Математична межа. Межа послідовності та функції
Елементарні функції та їх графіки.
Основними елементарними функціями вважаються: статечна функція, показова функція, логарифмічна функція, тригонометричні функції та зворотні тригонометричні функції, а також багаточлен та раціональна функція, яка є відношенням двох багаточленів.
До елементарних функцій відносяться і ті функції, які виходять з елементарних шляхом застосування основних чотирьох арифметичних дій та утворення складної функції.
Графіки елементарних функцій
| Пряма лінія- графік лінійної функції y = ax + b. Функція y монотонно зростає при a > 0 і зменшується при a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) | |
| Парабола- графік функції квадратного тричлена у = ах 2 + bх + с. Має вертикальну вісь симетрії. Якщо а > 0 має мінімум, якщо а< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + с = 0 | |
 | Гіперболу- графік функції . При а > Про розташована в І і ІІІ чвертях, при а< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) або у - - х(а< 0). |
 | Показова функція. експонента(Показова функція на підставі е) у = е x. (Інше написання у = ехр(х)). Асимптота – вісь абсцис. |
 | Логарифмічна функція y = log a x(a > 0) |
 | у = sinx. Синусоїда- періодична функція з періодом Т = 2π |
Межа функції.
Функція y=f(x) має число А межею при прагненні хка, якщо для будь-якого числа ε › 0 знайдеться таке число δ › 0, що | y – A | ‹ якщо якщо |х - а| ‹ δ,
або lim у = A
Безперервність функції.
Функція y=f(x) безперервна у точці х = а, якщо lim f(x) = f(а), тобто.
межа функції у точці х = а дорівнює значенню функції у цій точці.
Знаходження меж функций.
Основні теореми про межі функцій.
1. Межа постійної величини дорівнює цій постійній величині:
2. Межа алгебраїчної суми дорівнює сумі алгебри меж цих функцій:
lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h
3. Межа добутку кількох функцій дорівнює добутку меж цих функцій:
lim (f * g * h) = lim f * lim g * lim h
4. Межа приватного двох функцій дорівнює приватній межі цих функцій, якщо межа знаменника не дорівнює 0:
lim ------- = ----------
Перша чудова межа: lim --------- = 1
Друга чудова межа: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)
Приклади знаходження меж функций.
5.1. Приклад:
Будь-яка межа складається з трьох частин:
1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі. Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше – саме х, хоча замість «ікса» може бути будь-яка інша змінна. На місці одиниці може бути абсолютно будь-яке число, а також нескінченність 0 або .
3) Функції під знаком межі, у разі .
Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».
Дуже важливе питання – а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? Вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці і з нею збігаються.
Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:
Отже, перше правило : Коли дано межу, треба спочатку просто підставити число у функцію
5.2. Приклад із нескінченністю:
Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли зростає необмежено.
Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:
Згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо у функцію нескінченність і отримуємо відповідь.
5.3. Ще один приклад із нескінченністю:
Знову починаємо збільшувати до нескінченності, і дивимося на поведінку функції.
Висновок: функція необмежено зростає
5.4. Серія прикладів:
Спробуйте самостійно подумки проаналізувати наведені нижче приклади і вирішити найпростіші види меж:
, , , , 
, , , , 
,
Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?
Коли дано будь-яку межу, спочатку просто підставити число у функцію. При цьому Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.
6. Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення.
Тепер ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, у чисельнику і знаменнику якої перебувають багаточлени.
6.1. Приклад:
Обчислити межу 
Згідно з нашим правилом намагаємося підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що = 1, і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.
Як вирішувати межі цього типу?
Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.
Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь знаменника дорівнює двом.
Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.
Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник та знаменник на у старшому ступені.
Отже, відповідь , а не 1.
приклад
Знайти межу 
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:
Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
приклад
Знайти межу 
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:
Розділимо чисельник та знаменник на
потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники
Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:
приклад
Обчислити межу 
Спочатку "дубовий" варіант рішення, підставимо х = 2:
Розкладемо чисельник і знаменник на множники.
Чисельник:
Знаменник: 
, 
Існує в математиці таке поняття, як межа функції. Щоб розуміти, як знаходити межі, потрібно пам'ятати визначення межі функції: функція f (x) має межу L у точці x = a, якщо для кожної послідовності значень х, що сходить до точки a, послідовність значень наближається до:
- L lim f(x) = L
Поняття та властивості меж
Що таке межа, можна зрозуміти з прикладу. Припустимо, маємо функцію у=1/х. Якщо ми будемо послідовно збільшувати значення х і дивитися, чому дорівнює у, то отримаємо всі значення, що зменшуються: при х = 10000 у = 1/10000; при х = 1000000 у = 1/1000000. Тобто. що більше х, то менше у. Якщо х=∞, у буде настільки малий, що його можна вважати рівним 0. Таким чином, межа функції у=1/х при х, що прагне до ∞ дорівнює 0. Записується це так:
- lim1/х=0
Межа функції має кілька властивостей, які потрібно пам'ятати: це суттєво полегшить вирішення задач на знаходження меж:
- Межа суми дорівнює сумі меж: lim(x+y)=lim x+lim y
- Межа твору дорівнює твору меж: lim(xy)=lim x*lim y
- Межа частки дорівнює частці від меж: lim(x/y)=lim x/lim y
- Постійний множник виносять за межі: lim(Cx)=C lim x
У функції у = 1 / x, в якій x → ∞, межа дорівнює нулю, при x → 0, межа дорівнює ∞.
- lim (sin x)/x=1 x→0
Тема 4.6.Обчислення меж
Межа функції не залежить від того, чи вона визначена в граничній точці чи ні. Але на практиці обчислення меж елементарних функцій ця обставина має важливе значення.
1. Якщо функція є елементарною і якщо граничне значення аргументу належить її області визначення, обчислення межі функції зводиться до простої підстановці граничного значення аргументу, т.к. межа елементарної функції f(x) при х прагне доа , яке входить у область визначення, дорівнює частковому значенню функції при х= а, тобто. lim f(x)=f( a) .
2. Якщо х прагне до нескінченностіабо аргумент прагне до, яке належить області визначення функції, то кожному такому разі перебування межі функції вимагає спеціального дослідження.
Нижче наведені найпростіші межі, що ґрунтуються на властивостях меж, які можна використовувати як формули:
Більш складні випадки знаходження межі функції:
розглядаються кожен окремо.
У цьому розділі буде наведено основні способи розкриття невизначеностей.
1. Випадок, коли при х прагне доа функція f (x) представляє відношення двох нескінченно малих величин
а) Спочатку потрібно переконається, що межу функції не можна знайти безпосередньою підстановкою і при зазначеній зміні аргументу вона представляє відношення двох нескінченно малих величин. Робляться перетворення, щоб скоротити дріб на множник, що прагне 0. Згідно з визначенням межі функції аргумент х прагне свого граничного значення, ніколи з ним не збігаючись.
Взагалі якщо шукається межа функції при х прагне доа , то необхідно пам'ятати, що х не набуває значення а, тобто. х не дорівнює а.
б) Застосовується теорема Безу. Якщо шукається межа дробу, чисельник і знаменник якого багаточлени, що звертаються до 0 у граничній точці х= а, то відповідно до вищезгаданої теореми обидва багаточлени діляться без залишку на х- а.
в) Знищується ірраціональність у чисельнику чи знаменнику шляхом множення чисельника чи знаменника на пов'язане до ірраціонального вираз, потім після спрощення дріб скорочується.
г) Використовується 1-а чудова межа (4.1).
д) Використовується теорема про еквівалентність нескінченно малих та наступні б.м.:
2. Випадок, коли при х прагне доа функція f(x) представляє відношення двох нескінченно великих величин
а) Розподіл чисельника та знаменника дробу на найвищий ступінь невідомого.
б) У випадку можна використовувати правило
3. Випадок, коли при х прагне доа функція f (x) представляє добуток нескінченно малої величини на нескінченно більшу
Дроб перетворюється на вигляд, чисельник і знаменник якої одночасно прагнуть 0 або до нескінченності, тобто. випадок 3 зводиться до випадку 1 або випадку 2.
4. Випадок, коли при х прагне доа функція f (x) представляє різницю двох позитивних нескінченно великих величин
Цей випадок зводиться до вигляду 1 або 2 одним із таких способів:
а) приведення дробів до спільного знаменника;
б) перетворення функції до виду дробу;
в) звільнення від ірраціональності.
5. Випадок, коли при х прагне доа функція f (x) представляє ступінь, основа якої прагне 1, а показник до нескінченності.
Функція перетворюється таким чином, щоб використовувати 2-у чудову межу (4.2).
приклад.Знайти 
.
Так як х прагне до 3, то чисельник дробу прагне до 3 2 +3 *3+4=22, а знаменник-до 3+8=11. Отже,
приклад
Тут чисельник і знаменник дробу при х прагне до 2прагнуть 0 (невизначеність виду), розкладемо чисельник і знаменник на множники, отримаємо lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)
приклад
Помножимо чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний до чисельника, маємо
Розкриваємо дужки в чисельнику, отримаємо
приклад
Рівень 2 приклад. Наведемо приклад застосування поняття межі функції економічних розрахунках. Розглянемо звичайну фінансову угоду: надання у борг суми S 0 з умовою, що через період часу Tбуде повернуто суму S T. Визначимо величину r відносного зростанняформулою
r=(ST-S 0)/S 0 (1)
Відносне зростання можна виразити у відсотках, помноживши отримане значення rна 100.
З формули (1) легко визначити величину S T:
S T= S 0 (1 + r)
При розрахунку за довгостроковими кредитами, які охоплюють кілька років, використовують схему складних відсотків. Вона полягає в тому, що якщо за 1-й рік сума S 0 зростає в (1 + r) раз, то за другий рік у (1 + r) разів зростає сума S 1 = S 0 (1 + r), тобто S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Аналогічно виходить S 3 = S 0 (1 + r) 3 . З наведених прикладів можна вивести загальну формулу для обчислення зростання суми nроків при розрахунку за схемою складних відсотків:
S n= S 0 (1 + r) n.
У фінансових розрахунках застосовуються схеми, де нарахування складних відсотків провадиться кілька разів на рік. При цьому обмовляються річна ставка rі кількість нарахувань за рік k. Як правило, нарахування проводяться через рівні проміжки часу, тобто довжина кожного проміжку T kскладає частину року. Тоді для терміну у Tроків (тут Tне обов'язково є цілим числом) сума S Tрозраховується за формулою
(2)
де - ціла частина числа, яка збігається із самим числом, якщо, наприклад, T? ціле число.
Нехай річна ставка дорівнює rта виробляється nнарахувань за рік через рівні проміжки часу. Тоді за рік сума S 0 нарощується до величини, що визначається формулою
(3)
У теоретичному аналізі й у практиці фінансової складової діяльності часто зустрічається поняття “безперервно начисляемый відсоток”. Щоб перейти до відсотка, що безперервно нараховується, потрібно у формулах (2) і (3) необмежено збільшувати відповідно, числа kі n(тобто спрямувати kі nдо нескінченності) і обчислити, до якої межі прагнутимуть функції S Tі S 1 . Застосуємо цю процедуру до формули(3):
Зауважимо, що межа у фігурних дужках збігається з другою чудовою межею. Звідси випливає, що за річної ставки rпри відсотку, що безперервно нараховується, сума S 0 за 1 рік нарощується до величини S 1 * , яка визначається з формули
S 1 * = S 0 e r (4)
Нехай тепер сума S 0 надається у борг з нарахуванням відсотка nЩорічно через рівні проміжки часу. Позначимо r eрічну ставку, за якої наприкінці року сума S 0 нарощується до величини S 1* із формули (4). У цьому випадку говоритимемо, що r e- це річна ставка при нарахуванні відсотка nщорічно, еквівалентна річному відсотку rпри безперервному нарахуванні.З формули (3) отримуємо
S* 1 =S 0 (1+r e /n) n
Прирівнюючи праві частини останньої формули та формули (4), вважаючи в останній T= 1, можна вивести співвідношення між величинами rі r e:
Ці формули широко використовуються у фінансових розрахунках.
Межа функції- Число aбуде межею деякої величини, що змінюється, якщо в процесі своєї зміни ця змінна величина необмежено наближається до a.
Або іншими словами, число Aє межею функції y = f(x)у точці x 0, якщо для будь - якої послідовності точок з області визначення функції , не рівних x 0, і яка сходиться до точки x 0 (lim x n = x0), послідовність відповідних значень функції сходиться до A.
Графік функції, межа якої при аргументі, що прагне нескінченності, дорівнює L:
Значення Ає межею (граничним значенням) функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якої послідовності точок 
, яка сходиться до x 0, але яка не містить x 0як один із своїх елементів (тобто в проколотій околиці x 0), послідовність значень функції 
сходиться до A.
Межа функції по Коші.
Значення Aбуде межею функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якого вперед взятого невід'ємного числа ε буде знайдено відповідне йому невід'ємне число δ = δ(ε) таке, що для кожного аргументу x, що задовольняє умову 0 < | x - x0 | < δ , буде виконано нерівність | f(x) A |< ε .
Буде дуже просто, якщо ви розумієте суть межі та основні правила знаходження його. Те, що межа функції f (x)при xщо прагне до aдорівнює A, записується таким чином:
Причому значення, якого прагне змінна x, може бути не лише числом, а й нескінченністю (∞), іноді +∞ або -∞, або межі може взагалі не бути.
Щоб зрозуміти, як знаходити межі функціїнайкраще подивитися приклади рішення.
Необхідно знайти межі функції f (x) = 1/xпри:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Знайдемо рішення першої межі. Для цього можна просто підставити замість xчисло, якого вона прагне, тобто. 2, отримаємо:
Знайдемо другу межу функції. Тут підставляти у чистому вигляді 0 замість xне можна, тому що. ділити на 0 не можна. Але ми можемо брати значення, наближені до нуля, наприклад, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 і так далі, причому значення функції f (x)збільшуватиметься: 100; 1000; 10000; 100000 і так далі. В.о., можна зрозуміти, що за x→ 0 значення функції, що стоїть під знаком межі, необмежено зростатиме, тобто. прагнути до нескінченності. А значить:
Стосовно третьої межі. Така ж ситуація, як і в минулому випадку, неможливо підставити ∞ В чистому вигляді. Потрібно розглянути випадок необмеженого зростання x. По черзі підставляємо 1000; 10000; 100000 і так далі маємо значення функції f (x) = 1/xбуде спадати: 0,001; 0,0001; 0,00001; і так далі, прагнучи нуля. Тому:
Необхідно обчислити межу функції 
Приступаючи до вирішення другого прикладу, бачимо невизначеність. Звідси знаходимо старший ступінь чисельника та знаменника - це x 3, Виносимо в чисельнику та знаменнику його за дужки і далі скорочуємо на нього:
Відповідь 
Першим кроком у знаходження цієї межі, підставимо значення 1 замість x, у результаті маємо невизначеність . Для її вирішення розкладемо чисельник на множники, зробимо це методом знаходження коріння квадратного рівняння x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 +12 = 16→ √ D =√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Таким чином, чисельник буде таким:
Відповідь 
Це визначення його конкретного значення чи певної області, куди потрапляє функція, обмежена межею.
Щоб вирішити межі, дотримуйтесь правил:
Розібравшись у суті та основних правилах вирішення межіВи отримаєте базове поняття про те, як їх вирішувати.
Поняття меж послідовностей та функцій. Коли потрібно знайти межу послідовності, це записують так: lim xn=a. У такій послідовності послідовності xn прагне a, а n до нескінченності. Послідовність зазвичай представляють у вигляді ряду, наприклад:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Послідовності поділяються на зростаючі та спадні. Наприклад:
xn=n^2 - зростаюча послідовність
yn=1/n - послідовність
Так, наприклад, межа послідовності xn=1/n^:
lim 1/n^2=0
x→∞
Ця межа дорівнює нулю, оскільки n→∞, а послідовність 1/n^2 прагне нуля.
Зазвичай змінна величина x прагне до кінцевої межі a, причому x постійно наближається до a, а величина a постійна. Це записують так: limx =a, причому, n також може прагнути як до нуля, так і до нескінченності. Існують нескінченні функції, їм межа прагне нескінченності. В інших випадках, коли, наприклад, функцією уповільнення ходу поїзда, можна про межу, що прагне до нуля.
У меж є ряд властивостей. Як правило, будь-яка функція має лише одну межу. Це основна властивість межі. Інші їх перераховані нижче:
* Межа суми дорівнює сумі меж:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Межа твору дорівнює твору меж:
lim(xy)=lim x*lim y
* Межа приватного дорівнює частки від меж:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постійний множник виносять за знак межі:
lim(Cx)=C lim x
Якщо дана функція 1 /x, в якій x →∞, її межа дорівнює нулю. Якщо ж x→0, межа такої функції дорівнює ∞.
Для тригонометричних функцій є такі правила. Так як функція sin x завжди прагне одиниці, коли наближається до нуля, для неї справедлива тотожність:
lim sin x/x=1
У ряді зустрічаються функції, при обчисленні меж яких виникає невизначеність - ситуація, коли межу неможливо обчислити. Єдиним виходом із такої ситуації стає Лопіталя. Існує два види невизначеностей:
* невизначеність виду 0/0
* невизначеність виду ∞/∞
Наприклад, дано межу такого виду: lim f(x)/l(x), причому, f(x0)=l(x0)=0. У такому разі виникає невизначеність виду 0/0. Для вирішення такої задачі обидві функції піддають диференціювання, після чого знаходять межу результату. Для невизначеностей виду 0/0 межа дорівнює:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Це правило справедливо й у невизначеностей типу ∞/∞. Але в цьому випадку справедлива така рівність: f(x)=l(x)=∞
За допомогою правила Лопіталя можна знаходити значення будь-яких меж, у яких фігурують невизначеності. Обов'язкова умова при
том - відсутність помилок під час перебування похідних. Так, наприклад, похідна функції (x^2)" дорівнює 2x. Звідси можна зробити висновок, що:
f"(x)=nx^(n-1)
