Загальне кратне 1 і 2. Знаходження найменшого загального кратного, способи, приклади знаходження НОК

Продовжимо розмову про найменше спільне кратне, яке ми розпочали у розділі «НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади». У цій темі ми розглянемо способи знаходження НОК для трьох чисел і більше, розберемо питання, як знайти НОК негативного числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Ми вже встановили зв'язок найменшого загального кратного із найбільшим спільним дільником. Тепер навчимося визначати НОК через НОД. Спочатку розберемося, як це робити для позитивних чисел.

Визначення 1

Знайти найменше загальне кратне через найбільший спільний дільник можна за формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Приклад 1

Необхідно знайти НОК чисел 126 та 70 .

Рішення

Приймемо a = 126, b = 70. Підставимо значення у формулу обчислення найменшого загального кратного через найбільший спільний дільник НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Знайде НОД чисел 70 та 126 . Для цього нам знадобиться алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 + 56, 70 = 56 · 1 + 14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126 , 70) = 14 .

Обчислимо НОК: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630.

Відповідь:НОК (126, 70) = 630 .

Приклад 2

Знайдіть число 68 і 34 .

Рішення

НОД у разі нейти нескладно, оскільки 68 ділиться на 34 . Обчислимо найменше загальне кратне за формулою: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68.

Відповідь:НОК (68, 34) = 68 .

У цьому прикладі ми використовували правило знаходження найменшого загального кратного для цілих позитивних чисел a і b: якщо перше число ділиться на друге, що НОК цих чисел дорівнюватиме першому числу.

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Тепер давайте розглянемо спосіб знаходження НОК, який ґрунтується на розкладанні чисел на прості множники.

Визначення 2

Для знаходження найменшого загального кратного нам знадобиться виконати низку нескладних дій:

• складаємо добуток всіх простих множників чисел, для яких нам потрібно знайти НОК;
• виключаємо їх отриманих творів усі прості множники;
• отриманий після виключення загальних простих множників твір дорівнюватиме НОК даних чисел.

Цей спосіб знаходження найменшого загального кратного заснований на рівні НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Якщо подивитися на формулу, то стане зрозуміло: добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, які беруть участь у розкладанні цих двох чисел. При цьому НОД двох чисел дорівнює добутку всіх простих множників, які одночасно присутні в розкладах на множники цих двох чисел.

Приклад 3

У нас є два числа 75 та 210 . Ми можемо розкласти їх на множники так: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Якщо скласти добуток всіх множників двох вихідних чисел, то вийде: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7.

Якщо виключити загальні для обох чисел множники 3 і 5 ми отримаємо твір наступного виду: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050. Цей твір буде нашим НОК для чисел 75 і 210 .

Приклад 4

Знайдіть НОК чисел 441 і 700 , розклавши обидва числа на прості множники

Рішення

Знайдемо всі прості множники чисел, даних за умови:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Отримуємо два ланцюжки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Добуток усіх множників, які брали участь у розкладанні даних чисел, матиме вигляд: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Знайдемо спільні множники. Це число 7. Виключимо його із загального твору: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Виходить, що НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.

Відповідь:НОК (441, 700) = 44 100 .

Дамо ще одне формулювання методу знаходження НОК шляхом розкладання чисел на прості множники.

Визначення 3

Раніше ми виключали з усієї кількості множників спільні для обох чисел. Тепер ми зробимо інакше:

• розкладемо обидва числа на прості множники:
• додамо до твору простих множників першого числа відсутні множники другого числа;
• отримаємо твір, який і буде шуканий НОК двох чисел.

Приклад 5

Повернемося до числа 75 і 210, для яких ми вже шукали НОК в одному з попередніх прикладів. Розкладемо їх на прості множники: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. До твору множників 3 , 5 5 числа 75 додамо відсутні множники 2 і 7 числа 210 . Отримуємо: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Це і є НОК чисел 75 та 210 .

Приклад 6

Необхідно обчислити НОК чисел 84 та 648 .

Рішення

Розкладемо числа із умови на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Додамо до твору множників 2 , 2 , 3 7 числа 84 множники 2 , 3 , 3 і
3 числа 648 . Отримуємо твір 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .Це і є найменше загальне кратне чисел 84 і 648.

Відповідь:НОК (84, 648) = 4536.

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Незалежно від того, з якою кількістю чисел ми маємо справу, алгоритм наших дій завжди буде однаковим: ми будемо послідовно знаходити НОК двох чисел. На цей випадок є теорема.

Теорема 1

Припустимо, що ми маємо цілі числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kцих чисел перебуває при послідовному обчисленні m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .

Тепер розглянемо, як можна застосовувати теорему на вирішення конкретних завдань.

Приклад 7

Необхідно обчислити найменше загальне кратне чотирьох чисел 140, 9, 54 та 250 .

Рішення

Введемо позначення: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

Почнемо з того, що обчислимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9). Застосуємо алгоритм Евкліда для обчислення НОД чисел 140 і 9: 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4. Отримуємо: НОД (140, 9) = 1, НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Отже, m 2 = 1260 .

Тепер обчислимо за тим алгоритмом m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . У результаті обчислень отримуємо m 3 = 3 780 .

Нам залишилося обчислити m4 = НОК (m3, a4) = НОК (3780, 250). Діємо за тим самим алгоритмом. Отримуємо m 4 = 94500 .

НОК чотирьох чисел із умови прикладу дорівнює 94500 .

Відповідь:НОК (140, 9, 54, 250) = 94500.

Як бачите, обчислення виходять нескладними, але досить трудомісткими. Щоб заощадити час, можна йти іншим шляхом.

Визначення 4

Пропонуємо вам наступний алгоритм дій:

• розкладаємо всі числа на прості множники;
• до твору множників першого числа додаємо множники, що відсутні, з твору другого числа;
• до отриманого на попередньому етапі твору додаємо множники третього числа, що бракують, і т.д.;
• отриманий твір буде найменшим загальним кратним усіх чисел з умови.

Приклад 8

Необхідно знайти НОК п'яти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

Рішення

Розкладемо всі п'ять чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 6 = 2 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7, 143 = 11 · 13 . Прості числа, яким є число 7 на прості множники не розкладаються. Такі числа збігаються зі своїми розкладанням на прості множники.

Тепер візьмемо добуток простих множників 2 , 2 , 3 і 7 числа 84 і додамо до них множники другого числа. Ми розклали число 6 на 2 та 3 . Ці множники вже є у творі першого числа. Отже, їх опускаємо.

Продовжуємо додавати відсутні множники. Переходимо до 48 , з добутку простих множників якого беремо 2 і 2 . Потім додаємо простий множник 7 від четвертого числа та множники 11 і 13 п'ятого. Отримуємо: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Це і є найменша загальна кратність п'яти вихідних чисел.

Відповідь:НОК (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел

Для того, щоб знайти найменше загальне кратне негативних чисел, ці числа необхідно спочатку замінити на числа з протилежним знаком, а потім провести обчислення за наведеними вище алгоритмами.

Приклад 9

НОК (54, -34) = НОК (54, 34), а НОК (-622, -46, -54, -888) = НОК (622, 46, 54, 888).

Такі дії допустимі у зв'язку з тим, що якщо прийняти, що aі − a- Протилежні числа,
то безліч кратних числа aзбігається з безліччю кратних числа − a.

Приклад 10

Необхідно обчислити НОК негативних чисел − 145 і − 45 .

Рішення

Зробимо заміну чисел − 145 і − 45 на протилежні їм числа 145 і 45 . Тепер за алгоритмом обчислимо НОК (145, 45) = 145 · 45: НОД (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1305, попередньо визначивши НОД за алгоритмом Евкліда.

Отримаємо, що НОК чисел – 145 та − 45 одно 1 305 .

Відповідь:НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися насамперед із значенням терміна "кратне".

Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, кратними числами 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.

Дільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.

Загальне кратне натуральних чисел – число, яке ділиться на них без залишку.

Як знайти найменше загальне кратне чисел

Найменше загальне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натуральне число, яке ділиться на ці цифри націло.

Щоб знайти НОК, можна використати кілька способів.

Для невеликих чисел зручно виписати в рядок усі кратні цих чисел доти, доки серед них не знайдеться загальне. Кратні позначають у записі великою літерою До.

Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:

До (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

До (6) = (12, 18, 24, ...)

Так, можна побачити, що найменшим загальним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують таким чином:

НОК (4, 6) = 24

Якщо числа великі, знайти загальне кратне трьох чи більше чисел, краще використовувати інший спосіб обчислення НОК.

Для виконання завдання потрібно розкласти запропоновані числа на прості множники.

Спочатку треба виписати в рядок розкладання найбільшого з чисел, а під ним – інших.

У розкладанні кожного числа може бути різна кількість множників.

Наприклад, розкладемо на прості множники числа 50 та 20.

У розкладанні меншого числа слід підкреслити множники, які відсутні в розкладанні першого найбільшого числа, а потім додати до нього. У наведеному прикладі не вистачає двійки.

Тепер можна обчислити найменше загальне кратне 20 та 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, добуток простих множників більшого числа та множників другого числа, які не увійшли до розкладання більшого, буде найменшим загальним кратним.

Щоб знайти НОК трьох чисел і більше, слід їх розкласти на прості множники, як і в попередньому випадку.

Як приклад можна знайти найменше загальне кратне чисел 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Так, у розкладання більшого числа на множники не увійшли лише дві двійки з розкладання шістнадцяти (одна є в розкладі двадцяти чотирьох).

Таким чином, їх потрібно додати до розкладання більшого числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Існують окремі випадки визначення найменшого загального кратного. Так, якщо одне з чисел можна поділити без залишку на інше, то більше з цих чисел буде найменшим загальним кратним.

Наприклад, НОК дванадцяти та двадцяти чотирьох буде двадцять чотири.

Якщо необхідно знайти найменше загальне кратне взаємно простих чисел, які мають однакових дільників, їх НОК дорівнюватиме їх твору.

Наприклад, НОК (10, 11) = 110.

Розглянемо три способи знаходження найменшого загального кратного.

Знаходження шляхом розкладання на множники

Перший спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом розкладання даних чисел на прості множники.

Допустимо, нам потрібно знайти НОК чисел: 99, 30 і 28. Для цього розкладемо кожне з цих чисел на прості множники:

Щоб число ділилося на 99, на 30 і на 28, необхідно і достатньо, щоб до нього входили всі прості множники цих дільників. Для цього нам необхідно взяти всі прості множники цих чисел найбільшою мірою, що зустрічається, і перемножити їх між собою:

2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким чином, НОК (99, 30, 28) = 13860. Ніяке інше число менше 13860 не ділиться націло на 99, на 30 і на 28.

Щоб знайти найменше загальне кратне даних чисел, потрібно розкласти їх на прості множники, потім взяти кожен простий множник із найбільшим показником ступеня, з яким він зустрічається, та перемножити ці множники між собою.

Оскільки взаємно прості числа немає загальних простих множників, їх найменше загальне кратне дорівнює добутку цих чисел. Наприклад, три числа: 20, 49 та 33 – взаємно прості. Тому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32340.

Так само треба робити, коли знаходиться найменше загальне кратне різних простих чисел. Наприклад, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Знаходження шляхом підбору

Другий спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом підбору.

Приклад 1. Коли найбільше з цих чисел ділиться націло інші дані числа, то НОК цих чисел дорівнює більшому їх. Наприклад, дано чотири числа: 60, 30, 10 та 6. Кожне з них ділиться націло на 60, отже:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В інших випадках, щоб знайти найменше загальне кратне, використовується наступний порядок дій:

1. Визначаємо найбільше з даних чисел.
2. Далі знаходимо числа, кратні найбільшому числу, множачи його на натуральні числа в порядку їх зростання і перевіряючи чи діляться на отриманий твір інші дані числа.

Приклад 2. Дано три числа 24, 3 і 18. Визначаємо найбільше з них - це число 24. Далі знаходимо числа кратні 24, перевіряючи чи ділиться кожне з них на 18 і 3:

24 · 1 = 24 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 2 = 48 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 3 = 72 - ділиться на 3 та на 18.

Отже, НОК (24, 3, 18) = 72.

Знаходження шляхом послідовного знаходження НОК

Третій спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом послідовного знаходження НОК.

НОК двох цих чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеного з їхньої найбільший спільний дільник.

Приклад 1. Знайдемо НОК двох даних чисел: 12 та 8. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (12, 8) = 4. Перемножуємо дані числа:

Ділимо твір на їхній НОД:

Таким чином НОК (12, 8) = 24.

Щоб знайти НОК трьох чи більше чисел використовується наступний порядок дій:

1. Спочатку знаходять НОК якихось двох із цих чисел.
2. Потім НОК знайденого найменшого загального кратного і третього даного числа.
3. Потім НОК отриманого найменшого загального кратного і четвертого числа і т.д.
4. Таким чином, пошук НОК триває до тих пір, поки є числа.

Приклад 2. Знайдемо НОК трьох даних чисел: 12, 8 та 9. НОК чисел 12 та 8 ми вже знайшли у попередньому прикладі (це число 24). Залишилося знайти найменше загальне кратне числа 24 та третього даного числа - 9. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (24, 9) = 3. Перемножуємо НОК з числом 9:

Ділимо твір на їхній НОД:

Отже, НОК (12, 8, 9) = 72.