Заходи оцінки різноманітності ознаки в сукупності та типовості середніх величин. Середні величини

У процесі обробки та узагальнення статистичних даних виникає необхідність визначення середніх величин. Як правило, індивідуальні значення однієї й тієї ж ознаки у різних одиниць сукупності неоднакові.

Середня величина – узагальнююча характеристика досліджуваної ознаки в досліджуваній сукупності. Вона відбиває його типовий рівень у розрахунку на одиницю сукупності у конкретних умовах місця та часу.

Наприклад, щодо доходів робочих підприємства узагальнюючою характеристикою служить середній дохід одного робітника. Для його визначення загальну суму коштів, спрямованих на споживання, у вигляді заробітної плати, соціальних та трудових пільг, матеріальної допомоги, дивідендів з акцій та відсотків за вкладами у майно підприємства за аналізований період (рік, квартал, місяць) ділять на чисельність робітників підприємства. Середній дохід характеризує те загальне, що властиво всієї сукупності робітників підприємства, тобто. рівень доходу маси робітників у конкретних умовах функціонування даного підприємства у аналізованому періоді.

Середня, розрахована за сукупністю загалом, називається загальної середньої.

Середні, обчислені кожної групи, називаються груповими середніми.

Чим більше одиниць сукупності, якими розраховується середня, тим вона стійкіше, тобто. точніше. Розрахунок середньої величини включає дві операції:

I- підсумовування даних по всіх одиницях (узагальнення даних);

II – розподіл сумованих даних на число одиниць сукупності.

– середня величина для ознаки ; n- Кількість одиниць сукупності;

хi – індивідуальне значення ознаки кожної одиниці сукупності.

Сутність середньої величини визначає її особливу значимість за умов ринкової економіки. Середня величина через одиничне та випадкове дозволяє виявити загальне та необхідне, виявити тенденцію закономірності економічного розвитку.

Ступінні середні:

ü середня арифметична;

ü середня геометрична;

ü середня гармонійна;

ü середня квадратична;

ü середня хронологічна.

Структурні середні: мода та медіана.

Вибір тієї чи іншої виду середньої проводиться залежно від мети дослідження, економічної сутності показника, що усредняется, і характеру наявних вихідних даних. Тільки тоді, коли середня застосовна правильно, набувають величини, що мають реальний економічний сенс.

Середня арифметична –найпоширеніший вид середньої.

Під середньою арифметичною розуміється таке значення ознаки, яке мала кожна одиниця сукупності, якби загальний підсумок всіх значень ознаки був розподілений рівномірно між усіма одиницями сукупності.

Вона обчислюється у випадках, коли обсяг осредняемого ознаки утворюється як сума його значень в окремих одиниць вивчається статистичної сукупності. Залежно від характеру вихідних даних середня арифметична визначається так:

Проста арифметична середня обчислюється шляхом розподілу суми значень з їхньої кількість.

приклад: Заробітна плата за січень у 3-х робітників одного цеху склала: 6500, 4955, 5323 рубля. Середня з/плата протягом місяця становить: крб.

Приклад:Вирахувати середній стаж десяти працівників торговельного підприємства. Поодиноке значення ознаки (років): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6 +5 +4 +3 +3 +4 +5 +4 +5 +4): 10 = 43: 10 = 4,3 роки.

Як бачимо, середня арифметична може виявитися дробовим числом, навіть індивідуальні значення ознаки задані лише цілими числами. Це випливає з сутності середньої арифметичної, яка є абстрактна величина (теоретична), тобто. вона може набувати таке числове значення, яке не зустрічається у представленій сукупності індивідуальних значень ознаки.

Середня арифметична зважена

Часто доводиться розраховувати середнє значення ознаки по ряду розподілу, коли те саме значення ознаки зустрічається кілька разів. Об'єднавши дані за величиною ознаки (тобто згрупувавши) і підрахувавши число випадків повторення кожного з них, ми отримаємо наступний варіаційний ряд.

Отже, для обчислення виваженої середньої виконуються такі послідовні операції: множення кожного варіанта з його частоту, підсумовування отриманих творів, розподіл отриманої суми у сумі частот.

Середня арифметична зважена враховує різне значення окремих варіантів у межах сукупності. Тому вона повинна вживатися у всіх випадках, коли варіанти мають різну чисельність. Вживання простої середньої у випадках неприпустимо, оскільки воно неминуче призводить до спотворення статистичних показників.

Арифметична середня як би розподіляє порівну між окремими об'єктами загальну величину ознаки, що насправді варіює у кожного з них.

Іноді обчислення середніх величин доводиться проводити і за даними, що згруповані у вигляді інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки, з яких обчислюється середня, представлені у вигляді інтервалів (від – до). Для обчислення середньої величини треба в кожному варіанті визначити серединне значення х, після чого зважувати звичайним порядком х у

У закритому інтервалі серединне значення визначається як напівсума значень нижньої та верхньої меж.

Завдання обчислення середньої за величинами інтервального ряду ускладнюється тим, що невідомі крайні межі початкового та кінцевого інтервалів. У цьому випадку передбачається, що відстань між межами даного інтервалу така сама, як і в сусідньому інтервалі.

Необхідно відзначити, що, хоча ми і використовуємо для розрахунку середньої з інтервального ряду формулу середньої арифметичної зваженої, обчислена середня не є точною величиною, тому що в результаті множення середніх значень груп на їх чисельність ми не отримаємо дійсного значення. Ступінь розбіжності залежить від низки причин: 1 – число варіантів. Чим більше число варіант, тим ймовірніше, що середина інтервалу мало відрізнятиметься від групової середньої. Якщо ж на кожну групу припадає невелика кількість одиниць, групові середні можуть бути не тільки в середині, а й поблизу верхньої, або нижньої межі інтервалу.

Наприклад,потрібно вирахувати середній стаж роботи 12 працівників рекламного агентства. При цьому відомі індивідуальні значення ознаки (стажу) у роках: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Об'єднавши дані за величиною ознаки та підрахувавши число випадків повторення кожного з них, проведемо розрахунок середнього стажу за згрупованими даними за допомогою формули середньої зваженої арифметичної.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 року.

У практиці статистичної обробки матеріалу виникають різні завдання, що мають особливості у вивченні явищ і потребують застосування різних середніх у їх вирішенні. Враховуючи, що статистичні середні завжди виражають якісні властивості досліджуваних суспільних процесів та явищ, важливо правильно вибрати форму середньої, виходячи із взаємозв'язку явищ та їх ознак.

Властивості середньої арифметичної:

Середня арифметична має ряд властивостей, знання яких необхідне розуміння сутності середніх, і навіть для спрощення їх обчислення.

1. Середня арифметична суми варіюючих величин дорівнює сумі середніх арифметичних величин:

Якщо x i = y i + z i то

Це показує, у випадках можна підсумовувати середні величини. Якщо, наприклад, вироби, що випускаються, складаються з двох деталей yі zі виготовлення кожної з них витрачається в середньому у= 3 год, z = 5год, то середні витрати часу виготовлення одного виробу ( х), дорівнюватимуть: 3+5 = 8 год, тобто. х= у + z.

2. Алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень варіює ознаки від середньої дорівнює нулю, тому що сума відхилень в один бік погашається сумою відхилень в інший бік, тобто.

, тому що

Це показує, що середня є равнодействующей.

3. Якщо всі варіанти ряду зменшити або збільшити на те саме число а,то середня зменшиться або збільшиться на це число а:

4. Якщо всі варіанти ряду зменшити або збільшити Араз, то середня також відповідно зменшиться або відповідно збільшиться в Аразів:

5. Якщо всі частоти ряду розділити або помножити на те саме число d,то середня не зміниться:

Це властивість показує, що середня залежить немає від розмірів терезів, як від співвідношення з-поміж них. Отже, як ваги можуть виступати не тільки абсолютні, а й відносні величини.

Середня хронологічна

Іноді, під час аналізу соціально-економічних показників, необхідно визначити середню величину, якщо є дані рівного моментного ряду динаміки. Наприклад, середньомісячний запас товарів; середньооблікову чисельність продавців за квартал, за півріччя, якщо відома чисельність продавців початку місяця; чи визначити середньорічну чисельність населення території, то використовують середню хронологічну.

Х = (х 1 + х 2 + х 3 + ... + х n -1 + х n): (n-1)

Х – індивідуальне значення ознаки кожної одиниці сукупності;

n – число одиниць сукупності.

Середня гармонійна

Середня гармонійна - це обернена величина середньої арифметичної. Коли статистична інформація не містить частот за окремими варіантами сукупності, а представлена як їхній твір, застосовується формула середньої зваженої гармонійної.

Середня у такій формі називається середньої гармонійної зваженоїіпозначається х гарм. взв . Отже, середня гармонійна тотожна середній арифметичній. Вона застосовується тоді, коли невідомі дійсні ваги, а відомий твір f x = z

У тих випадках, коли твори f ходнакові чи рівні одиниці (m=1), застосовується середня гармонійна проста, обчислювана за формулою

де х- Окремі варіанти; п- їхнє число.

Середня геометрична

Цією середньою зручно користуватися, коли приділяється увага не абсолютним різницям, а відносинам двох чисел. Тому середня геометрична використовується у розрахунках середньорічних темпів зростання.

або

Це формула середньої геометричної, яку можна сформулювати так:

Середня геометрична дорівнює кореню ступеня пз праці коефіцієнтів зростання, що характеризують відношення величини кожного наступного періоду до величини попереднього.

Геометрична середня величина дає найбільш правильну відповідь за змістом результат опосередкування, якщо завдання полягає у знаходженні такого значення ознаки, яка якісно була б рівновіддалена як від максимального, так і від мінімального значення ознаки.

Наприклад, в результаті інфляції за перший рік ціна товару зросла вдвічі до попереднього; за другий рік - ще втричі до рівня попереднього року. Зрозуміло, що за два роки ціна зросла у 6 разів. Чи розрахувати середній темп зростання ціни за рік?

У розрахунку середнього темпу зростання арифметична середня – непридатна. Геометрична середня дає правильну відповідь.

Х = х 1 * х 2 = 2 * 3 = 6 = 2,45 рази.

Середня квадратична

Подібна інформація.

Середні величини

У процесі обробки та узагальнення статистичних даних виникає необхідність визначення середніх величин. Середньою величиною в статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину ознаки, що варіює, у розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності.

Найважливіша властивість середньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності можуть коливатись у той чи інший бік під впливом безлічі факторів, серед яких як основні, так і випадкові. При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючих показників сукупностей. Там, де виникає потреба узагальнення, розрахунок таких характеристик призводить до заміни безлічі різних індивідуальних значень ознаки середнім показником, що характеризує всю сукупність явищ, що дозволяє виявити закономірності, властиві масовим суспільним явищам. Типовість середньої безпосередньо пов'язана з однорідністю статистичної сукупності. Середня величина лише тоді відображатиме типовий рівень ознаки, коли вона розрахована за якісно однорідною сукупністю.

Кожна середня характеризує сукупність, що вивчається, за якою-небудь однією ознакою, але для характеристики будь-якої сукупності, опису її типових рис і якісних особливостей потрібна система середніх показників.

Вибір виду середньої визначається економічним змістом певного показника та вихідних даних. У кожному даному випадку застосовується одна з середніх величин: арифметична, гармонійна, геометрична, квадратична, кубічна і т.д. Перераховані середні відносяться до класу статечних середніх і поєднуються загальною формулою (при різних значеннях ш):

де * - Середнє значення досліджуваного явища; ш - показник ступеня середнього; х – поточне значення ознаки; п – число ознак.

Залежно від значення показника ступеня ш розрізняють такі види статечних середніх:

при ш = - 1 - середня гармонічна хгар;
при ш = 0 – середня геометрична х г ;
при ш = 1 - середня арифметична х ;
при ш =2 - середня квадратична х кв ;
при ш =3 - середня кубічна х куб .

Ця властивість статечних середніх зростає із підвищенням показника ступеня визначальної функції та називається у статистиці правилом мажорантності середніх.

Найбільш поширеним видом є середня арифметична. Середньою арифметичною величиною називається таке значення ознаки для одиницю сукупності, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки в сукупності зберігається незмінним. Вона застосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності є сумою значення ознак окремих її одиниць. Щоб обчислити середню арифметичну, необхідно суму всіх значень ознак розділити з їхньої число.

Середня арифметична застосовується у формі простої середньої та виваженої середньої. Вихідною, визначальною формою служить проста середня.

Середня арифметична проста дорівнює простій сумі окремих значень середньої ознаки, поділеної на загальну кількість цих значень (вона застосовується в тих випадках, коли є несгруповані індивідуальні значення ознаки):

де - індивідуальні значення ознаки, що варіює;

п – число одиниць сукупності.

Середня з варіантів, які повторюються різне число разів, або мають різну вагу, називається виваженою. Як ваги виступають чисельності одиниць різних групах сукупності (у групу об'єднують однакові варіанти). Середня арифметична

зважена - середня згрупованих величин Х 1 ,Х 2 ,Х 3 ...Х П- обчислюється за такою формулою:

де - ваги (частоти повторення однакових ознак);

- сума творів величини ознак їх частоти;

- загальна чисельність одиниць сукупності.

Обчислення середньої арифметичної часто пов'язане з великими витратами часу та праці. Однак у ряді випадків процедуру розрахунку середньої можна спростити та полегшити, якщо скористатися її властивостями. До основних властивостей належить:

1. Якщо всі індивідуальні значення ознаки зменшити або збільшити в раз, то середнє значення нової ознаки відповідно зменшиться або збільшиться в i раз.
2. Якщо всі варіанти ознаки зменшити чи збільшити число А, то середня арифметична відповідно зменшиться чи збільшиться цього ж число А.
3. Якщо ваги всіх варіантів зменшити або збільшити в раз, то середня арифметична не зміниться.

Як ваги середньої замість абсолютних показників можна використовувати питомі ваги в загальному результаті. Тим самим досягається спрощення розрахунків середньої.

При розрахунку статистичних показників, крім середньої арифметичної, можуть використовуватися й інші види середніх. Однак у кожному конкретному випадку, залежно від характеру наявних даних, існує лише одне справжнє середнє значення показника, що є наслідком реалізації його вихідного співвідношення.

Зазначимо, що середня арифметична застосовується у тих випадках, коли відомі варіанти варіюючої ознаки х та їх частоти f, коли статистична інформація не містить частот f за окремими варіантами х сукупності, а представлена як їх твором xf ,

застосовується формула середньої гармонійної. Вона використовується, коли відомий чисельник вихідного співвідношення середнього, але невідомий його знаменник.

Середня геометрична застосовується у випадках, коли індивідуальні значення ознаки є відносні величини динаміки, побудовані як ланцюгових величин, як ставлення до попереднього рівня кожного рівня у ряді динаміки, тобто. характеризує середній коефіцієнт зростання.

Середня геометрична обчислюється вилученням кореня ступеня п із творів окремих значень - варіантів ознаки х:

де п – число варіантів;

П – знак твору.

Найбільш широке застосування середня геометрична отримала визначення середніх темпів зміни у лавах динаміки, і навіть у лавах розподілу.

У ряді випадків в економічній практиці виникає потреба розрахунку середнього розміру ознаки, вираженої у квадратних та кубічних одиницях виміру. Тоді застосовується середня квадратична та середня кубічна.

Формули для розрахунку середньої квадратичної:

Середня квадратична проста є квадратним коренем з окремого поділу суми квадратів окремих значень ознаки на їх число:

Середня квадратична зважена:

Формули для розрахунку середньої кубічної аналогічні:

Середня кубічна проста:

Середня кубічна зважена:

Середня квадратична та кубічна мають обмежене застосування у практиці статистики. Широко використовується статистика середньої квадратичної.

Найбільш часто використовуваними в економічній практиці структурними середніми є мода та медіана. Модою розподілу (°) називається така величина ознаки, що вивчається, яка в

цієї сукупності зустрічається найчастіше, тобто. один із варіантів ознаки повторюється частіше, ніж всі інші.

Розглянемо визначення моди за несгрупованими даними. Наприклад: 10 студентів мають такі екзаменаційні оцінки: 5, 4, 3, 4, 5, 5, 3, 4, 4, 4. Так як у цій групі найбільше студентів отримали 4, то це значення буде модальним.

Для впорядкованого дискретного ряду розподілу мода, що є характеристикою варіаційного ряду, визначається частотами варіантів і відповідає варіанту з найбільшою частотою.

Модальний інтервал у разі інтервального розподілу з рівними інтервалами визначається найбільшою частотою; з нерівними інтервалами - за найбільшою густиною, а визначення моди вимагає проведення розрахунків на основі наступної формули:

де х т0- нижня межа модального інтервалу;

i m0- Величина модального інтервалу;

fmo ~ частота модального інтервалу;

fmo-i -частота інтервалу, що передує модальному;

fmo+i ~частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана – варіант, який знаходиться в середині варіаційного ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні частини. Щоб визначити медіану, потрібно знайти значення ознаки, що у середині впорядкованого ряду. У ранжованих рядах несгрупованих даних перебування медіани зводиться до пошуку порядкового номера медіани.

Значення медіани для непарного обсягу обчислюється за такою формулою:

де п – число членів ряду.

В інтервальному ряду розподілу одразу можна вказати лише інтервал, в якому перебуватиме медіана. Для визначення її величини використовується спеціальна формула:

де х іє- нижня межа інтервалу, що містить медіану; i іє- Медіанний інтервал;

- половина від загальної кількості спостережень;

F m _ 1 - накопичена частота в інтервалі, що передує медіанному;

fмечисл0 спостережень у медіанному інтервалі.

Таким чином, мода та медіана є додатковими до середньої характеристик сукупності та використовуються в математичній статистиці для аналізу форми рядів розподілу.

Контрольні питання та завдання

1. Назвіть види статистичних показників. Наведіть приклади.
2. Що розуміється під абсолютними статистичними величинами та яке їх значення? Наведіть приклади абсолютних величин.
3. Чи завжди для аналізу явища, що вивчається, досить одних абсолютних показників?
4. Що називається відносними показниками?
5. Якими є основні умови правильного розрахунку відносної величини?
6. Які види відносних величин Ви знаєте? Наведіть приклади.
7. Дайте визначення середньої величини.
8. Які види середніх величин застосовують у статистиці? Які види середніх величин найчастіше використовуються?
9. Як обчислюється середня арифметична проста та у яких випадках вона застосовується?
10. Як обчислюється середня арифметична зважена та у яких випадках вона застосовується?
11. Як обчислюється середня арифметична з варіаційного

12. Які основні властивості середньої арифметичної?
13. Навіщо служить середня гармонійна? Чим вона відрізняється від середньої арифметичної?

Відносні величини структури – це відношення між розмірами частини та цілого. Вони характеризують склад, структуру сукупності. Форма подання - питома вага чи відсотки. Сума відносних величин структури дорівнює 1 чи 100%. Різницю між відповідними частками двох сукупностей називають відсотковим пунктом.

Абсолютними величинами у статистиці називаються чисельності одиниць та суми за групами та загалом за сукупністю, які є безпосереднім результатом зведення та угруповання даних.

Абсолютні величини – це іменовані числа, тобто вони мають свої одиниці виміру (наприклад, штуки, тонни, гривні). У складі абсолютних показників виділяють показники чисельності сукупності (чисельність підприємств) та обсягу ознак (продукція, прибуток). Розрізняють три групи вимірювачів ознак натуральні, трудові та вартісні.

Натуральні вимірники відбивають властиві явищам фізичні властивості (заходи ваги, довжини, часу). Іноді використовують комбіновані одиниці виміру, які є добутком величин різної розмірності (виробництво електроенергії в кВт-годинах).

Не завжди абсолютні величини можна отримати безпосередньо підсумовуючи значення ознаки в окремих одиниць. У цьому випадку окремі доданки, що входять в абсолютну величину, призводять до сумірного виразу. Для цього часто використовують умовно-натуральні вимірники. Так, наприклад, при розрахунку кількості спожитого палива різні його види відповідно до їх теплотворної здатності виражають в одиницях умовного палива, теплотворна здатність якого 7000 кал/кг.

Трудові вимірювачі (Людина-година, людино-зміна) використовуються при вимірі витрат праці на виробництво продукції або на виконання окремих робіт, для визначення продуктивності праці, а також для вимірювання трудових ресурсів.

вартісні вимірювачі дають можливість узагальнити та зіставити різноманітні явища. Їх використовують щодо таких найважливіших показників, як товарообіг, прибуток, капітальні вкладення.

Найчастіше абсолютна величина показника розраховується за певним правилом на підставі інших показників. Наприклад, валовий прибуток розраховується як різниця між валовим доходом та валовими витратами.

Багато абсолютних величин подаються у формі балансу, який передбачає розрахунок показника за двома розділами: за джерелами формування (прибуткова частина балансу) та за напрямами використання (витратна частина). Можливе подання абсолютних показників та у динамічній балансовій формі. Наприклад, приріст кількості одиниць обладнання на підприємстві за рік можна представити як різницю кількості одиниць обладнання на кінець і початок року, а можна - як різницю між числом одиниць нововведеного та вибулого обладнання.

Розділ 4.3. Відносні величини.

Відносні величини відбивають кількісні відносини соціально-економічних явищ.Алгебраїчна форма їх - це окреме від поділу двох однойменних або різноіменних величин. Знаменник відносини сприймається як основа порівняння чи основа відносної величини.

Базою порівняння може бути 100, 1000, 10 000 чи 100 000 одиниць. Тоді відносна величина буде виражена відповідно у відсотках (%), проміле (%о), продециміллі (%оо), просантиміллі (%ооо).

Застосовують різні за змістом та природою відносні величини.

Відношення між різноіменними абсолютними величинами дає відносну величину інтенсивності . Це іменована величина, в якій поєднуються одиниці виміру чисельника та знаменника. Наприклад, виробництво продукції душу населення. Відносні величини інтенсивності характеризують ступінь поширення чи розвитку явища у певному середовищі. До їхнього складу також входять демографічні коефіцієнти (народжуваності, смертності, інтенсивності міграційних потоків), які обчислюються відношенням числа подій (смерть, народження) за певний проміжок часу до середньої чисельності населення за той же період.

Порівняння однойменних величин дозволяє виділити такі види відносних величин: структури, координації, динаміки, планового завдання, виконання плану, порівняння характеристик об'єктів.

Відносні величини координації - це співвідношення між окремими частинами цілого чи відношення окремих частин сукупності до однієї з них, прийнятої за основу порівняння. Наприклад, кількість міських жителів, що припадають на 100 сільських; кількість жінок, що припадають на 100 чоловіків. Ці величини виражаються у відсотках, проміле або кратних відносинах (наприклад, на 100 чоловіків припадає 114 жінок).

Для оцінки інтенсивності розвитку використовують відносну величину динаміки, яка обчислюється відношенням рівнів явища, що вивчається, за два періоди.

Відносні величини порівняння обчислюються як відносини однойменних показників, що характеризують різні об'єкти чи території та мають однакову часову визначеність.

Деякі процеси плануються й у показників, що їх відбивають, встановлюють планові завдання. Шляхом порівняння планових та фактичних значень показників обчислюють відносні величини: планового завдання та виконання плану.

Якщо визначити фактичний рівень поточного періоду y1, базового y0та плановий рівень yпл, то відносну величину:

Кд = y1 / y0,

2) планового завдання

Кпз = yпл / y0,

3) виконання плану

Квп = y1 / yпл .

Розділ 4.4. Види та форми середніх величин.

Середньою величиноюназивається статистичний показник, який дає узагальнену характеристику варіюючої ознаки однорідних одиниць сукупності в конкретних умовах місця та часу. Величина середньої дає характеристику всієї сукупності та характеризує її щодо однієї, даної ознаки.

Середня величинавідбиває те загальне, що притаманне всім одиницям досліджуваної сукупності.

Так, наприклад, середня заробітна плата дає узагальнюючу кількісну характеристику стану оплати праці аналізованої сукупності працівників.

Сутність середньоїполягає в тому, що в ній взаємопогашуються випадкові відхилення значень ознаки та враховуються зміни, спричинені основним фактором.

Статистична обробка методом середніх величин полягає в заміні індивідуальних значень ознаки, що варіює, деякою врівноваженою середньою величиною Х.

Наприклад, індивідуальний виробіток у 5 операційістів комерційного банку за день склав 136, 140, 154 і 162 операції. Щоб отримати середню кількість операцій за день, виконаних одним операційним, необхідно скласти ці індивідуальні показники та отриману суму розділити на кількість операційістів:

Як видно з наведеного прикладу, середня кількість операцій не збігається з жодним з індивідуальних, оскільки жоден операційіст не зробив 150 операцій. Але якщо ми уявімо, що кожен операційіст зробив по 150 операцій, то їх загальна сума не зміниться, а дорівнюватиме 750. Таким чином, ми дійшли основної властивості середніх величин: сума індивідуальних значень ознаки дорівнює сумі середніх величин.

Ця властивість ще раз підкреслює, що середня величина є узагальнюючою характеристикою всієї статистичної сукупності.

Середні величини поділяються на два великі класи:

Ступінні середні:

Арифметична

Гармонійна

Геометрична

Квадратична

Структурні середні:

Мода

Медіана

Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична:

Середня арифметична проста

Середня арифметична зважена

Середня арифметична для інтервального ряду.

Проста середньоарифметична величинаявляє собою середнє доданок, щодо якого загальний обсяг даної ознаки в сукупності даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять в дану.

Так, середньорічне вироблення продукції одного працюючого - це така величина обсягу продукції, яка припадала б кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаковою мірою розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою.

Найбільш поширеною формою статистичних показників є середня величина, що є узагальненою кількісною характеристикою ознаки в статистичній сукупності в конкретних умовах місця і часу. Показник у формі середньої величини виражає типові риси і дає узагальнюючу характеристику однотипних явищ по одному з ознак, що варіюють. Широке застосування середніх пояснюється тим, що вони мають низку позитивних властивостей, які роблять їх незамінним інструментом аналізу явищ та процесів економіки.

Найважливіша властивість середньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються у той чи інший бік під впливом безлічі чинників, серед яких може бути як основні, і випадкові. Наприклад, курс акцій корпорації переважно визначається фінансовими результатами її діяльності. Водночас, в окремі дні та на окремих біржах ці акції через обставини, що склалися, можуть продаватися за вищим або заниженим курсом. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середній відображати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей окремих одиниць.

Типовість середньої безпосередньо пов'язана з однорідністю сукупності. Середня величина лише тоді відображатиме типовий рівень ознаки, коли вона розрахована за якісно однорідною сукупністю. Так, якщо ми розрахуємо середній курс з акцій усіх підприємств, що реалізуються на цей день на даній біржі, то отримаємо фіктивну середню. Це пояснюватиметься тим, що сукупність, що використовується для розрахунку, є вкрай неоднорідною. У цьому й подібних випадках метод середніх використовується у поєднанні з методом угруповань: якщо сукупність неоднорідна – загальні середні мають бути замінені чи доповнені груповими середніми, тобто. середніми, розрахованими за якісно однорідними групами.

Теоретично середніх використовуються такі умовні позначення.

1. Ознака, яким визначається середнє, називається середньою ознакоюі позначається.

2.Величина середньої ознаки у кожної одиниці сукупності називається його індивідуальним значеннямі позначається.

3.Повторюваність індивідуальних значень називається частотою та позначається f .

4. Сумарне значення ознаки позначається W .

Будь-яка кількісна ознака статистичної сукупності має одне єдине середнє значення. Воно може бути розраховане різними способами залежно від форми вираження ознаки (абсолютної, відносної та середньої) і наявної інформації. Залежно від ступеня k виходять різні види середніх.

1.Середня арифметична проста - Найбільш поширений вид середньої

k =1

2.Середня арифметична зважена – використовується в тому випадку, якщо відомі індивідуальні значення ознаки та їх частоти f . Кожен варіант «зважують» за частотою, тобто. множать її. Частоти f при цьому називають статистичними вагами або просто вагами середньої .

приклад.За даними розрахуємо середній стаж роботи співробітників

3.Середня гармонійна проста використовується в тому випадку, якщо необхідно, щоб при опосередкуванні залишалася незмінною сума величин, обернених індивідуальним значенням ознаки.

де – сума обернених значень ознаки.

приклад. Автомобіль із вантажем від підприємства до складу їхав зі швидкістю 40 км/год, а назад порожняком зі швидкістю 60 км/год. Яка середня швидкість автомобіля за обидві поїздки?

Нехай відстань перевезення становила S км. Жодної ролі при розрахунку середньої швидкості S не грає. При заміні індивідуальних значень швидкості на середню величину необхідно, щоб незмінною величиною залишався час, витрачений на обидві поїздки, інакше середня швидкість може виявитися будь-якою від швидкості черепахи до швидкості світла. Час поїздок дорівнює. Отже,

Скоротивши всі члени рівності на S, отримаємо тобто. виконується умова гармонійної середньої. Підставляючи та , отримуємо

Арифметична середня 50 км/год неправильна, тому що. призводить до іншого часу руху, ніж насправді. Якщо відстань дорівнює 96 км, то реальний час руху становитиме

У статистичній практиці найчастіше застосовується середня гармонійна зважена.

4.Середня гармонійна зважена використовується, якщо відомі індивідуальні значення ознаки та сумарні значення ознаки.

приклад

5.Середня агрегатна використовується, якщо відомі сумарні значення ознаки та їх частоти.

приклад. Визначити середню вартість продукції, якщо відомо

6.Середня квадратична застосовується для розрахунку середньоквадратичного відхилення, що є показником варіації, а також у техніці

k =2

Середня зважена квадратична

7.Середня геометрична використовується для розрахунку середнього темпу зростання за ланцюговою схемою k= 0

При k= 1 отримуємо арифметичну середню, при k= 2 - квадратичну, при k= 3 - кубічну, при k= 0 - геометричну, при k= -1 – гармонійну середню. Чим вищий показник ступеня k тим більше значення середньої величини. Якщо всі вихідні значення ознаки рівні, то всі середні рівні const. Отже, маємо таке співвідношення, яке називається правилом мажорантності середніх :

Користуючись цим правилом, статистика може залежно від настрою та бажання її «знавця» або «втопити», або «виручити» студента, який отримав сесію оцінки 2 і 5. Який його середній бал?

Якщо судити з середньої арифметичної, то середній бал дорівнює 3,5. Але якщо декан бажає «утопити» нещасного та обчислить середню гармонійну то студент залишається в середньому двієчником, який не дотягнув до трійки.

Однак студентська рада може заперечити декану та уявити середню кубічну величину . Студент уже виглядає «хорошистом» і навіть претендує на стипендію.

Структурні середні – мода і медіана – на відміну статечних середніх, які у значною мірою є абстрактною характеристикою сукупності, виступають як конкретні величини, які збігаються з цілком певними варіантами сукупності. Це робить їх незамінними під час вирішення практичних завдань.

Мода- Це найбільш часто зустрічається значення ознаки одиниць даної сукупності. Для дискретного ряду розподілу мода визначається без розрахунку шляхом перегляду стовпця частот і відповідає значенню ознаки з найбільшою частотою. З прикладу №1 найбільша частота f=20, що відповідає 4 тарифному розряду, отже M o =4.

Для інтервального ряду розподілу мода визначається за формулою

де – нижня межа модального інтервалу;

– величина модального інтервалу;

- Частоти інтервалу відповідно попереднього модального, модального і наступного за модальним.

Модальному відповідає інтервал із найбільшою частотою.

Розрахуємо моду для прикладу № 2. Модальному відповідає інтервал 130-140. Для нього , = 140-130=10, =20,

Найчастіше норма виробітку працівників становить 134%, найчастіше план перевиконується на 34%.

Медіана- Значення ознаки, що лежить в середині ранжованого ряду і ділить його навпіл. Ранжований ряд – ряд, розташований у порядку зростання чи спадання ознаки. Для дискретних варіаційних рядів медіана не розраховується, а визначається шляхом перегляду ряду. Наприклад, для п'яти працівників денна норма виробітку деталей становить відповідно 10, 12, 15, 16 і 18 шт. Ме є вироблення третього працівника і дорівнює 15 деталей. При парній кількості значень ознаки за медіану приймається напівсума значень ознаки, що займають середнє значення. Н-р, при 10 значеннях напівсуми 5-го і 6-го значень ознаки.

Для інтервального ряду медіана визначається за формулою

де – нижня межа медіанного інтервалу;

– величина медіанного інтервалу;

– напівсума обсягу варіаційного ряду;

– накопичена частота інтервалу, що передує медіанному;

– частота медіанного інтервалу.

Медіанним називається інтервал, який відповідає половині обсягу ряду. Для того, знайти медіанний інтервал, необхідно накопичувати частоти до тих пір, поки не буде знайдено інтервал, що містить половину обсягу ряду.

Розрахуємо медіану приклад № 2. Медіанний інтервал 120-130, т.к. відповідна йому накопичена частота містить половину обсягу ряду. Для нього

– Половина працівників виконує норму виробітку менше, ніж 129%, а інша половина робітників виконує норму виробітку більше, ніж 129%.

Вступ 3
1. Поняття середньої величини 4
2. Види середніх та способи їх обчислення 8
3. Структурні середні 13
4. Показники варіації 16
Висновок 21
Список литературы 22

Вступ

Середні величини використовуються на етапі обробки та узагальнення отриманих первинних статистичних даних. Потреба визначення середніх величин пов'язані з тим, що з різних одиниць досліджуваних сукупностей індивідуальні значення однієї й тієї ж ознаки, зазвичай, неоднакові.
Середньою величиною називають показник, що характеризує узагальнене значення ознаки чи групи ознак у досліджуваній сукупності.
Якщо досліджується сукупність із якісно однорідними ознаками, то середня величина виступає тут як типова середня. Наприклад, груп працівників певної галузі з фіксованим рівнем доходу визначається типова середня витрат на предмети першої необхідності, тобто. Типова середня узагальнює якісно однорідні значення ознаки у цій сукупності, яким є частка витрат у працівників цієї групи на товари першої необхідності.
При дослідженні сукупності з якісно різнорідними ознаками першому плані може бути нетиповість середніх показників. Такими, наприклад, є середні показники виробленого національного доходу душу населення (різні вікові групи), середні показники врожайності зернових по всій території Росії, середні показники народжуваності населення в усіх регіонах країни, середні температури певний період тощо. Тут середні величини узагальнюють якісно різнорідні значення ознак чи системних просторових сукупностей чи динамічних сукупностей, протяжних у часі. Такі середні величини називають системними середніми.
1. Поняття середньої величини

Як правило, багато ознак одиниць статистичних сукупностей різні за своїм значенням, наприклад, заробітна плата робітників однієї професії будь-якого підприємства не однакова за один і той же період часу, різні врожайність сільськогосподарських культур у господарствах району і ціни на ринку на однакову продукцію .д. Тому, щоб визначити значення ознаки, характерне для всієї досліджуваної сукупності одиниць, вдаються до розрахунку середніх величин.
Середньою величиною в статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину ознаки, що варіює, у розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності. У економічній практиці використовують широке коло показників, обчислених як середніх величин.
Наприклад, узагальнюючим показником доходів робітників акціонерного товариства (АТ) служить середній дохід одного робітника, який визначається ставленням фонду заробітної плати та виплат соціального характеру за аналізований період (рік, квартал, місяць) до чисельності робітників АТ. Для осіб з досить однорідним рівнем доходів, наприклад, працівників бюджетної сфери та пенсіонерів по старості (за винятком тих, хто має пільги та додаткові доходи), можна визначити типові частки витрат на купівлю предметів харчування. Так можна говорити про середню тривалість робочого дня, середній тарифний розряд робітників, середній рівень продуктивності праці і т.д.
Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показник відображає те загальне, що характерно (типово) для всіх одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючих показників сукупностей.
Там, де виникає потреба узагальнення, розрахунок таких характеристик призводить до заміни безлічі різних індивідуальних значень ознаки середнім показником, що характеризує всю сукупність явищ, що дозволяє виявити закономірності, властиві масовим суспільним явищам, непомітні в поодиноких явищах.
Середня відбиває характерний, типовий, реальний рівень досліджуваних явищ, характеризує ці рівні та його зміни у часі та просторі.
Середня - це зведена характеристика закономірностей процесу у умовах, у яких протікає.
Аналіз середніх виявляє, наприклад, закономірності зміни продуктивності праці, заробітної плати робітників окремого підприємства на певному етапі його економічного розвитку, зміни клімату в конкретному пункті земної кулі на основі багаторічних спостережень середньої температури повітря та ін.
Однак для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен визначатися не для будь-яких сукупностей, а тільки для сукупностей, що складаються з якісно однорідних одиниць. Це є основною умовою науково обґрунтованого використання середніх.
Середні, отримані для неоднорідних сукупностей, спотворюватимуть характер громадського явища, що вивчається, фальсифікувати його, або будуть безглуздими. Так, якщо розрахувати середній рівень доходів службовців якогось району, то вийде фіктивний середній показник, оскільки для його обчислення використана неоднорідна сукупність, що включає службовців підприємств різних типів (державних, спільних, орендних, акціонерних), а також органів державного управління, сфери науки, культури, освіти тощо. У таких випадках метод середніх використовується у поєднанні з методом угруповань, що дозволяє виділити однорідні групи, за якими обчислюються типові групові середні.
Групові середні дозволяють уникнути "загальних" середніх, забезпечують порівняння рівнів окремих груп із загальним рівнем за сукупністю, виявлення наявних відмінностей тощо.
Однак не можна зводити роль середніх лише до характеристики типових значень ознак у однорідних за даною ознакою сукупності. Насправді сучасна статистика використовує звані системні середні, узагальнюючі неоднорідні явища (характеристики держави, єдиної народногосподарської системи: наприклад, середній національний дохід " душу населення, середня врожайність зернових по всій країні, середній реальний дохід душу населення, середнє споживання продуктів харчування душу населення, продуктивність суспільної праці).
У сучасних умовах розвитку ринкових відносин економіки середні служать інструментом вивчення об'єктивних закономірностей соціально-економічних явищ. Однак у економічному аналізі не можна обмежуватися лише середніми показниками, оскільки за загальними сприятливими середніми можуть ховатися і серйозні недоліки у діяльності окремих суб'єктів господарювання, і паростки нового, прогресивного. Так, наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявляти формування нових соціальних груп. Тому поряд із середніми статистичними даними необхідно враховувати особливості окремих одиниць сукупності.
Середня повинна обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць, тому що в цьому випадку згідно із законом великих чисел взаємопогашуються випадкові, індивідуальні відмінності між одиницями, і вони не мають суттєвого впливу на середнє значення, що сприяє прояву основного, суттєвого, властивого всій масі . Якщо ґрунтуватися на середньому з невеликої групи даних, можна зробити неправильні висновки, оскільки такий середній показник відбиватиме значний вплив індивідуальних особливостей, тобто. випадкових моментів, не характерних для досліджуваної сукупності загалом.
Кожна середня характеризує сукупність, що вивчається, за якою-небудь однією ознакою, але для характеристики будь-якої сукупності, опису її типових рис і якісних особливостей потрібна система середніх показників. Тож у практиці вітчизняної статистики вивчення соціально-економічних явищ, зазвичай, обчислюється система середніх показників. Так, наприклад, показники середньої заробітної плати оцінюються спільно з показниками середнього виробітку, фондозброєності та енергоозброєності праці, ступенем механізації та автоматизації робіт та ін.
Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника. Тож конкретного показника, що у соціально-економічному аналізі, можна обчислити лише одне справжнє значення середньої з урахуванням наукового методу расчета.

Зупинимося деяких загальних принципах застосування середніх величин.
1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.
2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.
3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.
4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

2. Види середніх та способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та сфери застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні, структурні середні.
До статечним середнім відносяться такі найвідоміші і найчастіше застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична і середня квадратична.
Як структурні середні розглядаються мода і медіана.

СЕРЕДНІ ВЕЛИЧИНИ

Ступінні середні: Структурні середні:
гармонійна
арифметична
кубічна
геометрична
квадратична мода
медіана
квартиль
дециль

Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від подання вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середня вважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:
,
де Xi - варіанти (значення) ознаки, що осредняется;

n – число варіантів.
Зважена середня вважається за згрупованими даними і має загальний вигляд
,
де Xi - варіанта (значення) ознаки, що осредняется, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта;
m – показник ступеня середнього;
fi – частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значення ознаки, що осредняется.
Наведемо як приклад розрахунок середнього віку студентів у групі з 20 осіб:
№ п/п
Вік
(років) № п/п Вік
(років) № п/п Вік
(років) № п/п Вік
(Рік)
1
2
3
4
5 18
18
19
20
19 6
7
8
9
10 20
19
19
19
20 11
12
13
14
15 22
19
19
20
20 16
17
18
19
20 21
19
19
19
19

Середній вік розрахуємо за формулою простої середньої:

Згрупуємо вихідні дані. Отримаємо наступний ряд розподілу:

Вік, Х років 18 19 20 21 22 Всього
Число студентів 2 11 5 1 1 20

В результаті угруповання отримуємо новий показник – частоту, яка вказує кількість студентів у віці Х років. Отже, середній вік студентів групи розраховуватиметься за формулою виваженої середньої:

Загальні формули розрахунку статечних середніх мають показник ступеня (m). Залежно від того, яке значення він набуває, розрізняють такі види статечних середніх:
середня гармонійна, якщо m = -1;
середня геометрична, якщо m -> 0;
середня арифметична, якщо m = 1;
середня квадратична, якщо m = 2;
середня кубічна, якщо m = 3.
Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.
Таблиця 1
Види статечних середніх

Вигляд статечної
середньої Показник
ступеня (m) Формула розрахунку
Проста Зважена
Гармонійна -1

Геометрична 0

Арифметична 1

Квадратична 2

Кубічна 3

Середня гармонійна має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.
Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значення ознаки кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних і зведених показників. Інакше висловлюючись, середня величина повинна обчислюватися те щоб заміні кожного індивідуального значення осредняемого показника його середньої величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний у тому чи іншим чином з осредняемым. Цей підсумковий показник називається визначальним, оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.
Формула середньої геометричної

використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.
Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, зростання обсягу виробництва порівняно з рівнем попереднього року: i1, i2, i3,..., in. Очевидно, що обсяг виробництва в останньому році визначається початковим його рівнем (q0) та наступним нарощуванням за роками:
qn=q0×i1×i2×...×in.
Прийнявши qn як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

3. Структурні середні

Особливий вид середніх величин - структурні середні - застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (статечного типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяги виробництва, і про суму витрат за групами підприємств).
Як структурні середні найчастіше використовують показники моди – найбільш часто повторюваного значення ознаки – і медіани – величини ознаки, яка ділить впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – не менше його.
Якщо ознака, що вивчається, має дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди і медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:
,
де XMe – нижня межа медіанного інтервалу;
hMe – його величина;
(Sum m)/2 – половина від загального числа спостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважуючий у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);
SMe-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;
mMe – кількість спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).
У цьому прикладі можуть бути отримані навіть три медіанних значення – виходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та загальної суми витрат на виробництво:

Отже, у половини підприємств рівень собівартість одиниці виробленої продукції перевищує 125,19 тис. крб., половина всього обсягу продукції виробляється з рівнем витрат за виріб більше 124,79 тис. крб. та 50% загальної суми витрат утворюється при рівні собівартості одного виробу вище 125,07 тис. руб. Зауважимо також, що спостерігається деяка тенденція до зростання собівартості, оскільки Ме2 = 124,79 тис. руб., Середній рівень дорівнює 123,15 тис. руб.
При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду треба звертати увагу, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтервалами величина моди визначається як
,
де ХMo – нижнє значення модального інтервалу;
mMo - число спостережень або обсяг зважуючої ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);
mMo-1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;
mMo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;
h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.
Для нашого прикладу можна розрахувати три модальні значення виходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та суми витрат. У всіх трьох випадках модальний інтервал один і той же, так як для одного і того ж інтервалу виявляються найбільшими і кількість підприємств, і обсяг продукції, і загальна сума витрат на виробництво:

Таким чином, найчастіше зустрічаються підприємства з рівнем собівартості 126,75 тис. руб., Найчастіше випускається продукція з рівнем витрат 126,69 тис. руб., І найчастіше витрати на виробництво пояснюються рівнем собівартості в 123,73 тис. руб.

4. Показники варіації

Конкретні умови, у яких перебуває кожен із досліджуваних об'єктів, і навіть особливості їхнього розвитку (соціальні, економічні та інших.) виражаються відповідними числовими рівнями статистичних показників. Отже, варіація, тобто. розбіжність рівнів одного й того ж показника у різних об'єктів, має об'єктивний характер і допомагає пізнати сутність явища, що вивчається.
Для виміру варіації у статистиці застосовують кілька способів.
Найбільш простим є розрахунок показника розмаху варіації Н як різниці між максимальним (Xmax) і мінімальним (Xmin) значеннями ознаки, що спостерігаються:
H = Xmax - Xmin.
Проте розмах варіації показує лише крайні значення ознаки. Повторюваність проміжних значень тут не враховується.
Суворішими характеристиками є показники коливання відносно середнього рівня ознаки. Найпростіший показник такого типу – середнє лінійне відхилення Л як середнє арифметичне значення абсолютних відхилень ознаки від його середнього рівня:

При повторюваності окремих значень Х використовують формулу середньої арифметичної зваженої:

(Нагадаємо, що сума алгебри відхилень від середнього рівня дорівнює нулю.)
Показник середнього лінійного відхилення знайшов широке застосування практично. З його допомогою аналізуються, наприклад, склад працюючих, ритмічність виробництва, рівномірність постачання матеріалів, розробляються системи матеріального стимулювання. Але, на жаль, цей показник ускладнює розрахунки імовірнісного типу, ускладнює застосування методів математичної статистики. Тому у статистичних наукових дослідженнях для вимірювання варіації найчастіше застосовують показник дисперсії.
Дисперсія ознаки (s2) визначається на основі квадратичної статечної середньої:
.
Показник s, що дорівнює, називається середнім квадратичним відхиленням.
У загальній теорії статистики показник дисперсії є оцінкою однойменного показника теорії ймовірностей та (як сума квадратів відхилень) оцінкою дисперсії у математичній статистиці, що дозволяє використовувати положення цих теоретичних дисциплін для аналізу соціально-економічних процесів.
Якщо варіація оцінюється по невеликій кількості спостережень, взятих з необмеженої генеральної сукупності, те й середнє значення ознаки визначається з деякою похибкою. Розрахункова величина дисперсії виявляється зміщеною у бік зменшення. Для отримання незміщеної оцінки вибіркову дисперсію, отриману за наведеними раніше формулами, треба помножити на величину n/(n – 1). У результаті при малій кількості спостережень (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле
.
Зазвичай вже за n > (15÷20) розбіжність зміщеної та незміщеної оцінок стає несуттєвою. З цієї причини зазвичай не враховують зміщеність й у формулі складання дисперсій.
Якщо з генеральної сукупності зробити кілька вибірок і щоразу у своїй визначати середнє значення ознаки, виникає завдання оцінки коливання середніх. Оцінити дисперсію середнього значення можна і на основі всього одного вибіркового спостереження за формулою
,
де n – обсяг вибірки; s2 - дисперсія ознаки, розрахована за даними вибірки.
Величина має назву середньої помилки вибірки і є характеристикою відхилення вибіркового середнього значення ознаки Х від його справжньої середньої величини. Показник середньої помилки використовується в оцінці достовірності результатів вибіркового спостереження.
Показники відносного розсіювання. Для характеристики міри коливання досліджуваного ознаки обчислюються показники коливання у відносних величинах. Вони дозволяють порівнювати характер розсіювання в різних розподілах (різні одиниці спостереження однієї й тієї ж ознаки у двох сукупностях, при різних значеннях середніх, при порівнянні різноїменних сукупностей). Розрахунок показників міри відносного розсіювання здійснюють як відношення абсолютного показника розсіювання до середньої арифметичної, що множиться на 100%.
1. Коефіцієнтом осциляції відображає відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої
.
2. Відносне лінійне відключення характеризує частку усередненого значення ознаки абсолютних відхилень від середньої величини
.
3. Коефіцієнт варіації:

є найпоширенішим показником коливання, що використовується для оцінки типовості середніх величин.
У статистиці сукупності, що мають коефіцієнт варіації більше 30-35%, прийнято вважати неоднорідними.
Такий спосіб оцінки варіації має і істотний недолік. Справді, нехай, наприклад, вихідна сукупність робітників, які мають середній стаж 15 років, із середнім квадратичним відхиленням s = 10 років, «постаріла» ще на 15 років. Тепер = 30 років, а середньоквадратичне відхилення, як і раніше, дорівнює 10. Сукупність, яка раніше була неоднорідною (10/15 × 100 = 66,7%), з часом виявляється таким чином цілком однорідною (10/30 × 100 = 33, 3%).

Висновок

Середня величина – це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.
Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки одиниць, що відносяться до різних сукупностей.
Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.
Отже, значення середніх величин полягає у їх узагальнюючої функції. Середня величина замінює велику кількість індивідуальних значень ознаки, виявляючи загальні властивості, властиві всім одиницям сукупності. Це, своєю чергою, дозволяє уникнути випадкових причин і виявити загальні закономірності, зумовлені загальними причинами.

Список літератури

1. Григор'єва Р.П. Статистика. - М.: Вид-во Михайлова, 2008. - 366c.
2. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики. - М.: Фінанси та статистика, 2004. - 298с.
3. Золотарьов А. А. Статистика. - М.: Владос, 2008. - 378с.
4. Макроекономічна статистика. - М.: Справа, 2009. - 452с.
5. Сіденко О.В. Статистика. - М.: Фінанси та статистика, 2004. - 502с.
6. Статистика. Курс лекцій. Л.П. Харченка, В.Г. Іонін та ін. Новосибірськ, НДАЕіУ, 2007. - 228с.
7. Теорія статистики/За ред. Р.А.Шмойлової. - М.: Фінанси та статистика, 2009. - 318с.
8. Ячіков Р.А. Теорія статистики. - М.: Фінанси та статистика, 2008. - 484с.

Контрольні роботи в Магнітогорську, контрольну роботу купити, курсові роботи з права, купити курсову роботу по праву, курсові роботи в РАНХіГС, курсові роботи з права в РАНХіГС, дипломні роботи з права в Магнітогорську, дипломи з права в МІЕП, дипломи та курсові роботи в ВДУ, контрольні роботи у СДА, магістерські дисертації з права у Челгу.