Модуль ікс більше 1. Рівняння з модулем

Термін (module) у буквальному перекладі з латинської означає «захід». Це було введено в математику англійським ученим Р. Котесом. А німецький математик К. Вейєрштрас ввів в обіг знак модуля - символ, яким це поняття позначається при написанні.

Вперше це поняття вивчається в математиці за програмою 6 класу середньої школи. Згідно з одним із визначень, модуль - це абсолютне значення дійсного числа. Іншими словами, щоб дізнатись модуль дійсного числа, необхідно відкинути його знак.

Графічно абсолютне значення апозначається як |a|.

Основна відмінна риса цього поняття у тому, що він є неотрицательной величиною.

Числа, які відрізняються один від одного лише знаком, називаються протилежними. Якщо значення позитивне, протилежне йому буде негативним, а нуль є протилежним самому собі.

Геометричне значення

Якщо розглядати поняття модуля з позицій геометрії, він позначатиме відстань, яке вимірюється в одиничних відрізках від початку координат до заданої точки. Це визначення повністю розкриває геометричний зміст терміну, що вивчається.

Графічно можна висловити так: |a| = OA.

Властивості абсолютної величини

Нижче будуть розглянуті всі математичні властивості цього поняття та способи запису у вигляді буквених виразів:

Особливості вирішення рівнянь із модулем

Якщо говорити про розв'язання математичних рівнянь і нерівностей, у яких міститься module, необхідно пам'ятати, що їх вирішення потрібно відкрити цей знак.

Наприклад, якщо знак абсолютної величини містить у собі деяке математичне вираз, перед тим як розкрити модуль, необхідно враховувати діючі математичні визначення.

|А + 5| = А + 5якщо, А більше або дорівнює нулю.

5-Аякщо А значення менше нуля.

У деяких випадках знак може розкриватися однозначно за будь-яких значень змінної.

Розглянемо ще один приклад. Побудуємо координатну пряму, де відзначимо всі числові значення абсолютної величиною яких буде 5.

Для початку необхідно накреслити координатну пряму, позначити на ній початок координат і встановити розмір одиничного відрізка. Крім того, пряма повинна мати напрямок. Тепер на цій прямій необхідно нанести розмітки, які дорівнюють величині одиничного відрізка.

Таким чином, ми можемо побачити, що на цій координатній прямій будуть дві точки, що цікавлять нас, зі значеннями 5 і -5.

Модуль – це абсолютна величина виразу. Щоб хоч якось позначити модуль, прийнято використовувати прямі дужки. Те значення, яке укладено в рівних дужках, є тим значенням, яке взято по модулю. Процес вирішення будь-якого модуля полягає в розкритті тих самих прямих дужок, які математичною мовою називаються модульними дужками. Їхнє розкриття відбувається за певним рядом правил. Також, у порядку розв'язання модулів, знаходяться й безлічі значень тих виразів, які перебували у модульних дужках. У більшості випадків, модуль розкривається таким способом, що вираз, який був підмодульним, отримує і позитивні, і негативні значення, серед яких також значення нуль. Якщо відштовхуватися від встановлених властивостей модуля, то в процесі складаються різні рівняння або нерівності від вихідного виразу, які потім необхідно вирішити. Розберемося з тим, як вирішувати модулі.

Процес вирішення

Рішення модуля починається із запису вихідного рівняння з модулем. Щоб відповісти на питання про те, як розв'язувати рівняння з модулем, потрібно розкрити його повністю. Для вирішення такого рівняння модуль розкривається. Усі модульні вирази мають бути розглянуті. Слід визначити при яких значеннях невідомих величин, що входять до його складу, модульний вираз у дужках перетворюється на нуль. Для того щоб це зробити, достатньо прирівняти вираз у модульних дужках до нуля, а потім вирахувати рішення рівняння, що утворилося. Знайдені значення слід зафіксувати. У такий же спосіб потрібно визначити ще й значення всіх невідомих змінних для всіх модулів у цьому рівнянні. Далі необхідно зайнятися визначенням та розглядом усіх випадків існування змінних у виразах, коли вони відмінні від значення нуль. Для цього потрібно записати деяку систему з нерівностей відповідно до всіх модулів у вихідній нерівності. Нерівності повинні бути складені так, щоб вони охоплювали всі існуючі та можливі значення для змінної, які знаходять на числовій прямій. Потім потрібно накреслити для візуалізації цю числову пряму, на якій надалі відкласти всі отримані значення.

Майже все зараз можна зробити в інтернеті. Не є винятком із правил і модуль. Вирішити онлайн можна на одному з численних сучасних ресурсів. Всі значення змінної, які знаходяться в нульовому модулі, будуть особливим обмеженням, яке буде використано в процесі рішення модульного рівняння. У вихідному рівнянні потрібно розкрити всі наявні модульні дужки, при цьому, змінюючи знак виразу, таким чином, щоб значення змінної змінної збігалися з тими значеннями, які видно на числовій прямій. Отримане рівняння необхідно розв'язати. Те значення змінної, яке буде отримано в ході розв'язання рівняння, потрібно перевіряти на обмеження, яке задано самим модулем. Якщо значення змінної повністю задовольняє умова, воно є правильним. Усі коріння, які будуть отримані в ході рішення рівняння, але не підходитимуть за обмеженнями, повинні бути відкинуті.

Модуль числа a- Це відстань від початку координат до точки А(a).

Щоб зрозуміти це визначення, підставимо замість змінної aбудь-яке число, наприклад 3 і спробуємо знову прочитати його:

Модуль числа 3 - Це відстань від початку координат до точки А(3 ).

Стає ясно, що модуль це ні що інше, як звичайна відстань. Спробуймо побачити відстань від початку координат до точки А( 3 )

Відстань від початку координат до точки А( 3 ) дорівнює 3 (трьом одиницям або трьом крокам).

Модуль числа позначає двома вертикальними лініями, наприклад:

Модуль числа 3 позначається так: |3|

Модуль числа 4 позначається так: |4|

Модуль числа 5 позначається так: |5|

Ми шукали модуль числа 3 і з'ясували, що він дорівнює 3. Так і записуємо:

Читається як: «Модуль числа три дорівнює три»

Тепер спробуємо відшукати модуль числа -3. Знову ж таки повертаємося до визначення і підставляємо в нього число -3. Тільки замість крапки Aвикористовуємо нову точку B. Крапку Aми вже використали у першому прикладі.

Модулем числа - 3 називають відстань від початку координат до точки B(—3 ).

Відстань від одного пункту до іншого може бути негативним. Тому і модуль будь-якого негативного числа, будучи відстанню, теж не буде негативним. Модуль числа -3 буде число 3. Відстань від початку координат до точки B(-3) дорівнює також трьом одиницям:

Читається як: «Модуль числа мінус три дорівнює три»

Модуль числа 0 дорівнює 0, оскільки точка з координатою 0 збігається з початком координат, тобто. відстань від початку координат до точки O(0)одно нулю:

«Модуль нуля дорівнює нулю»

Робимо висновки:

• Модуль числа може бути негативним;
• Для позитивного числа та нуля модуль дорівнює самому числу, а для негативного – протилежному числу;
• Протилежні числа мають рівні модулі.

Протилежні числа

Числа, що відрізняються лише знаками називають протилежними. Наприклад, числа −2 та 2 є протилежними. Вони відрізняються лише знаками. У числа −2 знак мінуса, а у 2 знак плюса, але ми його не бачимо, тому що плюс, як ми говорили раніше, за традицією не пишуть.

Ще приклади протилежних чисел:

Протилежні числа мають рівні модулі. Наприклад, знайдемо модулі для −2 та 2

На малюнку видно, що відстань від початку координат до точок A(−2)і B(2)однаково дорівнює двом крокам.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Одна з найскладніших тем для учнів – це вирішення рівнянь, які містять змінну під знаком модуля. Давайте розберемося для початку з чим це пов'язано? Чому, наприклад, квадратні рівняння більшість дітей клацає як горішки, а з таким далеко не найскладнішим поняттям, як модуль, має стільки проблем?

На мою думку, всі ці складності пов'язані з відсутністю чітко сформульованих правил для вирішення рівнянь із модулем. Так, вирішуючи квадратне рівняння, учень точно знає, що йому потрібно спочатку застосовувати формулу дискримінанта, а потім формули коріння квадратного рівняння. А що робити, якщо на рівнянні зустрівся модуль? Постараємося чітко описати необхідний план дій у разі, коли рівняння містить невідому під знаком модуля. До кожного випадку наведемо кілька прикладів.

Але для початку згадаємо визначення модуля. Отже, модулем числа aназивається саме це число, якщо aневід'ємно та -a, якщо число aменше нуля. Записати це можна так:

|a| = a, якщо a ≥ 0 та |a| = -a, якщо a< 0

Говорячи про геометричний сенс модуля, слід пам'ятати, що кожному дійсному числу відповідає певна точка на числовій осі - її до оординату. Так ось, модулем або абсолютною величиною числа називається відстань від цієї точки до початку відліку числової осі. Відстань завжди задається позитивним числом. Таким чином, модуль будь-якого від'ємного числа є позитивним. До речі, навіть на цьому етапі багато учнів починають плутатися. У модулі може стояти будь-яке число, а ось результат застосування модуля завжди число позитивне.

Тепер перейдемо безпосередньо до розв'язання рівнянь.

1. Розглянемо рівняння виду | = с, де с – дійсне число. Це рівняння можна вирішити за допомогою модуля.

Всі дійсні числа розіб'ємо на три групи: ті, що більше за нуль, ті, що менше за нуль, і третя група – це число 0. Запишемо рішення у вигляді схеми:

(±c, якщо з > 0

Якщо | x | = c, то x = (0, якщо с = 0

(немає коріння, якщо з< 0

1) | = 5, т.к. 5> 0, то x = ±5;

2) | = -5, т.к. -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | = 0 то x = 0.

2. Рівняння виду | f (x) | = b, де b > 0. Для розв'язання цього рівняння необхідно позбутися модуля. Робимо це так: f(x) = b або f(x) = -b. Тепер необхідно вирішити окремо кожне із отриманих рівнянь. Якщо у вихідному рівнянні b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 або x + 2 = -4

2) | x 2 – 5 | = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 - 5 = 11 або x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 немає коренів

3) | x 2 - 5x | = -8, т.к. -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Рівняння виду | f (x) | = g(x). За змістом модуля таке рівняння матиме рішення, якщо його права частина більша чи дорівнює нулю, тобто. g(x) ≥ 0. Тоді матимемо:

f(x) = g(x)або f(x) = -g(x).

1) | 2x - 1 | = 5x – 10. Це рівняння матиме коріння, якщо 5x – 10 ≥ 0. Саме з цього і починають розв'язання таких рівнянь.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Рішення:

2x – 1 = 5x – 10 або 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Об'єднуємо О.Д.З. та рішення, отримуємо:

Корінь x = 11/7 не підходить за О.Д.З., він менше 2, а x = 3 цій умові задовольняє.

Відповідь: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - х 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Розв'яжемо методом інтервалів дану нерівність:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Рішення:

x – 1 = 1 – x 2 або x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 або x = 1 x = 0 або x = 1

3. Об'єднуємо рішення та О.Д.З.:

Підходять лише коріння x = 1 та x = 0.

Відповідь: x=0, x=1.

4. Рівняння виду | f (x) | = | g (x) |. Таке рівняння рівносильне двом наступним рівнянням f(x) = g(x) або f(x) = -g(x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Дане рівняння рівносильне двом наступним:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 або x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 або x = 4 x = 2 або x = 1

Відповідь: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Рівняння, які вирішуються методом підстановки (заміни змінної). Даний метод рішення найпростіше пояснити на конкретному прикладі. Так, нехай дано квадратне рівняння з модулем:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому рівняння можна переписати так:

|х| 2 - 6 | x | + 5 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0, тоді матимемо:

t 2 – 6t + 5 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, що t = 1 або t = 5. Повернемося до заміни:

|х| = 1 чи |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Відповідь: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Розглянемо ще один приклад:

x 2 + | x | – 2 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому

|х| 2 + | x | - 2 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0 тоді:

t 2 + t – 2 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, t = -2 або t = 1. Повернемося до заміни:

|х| = -2 чи |x| = 1

Немає коріння x = ± 1

Відповідь: x=-1, x=1.

6. Ще один вид рівнянь - рівняння зі "складним" модулем. До таких рівнянь відносяться рівняння, в яких є модулі в модулі. Рівняння цього виду можна вирішувати, застосовуючи властивості модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Діятимемо так само, як і в рівняннях другого типу. Т.к. 4 > 0, то отримаємо два рівняння:

3 - | x | = 4 чи 3 – |x| = -4.

Тепер виразимо у кожному рівнянні модуль х, тоді |x| = -1 чи |x| = 7.

Вирішуємо кожне з отриманих рівнянь. У першому рівнянні немає коріння, т.к. -1< 0, а во втором x = ±7.

Відповідь x=-7, x=7.

2) | 3 + | x + 1 | | = 5. Вирішуємо це рівняння аналогічним чином:

3 + | x + 1 | = 5 чи 3 + |x + 1| = -5

|х + 1| = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 або x + 1 = -2. Нема коріння.

Відповідь: x=-3, x=1.

Існує ще й універсальний метод розв'язання рівнянь із модулем. Це спосіб інтервалів. Але ми його розглянемо надалі.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Точилкіна Юлія

У роботі представлені різні способи розв'язання рівнянь із модулем.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

«Середня загальноосвітня школа №59»

Рівняння з модулем

Реферативна робота

Виконала учениця 9А класу

МБОУ «ЗОШ №59» м. Барнаула

Точилкіна Юлія

Керівник

Захарова Людмила Володимирівна,

вчитель математики

МБОУ «ЗОШ №59» м. Барнаула

Барнаул 2015

Вступ

Я навчаюся у дев'ятому класі. Цього навчального року мені доведеться складати підсумкову атестацію за курс основної школи. Для підготовки до іспиту ми придбали збірку Мальцева Математика. 9 клас. Переглядаючи збірку, я виявила рівняння, що містять не лише один, а й кілька модулів. Вчитель пояснила мені та моїм однокласникам, що такі рівняння називають рівняннями із «вкладеними модулями». Така назва здалася для нас незвичайною, а рішення на перший погляд досить складним. Так постала тема для моєї роботи «Рівняння з модулем». Я вирішила глибше вивчити цю тему, тим більше, що вона стане в нагоді при складанні іспитів наприкінці навчального року і думаю, що знадобиться в 10 та 11 класах. Все вищесказане визначає актуальність обраної мною теми.

Мета роботи :

1. Розглянути різні методи розв'язування рівнянь із модулем.
2. Навчитися розв'язувати рівняння, що містять знак абсолютної величини, різними методами

Для роботи над темою було сформульовано такі завдання:

Завдання:

1. Вивчити теоретичний матеріал на тему «Модуль дійсного числа».
2. Розглянути методи розв'язання рівнянь та закріпити отримані знання розв'язанням задач.
3. Отримані знання застосовувати при розв'язанні різних рівнянь, що містять знак модуля у старших класах

Об'єкт дослідження:методи вирішення рівнянь із модулем

Предмет дослідження:рівняння з модулем

Методи дослідження:

Теоретичні : вивчення літератури на тему дослідження;

Internet – інформації.

Аналіз інформації, отриманої щодо літератури; результатів отриманих при вирішенні рівнянь із модулем у різний спосіб.

Порівняння способів розв'язання рівнянь предмет раціональності їх використання під час вирішення різних рівнянь із модулем.

«Ми починаємо думати, коли щось стукнемо». Поль Валері.

1. Поняття та визначення.

Поняття «модуль» широко застосовується у багатьох розділах шкільного курсу математики, наприклад, вивчення абсолютної і відносної похибок наближеного числа; у геометрії та фізиці вивчаються поняття вектора та його довжини (модуля вектора). Поняття модуля застосовується у курсах вищої математики, фізики та технічних наук, що вивчаються у вищих навчальних закладах.

Слово "модуль" походить від латинського слова "modulus", що в перекладі означає "захід". Це слово має безліч значень і застосовується у математиці, фізиці і техніці, а й у архітектурі, програмуванні та інших точних науках.

Вважають, що термін запропонував використати Котс, учень Ньютона. Знак модуля було запроваджено у ХІХ столітті Вейерштрассом.

В архітектурі модуль - вихідна одиниця виміру, що встановлюється для даної архітектурної споруди.

У техніці – це термін, застосовуваний у різних галузях техніки, що служить позначення різних коефіцієнтів і величин, наприклад, модуль пружності, модуль зачеплення…

У математиці модуль має кілька значень, але я розглядатиму його як абсолютну величину числа.

Визначення1: Модулем (абсолютною величиною) дійсного числаа називається саме це число, якщоа ≥0, або протилежне число –а якщо а модуль нуля дорівнює нулю.

При вирішенні рівнянь з модулем зручно використовувати властивості модуля.

Розглянемо докази 5,6, 7 властивостей.

Твердження 5. Рівність │ а+в │=│ а │+│ в │ є вірним, якщоав ≥ 0.

Доведення. Справді, після зведення обох частин цієї рівності у квадрат, отримаємо, │а+в │²=│ а │²+2│ ав │+│ в │²,

а²+ 2 ав+в²=а²+ 2│ ав │+ в², звідки │ ав │= ав

А остання рівність буде вірною приав ≥0.

Твердження 6. Рівність │ а-в │=│ а │+│ в │ є вірним приав ≤0.

Доведення. Для доказу достатньо рівності

│ а+в │=│ а │+│ в │ замінити на - в, тоді а· (- в ) ≥0, звідки ав ≤0.

Твердження 7.Рівність │ а │+│ в │= а+в виконується приа ≥0 та ≥0.

Доведення . Розглянувши чотири випадкиа ≥0 і ≥0; а ≥0 і в а ≥0; а в а ≥0 та ≥0.

(а-в) в ≥0.

Геометрична інтерпретація

|а| - це відстань на координатній прямій від точки з координатоюа до початку координат.

|-а| |а|

А 0 а х

Геометричне тлумачення сенсу | наочно підтверджує, що |-а|=|а|

Якщо а 0, то на координатній прямій існує дві точки а та -а, рівновіддалені від нуля, модулі яких рівні.

Якщо а=0, то координатної прямої |а| зображується точкою 0.

Визначення 2: Рівняння з модулем – це рівняння, що містить змінну під знаком абсолютної величини (під знаком модуля). Наприклад: |х +3|=1

Визначення 3: Вирішити рівняння-це означає знайти все його коріння, або довести, що коріння немає.

2. Методи вирішення

З визначення та властивостей модуля випливають основні методи розв'язання рівнянь із модулем:

1. «Розкриття» модуля (тобто використання визначення);
2. Використання геометричного змилу модуля (властивість 2);
3. Графічний метод розв'язання;
4. використання рівносильних перетворень (властивості 4,6);
5. Заміна змінної (при цьому використовується властивість 5).
6. Метод інтервалів.

Я вирішила досить багато прикладів, але в роботі представляю вашій увазі лише кілька, на мій погляд, типових прикладів, вирішених різними способами, тому що інші дублюють один одного і щоб зрозуміти, як вирішувати рівняння з модулем немає необхідності розглядати всі вирішені приклади.

РІШЕННЯ РІВНЯНЬ | f(x)| = a

Розглянемо рівняння | f(x)| = a, а R

Рівняння цього виду може бути вирішене за визначенням модуля:

Якщо а то рівняння коріння немає.

Якщо а = 0, то рівняння рівносильне f(x)=0.

Якщо а>0, то рівняння рівносильне сукупності

приклад. Вирішити рівняння | 3х + 2 | = 4.

Рішення.

|3х+2|=4, тоді 3х+2=4,

3х +2 = -4;

Х = -2,

Х = 2/3

Відповідь: -2; 2/3.

РІШЕННЯ РІВНЯНЬ з ВИКОРИСТАННЯМ ГЕОМЕТРИЧНОГО ВЛАСТИВОСТІ МОДУЛЯ.

приклад 1. Розв'язати рівняння /х-1/+/х-3/=6.

Рішення.

Вирішити дане рівняння означає знайти всі такі точки на числовій осі Ох, для кожної з яких сума відстаней від неї до точок координат 1 і 3 дорівнює 6.

Жодна точка з відрізкане задовольняє цій умові, т.к. сума зазначених відстаней дорівнює 2. Поза цим відрізком є ​​дві точки це 5 і -1.

1 1 3 5

Відповідь: -1;

приклад 2. Розв'язати рівняння |х 2+х-5|+|х 2+х-9|=10.

Рішення.

Позначимо х 2 +х-5= а, тоді / а /+/ а-4 / = 10. Знайдемо точки на осі Ох такі, що з кожної їх сума відстаней до точок з координатами 0 і 4 дорівнює 10. Цьому умові задовольняють -4 і 7.

3 0 4 7

Значить х 2 + х-5 = 4 х 2 + х-5 = 7

Х 2 + х-2 = 0 х 2 + х-12 = 0

Х 1 = 1, х 2 = -2 х 1 = -4, х 2 = 3 Відповідь: -4; -2; 1; 3.

РІШЕННЯ РІВНЯНЬ | f(x) | = | g (x) |.

1. Оскільки | а |=|в |, якщо а= в, то рівняння виду | f(x) | = | g (x )| рівносильно сукупності

Приклад1.

Розв'язати рівняння | x -2 | = | 3 - x |.

Рішення.

Дане рівняння рівносильне двом рівнянням:

х – 2 = 3 – х (1) та х – 2 = –3 + х (2)

2 х = 5 -2 = -3 - неправильно

х = 2,5 рівняння немає рішень.

Відповідь: 2,5.

приклад 2.

Розв'язати рівняння |х 2 +3х-20 | = | х 2 -3х + 2 |.

Рішення.

Оскільки обидві частини рівняння невід'ємні, тозведення в квадрат є рівносильним перетворенням:

(х 2 +3х-20) 2 = (х 2 -3х +2) 2

(х 2 +3х-20) 2 - (х 2 -3х +2) 2 = 0,

(х 2+3х-20-х 2+3х-2) (х 2+3х-20+х2-3х+2)=0,

(6х-22) (2х 2 -18) = 0,

6х-22 = 0 або 2х 2 -18 = 0;

Х = 22/6, х = 3, х = -3.

Х = 11/3

Відповідь: -3; 3; 11/3.

РІШЕННЯ РІВНЯННЯ ВИДУ | f(x) | = g(x).

Відмінність даних рівнянь від| f(x)| = a у цьому, що у правій частині теж змінна. А вона може бути як позитивною, так і негативною. Тому в її невід'ємності потрібно спеціально переконатися, адже модуль не може дорівнювати негативному числу.№1 )

1 спосіб

Рішення рівняння f(x) | = g (x ) зводиться до сукупності розв'язування рівняньта перевірки справедливості нерівності g (x )>0 для знайдених значень невідомої.

2 спосіб (за визначенням модуля)

Оскільки | f(x) | = g(x), якщо f(x) = 0; | f(x) | = - f (x), якщо f (x)

приклад.

Розв'язати рівняння |3х -10 | = х – 2.

Рішення.

Дане рівняння рівносильне сукупності двох систем:

Відповідь: 3; 4.

РІШЕННЯ РІВНЯНЬ ВИДУ |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(х)

Рішення рівнянь даного виду ґрунтується на визначенні модуля. Для кожної функції f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) необхідно знайти область визначення, її нулі та точки розриву, що розбивають загальну область визначення на проміжки, у кожному з яких функції f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) зберігають свій знак. Далі використовуючи визначення модуля, для кожної знайдених областей отримаємо рівняння, яке необхідно вирішити на даному проміжку. Цей метод отримав назву «метод інтервалів»

Приклад.

Розв'язати рівняння |х-2|-3|х+4|=1.

Рішення.

Знайдемо точки, в яких підмодульні вирази дорівнюють нулю

х-2=0, х+4=0,

х = 2; х = -4.

Розіб'ємо числову пряму на проміжки х

Рішення рівняння зводиться до розв'язання трьох систем:

Відповідь: -15, -1,8.

ГРАФІЧНИЙ СПОСІБ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ, що містятьЗНАК МОДУЛЯ.

Графічний спосіб розв'язування рівнянь є наближеним, тому що точність залежить від обраного одиничного відрізка, товщини олівця, кутів під якими перетинаються лінії і т.д. Але цей метод дозволяє оцінювати, скільки рішень має те чи інше рівняння.

Приклад. Вирішити графічно рівняння | x - 2 | + | x - 3 | + | 2x - 8 | = 9

Рішення. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

у = | x - 2 | + | x - 3 | + | 2x - 8 | і у = 9.

Для побудови графіка необхідно розглянути цю функцію кожному проміжку (-∞; 2); [3/2; ∞ )

Відповідь: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ ]

Метод рівносильних перетворень ми використовували і під час вирішення рівнянь | f(x) | = | g (x) |.

РІВНЯННЯ ІЗ «СКЛАДНИМ МОДУЛЕМ»

Ще один вид рівнянь - рівняння зі "складним" модулем. До таких рівнянь відносяться рівняння, в яких є модулі в модулі. Рівняння цього виду можна вирішувати, застосовуючи різні методи.

приклад 1.

Розв'язати рівняння ||||x| – |–2| -1 | -2 | = 2.

Рішення.

За визначенням модуля маємо:

Розв'яжемо перше рівняння.

1. ||| x |-2 | -1 | = 4

| x | - 2 = 5;

| x | = 7;

х = 7.

Розв'яжемо друге рівняння.

1. ||| x | -2 | -1 | = 0,

|| x | -2 | = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 та | x | = 1,

х = 3; х = 1.

Відповідь: 1; 3; 7.

приклад 2.

Розв'язати рівняння |2 – |x + 1|| = 3.

Рішення.

Розв'яжемо рівняння за допомогою введення нової змінної.

Нехай | x + 1 | = y тоді |2 – y | = 3, звідси

Виконаємо зворотну заміну:

(1) | x + 1 | = -1 - Немає рішень.

(2) | x + 1 | = 5

Відповідь: -6; 4.

Приклад3.

Скільки коренів має рівняння 2 | х | -6 | = 5 – х?

Рішення. Розв'яжемо рівняння, використовуючи схеми рівносильності.

Рівняння 2 | х | -6 | = 5 -х рівносильно системі: