Математичні властивості множення. Сполучна та розподільна властивості множення

Накреслимо на листку в клітинку прямокутник зі сторонами 5 см і 3 см. Розіб'ємо його на квадрати зі стороною 1 см (рис. 143). Підрахуємо кількість клітин, розташованих у прямокутнику. Це можна зробити, наприклад, так.

Кількість квадратів зі стороною 1 см дорівнює 5*3. Кожен такий квадрат складається із чотирьох клітин. Тому загальна кількість клітин дорівнює (5 * 3) * 4.

Це завдання можна вирішити інакше. Кожен із п'ять стовпців прямокутника складається з трьох квадратів зі стороною 1 см. Тому в одному стовпці міститься 3*4 клітин. Отже, всього клітин буде 5*(3*4).

Підрахунок клітин малюнку 143 двома способами ілюструє сполучна властивість множеннядля чисел 5, 3 та 4 . Маємо: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого чи третього чисел.

(ab)c = a(bc)

З переміщувальних і комбінаційних властивостей множення випливає, що при множенні декількох чисел множники можна міняти місцями і укладати в дужки, тим самим визначаючи порядок обчислень .

Наприклад, вірні рівності:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На малюнку 144 відрізок AB ділить розглянутий вище прямокутник прямокутник і квадрат.

Підрахуємо кількість квадратів із стороною 1 см двома способами.

З одного боку, в квадраті, що утворився, їх міститься 3 * 3, а в прямокутнику - 3 * 2 . Усього отримаємо 3*3+3*2 квадратів. З іншого боку, у кожній із трьох рядків даного прямокутника знаходиться 3 + 2 квадрати. Тоді їх загальна кількість дорівнює 3*(3+2).

Равенсто 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 ілюструє розподільна властивість множення щодо додавання.

Щоб число помножити на суму двох чисел, можна це число помножити на кожен доданок та одержані твори скласти.

У буквеному вигляді цю властивість записують так:

a(b + c) = ab + ac

З розподільчої властивості множення щодо складання випливає, що

ab+ac=a(b+c).

Ця рівність дозволяє формулу P = 2 a + 2 b для знаходження периметра прямокутника записати у такому вигляді:

P = 2 (a + b).

Зауважимо, що розподільна властивість справедлива для трьох і більше доданків. Наприклад:

a(m+n+p+q) = am+an+ap+aq.

Також справедлива розподільна властивість множення щодо віднімання: якщо b > c або b = c, то

a(b − c) = ab − ac

приклад 1 . Обчисліть зручним способом:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Використовуємо переміщувальну, а потім поєднану властивості множення:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Маємо:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

приклад 2 . Спростіть вираз:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m - 13 m.

1 ) Використовуючи переміщувальну та поєднану властивості множення, отримуємо:

4 a * 3 b = (4 * 3) * ab = 12 ab.

2 ) Використовуючи розподільну властивість множення щодо віднімання, отримуємо:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

приклад 3 . Запишіть вираз 5 (2 m + 7 ) так, щоб він не містив дужок.

Відповідно до розподільчої властивості множення щодо складання маємо:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Таке перетворення називають розкриттям дужок.

приклад 4 . Обчисліть зручним способом значення виразу 125*24*283.

Рішення. Маємо:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

приклад 5 . Виконайте множення: 3 доби 18 год * 6 .

Рішення. Маємо:

3 діб 18 год * 6 = 18 діб 108 год = 22 діб 12 год.

При рішенні прикладу було використано розподільну властивість множення щодо додавання:

3 доби 18 год * 6 = (3 доби + 18 год) * 6 = 3 доби * 6 + 18 год * 6 = 18 діб + 108 год = 18 діб + 96 год + 12 год = 18 діб + 4 доби + 12 год = 22 діб 12 год.

Ми визначили складання, множення, віднімання та розподіл цілих чисел. Ці дії (операції) мають ряд характерних результатів, які називаються властивостями. У цій статті ми розглянемо основні властивості додавання та множення цілих чисел, з яких випливають всі інші властивості цих дій, а також властивості віднімання та поділу цілих чисел.

Навігація на сторінці.

Для складання цілих чисел характерні ще кілька важливих властивостей.

Одне пов'язані з існуванням нуля. Ця властивість складання цілих чисел стверджує, що додаток до будь-якого цілого числа нуля не змінює це число. Запишемо дану властивість додавання за допомогою літер: a+0=a і 0+a=a (ця рівність справедлива через переміщувальну властивість додавання), a – будь-яке ціле число. Можна почути, що ціле число нуль називають нейтральним елементом додавання. Наведемо кілька прикладів. Сума цілого числа -78 і нуля дорівнює -78; якщо до нуля додати ціле позитивне число 999 , то результаті отримаємо число 999 .

Тепер ми дамо формулювання чергового характеристики додавання цілих чисел, що з існуванням протилежного числа для будь-якого цілого числа. Сума будь-якого цілого числа з протилежним йому числом дорівнює нулю. Наведемо літерну форму запису цієї властивості: a+(−a)=0 , де a та −a – протилежні цілі числа. Наприклад, сума 901+(−901) дорівнює нулю; аналогічно сума протилежних цілих чисел -97 і 97 дорівнює нулю.

Основні властивості множення цілих чисел

Примноження цілих чисел притаманні всі властивості множення натуральних чисел. Перелічимо основні з цих властивостей.

Також як нуль є нейтральним цілим числом щодо додавання, одиниця є нейтральним цілим числом щодо множення цілих чисел. Тобто, множення будь-якого цілого числа на одиницю не змінює число, що множиться. Так 1·a=a , де a – будь-яке ціле число. Остання рівність можна переписати у вигляді a 1 = a це нам дозволяє зробити переміщувальну властивість множення. Наведемо два приклади. Добуток цілого числа 556 на 1 дорівнює 556; добуток одиниці та цілого негативного числа −78 дорівнює −78 .

Наступна властивість множення цілих чисел пов'язана з множенням на нуль. Результат множення будь-якого цілого числа a на нуль дорівнює нулю, Тобто, a · 0 = 0 . Також справедлива рівність 0·a=0 в силу переміщувальної властивості множення цілих чисел. У окремому випадку при a=0 добуток нуля на нуль дорівнює нулю.

Для множення цілих чисел також справедлива властивість, зворотна до попереднього. Воно стверджує, що добуток двох цілих чисел дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. У буквеному вигляді цю властивість можна записати так: a b = 0 , якщо a = 0 , або b = 0 , або і a і b рівні нулю одночасно.

Розподільча властивість множення цілих чисел щодо складання

Спільно додавання та множення цілих чисел нам дозволяє розглядати розподільну властивість множення щодо додавання, яке пов'язує дві зазначені дії. Використання додавання та множення спільно відкриває додаткові можливості, яких ми були б позбавлені, розглядаючи додавання окремо від множення.

Отже, розподільна властивість множення щодо додавання говорить, що добуток цілого числа a на суму двох цілих чисел a і b дорівнює сумі творів a b і a c , тобто, a·(b+c)=a·b+a·c. Цю ж властивість можна записати в іншому вигляді: (a+b)·c=a·c+b·c .

Розподільча властивість множення цілих чисел щодо додавання разом із сполучною властивістю додавання дозволяють визначити множення цілого числа на суму трьох і більшої кількості цілих чисел, а далі – і множення суми цілих чисел на суму.

Також зауважимо, що всі інші властивості додавання та множення цілих чисел можуть бути отримані із зазначених нами властивостей, тобто є наслідками зазначених вище властивостей.

Властивості віднімання цілих чисел

З отриманої рівності, а також з властивостей додавання і множення цілих чисел випливають наступні властивості віднімання цілих чисел (a, b і c – довільні цілі числа):

• Віднімання цілих чисел у випадку НЕ має переміщувальним властивістю: a−b≠b−a .
• Різниця рівних цілих чисел дорівнює нулю: a−a=0 .
• Властивість віднімання суми двох цілих чисел з даного цілого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Властивість віднімання цілого числа із суми двох цілих чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Розподільча властивість множення щодо віднімання: a·(b−c)=a·b−a·c та (a−b)·c=a·c−b·c.
• І всі інші властивості віднімання цілих чисел.

Властивості поділу цілих чисел

Розмірковуючи про сенс розподілу цілих чисел, ми з'ясували, що розподіл цілих чисел - це дія, зворотна до множення. Ми дали таке визначення: розподіл цілих чисел – це знаходження невідомого множника за відомим твором та відомим множником. Тобто, ціле число c ми називаємо приватним від розподілу цілого числа a на ціле число b коли добуток c b дорівнює a .

Дане визначення, а також усі розглянуті вище властивості операцій над цілими числами дозволяють встановити справедливість таких властивостей поділу цілих чисел:

• Жодне ціле число не можна ділити на нуль.
• Властивість розподілу нуля на довільне ціле число a відмінне від нуля: 0: a = 0 .
• Властивість поділу рівних цілих чисел: a:a=1 , де a – будь-яке ціле число, відмінне від нуля.
• Властивість поділу довільного цілого числа a на одиницю: a: 1 = a.
• У випадку ділення цілих чисел НЕ має переміщувальним властивістю: a:b≠b:a .
• Властивості поділу суми та різниці двох цілих чисел на ціле число: (a+b):c=a:c+b:c та (a−b):c=a:c−b:c , де a , b , і c такі цілі числа, що і a і b ділиться на c і ​​c відмінно від нуля.
• Властивість поділу добутку двох цілих чисел a і b на ціле число c, відмінне від нуля: (a b): c = (a: c) b, якщо a ділиться на c; (a·b):c=a·(b:c) , якщо b ділиться на c; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , якщо і a і b діляться на c.
• Властивість поділу цілого числа a на добуток двох цілих чисел b і c (числа a, b і c такі, що поділ a на b·c можливий): a:(b·c)=(a:b)·c=(a :c) · b .
• Будь-які інші властивості поділу цілих чисел.

Цілі уроку:

1. Отримати рівності, що виражають розподільну властивість множення щодо складання та віднімання.
2. Навчити учнів застосовувати цю властивість зліва направо.
3. Показати важливе практичне значення цієї якості.
4. Розвивати в учнів логічне мислення. Закріпити навички роботи на комп'ютері.

Обладнання:комп'ютери, плакати з властивостями множення, із зображеннями машин та яблук, картки.

Хід уроку

1. Вступне слово вчителя.

Сьогодні на уроці ми розглянемо ще одну властивість множення, яка має важливе практичне значення, що допомагає швидко виробляти множення багатозначних чисел. Повторимо раніше вивчені властивості множення. Під час вивчення нової теми перевіримо домашнє завдання.

2. Рішення усних вправ.

I. На дошці запис:

1 – понеділок
2 – вівторок
3 – середа
4 – четвер
5 – п'ятниця
6 – субота
7 – неділя

Завдання. Подумайте день тижня. Помножити номер задуманого дня на 2. Додати до твору 5. Помножити суму на 5. Збільшити твір у 10 разів. Назвати результат. Ви загадали... день.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II. Завдання із електронного підручника «Математика 5-11кл. Нові можливості засвоєння курсу математики. Практикум». ТОВ "Дрофа" 2004, ТОВ "ДОС" 2004, CD - ROM, НФПК». Розділ Математика. Натуральні числа". Завдання №8. Експрес-контроль. Заповніть порожні клітини в ланцюжку. Варіант 1.

III. На дошці:

• a + b
• (a + b) * c
• m – n
• m * c - n * c

2) Спростити:

• 5*x*6*y
• 3*2*а
• а * 8 * 7
• 3 * а * b

3) При яких значеннях x рівність звертається до правильного:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? Чому?

Які властивості множення застосовувалися?

3. Вивчення нового матеріалу.

На дошці плакат із зображеннями машин.

Малюнок 1.

Завдання для 1 групи учнів (хлопчиків).

У гаражі в 2-х рядах стоять вантажні та легкові машини. Записати вирази.

1. Скільки вантажних машин у 1-му ряду? Скільки легкових?
2. Скільки вантажних машин у 2-му ряду? Скільки легкових?
3. Скільки машин загалом у гаражі?
4. Скільки вантажних машин у 1-му ряду? Скільки вантажних машин у двох рядах?
5. Скільки легкових машин у 1-му ряду? Скільки легкових машин у двох рядах?
6. Скільки всього машин у гаражі?

Знайти значення виразів 3 та 6. Порівняти ці значення. Записати вирази в зошит. Прочитати рівність.

Завдання для 2 групи учнів (хлопчиків).

У гаражі в 2-х рядах стоять вантажні та легкові машини. Що означають вирази:

• 4 – 3
• 4 * 2
• 3 * 2
• (4 – 3) * 2
• 4 * 2 – 3 * 2

Знайти значення двох останніх виразів.

Отже, між цими виразами можна встановити знак =.

Прочитаємо рівність: (4 - 3) * 2 = 4 * 2 - 3 * 2.

Плакат із зображеннями червоних та зелених яблук.

Малюнок 2.

Завдання для 3 групи учнів (дівчаток).

Скласти вирази.

1. Яка маса одного червоного та одного зеленого яблука разом?
2. Яка маса всіх яблук разом?
3. Яка маса всіх червоних яблук разом?
4. Яка маса всіх зелених яблук разом?
5. Яка маса всіх яблук?

Знайти значення виразів 2 та 5 і порівняти їх. Записати цей вислів у зошит. Прочитати.

Завдання для 4 групи учнів (дівчаток).

Маса одного червоного яблука 100 г, одного зеленого 80 г.

Скласти вирази.

1. На скільки г маса одного червоного яблука більша, ніж зеленого?
2. Яка маса всіх червоних яблук?
3. Яка маса всіх зелених яблук?
4. На скільки г маса всіх червоних яблук більша, ніж зелених?

Знайти значення виразів 2 та 5.Порівняти їх. Прочитати рівність. Чи для цих чисел вірні рівності?

4. Перевірка домашнього завдання.

Завдання. По короткому запису умови завдання поставити головне питання, скласти вираз і знайти його значення за даних значень змінних.

1 група

Знайти значення виразу при а = 82, b = 21, c = 2.

2 група

Знайти значення виразу при а=82, b=21, с=2.

3 група

Знайти значення виразу при а=60, b=40, с=3.

4 група

Знайти значення виразу при а=60, b=40, с=3.

Робота у класі.

Порівняти значення виразів.

Для 1 і 2 груп: (а + b) * с та а * с + b * с

Для 3 і 4 груп: (а - b) * с і а * с - b * с

(а + b) * с = а * с + b * с
(а - b) * с = а * с - b * с

Отже, для будь-яких чисел а, b, з вірно:

• При множенні суми на число можна помножити це число кожне доданок і скласти отримані произведения.
• При множенні різниці на число можна помножити на це число, що зменшується і віднімається і з першого твору відняти друге.
• При множенні суми чи різниці число множення розподіляється на кожне число, укладене у дужках. Тому ця властивість множення називається розподільчою властивістю множення щодо складання та віднімання.

Прочитаємо формулювання якості за підручником.

5. Закріплення нового матеріалу.

Виконати №548. Застосуйте розподільну властивість множення.

• (68 + а) * 2
• 17 * (14 - x)
• (b - 7) * 5
• 13*(2+y)

1) Вибирай завдання на оцінку.

Завдання оцінки «5».

Приклад 1. Знайдемо значення твору 42 * 50. Уявімо число 42 у вигляді суми чисел 40 і 2.

Отримаємо: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. Тепер застосуємо розподільну властивість:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

Аналогічно вирішити №546:

а) 91*8
в) 6*52
д) 202*3
ж) 24*11
з) 35*12
і) 4*505

Подати числа 91,52, 202, 11, 12, 505 у вигляді суми десятків та одиниць та застосувати розподільну властивість множення щодо додавання.

Приклад 2. Знайдемо значення твору 39*80.

Представимо число 39 як різниці 40 і 1.

Отримаємо: 39 * 80 = (40 - 1) = 40 * 80 - 1 * 80 = 3200 - 80 = 3120.

Вирішити з №546:

б) 7*59
е) 397*5
г) 198*4
к) 25*399

Подати числа 59, 397, 198, 399 у вигляді різниці десятків і одиниць і застосувати розподільну властивість множення щодо віднімання.

Завдання оцінки «4».

Вирішити з №546 (а, в, д, ж, з, і). Застосувати розподільну властивість множення щодо додавання.

Вирішити з № 546 (б, г, е, к). Застосувати розподільну властивість множення щодо віднімання.

Завдання оцінки «3».

Вирішити №546 (а, в, д, ж, з, і). Застосувати розподільну властивість множення щодо додавання.

Вирішити №546 (б, г, е, к).

Для вирішення задачі №552 скласти вираз та виконати малюнок.

Відстань між двома селами 18 км. З них виїхали в різні боки два велосипедисти. Один проїжджає за годину m км, а інший n км. Яка відстань між ними через 4 год?

(Усно. Приклади записані на звороті дошки.)

Замість поставте пропущені цифри:

Завдання із електронного підручника «Математика 5-11кл. Нові можливості засвоєння курсу математики. Практикум». ТОВ "Дрофа" 2004, ТОВ "ДОС" 2004, CD - ROM, НФПК». Розділ Математика. Натуральні числа". Завдання №7. Експрес-контроль. Відновіть зниклі цифри.

6. Підбиття підсумків уроку.

Отже, ми розглянули розподільну властивість множення щодо складання та віднімання. Повторимо формулювання якості, прочитаємо рівності, що виражають властивість. Застосування розподільчої властивості множення зліва направо можна висловити умовою «розкрити дужки», тому що в лівій частині рівності вираз був укладений у дужки, а в правій дужок немає. При вирішенні усних вправ на відгадування дня тижня ми також використовували розподільну властивість множення щодо додавання.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * № + 250, а потім вирішували рівняння виду:
100* № + 250 = а

Розглянемо приклад, що підтверджує справедливість переміщувальної властивості множення двох натуральних чисел. Відштовхуючись від сенсу множення двох натуральних чисел, обчислимо добуток чисел 2 і 6, а також добуток чисел 6 і 2, і перевіримо рівність результатів множення. Добуток чисел 6 і 2 дорівнює сумі 6+6, з таблиці складання знаходимо 6+6=12. А добуток чисел 2 і 6 дорівнює сумі 2+2+2+2+2+2 , яка дорівнює 12 (за потреби дивіться матеріал статті додавання трьох і більшої кількості чисел). Отже, 6 · 2 = 2 · 6 .

Наведемо малюнок, що ілюструє переміщувальну властивість множення двох натуральних чисел.

Сполучна властивість множення натуральних чисел.

Озвучимо поєднану властивість множення натуральних чисел: помножити це число на цей добуток двох чисел – це те саме, що помножити це число на перший множник, і отриманий результат помножити на другий множник . Тобто, a·(b·c)=(a·b)·c, де a, b і c можуть бути будь-якими натуральними числами (у круглі дужки укладені вирази, значення яких обчислюються насамперед).

Наведемо приклад для підтвердження комбінаційної властивості множення натуральних чисел. Обчислимо добуток 4 · (3 · 2) . За змістом множення маємо 3·2=3+3=6 тоді 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А тепер виконаємо множення (4 · 3) · 2 . Оскільки 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким чином, справедлива рівність 4·(3·2)=(4·3)·2 , що підтверджує справедливість аналізованої властивості.

Покажемо малюнок, що ілюструє поєднану властивість множення натуральних чисел.

Наприкінці цього пункту зазначимо, що сполучна властивість множення дозволяє однозначно визначити множення трьох та більшої кількості натуральних чисел.

Розподільча властивість множення щодо додавання.

Наступна властивість пов'язує додавання та множення. Воно формулюється так: помножити цю суму двох чисел на дане число - це те ж саме, що скласти твір першого доданку та даного числа з добутком другого доданку і даного числа . Це так звана розподільна властивість множення щодо додавання.

За допомогою букв розподільна властивість множення щодо додавання записується як (a+b)·c=a·c+b·c(у виразі a c + b c спочатку виконується множення, після чого - додавання, докладніше про це написано в статті), де a, b і c - довільні натуральні числа. Зазначимо, що силу переміщувальної властивості множення, розподільну властивість множення можна записати в такому вигляді: a·(b+c)=a·b+a·c.

Наведемо приклад, що підтверджує розподільну властивість множення натуральних чисел. Перевіримо справедливість рівності (3+4)·2=3·2+4·2. Маємо (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , отже, рівність ( 3 +4) · 2 = 3 · 2 +4 · 2 правильно.

Покажемо малюнок, що відповідає розподільчій властивості множення щодо додавання.

Розподільча властивість множення щодо віднімання.

Якщо дотримуватися сенсу множення, то добуток 0 n , де n - довільне натуральне число, більше одиниці, являє собою суму n доданків, кожне з яких дорівнює нулю. Таким чином, . Властивості додаваннядозволяють нам стверджувати, що остання сума дорівнює нулю.

Таким чином, для будь-якого натурального числа n виконується рівність 0 n = 0 .

Щоб залишалося справедливим переміщувальну властивість множення, приймемо також справедливість рівності n·0=0 для будь-якого натурального числа n .

Отже, добуток нуля та натурального числа дорівнює нулю, тобто 0·n=0і n·0=0де n – довільне натуральне число. Останнє твердження є формулюванням властивості множення натурального числа і нуля.

На закінчення наведемо пару прикладів, пов'язаних з розібраним у цьому пункті властивістю множення. Добуток чисел 45 і 0 дорівнює нулю. Якщо помножити 0 на 45970, то теж отримаємо нуль.

Тепер можна сміливо розпочинати вивчення правил, за якими проводиться множення натуральних чисел.

Список літератури.

• Математика. Будь-які підручники для 1, 2, 3, 4 класів загальноосвітніх закладів.
• Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх закладів.