Набираючи номер телефону, абонент забув останні. Підрахунок ймовірностей без побудови простору елементарних подій

Приклади безпосереднього обчислення ймовірностей

Приклад 1.34. Набираючи номер телефону, абонент забув одну цифру та набрав її навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібну цифру.

Рішення. Позначимо через Аподія – набрано потрібну цифру. Абонент міг набрати будь-яку з 10 цифр, тому загальна кількість можливих елементарних результатів дорівнює ці результати несумісні, рівноможливі і утворюють повну групу. Сприяє події Алише один результат (потрібна цифра лише одна). Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, до всіх елементарних наслідків:

Р(А)= 1/10.

приклад 1.35.Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам'ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри.

Рішення. Позначимо через Уподія - набрано дві потрібні цифри. Усього можна набрати стільки різних цифр, скільки може бути складено розміщень із десяти цифр по дві, тобто. Таким чином, загальна кількість можливих елементарних наслідків дорівнює 90. Ці наслідки несумісні, рівноможливі і утворюють повну групу. Сприяє події Улише один результат. Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, до всіх елементарних наслідків: Р(В)= 1/90.

приклад 1.36.Кинуті два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок, що випали, дорівнює 4 (подія а).

Рішення. Загальна кількість рівноможливих результатів випробування дорівнює 6∙6 = 36 (кожне число очок, що випали, на одному кубику може поєднуватися з усіма числами очок іншого кубика). Серед цих результатів сприяють події Атільки 3 результати: (I; 3), (3; I), (2; 2) (у дужках вказані числа очок, що випали). Отже, шукана ймовірність

Р(А)= 3/36 =1/12.

приклад 1.37.У партії із 10 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед шести взятих навмання деталей 4 стандартні.

Рішення. Загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна отримати 6 деталей з 10, тобто числу поєднань з 10 елементів по 6 елементів ().

Визначимо кількість результатів, що сприяють цікавій для нас події А(Серед шести взятих деталей 4 стандартних). Чотири стандартні деталі можна взяти із семи стандартних деталей способами; при цьому решта 6 - 4 = 2 деталі повинні бути нестандартними; взяти ж 2 нестандартні деталі з 10 – 7 = 3 нестандартних деталей можна способами. Отже, кількість сприятливих наслідків дорівнює

приклад 4.Набираючи номер телефону, абонент забув одну цифру і набрав її навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібну цифру.

Рішення.Позначимо через Аподія – набрано необхідну цифру. Абонент міг набрати будь-яку із 10 цифр. Тому загальна кількість можливих елементарних результатів 10. Ці результати рівноможливі (цифра набрана навмання) і утворюють повну групу (хоча одна цифра обов'язково буде набрана), тобто . Потрібна цифра лише одна. Тому для події А А .

Приклад 5.Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам'ятаючи лише, що вони різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібних цифр.

Рішення.Позначимо через Уподія – набрано дві потрібні цифри. Усього можна набрати стільки пар різних цифр, скільки може бути складено розміщень із 10 цифр по 2, тобто . Тому загальна кількість рівноможливих елементарних результатів. Потрібне поєднання двох цифр лише одне. Тому для події Асприятливий лише один результат. Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа результатів, сприятливих для події Адо всіх елементарних результатів: .

Приклад 6.У партії із 10 деталей є 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед шести взятих навмання деталей, рівно 4 стандартних.

Рішення.Нехай подія А- Серед 6 взятих деталей рівно 4 стандартних. Загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює кількості способів, якими можна витягти 6 деталей з 10, тобто числу поєднань з 10 елементів по 6 (). Підрахуємо кількість результатів, сприятливих для події А: 4 стандартні деталі можна взяти з 7 стандартних деталей способами. При цьому решта 6-4=2 деталей повинна бути нестандартною. Їх можна взяти з 10-7=3 нестандартних деталей методами. Отже, кількість сприятливих результатів. Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа результатів, сприятливих для події А, до всіх елементарних результатів.

Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам'ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібних цифр.

Завдання №2

Дана диференціальна функція безперервної випадкової величини Х:

Знайти інтегральну функцію F(x)

Завдання №3

В урні 3 білих та 3 чорні кулі. З урни двічі виймають по одній кулі, не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність появи білої кулі при другому випробуванні (подія В), якщо при першому випробуванні було вилучено чорну кулю (подію А).

Завдання №4

Є 3 ящики, що містять по 10 деталей. У першому ящику 8, у другому 7 і третьому 9 стандартних деталей. З кожного ящика навмання виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того, всі ці три вийняті деталі виявляться стандартними.

Завдання №5
Імовірність влучення в ціль при стрільбі з трьох знарядь такі: = 0,8; = 0,7; = 0,9. Знайти ймовірність хоча б одного влучення (подія А) при одному залпі з усіх знарядь.

Завдання №6

Є два набори деталей. Імовірність того, що деталь першого набору стандартна дорівнює 0,8, а другого – 0,9. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь (із навмання взятого набору) - стандартна.

Завдання №7

Для участі у студентських відбіркових спортивних змаганнях виділено з першої групи курсу 4, з другої – 6, із третьої групи – 5 студентів. Імовірність того, що студент першої, другої та третьої групи потрапляє до збірної інституту, відповідно рівні – 0,9; 0,7 та 0,8. Наудачу обраний студент у результаті змагання потрапив до збірної. До якої з груп найімовірніше належав цей студент?

Завдання №8

Імовірність того, що витрата електроенергії протягом однієї доби не перевищить встановленої норми, дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що протягом найближчих 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.

Завдання №9

Знайти ймовірність того, що подія А настане рівно 80 разів у 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події у кожному випробуванні дорівнює 0,2.

Завдання №10

Імовірність ураження мішені стрільцем за одного пострілу дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде вражена: а) не менше ніж 70 і не більше 80 разів; б) трохи більше 70 раз.

Завдання №11

Товарознавець оглядає 24 зразки товарів. Імовірність того, що кожен із зразків буде визнаний придатним до продажу, дорівнює 0,6. Знайти найбільш імовірну кількість зразків, які товарознавець визнає придатними до продажу.

Імовірність появи події у кожному із 400 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти таке позитивне число Е, щоб із ймовірністю 0,9876 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від його ймовірності 0,8 не перевищила Е.

Завдання №13

Монету кидають 5 разів. Знайти ймовірність того, що «герб» випаде:

а) менше двох разів;

б) щонайменше двічі.

Завдання №14

У першій урні міститься 10 куль, їх 8 білих; у другій урні 20 куль, їх 4 білих. З кожної урни навмання витягли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взято одну кулю. Знайти ймовірність того, що взята біла куля.

Завдання №15

Скільки треба зробити незалежних випробувань з ймовірністю появи події в кожному випробуванні, що дорівнює 0,4, щоб найімовірніше число появи події в цих випробуваннях дорівнювало 25?

Завдання №16

Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу.

Знайти: дисперсію D(X), середнє квадратичне відхилення (X) та побудувати багатокутник розподілу.

Завдання №17

Підручник виданий тиражем 100 000 екземплярів. Імовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить 5 бракованих книг.

Завдання №18

Наведено перелік можливих значень дискретної випадкової величини Х: а також відомі математичні очікування цієї величини та її квадрати:

М(X)=2,3 та М(X )=5,9.

Знайти ймовірності, що відповідають можливим значенням Х.

Завдання №19

Випадкова величина Х задана інтегральною функцією

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина Х набуде значення, укладеного в інтервалі (-1; 1)

Завдання №20
Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

Знайти інтегральну функцію та побудувати її графік.

Завдання №21

Безперервна випадкова величина Х задана диференціальною функцією
в інтервалі (0; π/3); поза цим інтервалом f(x)=0. Знайти ймовірність того, що Х набуде значення, що належить інтервалу (
)

Завдання №22

Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти центральні моменти першого, другого, третього та четвертого порядків

Завдання №23

Написати біномінальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадань парного числа очок на двох гральних кістках.

Завдання №24

Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х, заданої законом розподілу:

Імовірність появи події а кожному випробуванні дорівнює ½. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число Х події А буде укладено в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробувань.

Завдання №27

Побудувати гістограму відносних частот за цим розподілом вибірки

Вибірка задана у вигляді розподілу частот

Завдання №29

Для побудованого інтервального ряду розрахуйте довірчий інтервал при γ=0,99 та t=2,861

Завдання №30

Вибірка задана у вигляді розподілу частот

У урні п'ять куль різного розміру. Яка можливість витягнути всі кулі за зростанням, якщо відомо, що однакових куль немає?

Рішення. Загальна кількість можливих елементарних наслідків досвіду дорівнює числу перестановок з п'яти елементів , а число наслідків, що сприяють події, дорівнює одиниці.

Шукана ймовірність:

.

Завдання 17.

Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри, і пам'ятаючи, що вони різні, набрав їх на удачу. Якою є ймовірність того, що він набрав потрібний номер?

Рішення. Загальна кількість можливих результатів досвіду дорівнює кількості розміщень з 10 по 2, тобто. . Число результатів, що сприяють події, дорівнює одиниці.

Шукана ймовірність:

.

Завдання 18.

У ящику столу є 15 зошитів, 8 із них у клітинку. Наудачу взяли три зошити. Знайти ймовірність того, що всі три взяті зошити виявляться найвищою якістю.

Рішення. Так як порядок тут ролі не грає, то загальна кількість всіляких результатів дорівнюватиме кількості поєднань з 15 по 3, тобто .

Шукана ймовірність:

.

Завдання 19.

У групі 15 студентів, 8 із яких відмінники. Навмання (за списком) викликали 6 студентів. Знайти ймовірність того, що 4 студенти з викликаних виявляться відмінниками.

Рішення. Число всіляких результатів досвіду тут дорівнює числу поєднань з 15 до 6, .

Сприятливою вважаємо таку комбінацію, в якій 4 студенти-відмінники, а 2 – ні. 4 відмінники можна вибрати з 8 відмінників способами, при цьому інші 6-4 = 2 студенти (не відмінники) вибираємо з 15-8 = 7 студентів способами.

Якщо до кожної четвірки відмінників приєднати одну з пар

студентів, не відмінників, то отримаємо "сприятливі" групи із 6 осіб. Їхнє число дорівнює m =.

Шукана ймовірність:

Завдання 20.

Перша складність, яку подолав Паскаль у своєму листуванні з шевальє де Маре, пов'язана з точним підрахунком випадків. Йшлося про гру, при якій кидають три кістки, і один з гравців укладає парі, що сума на викинутих гранях буде більше ніж 10, а інший - що вона дорівнює або менше 10. Легко бачити, що шанси обох гравців рівні. Але складність була в наступному. Терплячий облік дуже великої кількості партій показав шевальє де Маре, що той хто ставить на суму, більшу за 10, частіше виграє з 11, ніж з 12 очками. Однак, заперечував Мере,11 очок можна отримати шістьма різними способами (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3), і 12 очок теж можна отримати шістьма способами (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4). Відповідь Паскаля дуже проста: поєднання 6-4-1 не є простим, а шестиразовим, оскільки, якщо пронумерувати кістки або якщо кожну з трьох кісток пофарбувати по-різному, щоб можна було їх розрізнити, значення 6 може бути отримано на кожній із трьох кісток , а значення 4 - на кожній із двох тих, що залишаються, що вже становить шість комбінацій. Навпаки, таке поєднання, як 5-5-1, може бути отримано лише трьома у різний спосіб, а поєднання 4-4-4 - єдиним способом.

Отже, якщо бажано дізнатися дійсне число різних способів отримати 11 або отримати 12 очок, то для кожного з цих випадків потрібно складати суму тих шести чисел, які відповідають поєднанням,

тоді як для випадку 12 очок ми маємо

Звідси укладаємо, що в середньому ми отримуємо 11 очок 27 разів, тоді як 12 очок ми отримуємо 25 разів, і цей результат чудово зійшовся зі спостереженнями де Мере.