Метод інтервалів - приклади. Метод інтервалів: вирішення найпростіших суворих нерівностей

Метод інтервалів- Простий спосіб вирішення дробово-раціональних нерівностей. Так називаються нерівності, що містять раціональні (або дробово-раціональні) вирази, що залежать від змінної.

1. Розглянемо, наприклад, таку нерівність

Метод інтервалів дозволяє вирішити його за кілька хвилин.

У лівій частині цієї нерівності – дробова раціональна функція. Раціональна, тому що не містить ані коріння, ані синусів, ані логарифмів – лише раціональні вирази. У правій – нуль.

Метод інтервалів заснований на наступному властивості дробно-раціональної функції.

Дробно-раціональна функція може змінювати знак лише у тих точках, у яких вона дорівнює нулю чи немає.

Нагадаємо, як розкладається на множники квадратний тричлен, тобто вираз виду .

Де і - коріння квадратного рівняння.

Малюємо вісь і розставляємо точки, в яких чисельник і знаменник перетворюються на нуль.

Нулі знаменника і - виколоті точки, тому що в цих точках функція в лівій частині нерівності не визначена (на нуль ділити не можна). Нулі чисельники і - зафарбовані, тому що нерівність не сувора. При і наша нерівність виконується, тому що обидві її частини дорівнюють нулю.

Ці точки розбивають вісь на проміжки.

Визначимо знак дробово-раціональної функції у лівій частині нашої нерівності кожному з цих проміжків. Ми пам'ятаємо, що дробово-раціональна функція може змінювати знак лише у тих точках, у яких вона дорівнює нулю чи немає. Це означає, що у кожному з проміжків між точками, де чисельник чи знаменник перетворюються на нуль, знак висловлювання у лівій частині нерівності буде постійним - або " плюс " , або " мінус " .

І тому визначення знака функції кожному такому проміжку ми беремо будь-яку точку, що належить цьому проміжку. Ту, яка нам зручна.
. Візьмемо, наприклад, і перевіримо виразний знак у лівій частині нерівності. Кожна з "дужок" негативна. Ліва частина має знак.

Наступний проміжок: . Перевіримо знак при . Отримуємо, що ліва частина змінила знак на .

Візьмемо. При вираженні позитивно - отже, воно позитивно по всьому проміжку від до .

При ліва частина нерівності негативна.

І, нарешті, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Ми знайшли, на яких проміжках вираз позитивний. Залишилось записати відповідь:

Відповідь: .

Зверніть увагу: знаки на проміжках чергуються. Це сталося тому, що при переході через кожну точку рівно один з лінійних множників змінив знак, а інші зберегли його незмінним.

Ми бачимо, що метод інтервалів дуже простий. Щоб вирішити дробово-раціональну нерівність методом інтервалів, наводимо її до вигляду:

Або class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, або або .

(у лівій частині – дробово-раціональна функція, у правій – нуль).

Потім - відзначаємо на числовій прямій точці, в яких чисельник чи знаменник звертаються в нуль.
Ці точки розбивають всю числову пряму на проміжки, кожному з яких дробно-раціональна функція зберігає свій знак.
Залишається лише з'ясувати її знак на кожному проміжку.
Ми робимо це, перевіряючи знак вираження у будь-якій точці, що належить даному проміжку. Після цього – записуємо відповідь. От і все.

Але постає питання: чи завжди знаки чергуються? Ні не завжди! Треба бути уважним і не розставляти знаки механічно та бездумно.

2. Розглянемо ще одну нерівність.

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3 \right))>0"> !}

Знову розставляємо крапки на осі. Крапки і - виколоті, оскільки це нулі знаменника. Крапка - теж виколота, оскільки нерівність сувора.

При чисельник позитивний, обидва множники у знаменнику негативні. Це легко перевірити, взявши будь-яке число з цього проміжку, наприклад, . Ліва частина має знак:

При чисельник позитивний; перший множник у знаменнику позитивний, другий множник негативний. Ліва частина має знак:

При ситуація та сама! Чисельник позитивний, перший множник у знаменнику позитивний, другий негативний. Ліва частина має знак:

Нарешті, при class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Відповідь: .

Чому порушилося чергування знаків? Тому що при переході через точку "відповідальний" за неї множник не змінив знак. Отже, не змінила знак і вся ліва частина нашої нерівності.

Висновок: якщо лінійний множник стоїть парною мірою (наприклад, у квадраті), то при переході через точку знак виразу в лівій частині не змінюється. У разі непарної міри знак, зрозуміло, змінюється.

3. Розглянемо складніший випадок. Від попереднього відрізняється тим, що нерівність несувора:

Ліва частина та сама, що й у попередній задачі. Та ж буде і картина знаків:

Може, й відповідь буде такою самою? Ні! Додається рішення Це відбувається тому, що при і ліва, і права частини нерівності дорівнюють нулю - отже, ця точка є рішенням.

Відповідь: .

У задачі на ЄДІ з математики така ситуація трапляється часто. Тут абітурієнти потрапляють у пастку та втрачають бали. Будьте уважні!

4. Що робити, якщо чисельник чи знаменник не вдається розкласти на лінійні множники? Розглянемо таку нерівність:

Квадратний тричлен на множники розкласти не можна: дискримінант негативний, коріння немає. Але ж це й добре! Це означає, що символ висловлювання за всіх однаковий, саме - позитивний. Докладніше про це можна прочитати у статті про властивості квадратичної функції.

І тепер ми можемо поділити обидві частини нашої нерівності на величину, позитивну за всіх. Прийдемо до рівносильної нерівності:

Який легко вирішується методом інтервалів.

Зверніть увагу - ми поділили обидві частини нерівності на величину, яку точно знали, що вона позитивна. Звичайно, у загальному випадку не варто множити чи ділити нерівність на змінну величину, знак якої невідомий.

5 . Розглянемо ще одну нерівність, на вигляд дуже просте:

Так і хочеться помножити його на . Але ми вже розумні, і не робитимемо цього. Адже може бути як позитивним, і негативним. А ми знаємо, якщо обидві частини нерівності помножити на негативну величину - знак нерівності змінюється.

Ми зробимо інакше - зберемо все в одній частині і приведемо до спільного знаменника. У правій частині залишиться нуль:

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

І після цього - застосуємо метод інтервалів.

На цьому уроці ми продовжимо вирішення раціональних нерівностей шляхом інтервалів для складніших нерівностей. Розглянемо розв'язання дробово-лінійних та дробово-квадратичних нерівностей та супутні завдання.

Тепер повертаємось до нерівності

Розглянемо деякі супутні завдання.

Визначити найменше рішення нерівності.

Знайти число натуральних розв'язків нерівності

Знайти довжину інтервалів, що становлять безліч розв'язків нерівності.

2. Портал Природних Наук ().

3. Електронний навчально-методичний комплекс для підготовки 10-11 класів до вступних іспитів з інформатики, математики, російської мови.

5. Центр освіти "Технологія навчання" ().

6. Розділ College.ru з математики ().

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. №№ 28(б,в); 29(б,в); 35(а,б); 37(б,в); 38(а).

Початковий рівень

Метод інтервалів. Вичерпне керівництво (2019)

Цей метод тобі просто необхідно зрозуміти та знати його як свої п'ять пальців! Хоча б тому, що він застосовується для вирішення раціональних нерівностей і тому, що, знаючи цей метод як слід, вирішувати ці нерівності напрочуд просто. Трохи згодом розкрию тобі пару секретів, як заощадити час на розв'язанні цих нерівностей. Ну що, зацікавив? Тоді поїхали!

Суть методу у розкладанні нерівності на множники (повтори тему) та визначенні ОДЗ та знака співмножників, зараз усе поясню. Візьмемо найпростіший приклад: .

Області допустимих значень () тут писати не треба, оскільки розподілу на змінну немає, і радикалів (коренів) тут не спостерігається. На множники тут і так розкладено за нас. Але не розслабляйся, це все, щоб нагадати ази та зрозуміти суть!

Допустимо, ти не знаєш методу інтервалів, як би ти став вирішувати цю нерівність? Підійди логічно та спирайся на те, що вже знаєш. По-перше, ліва частина буде більшою за нуль якщо обидва вирази в дужках або більше за нуль, або менше за нуль, т.к. "плюс" на "плюс" дає "плюс" і "мінус" на "мінус" дає "плюс", так? А якщо знаки у виразів у дужках різні, то в результаті ліва частина буде меншою за нуль. А що нам потрібно, щоб дізнатися ті значення, у яких висловлювання у дужках будуть негативними чи позитивними?

Нам потрібно вирішити рівняння, воно таке саме як нерівність, тільки замість знака буде знак, коріння цього рівняння і дозволять визначити ті прикордонні значення, при відступі від яких множники і будуть більшими або меншими за нуль.

Нині ж самі інтервали. Що таке інтервал? Це певний проміжок числової прямої, тобто всі можливі числа, укладені між двома якимись числами - кінцями інтервалу. Ці проміжки у голові уявити не так просто, тому інтервали прийнято малювати, зараз навчу.

Малюємо вісь, на ній розташовується весь числовий ряд від і до. На вісь наносяться точки, ті самі звані нулі функції, значення, у яких вираз дорівнює нулю. Ці точки «виколюються» що означає, що де вони ставляться до тих значень, у яких нерівність правильне. У разі, вони виколюються т.к. знак у нерівності, а не, тобто строго більше, а не більше або одно.

Хочу сказати, що нуль відзначати не обов'язково, він без кружечків тут, а так, для розуміння та орієнтації по осі. Гаразд, вісь намалювали, крапки (точніше кружечки) поставили, що далі, як мені це допоможе у рішенні? - Запитаєш ти. Тепер просто візьми значення для ікса з інтервалів по порядку і підстав їх у свою нерівність і дивися, який знак буде в результаті множення.

Коротше, просто беремо наприклад, підставляємо його сюди, вийде, а значить на всьому проміжку (на всьому інтервалі) від до, з якого ми брали, нерівність буде справедлива. Тобто якщо ікс від до, то нерівність вірна.

Те саме робимо і з інтервалом від до, беремо або, наприклад, підставляємо, визначаємо знак, знак буде «мінус». І так само робимо з останнім, третім інтервалом від до, де знак вийде «плюс». Така купа тексту вийшла, а наочності мало, правда?

Поглянь ще раз на нерівність.

Тепер все на ту саму вісь наносимо ще й знаки, які вийдуть у результаті. Ламаною лінією, в моєму прикладі, позначаємо позитивні та негативні ділянки осі.

Дивись на нерівність – на малюнок, знову на нерівність – і знову на малюнокщо-небудь зрозуміло? Постарайся тепер сказати на яких проміжках ікса, нерівність буде правильною. Правильно, від до нерівність буде справедливо і від до, а на проміжку від до нерівність нуля і нас цей проміжок мало цікавить, адже у нас у нерівності знак стоїть.

Ну, якщо ти з цим розібрався, то справа за малим – записати відповідь! У відповідь пишемо ті проміжки, при яких ліва частина більша за нуль, що читається, як ікс належить проміжку від мінус нескінченності до мінус одного і від двох до плюс нескінченності. Варто пояснити, що круглі дужки означають, що значення, якими обмежений інтервал не є рішеннями нерівності, тобто вони не включені у відповідь, а лише говорять про те, що до, наприклад, не є рішення.

Тепер приклад, у якому тобі доведеться не лише інтервал малювати:

Як думаєш, що треба зробити, перш ніж крапки на вісь наносити? Ага, на множники розкласти:

Малюємо інтервали і розставляємо знаки, поміти крапки у нас виколоті, тому що знак строго менший за нуль:

Настав час розкрити тобі один секрет, який я обіцяв ще на початку цієї теми! А якщо я скажу тобі, що можна не підставляти значення з кожного інтервалу для визначення знака, а можна визначити знак в одному з інтервалів, а в інших просто чергувати знаки!

Таким чином, ми заощадили трохи часу на проставленні знаків – думаю, цей виграний час на ЄДІ не завадить!

Пишемо відповідь:

Тепер розглянемо приклад дробово-раціональної нерівності - нерівність, обидві частини якої є раціональними виразами (див. ).

Що можеш сказати про цю нерівність? А ти поглянь на нього як на дробово-раціональне рівняння, що робимо насамперед? Відразу бачимо, що коріння немає, значить точно раціональне, але тут же дріб, та ще й з невідомим у знаменнику!

Мабуть, ОДЗ треба!

Так, далі поїхали, тут усі множники крім одного мають змінну першого ступеня, але є множник, де ікс має другий ступінь. Зазвичай знак у нас змінювався після переходу через одну з точок, в якій ліва частина нерівності набуває нульового значення, для чого ми визначали, чому має дорівнювати ікс у кожному множнику. А тут, так воно завжди позитивно, т.к. будь-яке число в квадраті > нуля і позитивний доданок.

Як гадаєш, вплине на значення нерівності? Правильно – не вплине! Сміливо можемо поділити на обидві частини нерівності і цим прибрати цей множник, щоб очі не мозолив.

Настав час інтервали малювати, для цього потрібно визначити ті прикордонні значення, при відступі від яких множники і будуть більшими і меншими за нуль. Але зверни увагу, що тут знак, значить точку, в якій ліва частина нерівності набуває нульового значення, виколювати не будемо, адже вона входить до числа рішень, така точка у нас одна, це точка, де ікс дорівнює одному. А точку де знаменник негативний зафарбуємо? - Звичайно, ні!

Знаменник не повинен дорівнювати нулю, тому інтервал буде виглядати так:

За цією схемою ти вже легко зможеш написати відповідь, скажу тільки, що тепер у тебе в розпорядженні є новий тип дужки - квадратний! Ось така дужка [ каже, що значення входить у інтервал рішень, тобто. є частиною відповіді, ця дужка відповідає зафарбованій (не виколотий) точці на осі.

Ось, - у тебе така сама відповідь вийшла?

Розкладаємо на множники і переносимо все в один бік, адже нам праворуч тільки нуль треба залишити, щоб з ним порівнювати:

Звертаю твою увагу, що в останньому перетворенні, щоб отримати в чисельнику як і в знаменнику, множу обидві частини нерівності на. Пам'ятай, що при множенні обох частин нерівності на знак нерівності змінюється на протилежний!!!

Пишемо ОДЗ:

Інакше знаменник звернеться у нуль, а на нуль, як ти пам'ятаєш, ділити не можна!

Погодься, в нерівності, що вийшла, так і підмиває скоротити в чисельнику і знаменнику! Цього робити не можна, можна втратити частину рішень чи ОДЗ!

Тепер спробуй сам нанести крапки на вісь. Зауважу лише, що при нанесенні точок треба звернути увагу на те, що точка зі значенням, яка, виходячи зі знака, здавалося б, повинна бути нанесена на вісь як зафарбована, зафарбованою не буде, вона буде виколота! Чому ти запитаєш? А ти ОДЗ згадай, не збираєшся ж ти на нуль ділити так?

Запам'ятай, ОДЗ понад усе! Якщо вся нерівність і знаки рівності говорять одне, а ОДЗ - інше, довіряй ОДЗ, великої та могутньої! Ну що, ти збудував інтервали, я впевнений, що ти скористався моєю підказкою з приводу чергування і в тебе вийшло ось так (див. малюнок нижче) А тепер закресли, і не повторюй цю помилку більше! Яку помилку? - Запитаєш ти.

Справа в тому, що в даній нерівності множник повторювався двічі (пам'ятаєш, як ти ще скоротити його поривався?). Так от, якщо якийсь множник повторюється в нерівності парна кількість разів, то при переході через точку на осі, яка обертає цей множник у нуль (у даному випадку точка), знак не буде змінюватися, якщо непарне, то знак змінюється!

Вірним буде наступна вісь з інтервалами та знаками:

І, зверни увагу, що знак нас цікавить не той, який був на початку (коли ми тільки побачили нерівність, знак був), після перетворень знак змінився на, значить, нас цікавлять проміжки зі знаком.

Відповідь:

Скажу так само, що бувають ситуації, коли є коріння нерівності, яке не входить у будь-який проміжок, у відповідь вони записуються у фігурних дужках, ось так, наприклад: . Докладніше про такі ситуації можеш прочитати у статті середній рівень.

Давай підіб'ємо підсумки того, як вирішувати нерівності шляхом інтервалу:

1. Переносимо все до лівої частини, праворуч залишаємо тільки нуль;
2. Знаходимо ОДЗ;
3. Наносимо на вісь усі коріння нерівності;
4. Беремо довільний з одного з проміжків і визначаємо знак в інтервалі до якого відноситься корінь, чергуємо знаки, звертаючи увагу на коріння, що повторюються в нерівності кілька разів, від парності чи непарності кількості разів їх повторення залежить, змінюється знак при проходженні через них чи ні;
5. У відповідь пишемо інтервали, дотримуючись виколотих і не виколотих крапок (дивися ОДЗ), ставлячи необхідні види дужок між ними.

Ну і нарешті наша улюблена рубрика, «зроби сам»!

Приклади:

Відповіді:

МЕТОД ІНТЕРВАЛІВ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Лінійна функція

Лінійною називається функція виду. Розглянемо для прикладу функцію. Вона позитивна і негативна при. Крапка - нуль функції (). Покажемо знаки цієї функції на числовій осі:

Говоримо, що «функція змінює знак під час переходу через точку».

Видно, що знаки функції відповідають положенню графіка функції: якщо графік вищий за осі, знак « », якщо нижче - « ».

Якщо узагальнити отримане правило довільну лінійну функцію, отримаємо такий алгоритм:

• Знаходимо нуль функції;
• Зазначаємо його на числовій осі;
• Визначаємо знак функції з різних боків від нуля.

Квадратична функція

Сподіваюся, ти пам'ятаєш, як вирішуються квадратні нерівності? Якщо ні, прочитай тему. Нагадаю загальний вигляд квадратичної функції: .

Тепер згадаємо, які знаки набуває квадратична функція. Її графік - парабола, і функція приймає знак « » при таких, при яких парабола вище осі, і « » - якщо парабола нижче осі:

Якщо функція має нулі (значення, при яких), парабола перетинає вісь у двох точках - коренях відповідного квадратного рівняння. Таким чином вісь розбивається на три інтервали, а знаки функції змінюються поперемінно при переході через кожен корінь.

А чи можна якось визначити знаки, не малюючи щоразу параболу?

Згадаймо, що квадратний тричлен можна розкласти на множники:

Наприклад: .

Відзначимо коріння на осі:

Ми пам'ятаємо, що знак функції може змінюватись лише при переході через корінь. Використовуємо цей факт: для кожного з трьох інтервалів, на які вісь розбивається корінням, достатньо визначити знак функції лише в одній довільно вибраній точці: в інших точках інтервалу знак буде таким самим.

У нашому прикладі: при обох виразах у дужках позитивні (підставимо, наприклад:). Ставимо на осі знак « »:

Ну і, при (підстав, наприклад,) обидві дужки негативні, отже, твір позитивно:

Це і є метод інтервалів: знаючи знаки співмножників на кожному інтервалі, визначаємо знак всього твору

Розглянемо також випадки, коли нулів у функції немає, або він лише один.

Якщо їх немає, то й коріння немає. А отже, не буде й «переходу через корінь». Отже, функція по всій числової осі приймає лише одне знак. Його легко визначити, підставивши функцію.

Якщо корінь лише один, парабола стосується осі, тому знак функції не змінюється під час переходу через корінь. Яке правило вигадаємо для таких ситуацій?

Якщо розкласти таку функцію на множники, вийдуть два однакові множники:

А будь-який вираз у квадраті невід'ємний! Тому знак функції не змінюється. У таких випадках виділятимемо корінь, при переході через який знак не змінюється, обвівши його квадратиком:

Такий корінь називатимемо кратним.

Метод інтервалів у нерівностях

Тепер будь-яку квадратну нерівність можна вирішувати без малювання параболи. Достатньо лише розставити на осі знаки квадратичної функції і вибрати інтервали в залежності від знаку нерівності. Наприклад:

Відміряємо коріння на осі і розставимо знаки:

Нам потрібна частина осі зі знаком «»; оскільки нерівність несувора, саме коріння теж включаються до рішення:

Тепер розглянемо раціональну нерівність - нерівність, обидві частини якої є раціональними виразами (див.).

Приклад:

Всі множники крім одного - тут «лінійні», тобто містять змінну тільки в першому ступені. Такі лінійні множники нам і потрібні для застосування методу інтервалів - знак при переході через їхнє коріння змінюється. А ось множник взагалі не має коріння. Це означає, що він завжди позитивний (перевір це сам), і тому не впливає на знак усієї нерівності. Отже, на нього можна поділити ліву та праву частину нерівності, і таким чином позбутися її:

Тепер так само, як було з квадратними нерівностями: визначаємо, в яких точках кожен з множників звертається в нуль, відзначаємо ці точки на осі і розставляємо знаки. Звертаю увагу дуже важливий факт:

Відповідь: . Приклад: .

Для застосування методу інтервалів потрібно, щоб у одній із частин нерівності був. Тому перенесемо праву частину наліво:

У чисельнику та знаменнику однаковий множник, але не поспішаємо його скорочувати! Адже тоді ми можемо забути виколоти цю точку. Краще відзначити цей корінь як кратний, тобто при переході через нього знак не зміниться:

Відповідь: .

І ще один дуже показовий приклад:

Знову ж таки, ми не скорочуємо однакові множники чисельника і знаменника, тому що якщо скоротимо, нам доведеться спеціально запам'ятовувати, що потрібно виколоти крапку.

• : повторюється рази;
• : рази;
• : рази (у чисельнику та один у знаменнику).

У разі парної кількості чинимо так само, як і раніше: обводимо крапку квадратиком і не міняємо знак при переході через корінь. А от у разі непарної кількості це правило не виконується: знак все-одно зміниться при переході через корінь. Тому з таким корінням нічого додатково не робимо, начебто він у нас не кратний. Вищеописані правила відносяться до всіх парних і непарних ступенів.

Що запишемо у відповіді?

При порушенні чергування знаків потрібно бути дуже уважним, адже за несуворої нерівності у відповідь повинні увійти усі зафарбовані точки. Але деякі з нас часто стоять особняком, тобто не входять у зафарбовану область. У цьому випадку ми додаємо їх до відповіді як ізольовані точки (у фігурних дужках):

Приклади (виріши сам):

Відповіді:

1. Якщо серед множників просто це корінь, адже його можна уявити як.
   .

МЕТОД ІНТЕРВАЛІВ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Метод інтервалів застосовується на вирішення раціональних нерівностей. Він полягає у визначенні знака твору за знаками співмножників на різних проміжках.

Алгоритм розв'язання раціональних нерівностей методом інтервалів.

• Переносимо все до лівої частини, праворуч залишаємо тільки нуль;
• Знаходимо ОДЗ;
• Наносимо на вісь усі коріння нерівності;
• Беремо довільний з одного з проміжків і визначаємо знак в інтервалі до якого відноситься корінь, чергуємо знаки, звертаючи увагу на коріння, що повторюються в нерівності кілька разів, від парності чи непарності кількості разів їх повторення залежить, змінюється знак при проходженні через них чи ні;
• У відповідь пишемо інтервали, дотримуючись виколотих і не виколотих крапок (дивися ОДЗ), ставлячи необхідні види дужок між ними.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути напевно кращим за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 999 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

У другому випадку ми подаруємо тобітренажер "6000 завдань з рішеннями та відповідями, з кожної теми, за всіма рівнями складності". Його точно вистачить, щоб набити руку на вирішенні завдань з будь-якої теми.

Насправді, це набагато більше, ніж просто тренажер - ціла програма підготовки. Якщо знадобиться, ти зможеш нею так само скористатися БЕЗКОШТОВНО.

Доступ до всіх текстів та програм надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Початковий рівень

Метод інтервалів. Вичерпне керівництво (2019)

Цей метод тобі просто необхідно зрозуміти та знати його як свої п'ять пальців! Хоча б тому, що він застосовується для вирішення раціональних нерівностей і тому, що, знаючи цей метод як слід, вирішувати ці нерівності напрочуд просто. Трохи згодом розкрию тобі пару секретів, як заощадити час на розв'язанні цих нерівностей. Ну що, зацікавив? Тоді поїхали!

Суть методу у розкладанні нерівності на множники (повтори тему) та визначенні ОДЗ та знака співмножників, зараз усе поясню. Візьмемо найпростіший приклад: .

Області допустимих значень () тут писати не треба, оскільки розподілу на змінну немає, і радикалів (коренів) тут не спостерігається. На множники тут і так розкладено за нас. Але не розслабляйся, це все, щоб нагадати ази та зрозуміти суть!

Допустимо, ти не знаєш методу інтервалів, як би ти став вирішувати цю нерівність? Підійди логічно та спирайся на те, що вже знаєш. По-перше, ліва частина буде більшою за нуль якщо обидва вирази в дужках або більше за нуль, або менше за нуль, т.к. "плюс" на "плюс" дає "плюс" і "мінус" на "мінус" дає "плюс", так? А якщо знаки у виразів у дужках різні, то в результаті ліва частина буде меншою за нуль. А що нам потрібно, щоб дізнатися ті значення, у яких висловлювання у дужках будуть негативними чи позитивними?

Нам потрібно вирішити рівняння, воно таке саме як нерівність, тільки замість знака буде знак, коріння цього рівняння і дозволять визначити ті прикордонні значення, при відступі від яких множники і будуть більшими або меншими за нуль.

Нині ж самі інтервали. Що таке інтервал? Це певний проміжок числової прямої, тобто всі можливі числа, укладені між двома якимись числами - кінцями інтервалу. Ці проміжки у голові уявити не так просто, тому інтервали прийнято малювати, зараз навчу.

Малюємо вісь, на ній розташовується весь числовий ряд від і до. На вісь наносяться точки, ті самі звані нулі функції, значення, у яких вираз дорівнює нулю. Ці точки «виколюються» що означає, що де вони ставляться до тих значень, у яких нерівність правильне. У разі, вони виколюються т.к. знак у нерівності, а не, тобто строго більше, а не більше або одно.

Хочу сказати, що нуль відзначати не обов'язково, він без кружечків тут, а так, для розуміння та орієнтації по осі. Гаразд, вісь намалювали, крапки (точніше кружечки) поставили, що далі, як мені це допоможе у рішенні? - Запитаєш ти. Тепер просто візьми значення для ікса з інтервалів по порядку і підстав їх у свою нерівність і дивися, який знак буде в результаті множення.

Коротше, просто беремо наприклад, підставляємо його сюди, вийде, а значить на всьому проміжку (на всьому інтервалі) від до, з якого ми брали, нерівність буде справедлива. Тобто якщо ікс від до, то нерівність вірна.

Те саме робимо і з інтервалом від до, беремо або, наприклад, підставляємо, визначаємо знак, знак буде «мінус». І так само робимо з останнім, третім інтервалом від до, де знак вийде «плюс». Така купа тексту вийшла, а наочності мало, правда?

Поглянь ще раз на нерівність.

Тепер все на ту саму вісь наносимо ще й знаки, які вийдуть у результаті. Ламаною лінією, в моєму прикладі, позначаємо позитивні та негативні ділянки осі.

Дивись на нерівність – на малюнок, знову на нерівність – і знову на малюнокщо-небудь зрозуміло? Постарайся тепер сказати на яких проміжках ікса, нерівність буде правильною. Правильно, від до нерівність буде справедливо і від до, а на проміжку від до нерівність нуля і нас цей проміжок мало цікавить, адже у нас у нерівності знак стоїть.

Ну, якщо ти з цим розібрався, то справа за малим – записати відповідь! У відповідь пишемо ті проміжки, при яких ліва частина більша за нуль, що читається, як ікс належить проміжку від мінус нескінченності до мінус одного і від двох до плюс нескінченності. Варто пояснити, що круглі дужки означають, що значення, якими обмежений інтервал не є рішеннями нерівності, тобто вони не включені у відповідь, а лише говорять про те, що до, наприклад, не є рішення.

Тепер приклад, у якому тобі доведеться не лише інтервал малювати:

Як думаєш, що треба зробити, перш ніж крапки на вісь наносити? Ага, на множники розкласти:

Малюємо інтервали і розставляємо знаки, поміти крапки у нас виколоті, тому що знак строго менший за нуль:

Настав час розкрити тобі один секрет, який я обіцяв ще на початку цієї теми! А якщо я скажу тобі, що можна не підставляти значення з кожного інтервалу для визначення знака, а можна визначити знак в одному з інтервалів, а в інших просто чергувати знаки!

Таким чином, ми заощадили трохи часу на проставленні знаків – думаю, цей виграний час на ЄДІ не завадить!

Пишемо відповідь:

Тепер розглянемо приклад дробово-раціональної нерівності - нерівність, обидві частини якої є раціональними виразами (див. ).

Що можеш сказати про цю нерівність? А ти поглянь на нього як на дробово-раціональне рівняння, що робимо насамперед? Відразу бачимо, що коріння немає, значить точно раціональне, але тут же дріб, та ще й з невідомим у знаменнику!

Мабуть, ОДЗ треба!

Так, далі поїхали, тут усі множники крім одного мають змінну першого ступеня, але є множник, де ікс має другий ступінь. Зазвичай знак у нас змінювався після переходу через одну з точок, в якій ліва частина нерівності набуває нульового значення, для чого ми визначали, чому має дорівнювати ікс у кожному множнику. А тут, так воно завжди позитивно, т.к. будь-яке число в квадраті > нуля і позитивний доданок.

Як гадаєш, вплине на значення нерівності? Правильно – не вплине! Сміливо можемо поділити на обидві частини нерівності і цим прибрати цей множник, щоб очі не мозолив.

Настав час інтервали малювати, для цього потрібно визначити ті прикордонні значення, при відступі від яких множники і будуть більшими і меншими за нуль. Але зверни увагу, що тут знак, значить точку, в якій ліва частина нерівності набуває нульового значення, виколювати не будемо, адже вона входить до числа рішень, така точка у нас одна, це точка, де ікс дорівнює одному. А точку де знаменник негативний зафарбуємо? - Звичайно, ні!

Знаменник не повинен дорівнювати нулю, тому інтервал буде виглядати так:

За цією схемою ти вже легко зможеш написати відповідь, скажу тільки, що тепер у тебе в розпорядженні є новий тип дужки - квадратний! Ось така дужка [ каже, що значення входить у інтервал рішень, тобто. є частиною відповіді, ця дужка відповідає зафарбованій (не виколотий) точці на осі.

Ось, - у тебе така сама відповідь вийшла?

Розкладаємо на множники і переносимо все в один бік, адже нам праворуч тільки нуль треба залишити, щоб з ним порівнювати:

Звертаю твою увагу, що в останньому перетворенні, щоб отримати в чисельнику як і в знаменнику, множу обидві частини нерівності на. Пам'ятай, що при множенні обох частин нерівності на знак нерівності змінюється на протилежний!!!

Пишемо ОДЗ:

Інакше знаменник звернеться у нуль, а на нуль, як ти пам'ятаєш, ділити не можна!

Погодься, в нерівності, що вийшла, так і підмиває скоротити в чисельнику і знаменнику! Цього робити не можна, можна втратити частину рішень чи ОДЗ!

Тепер спробуй сам нанести крапки на вісь. Зауважу лише, що при нанесенні точок треба звернути увагу на те, що точка зі значенням, яка, виходячи зі знака, здавалося б, повинна бути нанесена на вісь як зафарбована, зафарбованою не буде, вона буде виколота! Чому ти запитаєш? А ти ОДЗ згадай, не збираєшся ж ти на нуль ділити так?

Запам'ятай, ОДЗ понад усе! Якщо вся нерівність і знаки рівності говорять одне, а ОДЗ - інше, довіряй ОДЗ, великої та могутньої! Ну що, ти збудував інтервали, я впевнений, що ти скористався моєю підказкою з приводу чергування і в тебе вийшло ось так (див. малюнок нижче) А тепер закресли, і не повторюй цю помилку більше! Яку помилку? - Запитаєш ти.

Справа в тому, що в даній нерівності множник повторювався двічі (пам'ятаєш, як ти ще скоротити його поривався?). Так от, якщо якийсь множник повторюється в нерівності парна кількість разів, то при переході через точку на осі, яка обертає цей множник у нуль (у даному випадку точка), знак не буде змінюватися, якщо непарне, то знак змінюється!

Вірним буде наступна вісь з інтервалами та знаками:

І, зверни увагу, що знак нас цікавить не той, який був на початку (коли ми тільки побачили нерівність, знак був), після перетворень знак змінився на, значить, нас цікавлять проміжки зі знаком.

Відповідь:

Скажу так само, що бувають ситуації, коли є коріння нерівності, яке не входить у будь-який проміжок, у відповідь вони записуються у фігурних дужках, ось так, наприклад: . Докладніше про такі ситуації можеш прочитати у статті середній рівень.

Давай підіб'ємо підсумки того, як вирішувати нерівності шляхом інтервалу:

1. Переносимо все до лівої частини, праворуч залишаємо тільки нуль;
2. Знаходимо ОДЗ;
3. Наносимо на вісь усі коріння нерівності;
4. Беремо довільний з одного з проміжків і визначаємо знак в інтервалі до якого відноситься корінь, чергуємо знаки, звертаючи увагу на коріння, що повторюються в нерівності кілька разів, від парності чи непарності кількості разів їх повторення залежить, змінюється знак при проходженні через них чи ні;
5. У відповідь пишемо інтервали, дотримуючись виколотих і не виколотих крапок (дивися ОДЗ), ставлячи необхідні види дужок між ними.

Ну і нарешті наша улюблена рубрика, «зроби сам»!

Приклади:

Відповіді:

МЕТОД ІНТЕРВАЛІВ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Лінійна функція

Лінійною називається функція виду. Розглянемо для прикладу функцію. Вона позитивна і негативна при. Крапка - нуль функції (). Покажемо знаки цієї функції на числовій осі:

Говоримо, що «функція змінює знак під час переходу через точку».

Видно, що знаки функції відповідають положенню графіка функції: якщо графік вищий за осі, знак « », якщо нижче - « ».

Якщо узагальнити отримане правило довільну лінійну функцію, отримаємо такий алгоритм:

• Знаходимо нуль функції;
• Зазначаємо його на числовій осі;
• Визначаємо знак функції з різних боків від нуля.

Квадратична функція

Сподіваюся, ти пам'ятаєш, як вирішуються квадратні нерівності? Якщо ні, прочитай тему. Нагадаю загальний вигляд квадратичної функції: .

Тепер згадаємо, які знаки набуває квадратична функція. Її графік - парабола, і функція приймає знак « » при таких, при яких парабола вище осі, і « » - якщо парабола нижче осі:

Якщо функція має нулі (значення, при яких), парабола перетинає вісь у двох точках - коренях відповідного квадратного рівняння. Таким чином вісь розбивається на три інтервали, а знаки функції змінюються поперемінно при переході через кожен корінь.

А чи можна якось визначити знаки, не малюючи щоразу параболу?

Згадаймо, що квадратний тричлен можна розкласти на множники:

Наприклад: .

Відзначимо коріння на осі:

Ми пам'ятаємо, що знак функції може змінюватись лише при переході через корінь. Використовуємо цей факт: для кожного з трьох інтервалів, на які вісь розбивається корінням, достатньо визначити знак функції лише в одній довільно вибраній точці: в інших точках інтервалу знак буде таким самим.

У нашому прикладі: при обох виразах у дужках позитивні (підставимо, наприклад:). Ставимо на осі знак « »:

Ну і, при (підстав, наприклад,) обидві дужки негативні, отже, твір позитивно:

Це і є метод інтервалів: знаючи знаки співмножників на кожному інтервалі, визначаємо знак всього твору

Розглянемо також випадки, коли нулів у функції немає, або він лише один.

Якщо їх немає, то й коріння немає. А отже, не буде й «переходу через корінь». Отже, функція по всій числової осі приймає лише одне знак. Його легко визначити, підставивши функцію.

Якщо корінь лише один, парабола стосується осі, тому знак функції не змінюється під час переходу через корінь. Яке правило вигадаємо для таких ситуацій?

Якщо розкласти таку функцію на множники, вийдуть два однакові множники:

А будь-який вираз у квадраті невід'ємний! Тому знак функції не змінюється. У таких випадках виділятимемо корінь, при переході через який знак не змінюється, обвівши його квадратиком:

Такий корінь називатимемо кратним.

Метод інтервалів у нерівностях

Тепер будь-яку квадратну нерівність можна вирішувати без малювання параболи. Достатньо лише розставити на осі знаки квадратичної функції і вибрати інтервали в залежності від знаку нерівності. Наприклад:

Відміряємо коріння на осі і розставимо знаки:

Нам потрібна частина осі зі знаком «»; оскільки нерівність несувора, саме коріння теж включаються до рішення:

Тепер розглянемо раціональну нерівність - нерівність, обидві частини якої є раціональними виразами (див.).

Приклад:

Всі множники крім одного - тут «лінійні», тобто містять змінну тільки в першому ступені. Такі лінійні множники нам і потрібні для застосування методу інтервалів - знак при переході через їхнє коріння змінюється. А ось множник взагалі не має коріння. Це означає, що він завжди позитивний (перевір це сам), і тому не впливає на знак усієї нерівності. Отже, на нього можна поділити ліву та праву частину нерівності, і таким чином позбутися її:

Тепер так само, як було з квадратними нерівностями: визначаємо, в яких точках кожен з множників звертається в нуль, відзначаємо ці точки на осі і розставляємо знаки. Звертаю увагу дуже важливий факт:

Відповідь: . Приклад: .

Для застосування методу інтервалів потрібно, щоб у одній із частин нерівності був. Тому перенесемо праву частину наліво:

У чисельнику та знаменнику однаковий множник, але не поспішаємо його скорочувати! Адже тоді ми можемо забути виколоти цю точку. Краще відзначити цей корінь як кратний, тобто при переході через нього знак не зміниться:

Відповідь: .

І ще один дуже показовий приклад:

Знову ж таки, ми не скорочуємо однакові множники чисельника і знаменника, тому що якщо скоротимо, нам доведеться спеціально запам'ятовувати, що потрібно виколоти крапку.

• : повторюється рази;
• : рази;
• : рази (у чисельнику та один у знаменнику).

У разі парної кількості чинимо так само, як і раніше: обводимо крапку квадратиком і не міняємо знак при переході через корінь. А от у разі непарної кількості це правило не виконується: знак все-одно зміниться при переході через корінь. Тому з таким корінням нічого додатково не робимо, начебто він у нас не кратний. Вищеописані правила відносяться до всіх парних і непарних ступенів.

Що запишемо у відповіді?

При порушенні чергування знаків потрібно бути дуже уважним, адже за несуворої нерівності у відповідь повинні увійти усі зафарбовані точки. Але деякі з нас часто стоять особняком, тобто не входять у зафарбовану область. У цьому випадку ми додаємо їх до відповіді як ізольовані точки (у фігурних дужках):

Приклади (виріши сам):

Відповіді:

1. Якщо серед множників просто це корінь, адже його можна уявити як.
   .

МЕТОД ІНТЕРВАЛІВ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Метод інтервалів застосовується на вирішення раціональних нерівностей. Він полягає у визначенні знака твору за знаками співмножників на різних проміжках.

Алгоритм розв'язання раціональних нерівностей методом інтервалів.

• Переносимо все до лівої частини, праворуч залишаємо тільки нуль;
• Знаходимо ОДЗ;
• Наносимо на вісь усі коріння нерівності;
• Беремо довільний з одного з проміжків і визначаємо знак в інтервалі до якого відноситься корінь, чергуємо знаки, звертаючи увагу на коріння, що повторюються в нерівності кілька разів, від парності чи непарності кількості разів їх повторення залежить, змінюється знак при проходженні через них чи ні;
• У відповідь пишемо інтервали, дотримуючись виколотих і не виколотих крапок (дивися ОДЗ), ставлячи необхідні види дужок між ними.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути напевно кращим за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 999 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

У другому випадку ми подаруємо тобітренажер "6000 завдань з рішеннями та відповідями, з кожної теми, за всіма рівнями складності". Його точно вистачить, щоб набити руку на вирішенні завдань з будь-якої теми.

Насправді, це набагато більше, ніж просто тренажер - ціла програма підготовки. Якщо знадобиться, ти зможеш нею так само скористатися БЕЗКОШТОВНО.

Доступ до всіх текстів та програм надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

На цьому уроці ми продовжимо вирішення раціональних нерівностей шляхом інтервалів для складніших нерівностей. Розглянемо розв'язання дробово-лінійних та дробово-квадратичних нерівностей та супутні завдання.

Тепер повертаємось до нерівності

Розглянемо деякі супутні завдання.

Визначити найменше рішення нерівності.

Знайти число натуральних розв'язків нерівності

Знайти довжину інтервалів, що становлять безліч розв'язків нерівності.

2. Портал Природних Наук ().

3. Електронний навчально-методичний комплекс для підготовки 10-11 класів до вступних іспитів з інформатики, математики, російської мови.

5. Центр освіти "Технологія навчання" ().

6. Розділ College.ru з математики ().

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. №№ 28(б,в); 29(б,в); 35(а,б); 37(б,в); 38(а).