Знайти раціональне коріння багаточлена приклади. Раціональне коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами

Цей многочлен має цілі коефіцієнти. Якщо ціле число є коренем цього многочлена, воно є дільником числа 16. Отже, якщо цей многочлена є цілі коріння, це можуть бути лише числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Безпосередньою перевіркою переконуємося, що число 2 є коренем цього багаточлена, тобто x 3 - 5x 2 - 2x + 16 = (x - 2) Q (x), де Q (x) - багаточлен другого ступеня. Отже, многочлен розкладається на множники, один із яких (х – 2). Для пошуку виду многочлена Q(x) скористаємося так званою схемою Горнера. Основною перевагою цього методу є компактність запису та можливість швидкого поділу багаточлена на двочлен. По суті схема Горнера є іншою формою запису методу угруповання, хоча, на відміну від останнього, є абсолютно ненаглядною. Відповідь (розкладання на множники) тут виходить сама собою, і ми не бачимо самого процесу її отримання. Ми не займатимемося суворим обґрунтуванням схеми Горнера, а лише покажемо, як вона працює.

У другу клітину нижнього рядка «зноситься» число із клітини над нею, тобто 1. Потім надходять так. Корінь рівняння (число 2) множать на останнє написане число (1) і складають результат із числом, яке стоїть у верхньому ряду над наступною вільною клітиною, у нашому прикладі маємо:

Якщо багаточлен

Доведення

Нехай усі коефіцієнти многочлена є цілими числами, і нехай ціле число a є коренем цього багаточлена. Тому що в цьому випадку звідси випливає, що коефіцієнт ділиться на a.

Зауваження. Ця теорема фактично дозволяє знаходити коріння багаточленів вищих ступенів у тому випадку, коли коефіцієнти цих багаточленів – цілі числа, а корінь – раціональне число. Теорему можна переформулювати так: якщо нам відомо, що коефіцієнти многочлена - цілі числа, а коріння його - раціональні, то це раціональне коріння може бути тільки виду де p є дільником числа (вільного члена), а число q є дільником числа (старшого коефіцієнта) .

Теорема про ціле коріння,що містить у собі

Якщо ціле число α – корінь багаточлена з цілими коефіцієнтами, то α – дільник його вільного члена.

Доведення. Нехай:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

багаточлен з цілими коефіцієнтами і ціле число α - його корінь.

Тоді визначення кореня виконується рівність P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Виносячи загальний множник α за дужки, отримаємо рівність:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , звідки

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Оскільки числа a 0 , a 1 ,…a n-1 , an і α -цілі, то дужці стоїть ціле число, отже, a n ділиться, на α, як і вимагалося довести.

Доведена теорема може бути сформульована й у такий спосіб: всякий цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником його вільного члена.
На теоремі заснований алгоритм пошуку цілого коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами: виписати всі дільники вільного члена і по черзі виписати значення багаточленів цих чисел.

2.Додаткова теорема про ціле коріння

Якщо ціле число α-корінь багаточлена P(x) з цілими коефіцієнтами, то α-1-ділитель числа P(1), α+1-ділитель числа P(-1)

Доведення.З тотожності

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

випливає, що з цілих чисел b і c число bⁿ-cⁿ ділиться на b∙c. Але для будь-якого багаточлена P різниця

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

і, отже, для многочлена P з цілими коефіцієнтами і цілих чисел b і c різниця P(b)-P(c) поділяється на b-c.

Потім: при b = α, з = 1, P (α)-P (1) = -P (1), а значить, P (1) ділиться на α-1. Аналогічно розглядається другий випадок.

Схема Горнера

Теорема:Нехай нескоротний дріб p/q є коренем рівняння a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 з цілими коефіцієнтами, тоді число q є дільником старшого коефіцієнта a0, а число р є дільником вільного члена an.

Зауваження 1. Будь-який корінь рівняння з цілими коефіцієнтами є дільником його вільного члена.

Зауваження 2.Якщо старший коефіцієнт рівняння з цілими коефіцієнтами дорівнює 1, всі раціональні коріння, якщо вони існують - цілі.

Корінь багаточлена.Коренем багаточлена f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , таке, що f (c)=0 .

Примітка 3.Якщо x = c корінь багаточлена , то багаточлен можна записати у вигляді: f(x)=(x−c)q(x) , де це приватне від поділу багаточлена f(x) на одночлен x - c

Розподіл багаточлена на одночлен можна виконати за схемою Горнера:

Якщо f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x−c , то при розподілі f (x) на g (x) приватне q(x) має вигляд q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , де b 0 =a 0 ,

b k = c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1.Залишок r знаходиться за формулою r=c b n − 1 +a n

Рішення:Коефіцієнт при старшому ступені дорівнює 1, тому цілі корені рівняння треба шукати серед дільників вільного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. використовуючи схему Горнера, знайдемо цілі корені рівняння:

Якщо один корінь підібраний за схемою Горнера. то можна далі вирішувати так x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3

Доведено, що для розкладання багаточлена на множники потрібно знайти його коріння. Формули коріння квадратного багаточлена. Метод знаходження цілого коріння. Метод розкладання на множники біквадратного багаточлена і які до квадратним. Поворотні багаточлени.

Основа методу

Нехай

- багаточлен ступеня n ≥ 1 від дійсної чи комплексної змінної z з дійсними чи комплексними коефіцієнтами a i . Приймемо докази таку теорему.

Теорема 1

Рівняння P n (z) = 0має хоча б один корінь.

Доведемо наступну лему.

Лемма 1

Нехай P n (z)- багаточлен ступеня n, z 1 - корінь рівняння:
P n (z 1) = 0.
Тоді P n (z)можна уявити єдиним способом у вигляді:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
де P n- 1 (z)- багаточлен ступеня n - 1 .

Доведення

Для доказу, застосуємо теорему (див. Розподіл та множення багаточлена на багаточлен куточком та стовпчиком), згідно з якою для будь-яких двох багаточленів P n (z)і Q k (z), ступенів n і k , причому n ≥ k існує єдине уявлення у вигляді:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
де P n-k (z)- багаточлен ступеня n-k, U k- 1 (z)- багаточлен ступеня не вище k- 1 .

Покладемо k = 1 , Q k (z) = z - z 1тоді
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
де c – постійна. Підставимо сюди z = z 1 та врахуємо, що P n (z 1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Звідси c = 0 . Тоді
P n ,
що і потрібно було довести.

Отже, на підставі теореми 1 багаточлен P n (z)має хоча б один корінь. Позначимо його як z 1 , P n (z 1) = 0. Тоді на підставі леми 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Далі, якщо n > 1 , то многочлен P n- 1 (z)також має хоча б один корінь, який позначимо як z 2 , P n- 1 (z 2) = 0. Тоді
P n- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Продовжуючи цей процес, ми приходимо до висновку, що існує n чисел z 1, z 2, ..., z nтаких, що
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Але P 0 (z)– це постійна. Прирівнюючи коефіцієнти при z n , знаходимо, що вона дорівнює a n . В результаті одержуємо формулу розкладання багаточлена на множники:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Числа z i є корінням багаточлена P n (z).

У загальному випадку не всі z i , що входять до (1) , Різні. Серед них можуть бути однакові значення. Тоді розкладання багаточлена на множники (1) можна записати у вигляді:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Тут z i ≠ z j при i ≠ j. Якщо n i = 1 , то корінь z i називається простим. Він входить у розкладання на множники у вигляді (z-z i ). Якщо n i > 1 , то корінь z i називається кратним коренем кратності n i . Він входить у розкладання на множники у вигляді добутку n i простих множників: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Багаточлени з дійсними коефіцієнтами

Лемма 2

Якщо - комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то комплексно пов'язане число також є коренем многочлена, .

Доведення

Справді, якщо , і коефіцієнти многочлена - дійсні числа, то .

Таким чином, комплексне коріння входить у розкладання на множниками парами зі своїми комплексно пов'язаними значеннями:
,
де , - Реальні числа.
Тоді розкладання (2) багаточлена з дійсними коефіцієнтами на множники можна подати у вигляді, в якому присутні тільки дійсні постійні:
(3) ;
.

Методи розкладання багаточлена на множники

З урахуванням сказаного вище, для розкладання многочлена на множники потрібно знайти все коріння рівняння P n (z) = 0 і визначити їхню кратність. Множники з комплексним корінням потрібно згрупувати з комплексно сполученим. Тоді розкладання визначається за формулою (3) .

Таким чином, метод розкладання багаточлена на множники полягає в наступному:
1. Знаходимо корінь z 1 рівняння P n (z 1) = 0.
2.1. Якщо корінь z 1 дійсний, то в розкладання додаємо множник (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1 (z), починаючи з пункту (1) , Поки не знайдемо все коріння.
2.2. Якщо корінь комплексний, те й комплексно сполучене число є коренем багаточлена. Тоді до розкладання входить множник

,
де b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
У цьому випадку, в розкладання додаємо множник (z 2 + b 1 z + c 1)і ділимо багаточлен P n (z) на (z 2 + b 1 z + c 1). В результаті отримуємо багаточлен ступеня n - 2 :
.
Далі повторюємо процес для многочлена P n- 2 (z), починаючи з пункту (1) , Поки не знайдемо все коріння.

Знаходження коріння багаточлена

Головним завданням, при розкладанні многочлена на множники, є його коріння. На жаль, не завжди це можна зробити аналітично. Тут ми розберемо кілька випадків, коли можна знайти коріння багаточлену аналітично.

Коріння багаточлена першого ступеня

Багаточлен першого ступеня – це лінійна функція. Вона має один корінь. Розкладання має тільки один множник, що містить змінну z:
.

Коріння багаточлена другого ступеня

Щоб знайти коріння багаточлена другого ступеня, потрібно розв'язати квадратне рівняння:
P 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Якщо дискримінант , то рівняння має два дійсні корені:
, .
Тоді розкладання на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант D = 0 , то рівняння має один дворазовий корінь:
;
.
Якщо дискримінант D< 0 , то коріння рівняння комплексне,
.

Багаточлени ступеня вище за другий

Існують формули для знаходження коренів багаточленів 3-го і 4-го ступенів. Проте ними рідко користуються, оскільки вони є громіздкими. Формул для знаходження коренів багаточленів ступеня вище 4-го немає. Незважаючи на це, в деяких випадках вдається розкласти багаточлен на множники.

Знаходження цілого коріння

Якщо відомо, що багаточлен, у якого коефіцієнти - цілі числа, має цілий корінь, його можна знайти, перебравши всі можливі значення.

Лемма 3

Нехай багаточлен
,
коефіцієнти a i якого - цілі числа, що має цілий корінь z 1 . Тоді цей корінь є дільником числа a 0 .

Доведення

Перепишемо рівняння P n (z 1) = 0у вигляді:
.
Тоді - ціле,
M z 1 = - a 0.
Розділимо на z 1 :
.
Оскільки M – ціле, то і – ціле. Що і потрібно було довести.

Тому, якщо коефіцієнти многочлена - цілі числа, можна спробувати знайти цілі коріння. Для цього потрібно знайти всі дільники вільного члена 0 і, підстановкою рівняння P n (z) = 0, перевірити, чи є вони корінням цього рівняння.
Примітка. Якщо коефіцієнти многочлена - раціональні числа, то помножуючи рівняння P n (z) = 0на загальний знаменник чисел a i отримаємо рівняння для многочлена з цілими коефіцієнтами.

Знаходження раціонального коріння

Якщо коефіцієнти многочлена - цілі числа і цілих коренів немає, то за a n ≠ 1 , можна спробувати знайти раціональне коріння. Для цього потрібно зробити підстановку
z = y/a n
і помножити рівняння на a n n- 1 . В результаті ми отримаємо рівняння для багаточлена від змінної y з цілими коефіцієнтами. Далі шукаємо ціле коріння цього багаточлена серед дільників вільного члена. Якщо ми знайшли такий корінь y i , то перейшовши до змінної x , отримуємо раціональний корінь
z i = y i / a n.

Корисні формули

Наведемо формули, з допомогою яких можна розкласти многочлен на множники.

У більш загальному випадку, щоб розкласти багаточлен
P n (z) = z n - a 0,
де a 0 - комплексне, потрібно знайти все його коріння, тобто розв'язати рівняння:
z n = a 0 .
Це рівняння легко вирішується, якщо виразити a 0 через модуль r і аргумент?
.
Оскільки a 0 не зміниться, якщо до аргументу додати 2 π, то представимо a 0 у вигляді:
,
де k – ціле. Тоді
;
.
Присвоюючи значення k k = 0, 1, 2, ... n-1, Отримуємо n коренів многочлена. Тоді його розкладання на множники має вигляд:
.

Біквадратний багаточлен

Розглянемо біквадратний багаточлен:
.
Біквадратний багаточлен можна розкласти на множники, без коріння.

При , маємо:

,
де.

Бікубічний та багаточлени, що приводяться до квадратного

Розглянемо багаточлен:
.
Його коріння визначається з рівняння:
.
Воно наводиться до квадратного рівняння підстановкою t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Вирішивши це рівняння, знайдемо його коріння, t 1 , t 2 . Після чого знаходимо розкладання у вигляді:
.
Далі методом, наведеним вище, розкладаємо на множники z n - t 1 і z n - t 2 . У висновку групуємо множники, що містять комплексно пов'язані корені.

Поворотні багаточлени

Багаточлен називається зворотнимякщо його коефіцієнти симетричні:

Приклад зворотного багаточлена:
.

Якщо ступінь зворотного многочлена n - непарна, такий многочлен має корінь z = -1 . Розділивши такий багаточлен на z + 1 , отримаємо зворотний багаточлен ступеня n - 1 .
Якщо ступінь зворотного многочлена n - парна, то підстановкою він приводиться до многочлена ступеня n/ 2 . Див.

Багаточлен від змінної х називається вираз виду: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 де n - натуральне число; аn, an-1, . . . , a 1, a 0 – будь-які числа, звані коефіцієнтами цього многочлена. Вирази anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 називаються членами многочлена, а 0 - вільним членом. an - коефіцієнт при хn, аn-1 - коефіцієнт при хn-1 і т. д. Багаточлен, у якого всі коефіцієнти дорівнюють нулю, називається нульовим. наприклад, багаточлен 0х2+0х+0 - нульовий. З запису многочлена видно, що складається з кількох членів. Звідси і походить термін «багаточлен» (багато членів). Іноді багаточлен називають поліномом. Цей термін походить від грецьких слів πολι - багато і νομχ - член.

Багаточлен від однієї змінної х позначається: . f (x), g (x), h (x) і т. д. наприклад, якщо перший наведених вище багаточленів позначити f (x), то можна записати: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Багаточлен h(x) називається найбільшим спільним дільником багаточленів f(x) та g(x), якщо він ділить f(x), g(x) і кожен їх загальний дільник. 2. Багаточлен f(x) з коефіцієнтами з поля Р ступеня п називається приводним над полем Р, якщо існують багаточлени h(x), g(x) Î P[x] ступеня меншого п такі, що f(x) = h( x) g (x).

Якщо є багаточлен f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 і an≠ 0, то число n називають ступенем багаточлена f(x) (або кажуть: f(x) - n-го ступеня) і пишуть ст. f(x) = n. І тут an називається старшим коефіцієнтом, а anxn - старшим членом даного многочлена. Наприклад, якщо f(x) = 5 x 4 -2 x +3, то ст. f(x) = 4, старший коефіцієнт – 5, старший член – 5 х4. Ступінь многочлена – це найбільший із номерів його коефіцієнтів, відмінних від нуля. Багаточлени нульового ступеня – це числа, відмінні від нуля. нульовий багаточлен ступеня не має; багаточлен f(x) = a, де а - число, відмінне від нуля, має ступінь 0; ступінь ж будь-якого іншого многочлена, що дорівнює найбільшому показнику ступеня змінної х, коефіцієнт при якій дорівнює нулю.

Рівність багаточленів. Два багаточлени f(x) і g(x) вважаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях змінної х і вільні члени (рівні їх відповідні коефіцієнти). f(x) = g(x). Наприклад, багаточлени f(x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 і g(x) =2 x 23 x+1 не рівні, у першого з них коефіцієнт при х3 дорівнює 1, а у другого - нулю ( згідно з прийнятими умовностями ми можемо записати: g (x) = 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. У цьому випадку: f (x) ≠ g (x). x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, оскільки вони коефіцієнти при х різні.

А ось багаточлени f 1 (x) = 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) = 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 рівні тоді і тільки тоді, коли а = 3, а b = -2. Нехай дані багаточлен f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 та деяке число с. Число f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 називається значенням многочлена f(x) при х = с. Таким чином, щоб знайти f (c), багаточлен замість х потрібно підставити з і провести необхідні обчислення. Наприклад, якщо f(x) = 2x3+3x2-x+5, то f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Багаточлен при різних значеннях змінної х може набувати різних значень. Число називається коренем многочлена f (x), якщо f (c) =0.

Звернімо увагу на різницю між двома твердженнями: "багаточлен f(x) дорівнює нулю (або, що те ж саме, багаточлен f(x) - нульовий)" і "значення многочлена f(x) при х=з дорівнює нулю". Наприклад, многочлен f (x) = x 2 -1 не дорівнює нулю, він має ненульові коефіцієнти, яке значення при х=1 дорівнює нулю. f(x) ≠ 0, а f(1) =0. Між поняттями рівності багаточленів та значення багаточлена існує тісний взаємозв'язок. Якщо дані два рівних многочлена f(x) і g(x), то їх відповідні коефіцієнти рівні, а значить, f(c) = g(c) для кожного числа с.

Операції над многочленами Багаточлени можна складати, віднімати та множити за звичайними правилами розкриття дужок та приведення подібних членів. При цьому в результаті знову виходить багаточлен. Зазначені операції мають відомі властивості: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x), f (x) g (x) = g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) + h (x)) = f (x) g (x) + f (x) h (x).

Нехай дано два багаточлени f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, і g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Зрозуміло, що ст. f(x)=n, а ст. g(x) = m. Якщо перемножити ці два многочлени, вийде багаточлен виду f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Оскільки an≠ 0 і bn≠ 0, то anbm≠ 0, отже, ст. (f(x)g(x))=m+n. Звідси випливає важливе твердження.

Ступінь добутку двох ненульових багаточленів дорівнює сумі ступенів співмножників, ст. (f(x)g(x)) = ст. f(x) +ст. g(x). Старший член (коефіцієнт) твору двох ненульових багаточленів дорівнює добутку старших членів (коефіцієнтів) співмножників. Вільний член твору двох багаточленів дорівнює твору вільних членів співмножників. Ступені багаточленів f(x), g(x) та f(x) ±g(x) пов'язані наступним співвідношенням: ст. (f (x) ± g (x)) ≤ max (ст. f (x), ст. g (x)).

Суперпозицією багаточленів f(x) та g(x) називається. багаточлен, що позначається f (g (x)), який виходить якщо в многочлен f (x) замість x підставити многочлен g (x). Наприклад, якщо f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, то f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3)2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1)+ 3=2 x 2+4 x+1. Видно, що f(g(x)) ≠g(f(x)), тобто суперпозиція багаточленів f(x), g(x) та суперпозиція багаточленів g(x), f(x) різні. Таким чином, операція суперпозиції не має властивості переміщування.

, Алгоритм поділу із залишком Для будь-яких f(x), g(x) існують q(x) (приватне) і r(x) (залишок), такі, що f(x)=g(x)q(x)+ r(x), причому ступінь r(x)

Дільники многочлена Дільник багаточлена f(x) - багаточлен g(x), такий, що f(x)=g(x)q(x). Найбільший спільний дільник двох багаточленів Найбільший спільний дільник багаточленів f(x) і g(x) - такий їхній спільний дільник d(x), який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник.

Алгоритм Евкліда (алгоритм послідовного поділу) знаходження найбільшого загального дільника багаточленів f(x) та g(x) Тоді - найбільший спільний дільник f(x) та g(x).

Зменшити дріб Рішення: Знайдемо НОД даних багаточленів, застосовуючи алгоритм Евкліда 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 2) х3 + 7 х2 + 14 х + 8 х3 + 3 х2 + 2 х – х2 – 3 х – 2 –х– 4 4 х2 + 12 х + 8 0 Отже, багаточлен (– х2 – 3 х – 2) є НОД чисельника та знаменника даного дробу. Результат поділу знаменника цей многочлен відомий.

Знайдемо результат поділу чисельника. x 3 + 6 х2 + 11 х + 6 - х2 - 3 х - 2 х3 + 3 х2 + 2 х - х - 3 3 х2 + 9 х + 6 0 Таким чином, Відповідь:

Схема Горнера Розділити із залишком многочлен f(x) на ненульовий багаточлен g(x) - це означає уявити f(x) у вигляді f(x)=g(x) s(x)+r(x), де s(x) ) і r(x) -багаточлени і або r(x) = 0, або ст. r(x)

Багаточлени, що стоять у лівій та правій частинах цього співвідношення, рівні, а отже, рівні їхні відповідні коефіцієнти. Прирівняємо їх, розкривши попередньо дужки та привівши подібні члени у правій частині цієї рівності. Отримаємо: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0. Нагадаємо, що потрібно знайти неповне приватне, тобто його коефіцієнти і залишок. Виразимо їх із отриманих рівностей: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Ми знайшли формули, якими можна обчислювати коефіцієнти неповного приватного s (x) і залишок r. При цьому обчислення оформлюються у вигляді наступної таблиці; вона називається схемою Горнера.

Таблиця 1. Коефіцієнти f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Коефіцієнти s(x) залишок У перший рядок цієї таблиці записують поспіль усі коефіцієнти многочлена f(x), залишаючи першу клітину вільною. У другому рядку у першій клітині записують число c. Решта клітин цього рядка заповнюють, обчислюючи один за одним коефіцієнти неповного приватного s (x) і залишок r. У другій клітині записують коефіцієнт bn-1, який, як ми встановили, дорівнює an.

Коефіцієнт, що стоять у кожній наступній клітині, обчислюються за таким правилом: число c множиться на число, що стоїть у попередній клітині, і до результату додається число, що стоїть над клітиною, що заповнюється. Щоб запам'ятати, скажімо, п'яту клітину, т. е. знайти що стоїть у ній коефіцієнт, потрібно c помножити на число, що у четвертій клітині, і до результату додати число, що стоїть над п'ятою клітиною. Розділимо, наприклад, багаточлен f(x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 на х-2 із залишком, використовуючи схему Горнера. При заповненні першого рядка цієї схеми не можна забувати про нульові коефіцієнти многочлена. Так, коефіцієнти f(x) - це числа 3, 0, - 5, 3, - 1. І ще слід пам'ятати, що ступінь не повного приватного на одиницю менший від ступеня багаточлена f(x).

Отже, виконуємо розподіл за схемою Горнера: Таблиця 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Отримаємо неповне приватне s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 та залишок r=33. зауважимо, що ми обчислили значення многочлена f (2) =33. Розділимо тепер той самий багаточлен f(x) на х+2 із залишком. У цьому випадку с=-2. отримаємо: Таблиця 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 В результаті маємо f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) +21 .

Коріння многочленів Нехай с1, с2, …, сm - Різне коріння многочлена f(x). Тоді f(x) ділиться на х-с1, тобто f(x) = (x-c1) s1(x). Покладемо у цій рівності х=с2. Отримаємо f(c2) = (c2-c1) s1(c2) і, так f(c2) =0, то (с2-с1) s1(c2) =0. Але с2≠с1, тобто с2 -с1≠ 0, а значить, s 1 (c 2) = 0. Отже, с2 - корінь многочлена s 1 (x). Звідси випливає, що s1(x) ділиться на х-с2, тобто s1(x) = (x-c2) s2(x). Підставимо отриманий вираз для s 1 (x) у рівність f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Маємо f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Поклавши в останній рівності х = с3 з урахуванням того, що f (c 3) = 0, с3 с1, с3 с2, отримаємо, що с3 - корінь многочлена s 2 (x). Значить, s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), а тоді f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) і т. д. Продовживши ці міркування для коренів, що залишилися, с4, с5, …, сm, ми, нарешті, отримаємо f(x) = (x-c 1) (x-c 2) … (х-сm) sm (x), тобто доведено формулюване нижче твердження.

Якщо с1, с2, …, сm - різне коріння многочлена f(x), то f(x) можна подати у вигляді f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x). Звідси випливає важливе слідство. Якщо с1, с2, …, сm-різне коріння многочлена f(x), то f(x) ділиться на многочлен (х-с1) (х-с2) … (х-сm). Число різних коренів ненульового многочлена f(x) не більше, ніж його ступінь. Справді, якщо f(x) коріння немає, то ясно, що теорема вірна, бо ст. f(x) ≥ 0. Нехай тепер f(x) має m коріння с1, с2, …, сm, причому всі вони різні. Тоді, тільки що доведеному f (x) ділиться на (х-с1) (х -с2) ... (х-сm). У разі ст. f(x)≥ст. ((Х-С1) (Х-С2) ... (Х-Сm)) = ст. (х-с1) + ст. (Х-С2) + ... + Ст. (х-сm) = m, тобто ст. f(x)≥m, а m - це число коренів багаточлена, що розглядається. А ось у нульового багаточлена нескінченно багато коренів, адже його значення для будь-якого х дорівнює 0. Зокрема, з цієї причини йому і не наказують жодного певного ступеня. З щойно доведеної теореми випливає таке твердження.

Якщо многочлен f(x) не є багаточленом ступеня, більшим, ніж n, і має більше, ніж n коренів, то f(x) - нульовий многочлен. Насправді, з умов цього твердження випливає, що f (x) - нульовий многочлен, або ст. f(x) ≤n. Якщо припустити, що многочлен f(x) не нульовий, то ст. f(x) ≤n, і тоді f(x) має не більше, ніж n коренів. Приходимо до суперечності. Значить, f(x) – ненульовий багаточлен. Нехай f(x) і g(x) - ненульові багаточлени ступеня, не більшого, ніж n. Якщо ці многочлени набувають однакових значень при n+1 значенні змінної х, то f (x) = g (x).

Для доказу розглянемо багаточлен h(x) = f(x) – g(x). Зрозуміло, що - або h(x) = 0, або ст. h (x) ≤n, тобто h (x) не є багаточленом ступеня, більшим, ніж n. Нехай тепер число таке, що f (c) = g (c). Тоді h(c) = f(c) - g(c) = 0, тобто з - корінь многочлена h(x). Отже, багаточлен h(x) має n+1 корінь, а коли, як щойно доведено, h(x) = 0, тобто f(x) = g(x). Якщо ж f(x) і g(x) набувають однакових значень при всіх значеннях змінної х, то ці багаточлени рівні

Кратні корені багаточлена Якщо число є коренем багаточлена f (x), цей многочлен, як відомо, ділиться на х-с. Може статися, що f (x) ділиться і якусь ступінь многочлена х-с, т. е. на (х-с) k, k>1. У цьому випадку називають кратним коренем. Сформулюємо визначення чіткіше. Число називається коренем кратності k (k-кратним коренем) многочлена f (x), якщо многочлен ділиться на (х-с) k, k>1 (k - натуральне число), але не ділиться на (х-с) k+ 1. Якщо k=1, то називають простим коренем, а якщо k>1, - кратним коренем многочлена f (x).

Якщо многочлен f(x) представимо як f(x)=(x-c)mg(x), m - натуральне число, він ділиться на (х-с) m+1 і тоді, коли g(x) ділиться на х-с. Справді, якщо g(x) ділиться на х-с, тобто g(x)=(x-c)s(x), то f(x)=(x-c) m+1 s(x), а отже, f(x) поділяється на (х-с) m+1. Назад, якщо f(x) ділиться на (х-с) m+1, то f(x)=(x-c) m+1 s(x). Тоді (x-c) mg (x) = (x-c) m + 1 s (x) і після скорочення на (х-с) m отримаємо g (x) = (x-c) s (x). Звідси випливає, що g(x) поділяється на х-с.

З'ясуємо, наприклад, чи є число 2 коренем багаточлена f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, і якщо так, то знайдемо його кратність. Щоб відповісти на перше запитання, перевіримо за допомогою схеми Ґорнера, чи ділиться f(x) на х-2. маємо: Таблиця 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Як бачимо, залишок при розподілі f(x) на х-2 дорівнює 0, тобто ділиться на х-2. Значить, 2-корінь цього многочлена. Крім того, ми отримали, що f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Тепер з'ясуємо, чи є f(x) на (х-2) 2. Це залежить, як ми щойно довели, від ділимості многочлена g(x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12 на х-2.

Знову скористаємося схемою Горнера: Таблиця 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Отримали, що g(x) ділиться на х-2 та g(x)=(x-2)(x 3 -x2 -5x +6). Тоді f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Отже, f(x) ділиться на (х-2) 2 тепер потрібно з'ясувати, чи ділиться f(x) на (x-2)3. Для цього перевіримо, чи ділиться h(x) = x 3 -x 2 -5 x+6 на х-2: Таблиця 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Отримаємо, що h(x) ділиться на х-2, отже, f(x) ділиться на (х-2) 3, і f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Далі аналогічно перевіряємо, чи ділиться f(x) на (х-2)4, тобто чи ділиться s(x)=x 2+x-3 на х-2: Таблиця 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Знаходимо, що залишок при розподілі s(x) на х-2 дорівнює 3, тобто s(x) не поділяється на х-2. Отже, f(x) не поділяється на (х-2) 4. Таким чином, f(x) поділяється на (х-2)3, але не поділяється на (х-2)4. Отже, число 2 є коренем кратності багаточлену 3 f(x).

Зазвичай перевірку кореня на кратність виконують лише у таблиці. Для даного прикладу ця таблиця має такий вигляд: Таблиця 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Іншими словами, за схемою Горнер поділ багаточлена f (x) на х-2, в другому рядку ми отримаємо коефіцієнти многочлена g (x). Потім цей другий рядок вважаємо першим рядком нової системи Горнера і виконуємо розподіл g (x) на х-2 і т. д. продовжуємо обчислення до тих нір, поки не отримаємо залишок, відмінний від нуля. У цьому випадку кратність кореня дорівнює кількості отриманих нульових залишків. У рядку, що містить останній ненульовий залишок, знаходиться і коефіцієнти частки при розподілі f (x) на (x-2) 3.

Тепер, використовуючи щойно запропоновану схему перевірки кореня на кратність, вирішимо наступне завдання. При яких a та b багаточлен f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 має число - 2 коренем кратності 2? Так кратність кореня - 2 повинна дорівнювати 2, то, виконуючи розподіл на х+2 за запропонованою схемою, ми повинні двічі отримати залишок 0, а втретє - залишок, відмінний від нуля. Маємо: Таблиця 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa а+4 а+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Таким чином, число - 2 є коренем кратності 2 вихідного багаточлена тоді і лише тоді, коли

Раціональне коріння многочлена Якщо нескоротний дріб l/m (l, m - цілі числа) є коренем багаточлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то старший коефіцієнт цього многочлена ділиться на m, а вільний член - на 1. Справді, якщо f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, де an, an-1, . . . , a 1, a 0 - цілі числа, то f(l/m) = 0, тобто аn(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Помножимо обидві частини цієї рівності на mn. Отримаємо anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Звідси випливає anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Бачимо, ціле число anln ділиться на m. Але l/m - нескоротний дріб, тобто числа l і m взаємно прості, а тоді, як відомо з теорії подільності цілих чисел, числа ln і m теж взаємно прості. Отже, anln ділиться на m і m взаємно прості з ln, отже, an ділиться на m. Знайдемо раціональне коріння багаточлена f(x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Відповідно до теореми, раціональне коріння цього многочлена знаходиться серед нескоротних дробів виду l/m, де l - дільник вільного члена a 0 = 8, а m - дільник старшого коефіцієнта a 4 = 6. при цьому, якщо дріб l/m - негативний, то знак "-" відноситимемо до чисельника. Наприклад, - (1/3) = (-1)/3. Отже, можемо сказати, що l - дільник числа 8, а m - позитивний дільник числа 6.

Оскільки дільники числа 8 - це ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а позитивними дільниками числа 6 будуть 1, 2, 3, 6, то раціональне коріння розглянутого багаточлена знаходиться серед чисел ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. нагадаємо, що ми виписали лише нескоротні дроби. Таким чином, ми маємо двадцять чисел - "кандидатів" корінням. Залишилося тільки перевірити кожне з них і відібрати ті, які справді є корінням. Наступна теорема полегшує цю роботу. Якщо нескоротний дріб l/m є коренем багаточлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то f(k) ділиться на l-km для будь-якого цілого числа k за умови, що l-km≠0.

Для доказу цієї теореми розділимо f(x) на x-k із залишком. Отримаємо f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Оскільки f(x) - багаточлен з цілими коефіцієнтами, то таким є багаточлен s(x), а f(k) - ціле число. Нехай s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Тоді f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Покладемо у цій рівності 1 x=l/m. Враховуючи, що f(l/m)=0, отримуємо f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Помножимо обидві частини останньої рівності на mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1). Звідси випливає, що число mnf (k) ділиться на l-km. Але оскільки l і m взаємно прості, то mn і l-km теж взаємно прості, отже, f(k) ділиться на l-km. Теорему доведено.

Повернемося до нашого прикладу і, використавши доведену теорему, ще більше звузимо коло пошуків раціонального коріння. Застосуємо зазначену теорему при k=1 і k=-1, тобто якщо нескоротний дріб l/m є коренем багаточлена f(x), то f(1)/(l-m), а f(-1)/(l +m). Легко знаходимо, що у разі f(1)=-5, а f(-1)= -15. Зауважимо, що заразом ми виключили з розгляду ± 1. Отже раціональне коріння нашого багаточлена слід шукати серед чисел ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Розглянемо l/m=1/2. Тоді l-m=-1 та f(1)=-5 ділиться на це число. Далі, l+m=3 і f(1) =-15 так само ділиться на 3. Значить, дріб 1/2 залишається серед "кандидатів" у корені.

Нехай тепер lm=-(1/2)=(-1)/2. У цьому випадку l-m=-3 і f(1) =-5 не ділиться на - 3. Значить, дріб -1/2 не може бути коренем даного багаточлена, і ми виключаємо його з подальшого розгляду. Виконаємо перевірку для кожного з виписаних вище дробів, отримаємо, що коріння знаходиться серед чисел 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Таким чином, досить-таки простим прийомом ми значно звузили область пошуку раціональних коренів розглянутого многочлена. Ну, а для перевірки чисел, що залишилися, застосуємо схему Горнера: Таблиця 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Бачимо, що 1/2 - корінь багаточлена f(x) і f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 х 2 -8 х-8). Зрозуміло, що й інші коріння многочлена f(x) збігаються з корінням многочлена g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, отже, подальшу перевірку " кандидатів " в корені можна проводити вже цього многочлена. Знаходимо: Таблиця 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Отримали, що залишок при розподілі g(x) на x-2/3 дорівнює - 80/9, тобто. 2/3 не є коренем многочлена g(x), отже, і f(x). Далі знаходимо, що - 2/3 - корінь многочлена g(x) та g(x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Тоді f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Подальшу перевірку можна проводити для многочлена x 2+2 x-4, що звичайно простіше, ніж для g (x) або тим більше для f (x). В результаті отримаємо, що числа 2 і - 4 корінням не є. Отже, багаточлен f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 має два раціональні корені: 1/2 і - 2/3. Цей метод дає можливість знаходити лише раціональне коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами. Тим часом багаточлен може мати і ірраціональне коріння. Так, наприклад, розглянутий у прикладі багаточлен має ще два корені: - 1±√5 (це коріння багаточлена х2+2 х-4). многочлен може і зовсім не мати раціонального коріння.

При випробуванні "кандидатів" у корені многочлена f(x) за допомогою другої з доведених вище теорем зазвичай використовують останню для випадків k=± 1. Іншими словами, якщо l/m - "кандидат" у корені, то перевіряють, чи f( 1) і f(-1) на l-m та l+m відповідно. Але може статися, що, наприклад, f(1) =0, т. е. 1 - корінь, тоді f(1) ділиться будь-яке число, і перевірка втрачає сенс. У цьому випадку слід розділити f(x) на x-1, тобто отримати f(x)=(x-1)s(x) і проводити випробування для многочлена s(x). При цьому слід забувати, що один корінь многочлена f(x)-x 1=1 - ми вже знайшли. Якщо перевірці "кандидатів" у корені, що залишилися після використання другої теореми про раціональне коріння, за схемою Горнера отримаємо, що, наприклад, l/m - корінь, то слід знайти його кратність. Якщо вона дорівнює, скажімо, k, то f(x)=(x-l/m) ks(x), і подальшу перевірку можна виконувати для s(x), що скорочує обчислення.

Рішення. Виконавши заміну змінної y=2 x, перейдемо до многочлена з коефіцієнтом рівним одиниці за старшого ступеня. Для цього спочатку домножимо вираз на 4. Якщо отримана функція має ціле коріння, то вони знаходяться серед дільників вільного члена. Запишемо їх: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Обчислимо послідовно значення функції g(y) у цих точках до отримання нуля. Тобто, y=-5 є коренем, отже, є коренем вихідної функції. Проведемо поділ стовпчиком (кутом) багаточлена на двочлен

Перевірку дільників, що залишилися, продовжувати недоцільно, так як простіше розкласти на множники отриманий квадратний тричлен Отже,

Використання формул скороченого множення і бінома Ньютона для розкладання багаточлена на множники Іноді зовнішній вигляд багаточлена наводить на думку про спосіб його розкладання на множники. Наприклад, після нескладних перетворень коефіцієнти вишиковуються в рядок з трикутника Паскаля для коефіцієнтів бінома Ньютона. приклад. Розкласти багаточлен на множники.

Рішення. Перетворюємо вираз до виду: Послідовність коефіцієнтів суми в дужках явно вказують, що це є Отже, Тепер застосуємо формулу різниці квадратів: Вираз у другій дужці дійсний коренів не має, а для багаточлена з першої дужки ще раз застосуємо формулу різниці квадратів

Формули Виета виражають коефіцієнти многочлена через його коріння. Цими формулами зручно користуватися для перевірки правильності знаходження коренів багаточлена, а також для складання многочлена за його корінням. Формулювання Якщо коріння многочлена то коефіцієнти виражаються у вигляді симетричних багаточленів від коренів, а саме

Іншими словами ak дорівнює сумі всіх можливих творів з k коренів. Якщо старший коефіцієнт многочлена, то застосування формули Вієта необхідно попередньо розділити всі коефіцієнти на a 0. І тут формули Виета дають вираз відносин всіх коефіцієнтів до старшому. З останньої формули Вієта випливає, що якщо коріння багаточлена цілечисленне, то вони є дільниками його вільного члена, який також цілочисленний. Доказ здійснюється розглядом рівності, отриманої розкладанням багаточлена по корінням, враховуючи, що a 0 = 1 Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x одержуємо формули Вієта.

Розв'язати рівняння x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Розв'язання. Позначимо y = x 3, тоді вихідне рівняння набуває вигляду y 2 – 5 y + 4 = 0, вирішивши яке отримуємо Y 1 = 1; Y 2 = 4. Отже, вихідне рівняння еквівалентно сукупності рівнянь: x 3 = 1 чи x 3 = 4, т. е. X 1 = 1 чи X 2 = Відповідь: 1;

Теорема Безу Визначення 1. Елемент називається коренем багаточлена, якщо f(c)=0. Теорема Безу. Залишок від поділу полінома Pn(x) на двочлен (x-a) дорівнює значенню цього полінома при x = a. Доведення. У силу алгоритму розподілу f(x)=(xc)q(x)+r(x), де або r(x)=0, або тому. Отже, f(x)=(x-c)q(x)+r, отже, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, і тому f(x)=(xc)q(x) +f(c).

Наслідок 1: Залишок від поділу полінома Pn (x) на двочлен ax+b дорівнює значенню цього полінома при x = -b/a, тобто R = Pn (-b/a). Наслідок 2: Якщо число a є коренем многочлена P (x), цей многочлен ділиться на (x-a) без залишку. Наслідок 3: Якщо многочлен P(x) має попарно різне коріння a 1 , a 2 , … , an, він ділиться на твір (x-a 1) … (x-an) без залишку. Наслідок 4: Багаточлен ступеня n має трохи більше n різних коренів. Наслідок 5: Для будь-якого многочлена P(x) та числа a різниця (P(x)-P(a)) ділиться без залишку на двочлен (x-a). Наслідок 6: Число a є коренем многочлена P(x) ступеня не нижче першого і тільки тоді, коли P(x) ділиться на (x-a) без залишку.

Розклад раціонального дробу на найпростіші Покажемо, що будь-який правильний раціональний дріб можна розкласти на суму найпростіших дробів. Нехай дано правильний раціональний дріб (1).

Теорема 1. Нехай х=а є корінь знаменника стислості k, тобто , де f(a)≠ 0, тоді цей правильний дріб можна подати у вигляді суми двох інших правильних дробів наступним чином: (2) , де А- постійна не рівна нулю, а F 1(x) - багаточлен, ступінь якого нижче ступеня знаменника

Питання про знаходження раціонального коріння багаточлена f(x)Q[x] (з раціональними коефіцієнтами) зводиться до питання про відшукання раціонального коріння багаточленів k ∙ f(x)Z[x] (З цілими коефіцієнтами). Тут число kє найменшим загальним кратним знаменником коефіцієнтів даного багаточлена.

Необхідні, але не достатні умови існування раціонального коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами дає наступна теорема.

Теорема 6.1 (про раціональне коріння багаточлена з цілими коефіцієнтами). Якщо – раціональний корінь багаточленаf(x) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 з цілими коефіцієнтами, причому(p, q) = 1, то чисельник дробуpє дільником вільного члена а 0 , а знаменникqє дільником старшого коефіцієнта а 0 .

Теорема 6.2.Якщо Q ( де (p, q) = 1) є раціональним коренем багаточлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то
–цілі числа.

приклад.Знайти всі раціональні корнімного члена

f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 х+ 1.

1. За теоремою 6.1: якщо – раціональний корінь багаточлена f(x), (де( p, q) = 1), то a 0 = 1 p, a n = 6 q. Тому p { 1}, q (1, 2, 3, 6), отже,

.

2. Відомо, що (наслідок 5.3) число ає коренем багаточлена f(x) тоді і тільки тоді, коли f(x) ділиться на ( х – а).

Отже, для перевірки того, чи є числа 1 та –1 корінням багаточлена. f(x) можна скористатися схемою Горнера:

f(1) = 60,f(–1) = 120, тому 1 і -1 не є корінням багаточлена f(x).

3. Щоб відсіяти частину чисел, що залишилися
, скористаємося теоремою 6.2. Якщо вирази або
приймає цілі значення для відповідних значень чисельника pта знаменника q, то відповідних клітинах таблиці (див. нижче) будемо писати букву “ц”, інакше – “др”.

4. За допомогою схеми Горнера перевіряємо, чи будуть числа після відсіювання числа
корінням f(x). Спочатку розділимо f(x) на ( х – ).

В результаті маємо: f(x) = (х – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 х – 2) і – корінь f(x). Приватне q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 х – 2 розділимо на ( х + ).

Так як q (–) = 30, то (–) не є коренем багаточлена q(x), а значить і багаточлена f(x).

Нарешті, розділимо багаточлен q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 х – 2 на ( х – ).

Отримали: q () = 0, тобто корінь q(x), а значить, – корінь f (x). Таким чином, багаточлен f (x) має два раціональні корені: в.

Звільнення від ірраціональності алгебри в знаменнику дробу

У шкільному курсі при вирішенні деяких типів завдань на звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу достатньо примножити чисельник і знаменник дробу на число, що пов'язане з знаменником.

приклади. 1.t =
.

Тут у знаменнику спрацьовує формула скороченого множення (різниця квадратів), що дозволяє звільнитися від ірраціональності у знаменнику.

2. Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу

t =
. Вираз – неповний квадрат різниці чисел а=
і b= 1. Скориставшись формулою скороченого множення а 3 – b 3 = (а +b) · ( a 2 – ab + b 2 ), можна визначити множник m = (а +b) =
+ 1, на який слід домножувати чисельник та знаменник дробу t, щоб позбутися ірраціональності у знаменнику дробу t. Таким чином,

У ситуаціях, де формули скороченого множення працюють, можна використовувати інші прийоми. Нижче буде сформульовано теорему, доказ якої, зокрема, дозволяє знайти алгоритм звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу у складніших ситуаціях.

Визначення 6.1.Число zназивається алгебраїчним над полем F, якщо існує багаточлен f(x) F[x], корінням якого є z, інакше число zназивається трансцендентним над полемF.

Визначення 6.2.Алгебраїчним ступенем над полем F числа zназивається ступінь ненаведеного над полем Fбагаточлена p(x)F[x], корінням якого є число z.

приклад.Покажемо, що число z =
є алгебраїчним над полем Qі знайдемо його ступінь.

Знайдемо неприведений над полем Qбагаточлен p(х), корінням якого є x =
. Зведемо обидві частини рівності x =
у четвертий ступінь, отримаємо х 4 = 2 або х 4 – 2 = 0. Отже, p(х) = х 4 – 2, а ступінь числа zдорівнює deg p(х) = 4.

Теорема 6.3 (про звільнення від ірраціональності алгебри в знаменнику дробу).Нехайz- алгебраїчне число над полемFступеняn. Вираз видуt = ,де f(x), (x)F[x], (z) 0

єдиним чином може бути представлено у вигляді:

t = з n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Алгоритм звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу продемонструємо на конкретному прикладі.

приклад.Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу:

t =

1. Знаменником дробу є значення багаточлена (х) = х 2 – х+1 при х =
. У попередньому прикладі показано, що
- алгебраїчне число над полем Qступеня 4, так як воно є коренем ненаведеного над Qбагаточлена p(х) = х 4 – 2.

2. Знайдемо лінійне розкладання НОД ( (х), p(x)) за допомогою алгоритму Евкліда.

_ x 4 – 2 | x 2 - x + 1

x 4 - x 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x)

_ x 3 - x 2 – 2

x 3 - x 2 + x

x 2 - x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x - x + 3 = q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x)

Отже, НОД ( (х), p(x)) = r 2 = 7. Знайдемо його лінійне розкладання.

Запишемо послідовність Евкліда, використовуючи позначення багаточленів.

p(x) = (x) · q 1 (x) + r 1 (x)
r 1 (x) =p(x) – (x) · q 1 (x)