Математичні пропорції. Завдання на відсотки: стандартний розрахунок за допомогою пропорцій

З погляду математики, пропорцією є рівність двох відносин. Взаємозалежність й у всіх частин пропорції, як і його постійний результат. Зрозуміти, як скласти пропорцію можна, ознайомившись із властивостями та формулою пропорції. Щоб розібратися з принципом розв'язання пропорції, достатнім буде розглянути один приклад. Тільки безпосередньо вирішуючи пропорції, можна легко та швидко навчитися цим навичкам. А ця стаття допоможе читачеві в цьому.

Властивості пропорції та формула

Звернення пропорції. У разі коли задана рівність виглядає як 1a: 2b =3c: 4d, записують 2b: 1a = 4d: 3c. (Причому 1a, 2b, 3c та 4d є простими числами, відмінними від 0).
Перемноження заданих членів пропорції навхрест. У буквеному виразі це має такий вигляд: 1a: 2b = 3c: 4d, а запис 1a4d = 2b3c буде йому рівносильним. Таким чином, добуток крайніх частин будь-якої пропорції (числа по краях рівності) завжди є рівним добутку середніх частин (чисел, розташованих посередині рівності).
При складанні пропорції може стати в нагоді і таку її властивість, як перестановка крайніх і середніх членів. Формулу рівності 1a: 2b = 3c: 4d можна відобразити такими варіантами:
- 1a: 3c = 2b: 4d (коли переставляють середні члени пропорції).
- 4d: 2b = 3c: 1a (коли переставляють крайні члени пропорції).
Прекрасно допомагає у вирішенні пропорції її властивість збільшення та зменшення. При 1a: 2b = 3c: 4d записують:
- (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (рівність зі збільшенням пропорції).
- (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (рівність зменшення пропорції).
Скласти пропорцію можна додаванням і відніманням. Коли пропорція записана як 1a: 2b = 3c: 4d, тоді:
- (1a + 3с): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена додаванням).
- (1a – 3с): (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена відніманням).
Також, при вирішенні пропорції, що містить дробові чи великі числа, можна розділити або помножити обидва її члени на однакове число. Наприклад, складові пропорції 70:40=320:60, можна записати так: 10*(7:4=32:6).
Варіант вирішення пропорції із відсотками виглядає так. Наприклад, записують, 30 = 100%, 12 = x. Тепер слід перемножити середні члени (12*100) та розділити на відомий крайній (30). Отже, виходить відповідь: x=40%. Подібним способом можна за необхідності здійснювати перемноження відомих крайніх членів і ділити їх на задане середнє число, отримуючи результат, який шукає.

Якщо Вас цікавить конкретна формула пропорції, то в найпростішому та найпоширенішому варіанті пропорція являє собою таку рівність (формулу): a/b = c/d, в ньому a, b, c і d є відмінними від нуля чотирма числами.

Завдання 1. Товщина 300 аркушів паперу для принтера становить 3, 3 см. Яку товщину матиме пачка з 500 аркушів такого самого паперу?

Рішення.Нехай х см – товщина пачки паперу із 500 аркушів. Двома способами знайдемо товщину одного аркуша паперу:

3,3: 300 або х : 500.

Оскільки аркуші паперу однакові, ці два відносини рівні між собою. Отримуємо пропорцію ( нагадування: пропорція - це рівність двох відносин):

х = (3,3 · 500): 300;

х = 5,5. Відповідь:пачка 500 листів паперу має товщину 5,5 см.

Це класичне міркування та оформлення розв'язання задачі. Такі завдання часто включають до тестових завдань для випускників, які зазвичай записують рішення в такому вигляді:

або вирішують усно, розмірковуючи так: якщо 300 листів мають товщину 3,3 см, то 100 листів мають товщину в 3 рази меншу. Ділимо 3,3 на 3, отримуємо 1,1 см. Це товщина 100 листової пачки паперу. Отже, 500 листів матимуть товщину в 5 разів більшу, тому 1,1 см множимо на 5 і отримуємо відповідь: 5,5 см.

Зрозуміло, що це виправдано, оскільки час тестування випускників та абітурієнтів обмежений. Однак, на цьому занятті ми міркуватимемо і записуватимемо рішення так, як належить це робити в 6 класі.

Завдання 2.Скільки води міститься в 5 кг кавуна, якщо відомо, що кавун складається з 98% води?

Рішення.

Вся вага кавуна (5 кг) становить 100%. Вода становитиме х кг або 98%. Двома способами можна визначити, скільки кг припадає на 1% маси.

5: 100 або х : 98. Отримуємо пропорцію:

5: 100 = х : 98.

х = (5 · 98): 100;

х = 4,9 Відповідь: у 5кгкавуна міститься 4,9 кг води.

Маса 21 літра нафти складає 16,8 кг. Яка маса 35 літрів нафти?

Рішення.

Нехай маса 35 літрів нафти становить x кг. Тоді двома способами можна знайти масу 1 літра нафти:

16,8: 21 або х : 35. Отримуємо пропорцію:

16,8: 21=х : 35.

Знаходимо середній член пропорції. Для цього перемножуємо крайні члени пропорції ( 16,8 і 35 ) і ділимо на відомий середній член ( 21 ). Скоротимо дріб на 7 .

Помножуємо чисельник і знаменник дробу на 10 щоб у чисельнику і знаменнику були тільки натуральні числа. Скорочуємо дріб на 5 (5 і 10) та на 3 (168 та 3).

Відповідь: 35 літрів нафти мають масу 28 кг.

Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?

Рішення.

Нехай площа всього поля х га, що становить 100%. Залишилося зорати 9 га, що становить 100% - 82% = 18% всього поля. Двома способами виразимо 1% площі поля. Це:

х : 100 або 9 : 18. Складаємо пропорцію:

х : 100 = 9: 18.

Знаходимо невідомий крайній член пропорції. Для цього перемножуємо середні члени пропорції ( 100 і 9 ) і ділимо на відомий крайній член ( 18 ). Скорочуємо дріб.

Відповідь: площа всього поля 50 га.

Сторінка 1 з 1 1

Скласти пропорцію. У цій статті хочу поговорити з вами про пропорцію. Розуміти, що таке пропорція, вміти складати її – це дуже важливо, вона справді рятує. Це начебто маленька і незначна «літерка» у великому алфавіті математики, але без неї математика приречена бути кульгавою та неповноцінною.Спочатку нагадаю, що таке пропорція. Це рівність виду:

що те саме (це різна форма запису).

Приклад:

Кажуть – один відноситься до двох так само, як чотири відноситься до восьми. Тобто це рівність двох відносин (у цьому прикладі відносини числові).

Основне правило пропорції:

a:b=c:d

добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх

тобто

a∙d=b∙c

*Якщо будь-яка величина в пропорції невідома, її можна знайти.

Якщо розглядати форму запису виду:

то можна використовувати таке правило, його називають «правило хреста»: записується рівність творів елементів (чисел або виразів), що стоять по діагоналі

a∙d=b∙c

Як бачите результат той самий.

Якщо три елементи пропорції відомі, томи завжди можемо знайти четверте.

Саме в цьому суть користі та необхідністьпропорції під час вирішення завдань.

Давайте розглянемо всі варіанти, де невідома величина х знаходиться в будь-якому місці пропорції, де a, b, c - числа:

Величина, що стоїть по діагоналі від х записується в знаменник дробу, а відомі величини, що стоять по діагоналі, записуються в чисельник, як добуток. Його запам'ятовувати не обов'язково, ви і так все правильно обчислите, якщо засвоїли головне правило пропорції.

Тепер головне питання, пов'язане із назвою статті. Коли пропорція рятує та де використовується? Наприклад:

1. Насамперед це завдання відсотки. Ми розглядали їх у статтях "" та "".

2. Багато формул задані у вигляді пропорцій:

> теорема синусів

> відношення елементів у трикутнику

> теорема тангенсів

> теорема Фалеса та інші.

3. У завданнях з геометрії в умові часто задається відношення сторін (інших елементів) або площ, наприклад, 1:2, 2:3 та інші.

4. Переклад одиниць виміру, причому пропорція використовується для переведення одиниць як в одній мірі, так і для переведення з одного заходу до іншого:

- Годинник у хвилини (і навпаки).

- Одиниці об'єму, площі.

- Довжини, наприклад милі в кілометри (і навпаки).

- градуси в радіани (і навпаки).

тут без складання пропорції не обійтися.

Ключовий момент у тому, що потрібно правильно встановити відповідність, розглянемо прості приклади:

Необхідно визначити число, що становить 35% від 700.

У завдання на проценти за 100% приймається та величина, з якою порівнюємо. Невідоме число позначимо як х. Встановимо відповідність:

Можна сміливо сказати, що сімсот тридцяти п'яти відповідає 100 відсотків.

Ікс відповідає 35 відсотків. Значить,

700 – 100%

х – 35%

Вирішуємо

Відповідь: 245

Переведемо 50 хвилин на годину.

Ми знаємо, що одній годині відповідає 60 хвилин. Позначимо відповідність -x годин це 50 хвилин. Значить

1 – 60

х – 50

Вирішуємо:

Тобто 50 хвилин це п'ять шостих годин.

Відповідь: 5/6

Микола Петрович проїхав 3 кілометри. Скільки це буде за милі (врахувати, що 1 миля це 1,6 км)?

Відомо, що 1 миля – це 1,6 кілометра. Число миль, які проїхав Микола Петрович приймемо за х. Можемо встановити відповідність:

Однією милі відповідає 1,6 км.

Ікс миль це три кілометри.

1 – 1,6

х – 3

Відповідь: 1,875 миль

Ви знаєте, що для переведення градусів у радіани (і назад) існують формули. Я їх не записую, тому що запам'ятовувати їх вважаю зайвим, і так вам у пам'яті доводиться тримати багато інформації. Ви завжди зможете перевести градуси у радіани (і назад), якщо скористаєтеся пропорцією.

Переведемо 65 градусів у радіальну міру.

Головне це запам'ятати, що 180 градусів – це Пі радіан.

Позначимо шукану величину як х. Встановлюємо відповідність.

Ста вісімдесяти градусів відповідає Пі радіан.

Шістдесят п'ять градусів відповідає х радіан. вивчити статтю на цю тему на блозі. Матеріал у ній викладено трохи інакше, але принцип той самий. На цьому закінчу. Обов'язково буде ще щось цікавеньке, не пропустіть!

Якщо згадати саме визначення математики, то в ньому є такі слова: математика вивчає кількісні ВІДНОСИНИ (ВІДНОСИНИ- тут ключове слово). Як бачите у самому визначенні математики закладено пропорцію. Втім, математика без пропорції це не математика!

Всього найкращого!

З повагою, Олександр

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Минулого відеоуроку ми розглядали розв'язання задач на відсотки за допомогою пропорцій. Тоді за умовою завдання нам потрібно було знайти значення тієї чи іншої величини.

На цей раз вихідне і кінцеве значення нам уже дано. Тому в завданнях буде потрібно знайти відсотки. Точніше, на скільки відсотків змінилася та чи інша величина. Давайте спробуєм.

Завдання. Кросівки коштували 3200 рублів. Після підвищення ціни вони стали коштувати 4000 рублів. На скільки відсотків було підвищено ціну на кросівки?

Отже, вирішуємо через пропорцію. Перший крок - вихідна ціна дорівнювала 3200 рублів. Отже, 3200 рублів – це 100%.

Крім того, нам дана кінцева ціна - 4000 рублів. Це невідома кількість відсотків, тому позначимо його за x. Отримаємо таку конструкцію:

3200 — 100%
4000 - x%

Що ж, умова завдання записана. Складаємо пропорцію:

Дроб зліва чудово скорочується на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Крім того, можна скоротити на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Отримаємо таку пропорцію:

Скористаємося основною властивістю пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх. Отримуємо:

8 · x = 100 · 10;
8x = 1000.

Це звичайне лінійне рівняння. Звідси знаходимо x:

x = 1000: 8 = 125

Отже, ми отримали підсумковий відсоток x = 125. Але чи є число 125 розв'язанням задачі? Ні, ні в якому випадку! Тому що завдання потрібно дізнатися, на скільки відсотків була підвищена ціна на кросівки.

На скільки відсотків це означає, що нам потрібно знайти зміну:

∆ = 125 − 100 = 25

Отримали 25% — саме настільки було підвищено вихідну ціну. Це є відповіддю: 25.

Завдання B2 на відсотки №2

Переходимо до другого завдання.

Завдання. Сорочка коштувала 1800 рублів. Після зниження ціни вона стала коштувати 1530 рублів. На скільки відсотків було знижено ціну на сорочку?

Перекладаємо умову на математичну мову. Вихідна вартість 1800 рублів — це 100%. А підсумкова ціна 1530 рублів - вона нам відома, але невідомо скільки відсотків вона становить від вихідної величини. Тому позначимо її за x. Отримаємо таку конструкцію:

1800 — 100%
1530 - x%

На основі отриманого запису складаємо пропорцію:

Давайте для спрощення подальших обчислень розділимо обидві частини даного рівняння на 100. Іншими словами, у чисельника лівого та правого дробу ми закреслимо два нулі. Отримаємо:

Тепер знову скористаємося основною властивістю пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх.

18 · x = 1530 · 1;
18x = 1530.

Залишилось знайти x :

x = 1530: 18 = (765 · 2): (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45): 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Ми отримали, що x = 85. Але, як і в минулому завданні, це число не є відповіддю. Повернімося до нашої умови. Тепер ми знаємо, що нова ціна, одержана після зниження, становить 85% від старої. І щоб знайти зміни, потрібно зі старої ціни, тобто. 100%, відняти нову ціну, тобто. 85%. Отримаємо:

∆ = 100 − 85 = 15

Це число і буде відповіддю: Зверніть увагу: саме 15, а в жодному разі не 85. Ось і все! Завдання вирішено.

Уважні учні, напевно, запитають: чому в першому завданні ми при знаходженні різниці вичитали з кінцевого числа початкове, а в другому задачі надійшли в точності навпаки: з вихідних 100% відняли кінцеві 85%?

Давайте прояснимо цей момент. Формально, в математиці зміною величини завжди називається різниця між кінцевим значенням та початковим. Іншими словами, у другому завданні ми мали вийти не 15, а −15.

Однак цей мінус у жодному разі не повинен потрапити у відповідь, тому що він уже врахований за умови вихідного завдання. Там прямо сказано про зниження ціни. А зниження ціни на 15% — це те саме, що підвищення ціни на −15%. Саме тому у вирішенні та відповіді завдання достатньо написати просто 15 — без жодних мінусів.

Усі, сподіваюся, з цим моментом ми розібралися. На цьому наш сьогоднішній урок закінчено. До нової зустрічі!

Пропорція - це математичне вираз, у якому два чи більше числа порівнюються один з одним. У пропорціях можуть порівнюватися абсолютні величини та кількості абочастини більшого цілого. Пропорції можна записувати і обчислювати кількома різними способами, проте в основі лежить той самий загальний принцип.

Кроки

Частина 1

Що таке пропорція

Дізнайтеся, навіщо служать пропорції.Пропорції використовуються як у наукових дослідженнях, так і в повсякденному житті для порівняння різних величин та кількостей. У найпростішому випадку порівнюються два числа, але пропорція може включати будь-яку кількість величин. При порівнянні двох або більше величин завжди можна застосувати пропорцію. Знання того, як величини співвідносяться одна з одною, дозволяє, наприклад, записати хімічні формули або рецепти різних страв. Пропорції знадобляться вам для різних цілей.

Ознайомтеся з тим, що означає пропорція.Як зазначено вище, пропорції дозволяють визначити співвідношення між двома та більше величинами. Наприклад, якщо для приготування печива необхідно 2 склянки борошна та 1 склянка цукру, ми говоримо, що між кількістю борошна та цукру існує пропорція (ставлення) 2 до 1.
- За допомогою пропорцій можна показати, як різні величини ставляться одна до одної, навіть якщо вони не пов'язані між собою безпосередньо (на відміну рецепту). Наприклад, якщо в класі п'ять дівчаток і десять хлопчиків, відношення кількості дівчаток до хлопчиків становить 5 до 10. У цьому випадку одне число не залежить від іншого і не пов'язане з ним безпосередньо: пропорція може змінитися, якщо хтось залишить клас або навпаки , до нього прийдуть нові учні Пропорція легко дозволяє порівняти дві величини.
Зверніть увагу на різні способи вираження пропорцій.Пропорції можна записати словами або використати математичні символи.
- У повсякденному житті пропорції частіше висловлюють словами (як наведено вище). Пропорції використовуються в різних областях, і якщо ваша професія не пов'язана з математикою або іншою наукою, найчастіше вам буде траплятися саме такий спосіб запису пропорцій.
- Пропорції часто записують за допомогою двокрапки. При порівнянні двох чисел за допомогою пропорції їх можна записати через двокрапку, наприклад 7:13. Якщо порівнюється більше двох чисел, двокрапка ставиться послідовно між кожними двома числами, наприклад 10:2:23. У наведеному вище прикладі для класу ми порівнюємо кількість дівчаток та хлопчиків, причому 5 дівчаток: 10 хлопчиків. Таким чином, пропорцію можна записати у вигляді 5:10.
- Іноді під час запису пропорцій використовують знак дробу. У прикладі з класом ставлення 5 дівчаток до 10 хлопчикам запишеться як 5/10. І тут слід читати знак “ділити” і пам'ятати, що це дріб, а співвідношення двох різних чисел.
Частина 2
Операції із пропорціями
1. Наведіть пропорцію до найпростішої форми.Пропорції можна спрощувати, як і дроби, за рахунок скорочення членів, що входять до них, на спільний дільник . Щоб спростити пропорцію, поділіть всі числа, що входять до неї, на спільні дільники. Однак при цьому не слід забувати про початкові величини, що призвели до цієї пропорції.
  - У наведеному вище прикладі з класом із 5 дівчаток і 10 хлопчиків (5:10) обидві сторони пропорції мають спільний дільник 5. Поділивши обидві величини на 5 (найбільший загальний дільник), отримуємо відношення 1 дівчинка на 2 хлопчики (тобто 1:2) . Однак при використанні спрощеної пропорції слід пам'ятати про початкові числа: у класі не 3 учні, а 15. Скорочена пропорція лише показує відношення між кількістю дівчаток та хлопчиків. На кожну дівчинку припадає два хлопчики, але це аж ніяк не означає, що в класі 1 дівчинка та 2 хлопчики.
  - Деякі пропорції не піддаються спрощенням. Наприклад, відношення 3:56 не можна скоротити, так як величини, що входять у пропорцію, не мають спільного дільника: 3 є простим числом, а 56 не ділиться на 3.
2. Для “масштабування” пропорції можна множити чи ділити.Пропорціями часто користуються у тому, щоб збільшити чи зменшити числа пропорції друг до друга. Множення або розподіл всіх величин, що входять в пропорцію, на одне і те ж число зберігає незмінним відношення між ними. Отже, пропорції можна множити чи ділити на “масштабний” чинник.
  - Припустимо, пекарю необхідно потроїти кількість печива, що випікається. Якщо борошно та цукор беруться у пропорції 2 до 1 (2:1), для збільшення кількості печива втричі цю пропорцію слід помножити на 3. У результаті вийде 6 склянок борошна на 3 склянки цукру (6:3).
  - Можна чинити і навпаки. Якщо пекарю необхідно зменшити кількість печива вдвічі, слід обидві частини пропорції поділити на 2 (або помножити на 1/2). В результаті вийде 1 склянка борошна на півсклянки (1/2, або 0,5 склянки) цукру.
3. Навчіться за двома еквівалентними пропорціями знаходити невідому величину.Ще одним поширеним завданням, для вирішення якої широко використовуються пропорції, є знаходження невідомої величини в одній із пропорцій, якщо дана аналогічна їй друга пропорція. Правило множення дробів значно спрощує це завдання. Запишіть кожну пропорцію у вигляді дробу, потім прирівняйте ці дроби один одному і знайдіть потрібну величину.
  - Припустимо, у нас є невелика група учнів із 2 хлопчиків та 5 дівчаток. Якщо ми хочемо зберегти співвідношення між хлопчиками та дівчатками, скільки хлопчиків має бути у класі, до якого входить 20 дівчаток? Для початку складемо обидві пропорції, одна з яких містить невідому величину: 2 хлопчики: 5 дівчаток = х хлопчиків: 20 дівчаток. Якщо ми запишемо пропорції у вигляді дробів, у нас вийде 2/5 та x/20. Після множення обох частин рівності знаменники отримуємо рівняння 5x=40; ділимо 40 на 5 і в результаті знаходимо x = 8.
Частина 3
Виявлення помилок
1. При операціях з пропорціями уникайте складання та віднімання.Багато завдань із пропорціями звучать подібно до наступної: “Для приготування страви потрібно 4 картоплини та 5 морквин. Якщо ви хочете використовувати 8 картоплин, скільки морквин вам знадобиться? Багато хто припускається помилки і намагається просто скласти відповідні величини. Проте задля збереження колишньої пропорції слід множити, а чи не складати. Ось помилкове і правильне вирішення цієї задачі:
  - Неправильний метод: “8 - 4 = 4, тобто у рецепті додалося 4 картоплини. Значить, необхідно взяти попередні 5 морквин і додати до них 4, щоб... щось не те! Із пропорціями діють по-іншому. Спробуємо ще раз".
  - Правильний метод: “8/4 = 2, тобто кількість картоплин зросла вдвічі. Це означає, що число морквин слід помножити на 2. 5 x 2 = 10, тобто у новому рецепті необхідно використовувати 10 морквин“.
2. Переведіть усі значення в однакові одиниці виміру.Іноді проблема виникає через те, що величини мають різні одиниці виміру. Перш ніж записувати пропорцію, переведіть усі величини в однакові одиниці виміру. Наприклад:
  - Дракон має 500 грамів золота і 10 кілограмів срібла. Яким є співвідношення золота до срібла в драконьих запасах?
  - Грами та кілограми є різними одиницями виміру, тому їх слід уніфікувати. 1 кілограм = 1 000 грамів, тобто 10 кілограмів = 10 кілограмів x 1 000 грамів/1 кілограм = 10 x 1 000 грамів = 10 000 грамів.
  - Отже, дракон має 500 г золота і 10 000 г срібла.
  - Відношення маси золота до маси срібла становить 500 г золота/10 000 г срібла = 5/100 = 1/20.
3. Записуйте у розв'язанні задачі одиниці виміру.У задачах із пропорціями набагато легше знайти помилку у тому випадку, якщо записувати після кожної величини її одиниці виміру. Пам'ятайте про те, що якщо в чисельнику та знаменнику стоять однакові одиниці виміру, вони скорочуються. Після всіх можливих скорочень у відповіді мають вийти правильні одиниці виміру.
  - Наприклад: дано 6 коробок, і в кожних трьох коробках знаходиться 9 кульок; скільки всього кульок?
  - Неправильний метод: 6 коробок х 3 коробки/9 кульок = ... Хм, нічого не скорочується, і у відповіді виходить “коробки x коробки/кульки“. Це не має сенсу.
  - Правильний метод: 6 коробок х 9 кульок/3 коробки = 6 коробок х 3 кульки/1 коробка = 6 х 3 кульки/1 = 18 кульок.