілим числам, значення висловлювання не можна знайти вручну.
Перетворіть вираз на один логарифм.Якщо вираз не відноситься до наведених вище особливих випадків, його можна подати у вигляді одного логарифму. Використовуйте для цього таку формулу: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log _(a)(x)).
- Приклад 1: розглянемо вираз log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  Для початку подаємо вираз у вигляді одного логарифму за допомогою наведеної вище формули: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
- Ця формула " заміни основи " логарифму виводиться з основних властивостей логарифмів.
При можливості обчисліть значення виразу вручну.Щоб знайти log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), уявіть собі вираз " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", тобто поставте наступне питання: "У яку міру необхідно звести a, Щоб отримати x?". Для відповіді на це запитання може знадобитися калькулятор, але якщо вам пощастить, ви зможете знайти його вручну.
- Приклад 1 (продовження): Перепишіть у вигляді 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Необхідно знайти, скільки має стояти замість знака "?". Це можна зробити методом спроб і помилок:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
  Отже, шуканим числом є 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
Залишіть відповідь у логарифмічній формі, якщо вам не вдається спростити її.Багато логарифмів дуже складно обчислити вручну. У цьому випадку, щоб отримати точну відповідь, вам знадобиться калькулятор. Однак якщо ви вирішуєте завдання на уроці, то вчителі, швидше за все, задовольнять відповідь у логарифмічному вигляді. Нижче розглянутий метод використаний на вирішення складнішого прикладу:
- приклад 2: чому одно log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- Перетворимо цей вислів на один логарифм: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log _(7)(58)). Зверніть увагу, що загальна для обох логарифмів основа 3 зникає; це справедливо для будь-якої основи.
- Перепишемо вираз у вигляді 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)і спробуємо знайти значення?
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
  Оскільки 58 між цими двома числами, не виражається цілим числом.
- Залишаємо відповідь у логарифмічному вигляді: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).