Математичне значення інтеграла. Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо F`(x)=f(x) або dF(x)=f(x)dx

Обчислення площі є основним теоретично площ. Виникає питання про її знаходження, коли фігура має неправильну форму або необхідно вдатися до її обчислення через інтеграл.

Ця стаття розповідає про обчислення площі криволінійної трапеції за геометричним змістом. Це дозволяє виявляти зв'язок між інтегралом та площею криволінійної трапеції. Якщо дана функція f (x), причому безперервна на інтервалі [a; b], знак перед виразом не змінюється.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Фігура, позначена як G , обмежена лініями виду y = f (x) , y = 0 , x = a і x = b називається криволінійною трапецією. Вона приймає позначення S(G).

Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Для обчислення криволінійної трапеції необхідно розбити відрізок [a; b] на кількість n частин x i-1; x i, i = 1, 2,. . . n з точками, визначеними на a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей Р и объемлющей Q многоугольными фигурами для G . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Звідси маємо, що P ⊂ G ⊂ Q , причому зі збільшенням кількості точок розбиття n отримаємо нерівність виду S - s< ε , где ε является малым положительным числом, s и S являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка [ a ; b ] . Иначе это запишется как lim λ → 0 S - s = 0 . Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f (x) d x .

З останньої рівності отримаємо, що певний інтеграл виду ∫ a b f (x) d x є площею криволінійної трапеції для безперервної заданої функції виду y = f (x) . Це і є геометричний зміст певного інтегралу.

При обчисленні ∫ a b f (x) d x отримаємо площу шуканої фігури, яка обмежується лініями y = f (x) , y = 0, x = a та x = b .

Примітка: Коли функція y = f(x) є непозитивною з відрізка [a; b ] , тоді отримуємо, що площа криволінійної трапеції обчислюється, виходячи з формули S (G) = - ∫ a b f (x) d x .

Приклад 1

Обчислити площу фігури, яка обмежена заданими лініями виду y = 2 · e x 3 y = 0 x = - 2 x = 3 .

Рішення

Для того, щоб вирішити, необхідно для початку побудувати фігуру на площині, де є пряма y = 0, що збігається з О х, з прямими виду x = - 2 і x = 3, паралельними осі о у, де крива y = 2 · e x 3 будується з допомогою геометричних перетворень графіка функції y = e x . Побудуємо графік.

Звідси видно, що потрібно знайти площу криволінійної трапеції. Згадуючи геометричний зміст інтеграла, отримуємо, що площу і буде виражена певним інтегралом, який необхідно дозволити. Отже, необхідно застосувати формулу S (G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x . Такий невизначений інтеграл обчислюється виходячи з формули Ньютона-Лейбніца

S(G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x = 6 · e x 3 - 2 3 = 6 · e 3 3 - 6 · e - 2 3 = 6 · e - e - 2 3

Відповідь: S(G) = 6 · e - e - 2 3

Примітка: Для знаходження площі криволінійної трапеції не завжди можна збудувати фігуру. Тоді рішення виконується в такий спосіб. При відомій функції f (x) невід'ємною або непозитивною на відрізку [a; b], застосовується формула виду S G = ∫ a b f (x) d x або S G = - ∫ a b f (x) d x .

Приклад 2

Здійснити обчислення площі, обмеженої лініями виду y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), y = 0, x = - 2, x = 4.

Рішення

Для побудови цієї фігури отримаємо, що у = 0 збігається з Ох, а х = - 2 та х = 4 є паралельними О у. Графік функції y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 - це парабола з координатами точки (- 1 ; 3) , що є її вершиною з спрямованими вгору гілками. Щоб знайти точки перетину параболи з Ох, необхідно обчислити:

1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 D = 2 2 - 4 · 1 · (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2 , x 2 = - 2 - 36 2 = - 4

Значить, парабола перетинає ох у точках (4; 0) і (2; 0). Звідси отримаємо, що фігура, позначена як G , отримає вигляд, зображений нижче.

Ця фігура не є криволінійною трапецією, тому що функція виду y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) змінює знак на проміжку [- 2; 4]. Фігура G може бути представлена ​​у вигляді об'єднань двох криволінійних трапецій G = G 1 ∪ G 2 виходячи з властивості адитивності площі, маємо, що S (G) = S (G 1) + S (G 2) . Розглянемо графік, наведений нижче.

Відрізок [-2; 4 ] вважається невід'ємною областю параболи, тоді звідси отримуємо, що площа матиме вигляд S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Відрізок [-2; 2 ] непозитивний для функції виду y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) , отже, виходячи з геометричного сенсу певного інтеграла, отримаємо, що S (G 1) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x. Необхідно здійснити обчислення за формулою Ньютона-Лейбніца. Тоді певний інтеграл набуде вигляду:

S (G) = S (G 1) + S (G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 - - 2 3 3 + (-2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9

Варто зазначити, що знаходження площі не вірне за принципом S(G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 · - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4

Так як отримане число є негативним і є різницею S (G 2) - S (G 1) .

Відповідь: S(G) = S(G1) + S(G2)=124 9

Якщо фігури обмежені лініями виду y = c , y = d , x = 0 і x = g (y) , а функція дорівнює x = g (y) , причому безперервна і має знак на проміжку [ c ; d], то їх називають криволінійними тарпеціями. Розглянемо на рисунку, наведеному нижче.

∫ c d g (y) d y полягає в тому, що його значенням є площа криволінійної трапеції для безперервної та невід'ємної функції виду x = g (y), розташованої на інтервалі [c; d].

Приклад 3

Провести обчислення фігури, яка обмежена віссю ординат і лініями x = 4 l y + 3 , y = 1 , y = 4 .

Рішення

Побудова графіка x = 4 l y + 3 не є простою. Тому необхідно вирішити без креслення. Згадаймо, що функція визначена всім позитивних значень y . Розглянемо значення функції, що є на відрізку [1; 4]. За властивостями елементарних функцій знаємо, що логарифмічна функція зростає по всій області визначення. Тоді не відрізку [1; 4] є невід'ємною. Отже маємо, що ln y ≥ 0 . Існуюче вираз ln y y , визначене тому ж відрізку, неотрицательно. Можна зробити висновок, що функція x = 4 ln y y + 3 є позитивною на інтервалі, що дорівнює [1; 4]. Виходить, що фігура на цьому інтервалі є позитивною. Тоді її площа повинна обчислюватися за формулою S (G) = ∫ 1 4 4 l y + 3 d y .

Необхідно здійснити обчислення невизначеного інтеграла. Для цього необхідно знайти первісну функцію x = 4 ln y y + 3 і застосувати формулу Ньютона-Лейбніца. Отримуємо, що

∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d (ln y) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + C = 2 ln 2 y + 3 y + C ⇒ S(G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 · 4 - (2 ln 2 1 + 3 · 1) = 8 ln 2 2 + 9

Розглянемо креслення, наведене нижче.

Відповідь: S(G) = 8 ln 2 2 + 9

Підсумки

У цій статті ми виявили геометричний зміст певного інтегралу та вивчили зв'язок із площею криволінійної трапеції. Звідси випливає, що ми маємо можливість обчислювати площу складних фігур за допомогою обчислення інтегралу для криволінійної трапеції. У розділі знаходження площ та фігур, які обмеженими лініями y = f(x), x = g(y), дані приклади розглянуті докладно.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Розглянемо рух точки вздовж прямої. Нехай за час tвід початку руху точка пройшла шлях s(t).Тоді миттєва швидкість v(t)дорівнює похідній функції s(t),тобто v(t) = s"(t).

У практиці зустрічається зворотне завдання: по заданій швидкості руху точки v(t)знайти пройдений нею шлях s(t), тобто знайти таку функцію s(t),похідна якої дорівнює v(t). функцію s(t),таку, що s"(t) = v(t), називають первісної функції v(t).

Наприклад, якщо v(t) = аt, де а- задане число, то функція
s(t) = (аt 2) / 2v(t),так як
s"(t) = ((аt 2) / 2)" = аt = v(t).

Функція F(x)називається первісної функції f(x)на деякому проміжку, якщо для всіх хз цього проміжку F"(x) = f(x).

Наприклад, функція F(x) = sin xє первісної функції f(x) = cos x,так як (sin x)" = cos x; функція F(x) = х 4/4є первісної функції f(x) = х 3, так як (х 4/4)" = х 3 .

Розглянемо завдання.

Завдання.

Довести, що функції х 3 /3, х 3 /3 + 1, х 3 /3 – 4 є першорідною однієї й тієї функції f(x) = х 2 .

Рішення.

1) Позначимо F 1 (x) = х 3 /3, тоді F" 1 (x) = 3 ∙ (х 2 / 3) = х 2 = f (x).

2) F 2 (x) = х 3 / 3 + 1, F "2 (x) = (х 3 / 3 + 1)" = (х 3 / 3) "+ (1)" = х 2 = f ( x).

3) F 3 (x) = x 3 / 3 - 4, F "3 (x) = (x 3 / 3 - 4)" = x 2 = f (x).

Взагалі будь-яка функція х 3 /3 + З, де З - постійна, є первісної функції х 2 . Це випливає з того, що похідна постійної дорівнює нулю. Цей приклад показує, що з заданої функції її первісна визначається неоднозначно.

Нехай F 1 (x) і F 2 (x) – дві первісні однієї й тієї функції f(x).

Тоді F 1 "(x) = f(x) та F" 2 (x) = f(x).

Похідна їх різниця g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) дорівнює нулю, оскільки g"(х) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) – f (x) = 0.

Якщо g"(х) = 0 на деякому проміжку, то дотична до графіка функції у = g(х) у кожній точці цього проміжку паралельна осі Ох. Тому графіком функції у = g(х) є пряма, паралельна осі Ох, т. е. g(х) = С, де С - деяка постійна. 2(x)+С.

Отже, якщо функція F(x) є первісною функцією f(x) на деякому проміжку, то всі первісні функції f(x) записуються у вигляді F(x) + С, де С – довільна стала.

Розглянемо графіки всіх первісних заданої функції f(x). Якщо F(x) – одна з первісних функцій f(x), то будь-яка первісна цієї функції виходить додаванням до F(x) деякої постійної: F(x) + С. Графіки функцій у = F(x) + С виходять з графіка у = F(x) зрушенням уздовж осі Оу. Вибором можна домогтися того, щоб графік першорядної проходив через задану точку.

Звернімо увагу до правил знаходження первообразных.

Згадаємо, що операцію знаходження похідної для заданої функції називають диференціюванням. Зворотну операцію знаходження первісної для цієї функції називають інтегруванням(від латинського слова «відновлювати»).

Таблицю первіснихдля деяких функцій можна скласти за допомогою таблиці похідних. Наприклад, знаючи, що (cos x)" = -sin x,отримуємо (-cos x)" = sin xзвідки випливає, що всі першорядні функції sin xзаписуються у вигляді -cos x + С, де З- Постійна.

Розглянемо деякі значення первісних.

1) Функція: х р, р ≠ -1. Первісна: (х р+1)/(р+1) + С.

2) Функція: 1/х, х> 0.Первісна: ln x + З.

3) Функція: х р, р ≠ -1. Первісна: (х р+1)/(р+1) + С.

4) Функція: е х. Первісна: ех+С.

5) Функція: sin x. Первісна: -cos x+С.

6) Функція: (kx + b) p , р ≠ -1, k ≠ 0.Первісна: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + С.

7) Функція: 1/(kx + b), k ≠ 0. Первісна: (1/k) ln (kx+b)+С.

8) Функція: е kx + b , k ≠ 0. Первісна: (1/k) е kx + b + С.

9) Функція: sin (kx + b), k ≠ 0. Первісна: (-1/k) cos (kx + b).

10) Функція: cos (kx + b), k ≠ 0.Первісна: (1/k) sin (kx + b).

Правила інтегруванняможна отримати за допомогою правил диференціювання. Розглянемо деякі правила.

Нехай F(x)і G(x)– первісні відповідно до функцій f(x)і g(x)на деякому проміжку. Тоді:

1) функція F(x) ± G(x)є первісної функції f(x) ± g(x);

2) функція аF(x)є первісної функції аf(x).

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Цей урок – перший із серії відео, присвячених інтегруванню. У ньому ми розберемо, що таке первісна функція, а також вивчимо елементарні прийоми обчислення цих самих первісних.

Насправді тут немає нічого складного: по суті, все зводиться до поняття похідної, з яким ви вже повинні знайомі.

Відразу зазначу, що оскільки це найперший урок у нашій новій темі, сьогодні не буде жодних складних обчислень і формул, але те, що ми вивчимо сьогодні, ляже в основу набагато складніших викладок і конструкцій при обчисленні складних інтегралів і площ.

Крім того, приступаючи до вивчення інтегрування та інтегралів зокрема, ми неявно припускаємо, що учень уже, як мінімум, знайомий до понять похідної та має хоча б елементарні навички їх обчислення. Без чіткого розуміння цього робити в інтегруванні зовсім нічого.

Однак тут криється одна з найчастіших і підступних проблем. Справа в тому, що, починаючи обчислювати свої перші первообразні, багато учнів плутають їх із похідними. В результаті на іспитах та самостійних роботах допускаються дурні та образливі помилки.

Тому зараз я не даватиму чіткого визначення первісної. А натомість пропоную вам подивитися, як вона вважається на простому конкретному прикладі.

Що таке первісна і як вона вважається

Ми знаємо таку формулу:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Вважається ця похідна елементарно:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Подивимося уважно на отриманий вираз і виразимо $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Але ми можемо записати і так, згідно з визначенням похідної:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

А тепер увага: те, що ми тільки-но записали і є визначенням першорядної. Але щоб записати її правильно, потрібно написати таке:

Аналогічно запишемо і такий вираз:

Якщо ми узагальним це правило, то зможемо вивести таку формулу:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Наразі ми можемо сформулювати чітке визначення.

Первоподібною функцією називається така функція, похідна якої дорівнює вихідній функції.

Питання про первинну функцію

Здавалося б, досить просте та зрозуміле визначення. Однак, почувши його, у уважного учня одразу виникне кілька запитань:

1. Допустимо, добре, ця формула вірна. Однак у цьому випадку при $n=1$ у нас виникають проблеми: у знаменнику з'являється нуль, а на нуль ділити не можна.
2. Формула обмежується лише ступенями. Як вважати первісну, наприклад, синуса, косинуса та будь-якої іншої тригонометрії, а також констант.
3. Екзистенційне питання: а чи взагалі можна знайти первісну? Якщо так, то як бути з первісної суми, різниці, твори тощо?

На останнє запитання я відповім одразу. На жаль, первісна, на відміну похідної, вважається який завжди. Немає такої універсальної формули, за якою з будь-якої вихідної конструкції ми отримаємо функцію, яка дорівнюватиме цій подібній конструкції. А щодо ступенів і констант — зараз ми про це поговоримо.

Розв'язання задач зі статечними функціями

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Як бачимо, ця формула для $((x)^(-1))$ не працює. Постає питання: а що тоді працює? Невже ми можемо порахувати $((x)^(-1))$? Звичайно можемо. Тільки давайте спершу згадаємо таке:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Тепер подумаємо: похідна якої функції дорівнює $ frac (1) (x) $. Очевидно, що будь-який учень, який хоч трохи займався цією темою, згадає, що до цього виразу дорівнює похідна натурального логарифму:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Тому ми впевнено можемо записати наступне:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Цю формулу потрібно знати, так само, як і похідну статечної функції.

Отже, що нам відомо на даний момент:

• Для статечної функції $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Для константи - $ = const \ to \ cdot x $
• Частковий випадок статечної функції - $\frac(1)(x)\to \ln x$

А якщо найпростіші функції ми почнемо множити і ділити, як тоді порахувати первісну твори чи приватного. На жаль, аналогії із похідною твору чи приватного тут не працюють. Якоїсь стандартної формули не існує. Для деяких випадків існують хитрі спеціальні формули – з ними ми познайомимося на майбутніх відеоуроках.

Однак запам'ятайте: загальної формули, аналогічної формулі для обчислення похідної частки та твору, не існує.

Розв'язання реальних завдань

Завдання №1

Давайте кожну зі статечних функцій порахуємо окремо:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Повертаючись до нашого висловлювання, ми запишемо загальну конструкцію:

Завдання № 2

Як я вже казав, первісні твори та приватного «напролом» не вважаються. Однак тут можна вчинити так:

Ми розтрощили дріб на суму двох дробів.

Порахуємо:

Хороша новина полягає в тому, що знаючи формули обчислення первісних, ви вже здатні вважати складніші конструкції. Однак давайте підемо далі і розширимо наші знання ще трохи. Справа в тому, що багато конструкцій і виразів, які, на перший погляд, не мають жодного відношення до $((x)^(n))$, можуть бути представлені у вигляді ступеня з раціональним показником, а саме:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Всі ці прийоми можна комбінувати. Ступінні вирази можна

• множити (ступеня складаються);
• ділити (ступеня віднімаються);
• множити на константу;
• і т.д.

Рішення виразів зі ступенем із раціональним показником

Приклад №1

Порахуємо кожен корінь окремо:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Всього всю нашу конструкцію можна записати так:

Приклад №2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac()) 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Отже, ми отримаємо:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Отже, збираючи все в один вираз, можна записати:

Приклад №3

Для початку зауважимо, що $sqrt(x)$ ми вже вважали:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Перепишемо:

Сподіваюся, я нікого не здивую, якщо скажу, що те, що ми щойно вивчали, — це лише найпростіші обчислення первісних, найпростіші конструкції. Давайте зараз розглянемо трохи складніші приклади, у яких крім табличних першоподібних ще потрібно згадати шкільну програму, зокрема, формули скороченого множення.

Рішення складніших прикладів

Завдання №1

Згадаймо формулу квадрата різниці:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Давайте перепишемо нашу функцію:

Першорядну таку функцію нам зараз належить знайти:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Збираємо все у загальну конструкцію:

Завдання № 2

В цьому випадку нам потрібно розкрити куб різниці. Згадаймо:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

З огляду на цей факт можна записати так:

Давайте трохи перетворимо нашу функцію:

Вважаємо як завжди - по кожному доданку окремо:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Запишемо отриману конструкцію:

Завдання №3

Зверху у нас коштує квадрат суми, давайте його розкриємо:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Давайте напишемо підсумкове рішення:

А тепер увага! Дуже важлива річ, з якою пов'язана левова частка помилок та непорозуміння. Справа в тому, що досі вважаючи першорядні за допомогою похідних, наводячи перетворення, ми не замислювалися про те, чому дорівнює похідна константи. Адже похідна константи дорівнює «нулю». А це означає, що можна записати такі варіанти:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ось це дуже важливо розуміти: якщо похідна функції завжди одна й та сама, то першорядних в одній і тій же функції нескінченно багато. Просто до наших первісних ми можемо дописувати будь-які числа-константи та отримувати нові.

Невипадково, у поясненні до завдань, які ми щойно вирішували, було написано «Запишіть загальний вигляд первісних». Тобто. вже заздалегідь передбачається, що їх не одна, а безліч. Але, насправді, вони відрізняються лише константою $C$ наприкінці. Тому в наших завданнях ми виправимо те, чого ми не дописали.

Ще раз переписуємо наші конструкції:

У разі слід дописувати, що $C$ — константа — $C=const$.

У другій нашій функції ми отримаємо таку конструкцію:

І остання:

І ось тепер ми справді отримали те, що від нас вимагалося у вихідній умові завдання.

Розв'язання задач на знаходження первісних із заданою точкою

Зараз, коли ми знаємо про константи і про особливості запису первообразних, цілком логічно виникає наступний тип завдань, коли з безлічі всіх первісних потрібно знайти одну-єдину таку, яка проходила через задану точку. У чому полягає це завдання?

Справа в тому, що всі первісні цієї функції відрізняються лише тим, що вони зрушені по вертикалі на якесь число. А це означає, що яку б точку на координатній площині ми не взяли, обов'язково пройде одна первісна, і лише одна.

Отже, завдання, які зараз ми вирішуватимемо, сформульовані в такий спосіб: не просто знайти первісну, знаючи формулу вихідної функції, а вибрати саме таку з них, яка проходить через задану точку, координати якої будуть дані за умови завдання.

Приклад №1

Для початку просто порахуємо кожне доданок:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Тепер підставляємо ці висловлювання до нашої конструкції:

Ця функція повинна проходити через точку $M\left(-1;4\right)$. Що означає, що вона проходить через точку? Це означає, що якщо замість $x$ поставити скрізь $-1$, а замість $F\left(x \right)$ - $-4$, то ми повинні отримати правильну числову рівність. Давайте так і зробимо:

Ми бачимо, що у нас вийшло рівняння щодо $C$, тому давайте спробуємо його вирішити:

Давайте запишемо те саме рішення, яке ми шукали:

Приклад №2

Насамперед необхідно розкрити квадрат різниці за формулою скороченого множення:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Вихідна конструкція запишеться так:

Тепер давайте знайдемо $C$: підставимо координати точки $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Висловлюємо $C$:

Залишилося відобразити підсумковий вираз:

Розв'язання тригонометричних завдань

Як фінальний акорд до того, що ми щойно розібрали, пропоную розглянути два складніші завдання, в яких міститься тригонометрія. У них точно так само потрібно знайти першорядні для всіх функцій, потім вибрати з цієї множини одну-єдину, яка проходить через точку $M$ на координатній площині.

Забігаючи наперед, хотів би зазначити, що той прийом, який ми зараз використовуватимемо для знаходження первісних від тригонометричних функцій, насправді є універсальним прийомом для самоперевірки.

Завдання №1

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Виходячи з цього, ми можемо записати:

Давайте підставимо координати точки $M$ у наш вираз:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Перепишемо вираз з урахуванням цього факту:

Завдання № 2

Тут буде трохи складніше. Зараз побачите чому.

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Щоб позбутися «мінусу», необхідно зробити наступне:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Ось наша конструкція

Підставимо координати точки $M$:

Разом запишемо остаточну конструкцію:

Ось і все, про що я сьогодні хотів вам розповісти. Ми вивчили сам термін первісних, як рахувати їх від елементарних функцій, а також як знаходити первісну, яка проходить через конкретну точку на координатній площині.

Сподіваюся, цей урок хоч трохи допоможе вам розібратися у цій складній темі. У будь-якому випадку, саме на первообразних будуються невизначені і невизначені інтеграли, тому вважати їх необхідно. На цьому маю все. До нової зустрічі!

Деякому проміжку Х. Якщо длябудь-якого хХ F"(x) = f(x), то функція F називаєтьсяпервісноїдляфункції f на проміжку Х. Першоряднудляфункціїможна спробувати...