Позначення, запис та зображення числових множин. Визначення множини

в) M 3={x|x=2n+1,};

г) M 4= ((x,y)ôxÎR, yÎR ; £ 4);

Завдання 1.2. З'ясувати, яким способом задані такі множини і перерахувати всі елементи цих множин:

1) (x x є дільник числа 100);

2) (xô x є простим дільником числа 100);

3) ( xô x є простий множник числа 100);

4) (xô x ÎN; – 1 = 0 та – 4 = 0);

5) (xô x є буква слова «академія»);

6) (xô x ÎN; 2 = 1);

7) (xô x ÎN; ).

Рішення.

1. Ця множина складається з усіх дільників числа 100, тобто до нього включаються лише ті числа, які ділять число 100 націло. Вочевидь, що є завдання безлічі з допомогою характеристичного предикату «бути дільником числа 100». Перелічимо всі ці числа: 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50. Додавши сюди число 1 і 100, отримаємо шукане безліч. Позначимо його А. Тоді А = (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100).

2. Безліч задано за допомогою характеристичного предикату «бути простим дільником числа 100». Серед дільників попередньої задачі відберемо лише прості числа, якими будуть 2 і 5. Все ж решта дільників є складовими. Число 1, як відомо з курсу шкільної арифметики, не відноситься ні до простих, ні до складових чисел. Позначивши це безліч, отримаємо: В = (2, 5).

3. Безліч задано за допомогою характеристичного предикату «бути простим множником числа 100». Розкладемо 100 на прості множники. Отримаємо таку тотожність: 100 = 2×2×2×5. Ці числа і будуть елементами множини, яку позначимо С = (2, 2, 5, 5). Відповідь можна було б залишити в такому вигляді, проте теоретично множин кількість однакових елементів, як правило, ігнорується. Тому коректніше відповідь подати у вигляді: С = (2, 5).

4. Дане безліч можна вважати заданим за допомогою процедури, що породжує, якою є процедура вирішення квадратних рівнянь і відбору коренів за ознакою належності їх до безлічі натуральних чисел. Проте, заради справедливості, слід зазначити, що часто при визначенні способу завдання множини буває досить важко стверджувати, що безліч задано цим і тільки цим способом. У цьому прикладі цілком можна стверджувати, що спосіб завдання множини – за допомогою характеристичного предикату «відбір коренів рівняння за ознакою приналежності до множини N». Вирішуємо обидва рівняння: його коріння +1 і -1; , його коріння +2 та -2. Оскільки числа -1 і -2 не є натуральними, множина, яку ми позначимо D, буде такою: D = (1, 2).

5. Спосіб завдання – за допомогою характеристичного предикату. Позначимо безліч Е. Отримаємо: Е = (а, к, д, е, м, і, я), де буква «а» згадана лише один раз.

6. Спосіб завдання даної множини аналогічний прикладу 4). Розв'яжемо дане показово-логарифмічне рівняння 2 = 1. ОДЗ цього рівняння – всі х³0. = 1, звідки = 0, коріння дорівнює 2. Натуральним числом є 2. Отже, наша множина, яку позначимо через F, складатиметься тільки з одного елемента: F = (2).

7. Спосіб завдання даної множини аналогічний прикладу 4). Вирішуємо дану ірраціональну нерівність. ОДЗ – усі х ³ 1. Обидві частини зведемо в квадрат: х – 1 ³ 4, звідки х ³ 5. Це не суперечить ОДЗ, тому область розв'язання цієї нерівності х ³ 5. Іншими словами, х Î . Очевидно, що натуральних чисел на даному інтервалі буде безліч. Тому ця множина G буде нескінченною: G = (5, 6, 7, … n,…).

Завдання 1.3. Записати множини за допомогою властивості P (х ):

2) {1, 3, 9, 27, 81, 243};

3) (s, t, u, d, e, n, t).

Рішення.

1) підібрати характеристичний предикат можна, наприклад, так. Перемножимо всі числа. Отримаємо: 2×3×11 = 66. Тоді

А = (aôa – простий дільник числа 66);

2) всі представлені числа є ступенями числа 3 (30 = 1, 31 = 3, 32 = 9 і т.д.). Тому безліч можна задати за допомогою властивості: В = (bôb – ступінь числа 3 з показником від 0 до 5);

3) C = (côc – буква слова "student").

Завдання 1.4. Зобразити такі множини графічно:

1) А = ((x,y)ôxÎR, yÎR ; £ 4);

2) B = ((x,y)ôxÎR, yÎR ; x + y >0, x + y – 2 £ 0);

3) C = ((x,y)ôxÎR, yÎR ; |x | £ 1 і | y + 2| £ 4);

4) D = ((x,y)ôxÎR, yÎR і };

5) E = ((x,y)ôxÎR, yÎR та y £ |sin x|);

6) F = ((x,y)ôxÎR, yÎR і ).

Рішення. Усі задані множини складаються з пар дійсних чисел, які задовольняють деяким умовам. Зображуючи точки, відповідні даним парам в декартовій системі координат на площині, отримаємо деякі області, які і будуть геометричним (графічним) зображенням досліджуваної множини.

1. Побудуємо межу множини А. Для цього від нерівності перейдемо до рівності: = 4. З курсу аналітичної геометрії відомо, що це рівняння є рівнянням кола з центром на початку координат і радіусом 2. Вона і буде межею множини. Далі слід з'ясувати, яку частину площини слід вибрати: ту, що лежить всередині кола чи ту, що лежить ззовні. Для цього задамо координатами будь-якої точки, яка явно знаходиться в обраній області. Наприклад, точка початку координат (0; 0). Підставимо значення х = 0 і у = 0 у нерівність £ 4. Отримаємо: £ 4, тобто в точці О (0; 0) ця нерівність справедлива. Отже, нам потрібно вибрати частину площини всередині кола. Якщо взяти координати інших точок усередині кола і підставити їх у нерівність, результат буде таким самим. Навпаки, для точок ззовні нерівність буде хибною. Наприклад, точка Q(10;10): = 200, а це не менше 4! Підсумовуючи все сказане, можемо стверджувати, що множина А – це коло радіусу 2 з центром на початку координат.

2. Для побудови меж множини розглянемо рівності: x + y = 0, x + y – 2 = 0. Перша пряма (її рівняння можна записати як у = - х) є бісектриса 2-го і 4-го координатних кутів. Вона поділяє координатну площину на дві частини: ту, яка лежить вище (або правіше) прямої і ту, яка нижче (або лівіше) прямої. Щоб вибрати потрібну частину, візьмемо пробну точку з координатами, наприклад, Q(10;10) і підставимо її координати в нерівність x + y > 0. Отримаємо: 10 +10 > 0 тобто нерівність справедлива для частини площини вище (правіше) прямої x + y = 0. Друга пряма (її рівняння x + y – 2 = 0 може бути записано у відрізках на осях) відсікає на обох осях відрізки довжиною по 2 одиниці і проходить паралельно першій прямій через 2-й, 1-й та 3-й квадранти. Вона також поділяє координатну площину на дві частини: одна вище (правіше) і друга нижче (ліворуч). Для вибору потрібної частини можна використовувати, наприклад, точку О(0;0). Підставляємо х = 0 і у = 0 у нерівність x + y – 2 £ 0. Отримаємо: 0 + 0 – 2 £ 0 – справедливо. Отже, вибираємо ту частину площини по відношенню до другої прямої, де лежить точка О(0;0). У результаті отримуємо область, координати точок якої задовольняють обох нерівностей (наприклад, це точки (1; 1), (0; 1), (1; 0); (2; -1) і т.д.). Це смуга, що лежить між двома паралельними прямими, включаючи і точки, що належать другий прямий (оскільки нерівність не сувора). Ця область і визначає потрібне безліч Ст.

3. Нерівність | x | £ 1 еквівалентно двом: -1 £ х £ 1. Здавалося б, що це безліч точок відрізка [-1; 1]. Якби ми розглядали багато з одного елемента, це було б так. Проте наше безліч складається з пар дійсних чисел (х; у). Тому геометрично нерівність -1 £ х £ 1 являє собою безліч точок, що лежать усередині вертикальної смуги між прямими х = 1 і х = -1. Нерівність | y + 2 | £ 4 також еквівалентно двом: -4 £ y + 2 £ 4. Переносячи 2 ліворуч і праворуч, отримуємо: -6 £ y £ 2. Геометрично це буде безліч точок, що лежать усередині горизонтальної смуги між прямими y = -6 та y = 2 Отже, ми отримали дві смуги, що перетинаються. Яку частину необхідно вибрати для шуканої множини С? За умови завдання обидві нерівності пов'язані союзом «і». А це означає, що необхідно вибрати ті точки з обох смуг, координати яких одночасно задовольняють обидві нерівності. В результаті одержуємо прямокутник. Це і є наша множина С.

4. Розглянемо нерівність. Щоб воно стало «пізнаваним», зведемо у квадрат ліву та праву його частини. Це можна зробити тому, що справа – невід'ємна величина арифметичного кореня. Зліва величина у також неотрицательна, бо інакше нерівність втрачала всякий сенс. Після зведення в другий ступінь обох частин і деякого перетворення отримуємо: Ця нерівність описує частину координатної площини, що лежить поза еліпсом Однак вихідна нерівність має вигляд , причому, як було сказано, величина негативна. Отже, описувана область включатиме лише верхню частину координатної площини, що лежить поза еліпсом. Розглянемо останню нерівність х ³ 0, яка описує праву частину координатної площини. Зіставляючи всі викладки, отримаємо безліч точок, розташованих у першому квадранті поза еліпсом. Це і буде шукана множина D.

5. Побудуємо графік функції у = sin x, а потім ту частину, яка знаходиться нижче осі абсцис, дзеркально відобразимо на верхню напівплощину. Отримаємо графік у = | sin x |. А нерівність y £ |sin x| визначить шукане безліч Е, точки якого будуть між віссю абсцис і дугами відбитої вгору синусоїди.

6. На відміну від попередніх завдань, маємо рівність x2 = y2 , яка, як відомо, визначає деяку лінію. Для «впізнавання» даної лінії зробимо ряд тотожних перетворень: = 0, (х - у) (х + у) = 0. Далі приходимо до сукупності х - у = 0 і х + у = 0. Отримуємо пару прямих, що перетинаються - бісектрис 1 − 3-го та 2 – 4-го квадрантів. Безліч F і є крапками цих прямих.

Завдання для самостійного вирішення.

1. Перерахувати всі елементи наступних множин:

а) ( xô xє дільник чисел 6 та 8); (Відповідь: 2);

б) ( xô xÎN; x 3 - 5x 2 + 4 = 0); (Відповідь: 1);

в) ( x ô xÎR; x+ 1/x > 2; x> 0); (Відповідь: хÎ(0, ¥));

г) ( x ô x- літера слова "університет");

д) ( xô xÎZ; sin x < 0; cos x> 0); (Відповідь: -1).

2. Зобразити такі множини графічно:

а) (( x, y)ô y£ 2 x 2 };

б) (( x, y)ô y³ | x| + 1};

в) (( x, y)ô x 2 + y 2 – 25 > 0}.

Два перші способи завдання множини припускають, що ми маємо можливість ототожнювати та розрізняти об'єкти. Але така можливість існує не завжди, в цьому випадку ми стикаємося з різними ускладненнями. Так, можливо, що два різних характеристичних якості задають одне й те саме безліч, тобто. кожен елемент, що володіє однією властивістю, має і іншу, і навпаки. Наприклад, в арифметиці властивість "ціле число ділиться на 2" задає те ж безліч, що і властивість "остання цифра ділиться на 2". У багатьох випадках йдеться про збіг двох множин (наприклад, множини рівносторонніх трикутників з безліччю рівнокутних трикутників). Крім того, при завданні множин характеристичними властивостями (предикатами) труднощі виникають через недостатню чіткість, неоднозначність формулювання. Розмежування об'єктів на які належать і які належать даному безлічі утрудняється наявністю значної частини проміжних форм.

Особливо виділяється універсальне(або фундаментальне) безліч, тобто. така множина, яка складається з усіх елементів досліджуваної предметної області (позначається буквою Uі читається «універсум», а геометричній інтерпретації зображується безліччю точок всередині деякого прямокутника).

Зазначимо, що «універсальне безліч» поняття відносне: воно вибирається для якогось певного розділу науки і навіть часто навіть явно не визначається, а просто мається на увазі.

Так, наприклад, в елементарній планіметрії як універсальна множина прийнято розглядати безліч усіх точок площини.

У елементарній арифметиці універсальним безліччю вважається безліч Z всіх цілих раціональних чисел тощо.

1.3. ПОРОЖНЕ БАГАТО

Порожня безліч- множина, яка не містить жодного елемента (позначається символом ). Порожня множина можна визначити будь-якою суперечливою властивістю, наприклад Y не є множиною.

Що таке безліч у математиці? Математичне безліч- це кілька окремих елементів, що розглядаються як єдине ціле. Якщо позначити такий елемент літерою a, а саме безліч - літерою А, то запис буде виглядати так:

промовляється цей запис так: a належить А, або містить А, або а - елемент А.

Для перерахування елементів множини використовуються фігурні дужки - (). Тобто, наприклад, множина, в якій а ∈ А, b ∈ A і c ∈ A, записуватиметься в такому вигляді:

Види множин.

Порожні множини.

Порожня безліч– це та безліч, яка взагалі не містить жодних елементів. Позначається воно цифрою 0 або значком ∅.

Прикладом порожньої множини може бути будь-яке нелогічне поняття, що суперечить самому собі - «безліч птахів, що живуть на дні океану», або «безліч дерев на Місяці». Оскільки обидві множини позбавлені сенсу і не відповідають реальності, то, отже, вони порожні. Скажімо, кількість дерев на Місяці – 0, тому «множина дерев на Місяці» буде порожньою (не міститиме жодного елемента).

Рівні множини.

Рівні множини- це дві або більше множин, що складаються з рівних наборів елементів. Наведемо приклад. Скажімо, всі члени Вашої родини знаходяться на кухні. Таким чином, Безліч «Члени сім'ї на кухні» дорівнюватиме безлічі «Члени сім'ї в квартирі».

Якщо два множини - А і B - складаються з однакового набору елементів, то вони будуть рівні, тобто А = B. Елементи множин можуть перераховуватися в будь-якій послідовності, на результат це ніяк не впливає. Безліч (a, b, c) можна з тим самим успіхом записати, як (a, c, b), або (с, b, a), або (b, c, a).

Підмножини та надмножини.

Якщо множини А і B складаються з однакових елементів (a, b, c), то А буде вважатися підмножиною B, а B - надмножиною А. Записується це так:

A ⊆ B, B ⊇ A.

Буває так, що безліч містить у собі кожен з елементів множини А, але в той же час в ньому присутні й інші елементи, множині А не належать. У цьому випадку безліч стає власним надмножиноюА, у той час як безліч А стає власним підмножиноюСт.

Інакше кажучи, якщо А⊆В, але при цьому А≠В, то А⊂В, В⊃А.

З величезного різноманіття всіляких множинособливий інтерес представляють так звані числові множини, тобто, множини, елементами яких є числа. Зрозуміло, що для зручної роботи з ними необхідно вміти їх записувати. З позначень та принципів запису числових множин ми і почнемо цю статтю. А далі розглянемо, як числові множини зображуються на координатній прямій.

Навігація на сторінці.

Запис числових множин

Почнемо із прийнятих позначень. Як відомо, для позначення множин використовуються великі літери латинського алфавіту. Числові множини, як окремий випадок множин, позначаються також. Наприклад, можна говорити про числові множини A, H, W і т.п. Особливу важливість мають безліч натуральних, цілих, раціональних, дійсних, комплексних чисел і т.п., для них були прийняті свої позначення:

• N – множина всіх натуральних чисел;
• Z – безліч цілих чисел;
• Q – безліч раціональних чисел;
• J – безліч ірраціональних чисел;
• R – безліч дійсних чисел;
• C – безліч комплексних чисел.

Звідси зрозуміло, що варто позначати безліч, що складається, наприклад, з двох чисел 5 і −7 як Q , це позначення вводитиме в оману, оскільки буквою Q зазвичай позначають безліч всіх раціональних чисел. Для позначення зазначеної числової множини краще використовувати якусь іншу «нейтральну» букву, наприклад, A .

Якщо вже ми заговорили про позначення, то тут нагадаємо і про позначення порожньої множини, тобто множини, що не містить елементів. Його позначають знаком ∅.

Також нагадаємо про позначення приналежності та неналежності елемента безлічі. Для цього використовують знаки ∈ – належить та ∉ – не належить. Наприклад, запис 5∈N означає, що число 5 належить множині натуральних чисел, а 5,7∉Z – десятковий дріб 5,7 не належить множині цілих чисел.

І ще нагадаємо про позначення, прийняті для включення однієї множини до іншої. Зрозуміло, що всі елементи множини N входять до множини Z , таким чином числова множина N включена в Z , це позначається як NZ . Також можна використовувати запис Z⊃N , який означає, що безліч усіх цілих чисел включає безліч N . Відносини не включено та не включає позначаються відповідно знаками ⊄ та . Також використовуються знаки нестрогого включення виду ⊆ і ⊇, що означають відповідно включено або збігається та включає або збігається.

Для позначення поговорили, переходимо до опису числових множин. При цьому торкнемося лише основних випадків, які найчастіше використовуються на практиці.

Почнемо з числових множин, що містять кінцеву та невелику кількість елементів. Числові множини, що складаються з кінцевого числа елементів, зручно описувати, перераховуючи всі їх елементи. Всі елементи-числа записуються через кому і полягають у , що узгоджується із загальними правилами опису множин. Наприклад, безліч, що складається з трьох чисел 0 −0,25 і 4/7 можна описати як (0, −0,25, 4/7) .

Іноді, коли число елементів числової множини досить велике, але елементи підпорядковуються деякою закономірності, для опису використовують крапку. Наприклад, безліч всіх непарних чисел від 3 до 99 включно можна записати як (3, 5, 7, …, 99).

Так ми плавно підійшли до опису числових множин, кількість елементів яких нескінченна. Іноді їх можна описати, використовуючи все теж багатокрапка. Наприклад опишемо безліч всіх натуральних чисел: N=(1, 2. 3, …) .

Також користуються описом числових множин за допомогою вказівки властивостей його елементів. У цьому застосовують позначення (x| властивості) . Наприклад, запис (n| 8·n+3, n∈N) задає безліч таких натуральних чисел, які при розподілі на 8 дають залишок 3 . Це безліч можна описати як (11,19, 27, …) .

У окремих випадках числові множини з нескінченним числом елементів є відомі множини N , Z , R , тощо. чи числові проміжки. А в основному числові множини видаються як об'єднанняскладових окремих числових проміжків і числових множин з кінцевим числом елементів (про які ми говорили трохи вище).

Покажемо приклад. Нехай числове безліч становлять числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , усі числа відрізка [−5, −1,3] та числа відкритого числового променя (7, +∞) . В силу визначення об'єднання множин вказану числову множину можна записати як {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такий запис фактично означає множину, що містить у собі всі елементи множин (−10, −9, −8,56, 0) , [−5, −1,3] та (7, +∞) .

Аналогічно, поєднуючи різні числові проміжки та безлічі окремих чисел, можна описати будь-яку числову множину (що складається з дійсних чисел). Тут стає зрозуміло, чому були введені такі види числових проміжків як інтервал, напівінтервал, відрізок, відкритий числовий промінь і числовий промінь: всі вони в поєднанні з позначеннями множин окремих чисел дозволяють описувати будь-які числові множини через їх об'єднання.

Зверніть увагу, що при записі числової множини складові його числа та числові проміжки впорядковуються за зростанням. Це не обов'язкова, але бажана умова, оскільки впорядкована числова множина простіше уявити та зобразити на координатній прямій. Також зазначимо, що у подібних записах не використовуються числові проміжки із загальними елементами, оскільки такі записи можна замінити об'єднанням числових проміжків без спільних елементів. Наприклад, об'єднання числових множин із загальними елементами [−10, 0] та (−5, 3) є напівінтервал [−10, 3) . Це ж стосується і об'єднання числових проміжків з однаковими граничними числами, наприклад, об'єднання (3, 5]∪(5, 7] є безліч (3, 7] , на цьому ми окремо зупинимося, коли будемо вчитися знаходити перетин і об'єднання числових множин.

Зображення числових множин на координатній прямій

Насправді зручно користуватися геометричними образами числових множин – їх зображеннями на . Наприклад, при розв'язанні нерівностей, в яких необхідно враховувати ОДЗ, доводиться зображати числові множини, щоб знайти їх перетин та/або об'єднання. Тож корисно буде добре розібратися з усіма нюансами зображення числових множин на координатній прямій.

Відомо, що між точками координатної прямої та дійсними числами існує взаємно однозначна відповідність, що означає, що сама координатна пряма являє собою геометричну модель множини всіх дійсних чисел R . Таким чином, щоб зобразити безліч усіх дійсних чисел, треба накреслити координатну пряму зі штрихуванням на її протязі:

А часто навіть не вказують початок відліку та одиничний відрізок:

Тепер поговоримо про зображення числових множин, що є деякою кінцевою кількістю окремих чисел. Наприклад, зобразимо числову множину (−2, −0,5, 1,2) . Геометричним чином даної множини, що складається з трьох чисел −2 , −0,5 та 1,2 будуть три точки координатної прямої з відповідними координатами:

Зазначимо, що зазвичай потреб практики немає необхідності виконувати креслення точно. Часто досить схематичного креслення, що має на увазі необов'язкове витримування масштабу, при цьому важливо лише зберігати взаємне розташування точок відносно один одного: будь-яка точка з меншою координатою повинна бути лівішою від точки з більшою координатою. Попереднє креслення схематично виглядатиме так:

Окремо з різних числових множин виділяють числові проміжки (інтервали, напівінтервали, промені і т.д.), що представляють їх геометричні образи, ми докладно розібралися в розділі . Тут не повторюватимемося.

І залишається зупинитися лише на зображенні числових множин, що є об'єднанням кількох числових проміжків і множин, що складаються з окремих чисел. Тут немає нічого хитрого: за змістом об'єднання в цих випадках на координатній прямій потрібно зобразити всі складові множини цієї числової множини. Як приклад покажемо зображення числової множини (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

І зупинимося ще досить поширених випадках, коли зображуване числове безліч є всі безліч дійсних чисел, крім однієї чи кількох точок. Такі множини частенько задаються умовами типу x≠5 чи x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 тощо. У цих випадках геометрично вони є всю координатну пряму, за винятком відповідних точок. Іншими словами, з координатної прямої потрібно «виколоти» ці точки. Їх зображують кружальцями із порожнім центром. Для наочності зобразимо числову множину, що відповідає умовам (Це безліч по суті є):

Підведемо підсумок. В ідеалі інформація попередніх пунктів має сформувати такий самий погляд на запис і зображення числових множин, як і погляд на окремі числові проміжки: запис числової множини відразу має давати його образ на координатній прямій, а за зображенням на координатній прямій ми повинні бути легко описати відповідне числове безліч через об'єднання окремих проміжків та множин, що складаються з окремих чисел.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.

Безліч – одне з основних понять сучасної математики, яке використовується майже у всіх її розділах.

Багато питаннях доводиться розглядати деяку сукупність елементів як єдине ціле. Так, біолог, вивчаючи тваринний і рослинний світ цієї галузі, класифікує всі особини за видами, види за пологами тощо. Кожен вид є деякою сукупністю живих істот, що розглядається як єдине ціле.

Для математичного опису таких сукупностей було введено поняття безлічі. За словами одного із творців теорії множин – німецького математика Георга Кантора (1845-1918), «множина є багато, мислима нами як єдина». Зрозуміло, ці слова що неспроможні розглядатися як математично суворе визначення множини, такого визначення немає, оскільки поняття множини є вихідним, основі якого будуються інші поняття математики. Але з цих слів ясно, що можна говорити про безліч натуральних чисел, безліч трикутників на площині.

Безліч, що складаються з кінцевого числа елементів, називаються кінцевими, а решта множини – нескінченними. Наприклад, безліч китів в океані, звичайно, а безліч раціональних чисел нескінченно. Кінцеві множини можуть бути задані перерахуванням їх елементів (наприклад, безліч учнів у даному класі задається їх списком у класному журналі). Якщо безліч складається з елементів , пишуть: . Нескінченні множини не можна задати переліком їх елементів. Їх задають зазвичай, вказуючи властивість, яким володіють всі елементи даної множини, але не мають ніяких елементів, що не належать цій множині. Таку властивість називають характеристичною для розглянутої множини. Якщо - скорочене позначення пропозиції «елемент має властивість», то безліч всіх елементів, що мають властивість, позначають так: . Наприклад, запис означає безліч коренів рівняння, тобто. безліч. Може статися, що немає жодного елемента, що володіє властивістю (наприклад, немає жодного непарного числа, яке ділилося б на 2). В цьому випадку в багатьох немає жодного елемента. Безліч, що не містить жодного елемента, називається порожнім. Його позначають знаком.

Якщо елемент належить множині , то пишуть: , інакше пишуть: або . Безліч, що складаються з тих самих елементів, називають рівними (збігаються). Наприклад, рівні безліч рівносторонніх трикутників і безліч рівнокутних трикутників, оскільки це одні й самі трикутники: якщо у трикутнику всі сторони рівні, то рівні і його кути; назад, з рівності всіх трьох кутів трикутника витікає рівність всіх трьох сторін. Очевидно, що рівні дві кінцеві множини, що відрізняються один від одного лише порядком їх елементів, наприклад .

Кожен квадрат є прямокутником. Кажуть, що безліч квадратів є частиною множини прямокутників, або, як кажуть в математиці, є підмножиною множини прямокутників. Якщо множина є підмножиною множини , то пишуть: або . Для будь-якої множини вірні включення і .

З цих множин і можна побудувати нові множини, застосовуючи операції перетину, об'єднання та віднімання. Перетином множин і називають їхню загальну частину, тобто. безліч елементів, що належать як , і . Це безліч позначають: . Наприклад, перетином двох геометричних фігур є їх загальна частина, перетином безлічі ромбів з безліччю прямокутників - безліч квадратів і т.д.

Об'єднанням множин і називають множину, складене з елементів, що належать хоча б одному з цих множин. У різних питаннях класифікації використовується уявлення множин як об'єднання попарно непересекающихся підмножин. Наприклад, багато багатокутників є об'єднанням безлічі трикутників, чотирикутників, ..., -кутників.

Якщо застосовувати операції об'єднання та перетину до підмножин деякої множини, то знову вийдуть підмножини тієї ж множини. Ці операції мають багато властивостей, схожих на властивості операцій складання та множення чисел. Наприклад, перетин та об'єднання множин мають властивості комутативності та асоціативності, перетин дистрибутивно щодо об'єднання, тобто. для будь-яких множин і вірне співвідношення і т.д. Але в той же час у операцій над множинами є ряд властивостей, які не мають аналогів в операціях над числами. Наприклад, для будь-якої множини вірні рівності і, вірний другий закон дистрибутивності і т.д.

За допомогою властивостей операцій над множинами можна перетворювати вирази, що містять множини, подібно до того як за допомогою властивостей операцій над числами перетворюють вирази у звичайній алгебрі. Алгебра, що виникає таким шляхом, називається булевою алгеброю, на ім'я англійського математика і логіка Дж. Буля (1815-1864), який займався нею у зв'язку з проблемами математичної логіки. Булеві алгебри знаходять численні застосування, зокрема теорії електричних мереж.

Основною характеристикою кінцевої множини є кількість його елементів (наприклад, безліч вершин квадрата містить 4 елементи). Якщо у множинах і порівну елементів, наприклад, якщо , , то з елементів цих множин можна скласти пари , причому кожен елемент з , Так само як і кожен елемент з , входить в одну, і тільки одну, пару. Говорять, що в цьому випадку між елементами множин і встановлено взаємно-однозначну відповідність. І навпаки, якщо між двома кінцевими множинами і можна встановити взаємно однозначну відповідність, то в них порівну елементів.

Г. Кантор запропонував аналогічним чином порівнювати між собою нескінченні множини. Кажуть, що множини і мають однакову потужність, якщо між ними можна встановити взаємно-однозначну відповідність. Порівнюючи таким шляхом множини, складені з чисел, Кантор показав, що існує взаємно-однозначна відповідність між множиною натуральних чисел і множиною раціональних чисел, хоча безліч натуральних чисел є лише частиною множини раціональних чисел. Таким чином, у теорії нескінченних множин втрачає силу твердження, що «частина менша за ціле».

Багато, що мають ту ж потужність, що і безліч натуральних чисел, називають рахунковими. Таким чином, безліч раціональних чисел є рахунковим. Найважливіший приклад незліченної множини - безліч всіх дійсних чисел (або, що те саме, безліч точок на прямій лінії). Оскільки пряма лінія безперервна, то таку численну потужність називають потужністю континууму (від латинського continuum - «безперервний»). Потужність континууму мають безліч точок квадрата, куба, площини та всього простору.

Протягом довгих років математики вирішували проблему: чи існує безліч, потужність якого є проміжною між лічильною та потужністю континууму. У 60-х роках. нашого століття американський математик П. Коен і чеський математик П. Вопенка майже одночасно незалежно один від одного довели, що як існування такої множини, так і відсутність його не суперечать іншим аксіомам теорії множин (подібно до того, як прийняття аксіоми про паралельні або заперечення цієї аксіоми не суперечать решті аксіом геометрії).