Знайти відстань між точкою та площиною інженерна. Визначення відстані між точкою і площиною, прямою і площиною, між площинами і прямими, що схрещуються.

Розглянемо алгоритм розв'язання задачі №3.

1. Із заданої точки P провести перпендикуляр t до площини α (площина α – площина фігури, побудованої в задачі №1); (·) PÎt; t ^ α (див. приклад 5.1).

2. Визначити точку перетину (точку T) перпендикуляра із площиною α; t ∩ α = (·) T (див. приклад 5.2).

3. Визначити натуральну величину │PT│ відстані від точки P до площини (див. приклад 5.3).

Розглянемо докладніше кожен пункт наведеного вище алгоритму на прикладах.

Приклад 5.1. З точки P провести перпендикуляр t до площини α, заданої трьома точками α (ABC) (рис. 5.1).

З теореми про перпендикулярність прямої та площини відомо, що якщо пряма t ^ α, то на епюрі її горизонтальна проекція t 1 перпендикулярна однойменної проекції горизонталі площини, тобто t 1 ^ h 1 , а її фронтальна проекція t 2 перпендикулярна до одноіменної є t 2 ^ f 2 . Тому вирішення завдання необхідно розпочати з побудови горизонталі та фро-нталі площини α, якщо вони не входять у задану площину. При цьому необхідно пам'ятати, що побудова будь-якої горизонталі треба починати з фронтальної проекції, так як фронтальна проекція h 2 горизонталі h завжди паралельна осі ОХ (h ​​2 ││ OX). А побудова будь-якої фронталі починають із горизонтальної проекції f 1 фронталі f, яка має бути паралельна осі ОХ (f 1 ││OX). Так, на рис. 5.1 через точку C проведено горизонталь C-1 (З 2 -1 2 ; З 1 -1 1), а через точку A проведено фронталь A-2 (A 1 -2 1 ; A 2 -2 2). Фронтальна проекція t 2 шуканого перпендикуляра t проходить через точку P 2 перпендикулярно до A 2 -2 2 а горизонтальна t 1 - через точку P 1 перпендикулярно до C 1 -1 1 .

Приклад 5.2. Визначити точку перетину перпендикуляра t з площиною α (тобто визначити основу перпендикуляра).

Нехай площина α задана двома прямими α, що перетинаються, (h ∩ f). Пряма t пер-пендикулярна до площини α, так як t 1 ^ f 1 , а

t 2 ^ f 2 . Для того щоб знайти основу пер-пендикуляра, необхідно здійснити такі побудови:

1. tÎb (b – допоміжна площина, що проектує). Якщо b – горизонтально-проецирующая площину, її вироджена гори-зонтальная проекція (горизонтальний слід b 1) збігається з горизонтальною проекцією t 1 прямою t, тобто b 1 ≡t 1 . Якщо b – фронтально-проецирующая площину, її вироджена фронтальна проекція (фронтальний слід b 2) збігається з фронтальної проекцією t 2 прямої t, тобто b 2 ≡ t 2 . У даному прикладі використана фронтально-проеціруюча площина (див. рис. 5.2).

2. α ∩ b = 1-2 – лінія перетину двох площин;

3. визначаємо точку T – основу перпендикуляра; (·) T = t ∩ 1-2.

Приклад 5.3. Визначити відстань від точки P до площини.

Відстань від точки P до площини визначається завдовжки відрізка перпендикуляра PT. Пряма PT у просторі займає загальне положення, тому порядок визначення натуральної величини відрізка див. на стор. 7, 8 (рис. 3.4 та 3.5).

Епюрне вирішення задачі №3визначення відстані від точки P до плоскої фігури, а саме до площини квадрата, побудованого за заданими умовами*, наведено на рис. 5.3. Слід нагадати, що проекції точки P мають бути збудовані за заданими координатами (див. варіант свого завдання).

6. ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ І ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РОБОТИ

Умови завдань та координати точок наведені у таблиці 6.1.

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ 148

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Визначення відстані між: 1 - точкою та площиною; 2 - прямий та площиною; 3 – площинами; 4 - прямими, що схрещуються, розглядається спільно, так як алгоритм рішення для всіх цих задач по суті однаковий і складається з геометричних побудов, які потрібно виконати для визначення відстані між заданими точкою А і площиною α. Якщо і є якась відмінність, то воно полягає лише в тому, що у випадках 2 і 3 перш ніж приступити до вирішення задачі, слід на прямій m (випадок 2) або площині β (випадок 3) відзначити довільну точку А. При визначенні відстані між прямими схрещуються попередньо укладаємо їх в паралельні площини α і β з подальшим визначенням відстані між цими площинами.

Розглянемо кожен із зазначених випадків вирішення завдань.

1. Визначення відстані між точкою та площиною.

Відстань від точки до площини визначається завдовжки відрізка перпендикуляра, опущеного з точки на площину.

Тому вирішення цього завдання складається з послідовного виконання наступних графічних операцій:

1) з точки А опускаємо перпендикуляра на площину (рис. 269);

2) знаходимо точку М перетину цього перпендикуляра з площиною М = а ∩ α;

3) визначаємо довжину відрізка.

Якщо площина загального становища, то для того щоб опустити на цю площину перпендикуляр, необхідно попередньо визначити напрямок проекцій горизонталі та фронталі цієї площини. Знаходження точки зустрічі цього перпендикуляра з площиною вимагає виконання додаткових геометричних побудов.

Розв'язання задачі спрощується, якщо площина займає приватне положення щодо площин проекцій. У цьому випадку проведення проекцій перпендикуляра, і знаходження точки його зустрічі з площиною здійснюється без будь-яких додаткових допоміжних побудов.

ПРИКЛАД 1. Визначити відстань від точки А до площини, що фронтально проеціює α (рис. 270).

РІШЕННЯ. Через А" проводимо горизонтальну проекцію перпендикуляра l" ⊥ h 0α, а через А" - його фронтальну проекцію l" ⊥ f 0α. Зазначаємо точку M" = l" ∩ f 0α. Оскільки AM || π 2 то [А "М"] == |АМ| = d.

З розглянутого прикладу видно, наскільки легко вирішується завдання, коли площина займає проецірующее становище. Тому, якщо у вихідних даних буде задана площина загального положення, то, перш ніж приступити до рішення, слід перевести площину положення, перпендикулярне до будь-якої площини проекції.

ПРИКЛАД 2. Визначити відстань від точки К до площини, заданої ΔАВС (рис. 271).

1. Переводимо площину ΔАВС у проеційне положення *. Для цього переходимо від системи xπ2/π1 до x1π3/π1: напрямок нової осі х1 вибирається перпендикулярним до горизонтальної проекції горизонталі площини трикутника.

2. Проектуємо ΔАВС на нову площину π 3 (площина ΔАВС спроектується на π 3 , [ С " 1 В " 1 ]).

3. Проектуємо на ту саму площину точку К (К" → К" 1).

4. Через точку К" 1 проводимо (К" 1 М" 1)⊥ відрізку [С" 1 В" 1 ]. Відстань шукана d = | K" 1 M" 1 | .

Розв'язання задачі спрощується, якщо площина задана слідами, тому що відпадає необхідність проведення проекцій ліній рівня.

ПРИКЛАД 3. Визначити відстань від точки К до площини α, заданої слідами (рис. 272) .

* Найбільш раціональним шляхом переведення площини трикутника в проецірующее положення є спосіб заміни площин проекцій, так як у цьому випадку достатньо побудувати лише одну допоміжну проекцію.

РІШЕННЯ. Замінюємо площину π 1 площиною π 3 для цього проводимо нову вісь x 1 ⊥ f 0α . На h 0α відзначаємо довільну точку 1" і визначаємо її нову горизонтальну проекцію на площині 3 (1" 1). Через точки X α 1 (Х α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) і 1" 1 проводимо h 0α 1 . Визначаємо нову горизонтальну проекцію точки К → К" 1 . З точки К" 1 опускаємо перпендикуляр на h 0α 1 і відзначаємо точку його перетину з h 0α 1 - М" 1 . Довжина відрізка K" 1 M" 1 вкаже відстань, що шукається.

2. Визначення відстані між прямою та площиною.

Відстань між прямою та площиною визначається довжиною відрізка перпендикуляра, опущеного з довільної точки прямої на площину (див. рис. 248).

Тому розв'язання задачі визначення відстані між прямою m і площиною α нічим не відрізняється від розглянутих у п. 1 прикладів на визначення відстані між точкою і площиною (див. рис. 270 ... 272). Як точку можна брати будь-яку точку, що належить прямий m.

3.Визначення відстані між площинами.

Відстань між площинами визначається величиною відрізка перпендикуляра, опущеного з точки, взятої однією площині, на іншу площину.

З цього визначення випливає, що алгоритм розв'язання задачі знаходження відстані між площинами α і β відрізняється від аналогічного алгоритму розв'язання задачі визначення відстані між прямою m і площиною α лише тим, що пряма m повинна належати площині α, тобто, щоб визначити відстань між площинами α і β слід:

1) взяти в площині пряму m;

2) виділити на прямий m довільну точку А;

3) із точки А опустити перпендикуляр l на площину β;

4) визначити точку М – точку зустрічі перпендикуляра l з площиною β;

5) визначити величину відрізка.

На практиці доцільно користуватися іншим алгоритмом рішення, який відрізнятиметься від наведеного лише тим, що, перш ніж приступити до виконання першого пункту, слід перевести площини в проецірующее положення.

Включення до алгоритму цієї додаткової операції спрощує виконання всіх без винятку інших пунктів, що, зрештою, призводить до більш простого рішення.

ПРИКЛАД 1. Визначити відстань між площинами α та β (рис. 273).

РІШЕННЯ. Переходимо від системи xπ2/π1 до x1π1/π3. По відношенню до нової площини 3 площини α і β займають проецірующее положення, тому відстань між новими фронтальними, слідами f 0α 1 і f 0β 1 є шуканим.

В інженерній практиці часто доводиться вирішувати завдання на побудову площини, паралельної даної та віддаленої від неї на задану відстань. Наведений нижче приклад 2 ілюструє вирішення такого завдання.

ПРИКЛАД 2. Потрібно побудувати проекції площини β, паралельної даній площині α (m || n), якщо відомо, що відстань між ними дорівнює d (рис. 274).

1. У площині α проводимо довільні горизонталь h(1, 3) та фронталь f(1,2).

2. З точки 1 відновлюємо перпендикуляр l до площини α(l"⊥h", l"⊥f").

3. На перпендикулярі l відзначаємо довільну точку А.

4. Визначаємо довжину відрізка - (становище вказує на епюрі метрично неспотворене напрям прямий l).

5. Відкладаємо на прямій (1"А0) від точки 1" відрізок = d.

6. Зазначаємо на проекціях l" та l" точки В" і В", що відповідають точці В 0 .

7. Через точку проводимо площину β (h 1 ∩ f 1). Щоб β || α, необхідно спостерігати умову h 1 || h та f 1 || f.

4. Визначення відстані між прямими, що схрещуються.

Відстань між схрещуються прямими визначається довжиною перпендикуляра, укладеного між паралельними площинами, яким належать прямі, що схрещуються.

Для того щоб через схрещувальні прямі m і f провести взаємно паралельні площини α і β, достатньо через точку А (А ∈ m) провести пряму р, паралельну до прямої f, а через точку В (В ∈ f) - пряму k, паралельну до прямої m . Прямі m і р, f і k, що перетинаються, визначають взаємно паралельні площини α і β (див. рис. 248, е). Відстань між площинами α і β дорівнює шуканій відстані між схрещуються прямими m і f.

Можна запропонувати і інший шлях для визначення відстані між прямими схрещуються, який полягає в тому, що за допомогою будь-якого способу перетворення ортогональних проекцій одна з схрещуваних прямих перекладається в проецірующее положення. І тут одна проекція прямий вироджується в крапку. Відстань між новими проекціями прямих, що схрещуються (точкою A" 2 і відрізком C" 2 D" 2) є шуканою.

На рис. 275 наведено розв'язання задачі на визначення відстані між прямими а і b, що схрещуються, заданими відрізками [АВ] і [CD]. Рішення виконують у наступній послідовності:

1. Переводять одну з прямих (а), що схрещуються, в положення, паралельне площині π 3 ; для цього переходять від системи площин проекції xπ 2 /π 1 до нової x 1 π 1 /π 3 вісь x 1 проводять паралельно горизонтальній проекції прямої а. Визначають а" 1 [А" 1 В" 1] і b" 1 .

2. Шляхом заміни площини π 1 площиною π 4 переводять пряму

а в положення а" 2 перпендикулярне площині π 4 (нову вісь х 2 проводять перпендикулярно а" 1).

3. Будують нову горизонтальну проекцію прямої b"2 - [C"2D"2].

4. Відстань від точки А" 2 до прямої C" 2 D" 2 (відрізок (А" 2 М" 2 ]).

Слід мати на увазі, що переклад однієї з прямих, що схрещуються, в проецірующее положення є нічим іншим, як перекладом площин паралелізму, в які можна укласти прямі а і b, також в проецірующее положення.

Справді, перевівши пряму а положення, перпендикулярне площині π 4 , ми забезпечуємо перпендикулярність будь-якої площини, що містить пряму а, площини π 4 , у тому числі і площини α, що визначається прямими а і m (а ∩ m, m || b ). Якщо ми тепер проведемо пряму n, паралельну а і пряму b, що перетинає, то ми отримаємо площину β, що є другою площиною паралелізму, в яку укладені схрещувальні прямі а і b. Оскільки β || α, то й β ⊥ π 4 .

Інструкція

Для знаходження відстані від крапкидо площиніметодами накреслювальної: виберіть на площинідовільну точку; проведіть через неї дві прямі (що лежать у цій площині); відновіть перпендикуляр до площині, що проходить через цю точку (побудуйте пряму, перпендикулярну одночасно обом прямим, що перетинається); проведіть через задану точку пряму паралельну, побудованому перпендикуляру; знайдіть відстань між точкою перетину цієї прямої з площиною та заданою точкою.

Якщо становище крапкизадано її тривимірними координатами, а положення площині- Лінійним рівнянням, те, щоб знайти відстань від площинідо крапки, скористайтеся методами аналітичної геометрії: позначте координати крапкичерез x, y, z, відповідно (х – абсцис, y – ордината, z – аплікату); позначте через А, У, З, D рівняння площині(А – параметр при абсцисі, У – при , З – при аплікаті, D – вільний член); обчисліть відстань від крапкидо площиніза формулою: s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,де s – відстань між точкою та площиною,|| - Абсолютне значення (або модуля) .

Знайдіть відстань між точкою А з координатами (2, 3, -1) і площиною, заданою рівнянням: 7х-6у-6z+20=0.Рішення. =-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20.Підставте ці значення у вищенаведену .Вийде:s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Відповідь: Відстаньвід крапкидо площиніодно 2 (умовним одиницям).

Порада 2: Як визначити відстань від точки до площини

Визначення відстані від крапкидо площині- одне з найпоширеніших завдань шкільної планіметрії. Як відомо, найменшим відстаннювід крапкидо площинібуде перпендикуляр, проведений з цієї крапкидо цієї площині. Тому довжина цього перпендикуляра і приймається за відстань від крапкидо площині.

Вам знадобиться

• рівняння площини

Інструкція

Нехай перша з паралельних f1 задана рівнянням y=kx+b1. Перевівши вираз у загальний вигляд, у вас вийде kx-y+b1=0, тобто A=k, B=-1. Нормаллю до неї буде n = (k, -1).
Тепер слід довільну абсцис точки х1 на f1. Тоді її ордината y1=kx1+b1.
Нехай рівняння другої з паралельних прямих f2 матиме вигляд:
у=kx+b2 (1),
де k однаково обох прямих, з їхньої паралельності.

Далі вам необхідно скласти канонічний рівняння лінії перпендикулярної як f2, так і f1, що містить точку М (x1, y1). У цьому вважають, що х0=х1, y0=y1, S=(k, -1). В результаті у вас має вийде наступна рівність:
(x-x1)/k = (y-kx1-b1)/(-1) (2).

Розв'язавши систему рівнянь, що складається з виразів (1) і (2), ви знайдете другу точку, що визначає відстань між паралельними N(x2, y2). Сама відстань, що шукається, буде дорівнює d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

приклад. Нехай рівняння заданих паралельних прямих площині f1 – у=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Беремо довільну точку х1 = 1 на f1. Тоді y1 = 3. Перша точка, таким чином, матиме координати M (1,3). Рівняння загального перпендикуляра (3):
(х-1)/2 = -y+3 або y=-(1/2)x+5/2.
Підставивши це значення y (1), отримати:
-(1/2)x+5/2=2х+5, (5/2)х=-5/2, х2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
Друга основа перпендикуляра у точці з координатами N (-1, 3). Відстань між паралельними прямими становитиме:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Джерела:

• Розвиток легкої атлетики у Росії

Вершина будь-якої плоскої чи об'ємної геометричної фігури однозначно визначається своїми координатами у просторі. Так само може бути однозначно визначена і будь-яка довільна точка в тій же системі координат, а це дає можливість обчислити відстань між цією довільною точкою та вершиною фігури.

Вам знадобиться

• - папір;
• - ручка чи олівець;
• - Калькулятор.

Інструкція

Зведіть задачу до знаходження довжини відрізка між двома точками, якщо координати заданої задачі точки і вершини геометричної фігури відомі. Цю довжину можна обчислити, скориставшись теоремою Піфагора стосовно проекцій відрізка на осі координат - вона дорівнюватиме квадратному кореню із суми квадратів довжин всіх проекцій. Наприклад, нехай у тривимірній системі координат задані точка A(X₁;Y₁;Z₁) та вершина C фігури будь-якої геометричної з координатами (X₂;Y₂;Z₂). Тоді довжини проекцій відрізка між ними на координатні осі можна як X₁-X₂, Y₁-Y₂ та Z₁-Z₂, а довжину відрізка - як √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂) ). Наприклад, якщо координати точки A(5;9;1), а вершини C(7;8;10), то відстань між ними дорівнює √((5-7)²+(9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Обчисліть спочатку координати вершини, якщо у явному вигляді за умов завдання вони представлені. Конкретний спосіб залежить від типу фігури та відомих додаткових параметрів. Наприклад, якщо відомі тривимірні координати трьох вершин A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) і C(X₃;Y₃;Z₃), то координати четвертої його вершини (протилежної вершині B) будуть (X₃+X₂ -X₁;Y₃+Y₂-Y₁;Z₃+Z₂-Z₁). Після визначення координат недостатньої вершини обчислення відстані між нею і довільною точкою знову зведеться до визначення довжини відрізка між цими двома точками в заданій системі координат - зробіть це тим же способом, який був описаний в попередньому кроці. Наприклад, для вершини описаного в цьому кроці паралелограма та точки E з координатами (X₄;Y₄;Z₄) формулу обчислення відстані з попереднього кроку можна так: √((X₃+X₂-X₁-X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₂) Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).

Для практичних розрахунків можна використовувати, наприклад, вбудований у пошукову систему Google. Так, щоб обчислити значення за формулою, отриманою на попередньому кроці, для точок з координатами A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7;9; 2), введіть такий пошуковий запит: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Пошуковик розрахує та відобразить результат обчислень (5,19615242).

Відео на тему

Відновлення перпендикулярадо площині- одне з важливих завдань у геометрії, вона лежить в основі багатьох теорем та доказів. Щоб побудувати пряму, перпендикулярну площиніпотрібно послідовно виконати кілька дій.

Вам знадобиться

• - задана площина;
• - точка, з якої потрібно провести перпендикуляр;
• - циркуль;
• - Лінійка;
• - Олівець.