Методична розробка «Рівняння з модулем. Захист персональної інформації

Одна з найскладніших тем для учнів – це вирішення рівнянь, які містять змінну під знаком модуля. Давайте розберемося для початку з чим це пов'язано? Чому, наприклад, квадратні рівняння більшість дітей клацає як горішки, а з таким далеко не найскладнішим поняттям, як модуль, має стільки проблем?

На мою думку, всі ці складності пов'язані з відсутністю чітко сформульованих правил для вирішення рівнянь із модулем. Так, вирішуючи квадратне рівняння, учень точно знає, що йому потрібно спочатку застосовувати формулу дискримінанта, а потім формули коріння квадратного рівняння. А що робити, якщо на рівнянні зустрівся модуль? Постараємося чітко описати необхідний план дій у разі, коли рівняння містить невідому під знаком модуля. До кожного випадку наведемо кілька прикладів.

Але для початку згадаємо визначення модуля. Отже, модулем числа aназивається саме це число, якщо aневід'ємно та -a, якщо число aменьше нуля. Записати це можна так:

|a| = a, якщо a ≥ 0 та |a| = -a, якщо a< 0

Говорячи про геометричний сенс модуля, слід пам'ятати, що кожному дійсному числу відповідає певна точка на числовій осі - її до оординату. Так ось, модулем або абсолютною величиною числа називається відстань від цієї точки до початку відліку числової осі. Відстань завжди задається позитивним числом. Таким чином, модуль будь-якого від'ємного числа є позитивним. До речі, навіть на цьому етапі багато учнів починають плутатися. У модулі може стояти будь-яке число, а ось результат застосування модуля завжди число позитивне.

Тепер перейдемо безпосередньо до розв'язання рівнянь.

1. Розглянемо рівняння виду | = с, де с – дійсне число. Це рівняння можна вирішити за допомогою модуля.

Всі дійсні числа розіб'ємо на три групи: ті, що більше за нуль, ті, що менше за нуль, і третя група – це число 0. Запишемо рішення у вигляді схеми:

(±c, якщо з > 0

Якщо | x | = c, то x = (0, якщо с = 0

(немає коріння, якщо з< 0

1) | = 5, т.к. 5> 0, то x = ±5;

2) | = -5, т.к. -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | = 0 то x = 0.

2. Рівняння виду | f (x) | = b, де b > 0. Для розв'язання цього рівняння необхідно позбутися модуля. Робимо це так: f(x) = b або f(x) = -b. Тепер необхідно вирішити окремо кожне із отриманих рівнянь. Якщо у вихідному рівнянні b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 або x + 2 = -4

2) | x 2 – 5 | = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 - 5 = 11 або x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 немає коренів

3) | x 2 - 5x | = -8, т.к. -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Рівняння виду | f (x) | = g(x). За змістом модуля таке рівняння матиме рішення, якщо його права частина більша чи дорівнює нулю, тобто. g(x) ≥ 0. Тоді матимемо:

f(x) = g(x)або f(x) = -g(x).

1) | 2x - 1 | = 5x – 10. Це рівняння матиме коріння, якщо 5x – 10 ≥ 0. Саме з цього і починають розв'язання таких рівнянь.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Рішення:

2x – 1 = 5x – 10 або 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Об'єднуємо О.Д.З. та рішення, отримуємо:

Корінь x = 11/7 не підходить за О.Д.З., він менше 2, а x = 3 цій умові задовольняє.

Відповідь: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - х 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Розв'яжемо методом інтервалів дану нерівність:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Рішення:

x – 1 = 1 – x 2 або x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 або x = 1 x = 0 або x = 1

3. Об'єднуємо рішення та О.Д.З.:

Підходять лише коріння x = 1 та x = 0.

Відповідь: x=0, x=1.

4. Рівняння виду | f (x) | = | g (x) |. Таке рівняння рівносильне двом наступним рівнянням f(x) = g(x) або f(x) = -g(x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Дане рівняння рівносильне двом наступним:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 або x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 або x = 4 x = 2 або x = 1

Відповідь: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Рівняння, які вирішуються методом підстановки (заміни змінної). Даний метод рішення найпростіше пояснити на конкретному прикладі. Так, нехай дано квадратне рівняння з модулем:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому рівняння можна переписати так:

|х| 2 - 6 | x | + 5 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0, тоді матимемо:

t 2 – 6t + 5 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, що t = 1 або t = 5. Повернемося до заміни:

|х| = 1 чи |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Відповідь: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Розглянемо ще один приклад:

x 2 + | x | – 2 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому

|х| 2 + | x | - 2 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0 тоді:

t 2 + t – 2 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, t = -2 або t = 1. Повернемося до заміни:

|х| = -2 чи |x| = 1

Немає коріння x = ± 1

Відповідь: x=-1, x=1.

6. Ще один вид рівнянь - рівняння зі "складним" модулем. До таких рівнянь відносяться рівняння, в яких є модулі в модулі. Рівняння цього виду можна вирішувати, застосовуючи властивості модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Діятимемо так само, як і в рівняннях другого типу. Т.к. 4 > 0, то отримаємо два рівняння:

3 - | x | = 4 чи 3 – |x| = -4.

Тепер виразимо у кожному рівнянні модуль х, тоді |x| = -1 чи |x| = 7.

Вирішуємо кожне з отриманих рівнянь. У першому рівнянні немає коріння, т.к. -1< 0, а во втором x = ±7.

Відповідь x=-7, x=7.

2) | 3 + | x + 1 | | = 5. Вирішуємо це рівняння аналогічним чином:

3 + | x + 1 | = 5 чи 3 + |x + 1| = -5

|х + 1| = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 або x + 1 = -2. Нема коріння.

Відповідь: x=-3, x=1.

Існує ще й універсальний метод розв'язання рівнянь із модулем. Це спосіб інтервалів. Але ми його розглянемо надалі.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Цей математичний калькулятор онлайн допоможе вам вирішити рівняння чи нерівність із модулями. Програма для розв'язання рівнянь та нерівностей з модулямине просто дає відповідь задачі, вона наводить докладне рішення з поясненнями, тобто. відображає процес отримання результату.

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Введіть рівняння або нерівність із модулями

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Рівняння та нерівності з модулями

В курсі алгебри основної школи можуть зустрітися найпростіші рівняння та нерівності з модулями. Для їх вирішення можна застосовувати геометричний метод, заснований на тому, що \(|x-a|\) - це відстань на числовій прямій між точками x та a: \(|x-a| = \rho(x;\; a) \). Наприклад, для вирішення рівняння \(|x-3|=2 \) потрібно знайти на числовій прямій точці, віддалені від точки 3 на відстань 2. Таких точок дві: \(x_1=1 \) і \(x_2=5 \) .

Вирішуючи нерівність \(|2x+7|

Але основний спосіб розв'язання рівнянь і нерівностей із модулями пов'язаний із так званим «розкриттям модуля за визначенням»:
якщо \(a \geq 0 \), то \(|a|=a \);
якщо \(a) Як правило, рівняння (нерівність) з модулями зводиться до сукупності рівнянь (нерівностей), що не містять знак модуля.

Крім зазначеного визначення, використовуються такі твердження:
1) Якщо \(c > 0 \), то рівняння \(|f(x)|=c \) рівносильне сукупності рівнянь: \(\left[\begin(array)(l) f(x)=c \\ f(x)=-c \end(array)\right. \)
2) Якщо \(c > 0 \), то нерівність \(|f(x)| 3) Якщо \(c \geq 0 \), то нерівність \(|f(x)| > c \) рівносильна сукупності нерівностей : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Якщо обидві частини нерівності \(f(x) ПРИКЛАД 1. Розв'язати рівняння \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Якщо \(x-1 \geq 0 \), то \(|x-1| = x-1 \) і задане рівняння набуває вигляду
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Якщо ж (x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Таким чином, задане рівняння слід розглянути окремо у кожному із двох зазначених випадків.
1) Нехай (x-1 \ geq 0 \), тобто. (x \geq 1 \). З рівняння \(x^2 +2x -8 = 0 \) знаходимо \(x_1=2, \; x_2=-4\). Умови \(x \geq 1 \) задовольняє лише значення \(x_1=2\).
2) Нехай \(x-1 Відповідь: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ПРИКЛАД 2. Розв'язати рівняння \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

Перший спосіб(Розкриття модуля за визначенням).
Розмірковуючи, як у прикладі 1, приходимо до висновку, що задане рівняння потрібно розглянути окремо при виконанні двох умов: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) або \(x^2-6x+7

1) Якщо \(x^2-6x+7 \geq 0 \), то \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) і задане рівняння набуває вигляду \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Розв'язавши це квадратне рівняння, отримаємо: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
З'ясуємо, чи задовольняє значення \(x_1=6 \) умові \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для цього підставимо вказане значення у квадратну нерівність. Отримаємо: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 +7 \ geq 0 \), тобто. \(7 \geq 0 \) - правильна нерівність. Отже, (x_1 = 6) - корінь заданого рівняння.
З'ясуємо, чи задовольняє значення \(x_2=\frac(5)(3) \) умовою \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для цього підставимо вказане значення у квадратну нерівність. Отримаємо: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), тобто. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) - неправильна нерівність. Значить, \(x_2=\frac(5)(3) \) не є коренем заданого рівняння.

2) Якщо \(x^2-6x+7 значення \(x_3=3\) задовольняє умову \(x^2-6x+7 значення \(x_4=\frac(4)(3) \) не задовольняє умову \) (x^2-6x+7 Отже, задане рівняння має два корені: \(x=6, \; x=3 \).

Другий спосіб.Якщо дано рівняння \(|f(x)| = h(x) \), то при \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right.
Обидва ці рівняння вирішені вище (при першому способі розв'язання заданого рівняння), їх коріння таке: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4)(3) \). Умови \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) із цих чотирьох значень задовольняють лише два: 6 і 3. Значить, задане рівняння має два корені: \(x=6, \; x=3 \ ).

Третій спосіб(графічний).
1) Побудуємо графік функції (y = | x^2-6x+7| \). Спочатку збудуємо параболу \(y = x^2-6x+7 \). Маємо (x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Графік функції \(y = (x-3)^2-2 \) можна отримати з графіка функції \(y = x^2 \) зрушенням його на 3 одиниці масштабу вправо (по осі x) і на 2 одиниці масштабу вниз ( по осі y). Пряма x=3 - вісь параболи, що нас цікавить. Як контрольні точки для більш точної побудови графіка зручно взяти точку (3; -2) - вершину параболи, точку (0; 7) і симетричну їй щодо осі параболи точку (6; 7).
Щоб побудувати тепер графік функції \(y = |x^2-6x+7| \), потрібно залишити без зміни ті частини збудованої параболи, які лежать не нижче осі x, а ту частину параболи, яка лежить нижче осі x, відобразити дзеркально щодо осі x.
2) Побудуємо графік лінійної функції (y = \frac(5x-9)(3) \). Як контрольні точки зручно взяти точки (0; -3) і (3; 2).

Істотно те, що точка х = 1,8 перетину прямий з віссю абсцис розташовується правіше за ліву точку перетину параболи з віссю абсцис - це точка \(x=3-\sqrt(2) \) (оскільки \(3-\sqrt(2) ) 3) Судячи з креслення, графіки перетинаються у двох точках - А(3; 2) і В(6; 7). В іншому значенні виходить вірна числова рівність, отже наша гіпотеза підтвердилася - рівняння має два корені: x = 3 і x = 6. Відповідь: 3;

Зауваження. Графічний спосіб при всій своїй витонченості не дуже надійний. У розглянутому прикладі він спрацював лише тому, що коріння рівняння – цілі числа.

ПРИКЛАД 3. Розв'язати рівняння \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Перший спосіб
Вираз 2x–4 звертається до 0 у точці х = 2, а вираз х + 3 - у точці х = –3. Ці дві точки розбивають числову пряму на три проміжки: \(x

Розглянемо перший проміжок: \((-\infty; \; -3) \).
Якщо x Розглянемо другий проміжок: \([-3; \; 2) \).
Якщо \(-3 \leq x Розглянемо третій проміжок: \()