Медіани прямокутного трикутника поділяються. Властивості медіани прямокутного трикутника
1. Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.
2. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіннятрикутник.
3. Весь трикутник поділяється своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.
Властивості бісектрис трикутника
1. Бісектриса кута – це геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін цього кута.
2. Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам: .
3. Точка перетину бісектрис трикутника є центром кола, вписаного в цей трикутник.
Властивості висот трикутника
1. У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібні до вихідного.
2. У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні 
трикутники.
Властивості серединних перпендикулярів трикутника
1. Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Правильне і зворотне твердження: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі щодо нього.
2. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника, є центром кола, описаного біля цього трикутника.
Властивість середньої лінії трикутника
Середня лінія трикутника паралельна до однієї з його сторін і дорівнює половині цієї сторони.
Подібність трикутників
Два трикутники подібні,якщо виконується одна з наступних умов, ознаками подібності:
· Два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника;
· Дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути, утворені цими сторонами, рівні;
· Три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого трикутника.
У подібних трикутниках відповідні лінії (висоти, медіани, бісектриси тощо) пропорційні.
Теорема синусів
Теорема косінусів
a 2= b 2+ з 2- 2bc cos
Формули площі трикутника
1. Довільний трикутник
a, b, c -сторони; - кут між сторонами aі b; - Напівпериметр; R -радіус описаного кола; r -радіус вписаного кола; S -площа; h a -висота, проведена до 
боці a.
S = ah a
S = ab sin
S = pr
2. Прямокутний трикутник
a, b -катети; c -гіпотенуза; h c -висота, проведена до сторони c.
S = ch c S = ab
3. Рівносторонній трикутник
Чотирикутники
Властивості паралелограма 
· Протилежні сторони рівні;
· Протилежні кути рівні;
· Діагоналі точкою перетину діляться навпіл;
· Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, дорівнює 180 °;
· Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін:
d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).
Чотирьохкутник є паралелограмом, якщо:
1. Дві його протилежні сторони рівні та паралельні.
2. Протилежні сторони попарно рівні.
3. Протилежні кути попарно рівні.
4. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
Властивості трапеції
· Її середня лінія паралельна основам і дорівнює їх напівсумі;
· Якщо трапеція рівнобока, то її діагоналі рівні та кути при підставі рівні;
· Якщо трапеція рівнобока, то біля неї можна описати коло;
· Якщо сума підстав дорівнює сумі бічних сторін, то до неї можна вписати коло.
Властивості прямокутника
· Діагоналі рівні.
Паралелограм є прямокутником, якщо:
1. Один із його кутів прямий.
2. Його діагоналі рівні.
Властивості ромба
· Всі властивості паралелограма;
· Діагоналі перпендикулярні;
· Діагоналі є бісектрисами його кутів.
1. Паралелограм є ромбом, якщо:
2. Дві його суміжні сторони рівні.
3. Його діагоналі перпендикулярні.
4. Одна з діагоналей є бісектрисою його кута.
Властивості квадрата
· Всі кути квадрата прямі;
· Діагоналі квадрата рівні, взаємно перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути квадрата навпіл.
Прямокутник є квадратом, якщо він має якусь ознаку ромба.
Основні формули
1. Довільний опуклий чотирикутник 
d 1,d 2 -діагоналі; - Кут між ними; S -площу.
S = d 1 d 2 sin
Медіаною називається відрізок, проведений з вершини трикутника на середину протилежної сторони, тобто ділить її точкою перетину навпіл. Крапка, в якій медіана перетинає протилежну вершині, з якої вона виходить, бік, називається основою. Через одну точку, яку називають точкою перетину, проходить кожна медіана трикутника. Формула довжини її може виражатися кількома способами.
Формули для вираження довжини медіани
- Найчастіше в задачах геометрії учням доводиться мати справу з таким відрізком, як медіана трикутника. Формула її довжини виражається через сторони:
де a, b та c - сторони. Причому є стороною, на яку медіана опускається. Таким чином виглядає найпростіша формула. Медіани трикутника іноді потрібно проводити для допоміжних розрахунків. Є й інші формули.
- Якщо при розрахунку відомі дві сторони трикутника і певний кут α, що знаходиться між ними, довжина медіани трикутника, опущеної до третьої сторони, буде виражатися так.
Основні властивості
- Усі медіани мають одну загальну точку перетину O і нею ж діляться щодо два до одного, якщо вести відлік від вершини. Така точка називається центру тяжкості трикутника.
- Медіана поділяє трикутник на два інших площі яких рівні. Такі трикутники називаються рівновеликими.
- Якщо провести всі медіани, то трикутник буде поділено на 6 рівновеликих фігур, які також будуть трикутниками.
- Якщо в трикутнику всі три сторони рівні, то в ньому кожна з медіан буде також висотою і бісектрисою, тобто перпендикулярна тій стороні, до якої вона проведена, і поділяє кут, з якого вона виходить.
- У рівнобедреному трикутнику медіана, опущена з вершини, що знаходиться навпроти сторони, що не дорівнює жодній іншій, буде також висотою та бісектрисою. Медіани, опущені інших вершин, рівні. Це також є необхідною та достатньою умовою рівнобедреності.
- Якщо трикутник є основою правильної піраміди, то висота, опущена на цю основу, проектується в точку перетину всіх медіан.
- У прямокутному трикутнику медіана, проведена до найбільшої сторони, дорівнює половині її довжини.
- Нехай O – точка перетину медіан трикутника. Формула, наведена нижче, буде вірною для будь-якої точки M.
- Ще однією властивістю має медіана трикутника. Формула квадрата її довжини через квадрати сторін представлена нижче.
Властивості сторін, до яких проведено медіану
- Якщо з'єднати будь-які дві точки перетину медіан зі сторонами, на які вони опущені, то отриманий відрізок буде середньою лінією трикутника і складатиме одну другу від сторони трикутника, з якої вона не має спільних точок.
- Основи висот і медіан у трикутнику, а також середини відрізків, що з'єднують вершини трикутника з точкою перетину висот, лежать на одному колі.
На закінчення логічно сказати, що одним із найважливіших відрізків є саме медіана трикутника. Формула її може використовуватися при знаходженні довжин інших сторін.
Примітка. У цьому уроці викладено теоретичні матеріали та розв'язання задач з геометрії на тему "медіана у прямокутному трикутнику". Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Майже курс буде доповнений.
Властивості медіани прямокутного трикутника
Визначення медіани
- Медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться цією точкою на дві частини щодо 2:1, рахуючи від вершини кута. Точка їх перетину називається центром тяжкості трикутника (щодо рідко в задачах для позначення цієї точки використовується термін "центроїд"),
- Медіана розбиває трикутник на два рівновеликі трикутники.
- Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників.
- Більшій стороні трикутника відповідає менша медіана.
Завдання з геометрії, пропоновані для вирішення, в основному використовують наступні властивості медіани прямокутного трикутника.
- Сума квадратів медіан, опущених на катети прямокутного трикутника, дорівнює п'яти квадратам медіани, опущеної на гіпотенузу (Формула 1)
- Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи(Формула 2)
- Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколоданого прямокутного трикутника (Формула 2)
- Медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює половині кореня квадратного із суми квадратів катетів(Формула 3)
- Медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від розподілу довжини катета на два синуси протилежного катету гострого кута (Формула 4)
- Медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від розподілу довжини катета на два косинуси гострого кута, що прилягає катету (Формула 4)
- Сума квадратів сторін прямокутного трикутника дорівнює восьми квадратам медіани, опущеної з його гіпотенузу (Формула 5)
Позначення у формулах:
a, b- катети прямокутного трикутника
c- гіпотенуза прямокутного трикутника
Якщо позначити трикутник як ABC, то
НД = а
(тобто сторони a, b, c – є протилежними відповідним кутам)
m a- медіана, проведена до катета а
m b- медіана, проведена до катета b
m c - медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи з
α (альфа)- кут CAB, що протилежить стороні а
Завдання про медіану у прямокутному трикутнику
Медіани прямокутного трикутника, проведені до катет, рівні, відповідно, 3 см і 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника
Рішення
Перш ніж розпочати розв'язання задачі, звернемо увагу на співвідношення довжини гіпотенузи прямокутного трикутника та медіани, яка опущена на неї. Для цього звернемося до формул 2, 4, 5 властивостей медіани у прямокутному трикутнику. У цих формулах явно зазначено співвідношення гіпотенузи та медіани, яка на неї опущена як 1 до 2. Тому, для зручності майбутніх обчислень (що ніяк не вплине на правильність рішення, але зробить його зручнішим), позначимо довжини катетів AC і BC через змінні x і y як 2x та 2y (а не x та y).
Розглянемо прямокутний трикутник ADC. Кут C має прямий за умовою завдання, катет AC - загальний з трикутником ABC, а катет CD дорівнює половині BC згідно з властивостями медіани. Тоді, за теоремою Піфагора
AC 2 + CD 2 = AD 2
Оскільки AC = 2x, CD = y (оскільки медіана ділить катет на дві рівні частини), то
4x 2 + y 2 = 9
Одночасно розглянемо прямокутний трикутник EBC. У нього також кут З прямою за умовою завдання, катет BC є спільним з катетом BC вихідного трикутника ABC, а катет EC за якістю медіани дорівнює половині катета AC вихідного трикутника ABC.
За теоремою Піфагора:
EC 2 + BC 2 = BE 2
Оскільки EC = x (медіана ділить катет навпіл), BC = 2y, то
x 2 + 4y 2 = 16
Так як трикутники ABC, EBC і ADC пов'язані між собою загальними сторонами, то обидва отримані рівняння також пов'язані між собою.
Розв'яжемо отриману систему рівнянь.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16
При вивченні будь-якої теми шкільного курсу можна відібрати певний мінімум завдань, оволодівши методами вирішення яких, учні будуть в змозі вирішити будь-яке завдання на рівні програмних вимог з теми, що вивчається. Пропоную розглянути завдання, що дозволять побачити взаємозв'язки окремих тем шкільного курсу математики. Тому складена система завдань є ефективним засобом повторення, узагальнення та систематизації навчального матеріалу під час підготовки учнів до іспиту.
Для складання іспиту не зайвими будуть додаткові відомості про деякі елементи трикутника. Розглянемо властивості медіани трикутника та завдання, при вирішенні яких цими властивостями можна скористатися. У запропонованих завданнях реалізується принцип рівневої диференціації. Усі завдання умовно поділені на рівні (рівень вказаний у дужках після кожного завдання).
Згадаймо деякі властивості медіани трикутника
Властивість 1. Доведіть, що медіана трикутника ABC, проведена з вершини Aменше півсуми сторін ABі AC.
Доведення
https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="(!LANG:$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}
Властивість 2. Медіана розтинає трикутник на два рівновеликі.
Доведення
Проведемо з вершини B трикутника ABC медіану BD та висоту BE..gif" alt="(!LANG:Площадь" width="82" height="46">!}
Оскільки відрізок BD є медіаною, то
що й потрібно було довести.
https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="(!LANG:Медіана" align="left" width="196" height="75 src=">!} Властивість 4. Медіани трикутника ділять трикутник на 6 рівновеликих трикутників.
Доведення
Доведемо, що площа кожного із шести трикутників, на які медіани розбивають трикутник ABC, дорівнює площі трикутника ABC. Для цього розглянемо, наприклад, трикутник AOF та опустимо з вершини A перпендикуляр AK на пряму BF .
В силу властивості 2,
https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="(!LANG:Медіана" align="left" width="105" height="132 src=">!}
Властивість 6. Медіана у прямокутному трикутнику, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.
Доведення
https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="(!LANG:Медіана" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}
Наслідки:1. Центр описаного біля прямокутного трикутника кола лежить на середині гіпотенузи.
2. Якщо в трикутнику довжина медіани дорівнює половині довжини сторони, до якої вона проведена, цей трикутник – прямокутний.
ЗАВДАННЯ
При вирішенні кожної наступної задачі використовуються доведені властивості.
№1 Теми: Подвоєння медіани. Складність: 2+
Ознаки та властивості паралелограма Класи: 8,9
Умова
На продовженні медіани AMтрикутника ABCза крапку Mвідкладений відрізок MD, рівний AM. Доведіть, що чотирикутник ABDC- Паралелограм.
Рішення
Скористаємося однією з ознак паралелограма. Діагоналі чотирикутника ABDCперетинаються у точці Mі діляться нею навпіл, тому чотирикутник ABDC- Паралелограм.
