Математичні методи економіки регіону. Математичні методи та моделі в економіці

Існує значна різноманітність видів, типів економіко-математичних моделей, необхідних для використання в управлінні економічними об'єктами та процесами. Економіко-математичні моделі поділяються на: макроекономічні та мікроекономічні залежно від рівня об'єкта управління, що моделюється, динамічні, які характеризують зміни об'єкта управління в часі, та статичні, які описують взаємозв'язки між різними параметрами, показниками об'єкта саме в той час. Дискретні моделі відображають стан об'єкта управління окремі, фіксовані моменти часу. Імітаційними називають економіко-математичні моделі, що використовуються з метою імітації керованих економічних об'єктів та процесів із застосуванням засобів інформаційної та обчислювальної техніки. За типом математичного апарату, що застосовується в моделях, виділяються економіко-статистичні, моделі лінійного та нелінійного програмування, матричні моделі, мережеві моделі.

Факторні моделі. У групу економіко-математичних факторних моделей входять моделі, які з одного боку включають економічні чинники, яких залежить стан керованого економічного об'єкта, з другого - залежні від цих чинників параметри стану об'єкта. Якщо фактори відомі, модель дозволяє визначити шукані параметри. Факторні моделі найчастіше надані простими в математичному відношенні лінійними або статичними функціями, які характеризують зв'язок між факторами та залежними від них параметрами економічного об'єкта.

Балансові моделі. Балансові моделі як статистичні, і динамічні широко застосовуються в економіко-математичному моделюванні. В основі створення цих моделей лежить балансовий метод - метод взаємного зіставлення матеріальних, трудових та фінансових ресурсів та потреб у них. Описуючи економічну систему загалом, під її балансової моделлю розуміють систему рівнянь, кожне у тому числі висловлює потреба балансу між виготовленими окремими економічними об'єктами кількості продукції і на сукупної потребою у цій продукції. За такого підходу економічна система складається з економічних об'єктів, кожен із яких випускає певний продукт. Якщо замість поняття «продукт» запровадити поняття «ресурс», то під балансовою моделлю необхідно розуміти систему рівнянь, які відповідають вимогам між певним ресурсом та його використанням.

Найбільш важливі види балансових моделей:

• · Матеріальні, трудові та фінансові баланси для економіки в цілому та окремих її галузей;
• · Міжгалузеві баланси;
• · Матричні баланси підприємств та фірм.

Оптимізаційні моделі. Великий клас економіко-математичних моделей утворює оптимізаційні моделі, які дозволяють вибрати з усіх рішень найкращий оптимальний варіант. У математичному змісті оптимальність розуміється як досягнення екстремуму критерію оптимальності, яка називається також цільовою функцією. Оптимізаційні моделі найчастіше використовуються у завданнях знаходження кращого способу використання економічних ресурсів, що дозволяє досягти максимального цільового ефекту. Математичне програмування утворилося на основі розв'язання задачі про оптимальний розкрій листів фанери, що забезпечує найповніше використання матеріалу. Поставивши таке завдання, відомий російський математик та економіст академік Л.В. Канторовича було визнано гідним Нобелівської премії в економіці.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Моделювання в наукових дослідженнях стало застосовуватися ще в давнину і поступово захоплювало все нові галузі наукових знань: технічне конструювання, будівництво та архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки. Великі успіхи та визнання практично у всіх галузях сучасної науки принесли методу моделювання ХХ ст. Проте методологія моделювання тривалий час розвивалася незалежно окремими науками. Відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.

Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності та має безліч смислових значень. Розглянемо лише такі "моделі", які є інструментами здобуття знань.

Модель - це такий матеріальний або подумки об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригінал.

Під моделювання розуміється процес побудови, вивчення та застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін. Процес моделювання обов'язково включає і побудову абстракцій, і висновки за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.

Головна особливість моделювання полягає в тому, що це метод опосередкованого пізнання за допомогою об'єктів-заступників. Модель виступає як своєрідний інструмент пізнання, який дослідник ставить між собою і об'єктом і за допомогою якого вивчає об'єкт, що його цікавить. Саме ця особливість методу моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій та методів пізнання.

Необхідність використання методу моделювання визначається тим, що багато об'єктів (або проблеми, що стосуються цих об'єктів) безпосередньо дослідити або зовсім неможливо, або ж це дослідження потребує багато часу та коштів.

Процес моделювання включає три елементи: 1) суб'єкт (дослідник), 2) об'єкт дослідження, 3) модель, що опосередковує відносини суб'єкта, що пізнає, і об'єкта, що пізнається.

Нехай є або необхідно створити деякий об'єкт А. Ми конструюємо (матеріально чи подумки) або знаходимо в реальному світі інший об'єкт В – модель об'єкта А. Етап побудови моделі передбачає наявність деяких знань про об'єкт-оригінал. Пізнавальні можливості моделі обумовлюються тим, що модель відображає якісь суттєві риси об'єкта-оригіналу. Питання про необхідність і достатню міру схожості оригіналу та моделі потребує конкретного аналізу. Очевидно, модель втрачає свій сенс як у разі тотожності з оригіналом (тоді вона перестає бути оригіналом), так і у випадку надмірної у всіх суттєвих відношеннях від оригіналу.

Таким чином, вивчення одних сторін об'єкта, що моделюється, здійснюється ціною відмови від відображення інших сторін. Тому будь-яка модель замінює оригінал лише у строго обмеженому сенсі. З цього випливає, що для одного об'єкта може бути побудовано декілька "спеціалізованих" моделей, що концентрують увагу на певних сторонах досліджуваного об'єкта або характеризують об'єкт з різним ступенем деталізації.

З другого краю етапі процесу моделювання модель постає як самостійний об'єкт дослідження. Однією з форм такого дослідження є проведення "модельних" експериментів, за яких свідомо змінюються умови функціонування моделі та систематизуються дані про її "поведінку". Кінцевим результатом цього етапу є безліч знань про модель R.

На третьому етапі здійснюється перенесення знань з моделі на оригінал – формування безлічі знань S про об'єкт. Цей процес перенесення знань проводиться у разі певним правилам. Знання про модель повинні бути скориговані з урахуванням тих властивостей об'єкта-оригіналу, які не знайшли відображення або були змінені під час побудови моделі. Ми можемо з достатньою підставою переносити будь-який результат із моделі на оригінал, якщо цей результат необхідно пов'язаний з ознаками подібності оригіналу та моделі. Якщо певний результат модельного дослідження пов'язані з відмінністю моделі від оригіналу, цей результат переносити неправомірно.

Четвертий етап - практична перевірка одержуваних за допомогою моделей знань та їх використання для побудови узагальнюючої теорії об'єкта, його перетворення чи управління ним.

Для розуміння сутності моделювання важливо не брати до уваги, що моделювання - не єдине джерело знань про об'єкт. Процес моделювання "занурений" у більш загальний процес пізнання. Ця обставина враховується як на етапі побудови моделі, а й у завершальній стадії, коли відбувається об'єднання та узагальнення результатів дослідження, одержуваних з урахуванням різноманітних засобів пізнання.

Моделювання – циклічний процес. Це означає, що за першим чотириетапним циклом може бути другий, третій і т.д. При цьому знання про об'єкт, що досліджується, розширюються і уточнюються, а вихідна модель поступово вдосконалюється. Недоліки, виявлені після першого циклу моделювання, зумовлені малим знанням об'єкта та помилками у побудові моделі, можна виправити у наступних циклах. У методології моделювання таким чином закладено великі можливості саморозвитку.

1. Особливості застосування методу математикиського моделювання в економіці

Проникнення математики на економічну науку пов'язані з подоланням значних труднощів. У цьому частково була "винна" математика, що розвивається протягом кількох століть в основному у зв'язку з потребами фізики та техніки. Але головні причини лежать все ж таки в природі економічних процесів, у специфіці економічної науки.

Більшість об'єктів, що вивчаються економічною наукою, можна охарактеризувати кібернетичним поняттям складна система.

Найбільш поширене розуміння системи як сукупності елементів, що перебувають у взаємодії та утворюють певну цілісність, єдність. Важливою якістю будь-якої системи є емерджентність - наявність таких властивостей, які не притаманні жодному з елементів, що входять до системи. Тому щодо систем недостатньо користуватися методом їх розчленування на елементи з подальшим вивченням цих елементів окремо. Одна з труднощів економічних досліджень - у тому, що майже не існує економічних об'єктів, які можна розглядати як окремі (позасистемні) елементи.

Складність системи визначається кількістю елементів, що входять до неї, зв'язками між цими елементами, а також взаємовідносинами між системою і середовищем. Економіка країни має всі ознаки дуже складної системи. Вона поєднує величезну кількість елементів, відрізняється різноманіттям внутрішніх зв'язків та зв'язків з іншими системами (природне середовище, економіка інших країн тощо). У народному господарстві взаємодіють природні, технологічні, соціальні процеси, об'єктивні та суб'єктивні чинники.

Складність економіки іноді розглядалася як обґрунтування неможливості її моделювання, вивчення засобами математики. Але така думка в принципі неправильна. Моделювати можна об'єкт будь-якої природи та будь-якої складності. І саме складні об'єкти становлять найбільший інтерес для моделювання; саме тут моделювання може дати результати, які не можна отримати іншими засобами дослідження.

Потенційна можливість математичного моделювання будь-яких економічних об'єктів та процесів не означає, зрозуміло, її успішної здійсненності при цьому рівні економічних та математичних знань, наявної конкретної інформації та обчислювальної техніки. І хоча не можна вказати абсолютні межі математичної формалізованості економічних проблем, завжди існуватимуть ще неформалізовані проблеми, а також ситуації, де математичне моделювання недостатньо ефективне.

2. Класифікація економіко-математичних моделей

Математичні моделі економічних процесів та явищ коротше можна назвати економіко-математичними моделями. Для класифікації цих моделей використовуються різні підстави.

За цільовим призначенням економіко-математичні моделі поділяються на теоретико-аналітичні, що використовуються у дослідженнях загальних властивостей та закономірностей економічних процесів, та прикладні, що застосовуються у вирішенні конкретних економічних завдань (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління).

Економіко-математичні моделі можуть призначатися на дослідження різних сторін народного господарства (зокрема, його виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структур) та її окремих частин. При класифікації моделей з досліджуваних економічних процесів та змістовної проблематики можна виділити моделі народного господарства в цілому та його підсистем - галузей, регіонів тощо, комплекси моделей виробництва, споживання, формування та розподілу доходів, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв'язків тощо .д.

Зупинимося докладніше на характеристиці таких класів економіко-математичних моделей, з якими пов'язані найбільші особливості методології та техніки моделювання.

Відповідно до загальної класифікації математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, а також включають проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на народногосподарському рівні найчастіше застосовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв'язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв'язків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поведінку об'єкта ("вихід") впливають шляхом зміни "входу". Прикладом може бути модель поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин. Один і той самий об'єкт може описуватися одночасно і структурою, і функціональною моделлю. Так, наприклад, для планування окремої галузевої системи використовується структурна модель, а на народногосподарському рівні кожна галузь може бути представлена ​​функціональною моделлю.

Вище вже показувалися відмінності між дескриптивними і нормативними моделями. Дискриптивні моделі відповідають питанням: як це відбувається? чи як найімовірніше може далі розвиватися?, тобто. вони лише пояснюють факти, що спостерігаються, або дають ймовірний прогноз. Нормативні моделі відповідають питання: як це має бути?, тобто. припускають цілеспрямовану діяльність. Типовим прикладом нормативних моделей є моделі оптимального планування, що формалізують тим чи іншим способом цілі економічного розвитку, можливості та засоби їх досягнення.

Застосування дескриптивного підходу в моделюванні економіки пояснюється необхідністю емпіричного виявлення різних залежностей в економіці, встановлення статистичних закономірностей економічної поведінки соціальних груп, вивчення можливих шляхів розвитку будь-яких процесів за умов, що не змінюються, або протікають без зовнішніх впливів. Прикладами дескриптивних моделей є виробничі функції та функції попиту, побудовані на основі обробки статистичних даних.

Чи є економіко-математична модель дескриптивної чи нормативної, залежить лише від її математичної структури, а й від характеру використання цієї моделі. Наприклад, модель міжгалузевого балансу є дескриптивною, якщо вона використовується для аналізу пропорцій минулого періоду. Але ця ж математична модель стає нормативною, коли вона застосовується для розрахунків збалансованих варіантів розвитку народного господарства, що задовольняють кінцеві потреби суспільства за планових нормативів виробничих витрат.

Багато економіко-математичних моделей поєднують ознаки дескриптивних і нормативних моделей. Типова ситуація, коли нормативна модель складної структури поєднує окремі блоки, що є приватними дескриптивними моделями. Наприклад, міжгалузева модель може включати функції купівельного попиту, що описують поведінку споживачів за зміни доходів. Подібні приклади характеризують тенденцію ефективного поєднання дескриптивного та нормативного підходів до моделювання економічних процесів. Дескриптивний підхід широко застосовується у імітаційному моделюванні.

За характером відображення причинно-наслідкових зв'язків розрізняють моделі жорстко детерміністські та моделі, що враховують випадковість та невизначеність. Необхідно розрізняти невизначеність, що описується ймовірнісними законами, та невизначеність, для опису якої закони теорії ймовірностей не застосовні. Другий тип невизначеності набагато складніший для моделювання.

За способами відображення фактора часу економіко-математичні моделі поділяються на статичні та динамічні. У статичних моделях всі залежності відносяться до одного моменту чи періоду часу. Динамічні моделі характеризують зміни економічних процесів у часі. По тривалості аналізованого періоду часу розрізняються моделі короткострокового (до року), середньострокового (до 5 років), довгострокового (10-15 і більше років) прогнозування та планування. Саме час економіко-математичних моделях може змінюватися або безперервно, або дискретно.

Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні формою математичних залежностей. Особливо важливо виділити клас лінійних моделей, найбільш зручних для аналізу і обчислень і внаслідок цього отримали велике поширення. Відмінності між лінійними і нелінійними моделями істотні як з математичної погляду, а й у теоретико-экономическом плані, оскільки багато залежність економіки носять принципово нелінійний характер: ефективність використання ресурсів зі збільшенням виробництва, зміна попиту й споживання населення зі збільшенням виробництва, зміна попиту та споживання населення при зростанні доходів тощо. Теорія " лінійної економіки " значно відрізняється від теорії " нелінійної економіки " . Від того, чи передбачаються безлічі виробничих можливостей підсистем (галузей, підприємств) опуклими або невипуклими, істотно залежать висновки про можливість поєднання централізованого планування та господарської самостійності економічних підсистем.

За співвідношенням екзогенних та ендогенних змінних, що включаються до моделі, вони можуть поділятися на відкриті та закриті. Повністю відкритих моделей немає; модель має містити хоча б одну ендогенну змінну. Цілком закриті економіко-математичні моделі, тобто. які не включають екзогенних змінних, виключно рідкісні; їхня побудова вимагає повного абстрагування від "середовища", тобто. серйозного огрублення реальних економічних систем, що завжди мають зовнішні зв'язки. Переважна більшість економіко-математичних моделей займає проміжне положення та розрізняються за ступенем відкритості (закритості).

Для моделей народногосподарського рівня важливим є розподіл на агреговані та деталізовані.

Залежно від того, чи включають народногосподарські моделі просторові фактори та умови чи не включають, розрізняють моделі просторові та точкові.

Таким чином, загальна класифікація економіко-математичних моделей включає понад десять основних ознак. З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації моделей ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей (особливо змішаних типів) та нових ознак їх класифікації здійснюється процес інтеграції моделей різних типів у складніші модельні конструкції.

3 . Етапи економікпро-математичного моделювання

Основні етапи процесу моделювання вже розглядалися вище. У різних галузях знань, зокрема й у економіці, вони набувають свої специфічні риси. Проаналізуємо послідовність та зміст етапів одного циклу економіко-математичного моделювання.

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. Головне тут - чітко сформулювати сутність проблеми, допущення, що приймаються, і ті питання, на які потрібно отримати відповіді. Цей етап включає виділення найважливіших рис і властивостей об'єкта, що моделюється, і абстрагування від другорядних; вивчення структури об'єкта та основних залежностей, що пов'язують його елементи; формулювання гіпотез (хоча б попередніх), що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.

2. Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей і відносин (функцій, рівнянь, нерівностей і т.д.). Зазвичай спочатку визначається основна конструкція (тип) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних та параметрів, форма зв'язків). Отже, побудова моделі підрозділяється своєю чергою кілька стадій.

Неправильно вважати, що чим більше фактів враховує модель, тим вона краще "працює" і дає найкращі результати. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей (лінійні та нелінійні), облік факторів випадковості та невизначеності тощо. Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не тільки реальні можливості інформаційного та математичного забезпечення, але й зіставляти витрати на моделювання з ефектом, що отримується (при зростанні складності моделі приріст витрат може перевищити приріст ефекту).

Однією з важливих особливостей математичних моделей є потенційна можливість їх використання для вирішення різноякісних проблем. Тому, навіть зіштовхуючись із новим економічним завданням, не потрібно прагнути "винаходити" модель; Спочатку необхідно спробувати застосувати для вирішення цього завдання вже відомі моделі.

У процесі побудови моделі здійснюється взаємоспівставлення двох систем наукових знань – економічних та математичних. Природно прагнути отримати модель, що належить добре вивченому класу математичних завдань. Часто це вдається зробити шляхом деякого спрощення вихідних передумов моделі, що не спотворюють суттєвих рис об'єкта, що моделюється. Однак можлива і така ситуація, коли формалізація економічної проблеми призводить до невідомої раніше математичної структури. Потреби економічної науки та практики в середині ХХ ст. сприяли розвитку математичного програмування, теорії ігор, функціонального аналізу, обчислювальної математики. Цілком ймовірно, що в майбутньому розвиток економічної науки стане важливим стимулом для створення нових розділів математики.

3. Математичний аналіз моделі. Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Тут застосовуються суто математичні прийоми дослідження. Найбільш важливий момент – доказ існування рішень у сформульованій моделі (теорема існування). Якщо вдасться довести, що математичне завдання немає рішення, то необхідність у наступній роботі за первісним варіантом моделі відпадає; слід скоригувати або постановку економічного завдання, або методи її математичної формалізації. При аналітичному дослідженні моделі з'ясовуються такі питання, як, наприклад, чи єдине рішення, які змінні (невідомі) можуть входити до вирішення, які співвідношення між ними, в яких межах і в залежності від яких вихідних умов вони змінюються, які тенденції їх зміни і і т.д. Аналітичне дослідження моделі в порівнянні з емпіричним (чисельним) має ту перевагу, що одержувані висновки зберігають свою силу при різних конкретних значеннях зовнішніх та внутрішніх параметрів моделі.

Знання загальних властивостей моделі має таке важливе значення, часто заради доказу подібних властивостей дослідники свідомо йдуть на ідеалізацію початкової моделі. І все-таки моделі складних економічних об'єктів з великими труднощами піддаються аналітичному дослідженню. У тих випадках, коли аналітичними методами не вдається з'ясувати загальні властивості моделі, а спрощення моделі призводять до неприпустимих результатів, переходять до чисельних методів дослідження.

4. Підготовка вихідної інформації. Моделювання висуває жорсткі вимоги до системи інформації. У той самий час реальні можливості отримання інформації обмежують вибір моделей, призначених для практичного використання. У цьому береться до уваги як принципова можливість підготовки інформації (за певні терміни), а й витрати на підготовку відповідних інформаційних масивів. Ці витрати не повинні перевищувати ефекту від використання додаткової інформації.

У процесі підготовки інформації широко використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики. p align="justify"> При системному економіко-математичному моделюванні вихідна інформація, що використовується в одних моделях, є результатом функціонування інших моделей.

5. Чисельне рішення. Цей етап включає розробку алгоритмів для чисельного розв'язання задачі, складання програм на ЕОМ та безпосереднє проведення розрахунків. Проблеми цього етапу обумовлені насамперед великою розмірністю еконномічних завдань, необхідністю обробки значних масивів інформації.

Зазвичай розрахунки з економіко-математичної моделі мають багатоваріантний характер. Завдяки високій швидкодії сучасних ЕОМ вдається проводити численні "модельні" експерименти, вивчаючи "поведінку" моделі за різних змін деяких умов. Дослідження, проведене чисельними методами, може суттєво доповнити результати аналітичного дослідження, а багатьох моделей воно є єдино здійсненним. Клас економічних завдань, які можна вирішувати чисельними методами, значно ширший, ніж клас завдань, доступних аналітичному дослідженню.

6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому заключному етапі циклу постає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про ступінь практичного застосування останніх.

Математичні методи перевірки можуть виявляти некоректні побудови моделі і цим звужувати клас потенційно правильних моделей. Неформальний аналіз теоретичних висновків та чисельних результатів, одержуваних за допомогою моделі, зіставлення їх із наявними знаннями та фактами дійсності також дозволяють виявляти недоліки постановки економічного завдання, сконструйованої математичної моделі, її інформаційного та математичного забезпечення.

Взаємозв'язки етапів. Звернімо увагу на зворотні зв'язки етапів, що виникають внаслідок того, що в процесі дослідження виявляються недоліки попередніх етапів моделювання.

Вже на етапі побудови моделі може з'ясуватися, що постановка задачі суперечлива або призводить до надто складної математичної моделі. Відповідно до цього вихідна постановка завдання коригується. p align="justify"> Далі математичний аналіз моделі (етап 3) може показати, що невелика модифікація постановки задачі або її формалізації дає цікавий аналітичний результат.

Найчастіше необхідність повернення до попередніх етапів моделювання виникає під час підготовки вихідної інфоріації (етап 4). Може виявитися, що необхідної інформації немає або витрати на її підготовку занадто великі. Тоді доводиться повертатися до постановки завдання та її формалізації, змінюючи їх так, щоб пристосуватися до наявної інформації.

Оскільки економіко-математичні завдання можуть бути складні за своєю структурою, мати велику розмірність, то часто трапляється, що відомі алгоритми та програми для ЕОМ не дозволяють вирішити завдання у первісному вигляді. Якщо неможливо в короткий термін розробити нові алгоритми та програми, вихідну постановку задачі та модель спрощують: знімають та поєднують умови, зменшують кількість факторів, нелінійні співвідношення замінюють лінійними, посилюють детермінізм моделі тощо.

Недоліки, які вдається виправити на проміжних етапах моделювання, усуваються у наступних циклах. Але результати кожного циклу мають цілком самостійне значення. Розпочавши дослідження з побудови простої моделі, можна швидко отримати корисні результати, а потім перейти до створення більш досконалої моделі, яка доповнюється новими умовами, що включає уточнені математичні залежності.

У міру розвитку та ускладнення економіко-математичного моделювання його окремі етапи відокремлюються у спеціалізованих галузях досліджень, посилюються відмінності між теоретико-аналітичними та прикладними моделями, відбувається деференціація моделей за рівнями абстракції та ідеалізації.

Теорія математичного аналізу моделей економіки розвинулася в особливу галузь сучасної математики – математичну економіку. Моделі, що вивчаються в рамках математичної економіки, втрачають безпосередній зв'язок із економічною реальністю; вони мають справу з виключно ідеалізованими економічними об'єктами та ситуаціями. При побудові таких моделей головним принципом є не стільки наближення до реальності, скільки отримання якомога більшої кількості аналітичних результатів за допомогою математичних доказів. Цінність цих моделей для економічної теорії та практики полягає в тому, що вони є теоретичною базою для моделей прикладного типу.

Досить самостійними областями досліджень стають підготовка та обробка економічної інформації та розробка математичного забезпечення економічних завдань (створення баз даних та банків інформації, програм автоматизованої побудови моделей та програмного сервісу для економістів-користувачів). На етапі практичного використання моделей провідну роль повинні грати фахівці у відповідній галузі економічного аналізу, планування, управління. Головною ділянкою роботи економістів-математиків залишається постановка та формалізація економічних завдань та синтез процесу економіко-математичного моделювання.

економічне математичне моделювання

Список використаної літератури

1.Федосєєв, Економічні методи

2. І.Л.Акулич, Математичне програмування в прикладах та завданнях, Москва, «Вища школа», 1986;

3. С.А.Абрамов, Математичні побудови та програмування, Москва, «Наука», 1978;

4. Дж.Літлвуд, Математична суміш, Москва, "Наука", 1978;

5. Известия Академії наук. Теорія та системи управління, 1999 № 5, стор 127-134.

7. http://exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/GameTheory/c8.html

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Відкриття та історичний розвиток методів математичного моделювання, їх практичне застосування у сучасній економіці. Використання економіко-математичного моделювання на рівні управління принаймні впровадження інформаційних технологій.

контрольна робота , доданий 10.06.2009


Основні поняття та типи моделей, їх класифікація та цілі створення. Особливості економіко-математичних методів, що застосовуються. Загальна характеристика основних етапів економіко-математичного моделювання. Застосування стохастичних моделей економіки.

реферат, доданий 16.05.2012


Поняття та типи моделей. Етапи побудови математичної моделі. Основи математичного моделювання взаємозв'язку економічних змінних. Визначення параметрів лінійного однофакторного рівняння регресії. Оптимізаційні методи математики економіки.

реферат, доданий 11.02.2011


Застосування методів оптимізації для вирішення конкретних виробничих, економічних та управлінських завдань із використанням кількісного економіко-математичного моделювання. Рішення математичної моделі об'єкта, що вивчається, засобами Excel.

курсова робота , доданий 29.07.2013


Історія розвитку економіко-математичних методів Математична статистика – розділ прикладної математики, заснований на вибірці досліджуваних явищ. Аналіз етапів економіко-математичного моделювання. Вербально-інформаційний опис моделювання.

курс лекцій, доданий 12.01.2009


Застосування математичних методів у вирішенні економічних завдань. Поняття виробничої функції, ізокванти, взаємозамінність ресурсів. Визначення малоеластичних, середньоеластичних та високоеластичних товарів. Принципи раціонального управління запасами.

контрольна робота , доданий 13.03.2010


Класифікація економіко-математичних моделей. Використання алгоритму послідовних наближень під час постановки економічних завдань АПК. Методики моделювання програми розвитку сільськогосподарського підприємства. Обґрунтування програми розвитку.

курсова робота , доданий 05.01.2011


Поділ моделювання на два основні класи – матеріальний та ідеальний. Два основні рівні економічних процесів у всіх економічних системах. Ідеальні математичні моделі в економіці, застосування оптимізаційних та імітаційних методів.

реферат, доданий 11.06.2010


Основні поняття математичних моделей та його застосування економіки. Загальна характеристика елементів економіки, як об'єкта моделювання. Ринок та його види. Динамічна модель Леонтьєва та Кейнса. Модель Солоу з дискретним та безперервним часом.

курсова робота , доданий 30.04.2012


Визначення етапу розробки економіко-математичного моделювання та обґрунтування способу отримання результату моделювання. Теорія ігор та прийняття рішень в умовах невизначеності. Аналіз комерційної стратегії за невизначеної кон'юнктури.

Московський державний університет

економіки, статистики та інформатики

Економіко-правовий факультет

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

Дисципліна: АХД

Виконала

Студентка гр.ВФ-3

Тімоніна Т.С.

Математичне моделювання

Одним із видів формалізованого знакового моделювання є математичне моделювання, яке здійснюється засобами мови математики та логіки. вивчення будь-якого класу явищ зовнішнього світу будується його математична модель, тобто. наближений опис цього класу явищ, виражений за допомогою математичної символіки.

Сам процес математичного моделювання можна поділити на чотири основні етапи:

Iетап:Формулювання законів, які пов'язують основні об'єкти моделі, тобто. запис у вигляді математичних термінів сформульованих якісних уявлень про зв'язки між об'єктами моделі.

IIетап:Дослідження математичних завдань, яких призводять математичні моделі. Основне питання - вирішення прямої задачі, тобто. отримання в результаті аналізу моделі вихідних даних (теоретичних наслідків) для подальшого їх порівняння з результатами спостережень явищ, що вивчаються.

IIIетап:Коригування прийнятої гіпотетичної моделі згідно з критерієм практики, тобто. з'ясування питання, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними наслідками моделі у межах точності спостережень. Якщо модель була цілком визначена – всі параметри її були дані, – то визначення ухилень теоретичних наслідків від спостережень дає розв'язання прямого завдання з подальшою оцінкою ухилень. Якщо ухилення виходять межі точності спостережень, то модель може бути прийнята. Часто при побудові моделі деякі її характеристики залишаються певними. Застосування критерію практики до оцінки математичної моделі дозволяє робити висновок про правильність положень, що лежать в основі підлягає вивченню (гіпотетичної) моделі.

IVетап:Подальший аналіз моделі у зв'язку з накопиченням даних про вивчені явища та модернізацію моделі. З появою ЕОМ метод математичного моделювання зайняв чільне місце серед інших методів дослідження. Особливо важливу роль цей метод грає у сучасній економічній науці. Вивчення та прогнозування будь-якого економічного явища методом математичного моделювання дозволяє проектувати нові технічні засоби, прогнозувати вплив на дане явище тих чи інших факторів, планувати ці явища навіть за умови існування нестабільної економічної ситуації.

Сутність економічного аналізу

Аналіз (розкладання, розчленування, розбір) - логічний прийом, метод дослідження, суть якого полягає в тому, що предмет, що вивчається, подумки розчленовується на складові елементи, кожен з яких потім досліджується окремо як частина розчленованого цілого, для того щоб виділені в ході аналізу елементи з'єднати за допомогою іншого логічного прийому – синтезу – у ціле, збагачене новими знаннями.

Під економічним аналізомрозуміють прикладну наукову дисципліну, що є системою спеціальних знань, дозволяють оцінити ефективність діяльності тієї чи іншої суб'єкта ринкової економіки.

Теорія економічного аналізудозволяє раціонально обґрунтувати, спрогнозувати на найближчу перспективу розвиненіший за об'єкт управління та оцінити доцільність прийняття управлінського рішення.

Основні напрямки економічного аналізу:

Формулювання системи показників, що характеризують роботу об'єкта, що аналізується;

Якісний аналіз явища, що вивчається (результату);

Кількісний аналіз цього явища (результату):

p align="justify"> Для розробки та прийняття управлінського рішення важливо, що воно є засобом вирішення основного завдання виявлення резервів підвищення ефективності господарської діяльності в поліпшенні використання виробничих ресурсів, зниженні собівартості, підвищенні рентабельності та збільшенні прибутку, тобто. спрямований на кінцеву мету реалізації управлінського рішення.

Розробники теорії економічного аналізу наголошують на його характерніособливості:

1. Діалектичність підходу до вивчення економічних процесів, яким властиві: перехід кількості в якість, поява нової якості, заперечення заперечення, боротьба протилежностей, відмирання старого та поява нового.

2. Обумовленість економічних явищ причинними зв'язками та взаємозалежністю.

3. Виявлення та вимірювання взаємозв'язків та взаємозалежностей показників базуються на знаннях об'єктивних закономірностей розвитку виробництва та обігу товарів.

Економічний аналіз, насамперед, є факторним, т. е. визначальним вплив комплексу економічних чинників на результативний показник діяльності підприємства.

Вплив різних чинників економічний показник функціонування підприємства, фірми здійснюється з допомогою стохастичного аналізу.

У свою чергу, детермінований та стохастичний аналізи забезпечують:

Встановлення причинно-наслідкових чи ймовірнісних зв'язків факторів та результативних показників;

Виявлення економічних закономірностей впливу факторів на функціонування підприємства та вираження їх за допомогою математичних залежностей;

Можливість побудови моделей (насамперед, математичних) впливів факторних систем на результативні показники та дослідження з їх допомогою впливу на кінцевий результат управлінського рішення, що приймається .

Насправді використовуються різні види економічного аналізу. Для управлінських рішень, що приймаються, особливо важливі аналізи: оперативні, поточні, перспективні (за тимчасовими відрізками); часткові та комплексні (за обсягом); щодо виявлення резервів, підвищення якості тощо (за призначенням); прогнозний аналіз Прогнози дозволяють економічно обґрунтовувати стратегічні, оперативні (функціональні) чи тактичні управлінські рішення. .

Історично склалися дві групи методів та прийомів: традиційні та математичні. Розглянемо докладніше застосування математичних методів у економічному аналізі.

Математичні методи в економічному аналізі

Використання математичних методів у сфері управління – найважливіший напрямок удосконалення систем управління. Математичні методи прискорюють проведення економічного аналізу, сприяють повнішому обліку впливу чинників на результати діяльності, підвищенню точності обчислень. Застосування математичних методів вимагає:

* Системного підходу до дослідження заданого об'єкта, обліку взаємозв'язків та відносин з іншими об'єктами (підприємствами, фірмами);

* Розробки математичних моделей, що відображають кількісні показники системної діяльності працівників організації, процесів, що відбуваються в складних системах, якими є підприємства;

* Удосконалення системи інформаційного забезпечення управління підприємством з використанням електронно-обчислювальної техніки.

Вирішення завдань економічного аналізу математичними методами можливе, якщо вони сформульовані математично, тобто. реальні економічні взаємозв'язки та залежності виражені із застосуванням математичного аналізу. Це потребує розробки математичних моделей.

В управлінській практиці для вирішення економічних завдань вдаються до різних методів. На малюнку 1 наведено основні математичні методи, що застосовуються в економічному аналізі.

Вибрані ознаки класифікації є досить умовними. Наприклад, в мережевому плануванні та управлінні використовуються різні математичні методи, а значення терміна "дослідження операцій" багато авторів вкладають різний зміст.

Методи елементарної математикивикористовуються у традиційних економічних розрахунках при обґрунтуванні потреб у ресурсах, розробці плану, проектів тощо.

Класичні методи математичного аналізувикористовуються самостійно (диференціювання та інтегрування) та в рамках інших методів (математичної статистики, математичного програмування).

Статистичні методи -основний засіб дослідження масових явищ, що повторюються. Вони застосовуються за можливості представлення зміни аналізованих показників як випадкового процесу. Якщо зв'язок між аналізованими характеристиками не детермінований, а стохастичний, то статистичні та імовірнісні методи стають практично єдиним інструментом дослідження. В економічному аналізі найбільш відомі методи множинного та парного кореляційного аналізу.

Для вивчення одночасних статистичних сукупностей є закон розподілу, варіаційний ряд, вибірковий метод. Для багатовимірних статистичних сукупностей застосовуються кореляції, регресії, дисперсійний, підступний, спектральний, компонентний, факторний види аналізу.

Економічні методибазуються на синтезі трьох галузей знань: економіки, математики та статистики. Основа економетрії – економічна модель, тобто. схематичне уявлення економічного явища чи процесів, відображення їх характерних рис за допомогою наукової абстракції. Найбільш поширений метод аналізу економіки "витрати - випуск". Метод представляє матричні (балансові) моделі, побудовані за шаховою схемою та наочно ілюструють взаємозв'язок витрат та результатів виробництва.

Методи математичного програмування -основний засіб вирішення завдань оптимізації виробничо-господарської діяльності. По суті, методи - засоби планових розрахунків, і вони дозволяють оцінювати напруженість планових завдань, дефіцитність результатів, визначати види сировини, що лімітують, групи обладнання.

Під дослідженням операційрозуміються розробки методів цілеспрямованих дій (операцій), кількісна оцінка рішень та вибір найкращого з них. Мета дослідження операцій - поєднання структурних взаємозалежних елементів системи, що найбільше забезпечує кращий економічний показник.

Теорія ігоряк розділ дослідження операцій є теорією математичних моделей прийняття оптимальних рішень за умов невизначеності чи конфлікту кількох сторін, мають різні інтереси.

Рис. 1. Класифікація основних математичних методів, які застосовуються в економічному аналізі.

Теорія масового обслуговування на основі теорії ймовірностівивчає математичні методи кількісної оцінки процесів масового обслуговування. Особливість всіх завдань, пов'язаних із масовим обслуговуванням, – випадковий характер досліджуваних явищ. Кількість вимог на обслуговування та часові інтервали між їх надходженнями мають випадковий характер, однак у сукупності підпорядковуються статистичним закономірностям, кількісне вивчення яких є предметом теорії масового обслуговування.

Економічна кібернетикааналізує економічні явища та процеси як складні системи з погляду законів управління та руху в них інформації. Методи моделювання та системного аналізу найбільш розроблені саме у цій галузі.

Застосування математичних методів в економічному аналізі базується на методології економіко-математичного моделювання господарських процесів та науково обґрунтованої класифікації методів та завдань аналізу. Усі економіко-математичні методи (завдання) поділяються на дві групи: оптимізаційнірішення за заданим критерієм та неоптимізаційні(Рішення без критерію оптимальності).

За ознакою отримання точного рішення, всі математичні методи діляться на точні(за критерієм або без нього отримують єдине рішення) та наближені(На основі стохастичної інформації).

До оптимальних точних можна віднести методи теорії оптимальних процесів, деякі методи математичного програмування та методи дослідження операцій, до наближених оптимізаційних - частина методів математичного програмування, дослідження операцій, економічної кібернетики, евристичні.

До неоптимізаційних точних належать методи елементарної математики та класичні методи математичного аналізу, економічні методи, до неоптимізаційних наближених – метод статистичних випробувань та інші методи математичної статистики.

Особливо часто застосовуються математичні моделі черг та управління запасами. Наприклад, теорія черг спирається на розроблену вченими О.М. Колмогоровим та А.Л. Ханчіним теорію масового обслуговування.

Теорія масового обслуговування

Ця теорія дозволяє вивчати системи, призначені обслуговування масового потоку вимог випадкового характеру. Випадковими може бути як моменти появи вимог, і витрати часу з їхньої обслуговування. Метою способів теорії є пошук розумної організації обслуговування, що забезпечує задане його якість, визначення раціональних (з погляду прийнятого критерію) норм чергового обслуговування, потреба у якому виникає непланомерно, нерегулярно.

З використанням методу математичного моделювання можна визначити, наприклад, оптимальну кількість машин, що автоматично діють, яка може обслуговуватися одним робітником або бригадою робітників і т.п.

Типовим прикладом об'єктів теорії масового обслуговування можуть бути автоматичні телефонні станції - АТС. На АТС випадково надходять “вимоги” - виклики абонентів, а “обслуговування” полягає у з'єднанні абонентів коїться з іншими абонентами, підтримка зв'язку під час розмови тощо. Завдання теорії, сформульовані математично, зазвичай зводяться до вивчення спеціального типу випадкових процесів.

Виходячи з даних ймовірнісних характеристик надходить потоку викликів і тривалості обслуговування та враховуючи схему системи обслуговування, теорія визначає відповідні характеристики якості обслуговування (ймовірність відмови, середній час очікування початку обслуговування тощо).

Математичними моделями численних завдань техніко-економічного змісту є завдання лінійного програмування. Лінійне програмування - це дисципліна, присвячена теорії та методам вирішення завдань про екстремуми лінійних функцій на множинах, що задаються системами лінійних рівностей та нерівностей.

Завдання планування роботи підприємства

Для виробництва однорідних виробів необхідно витратити різні виробничі чинники - сировину, робочої сили, верстатний парк, паливо, транспорт тощо. Зазвичай є кілька відпрацьованих технологічних способів виробництва, причому у цих способах витрати виробничих чинників за одиницю часу випуску виробів різні.

Кількість витрачених виробничих факторів і кількість виробів, що виготовляються, залежить від того, скільки часу підприємство буде працювати за тим чи іншим технологічним способом.

Ставиться завдання оптимального розподілу часу роботи підприємства з різних технологічних методів, тобто. такого, у якому буде вироблено максимальну кількість виробів при заданих обмежених витратах кожного виробничого чинника.

На основі методу математичного моделювання в операційних дослідженнях вирішуються також багато важливих завдань, що потребують специфічних методів розв'язання. До них належать:

· Завдання надійності виробів.

· Завдання заміни обладнання.

· Теорія розкладів (так звана теорія календарного планування).

· Завдання розподілу ресурсів.

· Завдання ціноутворення.

· Теорія мережного планування.

Завдання надійності виробів

Надійність виробів визначається сукупністю показників. Для кожного з типів виробів існують рекомендації щодо вибору показників надійності.

Для оцінки виробів, які можуть бути у двох можливих станах - працездатному та відмовному, застосовуються такі показники: середній час роботи до виникнення відмови (напрацювання до першої відмови), напрацювання на відмову, інтенсивність відмов, параметр потоку відмов, середній час відновлення працездатного стану, ймовірність безвідмовної роботи під час t, коефіцієнт готовності.

Завдання розподілу ресурсів

Питання розподілу ресурсів одна із основних у процесі управління виробництвом. Для вирішення цього питання в операційних дослідженнях використовують побудову лінійної статистичної моделі.

Завдання ціноутворення

Для підприємства питання освіти ціни продукції грає важливу роль. Від того, як проводиться ціноутворення для підприємства, залежить його прибуток. Крім того, в умовах ринкової економіки, що існують зараз, ціна стала істотним фактором у конкурентній боротьбі.

Теорія мережного планування

Мережеве планування та управління є системою планування управління розробкою великих господарських комплексів, конструкторською та технологічною підготовкою виробництва нових видів товарів, будівництвом та реконструкцією, капітальним ремонтом основних фондів шляхом застосування мережевих графіків.

Сутність мережного планування і управління полягає у складанні математичної моделі керованого об'єкта як мережного графіка чи моделі що у пам'яті комп'ютера, у яких відбивається взаємозв'язок і тривалість певного комплексу работ. Мережевий графік після його оптимізації засобами прикладної математики та обчислювальної техніки використовується для оперативного керування роботами.

Вирішення економічних завдань за допомогою методу математичного моделювання дозволяє здійснювати ефективне управління як окремими виробничими процесами на рівні прогнозування та планування економічних ситуацій та прийняття на основі цього управлінських рішень, так і всією економікою загалом. Отже, математичне моделювання як метод тісно стикається з теорією прийняття рішень у менеджменті.

Етапи економіко-математичного моделювання

Основні етапи процесу моделювання вже розглядалися вище. У різних галузях знань, зокрема й у економіці, вони набувають свої специфічні риси. Проаналізуємо послідовність та зміст етапів одного циклу економіко-математичного моделювання.

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз.Головне тут - чітко сформулювати сутність проблеми, допущення, що приймаються, і ті питання, на які потрібно отримати відповіді. Цей етап включає виділення найважливіших рис і властивостей об'єкта, що моделюється, і абстрагування від другорядних; вивчення структури об'єкта та основних залежностей, що пов'язують його елементи; формулювання гіпотез, що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.

2. Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей і відносин (функцій, рівнянь, нерівностей і т.д.). Зазвичай спочатку визначається основна конструкція (тип) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних та параметрів, форма зв'язків). Отже, побудова моделі підрозділяється своєю чергою кілька стадій.

Неправильно вважати, що чим більше фактів враховує модель, тим вона краще "працює" і дає найкращі результати. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей (лінійні та нелінійні), облік факторів випадковості та невизначеності тощо. Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не тільки реальні можливості інформаційного та математичного забезпечення, але й зіставляти витрати на моделювання з ефектом, що отримується (при зростанні складності моделі приріст витрат може перевищити приріст ефекту).

Однією з важливих особливостей математичних моделей є потенційна можливість їх використання для вирішення різноякісних проблем. Тому, навіть зіштовхуючись із новим економічним завданням, не потрібно прагнути "винаходити" модель; Спочатку необхідно спробувати застосувати для вирішення цього завдання вже відомі моделі.

У процесі побудови моделі здійснюється взаємоспівставлення двох систем наукових знань – економічних та математичних. Природно прагнути отримати модель, що належить добре вивченому класу математичних завдань. Часто це вдається зробити шляхом деякого спрощення вихідних передумов моделі, що не спотворюють суттєвих рис об'єкта, що моделюється. Однак можлива і така ситуація, коли формалізація економічної проблеми призводить до невідомої раніше математичної структури. Потреби економічної науки та практики в середині ХХ ст. сприяли розвитку математичного програмування, теорії ігор, функціонального аналізу, обчислювальної математики. Цілком ймовірно, що в майбутньому розвиток економічної науки стане важливим стимулом для створення нових розділів математики.

3. Математичний аналіз моделі.Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Тут застосовуються суто математичні прийоми дослідження. Найбільш важливий момент – доказ існування рішень у сформульованій моделі (теорема існування). Якщо вдасться довести, що математичне завдання немає рішення, то необхідність у наступній роботі за первісним варіантом моделі відпадає; слід скоригувати або постановку економічного завдання, або методи її математичної формалізації. При аналітичному дослідженні моделі з'ясовуються такі питання, як, наприклад, чи єдине рішення, які змінні (невідомі) можуть входити до вирішення, які співвідношення між ними, в яких межах і в залежності від яких вихідних умов вони змінюються, які тенденції їх зміни і і т.д. Аналітичне дослідження моделі в порівнянні з емпіричним (чисельним) має ту перевагу, що одержувані висновки зберігають свою силу при різних конкретних значеннях зовнішніх та внутрішніх параметрів моделі.

Знання загальних властивостей моделі має таке важливе значення, часто заради доказу подібних властивостей дослідники свідомо йдуть на ідеалізацію початкової моделі. І все-таки моделі складних економічних об'єктів з великими труднощами піддаються аналітичному дослідженню. У тих випадках, коли аналітичними методами не вдається з'ясувати загальні властивості моделі, а спрощення моделі призводять до неприпустимих результатів, переходять до чисельних методів дослідження.

4. Підготовка вихідної інформації.Моделювання висуває жорсткі вимоги до системи інформації. У той самий час реальні можливості отримання інформації обмежують вибір моделей, призначених для практичного використання. У цьому береться до уваги як принципова можливість підготовки інформації (за певні терміни), а й витрати на підготовку відповідних інформаційних масивів. Ці витрати не повинні перевищувати ефекту від використання додаткової інформації.

У процесі підготовки інформації широко використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики. p align="justify"> При системному економіко-математичному моделюванні вихідна інформація, що використовується в одних моделях, є результатом функціонування інших моделей.

5. Чисельне рішення.Цей етап включає розробку алгоритмів для чисельного розв'язання задачі, складання програм на ЕОМ та безпосереднє проведення розрахунків. Проблеми цього етапу обумовлені, передусім, великий розмірністю економічних завдань, необхідністю обробки значних масивів інформації.

Зазвичай розрахунки з економіко-математичної моделі мають багатоваріантний характер. Завдяки високій швидкодії сучасних комп'ютерів вдається проводити численні "модельні" експерименти, вивчаючи "поведінку" моделі за різних змін деяких умов. Дослідження, проведене чисельними методами, може суттєво доповнити результати аналітичного дослідження, а багатьох моделей воно є єдино здійсненним. Клас економічних завдань, які можна вирішувати чисельними методами, значно ширший, ніж клас завдань, доступних аналітичному дослідженню.

6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування.На цьому заключному етапі циклу постає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про ступінь практичного застосування останніх.

Математичні методи перевірки можуть виявляти некоректні побудови моделі і цим звужувати клас потенційно правильних моделей. Неформальний аналіз теоретичних висновків та чисельних результатів, одержуваних за допомогою моделі, зіставлення їх із наявними знаннями та фактами дійсності також дозволяють виявляти недоліки постановки економічного завдання, сконструйованої математичної моделі, її інформаційного та математичного забезпечення.

Використана література

Репетиторство

Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?

Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru

• Зміст
• Вступ
• 1. Математичні моделі
• 1.1 Класифікація економіко-математичних моделей
• 2. Оптимізаційне моделювання
• 2.1 Лінійне програмування
• 2.1.1 Лінійне програмування як інструмент математичного моделювання економіки
• 2.1.2 Приклади моделей лінійного програмування
• 2.2.3 Оптимальний розподіл ресурсів
• Висновок

Вступ

Сучасна математика характеризується інтенсивним проникненням інші науки, багато в чому цей процес відбувається завдяки поділу математики на ряд самостійних областей. Математика стала багатьма галузей знань як знаряддям кількісного розрахунку, але й шляхом точного дослідження та засобом гранично точної формулювання понять і проблем. Без сучасної математики з її розвиненим логічним та обчислювальним апаратом був би не можливий прогрес у різних галузях людської діяльності. економічний математичний лінійний моделювання

Економіка як наука про об'єктивні причини функціонування та розвитку суспільства користується різноманітними кількісними характеристиками, а тому увібрала у собі велику кількість математичних методів.

Актуальність цієї теми у тому, що у сучасній економіці використовуються оптимізаційні методи, які становлять основу математичного програмування, теорії ігор, мережевого планування, теорії масового обслуговування та інших прикладних наук.

Вивчення економічних додатків математичних дисциплін, що становлять основу актуальної економічної математики, дозволяє набути деяких навичок вирішення економічних завдань та розширити знання у цій галузі.

Метою даної є вивчення деяких оптимізаційних методів, що застосовуються при вирішенні економічної завдань.

1. Математичні моделі

Математичні моделі економіки. Широке використання математичних моделей є важливим напрямом удосконалення економічного аналізу. Конкретизація даних чи представлення їх у вигляді математичної моделі допомагає вибрати найменш трудомісткий шлях розв'язання, підвищує ефективність аналізу.

Усі економічні завдання, які вирішуються із застосуванням лінійного програмування відрізняються альтернативністю рішення та певними обмежувальними умовами. Вирішити таке завдання - означає вибрати з усіх допустимо можливих (альтернативних) варіантів найкращий, оптимальний. Важливість і цінність використання економіки методу лінійного програмування у тому, що оптимальний варіант вибирається з досить значної кількості альтернативних варіантів.

Найсуттєвішими моментами при постановці та вирішенні економічних завдань у вигляді математичної моделі є:

· Адекватність економіко-математичної моделі дійсності;

· Аналіз закономірностей, відповідних даному процесу;

· Визначення методів, за допомогою яких можна вирішити завдання;

· Аналіз отриманих результатів або підбиття підсумку.

Під економічним аналізом розуміється передусім факторний аналіз.

Нехай y = f (x i) - деяка функція, що характеризує зміну показника чи процесу; x 1 x 2 ... x n - фактори, від яких залежить функція y = f (x i). Задано функціональний детермінований зв'язок показника y з набором факторів. Нехай показник y змінився за аналізований період. Потрібно визначити, якою частиною чисельне збільшення функції y=f(x 1 ,x 2 ,…,x n) має збільшення кожного фактора.

Можна виділити в економічному аналізі - аналіз впливу продуктивності праці та чисельності, що працюють на обсяг виробленої продукції; аналіз впливу величини прибутку основних виробничих фондів та нормованих оборотних коштів на рівень рентабельності; аналіз впливу позикових коштів на маневреність та незалежність підприємства тощо.

У економічному аналізі, крім завдань, що зводяться до розбиття його складові, існує група завдань, де потрібно функціонально ув'язати ряд економічних показників, тобто. побудувати функцію, що містить у собі основне якість всіх аналізованих економічних показників.

У цьому випадку ставиться зворотне завдання-так зване завдання зворотного факторного аналізу.

Нехай є набір показників x 1 x 2 ... x n , що характеризують деякий економічний процес F. Кожен з показників характеризує цей процес. Потрібно побудувати функцію f(x i) зміни процесу F, що містить основні характеристики всіх показників x 1 x 2 ... x n

Головний момент у економічному аналізі - визначення критерію, яким порівнюватимуть різні варіанти рішення.

Математичні моделі у менеджменті. У всіх сферах людської діяльності велику роль грає ухвалення рішень. Для постановки завдання ухвалення рішення необхідно виконати дві умови:

· Наявність вибору;

· Вибір варіанту за певним принципом.

Відомі два принципи вибору рішення: вольовий та критеріальний.

Вольовий вибір, що найчастіше використовується, застосовують за відсутності формалізованих моделей як єдино можливий.

Критеріальний вибір полягає у прийнятті деякого критерію та порівнянні можливих варіантів за цим критерієм, Варіант, для якого прийнятий критерій приймає найкраще рішення, називають оптимальним, а завдання прийняття найкращого рішення – завданням оптимізації.

Критерій оптимізації називають цільовою функцією.

Будь-яке завдання, вирішення якого зводиться до знаходження максимуму чи мінімуму цільової функції, називають екстремальною задачею.

Завдання менеджменту пов'язані зі знаходженням умовного екстремуму цільової функції при відомих обмеженнях, що накладаються на її змінні.

В якості цільової функції при вирішенні різних оптимізаційних завдань приймають кількість або вартість продукції, що випускається, витрат на виробництво, суму прибутку і т.п. Обмеження зазвичай стосуються людських матеріальних, фінансових ресурсів.

Оптимізаційні завдання менеджменту, різні за змістом і реалізовані з використанням стандартних програмних продуктів, відповідають тому чи іншому класу економіко-математичних моделей.

Розглянемо класифікацію деяких основних завдань оптимізації, що реалізуються менеджментом з виробництва.

Класифікація задач оптимізації за функцією управління:

Таблиця 1.

Поєднання різних елементів моделі призводить до різних класів задач оптимізації:

Таблиця 2.

1.1 Класифікація економіко-математичних моделей

Існує значна різноманітність видів, типів економіко-математичних моделей, необхідних для використання в управлінні економічними об'єктами та процесами. Економіко-математичні моделі поділяються на: макроекономічні та мікроекономічні залежно від рівня об'єкта управління, що моделюється, динамічні, які характеризують зміни об'єкта управління в часі, та статичні, які описують взаємозв'язки між різними параметрами, показниками об'єкта саме в той час. Дискретні моделі відображають стан об'єкта управління окремі, фіксовані моменти часу. Імітаційними називають економіко-математичні моделі, що використовуються з метою імітації керованих економічних об'єктів та процесів із застосуванням засобів інформаційної та обчислювальної техніки. За типом математичного апарату, що застосовується в моделях, виділяються економіко-статистичні, моделі лінійного та нелінійного програмування, матричні моделі, мережеві моделі.

Факторні моделі. У групу економіко-математичних факторних моделей входять моделі, які з одного боку включають економічні чинники, яких залежить стан керованого економічного об'єкта, з другого - залежні від цих чинників параметри стану об'єкта. Якщо фактори відомі, модель дозволяє визначити шукані параметри. Факторні моделі найчастіше надані простими в математичному відношенні лінійними або статичними функціями, які характеризують зв'язок між факторами та залежними від них параметрами економічного об'єкта.

Балансові моделі. Балансові моделі як статистичні, і динамічні широко застосовуються в економіко-математичному моделюванні. В основі створення цих моделей лежить балансовий метод - метод взаємного зіставлення матеріальних, трудових та фінансових ресурсів та потреб у них. Описуючи економічну систему загалом, під її балансової моделлю розуміють систему рівнянь, кожне у тому числі висловлює потреба балансу між виготовленими окремими економічними об'єктами кількості продукції і на сукупної потребою у цій продукції. За такого підходу економічна система складається з економічних об'єктів, кожен із яких випускає певний продукт. Якщо замість поняття «продукт» запровадити поняття «ресурс», то під балансовою моделлю необхідно розуміти систему рівнянь, які відповідають вимогам між певним ресурсом та його використанням.

Найбільш важливі види балансових моделей:

· Матеріальні, трудові та фінансові баланси для економіки в цілому та окремих її галузей;

· Міжгалузеві баланси;

· Матричні баланси підприємств та фірм.

Оптимізаційні моделі. Великий клас економіко-математичних моделей утворює оптимізаційні моделі, які дозволяють вибрати з усіх рішень найкращий оптимальний варіант. У математичному змісті оптимальність розуміється як досягнення екстремуму критерію оптимальності, яка називається також цільовою функцією. Оптимізаційні моделі найчастіше використовуються у завданнях знаходження кращого способу використання економічних ресурсів, що дозволяє досягти максимального цільового ефекту. Математичне програмування утворилося на основі розв'язання задачі про оптимальний розкрій листів фанери, що забезпечує найповніше використання матеріалу. Поставивши таке завдання, відомий російський математик та економіст академік Л.В. Канторовича було визнано гідним Нобелівської премії в економіці.

2. Оптимізаційне моделювання

2.1 Лінійне програмування

2.1.1 Лінійне програмування як інструмент математичного моделювання економіки

Дослідження властивостей загальної системи лінійних нерівностей ведеться з ХІХ ст., а перше оптимізаційне завдання з лінійною цільовою функцією та лінійними обмеженнями було сформульовано у З0-ті роки XX ст. Одним із перших зарубіжних учених, які заклали основи лінійного програмування, є Джон фон Нейман, широко відомий математик і фізик, який доказав основну теорему про матричні ігри. Серед вітчизняних учених великий внесок у теорію лінійної оптимізації зробили лауреат Нобелівської премії Л.В. Канторович, Н.М. Моїсеєв, Є.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдін та багато інших.

Лінійне програмування традиційно вважається одним із розділів дослідження операцій, який вивчає методи знаходження умовного екстремуму функцій багатьох змінних.

У класичному математичному аналізі досліджується загальна постановка завдання визначення умовного екстремуму, проте у зв'язку з розвитком промислового виробництва, транспорту, агропромислового комплексу, банківського сектора традиційних результатів математичного аналізу виявилося замало. Потреби практики та розвитку обчислювальної техніки сприяли необхідності визначення оптимальних рішень під час аналізу складних економічних систем. Головним інструментом на вирішення таких завдань є математичне моделювання, тобто. формалізоване опис досліджуваного процесу дослідження його з допомогою математичного апарату.

Мистецтво математичного моделювання у тому, щоб врахувати якнайширший спектр чинників, які впливають поведінка об'єкта, використовуючи у своїй по можливості нескладні співвідношення. Саме у зв'язку з цим процес моделювання часто має багатоетапний характер. Спочатку будується відносно проста модель, потім проводиться її дослідження, що дозволяє зрозуміти, які з інтегруючих властивостей об'єкта не вловлюються цією формальною схемою, після чого за рахунок ускладнення моделі забезпечується її адекватність реальності. При цьому в багатьох випадках першим наближенням до дійсності є модель, в якій всі залежності між змінними, що характеризують стан об'єкта, є лінійними. Практика показує, що значна кількість економічних процесів досить повно описується лінійними моделями, а отже, лінійне програмування як апарат, що дозволяє знаходити умовний екстремум на безлічі, заданій лінійними рівняннями та нерівностями, відіграє важливу роль при аналізі цих процесів.

2.1.2 Приклади моделей лінійного програмування

Нижче буде розглянуто кілька ситуацій, дослідження яких можливе із застосуванням засобів лінійного програмування. Так як основним показником у цих ситуаціях є економічний - вартість, то відповідні моделі є економіко-математичними.

Завдання про розкрій матеріалів. На обробку надходить матеріал одного зразка у кількості одиниць. Потрібно виготовити з нього до різних комплектуючих виробів у кількостях, пропорційних числам а 1 ,..., а к. Кожна одиниця матеріалу може бути розкрита n різними способами, при цьому використання i-го способу b ij одиниць j-го виробу (j = 1, ..., k).

Потрібно знайти план розкрою, що забезпечує максимальну кількість комплектів.

Економіко-математична модель цього завдання може бути сформульована в такий спосіб. Позначимо x i - число одиниць матеріалів, що розкраюються i-м способом, і x - число комплектів виробів, що виготовляються.

Враховуючи, що загальна кількість матеріалу дорівнює сумі його одиниць, що розкраюються різними способами, отримаємо:

Умова комплектності виразиться рівняннями:

Очевидно, що

x i 0 (i=1,…,n)(3)

Метою є визначити таке рішення Х = (x 1 ... x n), що задовольняє обмеженням (1)-(3), при якому функція F = x приймає максимальне значення. Проілюструємо розглянуту задачу наступним прикладом Для виготовлення брусів довжиною 1,5 м, 3 м і 5 м у співвідношенні 2:1:3 на розпил надходять 200 колод завдовжки 6 м. Визначити план розпилу, що забезпечує максимальну кількість комплектів. Щоб сформулювати відповідне оптимізаційне завдання лінійного програмування, визначимо всі можливі способи розпилу колод, вказавши відповідну кількість одержуваних при цьому брусів (табл. 1).

Таблиця 1

Позначимо через x i - число колод, розпиляних i-м способом (i = 1.2, 3, 4); х - число комплектів брусів.

З урахуванням того, що всі колоди повинні бути розпиляні, а число брусів кожного розміру має задовольняти умові комплектності, оптимізаційна економіко-математична модель набуде наступного вигляду х > max при обмеженнях:

x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =200

x i 0 (i=1,2,3,4)

Завдання вибору оптимальної виробничої програми підприємства. Нехай підприємство може випускати різні види продукції. Для випуску цих видів продукції підприємство використовує М видів матеріально-сировинних ресурсів та N видів обладнання. Необхідно визначити обсяги виробництва підприємства (тобто його виробничу програму) на заданому інтервалі планування, щоб максимізувати валовий прибуток підприємства.

де a i - ціна реалізації продукції виду i;

b i - Змінні витрати на випуск однієї одиниці продукції виду i;

Zp - умовно постійні витрати, які припускатимемо незалежними від вектора х = (x 1, ..., x n).

При цьому мають бути виконані обмеження на обсяги використовуваних матеріально-сировинних ресурсів та час використання обладнання на інтервалі.

Позначимо через Lj(j = l,...,M) обсяг запасів матеріально-сировинних ресурсів виду j, а через ф k (k = 1,..., N) - час, протягом якого може бути використане обладнання виду k. Відомо споживання матеріально-сировинних ресурсів виду j на випуск однієї одиниці продукції виду i, яке позначимо через l ij (i = 1, ..., n; j = 1, ..., М). Відомо також t ik - час завантаження однієї одиниці обладнання виду k виготовлення однієї одиниці продукції виду i (i = 1, ..., n; k = 1, ..., N). Через m k позначимо кількість одиниць устаткування виду k (k=l,...,N).

При введених позначеннях обмеження на обсяг споживаних матеріально-сировинних ресурсів можуть бути такі:

Обмеження на виробничі потужності задаються наступними нерівностями

Крім того, змінні

x i ?0 i=1,…,n (7)

Таким чином, завдання вибору виробничої програми, що максимізує прибуток, полягає у виборі такого плану випуск х = (х 1 ..., х n), який задовольняв би обмежень (5)-(7) і максимізував би функцію (4).

У деяких випадках підприємство має поставити заздалегідь обумовлені обсяги продукції Vt іншим суб'єктам господарювання і тоді до цієї моделі замість обмеження (1.7) може бути включено обмеження виду:

x t > Vt i = 1, ..., n.

Завдання про дієту. Розглянемо завдання складання душового раціону харчування мінімальної вартості, яке містило б певні поживні речовини в необхідних обсягах. Припускатимемо, що є відомий перелік продуктів з n найменувань (хліб, цукор, олія, молоко, м'ясо і т.д.), які ми позначатимемо літерами F 1 ,...,F n . Крім того, розглядаються такі характеристики продуктів (поживні речовини), як білки, жири, вітаміни, мінеральні речовини та інші. Позначимо ці компоненти літерами N 1, ..., N m. Припустимо, що для кожного продукту F i відомий (i = 1,...,n) кількісний вміст в одній одиниці продукту зазначених вище компонент. У цьому випадку можна скласти таблицю, яка містить характеристику продуктів:

F 1 ,F 2 ,…F j …F n

N 1 a 11 a 12 …a 1j …a 1N

N 2 a 21 a 22 …a 2j …a 2N

N i a i1 a i2 …a ij …a iN

N m a m1 a m2 …a mj …a mN

Елементи цієї таблиці утворюють матрицю, що має m рядків та n стовпців. Позначимо її через A і назвемо матрицею поживності. Припустимо, що ми склали раціон х = (х 1, х 2, ..., х n) на деякий період (наприклад, місяць). Іншими словами, ми плануємо кожній людині на місяць х, одиниць (кілограмів) продукту F 1 x 2 одиниць продукту F 2 і т.д. Неважко обчислити, скільки вітамінів, жирів, білків та інших поживних речовин отримає людина за цей період. Наприклад, компонент N 1 ​​присутній у цьому раціоні в кількості

a 11 x 1 + a 12 x 2+…+ a 1n x n

оскільки згідно з умовою x 1 одиницях продукту F 1 згідно матриці поживності міститься a 11 x 1 одиниць компоненти N 1 ; до цієї кількості додається порція а 12 x 2 речовини N 1 з 2 одиниць продукту F 2 і т.д. Аналогічно можна визначити і кількість всіх інших речовин N i в раціоні (х 1, ..., х n).

Припустимо, що є певні фізіологічні вимоги щодо необхідної кількості поживних речовин у N i (i/ = 1,..., N) у запланований термін. Нехай ці вимоги задані вектором b = (b 1 ..., b n), i компонента якого b i вказує мінімально необхідний вміст компонента N i в раціоні. Це означає, що коефіцієнти x i вектора х повинні задовольняти наступну систему обмежень:

a 11 x 1 + a 12 x 2+…+ a 1n x n b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2+…+ a 2n x n ?b 2 (8)

a m1 x 1 + a m2 x 2+…+ a mn x n ?b m

Крім того, із змістовного сенсу завдання очевидно, що всі змінні х 1,...,х n невід'ємні і тому до обмежень (8) додаються ще нерівності

x 1? 0; x 2? 0; ... x n? 0; (9)

Враховуючи, що у більшості випадків обмеженням (8) та (9) задовольняє нескінченно багато раціонів, виберемо той із них, вартість якого мінімальна.

Нехай ціни на продукти F 1 ,...,F n рівні відповідно до 1 ,...,c n

Отже вартість всього раціону х = (х 1 ..., х n) може бути записана у вигляді

c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+ c n x n >min (10)

Остаточно формулювання задачі про дієту полягає в тому, щоб серед усіх векторів х = (x 1, ..., х n) задовольняють обмеженням (8) і (9) вибрати такий, для якого цільова функція (10) набуває мінімального значення.

Транспортне завдання. Є m пунктів S 1 ..., S m виробництва однорідного продукту (вугілля, цементу, нафти тощо), при цьому обсяг виробництва в пункті S i дорівнює a i одиниць. Вироблений продукт споживається у пунктах Q 1 ...Q n і потреба у ньому пункті Q j становить k j одиниць (j = 1,...,n). Потрібно скласти план перевезень із пунктів S i (i = 1,...,m) до пунктів Q j (j = 1,..., n), щоб задовольнити потреби в продукті b j , мінімізувавши транспортні витрати.

Нехай вартість перевезень однієї одиниці продукту з пункту S i до пункту Q i дорівнює c ij. Далі припускатимемо, що при перевезенні х ij одиниць продукту з S i в Q j транспортні витрати рівні c ij x ij.

Назвемо планом перевезень набір чисел х ij c i = 1,..., m; j = 1,..., n, що задовольняє обмежень:

x ij? 0, i = 1,2, ..., m; j=1,…,n (11)

При плані перевезень (х ij) транспортні витрати становитимуть величину

Остаточне формування транспортної задачі таке: серед усіх наборів чисел (х ij), які відповідають обмеженням (11), знайти набір, що мінімізує (12).

2.1.3 Оптимальний розподіл ресурсів

Клас завдань, що розглядається в цьому розділі, має численні практичні програми.

У загальному вигляді ці завдання можуть бути описані в такий спосіб. Є кілька ресурсів, під якими можна розуміти кошти, матеріальні ресурси (наприклад, сировину, напівфабрикати, трудові ресурси, різні види устаткування тощо. п.). Ці ресурси необхідно розподілити між різними об'єктами їх використання за окремими проміжками планового періоду або різними проміжками по різних об'єктах так, щоб отримати максимальну сумарну ефективність від обраного способу розподілу. Показником ефективності може бути, наприклад, прибуток, товарна продукція, фондовіддача (завдання максимізації) чи сумарні витрати, собівартість, час виконання цього обсягу робіт тощо. (завдання мінімізації).

Взагалі, переважна кількість завдань математичного програмування вписується у загальну постановку завдання оптимального розподілу ресурсів. Природно, що з розгляду моделей і обчислювальних схем розв'язання таких завдань методом ДП необхідно конкретизувати загальну форму завдання розподілу ресурсів.

Надалі припускатимемо, що умови, необхідні для побудови моделі ДП, завдання виконуються. Опишемо типове завдання розподілу ресурсів у загальному вигляді.

Завдання 1. Є початкова кількість коштів, яку необхідно розподілити протягом п років між підприємствами. Кошти (k=1, 2,…,n; i=1,…, s), виділені в k-му році i-му підприємству, приносять дохід у розмірі і до кінця року повертаються у кількості. У наступному розподілі дохід може або брати участь (частково чи повністю), або брати участь.

Потрібно визначити такий спосіб розподілу ресурсів (кількість коштів, що виділяються кожному підприємству в кожному плановому році), щоб сумарний дохід від підприємств за п років був максимальним.

Отже, як показник ефективності процесу розподілу ресурсів за п років приймається сумарний дохід, отриманий від підприємств:

Кількість ресурсів на початку k-го року характеризуватимемо величиною (параметр стану). Управління на k-му етапі полягає у виборі змінних позначають ресурси, що виділяються в k-му році i-му підприємству.

Якщо припустити, що дохід у подальшому розподілі не бере участі, то рівняння стану процесу має вигляд

Якщо ж деяка частина доходу бере участь у подальшому розподілі у якомусь році, то до правої частини рівності (4.2) додається відповідна величина.

Потрібно визначити ns невід'ємних змінних, що задовольняють умовам (4.2) та максимізують функцію (4.1).

Обчислювальна процедура ДП починається з введення функції, що означає дохід, отриманий за п-k+1 років, починаючи з k-го року до кінця періоду, що розглядається, при оптимальному розподілі коштів між s підприємствами, якщо в k-му році розподілялося коштів. Функції для k=1, 2, ...n-1 задовольняють функціональним рівнянням (2.2), які запишуться як:

При k=n згідно (2.2) отримуємо

Далі необхідно послідовно вирішити рівняння (4.4) і (4.3) для всіх можливих (k = n-1, п-2, 1). Кожне з цих рівнянь є завдання оптимізацію функції, що залежить від s змінних. Таким чином, задача з ns змінними зведена до послідовності задач, кожна з яких містить s змінних. У цій загальній постановці завдання, як і раніше, складне (через багатомірність) і спростити його, розглядаючи як ns-крокове завдання, в даному випадку не можна. Насправді спробуємо це зробити. Пронумеруємо кроки за номерами підприємств спочатку в 1-му році, потім у 2-му і т.д.

і будемо користуватися одним параметром для характеристики залишку коштів.

Протягом k-го року стан " на початок будь-якого кроку s(k-1)_+i (i=1,2,…,s) визначиться за попереднім станом з допомогою простого рівняння. Проте після року, тобто. до початку наступного року, до готівкових коштів необхідно буде додати коштів і, отже, стан на початку (ks+1)-го кроку залежатиме не тільки від попереднього ks-го стану, а й від усіх станів і управлінь за минулий рік. В результаті ми отримаємо процес з післядією, щоб виключити післядію, доводиться вводити кілька параметрів станів, завдання на кожному кроці залишається складним через багатовимірність.

Завдання 2. Планується діяльність двох підприємств (s=2) протягом п років. Початкові кошти становлять. Кошти х, вкладені у підприємство I, приносять до кінця року дохід f 1 (x) і повертаються у розмірі аналогічно, кошти х, вкладені у підприємство II, дають дохід f 2 (x) та повертаються у розмірі. Після закінчення року всі кошти, що залишилися, заново перерозподіляються між підприємствами I і II, нових коштів не надходить і дохід у виробництво не вкладається.

Потрібно знайти оптимальний спосіб розподілу наявних коштів.

Розглянемо процес розподілу коштів як n-кроковий, у якому номер кроку відповідає номеру року. Керована система - два підприємства з вкладеними в них коштами. Система характеризується одним параметром стану - кількістю коштів, які слід перерозподілити на початку k-го року. Змінних управління на кожному кроці дві: - кількість коштів, виділених відповідно до підприємства I та II. Оскільки кошти щорічно перерозподіляються повністю, то). Для кожного кроку завдання стає одномірним. Позначимо через, тоді

Показник ефективності k-го кроку дорівнює. Це - дохід, отриманий від двох підприємств протягом k-го року.

Показник ефективності завдання - дохід, отриманий від двох підприємств протягом п років - становить

Рівняння стану виражає залишок коштів після k-го кроку і має вигляд

Нехай - умовний оптимальний дохід, отриманий від розподілу коштів між двома підприємствами за n-k + 1 років, починаючи з k-го року до кінця аналізованого періоду. Запишемо рекурентні співвідношення для цих функцій:

де - Визначається з рівняння стану (4.6).

При дискретному вкладенні ресурсів може виникнути питання вибору кроку Дх у зміні змінних управління. Цей крок може бути заданий або визначається, виходячи з необхідної точності обчислень і точності вихідних даних. Загалом це завдання складна, вимагає інтерполювання по таблицях на попередніх кроках обчислення. Іноді попередній аналіз рівняння стану дозволяє вибрати відповідний крок Дх, і навіть встановити граничні значення, котрим кожному кроці потрібно виконати табулювання.

Розглянемо двовимірне завдання, аналогічне попередньому, у якому будується дискретна модель ДП процесу розподілу ресурсів.

Завдання 3. Скласти оптимальний план щорічного розподілу коштів між двома підприємствами протягом трирічного планового періоду за наступних умов:

1) початкова сума становить 400;

2) вкладені кошти у розмірі х приносять на підприємстві I дохід f 1 (x) та повертаються у розмірі 60% від х, а на підприємстві II - відповідно f2(x) та 20%;

3) щорічно розподіляються всі готівка, одержувана з повернутих коштів:

4) функції f 1 (x) та f2 (x) задані в табл. 1:

Модель динамічного програмування цієї задачі аналогічна моделі, складеної в задачі 1.

Процес управління є трикроковим. Параметр - засоби, що підлягають розподілу в k-му році (k = l, 2, 3). Змінна управління - кошти, вкладені у підприємство I в k-му році. Кошти, вкладені в підприємство II в k-му році, складають Отже, процес управління на k-му етапі залежить від одного параметра (модель одновимірна). Рівняння стану запишеться у вигляді

А функціональні рівняння у вигляді

Спробуємо визначити максимально можливі значення, котрим необхідно проводити табулювання на k-му кроці (k=l, 2, 3). При =400 з рівняння (4.8) визначаємо максимально можливе значення маємо = 0,6*400=2400 (всі кошти вкладаються у підприємство I). Аналогічно, для отримуємо граничне значення 0,6 * 240 = 144. Нехай інтервал зміни збігається з табличним, тобто Дх = 50. Складемо таблицю сумарного прибутку цьому етапі:

Це полегшить подальші розрахунки. Так як клітини, розташовані по діагоналі таблиці, відповідають одному й тому ж значенню, зазначеному в 1-му рядку (в 1-му стовпці) табл. 2. У 2-му рядку таблиці записані значення f 1 (x), а у 2-му стовпці - значення f 2 (у) взяті з табл. 1.Значення в інших клітинах таблиці отримані додаванням чисел f 1 (x) і f 2 (у), що стоять у 2-му рядку та у 2-му стовпці і відповідних стовпцю та рядку, на перетині яких знаходиться дана клітина. Наприклад, для = 150 отримуємо ряд чисел: 20 - для х = 0, у = 150; 18 - для х = 50, у = 100; 18- для х-100, у=50; 15 - для х = 150, у = 0.

Проведемо умовну оптимізацію за звичайною схемою. 3 крок. Основне рівняння (4.9)

Як зазначалося вище, . Переглянемо числа на діагоналях, що відповідають =0; 50; 100; 150 і кожної діагоналі виберемо найбільше. Це і є У 1-му рядку знаходимо відповідне умовне оптимальне керування. Дані оптимізації на 3-му етапі помістимо в основну таблицю (табл. 4). У ній введений стовпець Дх, який використовується при інтерполяції.

Оптимізація 2-го кроку проведено у табл. 5 згідно з рівнянням виду (4.10):

При цьому можна отримати максимальний дохід, рівний Zmax=99,l. Прямий підрахунок доходу за табл. 2 для знайденого оптимального керування дає 97,2. Розбіжність у результатах на 1,9 (близько 2%) пояснюється помилкою лінійної інтерполяції.

Ми розглянули кілька варіантів завдання оптимального розподілу ресурсів. Існують інші варіанти цього завдання, особливості яких враховуються відповідною динамічною моделлю.

Висновок

У цій роботі розглянуті види математичних моделей, що використовуються в економіці та менеджменті, а також їх класифікація.

Особливу увагу в роботі приділено оптимізаційному моделюванню.

Вивчено принцип побудови моделей лінійного програмування, також наведено моделі наступних завдань:

· Завдання про розкрій матеріалів;

· Завдання вибору оптимальної виробничої програми підприємства;

· Завдання про дієту;

· Транспортне завдання.

У роботі представлені загальні характеристики задач дискретного програмування, описано принцип оптимальності та рівняння Беллмана, наведено загальний опис процесу моделювання.

Для побудови моделей вибрано три завдання:

· Завдання оптимального розподілу ресурсів;

· Завдання про оптимальне управління запасами;

· Завдання про заміну.

У свою чергу для кожного із завдань побудовано різні моделі динамічного програмування. Для окремих завдань наведено числові розрахунки відповідно до побудованих моделей.

Список літератури:

1. Вавілов В.А., Змєєв О.А., Змєєва Є.Є. Електронний посібник “Дослідження операцій”

2. Каліхман І.Л., Войтенко М.А. "Динамічне програмування в прикладах і завданнях", 1979

3. Косоруков О.А., Міщенко О.В. "Дослідження операцій", 2003

4. Матеріали із мережі Internet.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Вивчення економічних додатків математичних дисциплін на вирішення економічних завдань: використання математичних моделей економіки та менеджменті. Приклади моделей лінійного та динамічного програмування як інструменту моделювання економіки.

курсова робота , доданий 21.12.2010


Основні поняття та типи моделей, їх класифікація та цілі створення. Особливості економіко-математичних методів, що застосовуються. Загальна характеристика основних етапів економіко-математичного моделювання. Застосування стохастичних моделей економіки.

реферат, доданий 16.05.2012


Графічний розв'язок задач лінійного програмування. Вирішення задач лінійного програмування симплекс-методом. Можливості практичного використання математичного програмування та економіко-математичних методів під час вирішення економічних завдань.

курсова робота , доданий 02.10.2014


Моделювання економічних систем: основні поняття та визначення. Математичні моделі та методи їх розрахунку. Деякі відомості з математики. Приклади задач лінійного програмування. Методи розв'язання задач лінійного програмування.

лекція, доданий 15.06.2004


Теоретичні основи економіко-математичних завдань про суміші. Принципи побудови та структура інтегрованої системи економіко-математичних моделей. Організаційно-економічна характеристика та техніко-економічні показники роботи СВК "Батьківщина".

курсова робота , доданий 01.04.2011


Теоретичні засади економіко-математичних методів. Етапи прийняття рішень. Класифікація задач оптимізації. Завдання лінійного, нелінійного, опуклого, квадратичного, цілісного, параметричного, динамічного та стохастичного програмування.

курсова робота , доданий 07.05.2013


Поняття та типи моделей. Етапи побудови математичної моделі. Основи математичного моделювання взаємозв'язку економічних змінних. Визначення параметрів лінійного однофакторного рівняння регресії. Оптимізаційні методи математики економіки.

реферат, доданий 11.02.2011


Типові моделі менеджменту: приклади економіко-математичних моделей та їх практичного використання. Процес інтеграції моделей різних типів у складніші модельні конструкції. Визначення оптимального плану виробництва товарів кожного виду.

контрольна робота , доданий 14.01.2015


Основи складання, вирішення та аналізу економіко-математичних завдань. Стан, вирішення, аналіз економіко-математичних завдань із моделювання структури посівів кормових культур при заданих обсягах тваринницької продукції. Методичні рекомендації.

методичка, доданий 12.01.2009


Основні поняття моделювання. Загальні поняття та визначення моделі. Постановка задач оптимізації. Методи лінійного програмування. Загальне та типове завдання у лінійному програмуванні. Симплекс-метод розв'язання задач лінійного програмування.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ

Державний освітній заклад вищої професійної освіти

РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТОРГІВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСЬКА ФІЛІЯ

(ТФ ГОУ ВПО РДТЕУ)

Реферат з математики на тему:

"Економіко-математичні моделі"

Виконали:

Студентки 2 курсу

"Фінанси і кредит"

денне відділення

Максимова Христина

Вітка Наталія

Перевірив:

Доктор технічних наук,

професор С.В. Юдін _____________

Вступ

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

1.2 Економіко-математичні методи

Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Висновок

Список літератури

Вступ

Актуальність.Моделювання в наукових дослідженнях стало застосовуватися ще в давнину і поступово захоплювало все нові галузі наукових знань: технічне конструювання, будівництво та архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки. Великі успіхи та визнання практично у всіх галузях сучасної науки принесли методу моделювання ХХ ст. Проте методологія моделювання тривалий час розвивалася незалежно окремими науками. Відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.

Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності та має безліч смислових значень. Розглянемо лише такі "моделі", які є інструментами здобуття знань.

Модель - це такий матеріальний або подумки об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригінал.

Під моделюванням розуміється процес побудови, вивчення та застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін. Процес моделювання обов'язково включає і побудову абстракцій, і висновки за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.

Економіко-математичне моделювання є невід'ємною частиною будь-якого дослідження в галузі економіки. Бурхливий розвиток математичного аналізу, дослідження операцій, теорії ймовірностей та математичної статистики сприяло формуванню різноманітних моделей економіки.

Метою математичного моделювання економічних систем є використання методів математики для найбільш ефективного вирішення завдань, що виникають у сфері економіки, з використанням, як правило, сучасної обчислювальної техніки.

Чому можна говорити про ефективність застосування методів моделювання у цій галузі? По-перше, економічні об'єкти різного рівня (починаючи з рівня простого підприємства і закінчуючи макрорівнем - економікою країни або навіть світовою економікою) можна розглядати з системного підходу. По-друге, такі характеристики поведінки економічних систем як:

-мінливість (динамічність);

-суперечливість поведінки;

-тенденція до погіршення показників;

-схильність до впливу навколишнього середовища

визначають вибір методу їх дослідження.

Проникнення математики на економічну науку пов'язані з подоланням значних труднощів. У цьому частково була "винна" математика, що розвивається протягом кількох століть в основному у зв'язку з потребами фізики та техніки. Але головні причини лежать все ж таки в природі економічних процесів, у специфіці економічної науки.

Складність економіки іноді розглядалася як обґрунтування неможливості її моделювання, вивчення засобами математики. Але така думка в принципі неправильна. Моделювати можна об'єкт будь-якої природи та будь-якої складності. І саме складні об'єкти становлять найбільший інтерес для моделювання; саме тут моделювання може дати результати, які не можна отримати іншими засобами дослідження.

Мета цієї роботи- розкрити поняття економіко-математичних моделей та вивчити їх класифікацію та методи, на яких вони базуються, а також розглянути їх застосування в економіці.

Завдання даної роботи:систематизація, накопичення та закріплення знань про економіко-математичні моделі.

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

У процесі дослідження об'єкта часто буває недоцільним або навіть неможливо мати справу безпосередньо з цим об'єктом. Зручніше буває замінити його іншим об'єктом, подібним до цього в тих аспектах, які важливі в даному дослідженні. Загалом Модельможна визначити як умовний образ реального об'єкта (процесів), що створюється для глибшого вивчення дійсності. Метод дослідження, що базується на розробці та використанні моделей, називається моделюванням. Необхідність моделювання обумовлена ​​складністю, а часом і неможливістю прямого вивчення реального об'єкта (процесів). Значно доступніше створювати та вивчати прообрази реальних об'єктів (процесів), тобто. моделі. Можна сказати, що теоретичне знання про щось, як правило, є сукупністю різних моделей. Ці моделі відображають суттєві властивості реального об'єкта (процесів), хоча насправді дійсність значно змістовніша і багатша.

Модель- це уявна чи матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об'єкт дослідження, здатна замінювати його так, що її вивчення дає нову інформацію про цей об'єкт.

На сьогоднішній день загальновизнаної єдиної класифікації моделей немає. Однак з багатьох моделей можна виділити словесні, графічні, фізичні, економіко-математичні та деякі інші типи моделей.

Економіко-математичні моделі- це моделі економічних об'єктів чи процесів, під час опису яких використовуються математичні засоби. Цілі їх створення різноманітні: вони будуються для аналізу тих чи інших передумов та положень економічної теорії, логічного обґрунтування економічних закономірностей, обробки та приведення до системи емпіричних даних. У практичному плані економіко-математичні моделі використовуються як інструмент прогнозу, планування, управління та вдосконалення різних сторін економічної діяльності суспільства.

Економіко-математичні моделі відбивають найбільш суттєві властивості реального об'єкта чи процесу з допомогою системи рівнянь. Єдиної класифікації економіко-математичних моделей немає, хоча можна назвати найбільш значні їх групи залежно від ознаки класифікації.

За цільовим призначенняммоделі діляться на:

· Теоретико-аналітичні (використовуються у дослідженні загальних властивостей та закономірностей економічних процесів);

· Прикладні (застосовуються у вирішенні конкретних економічних завдань, таких як завдання економічного аналізу, прогнозування, управління).

З урахуванням фактора часумоделі поділяються на:

· Динамічні (описують економічну систему у розвитку);

· Статистичні (економічна система описана в статистиці, стосовно одного певного моменту часу; це як би знімок, зріз, фрагмент динамічної системи в якийсь момент часу).

За тривалістю аналізованого періоду часурозрізняють моделі:

· Короткострокового прогнозування чи планування (до року);

· Середньострокового прогнозування чи планування (до 5 років);

· Довгострокового прогнозування чи планування (понад 5 років).

За метою створення та застосуваннярозрізняють моделі:

В· Балансові;

· Економетричні;

· Оптимізаційні;

·Мережеві;

· систем масового обслуговування;

· Імітаційні (експертні).

У балансовихмоделях відображається вимога відповідності наявності ресурсів та їх використання.

Параметри економетричнихмоделей оцінюються за допомогою методів математичної статистики Найбільш поширені моделі, що є системами регресійних рівнянь. У цих рівняннях відбивається залежність ендогенних (залежних) змінних від екзогенних (незалежних) змінних. Ця залежність в основному виражається через тренд (тривалу тенденцію) основних показників економічної системи, що моделюється. Економетричні моделі використовуються для аналізу та прогнозування конкретних економічних процесів з використанням реальної статистичної інформації.

Оптимізаційнімоделі дозволяють знайти з безлічі можливих (альтернативних) варіантів найкращий варіант виробництва, розподілу чи споживання. Обмежені ресурси при цьому будуть використані якнайкраще для досягнення поставленої мети.

Мережевімоделі найбільше широко використовуються в управлінні проектами. Мережева модель відображає комплекс робіт (операцій) та подій, та їх взаємозв'язок у часі. Зазвичай мережева модель призначена для виконання робіт у такій послідовності, щоб терміни виконання проекту були мінімальними. І тут ставиться завдання перебування критичного шляху. Однак існують і такі мережеві моделі, які орієнтовані не на критерій часу, а, наприклад, мінімізацію вартості робіт.

Моделі систем масового обслуговуваннястворюються для мінімізації витрат часу на очікування у черзі та часу простоїв каналів обслуговування.

Імітаційнамодель, поруч із машинними рішеннями, містить блоки, де рішення приймаються людиною (експертом). Замість безпосередньої участі людини у прийнятті рішень може бути база знань. І тут персональний комп'ютер, спеціалізоване програмне забезпечення, база даних, і база знань утворюють експертну систему. Експертнасистема призначена на вирішення однієї чи низки завдань шляхом імітації дій людини, експерта у цій галузі.

З урахуванням фактора невизначеностімоделі поділяються на:

· детерміновані (з однозначно визначеними результатами);

· Стохастичні (імовірнісні; з різними, імовірнісними результатами).

За типом математичного апаратурозрізняють моделі:

· Лінійне програмування (оптимальний план досягається в крайній точці області зміни змінних величин системи обмежень);

· Нелінійне програмування (оптимальних значень цільової функції може бути декілька);

· Кореляційно-регресійні;

·Матричні;

·Мережеві;

В· Теорії ігор;

· Теорії масового обслуговування тощо.

З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації моделей ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей та нових ознак їх класифікації здійснюється процес інтеграції моделей різних типів у більш складні модельні конструкції.

моделювання математичний стохастичний

1.2 Економіко-математичні методи

Як і всяке моделювання, економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичними завданнями економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів, по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників, по-третє, вироблення управлінських рішень на всіх рівнях управління.

Суть економіко-математичного моделювання полягає в описі соціально-економічних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей, які слід розуміти як продукт процесу економіко-математичного моделювання, а економіко-математичні методи – як інструмент.

Розглянемо питання класифікації економіко-математичних методів. Ці методи є комплексом економіко-математичних дисциплін, які є сплавом економіки, математики та кібернетики. Тому класифікація економіко-математичних методів зводиться до класифікації наукових дисциплін, що входять до їхнього складу.

З певною часткою умовності класифікацію цих методів можна так.

· Економічна кібернетика: системний аналіз економіки, теорія економічної інформації та теорія керуючих систем.

· Математична статистика: економічні програми цієї дисципліни - вибірковий метод, дисперсійний аналіз, кореляційний аналіз, регресійний аналіз, багатовимірний статистичний аналіз, теорія індексів та ін.

· Математична економія та вивчає ті ж питання з кількісної сторони економетрію: теорія економічного зростання, теорія виробничих функцій, міжгалузеві баланси, національні рахунки, аналіз попиту та споживання, регіональний та просторовий аналіз, глобальне моделювання.

· Методи прийняття оптимальних рішень, зокрема дослідження операцій економіки. Це найбільш об'ємний розділ, що включає наступні дисципліни та методи: оптимальне (математичне) програмування, мережеві методи планування та управління, теорію та методи управління запасами, теорію масового обслуговування, теорію ігор, теорію та методи прийняття рішень.

У оптимальне програмування своєю чергою входять лінійне і нелінійне програмування, динамічне програмування, дискретне (цілочисленне) програмування, стохастичне програмування та інших.

· Методи та дисципліни, специфічні окремо як для централізовано запланованої економіки, так і для ринкової (конкурентної) економіки. До перших можна віднести теорію оптимального ціноутворення функціонування економіки, оптимальне планування, теорію оптимального ціноутворення, моделі матеріально-технічного постачання та ін. . Багато з методів, розроблених для централізовано планованої економіки, можуть бути корисними і при економіко-математичному моделюванні в умовах ринкової економіки.

· Методи експериментального вивчення економічних явищ. До них відносять, як правило, математичні методи аналізу та планування економічних експериментів, методи машинної імітації (імітаційне моделювання), ділові ігри. Сюди можна віднести і методи експертних оцінок, розроблені з метою оцінки явищ, які піддаються безпосередньому виміру.

В економіко-математичних методах застосовуються різноманітні розділи математики, математичної статистики, математичної логіки. Велику роль вирішенні економіко-математичних завдань грають обчислювальна математика, теорія алгоритмів та інші дисципліни. Використання математичного апарату принесло відчутні результати при вирішенні завдань аналізу процесів розширеного виробництва, визначення оптимальних темпів зростання капіталовкладень, оптимального розміщення, спеціалізації та концентрації виробництва, завдань вибору оптимальних способів виробництва, визначення оптимальної послідовності запуску у виробництво, завдання підготовки виробництва методами мережного планування та багатьох інших .

Для вирішення стандартних проблем характерна чіткість мети, можливість заздалегідь виробити процедури та правила ведення розрахунків.

Існують такі передумови використання методів економіко-математичного моделювання, найважливішими з яких є високий рівень знання економічної теорії, економічних процесів та явищ, методологія їх якісного аналізу, а також високий рівень математичної підготовки, володіння економіко-математичними методами.

Перш ніж приступити до розробки моделей, необхідно ретельно проаналізувати ситуацію, виявити цілі та взаємозв'язки, проблеми, які потребують вирішення, та вихідні дані для їх вирішення, вести систему позначень і лише тоді описати ситуацію у вигляді математичних співвідношень.

2. Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

Процес економіко-математичного моделювання – це опис економічних та соціальних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей. Цей різновид моделювання має ряд істотних особливостей, пов'язаних як з об'єктом моделювання, так і з застосовуваним апаратом та засобами моделювання. Тому доцільно детальніше проаналізувати послідовність та зміст етапів економіко-математичного моделювання, виділивши наступні шість етапів:

.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз;

2.Побудова математичної моделі;

.Математичний аналіз моделі;

.Підготовка вихідної інформації;

.Чисельне рішення;

Розглянемо кожен із етапів докладніше.

1.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. Головне тут - чітко сформулювати сутність проблеми, допущення, що приймаються, і ті питання, на які потрібно отримати відповіді. Цей етап включає виділення найважливіших рис і властивостей об'єкта, що моделюється, і абстрагування від другорядних; вивчення структури об'єкта та основних залежностей, що пов'язують його елементи; формулювання гіпотез (хоча б попередніх), що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.

2.Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей і відносин (функцій, рівнянь, нерівностей і т.д.). Зазвичай спочатку визначається основна конструкція (тип) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних та параметрів, форма зв'язків). Отже, побудова моделі підрозділяється своєю чергою кілька стадій.

Неправильно вважати, що чим більше фактів враховує модель, тим вона краще «працює» і дає найкращі результати. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей (лінійні та нелінійні), облік факторів випадковості та невизначеності тощо.

Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не тільки реальні можливості інформаційного та математичного забезпечення, але й зіставляти витрати на моделювання з ефектом.

Однією з важливих особливостей математичних моделей є потенційна можливість їх використання для вирішення різноякісних проблем. Тому, навіть зіштовхуючись із новим економічним завданням, не потрібно прагнути «винаходити» модель; Спершу необхідно спробувати застосувати для вирішення цього завдання вже відомі моделі.

.Математичний аналіз моделі.Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Тут застосовуються суто математичні прийоми дослідження. Найважливіший момент – доказ існування рішень у сформульованій моделі. Якщо вдається довести, що математичне завдання немає рішення, то необхідність у наступній роботі за первісним варіантом моделі відпадає і слід скоригувати або постановку економічного завдання, або способи її математичної формалізації. При аналітичному дослідженні моделі з'ясовуються такі питання, як, наприклад, чи єдине рішення, які змінні (незвісні) можуть входити в рішення, які будуть співвідношення між ними, в яких межах і в залежності від вихідних умов вони змінюються, які тенденції їх зміни і т.д. буд. Аналітичне дослідження моделі в порівнянні з емпіричним (чисельним) має ту перевагу, що одержувані висновки зберігають свою силу при різних конкретних значеннях зовнішніх та внутрішніх параметрів моделі.

4.Підготовка вихідної інформації.Моделювання висуває жорсткі вимоги до системи інформації. У той самий час реальні можливості отримання інформації обмежують вибір моделей, призначених для практичного використання. У цьому береться до уваги як принципова можливість підготовки інформації (за певні терміни), а й витрати на підготовку відповідних інформаційних масивів.

Ці витрати не повинні перевищувати ефекту від використання додаткової інформації.

У процесі підготовки інформації широко використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики. p align="justify"> При системному економіко-математичному моделюванні вихідна інформація, що використовується в одних моделях, є результатом функціонування інших моделей.

5.Чисельне рішення.Цей етап включає розробку алгоритмів для чисельного розв'язання задачі, складання програм на ЕОМ та безпосереднє проведення розрахунків. Проблеми цього етапу обумовлені, передусім, великий розмірністю економічних завдань, необхідністю обробки значних масивів інформації.

Дослідження, проведене чисельними методами, може суттєво доповнити результати аналітичного дослідження, а багатьох моделей воно є єдино здійсненним. Клас економічних завдань, які можна вирішувати чисельними методами, значно ширший, ніж клас завдань, доступних аналітичному дослідженню.

6.Аналіз чисельних результатів та їх застосування.На цьому заключному етапі циклу постає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про ступінь практичного застосування останніх.

Математичні методи перевірки можуть виявити некоректні побудови моделі і цим звужувати клас потенційно правильних моделей. Неформальний аналіз теоретичних висновків та чисельних результатів, одержуваних за допомогою моделі, зіставлення їх із наявними знаннями та фактами дійсності також дозволяють виявляти недоліки постановки економічного завдання, сконструйованої математичної моделі, її інформаційного та математичного забезпечення.

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Основу ефективності банківського менеджменту становить планомірний контроль за оптимальністю, збалансованістю та стійкістю функціонування у розрізі всіх елементів, що формують ресурсний потенціал та визначають перспективи динамічного розвитку кредитної установи. Його методи та інструменти вимагають модернізації з урахуванням економічних умов, що змінюються. Водночас необхідність удосконалення механізму реалізації нових банківських технологій зумовлює доцільність наукового пошуку.

Інтегральні коефіцієнти фінансової стійкості (КФУ) комерційних банків, що використовуються в існуючих методиках, часто характеризують збалансованість їх стану, але не дозволяють дати повну характеристику тенденції розвитку. Слід враховувати, що результат (КФУ) залежить від багатьох випадкових причин (ендогенного та екзогенного характеру), які не можуть бути повністю враховані.

У зв'язку з цим виправдано розглядати можливі результати дослідження сталого стану банків як випадкові величини, що мають однаковий розподіл ймовірностей, оскільки дослідження проводяться за однією і тією самою методикою з використанням однакового підходу. З іншого боку, вони взаємно незалежні, тобто. Результат кожного окремого коефіцієнта залежить від значень інших.

Зваживши на те, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і тільки одне можливе значення, укладаємо, що події x1 , x2 , …, xnутворюють повну групу, отже, сума їх ймовірностей дорівнюватиме 1: p1 +p2 +…+pn=1 .

Дискретна випадкова величина X- Коефіцієнт фінансової стійкості банку «А», Y- Банку «В», Z- Банку "С" за заданий період. З метою отримання результату, що дає підстави зробити висновок про стійкість розвитку банків, оцінка була здійснена на базі 12-річного ретроспективного періоду (табл.1).

Таблиця 1

Порядковий номер року Банк «А» Банк «В» Банк «С»11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,113 2451,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3280,4

Для кожної вибірки за певним банком значення розбиті на Nінтервалів, визначено мінімальне та максимальне значення. Процедура визначення оптимальної кількості груп полягає в застосуванні формули Стерджесса:

N= 1 +3,322 * ln N;

N= 1 +3,322 * ln12 = 9,525?10,

Де n- Число груп;

N- Число сукупності.

h=(КФУmax- КФУmin) / 10.

Таблиця 2

Межі інтервалів значень дискретних випадкових величин X, Y, Z (коефіцієнтів фінансової стійкості) та частоти появи даних значень у зазначених межах

Номер інтервалуМежі інтервалівЧастота появи (n )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Виходячи зі знайденого кроку інтервалу, було розраховано межі інтервалів шляхом додавання до мінімального значення знайденого кроку. Отримане значення – це межа першого інтервалу (ліва межа – LG). Для знаходження другого значення (правої межі PG) до знайденої першої межі знову додає я крок і т.д. Кордон останнього інтервалу збігається з максимальним значенням:

LG1 = КФУmin;

PG1 = КФУmin+h;

LG2 =PG1;

PG2 =LG2 +h;

PG10 = КФУmax.

Дані за частотою влучення коефіцієнтів фінансової стійкості (дискретних випадкових величин X, Y, Z) згруповані в інтервали, і визначена ймовірність влучення їх значень у задані межі. У цьому ліве значення кордону входить у інтервал, а праве - немає (табл.3).

Таблиця 3

Розподіл дискретних випадкових величин X, Y, Z

ПоказникЗначення показникаБанк «А»X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Банк «В»Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Банк «С»Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

По частоті появи значень nзнайдено їх ймовірності (частота появи ділиться на 12, виходячи з одиниць сукупності), а також як значення дискретних випадкових величин були використані середини інтервалів. Закони їх розподілу:

Pi= ni /12;

Xi= (LGi+PGi)/2.

З розподілу можна будувати висновки про ймовірність нестійкого розвитку кожного банка:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Так із ймовірністю 0,083 банк «А» може досягти значення коефіцієнта фінансової стійкості, що дорівнює 0,853. Інакше кажучи, ймовірність те, що його витрати перевищать доходи, становить 8,3 %. По банку «В» ймовірність падіння коефіцієнта нижче одиниці також склала 0,083, проте з урахуванням динамічного розвитку організації це зниження все ж таки виявиться незначним - до 0,926. Нарешті, висока ймовірність (16,7%), що діяльність банку «С» за інших рівних умов охарактеризується значенням фінансової стійкості, рівним 0,835.

У той самий час у таблицях розподілів можна побачити ймовірність сталого розвитку банків, тобто. суму ймовірностей, де варіанти коефіцієнтів мають значення, більше 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Можна спостерігати, що найменш сталий розвиток очікується у банку «С».

У цілому нині закон розподілу задає випадкову величину, проте частіше доцільніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно. Їх називають числовими характеристиками випадкової величини, до них належать математичне очікування. Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини і воно тим більше наближається до середнього значення, чим більше було проведено випробувань.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів усіх можливих величин з її ймовірності:

M(X) = x1 p1 +x2 p2 +…+xnpn

Результати розрахунків значень математичних очікувань випадкових величин наведено в табл.4.

Таблиця 4

Числові характеристики дискретних випадкових величин X, Y, Z

БанкМатематичне очікуванняДисперсіяСереднє квадратичне відхилення"А" M(X) = 1,187D(X) = 0,027 ?(x) = 0,164«В»M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010 ?(y) = 0,101«С»M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012? (z) = 0,112

Отримані математичні очікування дозволяють оцінити середні значення ймовірних значень коефіцієнта фінансової стійкості в майбутньому.

Так, за розрахунками, можна судити, що математичне очікування сталого розвитку банку «А» становить 1,187. Математичне очікування банків «В» та «С» складає 1,124 та 1,037 відповідно, що відображає передбачувану дохідність їх роботи.

Однак, знаючи лише математичне очікування, що показує «центр» передбачуваних можливих значень випадкової величини - КФУ, ще не можна судити ні про його можливі рівні, ні про ступінь їх розсіяності навколо отриманого математичного очікування.

Інакше кажучи, математичне очікування через свою природу повністю стійкості розвитку банку не характеризує. З цієї причини виникає необхідність обчислення інших числових характеристик: дисперсії та середньоквадратичного відхилення. Які дозволяють оцінити рівень розсіяності можливих значень коефіцієнта фінансової стійкості. Математичні очікування та середні квадратичні відхилення дозволяють оцінити інтервал, в якому будуть знаходитись можливі значення коефіцієнтів фінансової стійкості кредитних організацій.

При порівняно високому характерному значенні математичного очікування стійкості банку «А» середнє квадратичне відхилення становило 0,164, що свідчить, що стійкість банку може або підвищитися цю величину, або знизитися. При негативній зміні стійкості (що все ж таки малоймовірно, враховуючи отриману ймовірність збиткової діяльності, рівну 0,083) коефіцієнт фінансової стійкості банку залишиться позитивним - 1,023 (див. табл. 3)

Діяльність банку «В» при математичному очікуванні 1,124, характеризується меншим розмахом значень коефіцієнта. Так, навіть за несприятливого збігу обставин банк залишиться стійким, оскільки середнє квадратичне відхилення від прогнозованого значення склало 0, 101, що дозволить йому залишитися в позитивній зоні доходності. Отже, можна дійти невтішного висновку про стійкість розвитку цього банку.

Банк «С», навпаки, за невисокого математичного очікування своєї надійності (1, 037) зіткнеться за інших рівних умов з неприпустимим йому відхиленням, рівним 0,112. За несприятливої ​​ситуації, а також з огляду на високий відсоток ймовірності збиткової діяльності (16,7%), дана кредитна організація, швидше за все, знизить свою фінансову стійкість до 0,925.

Важливо зауважити, що, зробивши висновки про стійкість розвитку банків, не можна заздалегідь впевнено передбачити, яке з можливих значень прийме коефіцієнт фінансової стійкості в результаті випробування; це залежить від багатьох причин, врахувати які неможливо. З цієї позиції про кожну випадкову величину ми маємо дуже скромні відомості. У зв'язку з чим навряд чи можна встановити закономірності поведінки та суми досить великої кількості випадкових величин.

Однак виявляється, що за деяких порівняно широких умов сумарна поведінка досить великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірною.

Оцінюючи стійкість розвитку банків, залишається оцінити ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування не перевищує абсолютної величини позитивного числа ?.Дати цікаву для нас оцінку дозволяє нерівність П.Л. Чебишева. Імовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування за абсолютною величиною менше позитивного числа ? не менше як :

або у випадку зворотної ймовірності:

Враховуючи ризик, пов'язаний із втратою стійкості, проведемо оцінку ймовірності відхилення дискретної випадкової величини від математичного очікування в меншу сторону і, вважаючи рівноймовірними відхилення від центрального значення як меншу, так і більшу сторону, перепишемо нерівність ще раз:

Далі, виходячи з поставленого завдання необхідно оцінити ймовірність того, що майбутнє значення коефіцієнта фінансової стійкості не виявиться нижчим за 1 від пропонованого математичного очікування (для банку «А» значення ?приймемо рівне 0,187, для банку "В" - 0,124, для "С" - 0.037) і зробимо розрахунок даної ймовірності:

банк «А»:

банк «С»:

Відповідно до нерівності П.Л. Чебишева, найстійкішим у розвитку є банк «В», оскільки ймовірність відхилення очікуваних значень випадкової величини від її математичного очікування невисока (0,325), у своїй порівняно менше, ніж у іншим банкам. На другому місці за порівняльною стійкістю розвитку розташовується банк «А», де коефіцієнт цього відхилення дещо вищий, ніж у першому випадку (0,386). У третьому банку ймовірність того, що значення коефіцієнта фінансової стійкості відхилитися в ліву сторону від математичного очікування більше ніж на 0,037 є практично достовірною подією. Тим більше, якщо врахувати, що ймовірність не може бути більшою за 1, що перевищують значення, згідно з доказом Л.П. Чебишева, необхідно приймати за 1. Іншими словами, факт того, що розвиток банку може перейти в нестійку зону, що характеризується коефіцієнтом фінансової стійкості менше 1, є достовірною подією.

Таким чином, характеризуючи фінансовий розвиток комерційних банків, можна зробити такі висновки: математичне очікування дискретної випадкової величини (середнє очікуване значення коефіцієнта фінансової стійкості) банку А дорівнює 1,187. Середнє відхилення цієї дискретної величини становить 0,164, що об'єктивно характеризує невеликий розкид значень коефіцієнта від середнього числа. Однак ступінь нестійкості цього ряду підтверджується досить високою ймовірністю негативного відхилення коефіцієнта фінансової стійкості від 1, що дорівнює 0,386.

Аналіз діяльності другого банку показав, що математичне очікування КФУ дорівнює 1,124 за середнього квадратичного відхилення 0,101. Отже, діяльність кредитної організації характеризується невеликим розкидом значень коефіцієнта фінансової стійкості, тобто. є більш концентрованою та стабільною, що підтверджується порівняно низькою ймовірністю (0,325) переходу банку до зони збитковості.

Стійкість банку «С» характеризується невисоким значенням математичного очікування (1,037) і навіть невеликим розкидом значень (середньоквадратичне відхилення дорівнює 0,112). Нерівність Л.П. Чебишева доводить те що, що можливість отримання негативного значення коефіцієнта фінансової стійкості дорівнює 1, тобто. очікування позитивної динаміки його розвитку за інших рівних умов буде дуже необгрунтованим. Таким чином, запропонована модель, що базується на визначенні існуючого розподілу дискретних випадкових величин (значень коефіцієнтів фінансової стійкості комерційних банків) і підтверджується оцінкою їхнього рівноймовірнісного позитивного або негативного відхилення від отриманого математичного очікування, дозволяє визначити її поточний та перспективний рівень.

Висновок

Застосування математики в економічній науці дало поштовх у розвитку як самої економічної науці, так і прикладної математики в частині методів економіко-математичної моделі. Прислів'я каже: «Сім разів відміряй – Один раз відріж». Використання моделей є час, сили, матеріальні засоби. Крім того, розрахунки за моделями протистоять вольовим рішенням, оскільки дозволяють заздалегідь оцінити наслідки кожного рішення, відкинути неприпустимі варіанти та рекомендувати найбільш вдалі. Економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичним завданням економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів; по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників; по-третє, вироблення управлінських рішень всіх рівнях управління.

У роботі було з'ясовано, що економіко-математичні моделі можна поділити за ознаками:

· цільового призначення;

· урахування фактора часу;

· тривалості аналізованого періоду;

· мети створення та застосування;

· урахування фактора невизначеності;

· типу математичного апарату;

Опис економічних процесів та явищ як економіко-математичних моделей базується на використанні одного з економіко-математичних методів, які застосовуються на всіх рівнях управління.

Особливо велику роль набувають економіко-математичних методів у міру впровадження інформаційних технологій у всіх галузях практики. Також було розглянуто основні етапи процесу моделювання, а саме:

· постановка економічної проблеми та її якісний аналіз;

· побудова математичної моделі;

· математичний аналіз моделі;

· підготовка вихідної інформації;

· чисельне рішення;

· аналіз чисельних результатів та їх застосування.

У роботі було представлено статтю кандидата економічних наук, доцента кафедри фінансів та кредиту С.В. Бойко, в якій наголошується, що перед вітчизняними кредитними організаціями, що піддаються впливу зовнішнього середовища, стоїть завдання пошуку управлінських інструментів, що передбачають реалізацію раціональних антикризових заходів, спрямованих на стабілізацію темпів зростання базових показників їхньої діяльності. У зв'язку з цим підвищується важливість адекватного визначення фінансової стійкості за допомогою різних методик і моделей, одним із різновидів яких є стохастичні (імовірнісні) моделі, що дозволяють не тільки виявити передбачувані фактори зростання або зниження стійкості, але й сформувати комплекс превентивних заходів щодо її збереження.

Потенційна можливість математичного моделювання будь-яких економічних об'єктів та процесів не означає, зрозуміло, її успішної здійсненності при цьому рівні економічних та математичних знань, наявної конкретної інформації та обчислювальної техніки. І хоча не можна вказати абсолютні межі математичної формалізованості економічних проблем, завжди існуватимуть ще неформалізовані проблеми, а також ситуації, де математичне моделювання недостатньо ефективне.

Список літератури

1)Красс М.С. Математика для економічних спеціальностей: Підручник. -4-е вид., Випр. - М.: Справа, 2003.

)Іванілов Ю.П., Лотов А.В. Математичні моделі економіки. - М: Наука, 2007.

)Ашманов С.А. Введення у математичну економіку. - М: Наука, 1984.

)Гатаулін А.М., Гаврилов Г.В., Сорокіна Т.М. та ін Математичне моделювання економічних процесів. - М: Агропромиздат, 1990.

)За ред. Федосєєва В.В. Економіко-математичні методи та прикладні моделі: Навчальний посібник для ВНЗ. - М: ЮНІТІ, 2001.

)Савицька Г.В. Економічний аналіз: Підручник. - 10-те вид., Випр. - М: Нове знання, 2004.

)Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. М: Вища школа, 2002

)Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія: навч. посібник для вузів/Є.С. Вентцель. - 4-те вид., стереотип. - М.: Дроф, 2006. - 206, с. : іл.

)Математика економіки: навчальний посібник/ С.В.Юдин. - М: Вид-во РГТЕУ, 2009.-228 с.

)Кочетигов А.А. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. Посібник/Тул. Держ. Ун-т. Тула, 1998. 200с.

)Бойко С.В, ймовірні моделі в оцінці фінансової стійкості кредитних організацій / С.В. Бойко// Фінанси та кредит. – 2011. N 39. –

Репетиторство

Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?

Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.