Назви ймовірностей, що входять у формулу байєса. Формула Байєса для дискретних випадкових величин

Формула Байєса

Теорема Байєса- Одна з основних теорем елементарної теорії ймовірностей, яка визначає ймовірність настання події в умовах, коли на основі спостережень відома лише деяка часткова інформація про події. За формулою Байєса можна більш точно перераховувати можливість, беручи до уваги як раніше відому інформацію, і дані нових спостережень.

«Фізичний зміст» та термінологія

Формула Байєса дозволяє «переставити причину і слідство»: за відомим фактом події обчислити ймовірність того, що воно було спричинене цією причиною.

Події, що відображають дію «причин», в даному випадку зазвичай називають гіпотезами, так як вони - гаданіподії, що спричинили це. Безумовну ймовірність справедливості гіпотези називають апріорний(Наскільки ймовірна причина взагалі), а умовну - з урахуванням факту події, що відбулася - апостеріорної(Наскільки ймовірна причина опинилася з урахуванням даних про подію).

Слідство

Важливим наслідком формули Байєса є формула повної ймовірності події, яка залежить від кількохнесумісних гіпотез ( і лише від них!).

Висновок формули

Якщо подія залежить лише від причин A i, Якщо воно відбулося, отже, обов'язково сталася якась із причин, тобто.

За формулою Байєса

Переносом P(B) вправо отримуємо шуканий вираз.

Метод фільтрації спаму

Метод, заснований на теоремі Байєса, знайшов успішне застосування у фільтрації спаму.

Опис

При навчанні фільтра для кожного зустрінутого в листах слова обчислюється і зберігається його «вага» - ймовірність того, що лист із цим словом - спам (у найпростішому випадку - за класичним визначенням ймовірності: «появ у спамі/появ всього»).

При перевірці листа, що знову прийшов, обчислюється ймовірність того, що він - спам, за зазначеною вище формулою для безлічі гіпотез. У разі «гіпотези» - це слова, й у кожного слова «достовірність гіпотези» - % цього слова у листі, а «залежність події від гіпотези» P(B | A i) - Обчислена раніше «вага» слова. Тобто «вага» листа в даному випадку – не що інше, як усереднена «вага» всіх його слів.

Віднесення листа до «спаму» чи «не-спаму» проводиться у тому, чи перевищує його «вага» якусь планку, задану користувачем (зазвичай беруть 60-80 %). Після ухвалення рішення з листа в базі даних оновлюються «ваги» для слів, що у нього ввійшли.

Характеристика

Даний метод простий (алгоритми елементарні), зручний (дозволяє обходитися без «чорних списків» та подібних штучних прийомів), ефективний (після навчання на досить великій вибірці відсікає до 95-97% спаму, і у разі будь-яких помилок його можна донавчати). Загалом є всі показання для його повсюдного використання, що і має місце на практиці - на його основі побудовані практично всі сучасні спам-фільтри.

Втім, метод має і принциповий недолік: він базується на припущенні, що одні слова частіше зустрічаються у спамі, а інші – у звичайних листах, і неефективний, якщо це припущення неправильно. Втім, як показує практика, такий спам навіть людина не в змозі визначити "на око" - тільки прочитавши лист і зрозумівши його зміст.

Ще один, не важливий, недолік, пов'язаний з реалізацією - метод працює тільки з текстом. Знаючи про це обмеження, спамери стали вкладати рекламну інформацію в картинку, текст у листі або відсутній, або не має сенсу. Проти цього доводиться користуватися або засобами розпізнавання тексту ("дорога" процедура, застосовується тільки за крайньої необхідності), або старими методами фільтрації - "чорні списки" і регулярні вирази (оскільки такі листи часто мають стереотипну форму).

Див. також

Примітки

Посилання

Література

• Берд Ківі. Теорема преподобного Байєса. // Журнал "Комп'ютерра", 24 серпня 2001 р.
• Paul Graham. A plan for spam (англ.). // Персональний сайт Paul Graham.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Формула Байєса" в інших словниках:

Формула, що має вигляд: де a1, А2,..., Ап несумісні події, Загальна схема застосування Ф. в. р.: якщо подія може відбуватися в разл. умовах, щодо яких зроблено гіпотез А1, А2, ..., Аn з відомими до досвіду ймовірностями P(A1),… … Геологічна енциклопедія

Дозволяє обчислити можливість цікавої події через умовні можливості цієї події у припущенні деяких гіпотез, і навіть можливостей цих гіпотез. Формулювання Нехай дано імовірнісне простір, і повна група попарно ... Вікіпедія

Дозволяє обчислити можливість цікавої події через умовні можливості цієї події у припущенні деяких гіпотез, і навіть можливостей цих гіпотез. Формулювання Нехай дано імовірнісний простір, і повна група подій, таких… … Вікіпедія

- (або формула Байєса) одна з основних теорем теорії ймовірностей, яка дозволяє визначити ймовірність того, що відбулася якась подія (гіпотеза) за наявності лише непрямих тому підтверджень (даних), які можуть бути неточними… Вікіпедія

Теорема Байєса одна з основних теорем елементарної теорії ймовірностей, що визначає ймовірність настання події в умовах, коли на основі спостережень відома лише деяка часткова інформація про події. За формулою Байєса можна ... Вікіпедія

Байєс, Томас Томас Байєс Reverend Thomas Bayes Дата народження: 1702(1702) Місце народження … Вікіпедія

Томас Байєс Reverend Thomas Bayes Дата народження: 1702(1702) Місце народження: Лондон … Вікіпедія

Байєсовський висновок один із методів статистичного висновку, в якому для уточнення ймовірнісних оцінок на істинність гіпотез при надходженні свідчень використовується формула Байєса. Використання байєсівського оновлення особливо важливе в ... Вікіпедія

Для покращення цієї статті бажано?: Знайти та оформити у вигляді виносок посилання на авторитетні джерела, що підтверджують написане. Проставивши виноски, внести точніші вказівки на джерела. Пере … Вікіпедія

Чи будуть ув'язнені один одного зраджувати, слідуючи своїм егоїстичним інтересам, або мовчати, тим самим мінімізуючи загальний термін? Дилема ув'язненого (англ. Prisoner s dilemma, рідше вживається назва «дилема … Вікіпедія

Книги

• Теорія ймовірностей та математична статистика у завданнях: Більше 360 завдань та вправ, Борзих Д.. У запропонованому посібнику містяться завдання різного рівня складності. Проте основний акцент зроблено на завдання середньої складності. Це зроблено навмисно для того, щоб спонукати студентів до…

Якщо подія Аможе статися тільки при виконанні однієї з подій, які утворюють повну групу несумісних подій , то ймовірність події Аобчислюється за формулою

Ця формула називається формулою повної ймовірності .

Знову розглянемо повну групу несумісних подій, ймовірність появи яких . Подія Аможе статися тільки разом з будь-якою з подій, які будемо називати гіпотезами . Тоді за формулою повної ймовірності

Якщо подія Асталося, то це може змінити ймовірність гіпотез .

За теоремою множення ймовірностей

.

Аналогічно для інших гіпотез

Отримана формула називається формулою Байєса (формулою Бейєса ). Ймовірності гіпотез називаються апостеріорними ймовірностями , тоді як - апріорними ймовірностями .

приклад.До магазину надійшла нова продукція із трьох підприємств. Процентний склад цієї продукції наступний: 20% – продукція першого підприємства, 30% – продукція другого підприємства, 50% – продукція третього підприємства; далі, 10% продукції першого підприємства вищого ґатунку, на другому підприємстві - 5% і на третьому - 20% продукції вищого ґатунку. Знайти ймовірність того, що випадково куплена нова продукція виявиться найвищого гатунку.

Рішення.Позначимо через Уподія, що полягає в тому, що буде куплено продукцію вищого ґатунку, через позначимо події, що полягають у купівлі продукції, що належить відповідно до першого, другого та третього підприємств.

Можна застосувати формулу повної ймовірності, причому у наших позначеннях:

Підставляючи ці значення у формулу повної ймовірності, отримаємо ймовірність:

приклад.Один із трьох стрільців викликається на лінію вогню і робить два постріли. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,3, для другого - 0,5; для третього – 0,8. Мета не вражена. Знайти ймовірність того, що постріли зроблено першим стрільцем.

Рішення.Можливі три гіпотези:

На лінію вогню викликаний перший стрілець,

На лінію вогню викликаний другий стрілець,

На лінію вогню викликано третій стрілець.

Оскільки виклик на лінію вогню будь-якого стрілка рівноможливий, то

Через війну досвіду спостерігалося подія У - після зроблених пострілів мета не вражена. Умовні ймовірності цієї події при зроблених гіпотезах рівні:

за формулою Байєса знаходимо ймовірність гіпотези після досвіду:

приклад.На трьох верстатах-автоматах обробляються однотипні деталі, що надходять після обробки загальний конвеєр. Перший верстат дає 2% шлюбу, другий – 7%, третій – 10%. Продуктивність першого верстата в 3 рази більша за продуктивність другого, а третього – у 2 рази менша, ніж другого.

а) Який відсоток шлюбу на конвеєрі?

б) Які частини деталей кожного верстата серед бракованих деталей на конвеєрі?

Рішення.Візьмемо з конвеєра навмання одну деталь і розглянемо подію А – деталь бракована. Воно пов'язане з гіпотезами щодо того, де була оброблена ця деталь: - взята навмання деталь оброблена на-ом верстаті.

Умовні ймовірності (за умови завдання вони дано у формі відсотків):

Залежності між продуктивністю верстатів означають таке:

Оскільки гіпотези утворюють повну групу, то .

Розв'язавши отриману систему рівнянь, знайдемо: .

а) Повна ймовірність того, що взята навмання з конвеєра деталь - бракована:

Іншими словами, у масі деталей, що сходять із конвеєра, шлюб становить 4%.

б) Нехай відомо, що взята навмання деталь - бракована. Користуючись формулою Байєса, знайдемо умовні ймовірності гіпотез:

Таким чином, у загальній масі бракованих деталей на конвеєрі частка першого верстата становить 33%, другого – 39%, третього – 28%.

Практичні завдання

Завдання 1

Розв'язання задач з основних розділів теорії ймовірності

Мета - отримання практичних навичок у вирішенні завдань

розділів теорії ймовірностей

Підготовка до виконання практичного завдання

Ознайомитися з теоретичним матеріалом на цю тематику, вивчити зміст теоретичного, а також відповідні розділи в літературних джерелах

Порядок виконання завдання

Розв'язати 5 завдань згідно з номером варіанта завдання, наведеним у таблиці 1.

Варіанти вихідних даних

Таблиця 1

Склад звіту за завданням 1

5 вирішених завдань згідно з номером варіанта.

Завдання для самостійного вирішення

1.. Чи є випадками такі групи подій: а) досвід – кидання монети; події: А1- Поява герба; А2- Поява цифри; б) досвід – кидання двох монет; події: В 1- Поява двох гербів; В 2 -поява двох цифр; У 3- поява одного герба та однієї цифри; в) досвід – кидання гральної кістки; події: З 1 -поява трохи більше двох очок; С2 -поява трьох чи чотирьох очок; С3 -поява щонайменше п'яти очок; г) досвід – постріл по мішені; події: D1- Попадання; D2 -промах; д) досвід – два постріли по мішені; події: Е0- жодного влучення; Е1- одне влучення; Е2- два влучення; е) досвід - виймання двох карт із колоди; події: F1 -поява двох червоних карток; F2- Поява двох чорних карт?

2. В урні A білих та B чорні кулі. З урни виймають навмання одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля – біла.

3. У урні A білих та B чорні кулі. З урни виймають одну кулю і відкладають убік. Ця куля виявилася білою. Після цього із урни беруть ще одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля теж буде білою.

4. У урні A білих та B чорні кулі. З урни вийняли одну кулю і, не дивлячись, відклали убік. Після цього зі скриньки взяли ще одну кулю. Він виявився білим. Знайти ймовірність того, що перша куля, відкладена убік, - теж біла.

5. З урни, що містить A білих та B чорних куль, виймають одна одною всі кулі, крім одного. Знайти ймовірність того, що останній куля, що залишилася в урні, буде білою.

6. З урни, в якій A білих куль і B чорних, виймають поспіль всі кулі, що знаходяться в ній. Знайти ймовірність того, що другим по порядку буде вийнята біла куля.

7. В урні A білих та B чорних куль (A > 2). З урни виймають відразу дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

8. В урні A білих та B чорних кульок (A > 2, B > 3). З урни виймають одразу п'ять куль. Знайти ймовірність ртого, що два з них будуть білими, а три чорними.

9. У партії, що складається з X виробів, є Iдефектних. З партії вибирається контролю I виробів. Знайти ймовірність ртого, що з них рівно J виробів будуть дефектними.

10. Гральна кістка кидається один раз. Знайти ймовірність наступних подій: А -поява парного числа очок; У- Поява не менше 5 очок; С-поява трохи більше 5 очок.

11. Гральна кістка кидається двічі. Знайти ймовірність ртого, що обидва рази з'явиться однакове число очок.

12. Впадають одночасно дві гральні кістки. Знайти ймовірність наступних подій: А- сума очок, що випали, дорівнює 8; У- добуток очок, що випали, дорівнює 8; С-сума очок, що випали більше, ніж їх твір.

13. Кидаються дві монети. Яка з подій є більш імовірною: А -монети ляжуть однаковими сторонами; В -монети ляжуть різними сторонами?

14. У урні A білих та B чорних куль (A > 2; B > 2). З урни виймають одночасно дві кулі. Яка подія більш імовірна: А- кулі одного кольору; В -кулі різних кольорів?

15. Троє гравців грають у карти. Кожному з них здано по 10 карток і дві картки залишено у прикупі. Один із гравців бачить, що у нього на руках 6 карт бубнової масті та 4 - не бубнової. Він скидає дві карти з цих чотирьох і бере собі прикуп. Знайти ймовірність того, що він купить дві бубнові карти.

16. З урни, що містить пперенумерованих куль, навмання виймають один за одним всі кулі, що знаходяться в ній. Знайти ймовірність того, що номери вийнятих куль будуть йти по порядку: 1, 2,..., п.

17. Та ж урна, що й у попередньому завданні, але кожна куля після виймання вкладається назад і перемішується з іншими, а її номер записується. Знайти ймовірність того, що буде записано природну послідовність номерів: 1, 2,..., п.

18. Повна колода карт (52 аркуша) ділиться навмання на дві рівні пачки по 26 аркушів. Знайти ймовірність наступних подій: А -у кожній з пачок виявиться по два тузи; У- в одній з пачок не буде жодного туза, а в іншій – усі чотири; С-воднієї з пачок буде один туз, а в іншій – три.

19. У розіграші першості з баскетболу беруть участь 18 команд, з яких випадково формуються дві групи по 9 команд у кожній. Серед учасників змагань є 5 команд

екстра-класу. Знайти ймовірність наступних подій: А -всі команди екстра-класу потраплять до однієї групи; У- дві команди екстра-класу потраплять до однієї з груп, а три – до іншої.

20. На дев'яти картках написані цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Дві з них виймаються навмання і укладаються на стіл у порядку появи, потім читається одержане число, наприклад 07(сім), 14 ( чотирнадцять) і т. п. Знайти ймовірність того, що число буде парним.

21. На п'яти картках написано цифри: 1, 2, 3, 4, 5. Дві з них, одна за одною, виймаються. Знайти ймовірність того, що число на другій картці буде більшим, ніж на першій.

22. Те ж питання, що в задачі 21, але перша картка після виймання кладеться назад і перемішується з іншими, а число, що стоїть на ній, записується.

23. У урні A білих, B чорні і C червоні кулі. З урни виймають один за одним всі кулі, що знаходяться в ній, і записують їх кольори. Знайти ймовірність того, що у цьому списку білий колір з'явиться раніше за чорний.

24. Є дві урни: у першій A білих та B чорних куль; у другій C білих та D чорний. З кожної урни виймається по кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

25. В умовах задачі 24 знайти ймовірність того, що вийняті кулі будуть різних кольорів.

26. У барабані револьвера сім гнізд, їх у п'яти закладено патрони, а два залишені порожніми. Барабан приводиться в обертання, у результаті проти стовбура випадковим чином виявляється одне з гнізд. Після цього натискається спусковий гачок; якщо осередок був порожній, пострілу не відбувається. Знайти ймовірність ртого, що, повторивши такий досвід двічі поспіль, ми обидва рази не вистрілимо.

27. У тих самих умовах (див. задачу 26) знайти ймовірність того, що обидва рази постріл відбудеться.

28. У урні є А; куль, помічених номерами 1, 2, ..., доЗ урни Iраз виймається по одній кулі (I<к), номер кулі записується і куля кладеться назад у урну. Знайти ймовірність ртого, що всі записані номери будуть різними.

29. З п'яти букв розрізної абетки складено слово «книга». Дитина, яка не вміє читати, розсипала ці літери і потім зібрала в довільному порядку. Знайти ймовірність рте, що в нього знову вийшло слово «книга».

30. З літер розрізної абетки складено слово "ананас". Дитина, яка не вміє читати, розсипала ці літери і потім зібрала в довільному порядку. Знайти ймовірність ртого, що в нього знову слово «ананас

31. З повної колоди карт (52 листи, 4 масті) виймається відразу кілька карт. Скільки карток потрібно вийняти для того, щоб із ймовірністю більшою ніж 0,50 стверджувати, що серед них будуть карти однієї й тієї ж масті?

32. Nлюдина випадково розсідають за круглим столом (N> 2). Знайти ймовірність ртого, що дві фіксовані особи Аі Увиявляться поруч.

33. Те саме завдання (див. 32), але стіл прямокутний, і N людина розсідають випадково вздовж однієї з його сторін.

34. На бочонках лото написано числа від 1 до N.З цих Nдіжок випадково вибираються дві. Знайти ймовірність того, що на обох барилах написані числа, менші ніж k (2

35. На бочонках лото написано числа від 1 до N.З цих Nдіжок випадково вибираються дві. Знайти ймовірність того, що на одній з діжок написано число, більше ніж k , а на іншому - менше ніж k . (2

36. Батарея з Мгармат веде вогонь по групі, що складається з Nцілей (М< N). Знаряддя вибирають собі цілі послідовно, випадковим чином, за умови, що жодні дві гармати стріляти по одній цілі не можуть. Знайти ймовірність ртого, що буде обстріляно цілі з номерами 1, 2,..., М.

37.. Батарея, що складається з догармат, веде вогонь по групі, що складається з Iлітаків (до< 2). Кожна зброя вибирає собі за мету випадково і незалежно від інших. Знайти ймовірність того, що всі дознарядь стрілятимуть по одній і тій самій меті.

38. В умовах попереднього завдання знайти ймовірність того, що всі знаряддя стрілятимуть з різних цілей.

39. Чотири кульки випадково розкидаються по чотирьох лунках; кожна кулька потрапляє в ту чи іншу лунку з однаковою ймовірністю і незалежно від інших (перешкод до попадання в ту саму лунку кількох кульок немає). Знайти ймовірність того, що в одній з лунок виявиться три кульки, в іншій - одна, а в двох інших лунках не буде кульок.

40. Маша посварилася з Петею і не хоче їхати з ним в одному автобусі. Від гуртожитку до інституту з 7 до 8 вирушає 5 автобусів. Той, хто не встиг на ці автобуси, спізнюється на лекцію. Скільки способами Маша і Петя можуть доїхати до інституту на різних автобусах і не запізнитися на лекцію?

41. В інформаційно-технологічному управлінні банку працює 3 аналітики, 10 програмістів та 20 інженерів. Для понаднормової у святковий день начальник управління має виділити одного співробітника. Скільки способами це можна зробити?

42. Начальник служби безпеки банку має щоденно розставляти 10 охоронців за 10 постами. Скільки способами це можна зробити?

43. Новий президент банку повинен призначити 2 нових віце-президентів з числа 10 директорів. Скільки способами це можна зробити?

44. Одна з воюючих сторін захопила 12, а інша – 15 полонених. Скільки можна обміняти 7 військовополонених?

45. Петя та Маша колекціонують відеодиски. У Петі є 30 комедій, 80 бойовиків та 7 мелодрам, у Маші – 20 комедій, 5 бойовиків та 90 мелодрам. Скільки способами Петя і Маша можуть обмінятися 3 комедіями, 2 бойовиками та 1 мелодрамою?

46. ​​В умовах завдання 45 скільки способів Петя і Маша можуть обмінятися 3 мелодрамами та 5 комедіями?

47. В умовах завдання 45 скільки способів Петя і Маша можуть обмінятися 2 бойовиками і 7 комедіями.

48. Одна з воюючих сторін захопила 15, а інша – 16 полонених. Скільки можна обміняти 5 військовополонених?

49. Скільки автомобілів можна зареєструвати в 1 місті, якщо номер має 3 цифри та 3 літери (тільки те чиє написання збігається з латинськими – А,В,Е,К,М,Н,О,Р,С,Т,У,Х )?

50. Одна з воюючих сторін захопила 14, а інша – 17 полонених. Скільки можна обміняти 6 військовополонених?

51. Скільки різних слів можна скласти, переставляючи літери в слові «мама»?

52. У кошику 3 червоних та 7 зелених яблук. З неї виймають одне яблуко. Знайти ймовірність, що воно буде червоним.

53. У кошику 3 червоних та 7 зелених яблук. З неї вийняли і відклали убік одне зелене яблуко. Після чого із кошика виймають ще 1 яблуко. Яка ймовірність того, що це яблуко буде зеленим?

54. У партії, що складається із 1000 виробів, 4 мають дефекти. Для контролю обирають партію зі 100 виробів. Яка ймовірність ТОВ, що у контрольній партії не виявиться бракованих?

56. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 5 з 36". Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець не вгадав жодного числа.

57. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 5 з 36". Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав одне число.

58. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра «спортлото 5 із 36». Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав 3 числа.

59. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 5 з 36". Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець не вгадав усі 5 чисел.

60. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 6 із 49". Граючий відзначав на картці 6 чисел від 1 до 49 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав 2 числа.

61. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 6 із 49". Граючий відзначав на картці 6 чисел від 1 до 49 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець не вгадав жодного числа.

62. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 6 із 49". Граючий відзначав на картці 6 чисел від 1 до 49 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав усі 6 чисел.

63. У партії, що складається із 1000 виробів, 4 мають дефекти. Для контролю обирають партію зі 100 виробів. Яка ймовірність ТОВ, що у контрольній партії виявиться лише 1 бракована?

64. Скільки різних слів можна скласти, переставляючи літери в слові «книга»?

65. Скільки різних слів можна скласти, переставляючи літери в слові «ананас»?

66. До ліфту увійшло 6 осіб, а гуртожиток має 7 поверхів. Яка ймовірність того, що всі 6 людей вийдуть на одному поверсі?

67. До ліфту увійшло 6 осіб, будинок має 7 поверхів. Яка ймовірність того, що всі 6 людей вийдуть на різних поверхах?

68. Під час грози на ділянці між 40 та 79 км лінії електропередачі стався обрив дроту. Вважаючи, що обрив однаково можливий у будь-якій точці, знайти ймовірність того, що обрив стався між 40-м і 45-м кілометрами.

69. На 200 кілометровій ділянці газопроводу відбувається витік газу між компресорними станціями А і В, який однаково можливий у будь-якій точці трубопроводу. яка ймовірність того, що витік відбувається не далі 20 км від А

70. На 200 кілометровій ділянці газопроводу відбувається витік газу між компресорними станціями А і В, який однаково можливий у будь-якій точці трубопроводу. яка ймовірність того, що витік відбувається ближче до А, ніж до В

71. Радар інспектора ДПС має точність 10 км\годину і округляє у найближчий бік. Що відбувається частіше – заокруглення на користь водія чи інспектора?

72. Маша витрачає на дорогу до інституту від 40 до 50 хвилин, причому будь-який час у цьому проміжку є рівноймовірним. Яка ймовірність того, що вона витратить на дорогу від 45 до 50 хвилин.

73. Петя і Маша домовилися зустрітися біля пам'ятника Пушкіну з 12 до 13 години, проте ніхто не зміг вказати точно час приходу. Вони домовилися чекати один на одного 15 хвилин. Яка ймовірність їхньої зустрічі?

74. Рибалки спіймали у ставку 120 риб, з них 10 виявилися окольцованними. Яка можливість зловити окольцованную рибу?

75. З кошика містить 3 червоних і 7 зелених яблук виймають усі яблука по черзі. яка ймовірність того, що 2-е яблуко виявиться червоним?

76. З кошика, що містить 3 червоних і 7 зелених яблук, виймають усі яблука по черзі. яка ймовірність того, що останнє яблуко виявиться зеленим?

77. Студенти вважають, що з 50 квитків 10 є «хорошими». Петя та Маша по черзі тягнуть по одному квитку. Яка ймовірність того, що Маші дістався «добрий» квиток?

78. Студенти вважають, що з 50 квитків 10 є «хорошими». Петя та Маша по черзі тягнуть по одному квитку. Якою є ймовірність того, що їм обом дістався «добрий» квиток?

79. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор ставить 3 питання. Яка ймовірність того, що Маша відповість на 3 питання?

80. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор ставить 3 питання. Яка ймовірність того, що Маша не відповість на жодне запитання?

81. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор ставить 3 питання. Яка можливість того що Маша відповість на одне запитання?

82. Статистика запитів кредитів у банку така: 10% - держ. органи, 20% - інші банки, інше – фізичні особи. Імовірність неповернення кредитів відповідно 0.01, 0.05 та 0.2. Яка частка кредитів не повертається?

83. Можливість те, що тижневий оборот продавця морозивом перевищить 2000 крб. становить 80% при ясній погоді, 50% при мінливій хмарності та 10% при дощовій погоді. Яка ймовірність що оборот перевищить 2000 руб. якщо ймовірність ясної погоди – 20%, а мінливої ​​хмарності та дощів – по 40%.

84. В урні А білих (б) та В чорних (ч) куль. З урни виймають (одночасно чи послідовно) дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

85. У урні А білих і В

86. В урні А білих і В

87. В урні А білих і В чорні кулі. З урни виймається одна куля, відзначається її колір і куля повертається в урну. Після цього із урни береться ще одна куля. Знайти ймовірність того, що ці кулі будуть різними кольорами.

88. Є коробка з дев'ятьма новими тенісними м'ячами. Для гри беруть три м'ячі; після гри їх кладуть назад. При виборі м'ячів грані від неграних не відрізняють. Якою є ймовірність того, що після трьох ігор у коробці не залишиться неграних м'ячів?

89. Ідучи з квартири, N кожен гість одягне свої калоші;

90. Ідучи з квартири, Nгостей, які мають однакові розміри взуття, одягають калоші у темряві. Кожен з них може відрізнити праву калош від лівої, але не може відрізнити свою від чужої. Знайти ймовірність того, що кожен гість, одягне галоші, що відносяться до однієї пари (може бути і не свої).

91. В умовах завдання 90знайти ймовірність того, що кожен піде у своїх галошах якщо гості не можуть відрізнити правої калоші від лівої і просто беруть перші два калоші, що попалися.

92. Ведеться стрілянина літаком, вразливими частинами якого є два двигуни і кабіна пілота. Для того, щоб вразити (вивести з ладу) літак, достатньо вразити обидва двигуни разом або кабіну пілота. За даних умов стрілянини ймовірність ураження першого двигуна дорівнює p1другого двигуна р2,кабіни пілота р3.Частини літака уражаються незалежно одна від одної. Знайти ймовірність того, що літак буде вражений.

93. Два стрілки, незалежно один від одного, роблять по два постріли (кожен за своєю мішенню). Імовірність попадання в ціль при одному пострілі для першого стрілка p1для другого р2.Вигравшим змагання вважається той стрілець, в мішені якого буде більше пробоїн. Знайти ймовірність Рхтого, що виграє перший стрілець.

94. за космічним об'єктом, об'єкт виявляється з ймовірністю нар.Виявлення об'єкта у кожному циклі відбувається незалежно від інших. Знайти ймовірність того, що при пциклів об'єкт буде виявлено.

95. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово "кінець".

96. Дві кульки розкидаються випадково і незалежно одна від одної по чотирьох осередках, розташованих одна за одною по прямій лінії. Кожна кулька з однаковою ймовірністю 1/4 потрапляє в кожну комірку. Знайти ймовірність того, що кульки потраплять до сусідніх осередків.

97. Здійснюється стрілянина літаком запальними снарядами. Пальне літаком зосереджено в чотирьох баках, розташованих у фюзеляжі один за одним. Площі баків однакові. Для того щоб запалити літак, достатньо потрапити двома снарядами або в той самий бак, або в сусідні баки. Відомо, що в область баків потрапило два снаряди. Знайти ймовірність того, що літак спалахне.

98. З повної колоди карт (52 листи) виймаються одразу чотири карти. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.

99. З повної колоди карт (52 аркуша) виймаються відразу чотири карти, але кожна карта після виймання повертається у колоду. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.

100. При включенні запалення двигун починає працювати з ймовірністю нар.

101. Прилад може працювати у двох режимах: 1) нормальному та 2) ненормальному. Нормальний режим спостерігається у 80% всіх випадків роботи приладу; ненормальний – у 20 %. Ймовірність виходу приладу за час tу нормальному режимі дорівнює 0,1; у ненормальному – 0,7. Знайти повну ймовірність рвиходу приладу із ладу.

102. Магазин отримує товар від 3 постачальників: 55% від 1-го, 20 від 2-го та 25% від 3-го. Частка шлюбу становить 5, 6 та 8 відсотків відповідно. Яка ймовірність того, що куплений бракований товар надійшов від другого постачальника.

103. Потік автомобілів повз АЗС складається на 60% з вантажних та на 40% з легкових автомобілів. Якою є ймовірність знаходження на АЗС вантажного автомобіля, якщо ймовірність його заправки 0.1, а легкового – 0.3

104. Потік автомобілів повз АЗС складається на 60% з вантажних та на 40% з легкових автомобілів. Якою є ймовірність знаходження на АЗС вантажного автомобіля, якщо ймовірність його заправки 0.1, а легкового – 0.3

105. Магазин отримує товар від 3 постачальників: 55% від 1-го, 20 від 2-го та 25% від 3-го. Частка шлюбу становить 5, 6 та 8 відсотків відповідно. Яка ймовірність того, що куплений бракований товар надійшов від одного постачальника.

106. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово "книга".

107. Магазин отримує товар від 3 постачальників: 55% від 1-го, 20 від 2-го та 25% від 3-го. Частка шлюбу становить 5, 6 та 8 відсотків відповідно. Яка ймовірність того, що куплений бракований товар надійшов від одного постачальника.

108. Дві кульки розкидаються випадково і незалежно одна від одної по чотирьох осередках, розташованих одна за одною по прямій лінії. Кожна кулька з однаковою ймовірністю 1/4 потрапляє в кожну комірку. Знайти ймовірність того, що 2 кульки потраплять в один осередок

109. При включенні запалювання двигун починає працювати з ймовірністю нар.Знайти ймовірність, що двигун почне працювати при другому включенні запалювання;

110. Здійснюється стрілянина літаком запальними снарядами. Пальне літаком зосереджено в чотирьох баках, розташованих у фюзеляжі один за одним. Площі баків однакові. Для того щоб запалити літак, достатньо потрапити двома снарядами в той самий бак. Відомо, що в область баків потрапило два снаряди. Знайти ймовірність того, що літак спалахне

111. Здійснюється стрілянина літаком запальними снарядами. Пальне літаком зосереджено в чотирьох баках, розташованих у фюзеляжі один за одним. Площі баків однакові. Для того, щоб запалити літак, достатньо потрапити двома снарядами до сусідніх баків. Відомо, що в область баків потрапило два снаряди. Знайти ймовірність того, що літак спалахне

112.В урні А білих і В чорні кулі. З урни виймається одна куля, відзначається її колір і куля повертається в урну. Після цього із урни береться ще одна куля. Знайти ймовірність того, що обидві вийняті кулі будуть білими.

113. В урні А білих і В чорні кулі. З урни виймаються відразу дві кулі. Знайти ймовірність того, що ці кулі будуть різними кольорами.

114. Дві кульки розкидаються випадково і незалежно одна від одної по чотирьох осередках, розташованих одна за одною по прямій лінії. Кожна кулька з однаковою ймовірністю 1/4 потрапляє в кожну комірку. Знайти ймовірність того, що кульки потраплять до сусідніх осередків.

115. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор ставить 3 питання. Яка ймовірність того, що Маша відповість на 2 питання?

116. Студенти вважають, що з 50 квитків 10 є «хорошими». Петя та Маша по черзі тягнуть по одному квитку. Якою є ймовірність того, що їм обом дістався «добрий» квиток?

117. Статистика запитів кредитів у банку така: 10% - держ. органи, 20% - інші банки, інше – фізичні особи. Імовірність неповернення кредитів відповідно 0.01, 0.05 та 0.2. Яка частка кредитів не повертається?

118. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово "кінець".

119 Статистика запитів кредитів у банку така: 10% – держ. органи, 20% - інші банки, інше – фізичні особи. Імовірність неповернення кредитів відповідно 0.01, 0.05 та 0.2. Яка частка кредитів не повертається?

120. Можливість те що тижневий оборот продавця морозивом перевищить 2000 крб. становить 80% при ясній погоді, 50% при мінливій хмарності та 10% при дощовій погоді. Яка ймовірність що оборот перевищить 2000 руб. якщо ймовірність ясної погоди – 20%, а мінливої ​​хмарності та дощів – по 40%.

Мета роботи:сформувати навички розв'язання задач з теорії ймовірностей за допомогою формули повної ймовірності та формули Байєса.

Формула повної ймовірності

Ймовірність події А, яке може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій В х, В 2, ..., В п,утворюють повну групу, що дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

Цю формулу називають формулою повної ймовірності

Ймовірність гіпотез. Формула Байєса

Нехай подія Аможе наступити за умови появи однієї з несумісних подій В 2 ,...,В п,утворюють повну групу. Оскільки наперед невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Ймовірність появи події Авизначається за формулою повної ймовірності:

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з'явилася подія А. Потрібно визначити, як змінилися (у зв'язку з тим, що подія Авже настало) ймовірність гіпотез. Умовні ймовірності гіпотез знаходять за формулою

У цій формулі індекс / = 1,2

Цю формулу називають формулою Байєса (на ім'я англійського математика, який її вивів; опублікована 1764 р.). Формула Байєса дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія А.

Завдання 1.Завод виготовляє певний тип деталі, кожна деталь має дефект з ймовірністю 0,05. Деталь оглядається одним контролером; він виявляє дефект із ймовірністю 0,97, і якщо дефект не виявлено, пропускає деталь готову продукцію. Крім того, контролер може помилково забракувати деталь, яка не має дефекту; ймовірність цього дорівнює 0,01. Знайти ймовірності наступних подій: А – деталь буде забракована; В – деталь буде забракована, але помилково; С – деталь буде пропущена у готову продукцію з дефектом.

Рішення

Позначимо гіпотези:

Н= (На контроль надійде стандартна деталь);

Н= (На контроль надійде нестандартна деталь).

Подія А =(Деталь буде забракована).

З умови завдання знаходимо імовірності

РН(А) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

За формулою повної ймовірності отримуємо

Імовірність того, що деталь буде забракована помилково, дорівнює

Знайдемо ймовірність того, що деталь буде пропущена у готову продукцію з дефектом:

Відповідь:

Завдання 2.Виріб перевіряється на стандартність одним із трьох товарознавців. Імовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, дорівнює 0,25, до другого – 0,26 та до третього – 0,49. Імовірність того, що виріб буде визнано стандартним першим товарознавцем, дорівнює 0,95, другим – 0,98, третім – 0,97. Знайти ймовірність того, що стандартний виріб перевірено другим контролером.

Рішення

Позначимо події:

Л. =(виріб для перевірки потрапить до /-го товарознавця); / = 1, 2, 3;

В =(виріб буде визнано стандартним).

За умовою завдання відомі ймовірності:

Також відомі умовні ймовірності

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що стандартний виріб перевірено другим контролером:

Відповідь:«0,263.

Завдання 3. Два автомати виробляють деталі, які надходять на загальний конвеєр. Імовірність отримання нестандартної деталі першому автоматі дорівнює 0,06, але в другому - 0,09. Продуктивність другого автомата вдвічі більша, ніж першого. З конвеєра взято нестандартну деталь. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена другим автоматом.

Рішення

Позначимо події:

А. =(взята з конвеєра деталь зроблена /-м автоматом); / = 1,2;

У= (взята деталь виявиться нестандартною).

Також відомі умовні ймовірності

За формулою повної ймовірності знаходимо

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що взята нестандартна деталь зроблена другим автоматом:

Відповідь: 0,75.

Завдання 4.Випробовується прилад, що складається з двох вузлів, надійність яких дорівнює 08 і 09 відповідно. Вузли відмовляють незалежно один від одного. Прилад відмовив. Знайти з урахуванням цього ймовірності гіпотез:

• а) несправний лише перший вузол;
• б) несправний лише другий вузол;
• в) несправні обидва вузли.

Рішення

Позначимо події:

Д = (7-й вузол не вийде з ладу); i = 1,2;

Д – відповідні протилежні події;

А= (При випробуванні буде відмова приладу).

З умови завдання одержуємо: Р(Д) = 0,8; Р(Л 2) = 0,9.

За якістю ймовірностей протилежних подій

Подія Адорівнює сумі творів незалежних подій

Використовуючи теорему складання ймовірностей несумісних подій та теорему множення ймовірностей незалежних подій, отримуємо

Тепер знаходимо ймовірність гіпотез:

Відповідь:

Завдання 5.На заводі болти виготовляються на трьох верстатах, які виробляють відповідно 25%, 30% та 45% усієї кількості болтів. У продукції верстатів шлюб становить відповідно 4%, 3% та 2%. Яка ймовірність того, що болт, випадково взятий з продукції, що надійшла, виявиться дефектним?

Рішення

Позначимо події:

4 = (навдачу взятий болт виготовлений на /-му верстаті); i = 1, 2, 3;

У= (Взяти навмання болт виявиться дефектним).

З умови завдання за формулою класичної ймовірності знаходимо ймовірність гіпотез:

Також за формулою класичної ймовірності знаходимо умовні ймовірності:

За формулою повної ймовірності знаходимо

Відповідь: 0,028.

Завдання 6.Електронна схема належить одній з трьох партій із ймовірностями 0,25; 0,5 та 0,25. Імовірність того, що схема пропрацює понад гарантійний термін служби для кожної з партій, відповідно становить 0,1; 0,2 та 0,4. Знайти ймовірність того, що навмання взята схема пропрацює понад гарантійний термін служби.

Рішення

Позначимо події:

4 = (навгади взята схема з г-ї партії); i = 1, 2, 3;

У= (навгадки взята схема пропрацює понад гарантійний термін служби).

За умовою завдання відомі ймовірності гіпотез:

Також відомі умовні ймовірності:

За формулою повної ймовірності знаходимо

Відповідь: 0,225.

Завдання 7.Прилад містить два блоки, справність кожного з яких необхідна для роботи приладу. Імовірності безвідмовної роботи цих блоків відповідно дорівнюють 0,99 і 0,97. Прилад вийшов із ладу. Визначити ймовірність того, що відмовили обидва блоки.

Рішення

Позначимо події:

Д = (z-й блок вийде з ладу); i = 1,2;

А= (Пристрій вийде з ладу).

З умови завдання за якістю ймовірностей протилежних подій отримуємо: ДД) = 1-0,99 = 0,01; ДД) = 1-0,97 = 0,03.

Подія Анастає лише тоді, коли настає хоча б одна з подій Д або А 2 .Тому ця подія дорівнює сумі подій А= Д + А 2 .

За теоремою складання ймовірностей спільних подій отримуємо

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що пристрій вийшов з ладу через відмову обох блоків.

Відповідь:

Завдання для самостійного вирішення Завдання 1.На складі телевізійного ательє є 70% кінескопів, виготовлених заводом №1; інші кінескопи виготовлені заводом № 2. Імовірність те, що кінескоп не вийде з експлуатації протягом гарантійного терміну служби, дорівнює 0,8 для кінескопів заводу № 1 і 0,7 - для кінескопів заводу № 2. Кінескоп витримав гарантійний термін служби. Знайти ймовірність, що він виготовлений заводом № 2.

Завдання 2.На складання надходять деталі з трьох автоматів. Відомо, що перший автомат дає 0,3% шлюбу, другий - 0,2%, третій - 0,4%. Знайти можливість надходження на складання бракованої деталі, якщо з 1-го автомата надійшли 1000, з 2-го - 2000, з 3-го - 2500 деталей.

Завдання 3.На двох верстатах виготовляються однакові деталі. Імовірність того, що деталь, виготовлена ​​на першому верстаті, буде стандартною, дорівнює 0,8, а на другому - 0,9. Продуктивність другого верстата втричі більша за продуктивність першого. Знайти ймовірність того, що стандартною буде деталь, взята навмання з транспортера, на який надходять деталі з обох верстатів.

Завдання 4.Керівник компанії вирішив скористатися послугами двох із трьох транспортних фірм. Ймовірності несвоєчасної доставки вантажу для першої, другої та третьої фірм рівні відповідно 0,05; 0,1 та 0,07. Зіставивши ці дані з даними про безпеку вантажних перевезень, керівник дійшов висновку про рівнозначність вибору і вирішив зробити його за жеребом. Знайти ймовірність того, що відправлений вантаж буде доставлений вчасно.

Завдання 5.Прилад містить два блоки, справність кожного з яких необхідна для роботи приладу. Імовірності безвідмовної роботи цих блоків відповідно дорівнюють 0,99 і 0,97. Прилад вийшов із ладу. Визначте можливість того, що відмовив другий блок.

Завдання 6. До складального цеху надходять деталі з трьох автоматів. Перший автомат дає 3% шлюбу, другий – 1% та третій – 2%. Визначити можливість попадання на складання небракованої деталі, якщо з кожного автомата надійшло відповідно 500, 200, 300 деталей.

Завдання 7.До складу надходить продукція трьох фірм. Причому продукція першої фірми становить 20%, другий – 46% та третьої – 34%. Відомо також, що середній відсоток нестандартних виробів для першої фірми дорівнює 5%, для другої – 2% та для третьої – 1%. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб вироблено другою фірмою, якщо воно виявилося стандартним.

Завдання 8.Шлюб у продукції заводу внаслідок дефекту астановить 5%, причому серед забракованих за ознакою апродукції в 10% випадків трапляється дефект нар.А в продукції, вільній від дефекту а, дефект рзустрічається у 1% випадків. Знайти ймовірність зустрічі дефекту Ру всій продукції.

Завдання 9.У фірмі є 10 нових автомобілів та 5 старих, які раніше перебували в ремонті. Імовірність справної роботи для нового авто дорівнює 0,94, старого – 0,91. Знайти ймовірність того, що навмання обраний автомобіль буде справно працювати.

Завдання 10.Два датчики посилають сигнали в загальний канал зв'язку, причому перший посилає вдвічі більше сигналів, ніж другий. Імовірність отримати спотворений сигнал від першого датчика дорівнює 0,01 від другого - 0,03. Яка можливість отримати спотворений сигнал у загальному каналі зв'язку?

Завдання 11.Є п'ять партій виробів: три партії по 8 штук, з яких 6 стандартних та 2 нестандартних, та дві партії по 10 штук, з яких 7 стандартних та 3 нестандартних. Навмання обирають одну з партій, а з цієї партії беруть деталь. Визначити ймовірність того, що взята деталь буде стандартною.

Завдання 12.Складальник отримує в середньому 50% деталей першого заводу, 30% - другого заводу та 20% - третього заводу. Імовірність того, що деталь першого заводу відмінної якості дорівнює 0,7; для деталей другого та третього заводів відповідно 0,8 та 0,9. Наудачу взята деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що деталь виготовлена ​​першим заводом.

Завдання 13.Митний огляд автомашин здійснюють два інспектори. У середньому зі 100 машин 45 проходять через першого інспектора. Імовірність того, що при огляді машина, яка відповідає митним правилам, не буде затримана, становить 0,95 у першого інспектора та 0,85 у другого. Знайти ймовірність того, що машину, яка відповідає митним правилам, не буде затримано.

Завдання 14.Деталі, необхідні для збирання приладу, надходять із двох автоматів, продуктивність яких однакова. Обчисліть можливість надходження на складання стандартної деталі, якщо один з автоматів дає в середньому 3% порушення стандарту, а другий - 2%.

Завдання 15.Тренер з важкої атлетики розрахував, що для отримання командних залікових очок у даній ваговій категорії спортсмен має штовхнути штангу 200 кг. На місце у команді претендують Іванов, Петров та Сидоров. Іванов за час тренувань намагався підняти таку вагу у 7 випадках, а підняв у 3 з них. Петров підняв у 6 випадках з 13, а Сидоров має 35%-ву можливість успішно впоратися зі штангою. Тренер випадковим жеребом вибирає одного спортсмена до команди.

• а) Знайти ймовірність, що обраний спортсмен принесе команді залікові очки.
• б) Команда не одержала залікових очок. Знайти ймовірність, що виступав Сидоров.

Завдання 16.У білій скриньці 12 червоних та 6 синіх куль. У чорному - 15 червоних та 10 синіх куль. Кидають гральний кубик. Якщо випаде кількість очок, кратна 3, то навмання беруть кулю з білого ящика. Якщо випаде будь-яка інша кількість очок, то навмання беруть кулю із чорної скриньки. Яка ймовірність появи червоної кулі?

Завдання 17.У двох ящиках є радіолампи. У першому ящику міститься 12 ламп, їх 1 нестандартна; у другому 10 ламп, їх 1 нестандартна. З першого ящика навмання взято лампу і перекладено на другий. Знайти ймовірність того, що навмання витягнута з другого ящика лампа буде нестандартною.

Завдання 18.У урну, що містить дві кулі, опущена біла куля, після чого з неї навмання вилучено одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнутий шар виявиться білим, якщо рівноможливі всі можливі припущення про початковий склад куль (за кольором).

Завдання 19.У ящик, що містить 3 однакові деталі, кинута стандартна деталь, а потім навмання одна деталь витягнута. Знайти ймовірність того, що вилучено стандартну деталь, якщо рівноймовірні всі можливі припущення про кількість стандартних деталей, що спочатку перебувають у ящику.

Завдання 20.Для покращення якості радіозв'язку використовуються два радіоприймачі. Можливість прийому сигналу кожним приймачем дорівнює 0,8, і ці події (прийом сигналу приймачем) незалежні. Визначити ймовірність прийому сигналу, якщо ймовірність безвідмовної роботи під час сеансу радіозв'язку кожного приймача дорівнює 0,9.

Нехай відомі їхні ймовірності та відповідні умовні ймовірності. Тоді ймовірність настання події дорівнює:

Ця формула отримала назву формули повної ймовірності. У підручниках вона формулюється теоремою, доказ якої елементарно: згідно алгебри подій, (відбулася подія і абосталася подія іпісля нього настала подія абосталася подія іпісля нього настала подія або …. абосталася подія іпісля нього настала подія ). Оскільки гіпотези несумісні, а подія – залежно, то за теореми складання ймовірностей несумісних подій (перший крок)і теоремі множення ймовірностей залежних подій (другий крок):

Напевно, багато хто передчує зміст першого прикладу =)

Куди не плюнь – скрізь урна:

Завдання 1

Є три однакові скриньки. У першій урні знаходяться 4 білих та 7 чорних куль, у другій – лише білі та у третій – тільки чорні кулі. Навмання вибирається одна урна і з неї навмання витягається куля. Яка ймовірність того, що ця куля чорна?

Рішення: розглянемо подію – з навмання обраної урни буде вилучено чорну кулю. Ця подія може статися в результаті здійснення однієї з наступних гіпотез:
– буде обрано 1-у урну;
– буде обрано 2-у урну;
– буде обрано 3-ту урну.

Так як урна вибирається навмання, то вибір будь-якої з трьох урн рівноможливий, отже:

Зверніть увагу, що ці гіпотези утворюють повну групу подій, тобто за умовою чорна куля може з'явитися тільки з цих урн, а наприклад, не прилетіти з більярдного столу. Проведемо просту проміжну перевірку:
, ОК, їдемо далі:

У першій урні 4 білих + 7 чорних = 11 куль, класичному визначенню:
- Імовірність вилучення чорної кулі за умови, що буде обрано 1-у урну.

У другій урні тільки білі кулі, тому у разі її виборупояви чорної кулі стає неможливим: .

І, нарешті, у третій урні одні чорні кулі, а отже, відповідна умовна ймовірністьвилучення чорної кулі складе (Подія достовірна).

- Імовірність того, що з навмання обраної урни буде витягнуто чорну кулю.

Відповідь:

Розібраний приклад знову наводить на думку про те, як важливо ВНИКАТИ В УМОВУ. Візьмемо ті ж завдання з урнами та кулями – при їх зовнішній схожості способи вирішення можуть бути зовсім різними: десь потрібно застосувати тільки класичне визначення ймовірності, десь події незалежні, десь залежні, а десь мова про гіпотези. У цьому немає чіткого формального критерію вибору шляху рішення – з нього майже завжди треба думати. Як підвищити свою кваліфікацію? Вирішуємо, вирішуємо та ще раз вирішуємо!

Завдання 2

У тирі є 5 різних за точністю бою гвинтівок. Імовірності влучення в ціль для даного стрілка відповідно дорівнюють 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 та 0,4. Чому дорівнює можливість попадання в ціль, якщо стрілець робить один постріл з випадково обраної гвинтівки?

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

У більшості тематичних завдань гіпотези, звичайно ж, не є рівноймовірними:

Завдання 3

У піраміді 5 гвинтівок, три з яких забезпечені оптичним прицілом. Ймовірність те, що стрілок вразить мішень під час пострілу з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що мета буде вражена, якщо стрілець здійснює один постріл з удачу взятої гвинтівки.

Рішення: у цьому завданні кількість гвинтівок точно така ж, як і в попередній, але гіпотези всього дві:
- стрілець вибере гвинтівку з оптичним прицілом;
– стрілець вибере рушницю без оптичного прицілу.
за класичному визначенню ймовірності: .
Контроль:

Розглянемо подію: - стрілець вразить мету з навмання взятої гвинтівки.
За умовою: .

За формулою повної ймовірності:

Відповідь: 0,85

На практиці цілком допустимо укорочений спосіб оформлення завдання, який вам теж добре знайомий:

Рішення: за класичним визначенням: - Імовірності вибору гвинтівки з оптичним і без оптичного прицілу відповідно.

За умовою, - Можливості попадання в ціль з відповідних типів гвинтівок.

За формулою повної ймовірності:
- Можливість того, що стрілець вразить мету з навмання обраної гвинтівки.

Відповідь: 0,85

Наступне завдання для самостійного вирішення:

Завдання 4

Двигун працює у трьох режимах: нормальному, форсованому та на холостому ходу. У режимі холостого ходу ймовірність його виходу з ладу дорівнює 0,05, за нормального режиму роботи – 0,1, а за форсованого – 0,7. 70% часу двигун працює у нормальному режимі, а 20% – у форсованому. Якою є ймовірність виходу з ладу двигуна під час роботи?

Про всяк випадок нагадаю – щоб отримати значення ймовірностей відсотки потрібно розділити на 100. Будьте дуже уважні! За моїми спостереженнями, умови завдань на формулу повної ймовірності часто намагаються підплутати; і я спеціально підібрав такий приклад. Скажу по секрету - сам мало не заплутався =)

Рішення наприкінці уроку (оформлено коротким способом)

Завдання на формули Байєса

Матеріал тісно пов'язаний із змістом попереднього параграфу. Нехай подія настала внаслідок здійснення однієї з гіпотез . Як визначити ймовірність того, що мала місце та чи інша гіпотеза?

За умови, що подія вже сталосяймовірності гіпотез переоцінюютьсяза формулами, які отримали прізвище англійського священика Томаса Байєса:

- Імовірність того, що мала місце гіпотеза;
- Імовірність того, що мала місце гіпотеза;
…
- Імовірність того, що мала місце гіпотеза.

На перший погляд здається повною нісенітницею – навіщо перераховувати ймовірності гіпотез, якщо вони й так відомі? Але насправді різниця є:

– це апріорні(оцінені довипробування) ймовірності.

– це апостеріорні(оцінені післявипробування) ймовірності тих же гіпотез, перераховані у зв'язку з нововиявленими обставинами - з урахуванням того факту, що подія достовірно сталося.

Розглянемо цю різницю на конкретному прикладі:

Завдання 5

На склад надійшло дві партії виробів: перша – 4000 штук, друга – 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів у першій партії складає 20%, а у другій – 10%. Навмання взятий зі складу виріб виявився стандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії; б) з другої партії.

Перша частина рішенняполягає у використанні формули повної ймовірності. Іншими словами, обчислення проводяться у припущенні, що випробування ще не зробленота подія «виріб виявився стандартним»поки що не настало.

Розглянемо дві гіпотези:
- навмання взятий виріб буде з 1-ї партії;
- навмання взятий виріб буде з 2-ї партії.

Усього: 4000 + 6000 = 10000 виробів на складі. За класичним визначенням:
.

Контроль:

Розглянемо залежну подію: – навмання взятий зі складу виріб будестандартним.

У першій партії 100% - 20% = 80% стандартних виробів, тому: за умови, що належить 1-ї партії.

Аналогічно, у другій партії 100% - 10% = 90% стандартних виробів та - ймовірність того, що навмання взятий на складі виріб буде стандартним за умови, що належить 2-ї партії.

За формулою повної ймовірності:
- Імовірність того, що навмання взятий на складі виріб буде стандартним.

Частина друга. Нехай навмання взятий зі складу виріб виявився стандартним. Ця фраза прямо прописана за умови, і вона констатує той факт, що подія відбулося.

За формулами Байєса:

а) – ймовірність того, що вибраний стандартний виріб належить 1-й партії;

б) – ймовірність того, що вибраний стандартний виріб належить 2-й партії.

Після переоцінкигіпотези, зрозуміло, як і раніше утворюють повну групу:
(перевірка;-))

Відповідь:

Зрозуміти сенс переоцінки гіпотез нам допоможе Іван Васильович, який знову змінив професію та став директором заводу. Він знає, що сьогодні 1-й цех відвантажив на склад 4000, а 2-й цех – 6000 виробів, і доводиться впевнитись у цьому. Припустимо, вся продукція є однотипною і знаходиться в одному контейнері. Звичайно, Іван Васильович попередньо підрахував, що виріб, який він зараз витягне для перевірки, з ймовірністю буде випущено 1-м цехом і з ймовірністю - другим. Але після того, як обраний виріб виявляється стандартним, він вигукує: «Який класний болт! - Його швидше випустив 2-й цех». Таким чином, ймовірність другої гіпотези переоцінюється на краще , а ймовірність першої гіпотези занижується: . І ця переоцінка небезпідставна - адже 2-й цех зробив не тільки більше виробів, а й працює вдвічі краще!

Ви скажете чистий суб'єктивізм? Почасти – так, більше того, сам Байєс інтерпретував апостеріорніймовірності як рівень довіри. Однак не все так просто – у байєсівському підході є об'єктивне зерно. Адже ймовірність того, що виріб буде стандартним (0,8 та 0,9 для 1-го та 2-го цехів відповідно)це попередні(апріорні) та середніоцінки. Але, висловлюючись філософськи - все тече, все змінюється, і ймовірність у тому числі. Цілком можливо, що на момент дослідженнябільш успішний 2-й цех підвищив відсоток випуску стандартних виробів (І/або 1-й цех знизив), і якщо перевірити більшу кількість або всі 10 тисяч виробів на складі, то переоцінені значення виявляться набагато ближче до істини.

До речі, якщо Іван Васильович витягне нестандартну деталь, то навпаки – він більше «підозрюватиме» 1-й цех і менше – другий. Пропоную переконатися у цьому самостійно:

Завдання 6

На склад надійшло дві партії виробів: перша – 4000 штук, друга – 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів у першій партії – 20%, у другій – 10%. Навмання взятий зі складу виріб виявився нестандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії; б) з другої партії.

Умова відрізнятиметься двома літерами, які я виділив жирним шрифтом. Завдання можна вирішити з «чистого листа» або скористатися результатами попередніх обчислень. У зразку я провів повне рішення, але щоб не виникло формальної накладки із Завданням №5, подія «навдачу взятий зі складу виріб буде нестандартним»позначено через .

Байєсовская схема переоцінки ймовірностей зустрічається повсюдно, причому її активно експлуатують і різноманітних шахраї. Розглянемо загальне АТ на три літери, яке залучає вклади населення, нібито кудись їх інвестує, справно виплачує дивіденди і т.д. Що відбувається? Проходить день за днем, місяць за місяцем і все нові й нові факти, донесені шляхом реклами та «сарафанного радіо», тільки підвищують рівень довіри до фінансової піраміди. (Апостеріорна байєсовська переоцінка у зв'язку з подіями, що відбулися!). Тобто в очах вкладників відбувається постійне збільшення ймовірності того, що «Це серйозна контора»; при цьому ймовірність протилежної гіпотези («це чергові кидали»), само собою, зменшується та зменшується. Подальше, гадаю, зрозуміло. Цікаво, що зароблена репутація дає організаторам час успішно втекти від Івана Васильовича, який залишився не лише без партії болтів, а й без штанів.

До не менш цікавих прикладів ми повернемося трохи пізніше, а поки що на черзі, мабуть, найпоширеніший випадок із трьома гіпотезами:

Завдання 7

Електролампи виготовляються на трьох заводах. 1-й завод виробляє 30% загальної кількості ламп, 2-й – 55%, а 3-й – решту. Продукція 1-го заводу містить 1% бракованих ламп, 2-го – 1,5%, 3-го – 2%. До магазину надходить продукція всіх трьох заводів. Куплена лампа виявилася із шлюбом. Яка ймовірність того, що вона зроблена 2-м заводом?

Зауважте, що у завданнях на формули Байєса за умови обов'язковофігурує якесь те, що сталосяподія, у разі – купівля лампи.

Події побільшало, і Рішеннязручніше оформити у «швидкому» стилі.

Алгоритм такий самий: на першому кроці знаходимо ймовірність того, що куплена лампа взагалі виявитьсябракованою.

Користуючись вихідними даними, переводимо відсотки на ймовірність:
- Імовірності того, що лампа вироблена 1-м, 2-м і 3-м заводами відповідно.
Контроль:

Аналогічно: – ймовірність виготовлення бракованої лампи для відповідних заводів.

За формулою повної ймовірності:

- Імовірність того, що куплена лампа одружиться.

Крок другий. Нехай куплена лампа виявилася бракованою (подія сталася)

За формулою Байєса:
- Імовірність того, що куплена бракована лампа виготовлена ​​другим заводом

Відповідь:

Чому початкова ймовірність 2-ї гіпотези після переоцінки збільшилася? Адже другий завод виробляє середні за якістю лампи (перший – краще, третій – гірший). Так чому ж зросла апостеріорнаймовірність, що бракована лампа саме з 2-го заводу? Це вже не «репутацією», а розміром. Так як завод №2 випустив найбільшу кількість ламп, то на нього (щонайменше суб'єктивно) і нарікають: «швидше за все, ця бракована лампа саме звідти».

Цікаво зауважити, що ймовірності 1-ї та 3-ї гіпотез, переоцінилися в очікуваних напрямках і зрівнялися:

Контроль: , Що і потрібно перевірити.

До речі, про занижені та завищені оцінки:

Завдання 8

У студентській групі 3 особи мають високий рівень підготовки, 19 осіб – середній та 3 – низький. Імовірності успішного складання іспиту для даних студентів відповідно дорівнюють: 0,95; 0,7 та 0,4. Відомо, що деякий студент склав іспит. Яка ймовірність того, що:

а) він був дуже добре підготовлений;
б) було підготовлено середньо;
в) було підготовлено погано.

Проведіть обчислення та проаналізуйте результати переоцінки гіпотез.

Завдання наближене до реальності та особливо правдоподібне для групи студентів-заочників, де викладач практично не знає здібностей того чи іншого студента. При цьому результат може спричинити досить-таки несподівані наслідки. (особливо це стосується іспитів у 1-му семестрі). Якщо погано підготовленому студенту пощастило з квитком, то викладач з великою ймовірністю визнає його успішним або навіть сильним студентом, що принесе непогані дивіденди в майбутньому (Звісно, ​​потрібно «піднімати планку» і підтримувати свій імідж). Якщо ж студент 7 днів і 7 ночей вчив, зубрив, повторював, але йому просто не пощастило, то подальші події можуть розвиватися у найгіршому ключі – з численними перездаваннями та балансуванням на межі вильоту.

Що й казати, репутація - це найважливіший капітал, не випадково багато корпорацій носять імена-прізвища своїх батьків-засновників, які керували справою 100-200 років тому і прославилися своєю бездоганною репутацією.

Так, байєсівський підхід певною мірою суб'єктивний, але... так влаштоване життя!

Закріпимо матеріал заключним індустріальним прикладом, в якому я розповім про технічні тонкощі рішення, що досі не зустрічалися:

Завдання 9

Три цехи заводу виробляють однотипні деталі, які надходять на збирання до загального контейнера. Відомо, що перший цех виробляє вдвічі більше деталей, ніж другий цех, і вчетверо більше третього цеху. У першому цеху шлюб становить 12%, у другому – 8%, у третьому – 4%. Для контролю контейнера береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона виявиться бракованою? Яка ймовірність того, що одержану браковану деталь випустив 3-й цех?

Таки Іван Васильович знову на коні =) Має бути у фільму щасливий кінець =)

Рішення: На відміну від Задач №№5-8 тут у явному вигляді поставлене питання, яке дозволяється за допомогою формули повної ймовірності. Але з іншого боку, умова трохи «зашифрована», і розгадати цей ребус нам допоможе шкільна навичка складати найпростіші рівняння. За «ікс» зручно прийняти найменше значення:

Нехай частка деталей, що випускається третім цехом.

За умовою, перший цех виробляє вчетверо більше третього цеху, тому частка одного цеху становить .

З іншого боку, перший цех виробляє виробів удвічі більше, ніж другий цех, отже, частка останнього: .

Складемо і розв'яжемо рівняння:

Таким чином: – ймовірність того, що витягнута з контейнера деталь випущена 1-м, 2-м та 3-м цехами відповідно.

Контроль: . Крім того, буде не зайвим ще раз подивитися на фразу «Відомо, що перший цех виробляє виробів у 2 рази більше за другий цех і в 4 рази більше за третій цех»і переконатися, що отримані значення ймовірностей справді відповідають цій умові.

За «ікс» спочатку можна було прийняти частку одного або частку другого цеху - можливості вийдуть такими ж. Але, так чи інакше, найважча ділянка пройдено, і рішення входить до накатаної колії:

З умови знаходимо:
– ймовірність виготовлення бракованої деталі для відповідних цехів.

За формулою повної ймовірності:
- Імовірність того, що навмання витягнута з контейнера деталь виявиться нестандартною.

Питання друге: яка ймовірність того, що одержану браковану деталь випустив 3-й цех? Це питання припускає, що деталь вже витягнута, і вона виявилася бракованою. Переоцінюємо гіпотезу за формулою Байєса:
- Шукана ймовірність. Цілком очікувано – адже третій цех виробляє не лише найменшу частку деталей, а й лідирує за якістю!

У цьому випадку довелося спрощувати чотириповерховий дріб, що у завданнях на формули Байєса доводиться робити досить часто. Але для цього уроку я якось випадково підібрав приклади, в яких багато обчислень можна провести без звичайних дробів.

Якщо в умові немає пунктів «а» і «бе», то відповідь краще забезпечити текстовими коментарями:

Відповідь: - Імовірність того, що витягнута з контейнера деталь виявиться бракованою; - Імовірність того, що витягнуту браковану деталь випустив 3-й цех.

Як бачите, завдання на формулу повної ймовірності і формули Байєса досить прості, і, напевно, з цієї причини в них так часто намагаються ускладнити умову, про що я вже згадував на початку статті.

Додаткові приклади є у файлі з готовими рішеннями на Ф.П.В. та формули БайєсаКрім того, напевно, знайдуться охочі глибше ознайомитися з цією темою в інших джерелах. А тема дійсно дуже цікава – чого тільки стоїть один парадокс Байєса, який обґрунтовує та життєва рада, що якщо у людини діагностована рідкісна хвороба, то їй має сенс провести повторне і навіть два повторні незалежні обстеження. Здавалося б, це роблять винятково від розпачу… ​​– а ось і ні! Але не будемо про сумне.

- Імовірність того, що довільно обраний студент складе іспит.
Нехай студент склав іспит. За формулами Байєса:
а) - Імовірність того, що студент, який склав іспит, був підготовлений дуже добре. Об'єктивна вихідна ймовірність виявляється завищеною, оскільки майже завжди деяким «середнячкам» щастить з питаннями і вони дуже сильно відповідають, що викликає помилкове враження бездоганної підготовки.
б) - Імовірність того, що студент, який склав іспит, був підготовлений середньо. Вихідна можливість виявляється трохи завищеною, т.к. студентів із середнім рівнем підготовки зазвичай більшість, крім того, сюди викладач віднесе «відмінників», які невдало відповіли, а зрідка й погано встигаючого студента, якому пощастило з квитком.
в) - Імовірність того, що студент, який склав іспит, був підготовлений погано. Вихідна можливість переоцінилася на гірший бік. Не дивно.
Перевірка:
Відповідь :