Модель землі математична. Поняття про форму та розміри Землі

1. Якби Земля була б однорідною, нерухомою і схильною до дії внутрішніх сил тяжіння, вона мала б форму кулі(Рис.1.2).

Рис. 1.2. Куля

2. Під дією відцентрової сили, викликаної обертанням навколо осі з постійною швидкістю, Земля набула форми сфероїда або еліпсоїда обертання(Рис.1.3).

Рис. 1.3. Еліпсоїд обертання

3. Насправді, через нерівномірний розподіл мас усередині Землі, еліпсоїдальна фігура Землі деформована і має форму геоїда(Рис.1.4). Найбільші відступи геоїду від еліпсоїда не перевищують 100 – 150 м-коду.

Т.о. спеціальними інструментами з фізичної поверхні Землі геодезичні виміри проектують на геоїд, фігура якого не вивчена. Фігуру геоїду замінюють правильною математичною фігурою, до якої можна застосовувати математичні закони. Розміри земного еліпсоїда становлять:

велика піввісь а = 6378245 м,

мала піввісь b = 6356863 м,

Рис. 1.4. Геоїд

4. Для того, щоб земний еліпсоїд ближче підходив до геоїду, його розташовують у тілі Землі, орієнтуючи певним чином. Такий еліпсоїд з певними параметрами та певним чином орієнтований у тілі Землі, називається референц-еліпсоїдом(Рис.1.5).

Всі теми цього розділу:

Інженерна геодезія
Навчальний посібник Челябінськ Видавництво ЮУрДУ УДК 528.48 (076.5) + 528,4 (075.8) М636

Коротка історична довідка про розвиток Геодезії
Виникнення геодезії належить до давнини. Відомо, що в державах Близького Сходу за кілька тисячоліть до н. була створена складна іригаційна система. За 2150 років до н.

Предмет та завдання геодезії
Геодезія – наука про вимірювання на земній поверхні, що проводяться для визначення форми та розмірів Землі, зображення земної поверхні у вигляді планів, карт та профілів, для вирішення інженерних і

Система географічних (астрономічних) координат
j l а Е

Система геодезичних координат
В L А Е

Пряма та зворотна геодезичні завдання. Їх застосування у геодезичному виробництві
х1 х2 у1

Масштаби
Масштаб – відношення довжини лінії у плані до відповідної проекції цієї лінії біля. а) Чисельний масштаб - число, правильний дріб, у чисельнику -

Основи математичної обробки геодезичних вимірів
Геодезичні виміри визначають відносне положення точок земної поверхні. Розрізняють такі види вимірів: 1) лінійні – отримують похилі та горизонтальні відстані

Геодезичні плани, карти
План-креслення, що є зменшеним і подібним зображенням її проекції на горизонтальну площину (рис. 5.1, а). На плані довжини ліній, кути, площі контурів

Умовні знаки на планах, картах, геодезичних та будівельних кресленнях
Для позначення планах і картах різних предметів місцевості застосовують спеціально розроблені умовні знаки. Умовні знаки поділяються на: а) контурні (масшт.

Номенклатура топографічних планів та карт
Номенклатура – ​​система розграфування та позначень топографічних планів та карт. В основу номенклатури карток на території Російської Федерації покладено міжнародну розграфку листів картки м

Основні форми рельєфу
а) Гора, пагорб (рис. 5.16) – купоподібна або конічна височина земної поверхні Вершина

Горизонталі
Горизонталь - замкнута крива лінія, всі точки якої мають одну і ту ж висоту над початковою рівневою поверхнею Властивості горизонталей: - точки, що лежать на одній і то

Ухил лінії. Графіки закладень
Ухил i лінії – відношення перевищення h до закладання лінії d (рис. 5.22). Ухил – міра крутості ската. Наприклад, h = 1 м, d = 20 м. i = 1/20 = 0,05. Ухили виражаються у відсотках i

Завдання, які вирішуються по карті
Відмінювання на 2005 р. східне 6°12¢. Середнє зближення меридіанів західне 2°

Методи, схеми, точність та щільність пунктів при створенні мережі
- тріангуляція (рис. 6.1) застосовується у відкритій місцевості: Рис. 6.1. Тріангуляція - полігонометрія (рис. 6.2) застосовується у закритій місцевості:

Схеми, методи, точність та щільність пунктів під час створення мережі
Схеми створення мережі: Мал. 6.7. Схема нівелювання I – IV класів: Лінії нівелювання I класу Лінії нівелювання II

Вимірювання ліній стрічкою
- Провішування ліній Мал. 7.1. Вимірювання лінії стрічкою Виміряна відстань обчислюється за формулою, (7.1) де Д - відстань між точками,

Вимірювання відстані нитковим далекоміром
d f d¢

Дальномірні визначення відстаней
- b2 Д2

Принцип вимірювання горизонтальних та вертикальних кутів
Кутові вимірювання необхідні при розвитку тріангуляційних мереж, прокладанні полігонометричних, теодолітних та висотних ходів, виконанні топографічних зйомок та вирішенні багатьох геодезично

Основні частини теодоліту
Основними частинами теодоліту є: лімб або горизонтальне коло, алідада, зорова труба, циліндричний рівень, підставки, вертикальне коло, підйомні гвинти. Лімб (рис.8.3)

Вивчення пристрою теодоліту типу Т30
При вивченні пристрою теодоліту слід звернути увагу на роботу гвинтів, що наводять: вони повинні займати середнє положення, щоб була можливість переміщення рухомих частин теодоліту вправо

Вимірювання горизонтальних та вертикальних кутів
p align="justify"> Робота з вимірювання кутів на станції виконується в наступному порядку: Індекс алідади в)

Порядок роботи на станції
- При КЛ, при закріпленому лімбі, повертають алідаду, поки ГК буде відлік 0°0¢; - при закріпленій алідаді пово

Порядок роботи на станції
- При КЛ, при закріпленому лімбі, повертають алідаду, поки відлік ГК буде 0° 0¢; - при закріпленій алідаді повертають лімб, поки центр сітки буде наведен

Камеральні роботи під час обробки результатів вимірювань
а) Обробка журналів. Складання схеми теодолітних ходів Камеральні роботи починають із перевірки польових журналів. Потім на папері за середніми значеннями кутів і довжинами ліній складають схе

Топографічні зйомки
Зйомка місцевості – сукупність кутових та лінійних вимірювань, які виконуються на земній поверхні для створення плану, карти або профілю. Зйомки поділяються на: - наземні (теодолітна,

нівелювання. Призначення. Методи нівелювання
Нівелювання - процес геодезичних вимірювань для визначення перевищення точок однієї над іншою і висот точок над рівнем моря. Призначення – для визначення

Пристрій, повірки та юстування нівеліру
а) Влаштування нівелірів Лінія візування у нівеліра наводиться в горизонтальне положення двома способами: 1) за допомогою елеваційного гвинта та циліндричного рівня при тр

Елементи заокруглень. Розбивка головних точок кругової кривої
У місцях повороту траси розбивають закруглення. Рис. 9.15. Розбивка головних точок кругової кривої: R-радіус кривої; НК – початок кривої; СК –

Детальна розбивка кривих
Х1 У1 У2

Нівелювання траси
пк0 пк1 пк2

Камеральні роботи під час трасування лінійних споруд
1. Перевірка польового журналу: обчислення перевищень, середніх перевищень. Обчислюють суму перевищень по ходу між вихідними реперами ∑hізм. Теоретичну суму вирахував

Основні елементи розбивальних робіт
Розбивними роботами називаються геодезичні побудови, що мають на меті визначення на території положення споруди та її частин у плані та за висотою відповідно до проекту. Розбивач

Будівельний майданчик
Для винесення на місцевість будівельного майданчика та основних осей будівлі (рис. 10.7) прокладають теодолітний хід з розрахунком, що з точок ходу буде винесено майданчик та осі будівлі. Крапки ходу закріплюю

Передача позначок на дно котловану та на поверх
а) Передача позначки поверх а b

бібліографічний список
Основний 1. Федоров, В.І. Інженерна геодезія/В.І. Федоров, П.І. Шилов. - М.: Надра, 1982. 2. Курс інженерної геодезії / За ред. В.Є. Новака - М.: Надра, 1989. 3. Мітін

Біля Олександрійської бібліотеки під час положення Сонця над Сієною в зеніті зумів виміряти довжину земного меридіана і обчислити радіус Землі. Те, що форма Землі повинна відрізнятися від кулі, вперше показав Ньютон.

Відомо, що планета сформувалася під дією двох сил - сили взаємного тяжіння її частинок і відцентрової сили, що виникає через обертання планети навколо осі. Сила тяжіння є рівнодією цих двох сил. Ступінь стиснення залежить від кутової швидкості обертання: що швидше обертається тіло, то більше воно сплющивается біля полюсів.

Рис. 2.1. Обертання Землі

Поняття фігури Землі може трактуватися по-різному залежно від цього, які вимоги пред'являються точності вирішення тих чи інших завдань. В одних випадках Землю можна прийняти за площину, в інших – за кулю, у третіх – за двовісний еліпсоїд обертання з малим полярним стисненням, у четвертих – тривісний еліпсоїд.

Рис. 2.2. Фізична поверхня Землі ( вид з космосу)

Суша становить приблизно одну третину від усієї поверхні Землі. Вона височіє над рівнем моря в середньому на 900 - 950 м. У порівнянні з радіусом Землі (R = 6371 км) це дуже мала величина. Оскільки більшу частину поверхні Землі займають моря та океани, то за форму Землі можна прийняти рівну поверхню, що збігається з незбуреною поверхнею Світового океану і подумки продовжена під материками. За пропозицією німецького вченого Лістинга цю фігуру назвали геоїдом .
Фігура, обмежена рівненою поверхнею, що збігається з поверхнею води Світового океану в спокійному стані, подумки продовжена під материками, називаєтьсягеоїдом .
Під Світовим океаном розуміють поверхні морів та океанів, пов'язані між собою.
Поверхня геоїду у всіх точках перпендикулярна стрімкій лінії.
Фігура геоїду залежить від розподілу мас і густин у тілі Землі. Вона не має точного математичного виразу і є практично невизначеною, у зв'язку з чим у геодезичних вимірах замість геоїду використовується його наближення – квазігеоїд. Квазігеоїд, На відміну від геоїду, однозначно визначається за результатами вимірювань, збігається з геоїдом на території Світового океану і дуже близький до геоїду на суші, відхиляючись лише на кілька сантиметрів на рівнинній місцевості і не більше ніж на 2 метри у високих горах.
Для вивчення фігури нашої планети спочатку визначають форму та розміри деякої моделі, поверхня якої є порівняно добре вивченою в геометричному відношенні та найбільш повно характеризує форму та розміри Землі. Потім, беручи цю умовну фігуру за вихідну, визначають щодо неї висоти точок. Для вирішення багатьох задач геодезії за модель Землі прийнято еліпсоїд обертання (сфероїд).

Напрямок прямовисної лінії та напрямок нормалі (перпендикуляра) до поверхні еліпсоїда в точках земної поверхні не збігаються та утворюють кут ε званий ухиленням прямовисної лінії . Дане явище пов'язане з тим, що щільність мас у тілі Землі неоднакова і прямовисна лінія відхиляється у бік більш щільних мас. У середньому його величина становить 3 - 4", а в місцях аномалій досягає десятків секунд. Реальний рівень моря в різних регіонах Землі відхилиться більш ніж на 100 метрів від ідеального еліпсоїда.

Рис. 2.3. Співвідношення поверхонь геоїду та земного еліпсоїда.
1) світовий океан; 2) земний еліпсоїд; 3) вертикальні лінії; 4) тіло Землі; 5) геоїд

Для визначення розмірів земного еліпсоїда на суші проводилися спеціальні градусні виміри (визначалася відстань за дугою меридіана 1º). Протягом півтора століття (з 1800 по 1940 рр.) було отримано різні розміри земного еліпсоїда (еліпсоїди Деламбера (д "Аламбера), Бесселя, Хейфорда, Кларка, Красовського та ін.).
Еліпсоїд Деламбера має лише історичне значення як основа для встановлення метричної системи заходів (на поверхні еліпсоїда Деламбера відстань в 1 метр дорівнює одній десятимільйонній відстані від полюса до екватора).
Еліпсоїд Кларка використовується у США, країнах Латинської Америки, Центральної Америки та інших країнах. У Європі використовується еліпсоїд Хейфорда. Він же був рекомендований як міжнародний, проте параметри вказаного еліпсоїда отримані за вимірюваннями, виконаними тільки на території США, і, крім того, містять великі помилки.
До 1942 р. нашій країні застосовувався еліпсоїд Бесселя. У 1946 р. розміри земного еліпсоїда Красовського були затверджені для геодезичних робіт на території Радянського Союзу та діють досі на території України.
Еліпсоїд, який використовується даною державою, або відокремленою групою держав, для виробництва геодезичних робіт та проектування на його поверхню точок фізичної поверхні Землі, називають референц-еліпсоїдом. Референц-еліпсоїд служить допоміжною математичною поверхнею, до якої наводять результати геодезичних вимірів на земній поверхні. Найбільш вдала математична модель Землі для нашої території у вигляді референц-еліпсоїда була запропонована проф. Ф. Н. Красовським. На цьому еліпсоїді засновано геодезичну систему координат Пулково-1942 (СК-42), яка використовувалася в Україні для створення топографічних карт з 1946 по 2007 рік.

Розміри земного еліпсоїда за Красовським

При введенні Пулковської системи координат та Балтійської системи висот Рада Міністрів СРСР поклала на Генеральний Штаб збройних сил СРСР та Головне управління геодезії та картографії при Раді Міністрів СРСР перерахування в єдину систему координат та висот тріангуляційної та нівелірної мережі, виконаної до 1946 року, та зобов'язала їх закінчити цю роботу у 5-річний термін. Контроль за перевиданням топографічних карт було покладено Генеральний Штаб збройних сил СРСР, а морських карт на Головний Штаб військово-морських сил.
1 січня 2007 року на території України запроваджено УСК-2000 - Українська система координат натомість СК-42. Практичною цінністю нової системи координат є можливість ефективного використання глобальних навігаційних супутникових систем у топографо-геодезичному виробництві, які мають низку переваг у порівнянні з традиційними методами.
Відомостей про те, що в Україні здійснено переобчислення координат СК-42 в УСК-2000 та видано нові топографічні карти автор цього навчального посібника не має. На навчальних топографічних картах, виданих у 2010 році Державним науково-виробничим підприємством «Картографія», у лівому верхньому кутку, як і раніше, залишився напис «Система координат 1942 р.».
Система координат 1963 (СК-63) була похідною від попередньої державної системи координат 1942 і мала певні параметри зв'язку з нею. Для забезпечення таємності у СК-63 були штучно спотворені реальні дані. З появою потужної обчислювальної техніки для високоточного визначення параметрів зв'язку між різними координатними системами ця система координат втратила свій сенс на початку 80-х. Слід зазначити, що СК-63 було скасовано рішенням Ради Міністрів СРСР березні 1989 року. Але згодом, враховуючи великі обсяги накопичених геопросторових даних та картографічних матеріалів (включаючи результати виконання землевпорядних робіт часів СРСР), термін її використання було продовжено доти, доки всі дані не будуть переведені до чинної державної системи координат.
Для супутникової навігації використовується тривимірна система координат WGS 84 (англ. World Geodetic System 1984). На відміну від локальних систем є єдиною системою для всієї планети. WGS 84 визначає координати щодо центру мас Землі, похибка становить менше 2 см. У WGS 84 нульовим меридіаном вважається IERS Reference Meridian. Він розташований за 5,31″ на схід від Грінвіцького меридіана. За основу взято сфероїд з більшим радіусом – 6 378 137 м (екваторіальний) та меншим – 6 356 752,3142 м (полярний). Відрізняється від геоїду менш як на 200 м.
Особливості будови фігури Землі повністю враховуються при математичній обробці високоточних геодезичних вимірів та створення державних геодезичних опорних мереж. Зважаючи на невелику кількість стиснення (відношення різниці великої, екваторіальної півосі ( а) земного еліпсоїда та малої полярної півосі ( b) до великої півосі [ a - b]/b) ≈ 1:300) при вирішенні багатьох завдань за фігуру Землі з достатньою для практичних цілей точністю можна прийняти сферу , рівновелику за обсягом земного еліпсоїда . Радіус такої сфери для еліпсоїда Красовського R = 6371,11 км.

2.2. ОСНОВНІ ЛІНІЇ І ПЛОЩИНИ ЗЕМНОГО ЕЛЛІПСОЇДУ

При визначенні положення точок на поверхні Землі та на поверхні земного еліпсоїда користуються деякими лініями та площинами.
Відомо, що точки перетину осі обертання земного еліпсоїда з його поверхнею є полюсами, один із яких називається Північним. Рс, а інший - Південним Рю(Рис. 2.4).

Рис. 2.4. Основні лінії та площини земного еліпсоїда

Перерізи земного еліпсоїда площинами, перпендикулярними до малої осі, утворюють слід у вигляді кіл, які називаються паралелями. Паралелі мають різні за величиною радіуси. Чим ближче розташовані паралелі до центру еліпсоїда, тим більше їх радіуси. Паралель з найбільшим радіусом, що дорівнює великої півосі земного еліпсоїда, називається екватором . Площина екватора проходить через центр земного еліпсоїда і ділить його на дві рівні частини: Північну та Південну півкулі.
Кривизна поверхні еліпсоїда є важливою характеристикою. Вона характеризується радіусами кривизни меридіанного перерізу та перерізу першого вертикалу, які називаються головними перерізами.
Переріз поверхні земного еліпсоїда площинами, що проходять через його малу вісь (вісь обертання), утворюють слід у вигляді еліпсів, які називаються меридіанними перерізами .
На рис. 2.4 пряма СО"перпендикулярна до дотичної площини. КК"у точці її торкання З, називається нормаллю до поверхні еліпсоїда у цій точці. Кожна нормаль до поверхні еліпсоїда завжди лежить у площині меридіана, а отже перетинає вісь обертання еліпсоїда. Нормалі до точок, що лежать на одній паралелі, перетинають малу вісь (вісь обертання) в одній точці. Нормалі до точок, що розташовані на різних паралелях, перетинаються з віссю обертання в різних точках. Нормаль до точки, розташованої на екваторі, лежить у площині екватора, а нормаль у точці полюса збігається з віссю обертання еліпсоїда.
Площина, що проходить через нормаль, називається нормальною площиною , а слід від перерізу цією площиною еліпсоїда - нормальним перетином . Через будь-яку точку на поверхні еліпсоїда можна провести безліч нормальних перерізів. Меридіан та екватор є окремими випадками нормальних перерізів у даній точці еліпсоїда.
Нормальна площина перпендикулярна до площини меридіана в даній точці З, називається площиною першого вертикалу , а слід, якою вона перетинає поверхню еліпсоїда, - перетином першого вертикалу (рис. 2.4).
Взаємне положення меридіана та будь-якого нормального перерізу, що проходить через точку З(Мал. 2.5) на даному меридіані, визначається на поверхні еліпсоїда кутом А, утвореним меридіаном цієї точки Зта нормальним перетином.

Рис. 2.5. Нормальний перетин

Цей кут називається геодезичним азимутом нормального перерізу. Він відраховується від північного напрямку меридіана протягом годинної стрілки від 0 до 360°.
Якщо прийняти Землю за кулю, то нормаль до будь-якої точки поверхні кулі пройде через центр кулі, а будь-яка нормальна площина утворює на поверхні кулі слід у вигляді кола, яке називається великим колом.

2.3. МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ФІГУРИ І РОЗМІРІВ ЗЕМЛІ

При визначенні фігури та розмірів Землі використовувалися такі методи:

Астрономо – геодезичний метод

Визначення фігури та розмірів Землі засноване на використанні градусних вимірів, суть яких зводиться до визначення лінійної величини одного градуса дуги меридіана та паралелі на різних широтах. Однак безпосередні лінійні виміри значної протяжності на земній поверхні утруднені, її нерівності суттєво знижують точність робіт.
Метод тріангуляції. Висока точність виміру значних відстаней забезпечується застосуванням методу тріангуляції, розробленого в XVII ст. голландським ученим В. Снелліусом (1580 – 1626).
Тріангуляційні роботи з визначення дуг меридіанів і паралелей проводилися вченими різних країн. Ще у XVIII ст. було встановлено, що градус дуги меридіана біля полюса довше, ніж в екватора. Такі параметри характерні для еліпсоїда, стиснутого біля полюсів. Цим підтверджувалася гіпотеза І. Ньютона про те, що Земля відповідно до законів гідродинаміки повинна мати форму еліпсоїда обертання, сплюснутого біля полюсів.

Геофізичний (гравіметричний) метод

Він заснований на вимірі величин, що характеризують земне поле сили тяжіння, та їх розподіл на поверхні Землі. Перевага цього в тому, що його можна застосовувати на акваторіях морів і океанів, т. е. там, де можливості астрономо-геодезичного способу обмежені. Дані вимірювань потенціалу сили тяжіння, виконані лежить на поверхні планети, дозволяють обчислити стиск Землі з більшою точністю, ніж астрономо-геодезичним методом.
Початок гравіметричним спостереженням було покладено 1743 р. французьким ученим А. Клеро (1713 - 1765). Він припустив, що Землі має вигляд сфероїда, т. е. постаті, яку прийняла Земля, перебуваючи у стані гідростатичного рівноваги під впливом лише сил взаємного тяжіння її частинок і відцентрової сили обертання біля постійної осі. А. Клеро припустив також, що тіло Землі складається із сфероїдальних верств із загальним центром, щільність яких зростає до центру.

Розвиток космічного методу та вивчення Землі пов'язане з освоєнням космічного простору, який розпочався з моменту запуску радянського штучного супутника Землі (ІСЗ) у жовтні 1957 р. Перед геодезією були поставлені нові завдання, пов'язані з бурхливим розвитком космонавтики. У тому числі - спостереження за ШСЗ на орбіті та визначення їх просторових координат у заданий час. Виявлені відхилення реальних орбіт ШСЗ від обчислених, викликані нерівномірним розподілом мас у земній корі, дозволяють уточнити уявлення про гравітаційне поле Землі і в кінцевому результаті про її фігуру.

Запитання та завдання для самоконтролю

Для яких цілей використовуються дані про форму та розміри Землі?

За якими ознаками в давнину визначили, що Земля має кулясту форму?

Яку фігуру називають геоїдом?

Яку фігуру називають еліпсоїдом?

Яку фігуру називають референц-еліпсоїдом?

Які елементи та розміри еліпсоїда Красовського?

Назвіть основні лінії та площини земного еліпсоїда.

Які методи використовуються для визначення фігури та розмірів Землі?

Дайте коротку характеристику кожному методу.

ФОРМА ЗЕМЛІ ТА ЇЇ МОДЕЛІ

РОЗДІЛ 1

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ НАВІГАЦІЇ

Глава 1

ОРІЄНТУВАННЯ НА МОРСЬКОЇ ПОВЕРХНІ ЗЕМЛІ

ФОРМА ЗЕМЛІ ТА ЇЇ МОДЕЛІ

Навігація(від лат. navigation - мореплавання) - це математична наука про способи визначення оптимального шляху судна на водній поверхні Землі та про способи прокладання цього шляху на морській навігаційній карті (від лат. optimus - найкращий).

Морська навігаційна картка(скорочено МНК) – це плоске зображення опуклої поверхні морів та океанів із прилеглими ділянками суші у вигляді берегової смуги.

Перенесення опуклої поверхні Землі на площину провадиться шляхом математичних обчислень.

Прокладання шляху судна проводиться шляхом вирішення геометричних завдань на водній поверхні Землі та на карті.

Математичні обчислення з перенесення опуклої поверхні Землі на карту і розв'язання геометричних завдань з прокладання шляху судна на водній поверхні Землі та на карті можливі лише в тому випадку, якщо планета Земля є геометричним тілом.

Геометричне тіло

Як приклад можна навести геометричну фігуру куля, що має найпростішу форму, т.к. всі точки поверхні кулі однаково віддалені від центру. Тому форму і розмір кулі визначає один параметр - радіус кулі (від грец. Parameteron - відмірює).

До розмірів кулі відноситься площа поверхні кулі (F ш) та об'єм кулі (V ш), які обчислюються за допомогою відомих формул:

У математиці площу об'ємної фігури називають поверхнею. Наприклад, площа кулі – це поверхня кулі.

Планета Земля, створена 4.7 мільярдів років тому з газово-пилової космічної речовини, має дуже складну форму, яка не піддається математичному опису. Тому виникає необхідність апроксимації (заміни) планети Земля геометричним тілом, яке називається геометричною (математичною) моделлю Землі.

Апроксимацію планети Земля (від латів. approximo – наближаюся) проводять шляхом послідовного наближення зовнішнього контуру Землі до форми геометричного тіла:

спочатку створюють фізичну модель Землі, якою є фігура планети Земля, простішої форми. Тому ця модель отримала назву геоїд, що у перекладі з грецької мови – вид Землі (від грец. слів ge – Земля та iodos – вид);

на основі геоїду створюють геометричну модель Землі – еліпсоїд, форма та розміри якого найбільш близькі формі та розмірам геоїду. Тому цей еліпсоїд називається земним еліпсоїдомабо референц-еліпсоїдом(від лат. referens – повідомляє – частина складного слова, яка визначає, що референц-еліпсоїд є носієм інформації про форму та розміри Землі);

з урахуванням земного еліпсоїда виробляють геометричну модель Землі – кулю, розміри якого найбільш близькі розмірам земного еліпсоїда. Тому ця куля називається земною кулею .

Принцип створення геоїду ґрунтується на «згладжуванні» фізичної поверхні планети Земля з метою одержання фігури більш простої форми.

Фізична поверхня Землі(Від грец. Physika - природа) - це зовнішня оболонка планети Земля, яка складається з двох сфер (рисунок 1.1):

1. Гідросфера (від грец. Hydor - вода) - це зовнішня водна оболонка Світового океану (8-11), яка оточує материки та острови (1-7) і займає близько 71% земної поверхні.

2. Літосфера (від грец. lithos – камінь) – це тверда частина поверхні Землі, яка складається з материкової та океанічної земної кори та верхньої мантії (мантія Землі – це оболонка, розташована між земною корою та ядром Землі).

Згладжування фізичної поверхні планети Земля виробляють шляхом видалення з цієї поверхні тієї частини літосфери, яка височить над рівнем Світового океану у вигляді материків і островів.

Таким чином, геоїд – це фігура планети Земля, обмежена гідросферою, над якою не підноситься літосфера Землі. На малюнку 1.1 «б» постать геоїда показано в розрізі за допомогою подвійної овальної кривої.

Проте згладжена поверхня геоїду, проте, має складну форму. Тому геоїд не є геометричною фігурою. Найбільш близькою формою до геоїду є геометрична фігура еліпсоїд, поверхня якого має найбільше поєднання з поверхнею геоїду (рисунок 1.2).

Еліпсоїд– це геометрична об'ємна фігура, що утворена обертанням плоскої фігури під назвою еліпс.

Еліпс– це овальна крива, яка утворена стисненням кола, внаслідок чого еліпс має витягнуту велику вісь ЕQ та укорочену малу вісь Р 1 Р 2 (рисунок 1.3).

Форму та розмір еліпса визначають такі параметри (рисунок 1.3):

довжина великої півосі еліпса a»;

довжина малої півосі еліпса b»;

коефіцієнт стиснення еліпса та стиснення еліпса ;

ексцентриситет еліпса ε;

відстань фокусів еліпса F 1 і F 2 від центру цього еліпса, яке позначено буквою « з».

Ексцентриситет еліпса(ε) – це число, що дорівнює відношенню відстані між фокусами еліпса до довжини великої осі еліпса. Оскільки відстань між фокусами дорівнює 2с, а довжина великої осі дорівнює 2а, то .

Фокуси еліпса- Це точки F 1 і F 2 на великій осі еліпса, сума відстаней від яких до будь-якої точки еліпса дорівнює довжині більшої осі цього еліпса:

де - Відстань будь-якої точки еліпса до фокусів, які називаються фокальними радіусами точки еліпса.

Еліпсоїд, утворений обертанням еліпса навколо великої осі EQ, називається витягнутим еліпсоїдом.

Еліпсоїд, утворений обертанням еліпса навколо малої осі Р 1 Р 2 називається стислим еліпсоїдомабо сфероїдом.

Як математичну модель Землі застосовують стислий еліпсоїд і тому земний еліпсоїд має ще один синонімічний термін – земний сфероїд(Від грец. Synonymos - однойменний).

Земний еліпсоїд (земний сфероїд або референц-еліпсоїд) має наступні параметри, які визначають його форму та розміри:

Довжина великої півосі еліпсоїда. a»;

Довжина малої півосі еліпсоїда. b»;

Полярне стиск еліпсоїда;

Величина першого ексцентриситету еліпсоїда, яка дорівнює величині ексцентриситету еліпсу, обертанням якого отриманий даний еліпсоїд.

Принцип створення земного еліпсоїда ґрунтується на обчисленні таких значень параметрів a, b, і е, при яких еліпсоїд набуває форми і розмірів, близьких до форми і розмірів геоїду. Основною ознакою близькості земного еліпсоїда та геоїду за формою та розмірами є найбільший збіг поверхонь цих фігур (рисунок 1.2).

Форма та розміри земного еліпсоїда найбільш близькі формі та розмірам геоїду при дотриманні наступних умов (рисунок 1.2):

1. Обсяг земного еліпсоїда повинен дорівнювати обсягу геоїду.

2. Мала вісь земного еліпсоїда має збігатися з віссю обертання Землі.

3. Площина екватора земного еліпсоїда має збігатися з площиною екватора геоїду.

4. Алгебраїчна сума квадратів геодезичної висоти всіх точок геоїду має бути найменшою.

– це площина перерізу, яка проходить через центр цього еліпсоїда під кутом 90° до осі обертання Землі.

Якщо поєднати 2 фігури – геоїд та земний еліпсоїд, то поверхня геоїду на якійсь ділянці може збігатися з поверхнею земного еліпсоїда, або височіти над поверхнею земного еліпсоїда, або перебувати нижче. На малюнку 1.2 поверхні обох фігур поєднані в точці А, а точка В геоїда знаходиться над поверхнею земного еліпсоїда і точка розташована нижче поверхні земного еліпсоїда.

Геодезична висота точки геоїду(h) – це висота будь-якої точки поверхні геоїду щодо поверхні земного еліпсоїда, яка може мати такі значення (рисунок 1.2):

Нульова геодезична висота точки А (h A = 0) – коли точка А є точкою дотику геоїду та земного еліпсоїда;

Позитивна геодезична висота точки (+h B) – коли точка знаходиться над поверхнею земного еліпсоїда;

Негативна геодезична висота точки С (-h C) – коли точка знаходиться під поверхнею земного еліпсоїда.

Щоб забезпечити найбільший збіг поверхонь геоїду і земного еліпсоїда - сума алгебри геодезичних висот всіх точок геоїду, зведених в квадрат, повинна бути найменшою, тобто. прагнути до нуля:

Таким чином, земний еліпсоїд(земний сфероїд, референц-еліпсоїд) – це геометрична об'ємна фігура еліпсоїд, форма та розміри якої найбільш близькі до форми та розмірів геоїду. Тому земний еліпсоїд є геометричною (математичною) моделлю Землі, яку застосовують як математичну основу для вирішення наступних завдань:

1. Математичне побудова морської навігаційної карти (МНК).

2. Визначення розташування судна на водній поверхні Землі.

3. Визначення напрямку руху судна та пройденої судном відстані та для вирішення інших навігаційних завдань.

Починаючи з 1830 року, було створено безліч земних еліпсоїдів, параметри яких обчислювали якісь астрономи та геодезисти, як Ері (Англія), Бессель (Німеччина), Кларк (Англія), Хейфорд (США), Красовський (СРСР) та багато інших (таблиця 1.1). ).

Таблиця 1.1

Аналіз таблиці 1.1 показує, що земні еліпсоїди різних авторів мають різну форму та розміри, т.к. Значення параметрів цих еліпсоїдів відрізняються на величину до одного кілометра. Це тим, що кожен земний еліпсоїд має свою точку прив'язки до геоїду, яка є вихідною точкою для обчислення параметрів цього еліпсоїда.

Точкою взаємної прив'язки геоїду та земного еліпсоїда є точка дотику поверхонь цих фігур, на околицях якої поверхні земного еліпсоїда та геоїду збігаються найбільш точно. Тому кожна країна використовує для створення карток той земний еліпсоїд, який має найкраще наближення до поверхні геоїду на території цієї країни.

Таким чином, еліпсоїд, який застосовують як математичну основу при складанні карт території будь-якої країни прийнято називати національною геодезичною системою (National Geodetic System NGS). Так, наприклад, до 1946 року національною геодезичною системою Росії та України був земний еліпсоїд Бесселя. У 1942 році під керівництвом професора Московського науково-дослідного інституту геодезії Красовського Феодосія Миколайовича було створено земний еліпсоїд, поверхня якого має краще наближення до геоїду на території Росії та України, ніж поверхня еліпсоїда Бесселя, т.к. точкою взаємної прив'язки еліпсоїда Красовського та геоїду є центр круглого залу Пулковської астрономічної обсерваторії поблизу Санкт-Петербурга (Геодезія – від грец. слів ge – Земля та daio – поділяю: наука про форму та розміри Землі. Астрономія – від грецьк. nomos – закон, обсерваторія – від лат. observatio – спостереження). Тому нині в Росії та Україні для складання морських навігаційних карт використовують національну геодезичну систему «Пулково-42», яка є еліпсоїдом Красовського.

Розрахунок параметрів орбіти навігаційних супутників Землі (від латів. orbita – колія, шлях) виробляють з урахуванням Всесвітніх геодезичних систем, яких ставляться такі земні еліпсоїди:

Всесвітня геодезична система 1984 року (Word Geodetic System of 1984 year WGS-84) – земний еліпсоїд, який є математичною основою для розрахунку параметрів орбіти штучних супутників Землі американської супутникової радіонавігаційної системи (СРНС). супутникова система, що забезпечує вимір часу та місця розташування, більш відома під назвою – GPS – Global Positioning System – глобальна система позиціювання.

Параметри Землі 1990 року – ПЗ-90 (Parameter of Earth of 1990 year – PE-90) або Радянська геодезична система 1990 року (Soviet Geodetic Systemof 1990 year – SGS-90) – земний еліпсоїд, який є математичною основою для розрахунку супутників Землі російської супутникової радіонавігаційної системи (СРНС) «ГЛОНАСС» (Глобальна навігаційна супутникова система).

Якщо порівняти довжину великої та малої півосей будь-якого земного еліпсоїда у таблиці 1.1, то мала піввісь ( b) виявиться коротшим за велику півосі (а) в середньому на 21 км, що становить 0,3% довжини великої півосі. Для наочності можна зобразити земний еліпсоїд у зменшеному вигляді так, щоб його велика піввісь дорівнювала одному метру (а = 1 м), то мала піввісь буде коротшою на 3 міліметри ( b = 0,997 м). При такій незначній різниці великої та малої осей – земний еліпсоїд за формою дуже близький до кулі. Тому для вирішення практичних завдань навігації, які не вимагають підвищеної точності, цілком допустимо застосовувати простішу за формою геометричну (математичну) модель Землі – кулю, розміри якої найбільш близькі до розмірів земного еліпсоїда.

Таким чином, земну кулю

Принцип створення земної кулі заснований на обчисленні такого радіусу кулі, при якому розміри цієї кулі будуть найближчими до розмірів земної еліпсоїда. Залежно від способу обчислення радіусу кулі – створені такі модифікації земної кулі:

1. Земна куля, обсяг якої дорівнює обсягу земного еліпсоїда.

У цьому випадку радіус кулі визначають з рівності обсягів земної кулі та земної еліпсоїда:

2. Земна куля, поверхня якої найбільш близька поверхні земного еліпсоїда. У цьому випадку радіус земної кулі визначають з рівності площ земної кулі та земної еліпсоїда:

3. Земна куля, радіус якої дорівнює довжині великої півосі земного еліпсоїда: R ЗШ = а.

ВИСНОВКИ

1.Навігація – це математична наука про способи визначення оптимального шляху судна на водній поверхні Землі та способи прокладання цього шляху на морській навігаційній карті.

2. Морська навігаційна картка(МНК) – це плоске зображення опуклої поверхні морів та океанів із прилеглими ділянками суші.

3. Перенесення опуклої поверхні Землі на площину карти, прокладання шляху судна на водній поверхні Землі та на карті проводяться шляхом математичних обчислень, основою яких є планета Земля у вигляді геометричного (математичного) тіла.

4. Геометричне (математичне) тіло– це об'ємна фігура простої форми, яка піддається математичному опису, коли форму та розміри цього тіла можна виразити за допомогою простих математичних формул.

5. Оскільки планета Земля має складну форму, яка піддається математичному опису - виникає необхідність апроксимації (заміни) нашої планети геометричним (математичним) тілом.

6. Апроксимацію планети Земля проводять у наступній послідовності:

6.1 З урахуванням планети Земля створюють фізичну модель Землі – геоїд.

6.2 На основі геоїду створюють геометричну (математичну) модель Землі – земний еліпсоїд.

6.3 На основі земного еліпсоїда створюють геометричну (математичну) модель Землі – земну кулю.

7. Геоїд– це постать планети Земля, обмежена гідросферою, з якої не підноситься літосфера Землі. При цьому:

7.1 Гідросфера Землі– це зовнішня водна оболонка Світового океану, яка оточує материки та острови та займає близько 71% земної поверхні.

7.2 Літосфера Землі– це тверда частина поверхні планети Земля, що складається із земної кори та верхньої мантії Землі.

8. Геоїд перестав бути геометричним тілом, т.к. Згладжена поверхня планети Земля без материків та островів має складну форму.

9. Земний еліпсоїдабо земний сфероїдабо референц-еліпсоїд– це геометрична фігура еліпсоїд (сфероїд), форма та розміри якої найбільш близькі до форми та розмірів геоїду. При цьому:

9.1 Еліпсоїд– це об'ємна фігура, поверхня якої утворена обертанням еліпса навколо великої чи малої осі:

9.1.1 Еліпсоїд, що утворюється обертанням еліпса навколо великої осі, називається витягнутим еліпсоїдом.

9.1.2 Еліпсоїд, утворений обертанням еліпса навколо малої осі, називається стислим еліпсоїдом.

9.2Еліпс- Це плоска овальна крива, яка утворена шляхом стиснення кола.

9.3 Окружність– це замкнута плоска крива, всі точки якої однаково віддалені від центру.

9.4 Сфероїд- Це стислий еліпсоїд.

9.5 Плоска крива- це крива, що лежить у площині.

10. Форму та розміри земного еліпсоїда визначають такі параметри:

10.1 Довжина великої півосі еліпсоїда a»;

10.2 Довжина малої півосі еліпсоїда b»;

10.3 Ступінь полярного стиску еліпсоїда;

10.4 Розмір першого ексцентриситету еліпсоїда. При цьому:

10.4.1 Перший ексцентриситет еліпсоїда– це ексцентриситет еліпса, обертанням якого утворено цей еліпсоїд.

10.4.2 Ексцентриситет еліпса- Це число, що дорівнює відношенню відстані між фокусами еліпса до довжини великої осі еліпса.

10.4.3 Фокуси еліпса- Це 2 точки на великій осі еліпса, сума відстаней від яких до будь-якої точки еліпса дорівнює довжині більшої осі цього еліпса.

11. Земний еліпсоїд повинен відповідати таким умовам:

11.1 Об'єм земного еліпсоїда повинен дорівнювати обсягу геоїду.

11.2 Мала вісь земного еліпсоїда повинна збігатися з віссю обертання Землі.

11.3 Площина екватора земного еліпсоїда повинна збігатися з площиною екватора земного геоїду.

11.4 Алгебраїчна сума квадратів геодезичної висоти всіх точок геоїду має бути найменшою.

12. Площина екватора земного еліпсоїда– це площина перерізу, яка проходить через центр цього еліпсоїда під кутом 90º до малої осі.

13. Площина екватора геоїду- Це площина перерізу, яка проходить через центр геоїду під кутом 90 º до осі обертання Землі.

14. Геодезична висота точки(h) – це висота будь-якої точки поверхні геоїду щодо поверхні земного еліпсоїда, яка може мати такі значення:

14.1 Нульова геодезична висота точки (h=0), коли ця точка є точкою дотику поверхонь геоїду та земного еліпсоїда.

14.2 Позитивна геодезична висота точки (+h), коли ця точка знаходиться над поверхнею еліпсоїда.

14.3 Негативна геодезична висота точки (-h), коли ця точка знаходиться під поверхнею земного еліпсоїда.

15. Земну кулю– це куля, розміри якої найбільш близькі до розмірів земного еліпсоїда.

16. Принцип створення земної кулі заснований на обчисленні такого радіусу кулі, при якому розміри цієї кулі будуть найбільш близькі до розмірів земної еліпсоїда. Залежно від способу обчислення радіусу кулі – створені такі модифікації земної кулі:

16.1 Земна куля, обсяг якої дорівнює обсягу земного еліпсоїда:

16.2 Земна куля, поверхня якої дорівнює поверхні земного еліпсоїда:

16.3 Земна куля, радіус якої дорівнює довжині великої півосі земного еліпсоїда: R ЗШ = а.

17. Земний еліпсоїд є математичною основою для створення морських навігаційних карт (МНК) та для вирішення навігаційних математичних завдань.

18. Земна куля є математичною основою для вирішення практичних навігаційних завдань у тому випадку, якщо це рішення не потребує підвищеної точності.

МОДЕЛЬ ЗЕМЛІ МАТЕМАТИЧНА - розроблена під керівництвом Ф. Преса в Массачусетському технологічному інституті (США). З вивчених у цьому ін-ті методом Монте-Карло на 5 млн. м. З. м. з моделі найбільш добре відповідають наявним фактичним матеріалам. За цими моделями має радіус на 18-22 км. більше, ніж заведено тепер (6371 км); її зовнішнє рідке ядро ​​складено сплавом Fe і Si (содер. останнього 15-25%), а внутрішнє тверде ядро ​​- сплавом Fе і Ni (содер. його 20-50%), всередині ядра вище (13,3-13 г/см) 3), чим прийнято рахувати (12 г/см 3). Початкові густини у верхньому чаєті рідкого ядра - 9,4-10,0 г/см 3 . Для мантії характерна хім. . Перехідна ця /між верхньою та нижньою мантією характеризується великими змінами щільності та швидкостей сейсмічних хвиль. Матеріал перехідної зони варіює у різних її частинах від твердого до рідкого. Описані М. З. м. свідчать про значні флюктуації щільності у верхній мантії, про наявність вертикальних і горизонтальних неоднорідностей, що зумовлюють нестабільний стан та розвиток потужних динамічних процесів (розширення океанічного дна, сейсмічність, варіації теплового потоку, рух полюсів Землі та ін.).

Геологічний словник: у 2-х томах. - М: Надра. За редакцією К. Н. Паффенгольця та ін.. 1978 .

Дивитись що таке "МОДЕЛЬ ЗЕМЛІ МАТЕМАТИЧНА" в інших словниках:

Цей термін має й інші значення, див. Модель (значення). Для покращення цієї статті бажано?: Знайти та оформити у вигляді виносок посилання на авторите…

Цей термін має й інші значення, див. Модель (значення). Модель (у науці) це об'єкт заступник об'єкта оригіналу, інструмент для пізнання, який дослідник ставить між собою та об'єктом та за допомогою якого вивчає… … Вікіпедія

Модель (франц. modèle, італ. modello, від лат. modulus міра, мірило, зразок, норма), 1) зразок, що служить еталоном (стандартом) для чи масового серійного відтворення (М. автомобіля, М. одягу і т. п.). ), а також тип, марка якогось… …

UAM Тип Геофізика Розробник Мурманський державний технічний університет Операційна система Windows Сайт Модель верхньої атмосфери Землі (англ. … Вікіпедія

Наближений опис якогось класу явищ зовнішнього світу, виражений за допомогою математичної символіки. М. м. потужний метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування та управління. Аналіз М. м. дозволяє проникнути в сутність. Велика Радянська Енциклопедія

Моделі загальної циркуляції – це системи диференціальних рівнянь, заснованих на законах фізики, гідродинаміки та хімії. Щоб запустити модель, вчені створюють тривимірну сітку, яка покриває всю планету, застосовують на ній основні рівняння і … Вікіпедія

Модель (Model) Вальтер (24.1.1891, Гентін, Східна Пруссія, 21.4.1945, поблизу Дуйсбурга), німецько-фашистський генерал фельдмаршал (1944). В армії з 1909 р. брав участь у 1-й світовій війні 1914 р. 18. З листопада 1940 р. командував 3-й танковою. Велика Радянська Енциклопедія

Наближений опис якогось класу явищ зовнішнього світу, виражений за допомогою математич. символіки. М. м. потужний метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування та управління. Аналіз М. м. дозволяє проникнути в сутність досліджуваних ... Математична енциклопедія

Модель опис об'єкта (предмету, процесу чи явища) якоюсь формалізованою мовою, складений з вивчення його властивостей. Такий опис особливо корисний у випадках, коли дослідження самого об'єкта утруднене або фізично.

Частина простору, в яку не проникають прямі сонячні промені внаслідок екранування їх тілом Землі. Т. З. має форму, що мало відрізняється від круглого конуса з вершиною, віддаленої від Землі в середньому на 1,4 млн. км (довжина конуса... Велика Радянська Енциклопедія

Книги

• В. Н. Миколаївський. Збори праць. Геомеханіка. Том 1. Руйнування та дилатансія. Нафта та газ, В. Н. Миколаївський. Два томи праці містять оригінальні наукові публікації у провідних вітчизняних журналах. Статті дають єдиний виклад сучасного стану відповідних 20 розділів науки про Землю та…
• Збори праць. Геомеханіка. Том 1. Руйнування та дилатансія. Нафта і газ, Миколаївський В.Н.. Два томи праць містять оригінальні наукові публікації у провідних вітчизняних журналах. Статті дають єдиний виклад сучасного стану відповідних 20 розділів науки про Землю та…

При побудові математичних моделей використовують не матеріальні предмети, такі як дерево, пластмаса тощо, а ідеалізовані, математичні об'єкти: фігури, параметри, твір, так само, формула тощо. Взагалі, частина площини може бути математичною моделлю багатьох реальних об'єктів. Так, давні євреї уявляли Землю у вигляді рівнини, оскільки жили в такій місцевості. І це уявлення правильно відбивало дійсність, звісно, ​​наближено і малих площах. Природно, що в давнину не могло бути достатньо правильних уявлень про форму всієї земної поверхні.

Географія багатьом завдячує давнім грекам – еллінам. Їхні уявлення про форму Землі описані в поемах Гомера «Одіссеї» і «Іліаді», у тому числі випливає, що вони вважали Землю трохи опуклою поверхнею, тобто. кажучи сучасною науковою мовою, моделювали її кульовим або сферичним сегментом великого радіусу, коли ще й не мали правильних уявлень про форму землі загалом. Проте вже послідовники знаменитого грецького вченого Піфагора – математика та філософа – пішли далі: вони вважали, що Земля має форму кулі і намагалися, звичайно, приблизно, визначити її діаметр. Перший вимір діаметра земної кулі, що послужило основою математичної географії, зробив Ератосфен - давньогрецький математик та астроном, .

Знання про форму Землі та її розміри уточнювалися, особливо після того, коли в 17 столітті було знайдено метод надійного виміру великих відстаней на ній, який отримав назву «тріангуляція» (від латинського слова «тріангулюм» - трикутник). Цей спосіб характерний тим, що перешкоди, що зустрічаються на шляху- пагорби, ліси, болота і т. п., не заважають досить точному виміру відстаней .

Звичайно, Земля не може мати форму кулі, хоча б тому, що вона обертається довкола своєї осі. На це вказував ще великий Ньютон: в результаті обертання земна куля виявилася роздутою у екватора, а у полюсів сплющеним і таким чином набула форми мандарину. Однак у прихильників Ньютона були й опоненти, які стверджували, що Земля не сплюснута, як мандарин, а навпаки, витягнута подібно до лимона. Наукова суперечка між прихильниками двох протилежних тверджень тривала близько 50 років. За допомогою досить точних вимірювань, заснованих на методі тріангуляції, було встановлено, що Земля має форму мандарину, точніше сфероїд. Розміри земної кулі, отримані в такий спосіб, такі: довжина екваторіального діаметра становить км, а довжина полярного діаметра – км. Ці величини показують, що екваторіальний діаметр приблизно на 43 км довше за полярний. Якщо зобразити відхилення форми Землі від кулі на глобусі з екваторіальним діаметром точно 1 м, його полярна вісь має бути коротше всього на 3,4 мм! Справді, якщо м – полярна вісь глобуса, то , звідки та (м), тобто. на глобусі екваторіальний діаметр відрізняється від полярної осі лише на 3,4 мм. Це настільки мала величина, що на око її неможливо виявити.

Таким чином, форма Землі дуже мало відрізняється від кулі! Однак, можна подумати, що гірські вершини повинні сильно спотворювати форму Землі. Але це не так. Навіть найвища гора Земної кулі - Еверест (Джомолунгма), висотою майже км, в масштабах зазначеного вище глобуса зобразиться у вигляді піщинки, що прилипла до нього, діаметром близько мм. Справді, якщо позначити через розум висоту зображення Евересту на вказаному глобусі, то , тобто. (м) або 0,7 мм. Отже, куля є математичною моделлю Землі, з добрим наближенням, що відбиває її форму. Ця обставина дає можливість використовувати для різних розрахунків закономірності сферичної тригонометрії – математичної дисципліни, що вивчає залежність між сторонами та кутами сферичних трикутників, що утворюються при перетині трьох великих кіл сфери.

Звичайно, на окремих ділянках поверхні землі, що моделюються частинами площини, успішно можуть застосовуватися і закони звичайної (плоської) тригонометрії.

У цьому розглянемо завдання руху малого діаметра ядра, початкова швидкість якого спрямовано під кутом до Землі. Потрібно встановити траєкторію руху центру ядра та визначити відстань на поверхні Землі від точки вильоту до точки падіння. Для вирішення цього завдання побудуємо математичну модель, засновану на наступних припущеннях (аксіомах):

1) на ділянці, що цікавить нас, поверхня Землі замінюється горизонтальною площиною;

2) прискорення вільного падіння постійно;

3) опором повітря під час руху ядра нехтуємо;

4) ядро ​​вважаємо матеріальною точкою.

Тепер введемо систему координат. Її початок сумісний з центром ядра, що покоїться, вісь направимо горизонтально в бік руху центру ядра, вісь - вертикально вгору. Тоді, як відомо з фізики, характер руху ядра описується системою рівнянь

представляє математичну модель розглянутої задачі. Виходячи з цієї моделі, легко отримати відповіді на ці запитання. Зауважимо, що при

приходимо до моделі, розглянутої в § 3.

Завдання.Який діаметр повинен мати глобус, щоб на ньому міг бути зображений Еверест висотою близько 1 мм у масштабі глобуса? .

Позначимо діаметр глобуса через ум, тоді для визначення невідомого отримаємо рівняння: , Тобто (м).

(Зауважимо, що відповідь: «Приблизно 4,5 м», наведена на с. 93 вказаної книги, неправильна).

Отже, навіть найвища гора Землі - Еверест (Джомолунгма), що досягає км у масштабах зазначеного вище глобуса з діаметром 1,4 м, зобразиться у вигляді піщинки, що прилипла до нього, діаметром близько 1 мм.