Математичний маятник визначення. Наближені формули малих коливань маятника

Математичний маятник- це матеріальна точка, підвішена на невагомій і нерозтяжній нитці, що у полі тяжкості Землі. Математичний маятник - це ідеалізована модель, що правильно описує реальний маятник лише за певних умов. Реальний маятник можна вважати математичним, якщо довжина нитки набагато більше розмірів підвішеного на ній тіла, маса нитки мізерна мала в порівнянні з масою тіла, а деформації нитки настільки малі, що їх взагалі можна знехтувати.

Коливальну систему у разі утворюють нитку, приєднане до неї тіло і Земля, без якої ця система не могла б служити маятником.

де а х – прискорення, g - прискорення вільного падіння, х- Зміщення, l- Довжина нитки маятника.

Це рівняння називається рівнянням вільних коливань математичного маятникаВоно правильно визначає аналізовані коливання лише тоді, коли виконані такі припущення:

2) розглядаються лише малі коливання маятника з невеликим кутом розмаху.

Вільні коливання будь-яких систем завжди описуються аналогічними рівняннями.

Причинами вільних коливань математичного маятника є:

1. Дія на маятник сили натягу та сили тяжіння, що перешкоджає його зміщенню з положення рівноваги і змушує його знову опускатися.

2. Інертність маятника, завдяки якій він, зберігаючи свою швидкість, не зупиняється в положенні рівноваги, а проходить через неї далі.

Період вільних коливань математичного маятника

Період вільних коливань математичного маятника залежить від його маси, а визначається лише довжиною нитки і прискоренням вільного падіння там, де знаходиться маятник.

Перетворення енергії при гармонійних коливаннях

При гармонійних коливаннях пружинного маятника відбуваються перетворення потенційної енергії пружно деформованого тіла на його кінетичну енергію, де k – коефіцієнт пружності, х -модуль зміщення маятника із положення рівноваги, m- Маса маятника, v- Його швидкість. Відповідно до рівняння гармонійних коливань:

, .

Повна енергія пружинного маятника:

.

Повна енергія для математичного маятника:

У разі математичного маятника

Перетворення енергії при коливаннях пружинного маятника відбувайся відповідно до закону збереження механічної енергії ( ). При русі маятника вниз чи вгору від рівноваги його потенційна енергія збільшується, а кінетична - зменшується. Коли маятник проходить положення рівноваги ( х= 0), його потенційна енергія дорівнює нулю і кінетична енергія маятника має найбільше значення, що дорівнює його повній енергії.

Таким чином, у процесі вільних коливань маятника його потенційна енергія перетворюється на кінетичну, кінетична на потенційну, потенційна потім знову на кінетичну і т. д. Але повна механічна енергія при цьому залишається незмінною.

Вимушені коливання. Резонанс.

Коливання, що відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними коливаннями. Зовнішня періодична сила, яка називається примушує, повідомляє коливальній системі додаткову енергію, яка йде на поповнення енергетичних втрат, що відбуваються через тертя. Якщо сила, що змушує, змінюється в часі за законом синуса або косинуса, то вимушені коливання будуть гармонійними і незагасаючими.

На відміну від вільних коливань, коли система отримує енергію лише один раз (при виведенні системи зі рівноваги), у разі вимушених коливань система поглинає цю енергію від джерела зовнішньої періодичної сили безперервно. Ця енергія заповнює втрати, що витрачаються на подолання тертя, і тому повна енергія коливальної системи, як і раніше, залишається незмінною.

Частота вимушених коливань дорівнює частоті сили, що змушує.. У разі коли частота примушує сили υ збігається з власною частотою коливальної системи υ 0 , відбувається різке зростання амплітуди вимушених коливань резонанс. Резонанс виникає через те, що при υ = υ 0 зовнішня сила, діючи в такт з вільними коливаннями, весь час спрямована зі швидкістю тіла, що коливається, і робить позитивну роботу: енергія тіла, що коливається, збільшується, і амплітуда його коливань стає великою. Графік залежності амплітуди вимушених коливань А т від частоти сили, що змушує υ представлений на малюнку, цей графік називається резонансною кривою:

Явище резонансу грає велику роль у ряді природних, наукових та виробничих процесів. Наприклад, необхідно враховувати явище резонансу при проектуванні мостів, будівель та інших споруд, що зазнають вібрації під навантаженням, інакше за певних умов ці споруди можуть бути зруйновані.

(Лат. amplitude- величина) - це найбільше відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги.

Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька від свого положення рівноваги (рисунок нижче). Для коливань з малими амплітудами за таку відстань можна приймати як довжину дуги 01 чи 02, і довжини цих відрізків.

Амплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини - метрах, сантиметрах і т. д. На графіку коливань амплітуда визначається як максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої, (див. рис. Нижче).

Період коливань.

Період коливань- Це найменший проміжок часу, через який система, що робить коливання, знову повертається в той же стан, в якому вона знаходилася в початковий момент часу, вибраний довільно.

Іншими словами, період коливань ( Т) - це час, за який відбувається одне повне коливання. Наприклад, на малюнку нижче цей час, за який вантаж маятника переміщається з крайньої правої точки через точку рівноваги Проу крайню ліву точку і назад через точку Прознову в крайню праву.

За повний період коливань, таким чином, тіло проходить шлях, рівний чотирьом амплітудам. Період коливань вимірюється в одиницях часу - секундах, хвилинах і т. д. Період коливань може бути визначений за відомим графіком коливань (див. рис. нижче).

Поняття «період коливань», строго кажучи, справедливе, лише коли значення коливається величини точно повторюються через певний проміжок часу, тобто для гармонійних коливань. Однак це поняття застосовується також і для випадків приблизно повторюваних величин, наприклад, для загасаючих коливань.

Частота коливань.

Частота коливань- Це число коливань, що здійснюються за одиницю часу, наприклад, за 1 с.

Одиниця частоти у СІ названа герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань ( v) дорівнює 1 Гц, то це означає, що за кожну секунду відбувається одне коливання. Частота та період коливань пов'язані співвідношеннями:

Теоретично коливань користуються також поняттям циклічною, або кругової частоти ω . Вона пов'язана із звичайною частотою vта періодом коливань Тспіввідношеннями:

.

Циклічна частота- Це число коливань, що здійснюються за 2πсекунд.

Період коливань фізичного маятника залежить від багатьох обставин: від розмірів та форми тіла, від відстані між центром ваги та точкою підвісу та від розподілу маси тіла щодо цієї точки; тому обчислення періоду підвішеного тіла - досить складне завдання. Простіша справа для математичного маятника. Зі спостережень над подібними маятниками можна встановити такі прості закони.

1. Якщо, зберігаючи ту саму довжину маятника (відстань від точки підвісу до центру тяжкості вантажу), підвішувати різні вантажі, то період коливань вийде той самий, хоча маси вантажів сильно різняться. Період математичного маятника залежить від маси вантажу.

2. Якщо при пуску маятника відхиляти його на різні (але не надто великі) кути, то він коливатиметься з тим самим періодом, хоча і з різними амплітудами. Поки не надто великі амплітуди, коливання досить близькі за своєю формою до гармонійного (§ 5) і період математичного маятника не залежить від амплітуди коливань. Ця властивість називається ізохронізмом (від грецьких слів «ізос» – рівний, «хронос» – час).

Вперше цей факт було встановлено у 1655 р. Галілеєм нібито за наступних обставин. Галілей спостерігав у Пізанському соборі гойдання панікадила на довгому ланцюгу, який штовхнули під час запалювання. Протягом богослужіння розмахи коливань поступово згасали (§ 11), тобто амплітуда коливань зменшувалася, але період залишався одним і тим же. Як покажчик часу Галілей користувався власним пульсом.

Виведемо тепер формулу для періоду коливань математичного маятника.

Рис. 16. Коливання маятника в площині (а) та рух по конусу (б)

При коливаннях маятника вантаж рухається прискорено по дузі (рис. 16, а) під дією сили, що повертає, яка змінюється при русі. Розрахунок руху тіла під впливом непостійної сили досить складний. Тому ми для спрощення вчинимо так.

Змусимо маятник робити не коливання в одній площині, а описувати конус так, щоб вантаж рухався по колу (рис. 16, б). Цей рух може бути отримано в результаті складання двох незалежних коливань: одного - як і раніше, у площині малюнка та іншого - у перпендикулярній площині. Очевидно, періоди обох цих плоских коливань однакові, оскільки будь-яка площина коливань нічим не відрізняється від будь-якої іншої. Отже, і період складного руху – обігу маятника по конусу – буде той самий, що й період гойдання водної площини. Цей висновок можна легко ілюструвати безпосереднім досвідом, взявши два однакові маятники і повідомивши одному з них хитання в площині, а іншому - обертання по конусу.

Але період звернення «конічного» маятника дорівнює довжині описуваного вантажем кола, поділеного на швидкість:

Якщо кут відхилення від вертикалі невеликий (малі амплітуди), можна вважати, що сила, що повертає, спрямована по радіусу кола , тобто, дорівнює доцентровій силі:

З іншого боку, з подоби трикутників і випливає, що . Так як, то звідси

Прирівнявши обидва вирази один одному, ми отримуємо для швидкості звернення

Нарешті, підставивши це у вираз періоду, знаходимо

Отже, період математичного маятника залежить від прискорення вільного падіння і зажадав від довжини маятника , т. е. відстані від точки підвісу до центру тяжкості вантажу. З отриманої формули випливає, що період маятника не залежить від його маси та від амплітуди (за умови, що вона досить мала). Іншими словами, ми отримали шляхом розрахунку основні закони, які були встановлені раніше зі спостережень.

Але наш теоретичний висновок дає нам більше: він дозволяє встановити кількісну залежність між періодом маятника, його довжиною та прискоренням вільного падіння. Період математичного маятника пропорційний до кореня квадратного з відношення довжини маятника до прискорення вільного падіння. Коефіцієнт пропорційності дорівнює.

Залежно від періоду маятника від прискорення вільного падіння заснований дуже точний спосіб визначення цього прискорення. Вимірявши довжину маятника і визначивши з великої кількості коливань період, ми можемо обчислити за допомогою отриманої формули. Цей спосіб широко використовується практично.

Відомо (див. том I, §53), що прискорення вільного падіння залежить від географічної широти місця (на полюсі, а на екваторі). Спостереження над періодом коливань деякого еталонного маятника дозволяють вивчити розподіл прискорення вільного падіння широтою. Метод цей настільки точний, що з його допомогою можна виявити більш тонкі відмінності у значенні на земній поверхні. Виявляється, що навіть на одній паралелі значення у різних точках земної поверхні по-різному. Ці аномалії у розподілі прискорення вільного падіння пов'язані з нерівномірною щільністю земної кори. Вони використовуються для вивчення розподілу густини, зокрема для виявлення залягання в товщі земної кори будь-яких корисних копалин. Великі гравіметричні зміни, що дозволили судити про залягання щільних мас, було виконано у СРСР області так званої Курської магнітної аномалії (див. том II, § 130) під керівництвом радянського фізика Петра Петровича Лазарєва. У поєднанні з даними про аномалію земного магнітного поля ці гравіметричні дані дозволили встановити розподіл залягання залізних мас, що зумовлюють Курську магнітну та гравітаційну аномалії.

Математичний маятник

Вступ

Період коливань

Висновки

Література

Вступ

Нині вже неможливо перевірити легенду про те, як Галілей, стоячи на молитві в соборі, уважно спостерігав за коченням бронзових люстр. Спостерігав і визначав час, витрачений люстрою рух туди й назад. Цей час потім назвали періодом вагань. Годинника у Галілея не було, і, щоб порівняти період коливань люстр, підвішених на ланцюгах різної довжини, він використовував частоту биття свого пульсу.

Маятники використовують для регулювання ходу годинника, оскільки будь-який маятник має певний період коливань. Маятник знаходить також важливе застосування у геологічній розвідці. Відомо, що у різних місцях земної кулі значення gрізні. Різні вони тому, що Земля - ​​не цілком правильна куля. Крім того, в тих місцях, де залягають щільні породи, наприклад, деякі металеві руди, значення gаномально високо. Точні виміри gза допомогою математичного маятника іноді дозволяють виявити такі родовища.

Рівняння руху математичного маятника

Математичним маятником називається важка матеріальна точка, яка рухається або вертикальним колом (плоский математичний маятник), або сферою (сферичний маятник). У першому наближенні математичним маятником вважатимуться вантаж малих розмірів, підвішений на нерозтяжною гнучкою нитки.

Розглянемо рух плоского математичного маятника по колу радіусу lз центром у точці Про(Рис. 1). Визначатимемо положення точки М(маятника) кутом відхилення j радіуса ОМвід вертикалі. Спрямовуючи дотичну M t у бік позитивного відліку кута j, складемо природне рівняння руху. Це рівняння утворюється з рівняння руху

mW=F+N, (1)
де F- активна сила, що діє на точку, а N- Реакція зв'язку.

Малюнок 1

Рівняння (1) ми отримали за другим законом Ньютона, який є основним законом динаміки і свідчить, що похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює чинній її силі, тобто.

Вважаючи масу постійною, можна уявити попереднє рівняння у вигляді

де Wє прискорення точки.

Отже рівняння (1) в проекції на вісь t дасть нам одне з природних рівнянь руху точки заданою нерухомою гладкою кривою:

У нашому випадку отримаємо у проекції на вісь t

,
де mє маса маятника.

Тому що або , звідси знаходимо

.
Скорочуючи на mі вважаючи

, (3)
будемо остаточно мати:

,

,

,

. (4)
Розглянемо спочатку випадок малих вагань. Нехай у початковий момент маятник відхилений від вертикалі на кут jта опущений без початкової швидкості. Тоді початкові умови будуть:

при t= 0, . (5)
З інтегралу енергії:

, (6)
де V- потенційна енергія, а h- Постійна інтегрування, слід, що за цих умов будь-якої миті часу кут jЈj 0 . Значення постійної hвизначається за початковими даними. Припустимо, що кут j 0 малий (j 0 Ј1); тоді кут j буде також малий і можна приблизно покласти sinj»j. При цьому рівняння (4) набуде вигляду

. (7)
Рівняння є диференціальне рівняння простого гармонійного коливання. Загальне рішення цього рівняння має вигляд

, (8)
де Aі Bабо aта e суть постійні інтегрування.

Звідси відразу знаходимо період ( T) малих коливань математичного маятника (період - проміжок часу, протягом якого точка повертається в колишнє положення з тією самою швидкістю)

і

,
т.к. sin має період рівний 2p, то w T=2p Ю

(9)

Для знаходження закону руху за початкових умов (5) обчислюємо:

. (10)
Підставляючи значення (5) у рівняння (8) та (10), отримаємо:

j 0 = A, 0 = w B,

тобто. B=0. Отже, закон руху для малих коливань за умов (5) буде:

j = j 0 cos wt. (11)

Знайдемо тепер точне рішення задачі про плоский математичний маятник. Визначимо спочатку перший інтеграл рівняння руху (4). Так як

,
то (4) можна подати у вигляді

.
Звідси, помножуючи обидві частини рівняння на d j та інтегруючи, отримаємо:

. (12)
Позначимо тут через j 0 кут максимального відхилення маятника; тоді при j = j 0 матимемо , звідки C= w 2 cosj 0. В результаті інтеграл (12) дає:

, (13)
де w визначається рівністю (3).

Цей інтеграл є інтегралом енергії і може бути безпосередньо отриманий з рівняння

, (14)
де - робота на переміщенні M 0 Mактивної сили F, якщо врахувати, що у нашому випадку v 0 = 0, та (див. рис.).

З рівняння (13) видно, що під час руху маятника кут j змінюватиметься між значеннями +j 0 і -j 0 (|j|Јj 0 , оскільки ), тобто. маятник здійснюватиме коливальний рух. Умовимося відраховувати час tвід моменту проходження маятника через вертикаль OAпри його русі право (див. рис.). Тоді матимемо початкову умову:

при t=0, j=0. (15)

Крім того, при русі з точки Aбуде; витягуючи з обох частин рівності (13) квадратний корінь, отримаємо:

.
Розділяючи тут змінні, матимемо:

. (16)

, ,
то

.
Підставляючи цей результат рівняння (16), отримуємо.

Визначення

Математичний маятник- це коливальна система, що є окремим випадком фізичного маятника, вся маса якого зосереджена в одній точці, центрі мас маятника.

Зазвичай математичний маятник є кулькою, підвішеною на довгій невагомій і нерозтяжній нитці. Це ідеалізована система, яка здійснює гармонійні коливання під впливом сили тяжіння. Гарним наближенням до математичного маятника масивна маленька кулька, що здійснює коливання на тонкій довгій нитці.

Галілей першим вивчав властивості математичного маятника, розглядаючи гойдання панікадилу на довгому ланцюзі. Він отримав, що період коливань математичного маятника залежить від амплітуди. Якщо при запуску мятника відхиляти його на різні малі кути, його коливання будуть відбуватися з одним періодом, але різними амплітудами. Ця властивість одержала назву ізохронізму.

Рівняння руху математичного маятника

Математичний маятник – класичний приклад гармонійного осцилятора. Він здійснює гармонійні коливання, що описуються диференціальним рівнянням:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

де $ Varphi $ - Кут відхилення нитки (підвісу) від положення рівноваги.

Рішенням рівняння (1) є функція $varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

де $ \ alpha $ - Початкова фаза коливань; $(\varphi )_0$ - амплітуда коливань; $(\omega )_0$ - циклічна частота.

Коливання гармонійного осцилятора – це важливий приклад періодичного руху. Осцилятор служить моделлю у багатьох завданнях класичної та квантової механіки.

Циклічна частота та період коливань математичного маятника

Циклічна частота математичного маятника залежить лише від довжини його підвісу:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

Період коливань математичного маятника ($T$) у разі дорівнює:

Вираз (4) показує, що період математичного маятника залежить лише від довжини його підвісу (відстань від точки підвісу до центру ваги вантажу) та прискорення вільного падіння.

Рівняння енергії для математичного маятника

При розгляді коливань механічних систем з одним ступенем свободи часто беруть як вихідне не рівняння руху Ньютона, а рівняння енергії. Тому що його простіше складати, і воно є рівнянням першого порядку за часом. Припустимо, що тертя у системі відсутнє. Закон збереження енергії для математичного маятника (коливання малі), що здійснює вільні коливання, запишемо як:

де $E_k$ – кінетична енергія маятника; $E_p$ - потенційна енергія маятника; $v$ - швидкість руху маятника; $x$ - лінійне зміщення вантажу маятника від положення рівноваги по дузі кола радіуса $l$, при цьому кут - зсув пов'язаний з $x$ як:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

Максимальне значення потенційної енергії математичного маятника дорівнює:

Максимальна величина кінетичної енергії:

де $h_m$ - максимальна висота підйому маятника; $x_m$- максимальне відхилення маятника від положення рівноваги; $v_m=(\omega )_0x_m$ - максимальна швидкість.

Приклади завдань із розв'язанням

Приклад 1

Завдання.Якою є максимальна висота підйому кульки математичного маятника, якщо його швидкість руху при проходженні положення рівноваги становила $v$?

Рішення.Зробимо малюнок.

Нехай нуль потенційної енергії кульки в положенні рівноваги (точка 0). У цій точці швидкість кульки максимальна і дорівнює за умовою задачі $v$. У точці максимального підйому кульки над положенням рівноваги (точка A) швидкість кульки дорівнює нулю, потенційна енергія максимальна. Запишемо закон збереження енергії для розглянутих двох положень кульки:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

З рівняння (1.1) знайдемо шукану висоту:

Відповідь.$h=\frac(v^2)(2g)$

Приклад 2

Завдання.Яке прискорення сили тяжіння, якщо математичний маятник має довжину $l=1\ м$, здійснює коливання з періодом рівним $T=2\с$? Вважайте коливання математичного маятника малими. Textit()

Рішення.За основу розв'язання задачі приймемо формулу для обчислення періоду малих коливань:

Виразимо з неї прискорення:

Проведемо обчислення прискорення сили тяжіння:

Відповідь.$ g = 9,87 \ frac (м) (с ^ 2) $