Знайти кут між площинами формули. Координатно-векторний метод вирішення стереометричних завдань при підготовці до еге

Цілі:

виробити вміння розглядати різні підходи до вирішення завдань та проаналізувати "ефект" від застосування цих способів вирішення;
виробити вміння учня вибирати метод вирішення завдання відповідно до своїх математичних уподобань, що базуються на більш міцних знаннях та впевнених навичок;
виробити вміння скласти план послідовних етапів задля досягнення результату;
виробити вміння обґрунтувати всі кроки та обчислення;
повторити та закріпити різні теми та питання стереометрії та планиметрії, типові стереометричні конструкції, пов'язані з вирішенням поточних завдань;
розвинути просторове мислення.

аналіз різних методів розв'язання задачі: координатно-векторний метод, застосування теореми косінусів, застосування теореми про три перпендикуляри;
порівняння переваг та недоліків кожного методу;
повторення властивостей куба, трикутної призми, правильного шестигранника;
підготовка до здачі ЄДІ;
розвиток самостійності при ухваленні рішення.

Схема уроку

У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1з ребром 1 точка О – центр грані ABCD.

а) кут між прямими A 1 Dі BO;

б) відстань від точки Bдо середини відрізка A 1 D.

Рішення пункту а).

Помістимо наш куб у прямокутну систему координат, як показано на малюнку, вершини. A 1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B 1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Напрямні вектори прямих A 1 Dі B 1 O:

(0; 1; -1) та (½; ½; -1);

шуканий кут φ між ними знаходимо за формулою:

cos∠φ = ,
звідки∠φ = 30 °.

2 спосіб. Використовуємо теорему косінусів.

1) Проведемо пряму У 1 Спаралельно прямий A 1 D. Кут CB 1 Oбуде шуканим.

2) З прямокутного трикутника BB 1 Oза теоремою Піфагора:

3) По теоремі косінусів із трикутника CB 1 Oобчислюємо кут CB 1 O:

cos CB 1 O = , Шуканий кут становить 30°.

Зауваження. При вирішенні задачі 2-м способом можна помітити, що за теоремою про три перпендикуляри COB 1 = 90 °, Тому з прямокутного ∆ CB 1 Oтакож легко обчислити косинус шуканого кута.

Рішення пункту б).

1 спосіб. Скористаємося формулою відстані між двома точками

Нехай крапка E– середина A 1 Dтоді координати E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).

BE = .

2 спосіб. За теоремою Піфагора

З прямокутного ∆ BAEз прямим BAEзнаходимо BE = .

У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1всі ребра рівні a. Знайти кут між прямими ABі A 1 C.

1 спосіб. Координатно-векторний метод

Координати вершин призми в прямокутній системі при розташуванні призми, як на малюнку: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A 1 (0; 0; a), C (0; a; 0).

Напрямні вектори прямих A 1 Cі AB:

(0; a; -a)і (a; ; 0} ;

cos φ = ;

2 спосіб. Використовуємо теорему косінусів

Розглядаємо ∆ A 1 B 1 C, в котрому A 1 B 1 || AB. Маємо

cos φ = .

(Зі збірки ЄДІ-2012. Математика: типові екзаменаційні варіанти під ред. А.Л.Семенова, І.В.Ященко)

У правильній шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Eдо прямої B 1 C 1.

1 спосіб. Координатно-векторний метод

1) Помістимо призму прямокутну систему координат, розташувавши координатні осі, як показано малюнку. СС 1, СВі РЄпопарно перпендикулярні, тому можна спрямувати вздовж них координатні осі. Отримуємо координати:

З 1 (0; 0; 1), Е (; 0; 0), В 1 (0; 1; 1).

2) Знайдемо координати напрямних векторів для прямих З 1 В 1і З 1 Е:

(0;1;0), (;0;-1).

3) Знайдемо косинус кута між З 1 В 1і З 1 Е, використовуючи скалярний добуток векторів та :

cos β = = 0 => β = 90° => C 1 E – відстань, що шукається.

4)З 1 Е = = 2.

Висновок: знання різних підходів до вирішення стереометричних завдань дозволяє вибрати кращий для будь-якого учня спосіб, тобто. той, яким учень володіє впевнено, допомагає уникнути помилок, призводить до успішного вирішення завдання та отримання хорошого балу на іспиті. Координатний метод має перевагу над іншими способами тим, що вимагає менше стереометричних міркувань і бачення, а ґрунтується на застосуванні формул, які мають багато планиметричних та алгебраїчних аналогій, більш звичних для учнів.

Форма проведення уроку – поєднання пояснення вчителя із фронтальною колективною роботою учнів.

На екрані за допомогою відеопроектора демонструються багатогранники, що розглядаються, що дозволяє порівнювати різні способи рішення.

Домашнє завдання: розв'язати задачу 3 іншим способом, наприклад, за допомогою теореми про три перпендикуляри .

Література

1. Єршова А.П., Голобородько В.В. Самостійні та контрольні роботи з геометрії для 11 класу. - М.: ІЛЕКСА, - 2010. - 208 с.

2. Геометрія, 10-11: підручник для загальноосвітніх установ: базовий та профільний рівні / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін - М.: Просвітництво, 2007. - 256 с.

3. ЄДІ-2012. Математика: типові екзаменаційні варіанти: 10 варіантів / за ред. А.Л.Семенова, І.В.Ященко. - М.: Національна освіта, 2011. - 112 с. – (ЄДІ-2012. ФІПД – школі).

Завдання 1.6. Даний куб. M, N, P – середини відповідно ребер, AB, BC. Знайти кут між площинами (MNP) та

а) Введемо прямокутну декартову систему координат так, як зазначено на малюнку 17. Довжину ребра куба можна вибрати довільно, оскільки при гомотетії величина кута між площинами не змінюється. Зручно, наприклад, взяти довжину ребра куба, що дорівнює 2.

Щодо обраної системи координат знайдемо координати точок та векторів:

б) Нехай – нормальний вектор площини.

У цьому випадку виконуються умови

Аналогічно, якщо – нормальний вектор площини, тоді

в) Якщо, то

Відповідь:

Завдання 1.7. В основі правильної трикутної піраміди SABC лежить правильний зі стороною, що дорівнює 2. Ребро SA перпендикулярно площині основи та SA = 1. Точки P, Q - відповідно середини ребер SB, СВ. Площина паралельна прямим SC та АВ, а площина паралельна прямим AQ та СР. Визначити величину кута між площинами та.

а) Виберемо прямокутну декартову систему координат так, як зазначено на малюнку 18. У вибраній системі координат маємо:

б) - нормальний вектор площини, паралельної прямим SCі AB. тоді виконуються умови:

в) Позначимо через площину, яка паралельна прямим AQ і CP, а через її нормальний вектор. У цьому випадку отримуємо систему виду

\(\blacktriangleright\) Двогранний кут - кут, утворений двома напівплощинами і прямою \(a\) , яка є їх спільним кордоном.

\(\blacktriangleright\) Щоб знайти кут між площинами \(\xi\) і \(\pi\) потрібно знайти лінійний кут (причому гострийабо прямий) двогранного кута, утвореного площинами \(\xi\) і \(\pi\) :

Крок 1: нехай \(\xi\cap\pi=a\) (лінія перетину площин). У площині \(\xi\) відзначимо довільну точку \(F\) і проведемо \(FA\perp a\);

Крок 2: проведемо (FG perp );

Крок 3: за ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) – похила, (AG) – проекція) маємо: (AG perpa);

Крок 4: кут \(\angle FAG\) називається лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами \(\xi\) і \(\pi\) .

Зауважимо, що трикутник (AG) - прямокутний.
Зауважимо також, що площина (AFG), побудована таким чином, перпендикулярна обох площин ((xi)) і (pi). Отже, можна сказати інакше: кут між площинами\(\xi\) і \(\pi\) - це кут між двома пересічними прямими \(c\in \xi\) і \(b\in\pi\) , що утворюють площину, перпендикулярну і \(\xi\) ) і \(\pi\) .

Завдання 1 #2875

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Дано чотирикутну піраміду, всі ребра якої рівні, причому основа є квадратом. Знайдіть \(6\cos \alpha\) , де \(\alpha\) - кут між її суміжними бічними гранями.

Нехай \(SABCD\) - дана піраміда (\(S\) - вершина), ребра якої рівні \(a\). Отже, всі бічні грані є рівними рівносторонні трикутники. Знайдемо кут між гранями (SAD) і (SCD).

Проведемо \(CH\perp SD\). Так як \(\triangle SAD=\triangle SCD\), то \(AH\) також буде висотою \(\triangle SAD\) . Отже, за визначенням \(\angle AHC=\alpha\) - лінійний кут двогранного кута між гранями \(SAD\) і \(SCD\).
Так як в основі лежить квадрат, то (AC = a sqrt2). Зауважимо також, що \(CH=AH\) - висота рівностороннього трикутника зі стороною \(a\), отже, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Тоді за теоремою косінусів з \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Відповідь: -2

Завдання 2 #2876

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Площини \(\pi_1\) і \(\pi_2\) перетинаються під кутом, косинус якого дорівнює \(0,2\). Площини \(\pi_2\) і \(\pi_3\) перетинаються під прямим кутом, причому лінія перетину площин \(\pi_1\) і \(\pi_2\) паралельна лінії перетину площин \(\pi_2\) і \(\ pi_3 \). Знайдіть синус кута між площинами \(\pi_1\) і \(\pi_3\) .

Нехай лінія перетину \(\pi_1\) і \(\pi_2\) - пряма \(a\) , лінія перетину \(\pi_2\) і \(\pi_3\) - пряма \(b\) , а лінія перетину \(\pi_3\) та \(\pi_1\) - пряма \(c\) . Так як (a parallel b), то (c parallel a parallel b) (за теоремою з розділу теоретичної довідки "Геометрія в просторі" (rightarrow) "Введення в стереометрію, паралельність").

Зазначимо точки \(A\in a, B\in b\) так, щоб \(AB\perp a, AB\perp b\) (це можливо, тому що \(a\parallel b\) ). Зазначимо \(C\in c\) так, щоб \(BC\perp c\) , отже, \(BC\perp b\) . Тоді \(AC\perp c\) і \(AC\perp a\) .
Справді, оскільки \(AB\perp b, BC\perp b\) , то \(b\) перпендикулярна площині (ABC\) . Оскільки \(c\parallel a\parallel b\) , то прямі \(a\) і \(c\) теж перпендикулярні площині \(ABC\) , а значить і будь-який прямий з цієї площини, зокрема, прямий \ (AC) .

Звідси слідує що \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Виходить, що \(\triangle ABC\) прямокутний, отже \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Відповідь: 0,2

Завдання 3 #2877

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Дано прямі \(a, b, c\) , що перетинаються в одній точці, причому кут між будь-якими двома з них дорівнює \(60^\circ\) . Знайдіть \(\cos^(-1)\alpha\) , де \(\alpha\) – кут між площиною, утвореною прямими \(a\) і \(c\) , і площиною, утвореною прямими \(b\) ) і (c) . Відповідь дайте у градусах.

Нехай прямі перетинаються в точці (O). Так як кут між будь-якими двома з них дорівнює \(60^\circ\), то всі три прямі не можуть лежати в одній площині. Зазначимо на прямій \(a\) точку \(A\) і проведемо \(AB\perp b\) та \(AC\perp c\) . Тоді \(\triangle AOB=\triangle AOC\)як прямокутні з гіпотенузи та гострого кута. Отже, \(OB=OC\) і (AB=AC\) .
Проведемо \(AH\perp (BOC)\). Тоді за теоремою про три перпендикуляри \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Оскільки \(AB=AC\) , то \(\triangle AHB=\triangle AHC\)як прямокутні з гіпотенузи та катету. Отже, (HB = HC). Значить, \(OH\) - бісектриса кута \(BOC\) (оскільки точка \(H\) рівновіддалена від сторін кута).

Зауважимо, що таким чином ми до того ж побудували лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною, утвореною прямими (a) і (c), і площиною, утвореною прямими (b) і (c). Це кут (ACH).

Знайдемо цей кут. Оскільки точку (A) ми вибирали довільно, то нехай ми вибрали її так, що (OA = 2). Тоді в прямокутному \(\triangle AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]Так як \(OH\) - бісектриса, то \(\angle HOC=30^\circ\) , Отже, в прямокутному \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]Тоді з прямокутного \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Відповідь: 3

Завдання 4 #2910

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Площини \(\pi_1\) і \(\pi_2\) перетинаються по прямій \(l\) , де лежать точки \(M\) і \(N\) . Відрізки \(MA\) і \(MB\) перпендикулярні до прямої \(l\) і лежать у площинах \(\pi_1\) і \(\pi_2\) відповідно, причому \(MN = 15\) , \(AN = 39 \), \ (BN = 17 \), \ (AB = 40 \). Знайдіть \(3\cos\alpha\) , де \(\alpha\) - кут між площинами \(\pi_1\) і \(\pi_2\).

Трикутник \(AMN\) прямокутний, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), звідки \ Трикутник \(BMN\) прямокутний, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , звідки \ Запишемо для трикутника \(AMB\) теорему косінусів: \ Тоді \ Так як кут \(\alpha\) між площинами - це гострий кут, а \(\angle AMB\) вийшов тупим, то \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Тоді \

Відповідь: 1,25

Завдання 5 #2911

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – паралелепіпед, \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(a\) , точка \(M\) – основа перпендикуляра, опущеного з точки \(A_1\) на площину \((ABCD)\) , крім того (M) - точка перетину діагоналей квадрата (ABCD). Відомо що \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Знайдіть кут між площинами \((ABCD)\) і \((AA_1B_1B)\) . Відповідь дайте у градусах.

Побудуємо (MN) перпендикулярно (AB) як показано на малюнку.

Так як \(ABCD\) - квадрат зі стороною \(a\) і \(MNperp AB\) і \(BCperp AB\) , то \(MNparallel BC\) . Так як \(M\) - точка перетину діагоналей квадрата, то \(M\) - середина \(AC\), отже, \(MN\) - середня лінія і \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) – проекція \(A_1N\) на площину \((ABCD)\) , причому \(MN\) перпендикулярний \(AB\) , тоді за теоремою про три перпендикуляри \(A_1N\) перпендикулярний \(AB \) і кут між площинами \((ABCD)\) і \((AA_1B_1B)\) є \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Відповідь: 60

Завдання 6 #1854

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

У квадраті \(ABCD\): \(O\) - точка перетину діагоналей; \(S\) - не лежить у площині квадрата, \(SO \perp ABC\) . Знайдіть кут між площинами \(ASD\) і \(ABC\) , якщо \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .

Прямокутні трикутники \(\triangle SAO\) і \(\triangle SDO\) рівні по обидва боки і кут між ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \ (AO = DO \), т.к. \(O\) - точка перетину діагоналей квадрата, \(SO\) - загальна сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) - рівнобедрений. Точка \(K\) - середина \(AD\) , тоді \(SK\) - висота в трикутнику \(\triangle ASD\) , а \(OK\) - висота в трикутнику \(AOD\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOK\) перпендикулярна площинам \(ASD\) і \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) - лінійний кут, що дорівнює шуканому двогранному куту.

У \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) - рівнобедрений прямокутний трикутник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Відповідь: 45

Завдання 7 #1855

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

У квадраті \(ABCD\): \(O\) - точка перетину діагоналей; \(S\) - не лежить у площині квадрата, \(SO \perp ABC\) . Знайдіть кут між площинами \(ASD\) і \(BSC\) якщо \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .

Прямокутні трикутники \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) і \(\triangle SOC\) рівні по двох сторонах і кут між ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \ (AO = OD = OB = OC \), т.к. \(O\) - точка перетину діагоналей квадрата, \(SO\) - загальна сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) та \(\triangle BSC\) - рівнобедрені. Точка \(K\) - середина \(AD\) , тоді \(SK\) - висота в трикутнику \(\triangle ASD\) , а \(OK\) - висота в трикутнику \(AOD\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOK\) перпендикулярна площині \(ASD\) . Точка \(L\) - середина \(BC\) , тоді \(SL\) - висота в трикутнику \(\triangle BSC\) , а \(OL\) - висота в трикутнику \(BOC\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOL\) (вона ж площина \(SOK\)) перпендикулярна площині \(BSC\). Таким чином отримуємо, що (angle KSL) - лінійний кут, рівний шуканому двогранному куті.

\(KL = KO + OL = 2 \ cdot OL = AB = 10 \)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\); \(SK = SL\) – висоти в рівних рівнобедрених трикутниках, які можна знайти за теоремою Піфагора: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Можна помітити, що \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) для трикутника \(\triangle KSL\) виконується зворотна теорема Піфагора \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) - прямокутний трикутник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ circ) .

Відповідь: 90

Підготовка учнів до здачі ЄДІ з математики, як правило, починається з повторення основних формул, у тому числі й тих, що дозволяють визначити кут між площинами. Незважаючи на те, що цей розділ геометрії досить докладно висвітлюється в рамках шкільної програми, багато випускників потребують повторення базового матеріалу. Розуміючи, як знайти кут між площинами, старшокласники зможуть оперативно вирахувати правильну відповідь у ході вирішення завдання та розраховувати на отримання гідних балів за підсумками складання єдиного державного іспиту.

Основні нюанси

Щоб питання, як знайти двогранний кут, не викликало труднощів, рекомендуємо дотримуватися алгоритму рішення, який допоможе впоратися із завданнями ЄДІ.

Спочатку необхідно визначити пряму, якою перетинаються площини.

Потім на цій прямій потрібно вибрати точку і провести до неї два перпендикуляри.

Наступний крок – знаходження тригонометричної функції двогранного кута, який утворений перпендикулярами. Робити це найзручніше за допомогою трикутника, що вийшов, частиною якого є кут.

Відповіддю буде значення кута або його тригонометричної функції.

Підготовка до екзаменаційного випробування разом зі «Школковим» - запорука вашого успіху

У процесі занять напередодні здачі ЄДІ багато школярів стикаються з проблемою пошуку визначень і формул, які дозволяють обчислити кут між двома площинами. Шкільний підручник не завжди є під рукою саме тоді, коли це потрібно. А щоб знайти потрібні формули та приклади їх правильного застосування, у тому числі і для знаходження кута між площинами в Інтернеті в режимі онлайн, часом потрібно витратити чимало часу.

Математичний портал «Школкове» пропонує новий підхід до підготовки до державного іспиту. Заняття на нашому сайті допоможуть учням визначити найскладніші для себе розділи та заповнити прогалини у знаннях.

Ми підготували та зрозуміло виклали весь необхідний матеріал. Базові визначення та формули представлені у розділі «Теоретична довідка».

Для того, щоб краще засвоїти матеріал, пропонуємо також попрактикуватися у виконанні відповідних вправ. Велика добірка завдань різного ступеня складності, наприклад, на , представлена розділ «Каталог». Усі завдання містять докладний алгоритм знаходження правильної відповіді. Перелік вправ на сайті постійно доповнюється та оновлюється.

Практикуючись у вирішенні завдань, у яких потрібно знайти кут між двома площинами, учні мають можливість в онлайн-режимі зберегти будь-яке завдання у «Вибраному». Завдяки цьому вони зможуть повернутися до нього необхідну кількість разів та обговорити хід його рішення зі шкільним учителем чи репетитором.

Задача 1. Основа прямої чотирикутної призми АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – прямокутник АВСD, в якому АВ = 5, AD = 11. Знайти тангенс кута між площиною основи призми та площиною, що проходить через середину ребра AD перпендикулярно до прямої BD 1, якщо відстань між прямими АС та B 1 D 1 дорівнює 12. Рішення. Введемо систему координат. В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) Координати нормалі до площини перерізу: Координати нормалі до площини основи: – гострий кут, то D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 х у z N Кут між площинами Відповідь: 0,5. Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 2. В основі трикутної піраміди SABC лежить прямокутний трикутник АВС. Кут А – прямий. АС = 8, ВС = 219. Висота піраміди SA дорівнює 6. На ребері АС взято точку М так, що АМ = 2. Через точку М, вершину В і точку N – середину ребра SC – проведено площину α. Знайти двогранний кут, утворений площиною і площиною основи піраміди. A S x B C M N y z Рішення. Введемо систему координат. Тоді А (0; 0; 0), С (0; 8; 0), М (0; 2; 0), N (0; 4; 3), S (0; 0; 6), Нормаль до площини ( АВС) вектор Нормаль до площини (ВМN) Кут між площинами Відповідь: 60 °. Рівняння площини (ВМN): Ненашев Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 3. Основа чотирикутної піраміди PABCD квадрат зі стороною, що дорівнює 6, бічне ребро PD перпендикулярно площині основи і дорівнює 6. Знайдіть кут між площинами (BDP) та (BCP). Рішення. 1. Проведемо медіану DF рівнобедреного трикутника CDP (ВС = PD = 6) Значить DF PC. І з того, що BC (CDP), випливає, що DF BC, означає DF (PCB) A D C B P F 2. Так як AC DB і AC DP, то AC (BDP) 3. Таким чином, кут між площинами (BDP) і (BCP ) знаходиться з умови: Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 3. Основа чотирикутної піраміди PABCD квадрат зі стороною, що дорівнює 6, бічне ребро PD перпендикулярно площині основи і дорівнює 6. Знайдіть кут між площинами (BDP) та (BCP). Рішення.4. Виберемо систему координат. Координати точок: 5. Тоді вектори матимуть наступні координати: 6. Обчислюючи значення, знаходимо:, отже, A D C B P F z x y Кут між площинами Відповідь: Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 4. У одиничному кубі АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 знайдіть кут між площинами (AD 1 E) і (D 1 FC), де точки E і F - середини ребер А 1 В 1 і В 1 С 1 відповідно. Рішення: 1. Введемо прямокутну систему координат і визначимо координати точок: 2. Складемо рівняння площини (AD 1 E): 3. Складемо рівняння площини (D 1 FC): - Нормальний вектор площини (AD 1 Е). - Нормальний вектор площини (D 1 FС). Кут між площинами х у z Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 4. У одиничному кубі АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 знайдіть кут між площинами (AD 1 E) і (D 1 FC), де точки E та F - середини ребер А 1 В 1 і В 1 С 1 відповідно. Рішення: 4. Знайдемо косинус кута між площинами за формулою Відповідь: Кут між площинами х у z Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z 1. Введемо прямокутну систему координат і визначимо координати точок А, В, С: К Нехай сторона основи дорівнює 1. Для визначеності розглянемо межі SAC та SBC 2. Знайдемо координати точки S: Е Кут між площинами Ненашева Н.Г . вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z К Е 3. Рівняння площини (SAC): - Нормальний вектор площини (SAC). 4. Рівняння площини (SBC): - Нормальний вектор площини (SBC). Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z К Е 5. Знайдемо косинус кута між площинами за формулою Відповідь: Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Ця стаття присвячена розі між площинами та його знаходженням. Спочатку наведено визначення кута між двома площинами та дана графічна ілюстрація. Після цього розібраний принцип знаходження кута між двома площинами, що перетинаються, методом координат, отримана формула, що дозволяє обчислювати кут між площинами, що перетинаються, за відомими координатами нормальних векторів цих площин. Наприкінці показані докладні рішення характерних завдань.

Навігація на сторінці.

Кут між площинами – визначення.

Наведемо міркування, які дозволять поступово підійти до визначення кута між двома площинами, що перетинаються.

Нехай нам дано дві площини, що перетинаються, і . Ці площини перетинаються прямою, яку позначимо буквою c . Побудуємо площину, що проходить через точку М прямої c і перпендикулярну до прямої c. При цьому площина перетинатиме площини і . Позначимо пряму, якою перетинаються площини як a , а пряму, якою перетинаються площині як і b . Вочевидь, прямі a і b перетинаються у точці М .

Легко показати, що кут між прямими a і b, що перетинаються, не залежить від розташування точки М на прямій c , через яку проходить площину .

Побудуємо площину, перпендикулярну до прямої c і відмінну від площини. Площина перетинають площини і за прямими, які позначимо a 1 і b 1 відповідно.

З способу побудови площин і випливає, що прямі a і b перпендикулярні до прямої c , і прямі a 1 і b 1 перпендикулярні до прямої c . Так як прямі a і a 1 лежать в одній площині і перпендикулярні до прямої c , то вони паралельні. Аналогічно, прямі b і b 1 лежать в одній площині і перпендикулярні до прямої c , отже, вони паралельні. Таким чином, можна виконати паралельне перенесення площини на площину , при якому пряма a збігається з прямою a , а пряма b з прямою b 1 . Отже, кут між двома прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 дорівнює куту між прямими, що перетинаються, a і b .

Цим доведено, що кут між прямими, що перетинаються a і b , що лежать в площинах, що перетинаються і , не залежить від вибору точки M , через яку проходить площину . Тому, логічно цей кут прийняти за кут між двома площинами, що перетинаються.

Тепер можна озвучити визначення кута між двома площинами, що перетинаються, і .

Визначення.

Кут між двома перетинаються по прямій c площинами і– це кут між двома прямими, що перетинаються, a і b , за якими площини і перетинаються з площиною , перпендикулярною до прямої c .

Визначення кута між двома площинами можна дати трохи інакше. Якщо на прямій з , по якій перетинаються площини і відзначити точку М і через неї провести прямі а і b , перпендикулярні прямий c і лежать у площинах і відповідно, то кут між прямими і b являє собою кут між площинами і . Зазвичай практично виконують саме такі побудови, щоб отримати кут між площинами.

Так як кут між прямими, що перетинаються, не перевищує , то з озвученого визначення слід, що градусна міра кута між двома перетинаються площинами виражається дійсним числом з інтервалу . При цьому, площини, що перетинаються, називають перпендикулярнимиякщо кут між ними дорівнює дев'яноста градусам. Кут між паралельними площинами або зовсім не визначають, або вважають його рівним нулю.

Знаходження кута між двома площинами, що перетинаються.

Зазвичай при знаходженні кута між двома площинами, що перетинаються, спочатку доводиться виконувати додаткові побудови, щоб побачити прямі, що перетинаються, кут між якими дорівнює шуканому куту, і після цього зв'язувати цей кут з вихідними даними за допомогою ознак рівності, ознак подібності, теореми косинусів або визначень синуса, косин та тангенсу кута. У курсі геометрії середньої школи зустрічаються такі завдання.

Наприклад наведемо розв'язання задачі С2 з ЄДІ з математики за 2012 рік (умова має намір змінено, але це не впливає на принцип вирішення). У ній якраз треба було знайти кут між двома площинами, що перетинаються.

приклад.

Рішення.

Для початку зробимо креслення.

Виконаємо додаткові побудови, щоб побачити кут між площинами.

Для початку визначимо пряму лінію, якою перетинаються площини АВС і BED 1 . Точка В – це одна з їхніх спільних точок. Знайдемо другу загальну точку цих площин. Прямі DA і D 1 E лежать у одній площині АDD 1 , причому вони паралельні, отже, перетинаються. З іншого боку, пряма DA лежить у площині АВС , а пряма D 1 E – площині BED 1 , отже, точка перетину прямих DA і D 1 E буде загальною точкою площин АВС і BED 1 . Отже, продовжимо прямі DA і D 1 E до їхнього перетину, позначимо точку їхнього перетину літерою F . Тоді BF – пряма, якою перетинаються площини АВС і BED 1 .

Залишилося побудувати дві прямі, що лежать у площинах АВС і BED 1 відповідно, проходять через одну точку на прямій BF і перпендикулярні прямий BF - кут між цими прямими за визначенням буде дорівнює куту між площинами АВС і BED 1 . Зробимо це.

Крапка А є проекцією точки Е на площину АВС. Проведемо пряму, що перетинає під прямим кутом пряму ВF у точці М . Тоді пряма АМ є проекцією прямої ЕМ на площину АВС, і за теоремою про три перпендикуляри.

Таким чином, кут, що шукається між площинами АВС і BED 1 дорівнює .

Синус, косинус чи тангенс цього кута (отже і сам кут) ми можемо визначити з прямокутного трикутника АЕМ , якщо знатимемо довжини двох сторін. З умови легко знайти довжину АЕ : оскільки точка Е ділить сторону АА 1 щодо 4 до 3 , рахуючи від точки А , а довжина сторони АА 1 дорівнює 7 то АЕ = 4 . Знайдемо ще довжину АМ.

Для цього розглянемо прямокутний трикутник АВF із прямим кутом А , де АМ є висотою. За умовою АВ=2. Довжину сторони АF ми можемо знайти з подібності до прямокутних трикутників DD 1 F і AEF :

По теоремі Піфагора з трикутника АВF знаходимо. Довжину АМ знайдемо через площу трикутника АBF: з одного боку площа трикутника АВF дорівнює , з іншого боку , звідки .

Таким чином, із прямокутного трикутника АЕМ маємо .

Тоді шуканий кут між площинами АВС та BED 1 дорівнює (зауважимо, що ).

Відповідь:

У деяких випадках для знаходження кута між двома площинами, що перетинаються, зручно задати Oxyz і скористатися методом координат. На ньому і зупинимося.

Поставимо завдання: знайти кут між двома площинами, що перетинаються, і . Позначимо шуканий кут як .

Будемо вважати, що в заданій прямокутній системі координат Oxyz нам відомі координати нормальних векторів площин, що перетинаються, і або є можливість їх знайти. Нехай - нормальний вектор площини, а - Нормальний вектор площини. Покажемо, як знайти кут між площинами, що перетинаються, і через координати нормальних векторів цих площин.

Позначимо пряму, якою перетинаються площини і як c . Через точку М на прямій c проведемо площину, перпендикулярну до прямої c. Площина перетинає площини і за прямими a і b відповідно, прямі a і b перетинаються в точці М . За визначенням кут між площинами, що перетинаються, і дорівнює куту між прямими, що перетинаються, a і b .

Відкладемо від точки М у площині нормальні вектори та площин і . При цьому вектор лежить на прямій, яка перпендикулярна до прямої a , а вектор - на прямій, яка перпендикулярна до прямої b . Таким чином, у площині вектор - нормальний вектор прямий a - нормальний вектор прямий b .

У статті знаходження кута між прямими, що перетинаються, ми отримали формулу, яка дозволяє обчислювати косинус кута між прямими, що перетинаються, за координатами нормальних векторів. Таким чином, косинус кута між прямими a і b , а, отже, і косинус кута між площинами, що перетинаються.і знаходиться за формулою , де і – нормальні вектори площин та відповідно. Тоді обчислюється як .

Розв'яжемо попередній приклад методом координат.

приклад.

Даний прямокутний паралелепіпед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 , в якому АВ = 2, AD = 3, АА 1 = 7 і точка E ділить сторону АА 1 щодо 4 до 3, рахуючи від точки А. Знайдіть кут між площинами АВС та ВЕD 1 .

Рішення.

Так як сторони прямокутного паралелепіпеда при одній вершині попарно перпендикулярні, то зручно ввести прямокутну систему координат Oxyz так: почало поєднати з вершиною, а координатні осі Ox, Oy і Oz направити по сторонах CD, CB і CC 1 відповідно.

Кут між площинами АВС та BED 1 може бути знайдений через координати нормальних векторів цих площин за формулою , де і – нормальні вектори площин АВС та BED 1 відповідно. Визначимо координати звичайних векторів.