Загальні відомості про рівняння. Коли коріння немає

Щоб навчитися швидко та успішно вирішувати рівняння, потрібно почати з найпростіших правил та прикладів. Насамперед треба навчитися вирішувати рівняння, ліворуч у яких стоїть різниця, сума, приватна чи добуток деяких чисел з одним невідомим, а праворуч інше число. Іншими словами, у цих рівняннях є одне невідоме доданок і або зменшуване з віднімається, або ділене з дільником і т.д. Саме про рівняння такого типу ми з вами поговоримо.

Ця стаття присвячена основним правилам, що дозволяють знайти множники, невідомі доданки та ін. Всі теоретичні положення відразу пояснюватимемо на конкретних прикладах.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Знаходження невідомого доданку

Припустимо, у нас є кілька кульок у двох вазах, наприклад, 9 . Ми знаємо, що у другій вазі 4 кульки. Як знайти кількість у другій? Запишемо це завдання в математичному вигляді, позначивши число, яке потрібно знайти як x. Згідно з початковою умовою, це число разом з 4 утворюють 9, отже, можна записати рівняння 4 + x = 9 . Зліва у нас вийшла сума з одним невідомим доданком, праворуч – значення цієї суми. Як знайти x? Для цього треба використовувати правило:

Визначення 1

Для знаходження невідомого доданка треба відняти відоме із суми.

В даному випадку ми надаємо віднімання сенсу, який є зворотним змістом додавання. Інакше кажучи, є певний зв'язок між діями додавання та віднімання, який можна в буквальному вигляді виразити так: якщо a + b = c , то c − a = b і c − b = a , і навпаки, з виразів c − a = b і c − b = a можна вивести, що a + b = c.

Знаючи це правило, ми можемо знайти один невідомий доданок, використовуючи відоме і суму. Яке саме доданок ми знаємо, перше чи друге, у разі неважливо. Подивимося, як застосувати це правило практично.

Приклад 1

Візьмемо те рівняння, що ми вийшло вище: 4 + x = 9 . Згідно з правилом, нам потрібно відняти від відомої суми, що дорівнює 9 , відомий доданок, що дорівнює 4 . Віднімемо одне натуральне число з іншого: 9 - 4 = 5 . Ми отримали потрібне нам доданок, що дорівнює 5 .

Зазвичай рішення таких рівнянь записують так:

1. Першим пишеться вихідне рівняння.
2. Далі ми записуємо рівняння, яке вийшло після того, як ми застосували правило обчислення невідомого доданку.
3. Після цього пишемо рівняння, яке вийшло після всіх дій із числами.

Така форма запису потрібна для того, щоб проілюструвати послідовну заміну вихідного рівняння рівносильними та відобразити процес знаходження кореня. Рішення нашого простого рівняння, наведеного вище, правильно записати так:

4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.

Ми можемо перевірити правильність отриманої відповіді. Підставимо те, що в нас вийшло, у вихідне рівняння і подивимося, чи вийде з нього вірна числова рівність. Підставимо 5 4 + x = 9 і отримаємо: 4 + 5 = 9 . Рівність 9 = 9 вірна, отже, невідомий доданок було знайдено правильно. Якби рівність виявилася невірною, то нам слід було б повернутися до рішення і перевірити ще раз його, оскільки це знак допущеної помилки. Як правило, найчастіше це буває обчислювальна помилка чи застосування неправильного правила.

Знаходження невідомого віднімається або зменшується

Як ми вже згадували в першому пункті, між процесами складання та віднімання існує певний зв'язок. З її допомогою можна сформулювати правило, яке допоможе знайти невідоме зменшуване, коли ми знаємо різницю та віднімання, або ж невідоме віднімається через зменшуване або різницю. Запишемо ці два правила по черзі і покажемо, як застосовувати їх під час вирішення завдань.

Визначення 2

Для знаходження невідомого зменшуваного треба додати віднімання до різниці.

Приклад 2

Наприклад, ми маємо рівняння x - 6 = 10 . Невідомо зменшується. Відповідно до правила, нам треба додати до різниці 10 віднімається 6 , отримаємо 16 . Тобто вихідне зменшуване шістнадцяти. Запишемо все рішення повністю:

x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.

Перевіримо результат, додавши число, що вийшло, у вихідне рівняння: 16 - 6 = 10 . Рівність 16 - 16 буде правильною, отже, ми всі підрахували правильно.

Визначення 3

Для знаходження невідомого віднімається треба відняти різницю від зменшуваного.

Приклад 3

Скористаємося правилом на вирішення рівняння 10 - x = 8 . Ми не знаємо віднімається, тому нам треба від 10 відняти різницю, тобто. 10 - 8 = 2. Значить, шукане віднімається одно двом. Ось весь запис рішення:

10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.

Зробимо перевірку на правильність, підставивши двійку у вихідне рівняння. Отримаємо правильну рівність 10 - 2 = 8 і переконаємося, що знайдене значення буде правильним.

Перед тим, як перейти до інших правил, зазначимо, що існує правило перенесення будь-яких доданків з однієї частини рівняння до іншої із заміною знака на протилежний. Всі вищенаведені правила йому повністю відповідають.

Знаходження невідомого множника

Подивимося на два рівняння: x · 2 = 20 та 3 · x = 12 . В обох нам відомо значення твору та один із множників, необхідно знайти другий. Для цього нам треба користуватися іншим правилом.

Визначення 4

Для знаходження невідомого множника потрібно виконати розподіл твору на відомий множник.

Це правило базується на сенсі, який є зворотним змістом множення. Між множенням і розподілом є наступний зв'язок: a · b = c при a і b, не рівних 0, c: a = b, c: b = c і навпаки.

Приклад 4

Обчислимо невідомий множник у першому рівнянні, розділивши відоме приватне 20 на відомий множник 2 . Проводимо розподіл натуральних чисел і отримуємо 10 . Запишемо послідовність рівностей:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.

Підставляємо десятку у вихідну рівність та отримуємо, що 2 · 10 = 20 . Значення невідомого множника було виконано правильно.

Уточнимо, що у випадку, якщо один із множників нульовий, це правило застосовувати не можна. Так, рівняння x · 0 = 11 з допомогою вирішити ми можемо. Цей запис немає сенсу, оскільки вирішення треба розділити 11 на 0 , а розподіл на нуль не визначено. Докладніше про подібні випадки ми розповіли у статті, присвяченій лінійним рівнянням.

Коли ми застосовуємо це правило, ми по суті ділимо обидві частини рівняння на інший множник, відмінний від 0 . Існує окреме правило, згідно з яким можна проводити такий поділ, і він не вплине на коріння рівняння, і те, про що ми писали в цьому пункті, з ним повністю узгоджено.

Знаходження невідомого ділимого чи дільника

Ще один випадок, який нам потрібно розглянути, – це знаходження невідомого ділимого, якщо ми знаємо дільник і приватне, а також знаходження дільника за відомого приватного та ділимого. Сформулювати це правило ми можемо за допомогою згаданого тут зв'язку між множенням і поділом.

Визначення 5

Для знаходження невідомого поділеного потрібно помножити дільник на приватне.

Подивимося, як застосовується це правило.

Приклад 5

Вирішимо з його допомогою рівняння x: 3 = 5 . Перемножуємо між собою відоме приватне і відомий дільник і отримуємо 15 , яке буде потрібним нам ділимим.

Ось короткий запис всього рішення:

x: 3 = 5, x = 3 · 5, x = 15.

Перевірка показує, що ми всі підрахували правильно, адже при розподілі 15 на 3 справді виходить 5 . Правильна числова рівність – свідчення правильного рішення.

Зазначене правило можна інтерпретувати як множення правої та лівої частини рівняння на однакове відмінне від 0 число. Це перетворення не впливає на коріння рівняння.

Переходимо до наступного правила.

Визначення 6

Для знаходження невідомого дільника потрібно розділити поділення на приватне.

Приклад 6

Візьмемо простий приклад – рівняння 21: x = 3 . Для його вирішення розділимо відоме ділене 21 на приватне 3 і отримаємо 7 . Це і буде шуканий дільник. Тепер оформляємо рішення правильно:

21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.

Впевнимося у вірності результату, підставивши сімку у вихідне рівняння. 21: 7 = 3 так що корінь рівняння був обчислений правильно.

Важливо, що це правило застосовується тільки для випадків, коли приватне не дорівнює нулю, адже в іншому випадку нам знову ж таки доведеться ділити на 0 . Якщо ж приватним буде нуль, можливі два варіанти. Якщо ділене також дорівнює нулю і рівняння виглядає як 0: x = 0, то змінної буде будь-яким, тобто дане рівняння має нескінченну кількість коренів. А ось рівняння з приватним, рівним 0, з ділимим, відмінним від 0, рішень не матиме, оскільки таких значень дільника не існує. Прикладом може бути рівняння 5: x = 0 яке не має жодного кореня.

Послідовне застосування правил

Найчастіше на практиці зустрічаються складніші завдання, в яких правила знаходження доданків, зменшуваних, віднімаються, множників, ділених і приватних потрібно застосовувати послідовно. Наведемо приклад.

Приклад 7

Ми маємо рівняння виду 3 · x + 1 = 7 . Обчислюємо невідоме доданок 3 · x, відібравши від 7 одиницю. Отримаємо в результаті 3 · x = 7 - 1, потім 3 · x = 6. Це рівняння вирішити дуже просто: ділимо 6 на 3 і отримуємо корінь вихідного рівняння.

Ось короткий запис рішення ще одного рівняння (2 · x − 7) : 3 − 5 = 2:

(2 · x - 7): 3 - 5 = 2, (2 · x - 7): 3 = 2 + 5, (2 · x - 7): 3 = 7, 2 · x - 7 = 7 · 3, 2 · x - 7 = 21, 2 · x = 21 + 7, 2 · x = 28, x = 28: 2, x = 14.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Початковий рівень

Лінійні рівняння. Повне керівництво (2019)

Що таке «лінійні рівняння»

або в усній формі - трьом друзям дали по яблуках з розрахунку, що всього є у Васі яблук.

І ось ти вже вирішив лінійне рівняння
Тепер дамо цьому терміну математичне визначення.

Лінійне рівняння - це рівняння алгебри, у якого повний ступінь складових його багаточленів дорівнює. Воно виглядає так:

Де і - будь-які числа та

Для нашого випадку з Васею та яблуками ми запишемо:

- «Якщо Вася роздасть усім трьом друзям однакову кількість яблук, у нього яблук не залишиться»

«Приховані» лінійні рівняння, або важливість тотожних перетворень

Незважаючи на те, що на перший погляд все гранично просто, при вирішенні рівнянь необхідно бути уважним, тому що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду, а й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. Наприклад:

Ми бачимо, що справа стоїть, що, за ідеєю, вже говорить про те, що рівняння не є лінійним. Мало того, якщо ми розкриємо дужки, то отримаємо ще два доданки, в яких буде, але не треба поспішати з висновками! Перш ніж судити, чи є рівняння лінійним, необхідно зробити всі перетворення і таким чином спростити вихідний приклад. При цьому перетворення можуть змінювати зовнішній вигляд, але не саму суть рівняння.

Іншими словами дані перетворення мають бути тотожнимиабо рівносильними. Таких перетворень всього два, але вони грають дуже, дуже важливу роль при вирішенні завдань. Розглянемо обидва перетворення на конкретних прикладах.

Перенесення вліво – вправо.

Допустимо, нам необхідно вирішити таке рівняння:

Ще у початковій школі нам казали: «з іксами – вліво, без іксів – вправо». Який вираз із іксом стоїть праворуч? Правильно, а не як не. І це важливо, оскільки при неправильному розумінні цього, начебто простого питання, виходить невірна відповідь. А який вираз із іксом стоїть зліва? Правильно, .

Тепер, коли ми з цим розібралися, переносимо всі доданки з невідомими в ліву сторону, а все, що відомо - в праву, пам'ятаючи, що якщо перед числом немає ніякого знака, наприклад, то число позитивно, тобто перед ним стоїть знак. ».

Переніс? Що в тебе вийшло?

Все, що залишилося зробити - навести подібні доданки. Наводимо:

Отже, перше тотожне перетворення ми успішно розібрали, хоч впевнена, що ти і без мене його знав і активно використовував. Головне - не забувай про знаки при числах та змінюй їх на протилежні при перенесенні через знак рівності!

Множення-поділ.

Почнемо відразу ж із прикладу

Дивимось і розуміємо: що нам не подобається у цьому прикладі? Невідоме все в одній частині, відомі – в іншій, але щось нам заважає… І це щось – четвірка, бо якби її не було, все було б ідеально – ікс дорівнює числу – саме так, як нам і потрібно !

Як можна її позбутися? Перенести праворуч ми не можемо, тому що тоді нам потрібно переносити весь множник (ми ж не можемо її взяти і відірвати від), а переносити весь множник теж немає сенсу.

Настав час згадати про поділ, у зв'язку з чим розділимо все якраз на! Все це означає і ліву, і праву частину. Так тільки так! Що в нас виходить?

Ось і відповідь.

Подивимося тепер інший приклад:

Чи здогадуєшся, що потрібно зробити в цьому випадку? Правильно, помножити ліву та праву частини на! Яка ти отримала відповідь? Правильно. .

Напевно, все про тотожні перетворення ти й так уже знав. Вважай, що ми просто освіжили ці знання у твоїй пам'яті і настав час для чогось більшого - Наприклад, для вирішення нашого великого прикладу:

Як ми вже говорили раніше, дивлячись на нього, не скажеш, що дане рівняння є лінійним, але нам необхідно розкрити дужки та здійснити тотожні перетворення. Тож почнемо!

Для початку згадуємо формули скороченого множення, зокрема, квадрат суми та квадрат різниці. Якщо ти не пам'ятаєш, що це таке і як розкриваються дужки, настійно рекомендую почитати тему, тому що ці навички стануть у нагоді тобі при вирішенні практично всіх прикладів, що зустрічаються на іспиті.
Розкрив? Порівнюємо:

Тепер настав час навести подібні доданки. Пам'ятаєш, як нам у тих самих початкових класах казали «не складаємо мухи з котлетами»? Ось нагадую про це. Складаємо все окремо - множники, які мають, множники, які мають й інші множники, у яких немає невідомих. Як приведеш подібні доданки, перенеси всі невідомі вліво, а все, що відомо праворуч. Що в тебе вийшло?

Як ти бачиш, ікси у квадраті зникли, і ми бачимо цілком звичайне лінійне рівняння. Залишилося лише знайти!

І насамкінець скажу ще одну дуже важливу річ про тотожні перетворення - тотожні перетворення застосовні не тільки для лінійних рівнянь, але і для квадратних, дробових раціональних та інших. Просто потрібно запам'ятати, що при перенесенні множників через знак рівності ми змінюємо знак на протилежний, а при розподілі або множенні на якесь число ми множимо/ділимо обидві частини рівняння на ОДНО і те ж число.

Що ще ти виніс із цього прикладу? Що дивлячись на рівняння не завжди можна прямо і точно визначити, чи воно є лінійним чи ні. Необхідно спочатку повністю спростити вираз, і потім судити, яким воно є.

Лінійні рівняння. приклади.

Ось тобі ще кілька прикладів для самостійного тренування - визнач, чи є рівняння лінійним і якщо так, знайди його коріння:

Відповіді:

1. Є.

2. Не є.

Розкриємо дужки і наведемо такі складові:

Зробимо тотожне перетворення - розділимо ліву та праву частину на:

Ми бачимо, що рівняння не є лінійним, тому шукати його коріння не потрібно.

3. Є.

Зробимо тотожне перетворення - помножимо ліву і праву частину, щоб позбутися знаменника.

Подумай, чому так важливо, щоб? Якщо ти знаєш відповідь на це питання, переходимо до подальшого вирішення рівняння, якщо ні – обов'язково заглянь у тему, щоб не наробити помилок у складніших прикладах. До речі, як бачиш, ситуація, коли неможлива. Чому?
Отже, продовжуємо та перетворюємо рівняння:

Якщо ти легко з усім упорався, поговоримо про лінійні рівняння з двома змінними.

Лінійні рівняння із двома змінними

Тепер перейдемо до більш складного - лінійних рівнянь із двома змінними.

Лінійні рівнянняз двома змінними мають вигляд:

Де, і – будь-які числа в.

Як ти бачиш, вся різниця лише в тому, що до рівняння додається ще одна змінна. А так все те саме - тут немає іксів у квадраті, немає поділу на змінну тощо. і т.п.

Який би навести тобі приклад життя... Візьмемо того ж Васю. Припустимо, він вирішив, що кожному з трьох друзів він дасть однакову кількість яблук, а яблука залишить собі. Скільки яблук потрібно купити Васі, якщо кожному другові він дасть по яблуку? А по? А якщо по?

Залежність кількості яблук, яку отримає кожна людина до загальної кількості яблук, яку необхідно придбати, буде виражена рівнянням:

• - кількість яблук, яку отримає людина (або, або);
• - кількість яблук, що Вася візьме собі;
• - скільки всього яблук потрібно купити Васі з урахуванням кількості яблук на людину.

Вирішуючи це завдання, ми отримаємо, що якщо одному другу Вася дасть яблуко, йому необхідно купувати штук, якщо дасть яблука - і т.д.

І взагалі. У нас дві змінні. Чому б не збудувати цю залежність на графіку? Будуємо та відзначаємо значення наших, тобто точки, з координатами, і!

Як ти бачиш, і залежать один від одного лінійно, звідси і назва рівнянь - лінійні».

Абстрагуємось від яблук і розглянемо графічно різні рівняння. Подивися уважно на два побудовані графіки - прямий та параболи, заданими довільними функціями:

Знайди і познач на обох малюнках точки, відповідні.
Що в тебе вийшло?

Ти бачиш, що на графіку першої функції одномувідповідає один, Тобто і лінійно залежать один від одного, що не скажеш про другу функцію. Звичайно, ти можеш заперечити, що на другому графіку так само відповідає ікс - , але це тільки одна точка, тобто окремий випадок, тому що ти все одно можеш знайти такий, якому відповідає не тільки один. Та й збудований графік ніяк не нагадує лінію, а є параболою.

Повторюся, ще раз: графіком лінійного рівняння має бути ПРЯМА лінія.

З тим, що рівняння не буде лінійним, якщо у нас йде якоюсь мірою – це зрозуміло на прикладі параболи, хоча для себе ти можеш побудувати ще кілька простих графіків, наприклад, або. Але я тебе запевняю - жоден з них не являтиме собою ПРЯМУ ЛІНІЮ.

Не віриш? Побудуй, а потім порівняй з тим, що вийшло у мене:

А що буде, якщо ми розділимо щось на, наприклад, якесь число? Чи буде лінійна залежність та? Не будемо міркувати, а будуватимемо! Наприклад, збудуємо графік функції.

Якось не виглядає збудоване прямою лінією… відповідно, рівняння не лінійне.
Підведемо підсумки:

1. Лінійне рівняння -це рівняння алгебри, у якого повна ступінь складових його багаточленів дорівнює.
2. Лінійне рівнянняз однією змінною має вигляд:
   , де і - будь-які числа;
   Лінійне рівнянняз двома змінними:
   , Де, і - будь-які числа.
3. Не завжди одразу можна визначити, чи є рівняння лінійним чи ні. Іноді, щоб зрозуміти це, необхідно зробити тотожні перетворення перенести вліво/вправо подібні члени, не забувши змінити знак, або помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Лінійне рівняння

Це рівняння алгебри, у якого повний ступінь складових його багаточленів дорівнює.

2. Лінійне рівняння з однією змінноюмає вид:

Де і – будь-які числа;

3. Лінійне рівняння із двома зміннимимає вид:

Де, і – будь-які числа.

4. Тотожні перетворення

Щоб визначити чи є рівняння лінійним чи ні, необхідно зробити тотожні перетворення:

• перенести ліворуч/праворуч такі члени, не забувши змінити знак;
• помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.

Рівняння — одна із складних тем для засвоєння, але при цьому є досить потужним інструментом для вирішення більшості завдань.

З допомогою рівнянь описуються різні процеси, які у природі. Рівняння широко застосовуються в інших науках: в економіці, фізиці, біології та хімії.

У цьому уроці ми спробуємо зрозуміти суть найпростіших рівнянь, навчимося висловлювати невідомі і вирішимо кілька рівнянь. У міру засвоєння нових матеріалів рівняння будуть ускладнюватися, тому зрозуміти основи дуже важливо.

Що таке рівняння?

Рівняння - це рівність, що містить змінну, значення якої потрібно знайти. Це значення має бути таким, щоб при його підстановці у вихідне рівняння виходила правильна числова рівність.

Наприклад, вираз 2 + 2 = 4 є рівністю. При обчисленні лівої частини виходить вірна числова рівність 4 = 4.

А ось рівність 2+ x= 4 є рівнянням, оскільки містить у собі змінну xзначення якої можна знайти. Значення має бути таким, щоб при підстановці цього значення вихідне рівняння, вийшла вірна числова рівність.

Іншими словами, ми повинні знайти таке значення, при якому знак рівності виправдав би своє місце розташування — ліва частина повинна дорівнювати правій частині.

Рівняння 2+ x= 4 є елементарним. Значення змінної xдорівнює числу 2. При будь-якому іншому значенні рівність дотримуватися не буде

Говорять, що число 2 є коріннямабо рішенням рівняння 2 + x = 4

Коріньабо вирішення рівняння— це значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильне числове рівність.

Коріння може бути кілька або не зовсім. Розв'язати рівнянняозначає знайти його коріння чи довести, що коріння немає.

Змінну, що входить до рівняння, інакше називають невідомим. Ви маєте право називати як вам зручніше. Це синоніми.

Примітка. Словосполучення «вирішити рівняння» говорить саме за себе. Вирішити рівняння означає «зрівняти» рівність — зробити його збалансованим, щоб ліва частина дорівнювала правій частині.

Виразити одне через інше

Вивчення рівнянь за традицією починається з того, щоб навчитися виражати одне число, що входить у рівність, через низку інших. Давайте не порушуватимемо цю традицію і зробимо також.

Розглянемо такий вираз:

8 + 2

Даний вираз є сумою чисел 8 та 2. Значення даного виразу дорівнює 10

8 + 2 = 10

Здобули рівність. Тепер можна виразити будь-яке число з цієї рівності через інші числа, що входять до цієї рівності. Наприклад, виразимо число 2.

Щоб висловити число 2, потрібно поставити запитання: «що потрібно зробити з числами 10 та 8, щоб отримати число 2». Зрозуміло, що з отримання числа 2, треба від числа 10 відняти число 8.

Так і робимо. Записуємо число 2 і через знак рівності говоримо, що для отримання цього числа 2 ми від числа 10 відняли число 8:

2 = 10 − 8

Ми висловили число 2 із рівності 8 + 2 = 10 . Як бачимо з прикладу, нічого складного в цьому немає.

При розв'язанні рівнянь, зокрема при вираженні одного числа через інші, знак рівності зручно замінювати словом « є» . Робити це потрібно подумки, а не в самому виразі.

Так, виражаючи число 2 з рівності 8 + 2 = 10, ми одержали рівність 2 = 10 − 8 . Цю рівність можна прочитати так:

2 є 10 − 8

Тобто знак = замінений словом «є». Більше того, рівність 2 = 10 - 8 можна перевести з математичної мови на повноцінну людську мову. Тоді його можна прочитати так:

Число 2 єрізницю числа 10 та числа 8

Число 2 єрізниця між числом 10 та числом 8.

Але ми обмежимося лише заміною знаку рівності на слово «є», і то робитимемо це не завжди. Елементарні вирази можна розуміти і без перекладу математичної мови на мову людську.

Повернемо рівність 2 = 10 − 8 у початковий стан:

8 + 2 = 10

Виразимо цього разу число 8. Що потрібно зробити з рештою числа, щоб отримати число 8? Правильно, треба від числа 10 відняти число 2

8 = 10 − 2

Повернемо рівність 8 = 10 − 2 у початковий стан:

8 + 2 = 10

На цей раз висловимо число 10. Але виявляється, що десятку висловлювати не потрібно, оскільки вона вже виражена. Досить поміняти місцями ліву та праву частину, тоді вийде те, що нам потрібно:

10 = 8 + 2

Приклад 2. Розглянемо рівність 8 − 2 = 6

Виразимо з цієї рівності число 8. Щоб виразити число 8, решта двох числа потрібно скласти:

8 = 6 + 2

Повернемо рівність 8 = 6 + 2 в початковий стан:

8 − 2 = 6

Висловимо з цієї рівності число 2. Щоб виразити число 2, потрібно відняти 8 від 6

2 = 8 − 6

Приклад 3. Розглянемо рівність 3×2 = 6

Виразимо число 3. Щоб виразити число 3, потрібно 6 розділити 2

Повернемо рівність, що вийшла, в початковий стан:

3 × 2 = 6

Виразимо з цієї рівності число 2. Щоб виразити число 2, потрібно розділити 6

Приклад 4. Розглянемо рівність

Виразимо з цієї рівності число 15. Щоб виразити число 15, потрібно перемножити числа 3 та 5

15 = 3 × 5

Повернімо рівність 15 = 3 × 5 в початковий стан:

Виразимо з цієї рівності число 5. Щоб виразити число 5, потрібно розділити 15 3

Правила знаходження невідомих

Розглянемо кілька правил знаходження невідомих. Можливо вони вам знайомі, але не заважає повторити їх ще раз. Надалі їх можна буде забути, оскільки навчимося вирішувати рівняння, не застосовуючи ці правила.

Повернемося до першого прикладу, який ми розглядали у попередній темі, де в рівності 8 + 2 = 10 потрібно було виразити число 2.

У рівності 8 + 2 = 10 числа 8 і 2 є доданками, а число 10 сумою.

Щоб виразити число 2, ми надійшли так:

2 = 10 − 8

Тобто, із суми 10 відняли доданок 8.

Тепер уявімо, що в рівності 8 + 2 = 10 замість числа 2 розташовується змінна x

8 + x = 10

У цьому випадку рівність 8+2=10 перетворюється на рівняння 8+ x= 10 а змінна x невідомого доданку

Наше завдання знайти це невідоме доданок, тобто вирішити рівняння 8 + x= 10. Для знаходження невідомого доданку передбачено таке правило:

Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок.

Що ми в принципі і зробили, коли виражали двійку рівною 8 + 2 = 10 . Щоб виразити доданок 2, ми від суми 10 відняли інше доданок 8

2 = 10 − 8

А зараз, щоб знайти невідомий доданок x, ми повинні від суми 10 відняти відомий доданок 8:

x = 10 − 8

Якщо обчислити праву частину рівності, то можна дізнатися чому дорівнює змінна x

x = 2

Ми вирішили рівняння. Значення змінної xодно 2 . Для перевірки значення змінної xвідправляють у вихідне рівняння 8+ x= 10 і підставляють замість x.Так бажано чинити з будь-яким вирішеним рівнянням, оскільки не можна бути точно впевненим, що рівняння вирішено правильно:

В результаті

Це правило діяло б у разі, якщо невідомим доданком було б перше число 8.

x + 2 = 10

У цьому рівнянні x- це невідомий доданок, 2 - відомий доданок, 10 - сума. Щоб знайти невідомий доданок x, потрібно від суми 10 відняти відомий доданок 2

x = 10 − 2

x = 8

Повернемося до другого прикладу з попередньої теми, де в рівності 8 − 2 = 6 потрібно виразити число 8.

У рівності 8 − 2 = 6 число 8 це зменшуване, число 2 - віднімається, число 6 - різниця

Щоб виразити число 8, ми надійшли так:

8 = 6 + 2

Тобто склали різницю 6 і віднімається 2.

Тепер уявімо, що в рівності 8 − 2 = 6 замість числа 8 розташовується змінна x

x − 2 = 6

В цьому випадку змінна xбере на себе роль так званого невідомого зменшуваного

Для знаходження невідомого зменшуваного передбачено таке правило:

Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімання.

Що ми й зробили, коли виражали число 8 у рівності 8 − 2 = 6 . Щоб висловити зменшуване 8, до різниці 6 додали віднімається 2.

А зараз, щоб знайти невідоме зменшуване x, ми повинні до різниці 6 додати віднімання 2

x = 6 + 2

Якщо обчислити праву частину, можна дізнатися чому дорівнює змінна x

x = 8

Тепер уявімо, що в рівності 8 − 2 = 6 замість числа 2 розташовується змінна x

8 − x = 6

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого віднімання

Для знаходження невідомого віднімається передбачене таке правило:

Щоб знайти невідоме віднімання, потрібно від зменшуваного відняти різницю.

Що ми й зробили, коли виражали число 2 у рівності 8 − 2 = 6. Щоб виразити число 2, ми зменшуваного 8 відняли різницю 6.

А зараз, щоб знайти невідоме віднімання x, потрібно знову ж таки від зменшуваного 8 відняти різницю 6

x = 8 − 6

Обчислюємо праву частину та знаходимо значення x

x = 2

Повернімося до третього прикладу з попередньої теми, де у рівності 3 × 2 = 6 ми намагалися виразити число 3.

У рівності 3 × 2 = 6 число 3 — це множина, число 2 — множник, число 6 — добуток

Щоб виразити число 3, ми надійшли так:

Тобто розділили твір 6 на множник 2.

Тепер уявімо, що в рівності 3 × 2 = 6 замість числа 3 розташовується змінна x

x× 2 = 6

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомої множини.

Для знаходження невідомого множника передбачено таке правило:

Щоб знайти невідоме множинне, потрібно твір розділити на множник.

Що ми зробили, коли виражали число 3 з рівності 3 × 2 = 6 . Добуток 6 ми розділили на множник 2.

А зараз для знаходження невідомого множини x, Необхідно добуток 6 розділити на множник 2.

Обчислення правої частини дозволяє знайти значення змінної x

x = 3

Це правило застосовується у разі, якщо змінна xрозташовується замість множника, а не множного. Припустимо, що в рівності 3 × 2 = 6 замість числа 2 розташовується змінна x.

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого множника. Для знаходження невідомого множника передбачено таке ж, що і для знаходження невідомого множника, а саме розподіл твору на відомий множник:

Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на множину.

Що ми зробили, коли виражали число 2 з рівності 3 × 2 = 6 . Тоді для отримання числа 2 ми розділили добуток 6 на множинне 3.

А зараз для знаходження невідомого множника xми розділили твір 6 на множинне 3.

Обчислення правої частини рівності дозволяє дізнатися чому одно x

x = 2

Множину та множник разом називають співмножниками. Оскільки правила знаходження множника та множника збігаються, ми можемо сформулювати загальне правило знаходження невідомого співмножника:

Щоб знайти невідомий співмножник, потрібно ділити на відомий співмножник.

Наприклад, розв'яжемо рівняння 9 × x= 18 . Змінна xє невідомим співмножником. Щоб знайти цей невідомий співмножник, потрібно добуток 18 розділити на відомий співмножник 9

Розв'яжемо рівняння x 3 = 27 . Змінна xє невідомим співмножником. Щоб знайти цей невідомий співмножник, потрібно добуток 27 розділити на відомий співмножник 3

Повернімося до четвертого прикладу з попередньої теми, де в рівності потрібно виразити число 15. У цій рівності число 15 - це поділення, число 5 - дільник, число 3 - приватне.

Щоб виразити число 15 ми надійшли так:

15 = 3 × 5

Тобто, помножили 3 на дільник 5.

Тепер уявімо, що в рівності замість числа 15 розташовується змінна x

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого діленого.

Для знаходження невідомого поділеного передбачено таке правило:

Щоб знайти невідоме ділене, потрібно приватне помножити на дільник.

Що ми зробили, коли виражали число 15 з рівності . Щоб виразити число 15, ми помножили 3 на дільник 5.

А зараз, щоб знайти невідоме ділене xпотрібно приватне 3 помножити на дільник 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Тепер уявімо, що в рівності замість числа 5 розташовується змінна x .

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого дільника.

Для знаходження невідомого дільника передбачено таке правило:

Що ми зробили, коли виражали число 5 з рівності . Щоб виразити число 5, ми розділили 15 ділене на приватне 3.

А зараз, щоб знайти невідомий дільник x, потрібно ділене 15 розділити на приватне 3

Обчислимо праву частину рівності, що вийшла. Так ми дізнаємося, чому дорівнює змінна x .

x = 5

Отже, для знаходження невідомих ми вивчили такі правила:

• Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок;
• Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімання;
• Щоб знайти невідоме віднімання, потрібно від зменшуваного відняти різницю;
• Щоб знайти невідоме множинне, потрібно твір розділити на множник;
• Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір поділити на множину;
• Щоб знайти невідоме ділене, потрібно приватне помножити на дільник;
• Щоб знайти невідомий дільник, потрібно поділити розділити на приватне.

Компоненти

Компонентами ми називатимемо числа та змінні, що входять у рівність

Так, компонентами додавання є доданкиі сума

Компонентами віднімання є зменшуване, віднімаєтьсяі різниця

Компонентами множення є множинне, множникі твір

Компонентами поділу є ділене, дільник та приватне

Залежно від того, з якими компонентами ми матимемо справу, застосовуватимуться відповідні правила знаходження невідомих. Ці правила ми вивчили у попередній темі. При розв'язанні рівнянь бажано знати це правило напам'ять.

Приклад 1. Знайти корінь рівняння 45 + x = 60

45 - доданок, x- Невідомий доданок, 60 - сума. Маємо справу з компонентами додавання. Згадуємо, що для знаходження невідомого доданка, потрібно від суми відняти відомий доданок:

x = 60 − 45

Обчислимо праву частину, отримаємо значення xрівне 15

x = 15

Значить корінь рівняння 45+ x= 60 дорівнює 15.

Найчастіше невідомий доданок необхідно привести до вигляду при якому його можна було б висловити.

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Тут на відміну від попереднього прикладу, невідомий доданок не можна виразити відразу, оскільки воно містить коефіцієнт 2. Наше завдання привести це рівняння до виду, при якому можна було б висловити x

У цьому прикладі ми маємо справу з компонентами додавання — доданками та сумою. 2 x- це перший доданок, 4 - другий доданок, 8 - сума.

При цьому доданок 2 xмістить змінну x. Після знаходження значення змінної xдоданок 2 xнабуде іншого вигляду. Тому доданок 2 xможна повністю прийняти за невідомий доданок:

Тепер застосовуємо правило знаходження невідомого доданку. Віднімаємо із суми відомий доданок:

Обчислимо праву частину рівняння, що вийшло:

Ми отримали нове рівняння. Тепер ми маємо справу з компонентами множення: множником, множником та твором. 2 - множинне, x- множник, 4 - твір

При цьому змінна xє не просто множником, а невідомим множником

Щоб знайти цей невідомий множник, потрібно твір розділити на множину:

Обчислимо праву частину, отримаємо значення змінної x

Для перевірки знайдений корінь відправимо у вихідне рівняння та підставимо замість x

Приклад 3. Розв'язати рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56

Відразу висловити невідоме xне можна. Спочатку потрібно привести дане рівняння до виду, при якому його можна було б висловити.

Наведемо в лівій частині цього рівняння:

Маємо справу з компонентами множення. 28 - множинне, x- множник, 56 - твір. При цьому xє невідомим множником. Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на множину:

Звідси xдорівнює 2

Рівносильні рівняння

У попередньому прикладі під час вирішення рівняння 3x + 9x + 16x = 56 , ми привели подібні доданки в лівій частині рівняння. В результаті отримали нове рівняння 28 x= 56 . Старе рівняння 3x + 9x + 16x = 56 і нове рівняння, що вийшло 28 x= 56 називають рівносильними рівняннями, оскільки їх коріння збігаються.

Рівняння називають рівносильними, якщо їх коріння збігається.

Перевіримо це. Для рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 ми знайшли корінь рівний 2 . Підставимо цей корінь спочатку на рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 , а потім до рівняння 28 x= 56 , яке вийшло в результаті приведення подібних доданків у лівій частині попереднього рівняння. Ми повинні здобути вірні числові рівності

Відповідно до порядку дій, насамперед виконується множення:

Підставимо корінь 2 у друге рівняння 28 x= 56

Бачимо, що в обох рівнянь коріння збігається. Значить рівняння 3x+ 9x+ 16x= 6 та 28 x= 56 справді є рівносильними.

Для вирішення рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 ми скористалися одним із — приведенням подібних доданків. Правильне тотожне перетворення рівняння дозволило нам отримати рівносильне рівняння 28 x= 56 яке простіше вирішувати.

З тотожних перетворень ми вміємо лише скорочувати дроби, наводити подібні доданки, виносити загальний множник за дужки, і навіть розкривати дужки. Існують інші перетворення, які слід знати. Але для загального уявлення про тотожні перетворення рівнянь, вивчених нами тим цілком вистачає.

Розглянемо деякі перетворення, які дозволяють отримати рівносильне рівняння

Якщо до обох частин рівняння додати те саме число, то вийде рівняння рівносильне даному.

та аналогічно:

Якщо з обох частин рівняння відняти одне й те число, то вийде рівняння рівносильне даному.

Іншими словами, корінь рівняння не зміниться, якщо до обох частин даного рівняння додати (або відняти з обох частин) одне й те саме число.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

Віднімемо з обох частин рівняння число 10

Отримали рівняння 5 x= 10. Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти невідомий співмножник x, Потрібно твір 10 розділити на відомий співмножник 5.

і підставимо замість xзнайдене значення 2

Здобули правильну числову рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Вирішуючи рівняння ми вирахували з обох частин рівняння число 10 . В результаті отримали рівносильне рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння так само дорівнює 2

Приклад 2. Розв'язати рівняння 4( x+ 3) = 16

Віднімемо з обох частин рівняння число 12

У лівій частині залишиться 4 x, а у правій частині число 4

Отримали рівняння 4 x= 4 . Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти невідомий співмножник x, потрібно добуток 4 розділити на відомий співмножник 4

Повернемося до вихідного рівняння 4( x+ 3) = 16 і підставимо замість xзнайдене значення 1

Здобули правильну числову рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Вирішуючи рівняння 4( x+ 3) = 16 ми відняли з обох частин рівняння число 12 . В результаті отримали рівносильне рівняння 4 x= 4 . Корінь цього рівняння, як і рівняння 4( x+ 3) = 16 так само дорівнює 1

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Розкриємо дужки у лівій частині рівності:

Додамо до обох частин рівняння число 8

Наведемо подібні доданки в обох частинах рівняння:

У лівій частині залишиться 2 x, а у правій частині число 9

У рівнянні, що вийшло 2 x= 9 висловимо невідомий доданок x

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 4,5

Здобули правильну числову рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Вирішуючи рівняння ми додали до обох частин рівняння число 8. У результаті отримали рівносильне рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння так само дорівнює 4,5

Наступне правило, яке дозволяє отримати рівносильне рівняння, виглядає так

Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння рівносильне даному.

Тобто корінь рівняння не зміниться, якщо ми перенесемо доданок з однієї частини рівняння до іншої, змінивши його знак. Ця властивість є одним із важливих і одним із часто застосовуваних при вирішенні рівнянь.

Розглянемо наступне рівняння:

Корінь даного рівняння дорівнює 2. Підставимо замість xцей корінь і перевіримо чи виходить вірна числова рівність

Виходить правильна рівність. Значить число 2 справді є коренем рівняння.

Тепер спробуємо поекспериментувати із складниками цього рівняння, переносячи їх із однієї частини до іншої, змінюючи знаки.

Наприклад, доданок 3 xрозташовується у лівій частині рівності. Перенесемо його у праву частину, змінивши знак на протилежний:

Вийшло рівняння 12 = 9x − 3x . у правій частині цього рівняння:

xє невідомим співмножником. Знайдемо цей відомий співмножник:

Звідси x= 2. Як бачимо, корінь рівняння не змінився. Значить рівняння 12 + 3 x = 9xі 12 = 9x − 3x є рівносильними.

Насправді, це перетворення є спрощеним методом попереднього перетворення, де до обох частинах рівняння додавалася (або віднімали) одне й те саме число.

Ми сказали, що у рівнянні 12 + 3 x = 9xдоданок 3 xбуло перенесено до правої частини, змінивши знак. Насправді ж відбувалося таке: з обох частин рівняння відняли доданок 3 x

Потім у лівій частині були наведені подібні доданки та отримано рівняння 12 = 9x − 3x. Потім знову були наведені подібні доданки, але вже у правій частині, і отримано рівняння 12 = 6 x.

Але так зване «перенесення» зручніше для подібних рівнянь, тому він і отримав таке широке поширення. Вирішуючи рівняння, ми часто користуватимемося саме цим перетворенням.

Рівносильними є також рівняння 12 + 3 x= 9xі 3x − 9x= −12 . На цей раз у рівнянні 12 + 3 x= 9xдоданок 12 було перенесено у праву частину, а доданок 9 xу ліву. Не слід забувати, що знаки цих доданків були змінені під час перенесення

Наступне правило, яке дозволяє отримати рівносильне рівняння, виглядає так:

Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число, не рівне нулю, то вийде рівняння рівносильне даному.

Іншими словами, коріння рівняння не зміняться, якщо обидві його частини помножити або розділити на те саме число. Ця дія часто застосовується тоді, коли потрібно вирішити рівняння, що містить дробові вирази.

Спочатку розглянемо приклади, у яких обидві частини рівняння множитимуться на те саме число.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

При розв'язанні рівнянь, що містять дробові вирази, спочатку прийнято спростити це рівняння.

У цьому випадку ми маємо справу саме з таким рівнянням. З метою спрощення цього рівняння обидві його частини можна помножити на 8:

Ми пам'ятаємо, що для , потрібно чисельник даного дробу помножити на це число. У нас є два дроби і кожен із них множиться на число 8. Наше завдання помножити чисельники дробів на це число 8

Тепер відбувається найцікавіше. У чисельниках і знаменниках обох дробів міститься множник 8, який можна скоротити на 8. Це дозволить нам позбутися дробового виразу:

В результаті залишиться найпростіше рівняння

Ну і неважко здогадатися, що корінь цього рівняння дорівнює 4

xзнайдене значення 4

Виходить вірна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

При розв'язанні даного рівняння ми помножили обидві його частини на 8. У результаті отримали рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 4. Значить, ці рівняння рівносильні.

Множник, на який множаться обидві частини рівняння, прийнято записувати перед частиною рівняння, а не після неї. Так, вирішуючи рівняння , ми помножили обидві частини на множник 8 і отримали наступний запис:

Від цього корінь рівняння не змінився, але якби ми зробили це, перебуваючи в школі, то нам зробили б зауваження, оскільки в алгебрі множник прийнято записувати перед тим виразом, з яким він перемножується. Тому множення обох частин рівняння на множник 8 бажано переписати так:

Приклад 2. Розв'язати рівняння

У лівій частині множники 15 можна скоротити на 15, а правої частини множники 15 і 5 можна скоротити на 5

Розкриємо дужки у правій частині рівняння:

Перенесемо доданок xз лівої частини рівняння у праву частину, змінивши знак. А доданок 15 з правої частини рівняння перенесемо в ліву частину, знову ж таки змінивши знак:

Наведемо подібні доданки в обох частинах, отримаємо

Маємо справу з компонентами множення. Змінна x

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 5

Виходить вірна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно. При розв'язанні даного рівняння ми помножили обидві частини на 15 . Далі виконуючи тотожні перетворення ми отримали рівняння 10 = 2 x. Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 5 . Значить, ці рівняння рівносильні.

Приклад 3. Розв'язати рівняння

У лівій частині можна скоротити дві трійки, а права частина дорівнюватиме 18

Залишиться найпростіше рівняння. Маємо справу з компонентами множення. Змінна xє невідомим співмножником. Знайдемо цей відомий співмножник:

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 9

Виходить вірна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Приклад 4. Розв'язати рівняння

Помножимо обидві частини рівняння на 6

У лівій частині рівняння розкриємо дужки. У правій частині множник 6 можна підняти в чисельник:

Скоротимо в обох частинах рівняння те, що можна скоротити:

Перепишемо те, що в нас залишилося:

Скористаємося перенесенням доданків. Доданки, що містять невідоме x, згрупуємо в лівій частині рівняння, а складові вільні від невідомих - у правій:

Наведемо такі складові в обох частинах:

Тепер знайдемо значення змінної x. Для цього розділимо добуток 28 на відомий співмножник 7

Звідси x= 4.

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 4

Вийшла вірна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Приклад 5. Розв'язати рівняння

Розкриємо дужки в обох частинах рівняння там, де це можна:

Помножимо обидві частини рівняння на 15

Розкриємо дужки в обох частинах рівняння:

Скоротимо в обох частинах рівняння, що можна скоротити:

Перепишемо те, що в нас залишилося:

Розкриємо дужки там, де це можна:

Скористаємося перенесенням доданків. Доданки, що містять невідоме, згрупуємо в лівій частині рівняння, а доданки, вільні від невідомих - у правій. Не забуваємо, що під час перенесення, доданки змінюють свої знаки на протилежні:

Наведемо подібні доданки в обох частинах рівняння:

Знайдемо значення x

У відповіді можна виділити цілу частину:

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення

Виходить досить громіздкий вираз. Скористаємося змінними. Ліву частину рівності занесемо у змінну A, а праву частину рівності до змінної B

Наше завдання полягає в тому, щоб переконатися, чи дорівнює ліва частина правої. Іншими словами, довести рівність A = B

Знайдемо значення виразу, що у змінної А.

Значення змінної Аодно. Тепер знайдемо значення змінної B. Тобто значення правої частини нашої рівності. Якщо і воно одно, то рівняння буде вирішено правильно

Бачимо, що значення змінної B, Як значення змінної A дорівнює . Це означає, що ліва частина дорівнює правій частині. Звідси робимо висновок, що рівняння вирішено правильно.

Тепер спробуємо не множити обидві частини рівняння на те саме число, а ділити.

Розглянемо рівняння 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Вирішимо його звичайним методом: доданки, що містять невідомі, згрупуємо в лівій частині рівняння, а доданки, вільні від невідомих - у правій. Далі виконуючи відомі тотожні перетворення, знайдемо значення x

Підставимо знайдене значення 2 замість xу вихідне рівняння:

Тепер спробуємо розділити всі складові рівняння 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 на якесь число. Помічаємо, що всі складові цього рівняння мають загальний множник 2. На нього і розділимо кожне доданок:

Виконаємо скорочення в кожному доданку:

Перепишемо те, що в нас залишилося:

Вирішимо це рівняння, користуючись відомими тотожними перетвореннями:

Отримали корінь 2 . Значить рівняння 15x+ 7x+ 7 = 35x − 20x+ 21 і 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 рівносильні.

Розподіл обох частин рівняння одне й те число дозволяє звільняти невідоме від коефіцієнта. У попередньому прикладі, коли ми отримали рівняння 7 x= 14 нам потрібно було розділити твір 14 на відомий співмножник 7. Але якби ми в лівій частині звільнили невідоме від коефіцієнта 7, корінь знайшовся б відразу. Для цього достатньо було розділити обидві частини на 7

Цим методом ми теж користуватимемося часто.

Множення на мінус одиницю

Якщо обидві частини рівняння помножити на мінус одиницю, то вийде рівняння рівносильне даному.

Це правило випливає з того, що від множення (або поділу) обох частин рівняння на те саме число, корінь даного рівняння не змінюється. Отже корінь не зміниться якщо обидві його частини помножити на −1 .

Це правило дозволяє змінити знаки всіх компонентів, що входять до рівняння. Для чого це потрібно? Знову ж таки, щоб здобути рівносильне рівняння, яке простіше вирішувати.

Розглянемо рівняння. Чому дорівнює корінь цього рівняння?

Додамо до обох частин рівняння число 5

Наведемо такі складові:

А тепер згадаємо про . Що ж є ліва частина рівняння. Це є твір мінус одиниці та змінної x

Тобто мінус, що стоїть перед змінною xвідноситься не до самої змінної xа до одиниці, яку ми не бачимо, оскільки коефіцієнт 1 прийнято не записувати. Це означає, що рівняння насправді виглядає так:

Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти х, Потрібно твір −5 розділити на відомий співмножник −1 .

або розділити обидві частини рівняння на −1 , що ще простіше

Отже, корінь рівняння дорівнює 5 . Для перевірки підставимо його у вихідне рівняння. Не забуваємо, що у вихідному рівнянні мінус, що стоїть перед змінною xвідноситься до невидимої одиниці

Вийшла вірна числова рівність. Значить рівняння вирішено правильно.

Тепер спробуємо помножити обидві частини рівняння на мінус одиницю:

Після розкриття дужок у лівій частині утворюється вираз, а права частина дорівнюватиме 10

Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 5

Значить рівняння та рівносильні.

Приклад 2. Розв'язати рівняння

У цьому рівнянні всі компоненти є негативними. З позитивними компонентами працювати зручніше, ніж із негативними, тому поміняємо знаки всіх компонентів, що входять до рівняння. Для цього помножимо обидві частини даного рівняння на −1.

Зрозуміло, що з множення на −1 будь-яке число змінить свій знак протилежний. Тому саму процедуру множення на −1 та розкриття дужок докладно не розписують, а одразу записують компоненти рівняння з протилежними знаками.

Так, множення рівняння на −1 можна докладно записати наступним чином:

або можна легко змінити знаки всіх компонентів:

Вийде те саме, але різниця буде в тому, що ми заощадимо собі час.

Отже, помноживши обидві частини рівняння на −1 ми отримали рівняння . Вирішимо це рівняння. З обох частин віднімемо число 4 і розділимо обидві частини на 3

Коли корінь знайдено, змінну зазвичай записують у лівій частині, та її значення у правій, що й зробили.

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Помножимо обидві частини рівняння на −1. Тоді всі компоненти змінять свої знаки на протилежні:

З обох частин рівняння, що вийшло, віднімемо 2 xі наведемо подібні доданки:

Додамо до обох частин рівняння одиницю і наведемо такі складові:

Прирівнювання до нуля

Нещодавно ми дізналися, що якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши його знак, то вийде рівняння рівносильне даному.

А що буде якщо перенести з однієї частини до іншої не один доданок, а всі доданки? Мабуть, у тій частині, звідки забрали всі складові, залишиться нуль. Іншими словами, нічого не залишиться.

Як приклад розглянемо рівняння. Вирішимо дане рівняння, як завжди — складові, що містять невідомі, згрупуємо в одній частині, а числові доданки, вільні від невідомих залишимо в іншій. Далі виконуючи відомі тотожні перетворення, знайдемо значення змінної x

Тепер спробуємо вирішити це рівняння, прирівнявши всі його компоненти до нуля. Для цього перенесемо всі складові з правої частини до лівої, змінивши знаки:

Наведемо такі складові в лівій частині:

Додамо до обох частин 77 і розділимо обидві частини на 7

Альтернатива правилам знаходження невідомих

Очевидно, що знаючи про тотожні перетворення рівнянь, можна не заучувати напам'ять правила знаходження невідомих.

Наприклад, знаходження невідомого у рівнянні ми твір 10 ділили на відомий співмножник 2

Але якщо в рівнянні обидві частини розділити на 2 корені, знайдеться відразу. У лівій частині рівняння в чисельнику множник 2 і в знаменнику множник 2 скоротяться на 2. А права частина дорівнюватиме 5

Рівняння виду ми вирішували висловлюючи невідомий доданок:

Але можна скористатися тотожними перетвореннями, які ми сьогодні вивчили. У рівнянні доданок 4 можна перенести у праву частину, змінивши знак:

У лівій частині рівняння скоротяться дві двійки. Права частина дорівнюватиме 2. Звідси .

Або можна було з обох частин рівняння відняти 4. Тоді вийшло б таке:

У разі рівнянь вигляду зручніше ділити твір на відомий співмножник. Порівняємо обидва рішення:

Перше рішення набагато коротше і акуратніше. Друге рішення можна значно вкоротити, якщо виконати поділ в умі.

Тим не менш, необхідно знати обидва методи, і тільки потім використовувати той, який більше подобається.

Коли коріння кілька

Рівняння може мати кілька коренів. Наприклад, рівняння x(x + 9) = 0 має два корені: 0 та −9 .

У рівнянні x(x + 9) = 0 потрібно було знайти таке значення xпри якому ліва частина дорівнювала б нулю. У лівій частині цього рівняння містяться вирази xі (x + 9)які є співмножниками. Із законів твору ми знаємо, що твір дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю (або перший співмножник чи другий).

Тобто в рівнянні x(x + 9) = 0 рівність досягатиметься, якщо xдорівнюватиме нулю або (x + 9)дорівнюватиме нулю.

x= 0 або x + 9 = 0

Прирівнявши до нуля обидва ці вирази, ми зможемо знайти коріння рівняння x(x + 9) = 0. Перше коріння, як видно з прикладу, знайшлося відразу. Для знаходження другого кореня потрібно розв'язати елементарне рівняння x+ 9 = 0. Нескладно здогадатися, що корінь цього рівняння дорівнює -9. Перевірка показує, що корінь вірний:

−9 + 9 = 0

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Дане рівняння має два корені: 1 і 2. Ліва частина рівняння є добуток виразів ( x− 1) та ( x− 2) . А добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю (або співмножник ( x− 1) або змножувач ( x − 2) ).

Знайдемо таке xпри якому вирази ( x− 1) або ( x− 2) звертаються до нулі:

Підставляємо по черзі знайдені значення у вихідне рівняння і переконуємося, що при цих значеннях ліва частина дорівнює нулю:

Коли коріння нескінченно багато

Рівняння може мати нескінченно багато коренів. Тобто, підставивши в таке рівняння будь-яке число, ми отримаємо правильну числову рівність.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

Коренем цього рівняння є будь-яке число. Якщо розкрити дужки в лівій частині рівняння та навести подібні доданки, то вийде рівність 14 = 14 . Ця рівність буде виходити за будь-якого x

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Коренем цього рівняння є будь-яке число. Якщо розкрити дужки в лівій частині рівняння, то вийде рівність 10x + 12 = 10x + 12. Ця рівність буде виходити за будь-якого x

Коли коріння немає

Трапляється й отже рівняння зовсім немає рішень, тобто немає коренів. Наприклад, рівняння не має коріння, оскільки при будь-якому значенні x, ліва частина рівняння не дорівнюватиме правій частині. Наприклад, нехай. Тоді рівняння набуде наступного вигляду

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Розкриємо дужки у лівій частині рівності:

Наведемо такі складові:

Бачимо, що ліва частина не дорівнює правій частині. І так буде за будь-якого значення y. Наприклад, нехай y = 3 .

Літерні рівняння

Рівняння може містити не лише числа зі змінними, а й літери.

Наприклад, формула знаходження швидкості є буквеним рівнянням:

Це рівняння визначає швидкість руху тіла при рівноприскореному русі.

Корисною навичкою є вміння виразити будь-який компонент, що входить у буквене рівняння. Наприклад, щоб із рівняння визначити відстань, потрібно виразити змінну s .

Помножимо обидві частини рівняння на t

У правій частині змінні tскоротимо на t

У рівнянні, що вийшло, ліву і праву частину поміняємо місцями:

У нас вийшла формула знаходження відстані, яку ми вивчали раніше.

Спробуймо з рівняння визначити час. Для цього потрібно висловити змінну t .

Помножимо обидві частини рівняння на t

У правій частині змінні tскоротимо на tі перепишемо те, що в нас залишилося:

У рівнянні, що вийшло, v × t = sобидві частини розділимо на v

У лівій частині змінні vскоротимо на vі перепишемо те, що в нас залишилося:

У нас вийшла формула визначення часу, яку ми вивчали раніше.

Припустимо, що швидкість поїзда дорівнює 50 км/год.

v= 50 км/год

А відстань дорівнює 100 км

s= 100 км

Тоді буквене набуде наступного вигляду

З цього рівняння можна знайти час. Для цього потрібно виразити змінну t. Можна скористатися правилом знаходження невідомого дільника, розділивши ділене на приватне і таким чином визначити значення змінної t

або можна скористатися тотожними перетвореннями. Спочатку помножити обидві частини рівняння на t

Потім розділити обидві частини на 50

Приклад 2 x

Віднімемо з обох частин рівняння a

Розділимо обидві частини рівняння на b

a + bx = c, то ми матимемо готове рішення. Достатньо підставити в нього потрібні значення. Ті значення, які підставлятимуться замість букв a, b, cприйнято називати параметрами. А рівняння виду a + bx = cназивають рівнянням із параметрами. Залежно від параметрів, корінь змінюватиметься.

Розв'яжемо рівняння 2 + 4 x= 10. Воно схоже на буквене рівняння a + bx = c. Замість того щоб виконувати тотожні перетворення, ми можемо скористатися готовим рішенням. Порівняємо обидва рішення:

Бачимо, що друге рішення набагато простіше та коротше.

Для готового рішення потрібно зробити невелике зауваження. Параметр bне повинен дорівнювати нулю (b ≠ 0)оскільки розподіл на нуль не допускається.

Приклад 3. Дано буквене рівняння. Виразіть із цього рівняння x

Розкриємо дужки в обох частинах рівняння

Скористаємося перенесенням доданків. Параметри, що містять змінну x, згрупуємо в лівій частині рівняння, а параметри вільні від цієї змінної - у правій.

У лівій частині винесемо за дужки множник x

Розділимо обидві частини на вираз a − b

У лівій частині чисельник та знаменник можна скоротити на a − b. Так остаточно висловиться змінна x

Тепер, якщо нам трапиться рівняння виду a(x − c) = b(x + d), то ми матимемо готове рішення. Достатньо підставити в нього потрібні значення.

Допустимо нам дано рівняння 4(x − 3) = 2(x+ 4) . Воно схоже на рівняння a(x − c) = b(x + d). Вирішимо його двома способами: за допомогою тотожних перетворень та за допомогою готового рішення:

Для зручності витягнемо з рівняння 4(x − 3) = 2(x+ 4) значення параметрів a, b, c, d . Це дозволить нам не помилитися при підстановці:

Як і в минулому прикладі знаменник тут не повинен дорівнювати нулю ( a − b ≠ 0). Якщо нам зустрінеться рівняння виду a(x − c) = b(x + d)в якому параметри aі bбудуть однаковими, ми зможемо не вирішуючи його сказати, що дане рівняння коренів немає, оскільки різниця однакових чисел дорівнює нулю.

Наприклад, рівняння 2(x − 3) = 2(x + 4)є рівнянням виду a(x − c) = b(x + d). У рівнянні 2(x − 3) = 2(x + 4)параметри aі bоднакові. Якщо ми почнемо його вирішувати, то прийдемо до того, що ліва частина не дорівнюватиме правій частині:

Приклад 4. Дано буквене рівняння. Виразіть із цього рівняння x

Наведемо ліву частину рівняння до спільного знаменника:

Помножимо обидві частини на a

У лівій частині xвинесемо за дужки

Розділимо обидві частини на вираз (1 − a)

Лінійні рівняння з одним невідомим

Розглянуті у цьому уроці рівняння називають лінійними рівняннями першого ступеня з одним невідомим.

Якщо рівняння дано у першому ступені, немає поділу на невідоме, і навіть містить коренів з невідомого, його можна назвати лінійним. Ми ще не вивчали ступеня та коріння, тому щоб не ускладнювати собі життя, слово «лінійний» розумітимемо як «простий».

Більшість рівнянь, вирішених у цьому уроці, зрештою зводилися до найпростішого рівняння, у якому треба було твір розділити на відомий співмножник. Таким, наприклад, є рівняння 2( x+ 3) = 16. Давайте вирішимо його.

Розкриємо дужки в лівій частині рівняння, отримаємо 2 x+ 6 = 16. Перенесемо доданок 6 у праву частину, змінивши знак. Тоді отримаємо 2 x= 16 − 6. Обчислимо праву частину, отримаємо 2 x= 10. Щоб знайти xрозділимо добуток 10 на відомий співмножник 2. Звідси x = 5.

Рівняння 2( x+ 3) = 16 є лінійним. Воно звелося до рівняння 2 x= 10 для знаходження кореня якого потрібно було розділити твір на відомий співмножник. Таке найпростіше рівняння називають лінійним рівнянням першого ступеня з одним невідомим у канонічному вигляді. Слово "канонічний" є синонімом слів "найпростіший" або "нормальний".

Лінійне рівняння першого ступеня з одним невідомим у канонічному вигляді називають рівняння виду ax = b.

Отримане нами рівняння 2 x= 10 є лінійним рівнянням першого ступеня з одним невідомим у канонічному вигляді. У цього рівняння перший ступінь, одне невідоме, воно не містить поділу на невідоме і не містить коріння з невідомого, і представлене воно в канонічному вигляді, тобто в найпростішому вигляді, при якому легко можна визначити значення x. Замість параметрів aі bу нашому рівнянні містяться числа 2 і 10. Але подібне рівняння може містити інші числа: позитивні, негативні або рівні нулю.

Якщо в лінійному рівнянні a= 0 і b= 0 то рівняння має нескінченно багато коренів. Справді, якщо aодно нулю і bодно нулю, то лінійне рівняння ax= bнабуде вигляду 0 x= 0. За будь-якого значення xліва частина дорівнюватиме правій частині.

Якщо в лінійному рівнянні a= 0 і b≠ 0, то рівняння коренів не має. Справді, якщо aодно нулю і bодно якомусь числу, не рівному нулю, скажімо числу 5, то рівняння ax = bнабуде вигляду 0 x= 5. Ліва частина дорівнюватиме нулю, а права частина п'яти. А нуль не дорівнює п'яти.

Якщо в лінійному рівнянні a≠ 0 і bі будь-якому числу, то рівняння має один корінь. Він визначається розподілом параметра bна параметр a

Справді, якщо aодно якомусь числу, не рівному нулю, скажімо числу 3 , і bі якомусь числу, скажімо числу 6 , то рівняння набуде вигляду .
Звідси.

Існує й інша форма запису лінійного рівняння першого ступеня з одним невідомим. Виглядає вона так: ax − b= 0. Це те саме рівняння, що і ax = b

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки