Накреслити вертикальні кути. Кут

Геометрія – це дуже багатогранна наука. Вона розвиває логіку, уяву та інтелект. Звичайно, через свою складність і величезну кількість теорем і аксіом, вона не завжди подобається школярам. Крім цього, є необхідність постійно доводити свої висновки, використовуючи загальноприйняті стандарти та правила.

Суміжні та вертикальні кути – це невід'ємна складова геометрії. Напевно, багато школярів просто люблять їх з тієї причини, що їхні властивості зрозумілі і прості в доказі.

Освіта кутів

Будь-який кут утворюється шляхом перетину двох прямих або проведення двох променів з однієї точки. Вони можуть називатися або однією літерою, або трьома, які послідовно позначають точки побудови кута.

Кути вимірюються в градусах і можуть (залежно від їхнього значення) по-різному називатися. Так, існує прямий кут, гострий, тупий та розгорнутий. Кожній назві відповідає певний градусний захід або його проміжок.

Гострим називається кут, міра якого не перевищує 90 градусів.

Тупим є кут, що перевищує 90 градусів.

Кут називається прямим у тому випадку, коли його градусний захід дорівнює 90.

У тому випадку, коли він утворений однією суцільною прямою, і його градусний захід дорівнює 180, його називають розгорнутим.

Кути, що мають спільну сторону, друга сторона яких продовжує одне одного, називаються суміжними. Вони можуть бути як гострими, і тупими. Перетин лінією утворює суміжні кути. Властивості їх такі:

Сума таких кутів дорівнюватиме 180 градусів (існує теорема, що доводить це). Тому можна легко обчислити один із них, якщо відомий інший.
З першого пункту випливає, що суміжні кути не можуть бути утворені двома тупими або двома гострими кутами.

Завдяки цим властивостям можна завжди обчислити градусну міру кута, маючи значення іншого кута або, принаймні, відношення між ними.

Вертикальні кути

Кути, сторони яких є продовженням один одного, називають вертикальними. Як така пара можуть виступати будь-які їх різновиди. Вертикальні кути завжди рівні між собою.

Вони утворюються при перетині прямих. Разом з ними завжди є і суміжні кути. Кут може бути одночасно суміжним для одного та вертикальним для іншого.

При перетині довільною лінією також розглядають кілька видів кутів. Така лінія називається січною, вона і утворює відповідні, односторонні і навхрест кути, що лежать. Вони рівні між собою. Їх можна розглядати у світлі властивостей, які мають вертикальні та суміжні кути.

Таким чином, тема кутів є досить простою і зрозумілою. Усі їхні властивості легко запам'ятати та довести. Розв'язання задач не представляється складним доти, доки кутам відповідає числове значення. Вже далі, коли почнеться вивчення sin та cos, доведеться запам'ятовувати безліч складних формул, їх висновків та наслідків. А до того часу можна легко насолоджуватися легкими завданнями, в яких потрібно знайти суміжні кути.

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими променями. На малюнку 20 кути АОВ та ВОС суміжні.

Сума суміжних кутів дорівнює 180 °

Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.

Доведення. Промінь ОВ (див. рис.1) проходить між сторонами розгорнутого кута. Тому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180 °.

З теореми 1 випливає, що якщо два кути дорівнюють, то суміжні з ними кути рівні.

Вертикальні кути рівні

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими променями сторін іншого. Кути АОВ та COD, BOD та АОС, утворені при перетині двох прямих, є вертикальними (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальні кути рівні.

Доведення. Розглянемо вертикальні кути АОВ та COD (див. рис. 2). Кут BOD є суміжним для кожного з кутів АОВ та COD. По теоремі 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °.

Звідси укладаємо, що АОВ = ∠ COD.

Наслідок 1. Кут, суміжний із прямим кутом, є прямий кут.

Розглянемо дві прямі АС, що перетинаються, і BD (рис.3). Вони утворюють чотири кути. Якщо один із них прямий (кут 1 на рис.3), то інші кути також прямі (кути 1 і 2, 1 і 4 - суміжні, кути 1 і 3 - вертикальні). І тут кажуть, що це прямі перетинаються під прямим кутом і називаються перпендикулярними (чи взаємно перпендикулярними). Перпендикулярність прямих АС та BD позначається так: AC ⊥ BD.

Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, перпендикулярна до цього відрізка і проходить крізь його середину.

АН - перпендикуляр до прямої

Розглянемо пряму а і точку А, яка не лежить на ній (рис.4). З'єднаємо точку А відрізком із точкою Н прямою а. Відрізок АН називається перпендикуляром, проведеним з точки А до прямої а якщо прямі АН і а перпендикулярні. Точка Н називається основою перпендикуляра.

Креслярський косинець

Справедлива наступна теорема.

Теорема 3. З будь-якої точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої, і до того ж лише один.

Для проведення на кресленні перпендикуляра з точки прямої використовують креслярський косинець (рис.5).

Зауваження. Формулювання теореми зазвичай складається із двох частин. В одній частині йдеться про те, що дано. Ця частина називається умовою теореми. В іншій частині йдеться про те, що має бути доведено. Ця частина називається укладанням теореми. Наприклад, умова теореми 2 – кути вертикальні; висновок – ці кути рівні.

Будь-яку теорему можна докладно висловити словами отже її умова буде починатися словом «якщо», а висновок - словом «то». Наприклад, теорему 2 можна докладно висловити так: «Якщо два кути вертикальні, то вони рівні».

приклад 1.Один із суміжних кутів дорівнює 44°. Чому дорівнює інший?

Рішення. Позначимо градусну міру іншого кута через x тоді відповідно до теореми 1.
44 ° + х = 180 °.
Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо, що х = 136 °. Отже, інший кут дорівнює 136 °.

приклад 2.Нехай малюнку 21 кут COD дорівнює 45°. Чому рівні кути АОВ та АОС?

Рішення. Кути COD та АОВ вертикальні, отже, за теоремою 1.2 вони рівні, тобто ∠ АОВ = 45°. Кут АОС суміжний з кутом COD, отже, теорема 1.
∠ АОС = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

приклад 3.Знайти суміжні кути, якщо один з них у 3 рази більший за інший.

Рішення. Позначимо градусну міру меншого кута через х. Тоді градусний захід більшого кута буде Зх. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, звідки х = 45°.
Значить, суміжні кути дорівнюють 45 ° і 135 °.

приклад 4.Сума двох вертикальних кутів дорівнює 100 °. Знайти величину кожного із чотирьох кутів.

Рішення. Нехай умові задачі відповідає малюнок 2. Вертикальні кути COD до АОВ рівні (теорема 2), отже, рівні їх градусні заходи. Тому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (їх сума за умовою 100°). Кут BOD (також і кут АОС) суміжний з кутом COD, і, отже, теорема 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180 ° - 50 ° = 130 °.

Рівна двом прямим кутам .

Дано два суміжні кути: АОВі ВОС. Потрібно довести, що:

∠АОВ+∠ВОС=d+ d = 2d

Відновимо з точки Продо прямої АСперпендикуляр OD. Ми розділили кут АОВ на дві частини AOD та DOB так, що можна написати:

∠AOB = ∠ AOD+∠ DOB

Додамо до обох частин цієї рівності по тому самому куту BOС, чому рівність не порушиться:

∠ AOB + ∠ BOЗ= ∠ AOD + ∠ DOB + ∠ BOЗ

Оскільки сума DOB + BOСскладає прямий кут DOЗ, то

∠ AOB+ ∠ BOЗ= ∠ AOD + ∠ DOЗ= d + d = 2 d,

що і потрібно було довести.

Наслідки.

1. Сума кутів (AOB,BOС, СOD, DOE), розташованих навколо загальної вершини (O) по один бік прямий ( AE) дорівнює 2 d= 180 0 , тому що ця сума складає суму двох суміжних кутівнаприклад таких: АОС + Сої

2. Сума кутів, розташованих навколо загальної вершини (O) по обидва боки якоїсь прямої дорівнює 4 d = 360 0 ,

Зворотна теорема.

Якщо сума двох кутів, що мають загальну вершину і загальну сторону і не покривають один одного, дорівнює двом прямим кутам (2d), то такі кути - суміжні, тобто. дві інші їхні сторони становлять пряму лінію.

Якщо з однієї точки (O) прямий (AB) відновити до неї по кожну її сторону перпендикуляри, то ці перпендикуляри утворюють одну пряму (СD). З будь-якої точки поза прямою можна опустити на цю пряму перпендикулярі до того ж тільки один.

Тому що сума кутів COBі BODдорівнює 2d.

ПрямаЗчастини якої OЗі ODслужать перпендикулярами до прямої AB, називається прямою перпендикулярною до AB.

Якщо пряма ЗDперпендикулярна до прямої AB, те й навпаки: ABперпендикулярна до ЗD, тому що частини OAі OBслужать також перпендикулярні до ЗD. Тому прямі ABі ЗDназиваються взаємноперпендикулярними.

Те, що дві прямі ABі ЗDвзаємноперпендикулярні, письмово висловлюють так AB^ ЗD.

Два кути називаються вертикальнимиякщо сторони одного становлять продовження сторін іншого.

Так, при перетині двох прямих ABі ЗDутворюються дві пари вертикальних кутів: AODі СOB; AOСі DOB .

Теорема.

Два вертикальних кутарівні .

Нехай дано два вертикальні кути: AODі ЗOBтобто. OBє продовження OA, а OЗпродовження OD.

Потрібно довести, що AOD = ЗOB.

За якістю суміжних кутів можемо написати:

AOD + DOB= 2 d

DOB + BOС = 2d

Значить: AOD + DOB = DOB + BOС.

Якщо відняти з обох частин цього рівностіпо кутку DOB, Отримаємо:

AOD = BOС, що і потрібно було довести.

Аналогічно доведемо, що AOС = DOB.

по темі: Суміжні та вертикальні кути, їх властивості.

(3 заняття)

В результаті вивчення теми потрібно:

ВМІТИ:

Поняття: суміжних та вертикальних кутів, перпендикулярних до прямих

Розрізняти поняття суміжні та вертикальні кути

Теореми суміжних та вертикальних кутів

Вирішувати задачі з використанням властивостей суміжних та вертикальних кутів

Властивості суміжних та вертикальних кутів

Будувати суміжні та вертикальні кути, перпендикулярні прямі

ЛІТЕРАТУРА:

1. Геометрія. 7 клас. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдієв. Алмати "Мектеп". 2012

2. Геометрія. 7 клас. К.О.Букубаєва, А.Т. Миразова. Алмати «Атамра». 2012

3. Геометрія. 7 клас. Методичний посібник. К.О.Букубаєва. Алмати «Атамра». 2012

4. Геометрія. 7 клас. Дидактичний матеріал. А.Н.Шинибеков. Алмати «Атамра». 2012

5. Геометрія. 7 клас. Збірник завдань та вправ. К.О.Букубаєва, А.Т.Міразова. Алмати «Атамра». 2012

Пам'ятай, що працювати треба за алгоритмом!

Не забувай проходити перевірку, робити позначки на полях,

Будь ласка, не залишай без відповіді, що виникли у тебе питання.

Будь об'єктивним під час взаємоперевірки, це допоможе і тобі, і тому,

кого ти перевіряєш.

БАЖАЮ УСПІХУ!

ЗАВДАННЯ №1.

Прочитай визначення та вивчи (2б):

Визначення. Кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші сторони є додатковими променями, називаються суміжними.

2) Вивчи та запиши в зошит теорему: (2б)

Сума суміжних кутів дорівнює 180.

Дано:

∠ АОД та∠ ДОВ-дані суміжні кути

ОД - спільна сторона

Довести:

∠ АОД +∠ ДОВ = 180

Доведення:

На основі аксіомиIII 4:

∠ АОД +∠ ДОВ =∠ АОВ.

∠ АОВ – розгорнутий. Отже,

∠ АОД +∠ ДОВ = 180

Теорему доведено.

3) З теореми випливає: (2б)

1) Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути рівні;

2) якщо суміжні кути дорівнюють, то градусна міра кожного з них дорівнює 90°.

Запам'ятай!

Кут, що дорівнює 90°, називається прямим кутом.

Кут, менший за 90°, називається гострим кутом.

Кут більше 90° і менше 180° називається тупим кутом.

Прямий кут Гострий кут Тупий кут

Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, то

1) кут, суміжний із прямим кутом, прямий;

2) кут, суміжний з гострим кутом, тупий;

3) кут, суміжний із тупим кутом, гострий.

4) Розглянь зразок рішення задачі:

а) Дано:∠ hkі∠ kl- суміжні;∠ hkбільше∠ klна 50°.

Знайти:∠ hkі∠ kl.

Рішення: Нехай∠ kl= х, тоді∠ hk= х + 50 °. За якістю сумі суміжних кутів∠ kl + ∠ hk= 180 °.

х + х + 50 ° = 180 °;

2х = 180 ° - 50 °;

2х = 130 °;

х = 65 °.

∠ kl= 65 °;∠ hk= 65 ° + 50 ° = 115 °.

Відповідь: 115 ° і 65 °.

б) Нехай∠ kl= х, тоді∠ hk= 3х

х + 3х = 180 °; 4х = 180 °; х = 45 °;∠ kl= 45 °;∠ hk= 135 °.

Відповідь: 135 ° і 45 °.

5) Робота з визначенням суміжних кутів: (2 б)

6) Знайди помилки у визначеннях: (2б)

Пройди перевірку №1

Завдання №2

1)Побудуй 2 суміжні кути так, щоб їх загальна сторона проходила через точку C і сторона одного з кутів збігалася з променем AB.(2б)

2). Практична робота на відкриття якості суміжних кутів: (5б)

Хід роботи

1. Побудуй кутсуміжний кута , якщоа Осі: гострий, прямий, тупий.

2. Виміряй величини кутів.

3. Дані вимірювань занеси до таблиці.

4. Знайди співвідношення між величинами кутіва і.

5. Зроби висновок про властивість суміжних кутів.

Пройди перевірку №2

Завдання №3

Накресліть нерозгорнутий∠ АОВ і назвіть промені, що є сторонами цього кута.

Проведіть промінь О, який є продовженням променя ОА, і промінь ОД, який є продовженням променя ОВ.

Запишіть у зошиті: кути∠ АОВ та∠ СОД називаються вертикальними. (3б)

Вивчи та запиши в зошит: (4б)

Визначення: Кути, у яких сторони одного з них є додатковими променями іншого, називаютьсявертикальними кутами.

< 1 та<2, <3 и <4 вертикальні кути

ПроменіOFіOA , OCіOEє попарно додатковими променями.

Теорема: Вертикальні кути рівні.

Доведення.

Вертикальні кути утворюються при перетині двох прямих. Нехай прямі а іbперетинаються у точці О.∠ 1 та∠ 2 - вертикальні кути.

∠ АОС-розгорнутий, значить∠ АОС = 180 °. Однак∠ 1+ ∠ 2= ∠ АОС, тобто.

∠ 3+ ∠ 1= 180°, звідси маємо:

∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)

Також маємо, що∠ ДОВ = 180 °, звідси∠ 2+ ∠ 3= 180 °, або∠ 2= 180 ° - ∠ 3. (2)

Оскільки у рівностях (1) і (2) прямі частини рівні, то∠ 1= ∠ 2.

Теорему доведено.

5). Робота з визначенням вертикальних кутів: (2б)

6) Знайди помилку у визначенні: (2б).

Пройди перевірку №3

Завдання №4

1) Практична робота на відкриття якості вертикальних кутів: (5б)

Хід роботи:

1.Побудуй кут β вертикальний кутα , якщоα :

гострий, прямий, тупий.

2. Вимір величини кутів.

3. Дані вимірювань занеси до таблиці

4.Знайди співвідношення між величинами кутів α та β.

5. Зроби висновок про властивість вертикальних кутів.

2) Доказ властивостей суміжних та вертикальних кутів. (3б)

2) Розглянь зразок рішення задачі.

Завдання. Прямі АВ і СД перетинаються в точці так, що∠ AOД = 35 °. Знайдіть кути АОС та ВОС.

Рішення:

1) Кути АОД та АОС суміжні, тому∠ BOC= 180 ° - 35 ° = 145 °.

2) Кути АОС та ВОС також суміжні, тому∠ BOC= 180 ° - 145 ° = 35 °.

Значить,∠ BOC = ∠ АОД = 35 °, причому ці кути є вертикальними. Питання: чи правда, що будь-які вертикальні кути рівні?

3) Розв'язання завдань на готових кресленнях: (3б)

1. Знайти кути АОВ, АОD, COD.

3) Знайти кути BOC, FOA.: (3б)

3. Знайди на малюнку суміжні та вертикальні кути. Нехай відомі величини двох кутів, зазначених на кресленні, 28? та 90?. Чи можна знайти величини інших кутів, не виконуючи вимірів (2б)

Пройди перевірку №4

Завдання №5

Перевір свої знання, виконавшиперевірочну роботу №1

Завдання №6

1) Самостійно доведи властивості вертикальних кутів та запиши ці докази у зошит. (3б)

Учні самостійно, використовуючи властивості вертикальних і суміжних кутів, повинні обґрунтувати той факт, що якщо при перетині двох прямих один з кутів прямої, що утворилися, то інші кути також прямі.

2) Розв'яжи на вибір дві задачі:

1. Градусні заходи суміжних кутів відносяться як 7:2. Знайдіть ці кути.(2б)

2.Один із кутів, що утворилися при перетині двох прямих, в 11 разів менший за інший.Знайдіть кожен із кутів.(3б)

3. Знайдіть суміжні кути, якщо їх різниця та їх сума відносяться як 2:9. (3б)

Завдання №7

Молодець! Можеш починати перевірну роботу №2.

Перевірна робота №1.

Виріши на вибір будь-який з варіантів (10б)

Варіант 1

<1 и <2,

<3 и <2,

г)<1 и <3. Какие это углы?

Сумежні

д) Накресліть (на око) кут 30° і< ABC, суміжний з даними

е) Які кути називаються вертикальними?

Два кути називаються вертикальними, якщо орні рівні.

ж) З точки А провести дві прямі, перпендикулярні до прямоїа

Можна провести лише одну пряму.

Варіант 2

1.Учень, відповідаючи на запитання вчителя, дав відповідні відповіді. Перевірте, чи вони вірні, помітивши в третьому стовпчику словом «ТАК», «НІ», «НЕ ЗНАЮ». У випадку «НІ» запишіть там же правильну відповідь або додайте недостатнє.

<1 и <4,

<2 и <4

Д)<1 и < 3 смежные?

Ні. Вони вертикальні

Е) Які прямі називаються перпендикулярними?

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом

Ж) Накресліть вертикальні кути так, щоб їхні сторони були прямими перпендикулярними.