Момент сили формулювання. Рівняння динаміки обертального руху

На цьому уроці, тема якого: «Момент сили», ми поговоримо про силу, з якою потрібно вплинути на тіло, щоб змінити його швидкість, а також про точку застосування цієї сили. Розглянемо приклади повороту різних тіл, наприклад гойдалки: в яку точку потрібно подіяти силою, щоб гойдалка почала рух або залишилася в рівновазі.

Уявіть, що ви є футболістом і перед вами футбольний м'яч. Щоб він полетів, його треба вдарити. Все просто: що сильніше вдарите, то швидше й далі полетить, і бити будете, швидше за все, у центр м'яча (див. рис. 1).

А щоб м'яч у польоті обертався і летів викривленою траєкторією, ви вдарите не в центр м'яча, а збоку, що й роблять футболісти, щоб обдурити суперника (див. рис. 2).

Мал. 2. Крива траєкторія польоту м'яча

Тут уже важливо, в яку точку бити.

Ще одне просте питання: де потрібно взяти палицю, щоб вона при підйомі не перекинулася? Якщо палиця рівномірна за товщиною та щільністю, то візьмемо ми її посередині. А якщо вона з одного краю масивніша? Тоді ми візьмемо її ближче до масивного краю, інакше він переважить (див. рис. 3).

Мал. 3. Точка підйому

Уявіть: тато сів на гойдалку-балансир (див. рис. 4).

Мал. 4. Гойдалка-балансир

Щоб його переважити, ви сядете на гойдалку ближче до протилежного кінця.

У всіх наведених прикладах нам важливо було не просто вплинути на тіло з деякою силою, але й важливо, в якому місці, на яку точку тіла діяти. Цю точку ми вибирали навмання, користуючись життєвим досвідом. А якщо на палиці буде три різні вантажі? А якщо піднімати її вдвох? А якщо мова йде про підйомний кран або вантовий міст (див. рис. 5)?

Мал. 5. Приклади з життя

Для вирішення таких завдань інтуїції та досвіду недостатньо. Без чіткої теорії їх вирішити не можна. Про вирішення таких завдань сьогодні й йтиметься.

Зазвичай у завданнях ми маємо тіло, до якого прикладені сили, і ми їх вирішуємо, як завжди до цього, не замислюючись над точкою докладання сили. Достатньо знати, що сила прикладена просто до тіла. Такі завдання зустрічаються часто, ми вміємо їх вирішувати, але буває, що недостатньо прикласти силу просто до тіла, стає важливо, в яку точку.

Приклад завдання, у якому розміри тіла не важливі

Наприклад, на столі лежить маленька залізна кулька, на яку діє сила тяжіння 1 Н. Яку силу потрібно докласти, щоб її підняти? Кулька притягується Землею, ми діятимемо на неї вгору, прикладаючи певну силу.

Сили, що діють на кульку, спрямовані в протилежні сторони, і, щоб підняти кульку, потрібно подіяти на неї з силою, більшою за модулем, ніж сила тяжіння (див. рис. 6).

Мал. 6. Сили, що діють на кульку

Сила тяжіння дорівнює , отже, на кульку потрібно подіяти вгору з силою:

Ми не замислювалися, як саме ми беремо кульку, ми її просто беремо і піднімаємо. Коли ми показуємо, як ми піднімали кульку, ми можемо намалювати точку і показати: ми впливали на кульку (див. рис. 7).

Мал. 7. Дія на кульку

Коли ми можемо так вчинити з тілом, показати його на малюнку при поясненні у вигляді точки і не звертати уваги на його розміри та форму, ми вважаємо його матеріальною точкою. Це модель. Реально ж кулька має форму та розміри, але ми на них у цьому завданні не звертали уваги. Якщо ту ж кульку потрібно змусити обертатися, то просто сказати, що ми впливаємо на кульку, вже не можна. Тут важливо, що ми штовхали кульку з краю, а не в центр, змушуючи її обертатися. У цьому завдання ту ж кульку вже не можна вважати точкою.

Ми вже знаємо приклади завдань, в яких потрібно враховувати точку застосування сили: завдання з футбольним м'ячем, з неоднорідною палицею, з гойдалками.

Точка застосування сили важлива також у випадку з важелем. Користуючись лопатою, ми діємо на кінець живця. Тоді достатньо прикласти невелику силу (див. мал. 8).

Мал. 8. Дія малої сили на держак лопати

Що спільного між розглянутими прикладами, де важливо враховувати розміри тіла? І м'яч, і палиця, і гойдалка, і лопата - у всіх цих випадках йшлося про обертання цих тіл навколо деякої осі. М'яч обертався навколо своєї осі, гойдалка поверталася навколо кріплення, палиця – навколо місця, в якому ми її тримали, лопата – навколо точки опори (див. рис. 9).

Мал. 9. Приклади тіл, що обертаються

Розглянемо поворот тіл навколо нерухомої осі та побачимо, що змушує тіло повертатися. Розглянемо обертання в одній площині, тоді можна вважати, що тіло повертається навколо однієї точки О (див. рис. 10).

Мал. 10. Точка обертання

Якщо ми захочемо врівноважити гойдалки, у яких балка буде скляною та тонкою, то вона може просто зламатися, а якщо балка з м'якого металу і теж тонка – то зігнутися (див. рис. 11).

Таких випадків ми розглядати не будемо; розглядатимемо поворот міцних жорстких тіл.

Неправильно буде сказати, що обертальний рух визначається лише силою. Адже на гойдалках одна й та сама сила може викликати їхнє обертання, а може й не викликати, дивлячись де ми сядемо. Справа не тільки в силі, а й у розташуванні точки, на яку впливаємо. Усі знають, наскільки важко підняти та утримати вантаж на витягнутій руці. Щоб визначати точку застосування сили, вводиться поняття плеча сили (за аналогією з плечем руки, якою піднімають вантаж).

Плечо сили – це мінімальна відстань від заданої точки до прямої, вздовж якої діє сила.

З геометрії ви, напевно, вже знаєте, що це перпендикуляр, опущений з точки О на пряму, вздовж якої діє сила (див. рис. 12).

Мал. 12. Графічне зображення плеча сили

Чому плече сили - мінімальна відстань від точки О до прямої, вздовж якої діє сила

Може здатися дивним, що плече сили вимірюється від точки не до точки докладання сили, а до прямої, вздовж якої ця сила діє.

Зробимо такий досвід: прив'яжемо до важеля нитку. Подіємо на важіль з деякою силою в точці, де прив'язана нитка (див. рис. 13).

Мал. 13. Нитка прив'язана до важеля

Якщо створиться момент сили, достатній повороту важеля, він повернеться. Нитка покаже пряму, вздовж якої спрямована сила (див. рис. 14).

Спробуємо потягнути важіль з тією самою силою, але тепер взявшись за нитку. У дії на важіль нічого не зміниться, хоча точка застосування сили зміниться. Але сила буде діяти вздовж тієї ж прямої, її відстань до осі обертання, тобто плече сили, залишиться тим самим. Спробуємо вплинути на важіль під кутом (див. рис. 15).

Мал. 15. Дія на важіль під кутом

Тепер сила прикладена до тієї ж точки, але діє вздовж іншої прямої. Її відстань до осі обертання стала малою, момент сили зменшився, і важіль може вже не обернутися.

На тіло впливає, спрямоване на обертання, на поворот тіла. Цей вплив залежить від сили та її плеча. Величина, що характеризує обертальний вплив сили на тіло, називається момент сили, Іноді його називають ще крутний або крутний момент.

Значення слова «момент»

Нам звично вживати слово "момент" у значенні дуже короткого проміжку часу, як синонім слова "миттєвість" або "мить". Тоді не зовсім зрозуміло, яке відношення має момент до сили. Звернемося до походження слова "момент".

Слово походить від латинського momentum, що означає "рушійна сила, поштовх". Латинське дієслово movēre означає "рухати" (як і англійське слово move, а movement означає "рух"). Тепер нам ясно, що момент, що крутить, - це те, що змушує тіло обертатися.

Момент сили - це витвір сили на її плече.

Одиниця виміру - Ньютон, помножений на метр: .

Якщо збільшувати плече сили, можна зменшити силу і момент сили залишиться тим самим. Ми дуже часто використовуємо це у повсякденному житті: коли відкриваємо двері, коли користуємося плоскогубцями чи гайковим ключем.

Залишився останній пункт нашої моделі – треба розібратися, що робити, якщо на тіло діє кілька сил. Ми можемо визначити момент кожної сили. Зрозуміло, що якщо сили обертатимуть тіло в одному напрямку, їхня дія складеться (див. рис. 16).

Мал. 16. Дія сил складається

Якщо в різних напрямках - моменти сил врівноважуватимуть один одного і логічно, що їх треба буде відняти. Тому моменти сил, які обертають тіло у різних напрямках, записуватимемо з різними знаками. Наприклад, запишемо, якщо сила імовірно обертає тіло навколо осі за годинниковою стрілкою, і якщо проти (див. рис. 17).

Мал. 17. Визначення знаків

Тоді ми можемо записати одну важливу річ: щоб тіло перебувало в рівновазі, сума моментів сил, що діють на нього, повинна дорівнювати нулю.

Формула для важеля

Ми вже знаємо принцип дії важеля: на важіль діють дві сили, і в скільки разів більше плече важеля, у стільки разів менше сила:

Розглянемо моменти сил, що діють на важіль.

Виберемо позитивний напрямок обертання важеля, наприклад, проти годинникової стрілки (див. рис. 18).

Мал. 18. Вибір напряму обертання

Тоді момент сили буде зі знаком плюс, а момент сили – зі знаком мінус. Щоб важіль був у рівновазі, сума моментів сил повинна дорівнювати нулю. Запишемо:

Математично ця рівність і співвідношення, записане вище для важеля, - те саме, і те, що ми отримали експериментально, підтвердилося.

Наприклад, визначимо, чи перебуватиме у рівновазі важіль, зображений малюнку. На нього діють три сили(Див. рис. 19) . , і. Плечі сил рівні, і.

Мал. 19. Малюнок для завдання 1

Щоб важіль перебував у рівновазі, сума моментів сил, що на нього діють, має дорівнювати нулю.

На важіль за умовою діють три сили: , і . Їх плечі відповідно рівні, і.

Напрямок обертання важеля за годинниковою стрілкою вважатимемо позитивним. У цьому напрямку важіль обертає сила, її момент дорівнює:

Сили та обертають важіль проти годинникової стрілки, їх моменти запишемо зі знаком мінус:

Залишилося обчислити суму моментів сил:

Сумарний момент не дорівнює нулю, отже, тіло не перебуватиме в рівновазі. Сумарний момент позитивний, отже, важіль повертатиметься за годинниковою стрілкою (у нашому завданні це позитивний напрямок).

Ми вирішили завдання і отримали результат: сумарний момент сил, що діють на важіль, дорівнює. Важель почне повертатися. І при його повороті, якщо сили не змінять напрямок, змінюватимуться плечі сил. Вони зменшуватимуться, доки не дорівнюють нулю, коли важіль повернеться вертикально (див. рис. 20).

Мал. 20. Плечі сил дорівнюють нулю

А при подальшому повороті сили будуть спрямовані так, щоб крутити його в протилежному напрямку. Тому, вирішивши завдання, ми визначили, в який бік почне обертатись важіль, не кажучи про те, що відбуватиметься потім.

Тепер ви навчилися визначати не тільки силу, з якою потрібно діяти на тіло, щоб змінити його швидкість, але й точку застосування цієї сили, щоб воно не поверталося (або поверталося, як нам потрібно).

Як штовхати шафу, щоб вона не перекинулася?

Ми знаємо, що, коли ми штовхаємо шафу з силою у верхній її частині, вона перевертається, а щоб цього не сталося, ми штовхаємо її нижче. Тепер ми можемо пояснити це. Вісь його обертання знаходиться на тому його ребрі, на якому він стоїть, при цьому плечі всіх сил, крім сили, або малі, або дорівнюють нулю, тому під дією сили шафа падає (див. рис. 21).

Мал. 21. Дія на верхню частину шафи

Прикладаючи силу нижче, ми зменшуємо її плече, а отже, і момент цієї сили, і перекидання не відбувається (див. рис. 22).

Мал. 22. Сила додана нижче

Шафа як тіло, розміри якого ми враховуємо, підпорядковується тому самому закону, що і гайковий ключ, дверна ручка, мости на опорах тощо.

На цьому наш урок закінчено. Дякую за увагу!

Список літератури

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Фізика: Довідник із прикладами вирішення завдань. - 2-ге видання переділ. – X.: Веста: Видавництво «Ранок», 2005. – 464 с.
2. Перишкін А.В. фізика. 7 кл.: навч. для загальноосвіт. установ - 10-те вид., Дод. – М.: Дрофа, 2006. – 192 с.: іл.

1. Abitura.com ().
2. Solverbook.com ().

Домашнє завдання

Майже дві тисячі років проіснувало правило важеля, відкрите Архімедом ще в третьому столітті до нашої ери, поки в сімнадцятому столітті з легкої руки французького вченого Варіньйона не набуло більш загальної форми.

Правило моменту сил

Було запроваджено поняття моменту сил. Момент сили - це фізична величина, що дорівнює добутку сили на її плече:

де M - момент сили,
F - сила,
l – плече сили.

З правила рівноваги важеля безпосередньо витікає правило моментів сил:

F1 / F2 = l2 / l1 або, за якістю пропорції F1 * l1 = F2 * l2, тобто M1 = M2

У словесному вираженні правило моментів сил звучить так: важіль знаходиться в рівновазі під дією двох сил, якщо момент сили, що обертає його за годинниковою стрілкою, дорівнює моменту сили, що обертає його проти годинникової стрілки. Правило моментів сил справедливе будь-якого тіла, закріпленого навколо нерухомої осі. Насправді момент сили знаходять так: за напрямом дії сили проводять лінію дії сили. Потім з точки, де знаходиться вісь обертання, проводять перпендикуляр до лінії дії сили. Довжина цього перпендикуляра дорівнюватиме плечу сили. Помноживши значення модуля сили її плече, отримуємо значення моменту сили щодо осі обертання. Тобто ми бачимо, що момент сили характеризує обертову дію сили. Дія сили залежить і від самої сили та її плеча.

Застосування правила моментів сил у різних ситуаціях

Звідси випливає застосування правила моментів зусиль у різних ситуаціях. Наприклад, якщо ми відкриваємо двері, то штовхатимемо її ми будемо в районі ручки, тобто, подалі від петель. Можна зробити елементарний досвід і переконатися, що штовхати двері тим легше, чим далі ми докладаємо силу від осі обертання. Практичний експеримент у разі прямо підтверджується формулою. Оскільки моменти сил при різних плечах були рівні, треба, щоб більшому плечу відповідала менша сила і навпаки, меншому плечу відповідала більша. Чим ближче до осі обертання ми докладаємо силу, тим вона має бути більшою. Що далі від осі ми впливаємо важелем, обертаючи тіло, то меншу силу нам потрібно буде докласти. Числові значення легко перебувають із формули правила моментів.

Саме виходячи з правила моментів сил ми беремо брухт або довгий ціпок, якщо нам треба підняти щось важке, і, підсунувши під вантаж один кінець, тягнемо брухт біля іншого кінця. З цієї ж причини шурупи ми повертаємо викруткою з довгою ручкою, а гайки закручуємо довгим гайковим ключем.

Момент пари сил

Моментом сили щодо будь-якої точки (центру) називається вектор, чисельно рівний добутку модуля сили плече, тобто. на найкоротшу відстань від зазначеної точки до лінії дії сили, і спрямований перпендикулярно площині, що проходить через обрану точку і лінію дії сили в той бік, звідки "обертання", що здійснюється силою навколо точки, представляється тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки. Момент сили характеризує її обертальну дію.

Якщо Про- точка, щодо якої знаходиться момент сили F, то момент сили позначається символом М о (F). Покажемо, що якщо точка застосування сили Fвизначається радіус-вектором r, то справедливе співвідношення

М о (F)=r×F. (3.6)

Відповідно до цього співвідношення момент сили дорівнює векторному твору вектора r на вектор F.

Насправді модуль векторного твору дорівнює

М о ( F)=rF sin= Fh, (3.7)

де h– плече сили. Зауважимо також, що вектор М о (F)спрямований перпендикулярно до площини, що проходить через вектори. rі F, у той бік, звідки найкоротший поворот вектора rдо напрямку вектора Fє тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки. Таким чином, формула (3.6) повністю визначає модуль та напрямок моменту сили F.

Іноді формулу (3.7) корисно записувати як

М о ( F)=2S, (3.8)

де S- площа трикутника ОАВ.

Нехай x, y, z– координати точки докладання сили, а F x, F y, F z- Проекції сили на координатні осі. Тоді, якщо точка Прознаходиться на початку координат, момент сили виражається так:

Звідси випливає, що проекції моменту сили на координатні осі визначаються формулами:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Введемо тепер поняття проекції сили на площину.

Нехай дано силу Fта деяка площина. Опустимо з початку та кінця вектора сили перпендикуляри на цю площину.

Проекцією сили на площинуназивається вектор , початок і кінець якого збігаються з проекцією початку та проекцією кінця сили на цю площину.

Якщо в якості розглянутої площини прийняти площину хОу, то проекцією сили Fна цю площину буде вектор Fху.

Момент сили Fхущодо точки Про(точки перетину осі zз площиною хОу) може бути обчислений за формулою (3.9), якщо в ній прийняти z=0, F z=0. Отримаємо

MO(Fху)=(xF y -yF x)k.

Таким чином, момент спрямований вздовж осі z, а його проекція на вісь zточно збігається з проекцією на ту ж вісь моменту сили Fщодо точки Про. Іншими словами,

M Oz(F)=M Oz(Fху)= xF y -yF x. (3.11)

Очевидно, той самий результат можна отримати, якщо спроектувати силу Fна будь-яку іншу площину, паралельну хОу. При цьому точка перетину осі zз площиною буде вже інший (позначимо нову точку перетину через Про 1). Однак всі величини, що входять у праву частину рівності (3.11) х, у, F х, F узалишаться незмінними, і, отже, можна записати

M Oz(F)=M O 1 z ( Fху).

Іншими словами, проекція моменту сили щодо точки на вісь, що проходить через цю точку, не залежить від вибору точки на осі . Тому надалі замість символу M Oz(F) будемо застосовувати символ M z(F). Ця проекція моменту називається моментом сили щодо осі z. Обчислення моменту сили щодо осі часто буває зручніше проводити за допомогою проектування сили Fна площину, перпендикулярну до осі, та обчислення величини M z(Fху).

Відповідно до формули (3.7) та враховуючи знак проекції, отримаємо:

M z(F)=M z(Fху)=± F ху · h *. (3.12)

Тут h*– плече сили Fхущодо точки Про. Якщо спостерігач бачить з боку позитивного спрямування осі z, що сила Fхупрагне повернути тіло навколо осі zпроти ходу годинникової стрілки, то береться знак "+", а інакше – знак "-".

Формула (3.12) дає можливість сформулювати наступне правило обчислення моменту сили щодо осі. Для цього потрібно:

· Вибрати на осі довільну точку і побудувати площину, перпендикулярну до осі;

· Спроектувати на цю площину силу;

· Визначити плече проекції сили h *.

Момент сили щодо осі дорівнює добутку модуля проекції сили на її плече, взятому з відповідним знаком (див. вищевикладене правило).

З формули (3.12) випливає, що момент сили щодо осі дорівнює нулю у двох випадках:

· коли проекція сили на площину, перпендикулярну до осі, дорівнює нулю, тобто. коли сила і вісь паралельні ;

· коли плече проекції h*одно нулю, тобто. коли лінія дії перетинає вісь .

Обидва ці випадки можна об'єднати в один: момент сили щодо осі дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли лінія дії сили та вісь знаходяться в одній площині .

Завдання 3.1.Обчислити щодо точки Промомент сили F, прикладеної до точки Ата спрямованої по діагоналі грані куба зі стороною а.

При вирішенні подібних завдань доцільно спочатку обчислити моменти сили Fщодо координатних осей x, y, z. Координати точки Адокладання сили Fбудуть

Проекції сили Fна координатні осі:

Підставляючи ці значення рівності (3.10), знайдемо

Ці ж висловлювання для моментів сили Fщодо координатних осей можна одержати, користуючись формулою (3.12). Для цього спроектуємо силу Fна площині, перпендикулярні до осі хі у. Очевидно, що . Застосовуючи викладене вище правило, отримаємо, як і слід очікувати, ті ж вирази:

, , .

Модуль моменту визначиться рівністю

.

Введемо тепер поняття моменту пари. Знайдемо спочатку, чому дорівнює сума моментів сил, що становлять пару, щодо довільної точки. Нехай Про- Довільна точка простору, а Fі F" –сили, що становлять пару.

Тоді М о (F)= ОА × F, М о (F")= ОВ × F",

Мо (F)+ Мо (F")= ОА × F+ ОВ × F",

але так як F=-F", то

Мо (F)+ Мо (F")= ОА × F- ОВ × F=(ОА-ОВ)× F.

Беручи до уваги рівність ОА-ОВ=ВА , остаточно знаходимо:

Мо (F)+ Мо (F")= ВА × F.

Отже, сума моментів сил, що становлять пару, не залежить від положення точки, щодо якої беруться моменти .

Векторний витвір ВА × Fі називається моментом пари . Позначається момент пари символом М(F, F"), причому

М(F, F")=ВА × F= АВ × F",

або, коротше,

М=ВА × F= АВ × F". (3.13)

Розглядаючи праву частину цієї рівності, зауважуємо, що момент пари являє собою вектор, перпендикулярний площині пари, рівний за модулем добутку модуля однієї сил пари на плече пари (тобто на найкоротшу відстань між лініями дії сил, що становлять пару) і спрямований в той бік, звідки "обертання" пари видно тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки . Якщо h- плече пари, то М(F, F")=h×F.

З самого визначення видно, що момент пари сил є вільним вектором, лінія дії якого не визначена (додаткове обґрунтування цього зауваження випливає з теорем 2 і 3 цього розділу).

Для того, щоб пара сил становила врівноважену систему (систему сил, еквівалентну нулю), необхідно і достатньо, щоб момент пари дорівнював нулю. Дійсно, якщо момент пари дорівнює нулю, М=h×F, те чи F=0, тобто. немає сил, або плече пари hодно нулю. Але в цьому випадку сили пари діятимуть по одній прямій; так як вони рівні за модулем і спрямовані в протилежні сторони, то на підставі аксіоми 1 вони складуть врівноважену систему. Назад, якщо дві сили F 1і F 2складові пари, врівноважені, то на підставі тієї ж аксіоми 1 вони діють по одній прямій. Але в цьому випадку плече пари hдорівнює нулю і, отже, М=h×F=0.

Теореми про пари

Доведемо три теореми, за допомогою яких стають можливими еквівалентні перетворення пар. При всіх розглядах слід пам'ятати, що вони відносяться до пар, які діють якесь одне тверде тіло.

Теорема 1. Дві пари, що лежать в одній площині, можна замінити однією парою, що лежить у тій же площині, з моментом, що дорівнює сумі моментів даних двох пар.

Для доказу цієї теореми розглянемо дві пари ( F 1,F" 1) та ( F 2,F" 2) і перенесемо точки докладання всіх сил вздовж ліній їхньої дії в точки Аі Увідповідно. Складаючи сили по аксіомі 3 отримаємо

R=F 1+F 2і R"=F" 1+F" 2,

але F 1=-F" 1і F 2=-F" 2.

Отже, R=- R", тобто. сили Rі R"утворюють пару. Знайдемо момент цієї пари, скориставшись формулою (3.13):

М = М(R, R")=ВА× R= ВА× (F 1+F 2)=ВА× F 1+ВА× F 2. (3.14)

При перенесенні сил, що становлять пару, вздовж ліній їхньої дії ні плече, ні напрямок обертання пар не змінюються, отже, не змінюється і момент пари. Значить,

ВА×F 1 =М(F 1,F" 1)=М 1, ВА× F 2 = М(F 2,F" 2)=М 2

і формула (3.14) набуде вигляду

М = М 1 + М 2, (3.15)

як і доводить справедливість сформульованої вище теореми.

Зробимо два зауваження до цієї теореми.

1. Лінії дії сил, що становлять пари, можуть виявитися паралельними. Теорема залишається справедливою й у разі, але її докази слід скористатися правилом складання паралельних сил.

2. Після складання може вийти, що М(R, R") = 0; на підставі зробленого раніше зауваження з цього випливає, що сукупність двох пар ( F 1,F" 1, F 2,F" 2)=0.

Теорема 2. Дві пари, що мають геометрично рівні моменти, еквівалентні.

Нехай на тіло у площині Iдіє пара ( F 1,F" 1) з моментом М 1. Покажемо, що цю пару можна замінити іншою з парою ( F 2,F" 2), розташованої в площині IIякщо тільки її момент М 2дорівнює М 1(згідно з визначенням (див. 1.1) це і означатиме, що пари ( F 1,F" 1) та ( F 2,F" 2) Еквівалентні). Насамперед зауважимо, що площині Iі IIповинні бути паралельними, зокрема вони можуть збігатися. Справді, з паралельності моментів М 1і М 2(у нашому випадку М 1=М 2) Випливає, що площини дії пар, перпендикулярні моментам, також паралельні.

Введемо на розгляд нову пару ( F 3,F" 3) і прикладемо її разом з парою ( F 2,F" 2) до тіла, розташувавши обидві пари в площині II. Для цього, згідно з аксіомою 2, потрібно підібрати пару ( F 3,F" 3) з моментом М 3так, щоб прикладена система сил ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) була врівноважена. Це можна зробити, наприклад, так: покладемо F 3=-F" 1і F" 3 =-F 1і сумісний точки докладання цих сил з проекціями А 1 та У 1 точок Аі Уна площину II. Відповідно до побудови будемо мати: М 3 = -М 1або, враховуючи, що М 1 = М 2,

М 2 +М 3 = 0.

Зважаючи на друге зауваження до попередньої теореми, отримаємо ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) = 0. Таким чином, пари ( F 2,F" 2) та ( F 3,F" 3) взаємно врівноважені і приєднання їх до тіла не порушує його стану (аксіома 2), отже

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

З іншого боку, сили F 1і F 3, а також F" 1і F" 3можна скласти за правилом складання паралельних сил, спрямованих в один бік. За модулем усі ці сили рівні один одному, тому їх рівнодіючі Rі R"повинні бути додані в точці перетину діагоналей прямокутника АВВ 1 А 1; крім того, вони рівні за модулем і направлені в протилежні сторони. Це означає, що вони становлять систему, еквівалентну нулю. Отже,

(F 1,F" 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Тепер ми можемо записати

(F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Порівнюючи співвідношення (3.16) і (3.17), отримаємо ( F 1,F" 1)=(F 2,F" 2), що й потрібно було довести.

З цієї теореми слід, що пару сил можна переміщати у площині її дії, переносити у паралельну площину; нарешті, у парі можна змінювати одночасно сили та плече, зберігаючи лише напрямок обертання пари та модуль її моменту ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

Надалі ми широко користуватимемося такими еквівалентними перетвореннями пари.

Теорема 3. Дві пари, що лежать у площинах, що перетинаються, еквівалентні одній парі, момент якої дорівнює сумі моментів двох даних пар.

Нехай пари ( F 1,F" 1) та ( F 2,F" 2) розташовані в площинах, що перетинаються Iі IIвідповідно. Користуючись наслідком теореми 2, наведемо обидві пари до плеча АВ, розташованому на лінії перетину площин Iі II. Позначимо трансформовані пари через ( Q 1,Q" 1) та ( Q 2,Q" 2). При цьому повинні виконуватись рівність

М 1 = М(Q 1,Q" 1)=М(F 1,F" 1) та М 2 = М(Q 2,Q" 2)=М(F 2,F" 2).

Складемо по аксіомі 3 сили, прикладені в точках Аі Увідповідно. Тоді отримаємо R = Q 1 + Q 2і R"= Q" 1 +Q" 2. Враховуючи що Q" 1 =-Q 1і Q" 2 =-Q 2, отримаємо R=-R". Таким чином, ми довели, що система двох пар еквівалентна одній парі ( R,R").

Знайдемо момент Мцієї пари. На підставі формули (3.13) маємо

М(R,R")=ВА× (Q 1 +Q 2)=ВА× Q 1 + ВА× Q 2=

=М(Q 1,Q" 1)+М(Q 2,Q" 2)=М(F 1,F" 1)+М(F 2,F" 2)

М = М 1 + М 2,

тобто. теорему доведено.

Зауважимо, що отриманий результат справедливий і для пар, що лежать у паралельних площинах. По теоремі 2 такі пари можна призвести до однієї площини, а по теоремі 1 їх можна замінити однією парою, момент якої дорівнює сумі складових моментів пар.

Доведені вище теореми про пари дозволяють зробити важливий висновок: момент пари є вільним вектором та повністю визначає дію пари на абсолютно тверде тіло . Насправді ми вже довели, що якщо дві пари мають однакові моменти (отже, лежать в одній площині або в паралельних площинах), то вони один одному еквівалентні (теорема 2). З іншого боку, дві пари, що лежать у площинах, що перетинаються, не можуть бути еквівалентними, бо це означало б, що одна з них і пара, протилежна іншій, еквівалентні нулю, що неможливо, оскільки сума моментів таких пар відрізняється від нуля.

Таким чином, введене поняття моменту пари є надзвичайно корисним, оскільки воно повністю відображає механічну дію пари на тіло. У цьому сенсі можна сказати, що момент вичерпним чином є дією пари на тверде тіло.

Для тіл, що деформуються, викладена вище теорія пар не застосовна. Дві протилежні пари, що діють, наприклад, по торцях стрижня, з погляду статики твердого тіла еквівалентні нулю. Тим часом їхня дія на деформований стрижень викликає його кручення, і тим більше, чим більше модулі моментів.

Перейдемо до вирішення першої та другої задач статики, коли на тіло діють лише пари сил.

Лекція 3. Закон збереження моменту імпульсу.

Момент сили. Момент імпульсу матеріальної точки та механічної системи. Рівняння моментів механічної системи. Закон збереження моменту імпульсу механічної системи.

Математичні відомості.

Векторним творомдвох (ненульових) векторів і називається вектор , що в декартовій системі координат (з ортами , , ) визначається за формулою

.

Розмір (площа прямокутника на векторах і ).

Властивості векторного твору.

1) Вектор спрямований перпендикулярно до площини векторів та . Тому для будь-якого вектора , що лежить у площині (лінійно незалежних) векторів і (тобто), отримуємо . Отже, якщо два ненульові вектори і паралельні, то.

2) Похідна за часом від векторного твору – це вектор .

Справді, (базисні вектори , - постійні)

Вектор момент імпульсу

Вектор моментуімпульсу щодо точки Про називається вектор

де - Радіус-вектор з точки О, - Вектор імпульсу точки. Вектор спрямований перпендикулярно до площини векторів та . Точку О іноді називають полюсом. Знайдемо похідну від вектора моменту імпульсу за часом

.

Перший доданок у правій частині: . Так як в інерційній системі відліку за другим законом Ньютона (в імпульсній формі), то другий доданок має вигляд.

Величина називається вектором моменту силищодо точки О.

Остаточно отримуємо :

похідна від вектора моменту імпульсу щодо точки дорівнює моменту діючих сил щодо цієї точки.

Властивості вектор сили моменту.

.

3) Момент суми сил дорівнює сумі моментів кожної з сил .

4) Сума моментів сил щодо точки

при переході до іншої точки О 1 , за якої зміниться за правилом

.

Отже, момент сил не зміниться, якщо .

5) Нехай, де, тоді .

Отже, якщо дві однаковісили лежать на одній прямій, то їх моменти однакові. Ця пряма називається лінією дії сили. Довжина вектора називається плечем сили щодо крапкиО.

Момент сили щодо осі.

Як випливає з визначення моменту сили, координати вектора моменти сили щодо координатних осей визначаються формулами

, , .

Розглянемо метод знаходження моменту сили щодо деякоюосі z. Для цього треба розглянути вектор моменту сили щодо деякої точки на цій осіта знайти проекцію вектора моменту сили на цю вісь.

1) Проекція вектора моменту сили на вісь z залежить від вибору точки Про.

Візьмемо на осі z дві різні точки 1 і 2 і знайдемо моменти сили F щодо цих точок.

Різниця векторів спрямована перпендикулярно вектору, що лежить на осі z. Отже, якщо розглянути орт осі z – вектор , то проекції на вісь z рівні між собою

Тому момент сили щодо осі z визначено однозначно.

Слідство. Якщо момент сили щодо деякої точки на осі дорівнює нулю, то нулю дорівнює момент сили щодо цієї осі.

2) Якщо вектор сили паралельний осі z, то момент сили щодо осі дорівнює нулю.

Дійсно, вектор моменту сили щодо будь-якої точки на осі повинен бути перпендикулярний вектору сили, тому він також перпендикулярний і осі, паралельній цьому вектору. Тому проекція вектора моменту сили на цю вісь дорівнюватиме нулю. Отже, якщо розкладання вектора сили на компоненту паралельну осі, і компоненту перпендикулярну осі, то

3) Якщо вектор сили та вісь не паралельні, але лежать в одній площині, то момент сили щодо осі дорівнює нулю. Справді, у разі вектор моменту сили щодо будь-якої точки на осі спрямований перпендикулярно цієї площині (т.к. вектор теж лежить у цій площині). Можна сказати й інакше. Якщо розглянути точку припинення лінії дії сили і прямої z, то момент сили щодо цієї точки дорівнює нулю, тому момент сили щодо осі дорівнює нулю.

Отже, щоб знайти момент сили щодо осі z, треба:

1) знайти проекцію сили на будь-якуплощину p перпендикулярну до цієї осі і вказати точку О - точку перетину цієї площини з віссю z;

Подібна інформація.

Обертальне рух - вид механічного руху. При обертальному русі абсолютно твердого тіла його точки описують кола, розташовані в паралельних площинах. Центри всіх кіл лежать при цьому на одній прямій, перпендикулярній до площин кіл і званою віссю обертання. Вісь обертання може розташовуватися всередині тіла та за його межами. Вісь обертання у цій системі відліку то, можливо рухомий, і нерухомої. Наприклад, у системі відліку, пов'язаної із Землею, вісь обертання ротора генератора на електростанції нерухома.

Кінетичні характеристики:

Обертання твердого тіла, як цілого, характеризується кутом , що вимірюється в кутових градусах або радіанах, кутовою швидкістю (вимірюється в рад/с) і кутовим прискоренням (одиниця виміру - рад/с²).

При рівномірному обертанні (T обертів за секунду):

Частота обертання - кількість обертів тіла за одиницю часу.-

Період обертання – час одного повного обороту. Період обертання T та його частота пов'язані співвідношенням.

Лінійна швидкість точки, що знаходиться на відстані R від осі обертання

Кутова швидкість обертання тіла

Момент сили (синоніми: крутний момент, крутний момент, крутний момент, крутний момент) - векторна фізична величина, що дорівнює векторному твору радіус-вектора (проведеного від осі обертання до точки докладання сили - за визначенням), на вектор цієї сили. Характеризує обертальну дію сили на тверде тіло.

Момент сили вимірюється у ньютон-метрах. 1 Н·м - момент сили, що виробляє сила 1 Н на важіль довжиною 1 м. Сила прикладена до кінця важеля і спрямована перпендикулярно до нього.

Момент імпульсу (кінетичний момент, кутовий момент, орбітальний момент, момент кількості руху) характеризує кількість обертального руху. Величина, що залежить від того, скільки маси обертається, як вона розподілена щодо осі обертання і з якою швидкістю відбувається обертання. Момент імпульсу замкнутої системи зберігається

Закон збереження моменту імпульсу (закон збереження кутового моменту) - один із фундаментальних законів збереження. Математично виражається через векторну суму всіх моментів імпульсу щодо обраної осі для замкнутої системи тіл і залишається постійною, доки систему не впливають зовнішні сили. Відповідно до цього моменту імпульсу замкнутої системи в будь-якій системі координат не змінюється з часом.

Закон збереження моменту імпульсу є проявом ізотропності простору щодо повороту.

16.Рівняння динаміки обертального руху. Момент інерції.

Основне рівняння динаміки обертального руху матеріальної точки - кутове прискорення точки при її обертанні навколо нерухомої осі пропорційно крутний момент і обернено пропорційно моменту інерції.

М = E * J або E = M / J

Порівнюючи отриманий вираз із другим законом Ньютона з поступальним законом, бачимо, що момент інерції J є мірою інертності тіла у обертовому русі. Як і маса величина адитивна.

Момент інерції - скалярна (загалом - тензорна) фізична величина, міра інертності у обертальному русі навколо осі, подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі. Характеризується розподілом мас у тілі: момент інерції дорівнює сумі творів елементарних мас на квадрат їх відстаней до базової множини (точки, прямої чи площини).

Одиниця виміру СІ: кг·м². Позначення: I або J.

Розрізняють кілька моментів інерції – залежно від різноманіття, від якого відраховується відстань крапок.

Властивості моменту інерції:

1.Момент інерції системи дорівнює сумі моменту інерції її елементів.

2.Момент інерції тіла є величиною, іманентно властивою цьому тілу.

Момент інерції твердого тіла - це велина, що характеризує розподіл маси в тілі і є мірою інертності тіла при обертальному русі.

Формула моменту інерції:

Теорема Штейнера:

Момент інерції тіла щодо будь-якої осі дорівнює моменту інерції щодо паралельної осі, що проходить через центр інерції, складеної з величиною m*(R*R), де R - відстань між осями.

Моментом інерції механічної системи щодо нерухомої осі («осьовий момент інерції») називається величина Ja, що дорівнює сумі творів мас усіх n матеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до осі:

Осьовий момент інерції тіла Ja є мірою інертності тіла у обертальному русі навколо осі подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі.

Центральний момент інерції (або момент інерції щодо точки O) – це величина

.