Знаходження значення виразу, приклади, рішення. Вирази з корінням

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Визначте порядок дій. Першу дію виконайте у внутрішніх дужках 489–296=193. Потім, помножте 193∙8=1544 та 34∙10=340. Наступна дія: 340 +1544 = 1884. Далі виконайте поділ 1884:4=461 і потім віднімання 461–410=60. Ви виявили значення даного виразу.

приклад. Знайдіть значення виразу 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Спростіть цей вираз. Для цього скористайтесь формулою tg α∙ctg α=1. Отримайте: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Відомо, що sin 30º=1/2 та cos 30º=√3/2. Отже, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Ви виявили значення даного виразу.

Значення виразу алгебри від . Щоб знайти значення виразу алгебри при заданих змінних, спростіть вираз. Підставте замість змінних певні значення. Виконайте необхідні дії. У результаті ви отримаєте число, яке і буде значенням виразу алгебри при заданих змінних.

приклад. Знайдіть значення виразу 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 та y=10. Спростіть цей вираз, отримайте: a–2y. Підставте відповідні значення змінних та обчисліть: a–2y=21–2∙10=1. Це значення значення виразу 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 і y=10.

Зверніть увагу

Існують вирази алгебри, які не мають сенсу при деяких значеннях змінних. Наприклад, вираз x/(7–a) немає сенсу, якщо a=7, т.к. при цьому знаменник дробу перетворюється на нуль.

Джерела:

• знайдіть найменше значення виразу
• Знайди значення виразів при 14

Навчитися спрощувати вирази в математиці просто необхідно правильно і швидко вирішувати завдання, різні рівняння. Спрощення висловлювання передбачає зменшення кількості дій, що полегшує обчислення та економить час.

Інструкція

Навчіться обчислювати ступені з . При множенні ступенів одержують числа, основа якого колишня, а показники ступенів складаються b^m+b^n=b^(m+n). При розподілі ступенів з однаковими основами отримують ступінь числа, основа якого залишається незмінною, а показники ступенів віднімаються, причому з показника діленого віднімається показник дільника b^m:b^n=b^(m-n). При зведенні ступеня в ступінь виходить ступінь числа, основа якого залишається незмінною, а показники перемножуються (b^m)^n=b^(mn)При зведенні в ступінь у цей ступінь зводиться кожен множник.(abc)^m=a^m *b^m*c^m

Розкладайте багаточлени на множники, тобто. уявляйте їх у вигляді добутку кількох співмножників – і одночленів. Виносьте спільний множник за дужки. Вивчіть основні формули скороченого множення: різницю квадратів, квадрат різниці, суму, різницю кубів, куб суми та різниці. Наприклад, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Саме ці формули є основними у спрощенні. Використовуйте спосіб виділення повного квадрата у тричлені виду ax^2+bx+c.

Якнайчастіше скорочуйте дроби. Наприклад, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Але пам'ятайте, що скорочувати можна лише множники. Якщо чисельник і знаменник дробу алгебри множити на одне і те ж число, відмінне від нуля, то при цьому значення дробу не зміниться. Перетворювати вирази можна двома способами: ланцюжком і з дій. Переважно другий спосіб, т.к. Легше перевірити результати проміжних дій.

Нерідко у виразах необхідно витягувати коріння. Коріння парної міри витягуються лише з невід'ємних виразів чи чисел. Коріння непарної міри витягується з будь-яких виразів.

Джерела:

• спрощення виразів зі ступенями

Тригонометричні функції спочатку виникли як інструменти абстрактних математичних обчислень залежностей величин гострих кутів у прямокутному трикутнику від довжин його сторін. Зараз вони дуже широко застосовуються як у наукових, так і в технічних галузях людської діяльності. Для практичних обчислень тригонометричних функцій від заданих аргументів можна використовувати різні інструменти – нижче описано кілька найбільш доступних із них.

Інструкція

Скористайтеся, наприклад, програмою-калькулятором, яка встановлюється за умовчанням разом з операційною системою. Вона відкривається вибором пункту «Калькулятор» у папці «Службові» з підрозділу «Стандартні», розміщеному у розділі «Всі програми». Цей розділ можна, відкривши клацанням по кнопці «Пуск» головне меню операційної. Якщо ви використовуєте версію Windows 7, то можете просто ввести «Калькулятор» у полі «Знайти програми та файли» головного меню, а потім клацнути за відповідним посиланням у результатах пошуку.

Порахуйте кількість необхідних дій та подумайте, в якому порядку їх слід виконувати. Якщо вас ускладнює це питання, зверніть увагу, що перш за інших виконуються дії, укладені в дужки, потім – розподіл та множення; і віднімання виробляються в останню чергу. Щоб було легко запам'ятати алгоритм виконуваних дій, у виразі над кожним знаком-оператором дій (+,-,*,:) тонким олівцем проставте цифри, відповідні виконання дій.

Приступайте до виконання першої дії, дотримуючись встановленого порядку. Вважайте, якщо дії легко виконати усно. Якщо потрібні обчислення (в стовпчик), здійснюйте їх запис під виразом, вказуючи порядковий номер дії.

Чітко відстежуйте послідовність виконуваних дій, оцінюйте, що з чого потрібно відняти, що розділити і т.п. Дуже часто відповідь у виразі виходить невірною через допущені помилки на даному етапі.

Відмінною рисою висловлювання є наявність математичних процесів. Воно позначаються певними знаками (множення, розподілу, віднімання чи складання). Послідовність виконання математичних процесів за необхідності коригується дужками. Виконати математичні дії означає знайти .

Що не є виразом

Не всяку математичну запис можна віднести до висловів.

Рівності є виразами. Присутні при цьому рівності математичні дії чи ні, не має значення. Наприклад, a=5 – це рівність, а чи не вираз, а й 8+6*2=20 теж вважатимуться виразом, хоча у ньому присутні множення . Цей приклад також належить до категорії рівностей.

Поняття висловлювання і рівності є взаємовиключними, перше входять до складу другого. Знак рівності поєднує два вирази:
5+7=24:2

Можна цю рівність спростити:
5+7=12

Вираз завжди передбачає, що представлені у ньому математичні дії можуть бути виконані. 9+:-7 - це не вираз, хоча тут є знаки математичних дій, адже виконати ці дії неможливо.

Існують і такі математичні, які формально є висловлюваннями, але не мають сенсу. Приклад такого виразу:
46:(5-2-3)

Число 46 необхідно розділити на результат дій у дужках, а він дорівнює нулю. На нуль ділити не можна, дія вважається забороненою.

Числові та алгебраїчні вирази

Існує два види математичних виразів.

Якщо вираз містить лише числа та знаки математичних дій, такий вираз називається числовим. Якщо ж у виразі поряд з числами присутні змінні, що позначаються літерами, чи чисел немає взагалі, вираз складається тільки із змінних та знаків математичних дій, він називається алгебраїчним.

Принципова відмінність числового значення від алгебраїчного полягає в тому, що у числового виразу значення лише одне. Наприклад, значення числового виразу 56–2*3 завжди дорівнюватиме 50, нічого змінити не можна. У алгебраїчного виразу значень може бути багато, адже замість можна підставити будь-яке число. Так, якщо у виразі b–7 замість b підставити 9, значення виразу дорівнюватиме 2, а якщо 200 – воно становитиме 193.

Джерела:

• Числові та алгебраїчні вирази

Цілі:удосконалювати навички складання виразів та обчислення їх значень; продовжити формування умінь вирішувати складові завдання; розвивати увагу та вміння розмірковувати.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

ІІ. Усний рахунок.

1. Математичний диктант.

а) Число зменшили на 8 і одержали 20. Назвіть це число.

б) Число збільшили на 6 і одержали 15. Назвіть це число.

в) Якщо число збільшилось у 5 разів, вийде 30. Яке це число?

г) Якщо число зменшити у 4 рази, вийде 8. Яке це число?

2. Геометрія на сірниках.

а) Скільки на кресленні квадратів? Скільки інших багатокутників? Які це багатокутники?

б) Заберіть одну паличку так, щоб залишилося 3 квадрати. Знайдіть кілька рішень та порівняйте їх.

в) Заберіть одну паличку так, щоб залишилося 4 квадрати. Знайдіть кілька рішень та порівняйте їх.

г) Заберіть дві палички так, щоб залишилося 4 квадрати.

3. Порівняйте час, який показує годинник. За тим же правилом намалюйте стрілки на останній годині.

ІІІ. Повідомлення теми уроку.

IV. Робота на тему уроку.

Завдання №5(С. 74).

Учні читають завдання.

- З скількох частин складається вираз?

– Яка дія виконуватиметься останнім?

– Запишіть вираз та обчисліть його значення.

Завдання №6(С. 74).

- Прочитайте текст. Чи є він завданням?

– Що відомо? Що потрібно дізнатися?

– Коротко запишіть умову завдання.

Було – 25 л. та 14 л.

Витратив – 7 л.

Залишилося -? л.

1) Скільки аркушів було?

25 + 14 = 39 (арк.).

2) Скільки аркушів лишилось?

39 - 7 = 32 (л.).

Відповідь: 32 листи.

V. Повторення пройденого матеріалу.

1. Робота за підручником.

Завдання №13(С. 75).

– Розгляньте креслення.

- Як називаються ці фігури?

– Чому дорівнює площа зафарбованої частини фігури?

– Скільки клітин у жовтій фігурі? (28 клітин.)

– Скільки клітин у синій фігурі? (24 клітини.)

– Скільки клітин утворюють 1 см2? (4 клітини.)

– Як обчислити площу у цьому випадку?

28: 4 = 7 (див. 2).

24: 4 = 6 (див. 2).

Завдання №14(С. 75).

Учні складають схеми-«машини» і відповідають питання завдання.

Завдання №15(С. 75).

Учні працюють самостійно. Взаємоперевірка у парах.

2. Робота за картками.

Завдання №1.

Запишіть вирази та обчисліть їх значення.

а) З числа 90 відняти суму чисел 42 і 8.

б) Різницю чисел 58 та 50 збільшити на 7.

в) З числа 39 відняти різницю чисел 17 і 8.

г) Суму чисел 13 та 7 зменшити на 9.

д) З числа 38 відняти різницю чисел 17 і 9.

е) Суму чисел 7 та 6 зменшити на 10.

ж) До 8 додати різницю чисел 75 і 70.

з) Різницю чисел 13 і 4 збільшити на 20.

Завдання №2.

У вазі було стільки ж яблук, скільки на тарілці. У вазу поклали ще 5 яблук і в ній стало 14 яблук. Скільки всього яблук стало на тарілці та у вазі разом? Знайдіть вираз для розв'язання задачі та обчисліть його значення.

VI. Підсумок уроку.

- Що нового дізналися на уроці?

– Назвіть компоненти всіх арифметичних дій.

Домашнє завдання:№ 139 (робочий зошит).

Урок 108

Кут. прямий кут

Цілі:познайомити учнів із поняттям «кут»; навчити виконувати модель прямого кута; вчити визначати на кресленні прямий та непрямий кут; удосконалювати обчислювальні навички; розвивати увагу та окомір.

Запис, який складається з чисел, знаків та дужок, а також має сенс, називається числовим виразом.

Наприклад, такі записи:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

будуть числовими виразами.Слід розуміти, що одне число теж буде числовим виразом. У прикладі, це число 13.

А, наприклад, такі записи

• 100 - *9,
• /32)343

не будуть числовими виразами,оскільки вони позбавлені сенсу і є просто набором чисел та знаків.

Значення числового виразу

Оскільки як знаків у числових висловлюваннях входять знаки арифметичних процесів, ми можемо порахувати значення числового выражения. Для цього необхідно виконати вказані дії.

Наприклад,

(100-32)/17 = 4, тобто для виразу (100-32)/17 значенням цього числового виразу буде число 4.

2*4+7=15, число 15 буде значенням числового виразу 2*4+7.

Часто для стислості запису не пишуть повністю значення числового виразу, а пишуть просто "значення виразу", опускаючи при цьому слово "числового".

Числова рівність

Якщо два числових вирази записані через знак одно, то ці вирази утворюють числову рівність. Наприклад, вираз 2*4+7=15 є числовою рівністю.

Як зазначалося вище, у числових виразах можуть використовуватися дужки. Як уже відомо, дужки впливають на порядок дій.

Взагалі всі дії розділені на кілька ступенів.

• Дії першого ступеня: додавання та віднімання.
• Дії другого ступеня: множення та розподіл.
• Дії третього ступеня – зведення у квадрат і зведення у куб.

Правила при обчисленні значень числових виразів

При обчисленні значень числових виразів слід керуватися такими правилами.

• 1. Якщо вираз не має дужок, то треба виконувати дії починаючи з вищих ступенів: третій ступінь, другий ступінь та перший ступінь. Якщо є кілька дій одного ступеня, їх виконують у порядку у якому вони записані, тобто зліва праворуч.
• 2. Якщо у виразі присутні дужки, то спочатку виконуються дії в дужках, а потім всі сталеві дії в звичайному порядку. При виконанні дій у дужках, якщо їх там декілька, слід користуватися порядком, описаним у пункті 1.
• 3. Якщо вираз є дріб, то спочатку обчислюються значенні в чисельнику і знаменнику, а потім чисельник ділиться на знаменник.
• 4. Якщо у виразі присутні вкладені дужки, виконувати дії слід з внутрішніх дужок.

Як правило, діти починають вивчати алгебру вже у молодших класах. Після освоєння основних принципів роботи з числами вони вирішують приклади з однією або кількома невідомими змінними. Знайти значення вираження подібного плану може бути досить важко, проте якщо спростити його, використовуючи знання початкової школи, все вийде легко та швидко.

Що таке значення виразу

Числовим виразом називають запис алгебри, що складається з чисел, дужок і знаків у тому випадку, якщо вона має сенс.

Іншими словами, якщо є можливість знайти значення виразу, значить запис не позбавлений сенсу, і навпаки.

Приклади наступних записів є правильними числовими конструкціями:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Окреме число також буде числове вираз, як число 18 з вищевказаного прикладу.
Приклади неправильних числових конструкцій, які не мають сенсу:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Неправильні числові приклади є лише набір математичних знаків і немає сенсу.

Як знаходити значення виразу

Оскільки в подібних прикладах є арифметичні знаки, можна зробити висновок, що вони дозволяють зробити арифметичні обчислення. Щоб прорахувати знаки або, інакше кажучи, знайти значення виразу, необхідно виконати відповідні арифметичні маніпуляції.

Як приклад можна розглянути таку конструкцію: (120-30)/3=30. Число 30 буде значенням числового виразу (120-30)/3.

Інструкція:

Поняття числової рівності

Числовою рівністю називається ситуація, коли дві частини прикладу розділені знаком «=». Тобто одна частина повністю дорівнює (ідентична) іншою, нехай навіть відображеною у вигляді інших поєднань символів та цифр.
Наприклад, будь-яку конструкцію типу 2+2=4 можна назвати числовим рівністю, оскільки, навіть помінявши частини місцями, сенс не зміниться: 4=2+2. Те саме стосується більш складних конструкцій, що включають дужки, поділ, множення, дію з дробами і так далі.

Як знаходити значення виразу правильно

Щоб правильно визначити значення виразу необхідно виконувати обчислення згідно з певним порядком дій. Цей порядок викладається ще під час уроків математики, і потім – на заняттях алгебри у початковій школі. Він також відомий як ступінь арифметичних дій.

Щаблі арифметичних дій:

1. Перший ступінь – виконується складання та віднімання чисел.
2. Другий ступінь – виконується розподіл та множення.
3. Третій ступінь – числа зводяться у квадрат чи куб.

Дотримуючись наступних правил, ви завжди зможете правильно визначити значення виразу:

1. Виконуйте дії, починаючи з третього ступеня, закінчуючи першим, якщо в прикладі немає дужок. Тобто спочатку зводите в квадрат або куб, потім діліть або множте і потім - складайте і віднімайте.
2. У конструкціях з дужками спершу виконуйте дії у дужках, а потім керуйтеся вищеописаним порядком. Якщо кілька дужок, також використовуйте порядок дій з першого пункту.
3. У прикладах у вигляді дробу спочатку дізнайтеся результат у чисельнику, потім – у знаменнику, після чого перший поділіть на другий.

Знайти значення виразу не складе труднощів, якщо засвоїти елементарні знання початкових курсів алгебри та математики. Керуючись цією інформацією, ви зможете вирішити будь-яке завдання, навіть підвищеної складності.

Дізнатись пароль від ВК, знаючи логін

Отже, якщо числове вираз складено з чисел і знаків +, −, · і:, то по порядку зліва направо потрібно спочатку виконати множення та поділ, а потім – додавання та віднімання, що дозволить знайти потрібне значення виразу.

Наведемо рішення прикладів пояснення.

приклад.

Обчисліть значення виразу 14−2·15:6−3.

Рішення.

Щоб знайти значення виразу, потрібно виконати всі вказані в ньому дії відповідно до прийнятого порядку виконання цих дій. Спочатку по порядку зліва направо виконуємо множення та поділ, отримуємо 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Тепер також по порядку зліва направо виконуємо дії, що залишилися: 14−5−3=9−3=6 . Так ми виявили значення вихідного виразу, воно дорівнює 6 .

Відповідь:

14−2·15:6−3=6 .

приклад.

Знайдіть значення виразу.

Рішення.

В даному прикладі нам спочатку потрібно виконати множення 2 · (-7) і поділ з множенням у виразі . Згадавши, як виконується , знаходимо 2·(−7)=−14 . А для виконання дій у виразі спочатку , після чого , і виконуємо: .

Підставляємо отримані значення вихідне выражение: .

А що робити, коли під знаком кореня знаходиться числове вираження? Щоб отримати значення такого кореня, потрібно спочатку знайти значення підкореного виразу, дотримуючись прийнятого порядку виконання дій. Наприклад, .

У числових виразах коріння слід сприймати як деякі числа, і коріння доцільно відразу замінити їх значеннями, після чого знаходити значення отриманого виразу без коріння, виконуючи дії прийнятої послідовності.

приклад.

Знайдіть значення виразу з корінням.

Рішення.

Спочатку знайдемо значення кореня . Для цього, по-перше, обчислимо значення підкореного виразу, маємо −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. А по-друге, знаходимо значення кореня.

Тепер обчислимо значення другого кореня з вихідного виразу: .

Нарешті, ми можемо визначити значення вихідного висловлювання, замінивши коріння їх значеннями: .

Відповідь:

Досить часто, щоб стало можливо знайти значення виразу з корінням, попередньо доводиться проводити його перетворення. Покажемо рішення прикладу.

приклад.

Яке значення виразу .

Рішення.

Ми не маємо можливості замінити корінь із трьох його точним значенням, що не дозволяє нам обчислити значення цього виразу описаним вище способом. Однак ми можемо обчислити значення цього виразу, виконавши нескладні перетворення. Застосуємо формулу різниці квадратів: . Враховуючи , отримуємо . Таким чином, значення вихідного виразу дорівнює 1.

Відповідь:

.

Зі ступенями

Якщо основа і показник ступеня є числами, їх значення обчислюється за визначенням ступеня, наприклад, 3 2 =3·3=9 чи 8 −1 =1/8 . Зустрічаються також записи, коли основа та/або показник ступеня є деякими виразами. У цих випадках потрібно знайти значення виразу на підставі, значення виразу в показнику, після чого обчислити значення самого ступеня.

приклад.

Знайдіть значення виразу зі ступенями виду 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Рішення.

У вихідному вираженні два ступені 2 3 4-10 і (1-1/2) 3,5-2 1/4 . Їх значення необхідно обчислити до виконання інших процесів.

Почнемо зі ступеня 2 3 · 4-10. У її показнику знаходиться числове вираз, обчислимо його значення: 3 · 4-10 = 12-10 = 2 . Тепер можна знайти значення самого ступеня: 2 3 · 4-10 = 2 2 = 4 .

В основі та показнику ступеня (1-1/2) 3,5-2·1/4 знаходяться вирази, обчислюємо їх значення, щоб потім знайти значення ступеня. Маємо (1−1/2) 3,5−2·1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Тепер повертаємося до вихідного виразу, замінюємо у ньому ступеня їх значеннями, і знаходимо потрібне нам значення виразу: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Відповідь:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Варто зауважити, що найпоширеніші випадки, коли доцільно провести попереднє спрощення виразу зі ступенямина базі .

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Судячи з показників ступенів, що у цьому вираженні, точні значення ступенів отримати не вдасться. Спробуємо спростити вихідний вираз, можливо це допоможе визначити його значення. Маємо

Відповідь:

.

Ступені у виразах часто йдуть рука об руку з логарифмами, але про знаходження значень виразів з логарифмами ми поговоримо в одному з .

Знаходимо значення виразу з дробами

Числові вирази у своєму записі можуть містити дроби. Коли потрібно визначити значення подібного виразу, дроби, відмінні від звичайних дробів, слід замінити їх значеннями перед виконанням інших дій.

У чисельнику і знаменнику дробів (які від звичайних дробів) можуть бути як деякі числа, і висловлювання. Щоб обчислити значення такого дробу, потрібно обчислити значення виразу в чисельнику, обчислити значення виразу в знаменнику, після чого обчислити значення самого дробу. Такий порядок пояснюється тим, що дріб a/b , де a і b – деякі вирази, по суті є окремим видом (a):(b) , оскільки .

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть значення виразу з дробами .

Рішення.

У вихідному числовому вираженні три дроби та . Щоб знайти значення вихідного виразу, нам спочатку потрібно ці дроби, замінити їх значеннями. Зробимо це.

У чисельнику та знаменнику дробу знаходяться числа. Щоб знайти значення такого дробу, замінюємо дробову межу знаком поділу, і виконуємо цю дію: .

У чисельнику дробу вираз 7−2·3 , його значення знайти легко: 7−2·3=7−6=1 . Таким чином, . Можна перейти до знаходження значення третього дробу.

Третій дріб у чисельнику і знаменнику містить числові вирази, тому спочатку потрібно обчислити їх значення, а це дозволить знайти значення самого дробу. Маємо .

Залишилося підставити знайдені значення у вихідне вираз, і виконати дії, що залишилися: .

Відповідь:

.

Часто при знаходженні значень виразів із дробами доводиться виконувати спрощення дробових виразів, що базується на виконанні дій з дробами та на скороченні дробів.

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Корінь з п'яти націло не витягується, тому знаходження значення вихідного висловлювання спочатку спростимо його. Для цього позбавимося ірраціональності в знаменникупершого дробу: . Після цього вихідний вираз набуде вигляду . Після віднімання дробів пропаде коріння, що дозволить визначити значення спочатку заданого выражения: .

Відповідь:

.

З логарифмами

Якщо числове вираз містить , і якщо є можливість позбутися їх, це робиться перед виконанням інших дій. Наприклад, при знаходженні значення виразу log 2 4+2·3 , логарифм log 2 4 замінюється його значенням 2 після чого виконуються інші дії в звичайному порядку, тобто, log 2 4+2·3=2+2·3=2 +6=8.

Коли під знаком логарифму та/або в його підставі знаходяться числові вирази, то спочатку знаходяться значення, після чого обчислюється значення логарифму. Наприклад розглянемо вираз із логарифмом виду . В основі логарифму та під його знаком знаходяться числові вирази, знаходимо їх значення: . Тепер знаходимо логарифм, після чого завершуємо обчислення: .

Якщо ж логарифми не обчислюються точно, то знайти значення вихідного виразу може допомогти його спрощення з використанням . При цьому потрібно добре володіти матеріалом статті перетворення логарифмічних виразів.

приклад.

Знайдіть значення виразу з логарифмами .

Рішення.

Почнемо з обчислення log 2 (log 2256) . Оскільки 256=2 8 , то log 2 256=8 , отже, log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Логарифми log 6 2 та log 6 3 можна згрупувати. Сума логарифмів log 6 2+log 6 3 дорівнює логарифму добутку log 6 (2·3) , таким чином, log 6 2+log 6 3=log 6 (2·3)=log 6 6=1.

Тепер розберемося з дробом. Для початку основу логарифму в знаменнику перепишемо у вигляді звичайного дробу як 1/5, після чого скористаємось властивостями логарифмів, що дозволить нам отримати значення дробу:
.

Залишилося лише підставити отримані результати у вихідний вираз і закінчити знаходження його значення:

Відповідь:

Як знайти значення тригонометричного виразу?

Коли числове вираз містить або т.п., їх значення обчислюються перед виконанням інших дій. Якщо під знаком тригонометричних функцій стоять числові вирази, спочатку обчислюються їх значення, після чого знаходяться значення тригонометричних функцій.

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Звернувшись до статті, отримуємо та cosπ=−1 . Підставляємо ці значення у вихідний вираз, воно набуває вигляду . Щоб визначити його значення, спочатку необхідно виконати зведення на ступінь, після чого закінчити обчислення: .

Відповідь:

.

Варто зазначити, що обчислення значень виразів із синусами, косинусами тощо. часто вимагає попереднього перетворення тригонометричного виразу.

приклад.

Чому дорівнює значення тригонометричного виразу .

Рішення.

Перетворюємо вихідний вираз, використовуючи , у разі нам знадобляться формула косинуса подвійного кута і формула косинуса суми:

Зроблені перетворення допомогли нам знайти значення виразу.

Відповідь:

.

Загальний випадок

Загалом числове вираз може містити і коріння, і ступеня, і дроби, і будь-які функції, і дужки. Знаходження значень таких виразів полягає у виконанні наступних дій:

• спочатку коріння, ступеня, дроби тощо. замінюються їх значеннями,
• далі дії у дужках,
• і по порядку зліва направо виконується дії, що залишилися - множення і розподіл, а за ними - додавання і віднімання.

Перелічені дії виконуються до одержання кінцевого результату.

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Вигляд цього виразу досить складний. У цьому вся виразі бачимо дріб, коріння, ступеня, синус і логарифм. Як знайти його значення?

Просуваючись по запису зліва направо, ми натикаємося на дріб . Ми знаємо, що при роботі з дробами складного виду, нам потрібно окремо обчислити значення чисельника, окремо знаменника, і, нарешті, знайти значення дробу.

У чисельнику ми маємо корінь виду . Щоб визначити його значення, спочатку треба обчислити значення підкореного виразу . Тут є синус. Знайти його значення ми зможемо лише після обчислення значення виразу . Це ми можемо зробити: . Тоді, звідки і .

Зі знаменником все просто: .

Таким чином, .

Після підстановки цього результату у вихідний вираз, воно набуде вигляду. В отриманому вираженні міститься ступінь. Щоб знайти її значення, спочатку доведеться знайти значення показника, маємо .

Отже, .

Відповідь:

.

Якщо ж немає можливості обчислити точні значення коренів, ступенів тощо, то можна спробувати позбутися їх за допомогою будь-яких перетворень, після чого повернутися до обчислення значення за вказаною схемою.

Раціональні способи обчислення значень виразів

Обчислення значень числових виразів потребує послідовності та акуратності. Так, необхідно дотримуватись послідовності виконання дій, записаної в попередніх пунктах, але не потрібно це робити сліпо та механічно. Цим хочемо сказати, що часто можна раціоналізувати процес знаходження значення висловлювання. Наприклад, значно прискорити та спростити знаходження значення виразу дозволяють деякі властивості дій з числами.

Наприклад, ми знаємо таку властивість множення: якщо одне із множників у творі дорівнює нулю, те значення твори дорівнює нулю. Використовуючи цю властивість, ми можемо відразу сказати, що значення виразу 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45 · 36-2 · 4 + 456: 3 · 43) дорівнює нулю. Якби ми дотримувалися стандартного порядку виконання дій, то спочатку нам довелося б обчислювати значення громіздких виразів у дужках, а це зайняло б масу часу, і в результаті все одно вийшов би нуль.

Також зручно користуватися властивістю віднімання рівних чисел: якщо від числа відібрати рівне йому число, то в результаті вийде нуль. Цю властивість можна розглядати ширше: різницю двох однакових числових виразів дорівнює нулю. Наприклад, не обчислюючи значення виразів у дужках можна знайти значення виразу (54·6−12·47362:3)−(54·6−12·47362:3), Воно дорівнює нулю, так як вихідне вираз являє собою різницю однакових виразів.

Раціональному обчисленню значень виразів можуть сприяти тотожні перетворення. Наприклад, буває корисним угруповання доданків і множників, не менш часто використовується винесення загального множника за дужки. Так значення виразу 53·5+53·7−53·11+5 дуже легко знаходиться після винесення множника 53 за дужки: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Безпосереднє обчислення зайняло набагато більше часу.

На закінчення цього пункту звернемо увагу на раціональний підхід до обчислення значень виразів із дробами – однакові множники у чисельнику та знаменнику дробу скорочуються. Наприклад, скорочення однакових виразів у чисельнику та знаменнику дробу дозволяє відразу знайти її значення, яке дорівнює 1/2.

Знаходження значення буквеного виразу та виразу зі змінними

Значення літерного виразу та виразу зі змінними знаходиться для конкретних заданих значень літер та змінних. Тобто йдеться про знаходження значення літерного виразу для даних значень літер або про знаходження значення виразу зі змінними для вибраних значень змінних.

Правилознаходження значення літерного виразу або виразу зі змінними для даних значень літер або вибраних значень змінних таке: у вихідний вираз потрібно підставити дані значення літер або змінних, і обчислити значення отриманого числового виразу, воно є потрібним значенням.

приклад.

Обчисліть значення виразу 0,5 x-y при x = 2,4 і y = 5 .

Рішення.

Щоб знайти необхідне значення виразу, спочатку потрібно підставити вихідне вираз дані значення змінних, після чого виконати дії: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8 .

Відповідь:

−3,8 .

На закінчення відзначимо, що іноді виконання перетворень літерних виразів та виразів зі змінними дозволяє отримати їх значення, незалежно від значень літер та змінних. Наприклад, вираз x+3−x можна спростити, після чого воно набуде вигляду 3 . Звідси можна дійти невтішного висновку, що значення виразу x+3−x дорівнює 3 будь-яких значень змінної x з її області допустимих значень (ОДЗ) . Ще приклад: значення виразу дорівнює 1 всім позитивних значень x , так областю допустимих значень змінної x у вихідному вираженні є безліч позитивних чисел, і у цій галузі має місце рівність .

Список літератури.

• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.