Нулі функції параболи. ДІА

Презентація та урок на тему:
"Графік функції $y=ax^2+bx+c$. Властивості"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Дорофєєва Г.В. Посібник до підручника Микільського С.М.

Хлопці, на останніх уроках ми будували велику кількість графіків, у тому числі багато параболів. Сьогодні ми узагальним отримані знання та навчимося будувати графіки цієї функції у найзагальнішому вигляді.
Давайте розглянемо квадратний тричлен $a*x^2+b*x+c$. $а, b, c$ називаються коефіцієнтами. Вони можуть бути будь-якими числами, але $ а ≠ 0 $. $a*x^2$ називається старшим членом, $а$ – старшим коефіцієнтом. Варто зауважити, що коефіцієнти $b$ і $c$ можуть дорівнювати нулю, тобто тричлен буде складатися з двох членів, а третій дорівнює нулю.

Давайте розглянемо функцію $y=a*x^2+b*x+c$. Ця функція називається "квадратичною", тому що старший ступінь другий, тобто квадрат. Коефіцієнти такі самі, як визначено вище.

На минулому уроці в останньому прикладі ми розібрали побудову графіка подібної функції.
Давайте доведемо, що будь-яку таку квадратичну функцію можна звести до вигляду $y=a(x+l)^2+m$.

Графік такої функції будується з допомогою додаткової системи координат. У великій математиці числа зустрічаються досить рідко. Практично будь-яке завдання потрібно довести у загальному випадку. Сьогодні ми розберемо один із таких доказів. Діти, ви зможете, побачити всю силу математичного апарату, але так само і його складність.

Виділимо повний квадрат із квадратного тричлена:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Ми отримали те, що хотіли.
Будь-яку квадратичну функцію можна представити у вигляді:
$y=a(x+l)^2+m$, де $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

Для побудови графіка $y=a(x+l)^2+m$ необхідно побудувати графік функції $y=ax^2$. Причому вершина параболи буде в точці з координатами $(-l;m)$.
Отже, наша функція $y=a*x^2+b*x+c$ - парабола.
Осю параболи буде пряма $x=-\frac(b)(2a)$, причому координати вершини параболи по осі абсцис, як ми можемо помітити, обчислюється формулою: $x_(в)=-\frac(b)(2a) $.
Для обчислення координати вершини параболи по осі ординат, ви можете:

• скористатися формулою: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
• безпосередньо підставити у вихідну функцію координату вершини $х$: $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.

приклад 1.
Без побудови графіка функції $y=4x^2-6x-3$ дайте відповідь на наступні питання:

Рішення.
а) Оссю параболи служить пряма $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4)$ .
б) Абсцис вершини ми знайшли вище $x_(в)=\frac(3)(4)$.
Ординату вершини знайдемо безпосередньою підстановкою у вихідну функцію:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
в) Графік, необхідної функції, вийде паралельним перенесенням графіка $ y = 4x ^ 2 $. Його гілки дивляться вгору, а значить і гілки параболи вихідної функції також дивитися вгору.
Взагалі, якщо коефіцієнт $а>0$, то гілки дивляться нагору, якщо коефіцієнт $a
приклад 2.
Побудувати графік функції: $y=2x^2+4x-6$.

Рішення.
Знайдемо координати вершини параболи:
$x_(в)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Зазначимо координату вершини на осі координат. У цій точці, як у новій системі координат побудуємо параболу $y=2x^2$.

Існує безліч способів, що спрощують побудову графіків параболи.

• Ми можемо знайти дві симетричні точки, обчислити значення функції цих точках, відзначити їх у координатної площині і з'єднати їх із вершиною кривою, описує параболу.
• Ми можемо побудувати гілку параболи правіше або лівіше вершини і потім її відобразити.
• Ми можемо будувати за точками.

приклад 3.
Знайти найбільше та найменше значення функції: $y=-x^2+6x+4$ на відрізку $[-1;6]$.

Рішення.
Побудуємо графік цієї функції, виділимо необхідний проміжок і знайдемо найнижчу та найвищу точку нашого графіка.
Знайдемо координати вершини параболи:
$x_(в)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
У точці з координатами $(3;13)$ побудуємо параболу $y=-x^2$. Виділимо необхідний проміжок. Найнижча точка має координату -3, найвища точка - координату 13.
$y_(найм)=-3$; $ y_ (Наїб) = 13 $.

Завдання для самостійного вирішення