Окружність на 9 рівних частин. Розподіл кола на рівні частини

Під час ремонту часто доводиться мати справу з колами, особливо, якщо хочеться створити цікаві та оригінальні елементи декору. Також часто доводиться ділити на рівні частини. Щоб зробити це є кілька способів. Наприклад, можна намалювати правильний багатокутник або використати відомі всім ще зі школи інструменти. Так, для того щоб розділити коло на рівні частини знадобляться саме коло з чітко визначеним центром, олівець, транспортир, а також лінійка та циркуль.

Поділ кола за допомогою транспортира

Поділ кола на рівні частини за допомогою вищезгаданого інструменту є, мабуть, найпростішим. Відомо, що коло – це 360 градусів. Розділивши це значення на необхідну кількість частин можна дізнатися, скільки займатиме кожна частина (див. фото).

Далі, починаючи з будь-якої точки, можна зробити позначки, які відповідають проведеним розрахункам. Цей метод хороший, коли коло потрібно розділити на 5, 7, 9 і т.д. частин. Наприклад, якщо фігуру необхідно розділити на 9 частин, позначки будуть на 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280 і 320 градусах.

Розподіл на 3 та 6 частин

Щоб правильно розділити коло на 6 частин, можна використовувати властивість правильного шестикутника, тобто. його найдовша діагональ має становити дві довжини його боку. Спочатку циркуль необхідно розтягнути на довжину рівну радіусу фігури. Далі залишаючи одну з ніжок інструменту в будь-якій точці кола, другий необхідно зробити засічку, після чого повторюючи маніпуляції, вдасться зробити шість точок, з'єднавши які можна отримати шестикутник (див. фото).

З'єднавши вершини фігури через одну, можна отримати правильний трикутник, відповідно фігуру можна поділити на 3 рівні частини, а з'єднавши всі вершини і провівши через них діагоналі можна розділити фігуру на 6 частин.

Розподіл на 4 та 8 частин

Якщо коло необхідно поділити на 4 рівні частини, насамперед необхідно накреслити діаметр фігури. Це дозволить отримати одразу дві з потрібних чотирьох точок. Далі потрібно взяти циркуль, розтягнути його ніжки діаметром, після чого одну з них залишити на одному з кінців діаметра, а інший зробити засічки за межами кола знизу і зверху (див. фото).

Те саме необхідно зробити і для іншого кінця діаметра. Після цього отримані за межами кола точки з'єднуються за допомогою лінійки та олівця. Отримана лінія буде другим діаметром, який буде чітко перпендикулярно першому, в результаті чого фігура буде поділена на 4 частини. Для того, щоб отримати, наприклад, 8 рівних частин, отримані прямі кути можна розділити навпіл і провести через них діагоналі.

Для поділу кола навпіл достатньо провести будь-який її діаметр. Два взаємно перпендикулярні діаметри розділять коло на чотири рівні частини (рисунок 28, а). Розділивши кожну четверту частину навпіл, одержують восьмі частини, а при подальшому розподілі – шістнадцяті, тридцять другі частини і т. д. (рисунок 28, б). з'єднати прямометочки поділу, то можна отримати сторони правильного вписаного квадрата ( а 4 ), восьмикутника ( а 8 ) і т . д. (рисунок 28, в).

Малюнок 28

Розподіл кола на 3, 6, 12 і т. д. рівних частин,а також побудова відповідних правильних вписаних багатокутників здійснюють наступним чином. В колі проводять два взаємно перпендикулярні діаметри 1–2 і 3–4 (Рисунок 29 а). З точок 1 і 2 як із центрів описують дуги радіусом кола R до перетину з нею в точках А, В, С і D . Крапки A , B , 1, С, D і 2 ділять коло на шість рівних частин. Ці точки, взяті через одну, розділять окружність на три рівні частини (рисунок 29, б). Для поділу кола на 12 рівних частин описують ще дві дуги радіусом кола з точок. 3 і 4 (Рисунок 29, в).

Малюнок 29

Побудувати правильні вписані трикутник, шестикутник і т. д. можна також за допомогою лінійки та косинця в 30 і 60 °. На малюнку 30 наведено таку побудову для вписаного трикутника.

Малюнок 30

Розподіл кола на сім рівних частині побудова правильного семикутника вписаного (рисунок 31) виконують за допомогою половини сторони вписаного трикутника, приблизно рівної стороні вписаного семикутника.

Малюнок 31

Для поділу кола на п'ять або десять рівних частинпроводять два взаємно перпендикулярні діаметри (рисунок 32, а). Радіус OA ділять навпіл і, отримавши крапку У описують з неї дугу радіусом. R=BC до перетину її в точці D із горизонтальним діаметром. Відстань між точками C і D дорівнює довжині сторони правильного вписаного п'ятикутника ( а 5 ), а відрізок OD дорівнює довжині сторони правильного вписаного десятикутника ( а 10 ). Розподіл кола на п'ять і десять рівних частин, а також побудова вписаних правильних п'ятикутників і десятикутників показано на малюнку 32, б. Прикладом використання поділу кола на п'ять частин є п'ятикутна зірка (рисунок 32 в).

Малюнок 32

На малюнку 33 наведено загальний спосіб наближеного поділу кола на рівні частини . Нехай потрібно розділити коло на дев'ять рівних частин. В колі проводять два взаємно перпендикулярні діаметри і вертикальний діаметр AB ділять на дев'ять рівних частин за допомогою допоміжної прямої (рисунок 33 а). З точки B описують дугу радіусом R = AB, і на перетині її з продовженням горизонтального діаметра одержують точки З і D . З точок C і D через парні або непарні точки поділу діаметра AB проводять промені. Точки перетину променів з колом розділять на дев'ять рівних частин (рисунок 33, б).

Окружністю називається замкнута крива лінія, кожна точка якої розташована на однаковій відстані від однієї точки, званої центром.

Прямі лінії, що з'єднують будь-яку точку кола з її центром, називають радіусами R.

Пряма АВ, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр О, називається діаметром D.

Частини кіл називаються дугами.

Пряма СD, що з'єднує дві точки на колі, називається хордий.

Пряма МN,яка має тільки одну загальну точку з колом називається дотичної.

Частина кола, обмежена хордою СD та дугою, називається сигментом.

Частина кола, обмежена двома радіусами та дугою, називається сектором.

Дві взаємно перпендикулярні горизонтальна та вертикальна лінії, що перетинаються в центрі кола, називаються осями кола.

Кут, утворений двома радіусами КОА, називається центральним кутом.

Два взаємно перпендикулярний радіусскладають кут 90 0 і обмежують 1/4 кола.

Розподіл кола на частини

Проводимо коло з горизонтальною і вертикальною осями, які ділять її на 4 рівні рівні. Проведені за допомогою циркуля або косинця під 45 0 дві взаємно перпендикулярні лінії ділять коло на 8-м рівних частин.

Розподіл кола на 3 та 6 рівних частин (кратні 3 трьом)

Для розподілу кола на 3, 6 і кратне їм кількість частин, проводимо коло заданого радіусу та відповідні осі. Поділ можна починати від точки перетину горизонтальної або вертикальної осі з колом. Заданий радіус кола послідовно відкладається 6 разів. Потім отримані точки на колі послідовно з'єднуються прямими лініями та утворюють правильний вписаний шестикутник. З'єднання точок через одну дає рівносторонній трикутник, і розподіл кола на три рівні частини.

Побудова правильного п'ятикутника виконується в такий спосіб. Проводимо дві взаємно перпендикулярні осі кола рівні діаметру кола. Ділимо праву половину горизонтального діаметра навпіл за допомогою дуги R1. З отриманої точки "а" у середині цього відрізка радіусом R2 проводимо дугу кола до перетину з горизонтальним діаметром у точці "b". Радіусом R3 з точки "1" проводять дугу кола до перетину із заданим колом (т.5) і отримують бік правильного п'ятикутника. Відстань "b-О" дає сторону правильного десятикутника.

Розподіл кола на N-ну кількість однакових частин (побудова правильного багатокутника з N сторін)

Виконується в такий спосіб. Проводимо горизонтальну та вертикальну взаємно перпендикулярні осі кола. З верхньої точки "1" кола проводимо під довільним кутом до вертикальної осі пряму лінію. На ній відкладаємо рівні відрізки довільної довжини, число яких дорівнює числу частин на яке ми ділимо це коло, наприклад 9. Кінець останнього відрізка з'єднуємо з нижньою точкою вертикального діаметра. Проводимо лінії, паралельні отриманій, з кінців відкладених відрізків до перетину з вертикальним діаметром, розділивши таким чином вертикальний діаметр даного кола на задану кількість частин. Радіусом рівним діаметру кола, з нижньої точки вертикальної осі проводимо дугу MN до перетину з продовженням горизонтальної осі кола. З точок M і N проводимо промені через парні (чи непарні) точки поділу вертикального діаметра до перетину з колом. Отримані відрізки кола будуть шуканими, т.к. точки 1, 2, …. 9 ділять коло на 9 (N) рівних частин.

Для знаходження центру дуги кола потрібно виконати такі побудови: на цій дузі відзначаємо чотири довільні точки А, В, С, D і попарно з'єднуємо їх хордами АВ і СD. Кожну з хорд за допомогою циркуля ділимо навпіл, отримавши таким чином перпендикуляр, що проходить через середину відповідної хорди. Взаємне перетин цих перпендикулярів дає центр даної дуги і відповідного їй кола.

Розподіл кола на три рівні частини. Встановлюють косинець з кутами 30 і 60° великим катетом паралельно до однієї з центрових ліній. Уздовж гіпотенузи з точки 1 (перше поділ) проводять хорду (рис. 2.11, а), отримуючи другий поділ - точку 2. Перевернувши косинець і провівши другу хорду, отримують третій поділ - точку 3 (Рис. 2.11, б). З'єднавши точки 2 і 3; 3 і 1 прямими, одержують рівносторонній трикутник.

Мал. 2.11.

а, б - сдопомогою косинця; в– за допомогою циркуля

Те саме завдання можна вирішити за допомогою циркуля. Поставивши опорну ніжку циркуля у нижній або верхній кінець діаметра (рис. 2.11, в), описують дугу, радіус якої дорівнює радіусу кола. Отримують перший і другий поділ. Третій розподіл знаходиться на протилежному кінці діаметра.

Розподіл кола на шість рівних частин

Розчин циркуля встановлюють рівним радіусу Rкола. З кінців одного з діаметрів кола (з точок 1, 4 ) описують дуги (рис. 2.12, а, б). Крапки 1, 2, 3, 4, 5, 6 ділять коло на шість рівних частин. З'єднавши їх прямими, одержують правильний шестикутник (рис. 2.12, б).

Мал. 2.12.

Те саме завдання можна виконати за допомогою лінійки та косинця з кутами 30 і 60° (рис. 2.13). Гіпотенуза косинця при цьому має проходити через центр кола.

Мал. 2.13.

Розподіл кола на вісім рівних частин

Крапки 1, 3, 5, 7 лежать на перетині центрових ліній із колом (рис. 2.14). Ще чотири точки знаходять за допомогою косинця з кутами 45 °. При отриманні точок 2, 4, 6, 8 гіпотенуза косинця проходить через центр кола.

Мал. 2.14.

Розподіл кола на будь-яку кількість рівних частин

Для поділу кола будь-яку кількість рівних частин користуються коефіцієнтами, наведеними в табл. 2.1.

Довжину lхорди, яку відкладають на заданому колі, визначають за формулою l = dk,де l- Довжина хорди; d– діаметр заданого кола; k- Коефіцієнт, що визначається за табл. 1.2.

Таблиця 2.1

Коефіцієнти для поділу кіл

Щоб розділити коло заданого діаметра 90 мм, наприклад, на 14 частин, надходять у такий спосіб.

У першій графі табл. 2.1 знаходять кількість поділів п,тобто. 14. З другої графи виписують коефіцієнт k,відповідний числу поділів п.У разі він дорівнює 0,22252. Діаметр заданого кола множать на коефіцієнт і одержують довжину хорди l = dk = 90 0,22252 = 0,22 мм. Отриману довжину хорди відкладають циркулем-вимірювачем 14 разів на заданому колі.

Знаходження центру дуги та визначення величини радіусу

Задано дугу кола, центр і радіус якого невідомі.

Для їх визначення необхідно провести дві непаралельні хорди (рис. 2.15, а) і поставити перпендикуляри до середин хорд (рис. 2.15, б). Центр Продуги знаходиться на перетині цих перпендикулярів.

Мал. 2.15.

Сполучення

При виконанні машинобудівних креслень, а також при розмітці заготовок деталей на виробництві часто доводиться плавно з'єднувати прямі лінії з дугами кола або дугу кола з дугами інших кіл, тобто. виконувати сполучення.

Сполученнямназивають плавний перехід прямий у дугу кола або однієї дуги в іншу.

Для побудови пар треба знати величину радіусу сполучення, знайти центри, з яких проводять дуги, тобто. центри сполучення(Рис. 2.16). Потім необхідно знайти точки, у яких одна лінія перетворюється на іншу, тобто. точки сполучення.При побудові креслення лінії, що сполучаються, потрібно доводити точно до цих точок. Точка сполучення дуги кола і прямої лежить на перпендикулярі, опущеному з центру дуги на пряму, що сполучається (рис. 2.17, а), або на лінії, що з'єднує центри дуг, що сполучаються (рис. 2.17, б). Отже, для побудови будь-якої пари дугою заданого радіусу потрібно знайти центр сполученняі точку (крапки) сполучення.

Мал. 2.16.

Мал. 2.17.

Поєднання двох прямих дугою заданого радіуса, що перетинаються. Дані прямі лінії, що перетинаються під прямим, гострим і тупим кутами (рис. 2.18, а). Потрібно побудувати сполучення цих прямих дугою заданого радіусу R.

Мал. 2.18.

Для всіх трьох випадків можна застосовувати таку побудову.

1. Знаходять точку Про– центр сполучення, який має лежати на відстані Rвід сторін кута, тобто. у точці перетину прямих, що проходять паралельно сторонам кута на відстані Rвід них (рис. 2.18, б).

Для проведення прямих, паралельних сторонам кута, з довільних точок, взятих на прямих, розчином циркуля, рівним R,роблять засічки та до них проводять дотичні (рис. 2.18, б).

• 2. Знаходять точки сполучення (рис. 2.18, в). Для цього з точки Проопускають перпендикуляри задані прямі.
• 3. З точки О, як із центру, описують дугу заданого радіусу Rміж точками сполучення (рис. 2.18, в).

Розподіл кола на чотири рівні частини та побудова правильного вписаного чотирикутника(Рис.6).

Дві взаємно перпендикулярні центрові лінії ділять коло на чотири рівні частини. З'єднавши точки перетину цих ліній з колом прямими, одержують правильний вписаний чотирикутник.

Розподіл кола на вісім рівних частин і побудова правильного вписаного восьмикутника(Мал.7).

Розподіл кола на вісім рівних частин проводиться за допомогою циркуля в такий спосіб.

З точок 1 і 3 (точки перетину центрових ліній з колом) довільним радіусом R проводять дуги до взаємного перетину, тим же радіусом з точки 5 роблять засічку на дузі проведеної з точки 3.

Через точки перетину засічок та центр кола проводять прямі лінії до перетину з колом у точках 2, 4, 6, 8.

Якщо отримані вісім точок послідовно з'єднати прямими лініями, то вийде правильний вписаний восьмикутник.

Поділ кола на три рівні частини та побудова правильного вписаного трикутника(Рис.8).

Варіант 1.

При розподілі кола циркулем на три рівні частини з будь-якої точки кола, наприклад точки А перетину центрових ліній з колом, проводять дугу радіусом R, рівним радіусу кола, отримують точки 2 і 3. Третя точка поділу (точка 1) буде знаходиться на протилежному кінці діаметра , що проходить через точку А. послідовно з'єднавши точки 1, 2 і 3, отримують правильний трикутник вписаний.

Варіант 2.

При побудові правильного вписаного трикутника, якщо задана одна з його вершин, наприклад, точка 1, знаходять точку А. Для цього, через задану точку проводять діаметр (рис.8). Точка А буде на протилежному кінці цього діаметра. Потім проводять дугу радіусом R, рівним радіусу даного кола, одержують точки 2 і 3.

Розподіл кола на шість рівних частин та побудова правильного вписаного шестикутника(Рис.9).

При розподілі кола на шість рівних частин за допомогою циркуля з двох кінців одного діаметра радіусом, рівним радіусу даного кола, проводять дуги до перетину з колом в точках 2, 6 і 3, 5. Послідовно з'єднавши отримані точки, отримують правильний шестикутник вписаний.

Розподіл кола на дванадцять рівних частин і побудова правильного вписаного дванадцятикутника(Рис.10).

При розподілі кола циркулем з чотирьох кінців двох взаємно перпендикулярних діаметрів кола проводять радіусом, рівним радіусу даного кола, дуги до перетину з коло (рис.10). З'єднавши послідовно отримані точки перетину одержують правильний вписаний дванадцятикутник.

Розподіл кола на п'ять рівних частин та побудова правильного вписаного п'ятикутника (рис.11).

При розподілі кола циркулем половину будь-якого діаметра (радіуса) ділять навпіл, отримують точку А. З точки А, як із центру, проводять дугу радіусом, що дорівнює відстані від точки А до точки 1, до перетину з другою половиною цього діаметра в точці В. Відрізок 1В дорівнює хорді стягує дугу, довжина якої дорівнює 1/5 довжини кола. Роблячи засічки на колі радіусом R1, рівним відрізку 1В, ділять коло на п'ять рівних частин. Початкову точку А вибирають залежно від розташування п'ятикутника.

З точки 1 будують точки 2 і 5, потім з точки 2 будують точку 3, а з точки 5 будують точку 4. Відстань від точки 3 до 4 перевіряють циркулем; якщо відстань між точками 3 і 4 дорівнює відрізку 1В, побудови були виконані точно.

Не можна виконувати засічки послідовно, в один бік, тому що відбувається накопичення похибок виміру і остання сторона п'ятикутника виходить перекошеною. Послідовно з'єднавши знайдені точки, одержують правильний вписаний п'ятикутник.

Розподіл кола на десять рівних частин та побудова правильного вписаного десятикутника(Рис.12).

Поділ кола на десять рівних частин виконують аналогічно поділу кола на п'ять рівних частин (рис. 11), але спочатку ділять коло на п'ять рівних частин, починаючи побудови з точки 1, а потім з точки 6, що знаходиться на протилежному кінці діаметра. З'єднавши послідовно всі точки, отримують правильний десятикутник вписаний.

Розподіл кола на сім рівних частин та побудова правильного вписаного семикутника(Рис.13).

З будь-якої точки кола, наприклад точки А, радіусом заданого кола проводять дугу до перетину з коло в точках B і D прямий.

Половина отриманого відрізка (в даному випадку відрізок ВС) дорівнюватиме хорді, яка стягує дугу, що становить 1/7 довжини кола. Радіусом, рівним відрізку ПС, роблять засічки на колі в послідовності, показаній при побудові правильного п'ятикутника. З'єднавши послідовно всі точки, одержують правильний вписаний семикутник.

Розподіл кола на чотирнадцять рівних частин і побудова правильного вписаного чотирнадцятикутника (рис.14).

Поділ кола на чотирнадцять рівних частин виконують аналогічно поділу кола на сім рівних частин (рис.13), але спочатку ділять коло на сім рівних частин, починаючи побудови з точки 1, а потім з точки 8, що знаходиться на протилежному кінці діаметра. З'єднавши послідовно всі точки, одержують правильний вписаний чотирнадцятикутник.