Нечіткі множини приклади. Нечіткі множини

Анотація: У лекції представлені методи моделювання економічних завдань із використанням нечітких множин у середовищі Mathcad. Введено основні поняття теорії нечітких множин. На прикладах показані операції над множинами, розрахунок властивостей. Розглянуто оригінальні завдання, в яких застосовано нечітко-множинний підхід у процесі прийняття рішення. Техніка моделювання реалізована за допомогою матриць програми Mathcad.

Ціль лекції.Познайомити з нечіткими множинами. Навчити ставити завдання для побудови нечітко-множинної моделі. Показати, як будувати нечіткі множини і робити дії над ними в Mathcad. Подати методи розв'язання нечітко-множинної моделі в процесі розв'язання задач.

6.1 Нечітко-множинне моделювання

p align="justify"> При моделюванні широкого класу реальних об'єктів виникають необхідність приймати рішення в умовах неповної нечіткої інформації. Сучасним перспективним напрямом моделювання різноманітних невизначеностей є теорія нечітких множин. В рамках теорії нечітких множин розроблені методи формалізації та моделювання міркувань людини, таких понять як "менш-менш високий рівень інфляції", "стійке становище на ринку", "цінніший" і т.д.

Вперше поняття нечітких множин запропонував американський вчений Л. А. Заде (1965 р). Його ідеї послужили розвитку нечіткої логіки. На відміну від стандартної логіки з двома бінарними станами (1/0, Так/Ні, Істина/Брехня), нечітка логіка дозволяє визначати проміжні значення між стандартними оцінками. Прикладами таких оцінок є: "скоріше так, ніж ні", "мабуть так", "трохи праворуч", "різко вліво" на відміну від стандартних: "вправо" або "вліво", "так". Теоретично нечітких множин введені нечіткі числа як нечіткі підмножини спеціалізованого виду, відповідних висловлюванням типу " значення змінної приблизно дорівнює а " . Як приклад розглянемо трикутне нечітке число , де виділяються три точки: мінімально можливе, найбільш очікуване та максимально можливе значення фактора. Трикутні числа – це тип нечітких чисел, що найчастіше використовується на практиці, причому, найчастіше їх використовують як прогнозні значення параметра. Наприклад, очікуване значення інфляції наступного року. Нехай найбільш ймовірне значення – 10%, мінімально можливе – 5%, а максимально можливе – 20%, тоді всі ці значення можуть бути зведені до виду нечіткого підмножини або нечіткого числа A: А: (5, 10, 20)

З введенням нечітких чисел виявилося можливим прогнозувати майбутні значення параметрів, що змінюються у встановленому розрахунковому діапазоні. Вводиться набір операцій над нечіткими числами, які зводяться до операцій алгебри зі звичайними числами при заданні певного інтервалу достовірності (рівня належності). Застосування нечітких чисел дозволяє задавати розрахунковий коридор значень прогнозованих параметрів. Тоді очікуваний ефект оцінюється експертом також як нечітке число зі своїм розрахунковим розкидом (ступенем нечіткості).

Нечітка логіка, як модель людських розумових процесів, вбудована в системи штучного інтелекту та в автоматизовані засоби підтримки прийняття рішень(зокрема, у системи управління технологічними процесами).

6.2 Основні поняття теорії нечітких множин

Безліч - невизначене поняття математики. Георг Кантор (1845 - 1918) - німецький математик, чиї роботи лежать в основі сучасної теорії множин, дає таке поняття: "... безліч - це багато, мислиме як єдине".

Безліч, що включає всі об'єкти, що розглядаються в задачі, називають універсальним безліччю. Універсальна безлічприйнято позначати буквою. Універсальна безлічє максимальним безліччю тому, що це об'єкти є його елементами, тобто. твердження в рамках завдання завжди є істинним. Мінімальною кількістю є порожня безліч– , що не містить жодного елемента. Всі інші множини в цій задачі є підмножинами множини. Нагадаємо, що множину називають підмножиною множини , якщо всі елементи є також елементами . Завдання множини - це правило, що дозволяє щодо будь-якого елемента універсальної множини однозначно встановити, чи належить множині або не належить. Іншими словами, це правило, що дозволяє визначити, яке з двох висловлювань, або , є істинним, а яке є хибним. Одним із способів завдання множин є завдання за допомогою характеристичної функції.

Характеристичною функцією множини називають функцію , задану на універсальній множині і приймає значення одиниця на тих елементах множини , які належать , і значення нуль на тих елементах, які не належать :

(6.1)

Як приклад розглянемо універсальна безлічі два його підмножини: - множина чисел, менших 7, і - множина чисел, трохи менших 7. Характеристична функція множини має вигляд

(6.2)

Безліч у цьому прикладі є звичайною безліччю.

Записати характеристичну функцію множини, використовуючи лише 0 і 1, неможливо. Наприклад, чи включати числа 1 і 2? "набагато" або "ненабагато" число 3 менше 7? Відповіді на ці та подібні до них питання можуть бути отримані в залежності від умов задачі, в якій використовуються безлічі і , а також від суб'єктивного погляду того, хто вирішує це завдання. Безліч називається нечітким безліччю. При складанні характеристичної функції нечіткої множини вирішальний завдання (експерт) може висловити свою думку щодо того, якою мірою кожне з чисел множини належить множині . Як ступінь приналежності можна вибрати будь-яке число з відрізка. При цьому означає повну впевненість експерта в тому, що - так само повну впевненість, що говорить про те, що експерт не може відповідати на запитання, чи належить безліч чи не належить. Якщо , то експерт схильний віднести до безлічі , якщо ж , то не схильний.

Функцією приналежності нечіткої множини називають функцію , яка

Таку функцію називають функцією власностінечіткий безлічі. - Максимальне значення функції приналежності, присутнє у множині - верхня грань - називається супремум. Функція приладдявідбиває суб'єктивний погляд фахівця завдання, вносить індивідуальність у її розв'язання.

Характеристичну функцію звичайної множини можна розглядати як функцію приналежності цій множині, але на відміну від нечіткої множини приймає лише два значення: 0 або 1.

Нечітким безліччю називають пару , де - універсальна безліч, - функція приналежностінечіткої множини.

Несучою множиною або носієм нечіткої множини називають підмножину множини, що складається з елементів, на яких .

Точкою переходу нечіткої множини називають елемент множини, на якому .

У прикладі, де , - безліч чисел, менших 7, - безліч чисел, трохи менших 7, суб'єктивно вибираємо значення для множини , які будуть становити функцію приналежності . У таблиці 6.1 представлені функції приналежності для і .

Часто використовується компактніший запис кінцевих або рахункових нечітких множин. Так, замість наведеного вище табличного уявлення підмножин і ці підмножини можна записати наступним чином.

Лекція 4. Моделювання та прийняття рішень у ГІС.

1. Нечіткі множини

2. Методи оптимізації

Нечіткі множини

Найбільш разючою властивістю людського інтелекту є здатність приймати правильні рішення в обстановці неповної та нечіткої інформації. Побудова моделей наближених міркувань людини та використання їх у комп'ютерних системах представляє сьогодні одне з важливих завдань розвитку ГІС, особливо застосування їх у різних сферах управління.

Значне просування у цьому напрямі зроблено 30 років тому про- ром Каліфорнійського університету (Берклі) Лотфі А. Заде. Його робота «Fuzzy Sets», що у 1965 р. у журналі Information and Control, №8, заклала основи моделювання інтелектуальної діяльності і стала початковим поштовхом до розвитку нової математичної теорії.

Що ж запропонував Заді? По-перше, він розширив класичне канторівське поняття множини, припустивши, що характеристична функція (функція приналежності елемента множині) може приймати будь-які значення в інтервалі (0,1)), а не як у класичній теорії тільки значення 0 або 1. Такі множини були названі нечіткими (Fuzzy).

Їм було також визначено операції над нечіткими множинами та запропоновано узагальнення відомих методів логічного висновку.

Розглянемо деякі основні положення теорії нечітких множин.

Нехай Е - універсальна множина, х -елемент Е,а До- деяка властивість. Звичайне (чітке) підмножина Ауніверсальної множини Е,елементи якого задовольняють властивості R, визначається як безліч упорядкованих пар , де - характеристична функція, Що приймає значення 1 , якщо хзадовольняє властивості R, і 0 - в іншому випадку.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайного тим, що для елементів хз Енемає однозначної відповіді "та ні"щодо властивості R. У зв'язку з цим нечітка підмножина Ауніверсальної множини Евизначається як безліч упорядкованих пар , де - характеристична функція власності(або просто функція приналежності), що приймає значення в деякій цілком упорядкованій множині М(Наприклад, М = ). Функція приладдя вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента хпідмножиною А. Безліч Мназивають безліччю приладдя. Якщо М = (0,1), то нечітка підмножина Аможе розглядатися як звичайна чи чітка множина.

Нехай М =і А- нечітка множина з елементами з універсальної множини Еі безліччю приладдя М.

Величина називається заввишкинечіткої множини А. Нечітка безліч А нормальноякщо його висота дорівнює 1 , Т. е. верхня межа його функції приналежності дорівнює 1 ( =1 ). При< 1 нечеткое множест­во называется субнормальным.

Нечітка безліч порожньо, якщо Непорожню субнормальну множину можна нормалізувати за формулою

У наведених вище прикладах використано пряміМетоди, коли експерт або просто задає для кожного значення або визначає функцію сумісності. Як правило, прямі методи завдання функції приналежності використовуються для вимірних понять, таких як швидкість, час, відстань, тиск, температура і т. д. або коли виділяються полярні значення.

НепряміМетоди визначення значень функції належності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей, через які визначається цікава для нас нечітка множина. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приналежності були нам відомі, наприклад, то попарні порівняння можна представити матрицею відносин , де(Операція поділу).

Насправді експерт сам формує матрицю А, у своїй передбачається, що діагональні елементи рівні 1, а елементів, симетричних щодо діагоналі, =1/ , т. е. якщо один елемент оцінюється в раз вище ніж інший, цей останній може бути в 1/ раз сильніше. У випадку завдання зводиться до пошуку вектора , що задовольняє рівнянню виду де - найбільше власне значення матриці А.

Введення поняття лінгвістичної змінної, і припущення, що як її значень (термів) виступають нечіткі множини, фактично дозволяє створити апарат опису процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість та невизначеність виразів.

Оскільки матриця Апозитивно-визначена за побудовою, розв'язання цієї задачі існує при прийнятому значенні () і є позитивним. С(Т), де С(Т) - безліч згенерованих термів, називається розширеною терм-множиною лінгвістичної змінної;

М - семантична процедура, що дозволяє перетворити кожне нове значення лінгвістичної змінної, що утворюється процедурою С, на нечітку змінну, тобто сформувати відповідну нечітку множину.

Ввівши поняття лінгвістичної змінної і припускаючи, що як її значень (термів) виступають нечіткі множини, фактично дозволяє створити апарат опису процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість та невизначеність виразів.

За допомогою нечітких множин можна формально визначити неточні та багатозначні поняття, такі як «висока температура», «молодий чоловік», «середнє зростання» чи «велике місто». Перед формулюванням визначення нечіткої множини необхідно задати так звану область міркувань (universe of discourse). У разі неоднозначного поняття «багато грошей» великою визнаватиметься одна сума, якщо ми обмежимося діапазоном і зовсім інша – в діапазоні . Область міркувань, звана надалі простором чи безліччю, найчастіше позначатиметься символом . Необхідно пам'ятати, що чітка безліч.

Визначення 3.1

Нечітким безліччю в деякому (непорожньому) просторі, що позначається як, називається безліч пар

, (3.1)

Функція приналежності нечіткої множини. Ця функція приписує кожному елементу ступінь його приналежності до нечіткої множини, при цьому можна виділити три випадки:

1) означає повну приналежність елемента до нечіткої множини, тобто. ;

2) означає відсутність приналежності елемента до нечіткої множини, тобто;

3) означає часткову приналежність елемента до нечіткої множини.

У літературі застосовується символьне опис нечітких множин. Якщо - це простір із кінцевою кількістю елементів, тобто. , то нечітка множина записується у вигляді

Наведений запис має символьний характер. Знак «–» означає розподілу, отже приписування конкретним елементам ступенів власності . Іншими словами, запис

означає пару

Так само знак «+» у виразі (3.3) не означає операцію додавання, а інтерпретується як множинне підсумовування елементів (3.5). Слід зазначити, що так можна записувати і чіткі множини. Наприклад, безліч шкільних оцінок можна символічно уявити як

, (3.6)

що рівнозначно запису

Якщо - це простір з нескінченною кількістю елементів, то нечітка безліч символічно записується у вигляді

. (3.8)

Приклад 3.1

Припустимо, що – безліч натуральних чисел. Визначимо поняття множини натуральних чисел, «близьких числу 7». Це можна зробити визначенням наступної нечіткої множини:

Приклад 3.2

Якщо , де - множина дійсних чисел, то множина дійсних чисел, «близьких числу 7», можна визначити функцією приналежності виду

. (3.10)

Тому нечітка безліч дійсних чисел, «близьких числу 7», описується виразом

. (3.11)

Зауваження 3.1

Нечіткі множини натуральних чи дійсних чисел, «близьких числу 7», можна записати різними способами. Наприклад, функцію приладдя (3.10) можна замінити виразом

(3.12)

На рис. 3.1а і 3.1б представлені дві функції приналежності нечіткої множини дійсних чисел, «близьких числу 7».

Мал. 3.1. Ілюстрація наприклад 3.2: функції власності нечіткого безлічі дійсних чисел, «близьких числу 7».

Приклад 3.3

Формалізуємо неточне визначення «придатна температура для купання в Балтійському морі». Задамо область міркувань у вигляді множини . Відпочиваючий I, що найкраще почувається при температурі 21°, визначив би для себе нечітку множину

Відпочиваючий II, який віддає перевагу температурі 20°, запропонував би інше визначення цієї множини:

За допомогою нечітких множин і ми формалізували неточне визначення поняття «придатна температура для купання в Балтійському морі». Деякі програми використовують стандартні форми функцій приладдя. Конкретизуємо ці функції та розглянемо їх графічні інтерпретації.

1. Функція власності класу (рис. 3.2) визначається як

(3.15)

де. p align="justify"> Функція приналежності, що відноситься до цього класу, має графічне уявлення (рис. 3.2), що нагадує букву «», причому її форма залежить від підбору параметрів , і . У точці функція власності класу приймає значення, що дорівнює 0,5.

2. Функція приналежності класу (рис. 3.3) визначається через функцію приналежності класу:

(3.16)

Мал. 3.2. Функція приналежності класу.

Мал. 3.3. Функція приналежності класу.

Функція приналежності класу набуває нульових значень для і . У точках її значення дорівнює 0,5.

3. Функція приналежності класу (рис. 3.4) задається виразом

(3.17)

Читач з легкістю помітить аналогію між формами функцій власності класів і .

4. Функція приналежності класу (рис. 3.5) визначається як

(3.18)

Мал. 3.4. Функція приналежності класу.

Мал. 3.5. Функція приналежності класу.

У деяких додатках функція класу може бути альтернативною по відношенню до функції класу .

5. Функція приналежності класу (рис. 3.6) визначається виразом

(3.19)

Приклад 3.4

Розглянемо три неточні формулювання:

1) "мала швидкість автомобіля";

2) "середня швидкість автомобіля";

3) "велика швидкість автомобіля".

Як область міркувань приймемо діапазон , де - це максимальна швидкість. На рис. 3.7 представлені нечіткі множини , і , що відповідають наведеним формулюванням. Звернемо увагу, що функція приналежності множини має тип , множини - тип , а множини - тип . У фіксованій точці км/год функція належності нечіткої множини «мала швидкість автомобіля» набуває значення 0,5, тобто. . Таке значення приймає функція власності нечіткої множини «середня швидкість автомобіля», тобто. , тоді як .

Приклад 3.5

На рис. 3.8 показано функцію приналежності нечіткої множини «великі гроші». Це функція класу, причому , , .

Мал. 3.6. Функція приналежності класу.

Мал. 3.7. Ілюстрація наприклад 3.4: функції приналежності нечітких множин "мала", "середня", "велика" швидкість автомобіля.

Мал. 3.8. Ілюстрація наприклад 3.5: Функція власності нечіткої множини «великі гроші».

Отже, суми, що перевищують 10000 руб, можна цілком виразно вважати «великими», оскільки значення функції належності при цьому стають рівними 1. Суми, менші ніж 1000 руб, не відносяться до «великих», оскільки відповідні значення функції належності рівні 0. Звичайно, таке визначення нечіткої множини «великі гроші» має суб'єктивний характер. Читач може мати власне уявлення про неоднозначне поняття «великі гроші». Це уявлення буде відображатися іншими значеннями параметрів та функції класу.

Визначення 3.2

Безліч елементів простору , для яких називається носієм нечіткої множини і позначається (support). Формальний його запис має вигляд

. (3.20)

Визначення 3.3

Висота нечіткої множини позначається і визначається як

. (3.21)

Приклад 3.6

Якщо і

, (3.22)

то .

, (3.23)

Визначення 3.4

Нечітка множина називається нормальним тоді і тільки тоді, коли . Якщо нечітка множина не є нормальною, то її можна нормалізувати за допомогою перетворення

, (3.24)

де - висота цієї множини.

Приклад 3.7

Нечітка безліч

(3.25)

після нормалізації набуває вигляду

. (3.26)

Визначення 3.5

Нечітка множина називається порожньою і позначається тоді і тільки тоді, коли для кожного .

Визначення 3.6

Нечітка множина міститься в нечіткій множині , що записується як , тоді і тільки тоді, коли

(3.27)

для кожного .

Приклад включення (змісту) нечіткої множини в нечіткій множині ілюструється на рис. 3.9. У літературі зустрічається також поняття ступеня включення нечітких множин. Ступінь включення нечіткої множини в нечітку множину на рис. 3.9 дорівнює 1 (повне включення). Нечіткі множини, представлені на рис. 3.10, що не задовольняють залежності (3.27), отже, включення в сенсі визначення (3.6) відсутнє. Однак нечітка множина міститься в нечіткій множині в ступені

, (3.28)

, виконується умова

Мал. 3.12. Нечітка опукла безліч.

Мал. 3.13. Нечітка увігнута безліч.

Мал. 3.13 ілюструє нечітку увігнуту множину. Легко перевірити, що нечітка множина є опуклим (увігнутим) тоді і тільки тоді, коли є опуклими (увігнутими) всі його розрізи.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ НЕЧІТКИХ МНОЖИН І ЛІНГВІСТИЧНИХ ЗМІННИХ

1. Поняття та основні характеристики нечіткої множини

Визначення 1.1. Нехай X – універсальна множина. Нечітким безліччю Aна множині X (нечітким підмножиною A множини X ) називається сукупність пар

A = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

де x X ,μ A (x ) .X називається областю визначеннянечіткої множини A , а μ A – функцією власностіцієї множини. Значення функції приналежності A (x ) для конкретного елемента x називається ступенем належностіцього елемента нечіткої множини A .

Інтерпретацією функції приналежності є суб'єктивний захід того, наскільки елемент x X відповідає поняттю, зміст якого формалізується нечітким безліччю A . При цьому значення, що дорівнює 1, означає повну (абсолютну) відповідність, значення, що дорівнює 0 – повна (абсолютна) невідповідність.

Визначення 1.2. Нечіткі множини з дискретною областю визначення називають дискретними нечіткими множинами, не-

чіткі множини з безперервною областю визначення - безперервно-

ними нечіткими множинами.

Звичайні (чіткі) множини можна також розглядати у нечіткому контексті. Функція приналежності звичайної множини може приймати тільки два значення: 0 якщо елемент не належить множині, і 1 якщо елемент йому належить.

У літературі можна зустріти різні форми запису нечітких множин. Для дискретної області визначення X = (x 1, x 2, …, x n) (можливий також випадок n = ∞) існують такі форми:

j = 1

де знак інтеграла має сенс поточкового об'єднанняна X. Крім того, як для дискретного, так і для безперервного випадків застосовується узагальнена форма запису:

B = (x x ≈ 2) – безліч дійсних чисел, приблизно рівних 2, і C = (x x >> 1) - безліч речових чисел,на-

багато більших 1. Можливі форми функцій приналежності цих множин схематично представлені на рис.1.1 та рис.1.2 відповідно.

Як приклад дискретної нечіткої множини можна розглянути D = (n n ≈ 1) – безліч цілих чисел, близьких до 1,

можлива форма завдання якого така:

N = (0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5) (інші точки мають нульовий ступінь належності) .

Конкретний вид функції власності залежить від сенсу, вкладеного в поняття, що формалізується, в умовах конкретного завдання, і часто має суб'єктивну природу. Більшість методів побудови функцій власності у тому мірою грунтується на обробці інформації, одержуваної експертним шляхом.

Примітка 1. Тут sup (супремум) – найточніша верхня грань функції приналежності. Якщо безліч X (область визначення) є замкнутим, то супремум функції збігається з її максимумом.

Визначення 1.5. Якщо h A = 1, то нечітка множина A називає-

ється нормальним, інакше (hA< 1) – субнормальным.

Визначення 1.6. Носієм нечіткої множиниA називається безліч

елементи області визначення, хоч якоюсь мірою відповідають поняттю, що формалізується.

Примітка 2. Не слід плутати позначення sup та supp. Перше є скороченням від supremum, друге – від support.

Визначення 1.7. Безліч рівняα (α-зрізом) нечіткого

Ядро нечіткої множини, тим самим, містить всі елементи області визначення, що повністю відповідають поняттю, що формалізується.

звідки випливає, що елемент, що належить множині рівня α належить також всім множинам менших рівнів β α.

Визначення 1.9. Нехай A і B – нечіткі множини на множині X з функціями належності A і B відповідно. Гово-

рятують, що A є нечітким підмножиною B (B включає в себе

A), якщо виконано таку умову:

Серед нечітких множин з числовою областю визначення виділяють також клас нечітких чисел нечітких інтервалів. Для визначення цього класу вводиться поняття опуклості нечітких множин.

Визначення 1.11. Нечітке підмножина речової осі називається опуклим, якщо виконується наступна умова:

На рис. 1.3 показані приклади опуклого (ліворуч) і непуклого (праворуч) нечітких множин.

Мал. 1.3. До визначення опуклості нечіткої множини

Визначення 1.12. Нечітким інтервалом називається опукла нормальна нечітка множина на числовій області визначення, що має безперервну функцію приналежності та непусте ядро.Нечітким числом називається нечіткий інтервал, ядро ​​якого містить точно один елемент.

Для нечітких інтервалів і чисел існує теорема уявлення, згідно з якою нечітке підмножина A речової осі є нечітким інтервалом тоді і тільки тоді, коли його функція приналежності уявна у вигляді:

Функції L A і RA називаються відповідно лівою і правою гілкою функції належності нечіткого числа. Ці функції безперервні, при цьому L A на відрізку зростає від L A (a 0 ) = 0 до

L A (a 1 ) = 1, а R A на відрізку зменшується від R A (b 1 ) = 1 до R A (b 0 ) = 0 (рис. 1.4).

Мал. 1.4. До визначення нечіткого інтервалу

Визначення 1.13. Нехай A = (A 1 ,A 2 ,… ,A n ) – сімейство нечітких множин, заданих на області визначення X . нечітким розбиттям Xз параметром (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

(тобто будь-який елемент області визначення належить хоча б одній із множин сімейства Ã зі ступенем, не меншим α – рис. 1.5).

За традицією чіткі множини прийнято ілюструвати колами з різко оконтуреними кордонами. Нечіткі ж множини – це кола, утворені окремими точками: у центрі кола крапок багато, а ближче до периферії їх густота зменшується до нуля; коло як би розтушовується на краях. Такі «нечіткі множини» можна побачити... у тирі – на стіні, куди вивішуються мішені. Сліди від куль утворюють випадковімножини, математика яких відома. Виявилося, що для оперування нечіткими множинами годиться вже давно розроблений апарат випадкових множин.

Поняття нечіткої множини – спроба математичної формалізації нечіткої інформації з її використання при побудові математичних моделей складних систем. В основі цього поняття лежить уявлення про те, що складові дана множина елементи, що володіють загальним властивістю, можуть мати цю властивість у різному ступені і, отже, належати даній множині з різним ступенем.

Один із найпростіших способів математичного опису нечіткої множини – характеризування ступеня приналежності елемента до множини числом, наприклад, з інтервалу . Нехай Х- Декілька безліч елементів. Надалі ми розглядатимемо підмножини цієї множини.

Нечіткою безліччю А в Хназивається сукупність пар виду ( x, m A(x)), де xÎX,а m А– функція x® , звана функцією приналежності (membership function)нечіткої множини А. Значення m A(x)цієї функції для конкретного xназивається ступенем приналежності цього елемента нечіткої множини А.

Як видно з цього визначення, нечітка множина цілком описується своєю функцією приналежності, тому ми часто будемо використовувати цю функцію як позначення нечіткої множини.

Звичайні множини становлять підклас класу нечітких множин. Дійсно, функцією приналежності звичайної множини BÌ Xє його характеристична функція: m (x)=1, якщо xÎ Bта m (x)=0, якщо xÏ B.Тоді відповідно до визначення нечіткої множини звичайна множина Уможна також визначити як сукупність пар виду ( x, m (x)). Таким чином, нечітка множина є більш широким поняттям, ніж звичайна множина, в тому сенсі, що функція приналежності нечіткої множини може бути, взагалі кажучи, довільною функцією або навіть довільним відображенням.

Ми говоримо нечітка безліч. А безліч чого?Якщо бути послідовним, то доводиться констатувати, що елементом нечіткої множини виявляється... нова нечітка множина нових нечітких множин і т.д. Звернемося до класичного прикладу – до купі зерна. Елементом цієї нечіткої множини буде мільйон зереннаприклад. Але мільйон зерен це ніякий не чіткий елемент, а нове нечітка безліч. Адже вважаючи зерна (вручну чи автоматично), не дивно і помилитися – прийняти за мільйон 999 997 зерен, наприклад. Тут можна сказати, що елемент 999997 має значення функції приналежності до множини "мільйон", що дорівнює 0.999997. Крім того, саме зерно – це знову ж таки не елемент, а нова нечітка безліч: є повноцінне зерно, а є два зрощені зерна, недорозвинене зерно або просто лушпиння. Вважаючи зерна, людина має якісь відбраковувати, приймати два збіжжя за одне, а в іншому випадку одне зерно за два. Нечітка безліч не так просто запхати в цифровий комп'ютер з класичними мовами: елементами масиву (вектора) повинні бути нові масиви масивів (вкладені вектори та матриці, якщо говорити про Mathcad). Класична математика чітких множин (теорія чисел, арифметика тощо) – це гачок, за допомогою якого людина розумнафіксує (детермінує) себе у слизькому та нечіткому навколишньому світі. А гак, як відомо, – інструмент досить грубий, що нерідко псує те, за що їм чіпляються. Терміни, що відображають нечіткі множини - "багато", "злегка", "трохи" і т.д. і т.п., - важко "запхати" в комп'ютер ще й тому, що вони контекстно залежні. Одна справа сказати «Дай мені трохи насіння» людині, у якої склянка насіння, а інша справа – людині, яка сидить за кермом вантажівки з насінням.

Нечітка підмножина Абезлічі Ххарактеризується функцією приналежності m A:Х→, яка ставить у відповідність кожному елементу xÎ Xчисло m A(x)з інтервалу, що характеризує ступінь належності елемента хпідмножиною А. Причому 0 і 1 представляють відповідно нижчу та високу ступінь належності елемента до певного підмножини.

Дамо основні визначення.

· Величина sup m A(x) називається заввишки нечіткої множини A. Нечітка безліч A нормально якщо його висота дорівнює 1 , тобто. верхня межа його функції власності дорівнює 1. У sup mA(x)<1 нечітка множина називається субнормальним.

· Нечітка множина називається порожнім, якщо його функція приналежності дорівнює нулю на всій множині Х, тобто. m 0 (x) = 0 " xÎ X.

Нечітка безліч порожньо , якщо " xÎ E m A ( x)=0 . Непорожню субнормальну множину можна нормалізувати за формулою

(Рис. 1).

Рис.1. Нормалізація нечіткої множини з функцією власності. .

Носіємнечіткої множини А(позначення supp A) з функцією приналежності m A(x)називається безліч виду suppA={x|xÎ X, m A(x)> 0). Для практичних додатків носії нечітких множин завжди обмежені. Так, носієм нечіткої множини допустимих режимів для системи може бути чітке підмножина (інтервал), для якого ступінь допустимості не дорівнює нулю (рис.2).

Мал. 3. Ядро, носій та α- переріз нечіткої множини

Значення α називають α -рівнем. Носій (ядро) можна розглядати як переріз нечіткої множини на нульовому (одиничному) α -рівні.

Мал. 3 ілюструє визначення носія, ядра,α - перерізу таα - рівнянечіткої множини.