Окружність на 9 рівних частин. І побудова правильних вписаних багатокутників

За допомогою циркуля та лінійки можна розділити коло не на будь-яку кількість частин. Математики довели, що на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, …, 257, … частин розділити можна, на 7, 9, 11, 13, 14 … частин не можна .

На жаль, немає єдиного способу поділу. Наведемо найголовніші.

1) Розподіл кола на 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) рівних частин.

Починаємо з поділу кола на 6 частин. Для цього тим же розчином циркуля, яким проводилося коло, з будь-якої точки кола, як із центру, треба провести коло. Потім повторити процедуру, взявши в якості центру точку перетину початкового та нового кіл.

Щоб поділити коло на 3 частини, треба поділити його на 6 частин і взяти крапки через одну (рис. 5а). Щоб поділити коло на 12 частин, треба поділити його на 6 частин і кожну дугу розділити навпіл, далі процес розподілу дуг навпіл можна продовжувати необмежено.

Довжина перпендикуляра, опущеного з центру кола на бік шестикутника, є непоганим наближенням для довжини сторони семикутника, вписаного в коло (на малюнку 5а показаний штрихуванням). Довжина перпендикуляра ≈0,866R, довжина сторони семикутника ≈0,868R – точність ≈2%.

2) Розподіл кола на 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) рівні частини.

Розділити коло на 2 частини за допомогою лінійки можна, провівши пряму через центр кола. Але можна від будь-якої точки кола 3 рази відкласти радіус кола. Початкова та кінцева точки ділять коло навпіл (через них можна провести діаметр – рис. 5а). Щоб розділити коло на 4 частини, треба розділити навпіл отримані дуги. Послідовне виконання розподілу отриманих дуг навпіл забезпечує розподіл кола на 8, 16 і т.д. частин.

3) Розподіл кола на 5 елементів.

Прийнятий у кресленні спосіб побудови використовує співвідношення між стороною правильного десятикутника ( а 10)і правильного п'ятикутника ( а 5)- a 5 2 = R 2 +a 10 2 . Виконується побудова в такий спосіб. Проведемо 2 перпендикулярні прямі через центр кола О. А і В – точки їх перетину з коло. З точки А, як із центру, проведемо коло того ж радіусу (знайдемо середину відрізка АТ – точку С). З середини відрізка АТ точки З проведемо ще одне коло радіусу СВ. Відрізок ВЕ дорівнює стороні п'ятикутника, ОЕ – десятикутника (рис. 5б).

Можна ділити коло на 5 і 10 частин способом, зображеним малюнку 5в. Відрізок ВС – сторона п'ятикутника, АС – десятикутника. Про чудові властивості п'ятикутника і десятикутника і тому, чому вірний спосіб побудови, наведений малюнку 5в, ми розповімо у наступному розділі.

Медресе Кукельдаш (XVI ст., Ташкент)

Малюнок 5г демонструє прийом наближеного геометричного розв'язання задачі про розподіл кола на будь-яку кількість частин. Нехай, наприклад, потрібно розділити це коло на 7 рівних частин. Побудуємо на діаметрі кола АВ рівносторонній трикутник АВС і розділимо діаметр АВ точкою D щодо AD:AB=2:7 (загалом 2:n). Для цього треба провести допоміжну пряму, на ній відкласти n+2 однакових відрізка, крайню точку з'єднати з точкою і через другу точку провести пряму, паралельну прямий BF. Проведемо пряму DC до перетину з колом. Дуга АЕ становитиме 7-у частину кола (загалом n-ю). Цей метод при n<11 дает погрешность не более 1%.

Алгоритми поділу кола на рівні частини можна використовувати, наприклад, для побудови опорних точок спіралей - спіралі Архімеда, названої так на честь великого давньогрецького вченого Архімеда (III ст. до н.е.), що вперше вивчив цю лінію, та логарифмічної спіралі.

Сьогодні в пості викладаю кілька картинок кораблів та схем до них для вишивання ізониттю (картинки клікабельні).

Спочатку другий вітрильник виконаний на гвоздиках. А оскільки гвоздик має певну товщину, виходить, що від кожного відходить дві нитки. Плюс до цього нашарування одного вітрила на другий. У результаті очі виникає деякий ефект роздвоєння зображення. Якщо вишивати корабель на картоні, думаю, він виглядатиме привабливіше.
Другий і третій кораблики вишивати дещо простіше, ніж перший. У кожному з вітрил є центральна точка (на нижній стороні вітрила), з якої виходять промені до точок по периметру вітрила.
Анекдот:
— У вас є нитки?
- Є.
- А суворі?
- Та кошмар просто! Підійти боюсь!

У мене дебют – перший майстер клас. Сподіваюся, не останній. Вишиватимемо павича. Схема виробу.Позначаючи місця проколів, зверніть особливу увагу, щоб у замкнутих контурах їх було парна кількість.Основа картинки - щільний картон(я брав коричневий щільністю 300 г/м2, можна спробувати і на чорному, тоді кольори виглядатиму ще яскравіше), краще пофарбований з обох боків(для киян – я брав у відділі канцтоварів у ЦУМі на Хрещатику). Нитки- Муліне (будь-якого виробника, у мене були DMC), в одну нитку, тобто. пучки розмотуємо на окремі волокна. Вишивка складається з трьох шарівниток. Спочаткувишиваємо методом настилу перший шар у пір'їнках на голові павича, крило (світло-блакитний колір ниток), а також темно-сині кола хвоста. Перший шар тулуба вишивається хордами зі змінним кроком, намагаючись щоб нитки проходили по дотичній до контуру крила. Потімвишиваємо гілочки (шов-змійка, нитки гірчичного кольору), листя (спочатку темно-зелені, потім решта).

За виконання графічних робіт доводиться вирішувати багато завдань на побудову. Найпоширеніші у своїй завдання — розподіл відрізків прямий, кутів і кіл на рівні частини, побудова різних сполучень.

Розподіл кола на рівні частини за допомогою циркуля

Користуючись радіусом, неважко розділити коло і 3, 5, 6, 7, 8, 12 рівних ділянок.

Розподіл кола на чотири рівні частини.

Штрихпунктирні центрові лінії, проведені перпендикулярно одна до іншої, ділять коло на чотири рівні частини. Послідовно з'єднавши їх кінці, отримаємо правильний чотирикутник(Рис. 1) .

Рис.1 Розподіл кола на 4 рівні частини.

Розподіл кола на вісім рівних частин.

Щоб розділити коло на вісім рівних частин, дуги, рівні четвертої частини кола, ділять навпіл. Для цього з двох точок, що обмежують чверть дуги, як із центрів радіусів кола виконують засічки за її межами. Отримані точки з'єднують з центром кіл і на перетині їх з лінією кола отримують точки, що ділять четверті ділянки навпіл, тобто отримують вісім рівних ділянок кола (рис. 2). ).

Рис.2. Розподіл кола на 8 рівних частин.

Розподіл кола на шістнадцять рівних частин.

Розділивши циркулем дугу, що дорівнює 1/8, на дві рівні частини, нанесемо засічки на коло. Поєднавши всі засічки, відрізками прямих, отримаємо правильний шістнадцятикутник.

Рис.3. Розподіл кола на 16 рівних частин.

Розподіл кола на три рівні частини.

Щоб розділити коло радіуса R на 3 рівні частини, з точки перетину центрової лінії з коло (наприклад, з точки А) описують як з центру додаткову дугу радіусом R. Отримують точки 2 і 3. Точки 1, 2, 3 ділять коло на три рівні частини.

Рис. 4. Розподіл кола на 3 рівні частини.

Розподіл кола на шість рівних частин. Сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює радіусу кола (рис. 5).

Для поділу кола на шість рівних частин треба з точок 1 і 4 перетину центрової лінії з колом зробити на колі по дві засічки радіусом R, рівним радіусу кола. З'єднавши отримані точки відрізками прямих, отримаємо правильний шестикутник.

Рис. 5. Розподіл кола на 6 рівних частин

Розподіл кола на дванадцять рівних частин.

Щоб розділити коло на дванадцять рівних частин, треба поділити коло на чотири частини взаємно перпендикулярними діаметрами. Прийнявши точки перетину діаметрів із колом А , У, З, D за центри, величиною радіусу проводять чотири дуги до перетину з колом. Отримані точки 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 і крапки А , У, З, D поділяють коло на дванадцять рівних частин (рис. 6).

Рис. 6. Розподіл кола на 12 рівних частин

Розподіл кола на п'ять рівних частин

З точки Апроведемо дугу тим самим радіусом, як і радіус кола до перетину з колом - отримаємо точку У. Опустивши перпендикуляр із цієї точки - отримаємо точку З. З точки З- середини радіуса кола, як із центру, дугою радіуса СDзробимо засічку на діаметрі, отримаємо точку Е. Відрізок DEдорівнює довжині сторони вписаного правильного п'ятикутника. Зробивши радіусом DEзасічки на колі, отримаємо точки поділу кола на п'ять рівних частин.

Рис. 7. Розподіл кола на 5 рівних частин

Розподіл кола на десять рівних частин

Розділивши коло на п'ять рівних частин, легко можна розділити коло і 10 рівних частин. Провівши прямі від точок через центр кола до протилежних сторін кола - отримаємо ще 5 точок.

Рис. 8. Розподіл кола на 10 рівних частин

Розподіл кола на сім рівних частин

Щоб розділити коло радіусу Rна 7 рівних частин, з точки перетину центрової лінії з колом (наприклад, з точки А) описують як із центру додаткову дугу цим жерадіусом R- Отримують точку У. Опустивши перпендикуляр із крапки У- отримаємо точку З. Відрізок НДдорівнює довжині сторони вписаного правильного семикутника.

Рис. 9. Розподіл кола на 7 рівних частин

Розподіл кола на чотири рівні частини та побудова правильного вписаного чотирикутника(Рис.6).

Дві взаємно перпендикулярні центрові лінії ділять коло на чотири рівні частини. З'єднавши точки перетину цих ліній з колом прямими, одержують правильний вписаний чотирикутник.

Розподіл кола на вісім рівних частин і побудова правильного вписаного восьмикутника(Мал.7).

Розподіл кола на вісім рівних частин проводиться за допомогою циркуля в такий спосіб.

З точок 1 і 3 (точки перетину центрових ліній з колом) довільним радіусом R проводять дуги до взаємного перетину, тим же радіусом з точки 5 роблять засічку на дузі проведеної з точки 3.

Через точки перетину засічок та центр кола проводять прямі лінії до перетину з колом у точках 2, 4, 6, 8.

Якщо отримані вісім точок послідовно з'єднати прямими лініями, то вийде правильний вписаний восьмикутник.

Поділ кола на три рівні частини та побудова правильного вписаного трикутника(Рис.8).

Варіант 1.

При розподілі кола циркулем на три рівні частини з будь-якої точки кола, наприклад точки А перетину центрових ліній з колом, проводять дугу радіусом R, рівним радіусу кола, отримують точки 2 і 3. Третя точка поділу (точка 1) буде знаходиться на протилежному кінці діаметра , що проходить через точку А. послідовно з'єднавши точки 1, 2 і 3, отримують правильний трикутник вписаний.

Варіант 2.

При побудові правильного вписаного трикутника, якщо задана одна з його вершин, наприклад, точка 1, знаходять точку А. Для цього, через задану точку проводять діаметр (рис.8). Точка А буде на протилежному кінці цього діаметра. Потім проводять дугу радіусом R, рівним радіусу даного кола, одержують точки 2 і 3.

Розподіл кола на шість рівних частин та побудова правильного вписаного шестикутника(Рис.9).

При розподілі кола на шість рівних частин за допомогою циркуля з двох кінців одного діаметра радіусом, рівним радіусу даного кола, проводять дуги до перетину з колом в точках 2, 6 і 3, 5. Послідовно з'єднавши отримані точки, отримують правильний шестикутник вписаний.

Розподіл кола на дванадцять рівних частин і побудова правильного вписаного дванадцятикутника(Рис.10).

При розподілі кола циркулем з чотирьох кінців двох взаємно перпендикулярних діаметрів кола проводять радіусом, рівним радіусу даного кола, дуги до перетину з коло (рис.10). З'єднавши послідовно отримані точки перетину одержують правильний вписаний дванадцятикутник.

Розподіл кола на п'ять рівних частин та побудова правильного вписаного п'ятикутника (рис.11).

При розподілі кола циркулем половину будь-якого діаметра (радіуса) ділять навпіл, отримують точку А. З точки А, як із центру, проводять дугу радіусом, що дорівнює відстані від точки А до точки 1, до перетину з другою половиною цього діаметра в точці В. Відрізок 1В дорівнює хорді стягує дугу, довжина якої дорівнює 1/5 довжини кола. Роблячи засічки на колі радіусом R1, рівним відрізку 1В, ділять коло на п'ять рівних частин. Початкову точку А вибирають залежно від розташування п'ятикутника.

З точки 1 будують точки 2 і 5, потім з точки 2 будують точку 3, а з точки 5 будують точку 4. Відстань від точки 3 до 4 перевіряють циркулем; якщо відстань між точками 3 і 4 дорівнює відрізку 1В, побудови були виконані точно.

Не можна виконувати засічки послідовно, в один бік, тому що відбувається накопичення похибок виміру і остання сторона п'ятикутника виходить перекошеною. Послідовно з'єднавши знайдені точки, одержують правильний вписаний п'ятикутник.

Розподіл кола на десять рівних частин та побудова правильного вписаного десятикутника(Рис.12).

Поділ кола на десять рівних частин виконують аналогічно поділу кола на п'ять рівних частин (рис. 11), але спочатку ділять коло на п'ять рівних частин, починаючи побудови з точки 1, а потім з точки 6, що знаходиться на протилежному кінці діаметра. З'єднавши послідовно всі точки, отримують правильний десятикутник вписаний.

Розподіл кола на сім рівних частин та побудова правильного вписаного семикутника(Рис.13).

З будь-якої точки кола, наприклад точки А, радіусом заданого кола проводять дугу до перетину з коло в точках B і D прямий.

Половина отриманого відрізка (в даному випадку відрізок ВС) дорівнюватиме хорді, яка стягує дугу, що становить 1/7 довжини кола. Радіусом, рівним відрізку ПС, роблять засічки на колі в послідовності, показаній при побудові правильного п'ятикутника. З'єднавши послідовно всі точки, одержують правильний вписаний семикутник.

Розподіл кола на чотирнадцять рівних частин і побудова правильного вписаного чотирнадцятикутника (рис.14).

Поділ кола на чотирнадцять рівних частин виконують аналогічно поділу кола на сім рівних частин (рис.13), але спочатку ділять коло на сім рівних частин, починаючи побудови з точки 1, а потім з точки 8, що знаходиться на протилежному кінці діаметра. З'єднавши послідовно всі точки, одержують правильний вписаний чотирнадцятикутник.

І побудова правильних вписаних багатокутників

Поділ кола на 3, 6 і 12 рівних частин. Побудова правильного вписаного трикутника, шестикутника та дванадцятикутника.

Для побудови правильного вписаного трикутника треба з точки Аперетину центрової лінії з колом відкласти розмір, що дорівнює радіусу R,в один і інший бік. Отримаємо вершини 1 та 2( Рис. 26, а). Вершина 3 лежить на протилежній точці Акінці діаметра.

1/3 1/6 1/12

а Б В)

Рис. 26

Сторона шестикутника дорівнює радіусу кола. Розподіл на 6 частин показано на рис. 26, б.

Для того щоб розділити коло на 12 частин, треба розмір, рівний радіусу, відкласти на кола в одну і іншу сторону з чотирьох центрів (рис. 26, в).

Поділ кола на 4 і 8

вписаного чотирикутника та восьмикутника.

Рис. 27

На 4 частини коло ділиться двома взаємно перпендикулярними центровими лініями. Для поділу на 8 частин треба дугу, рівну чверті кола, розділити навпіл ( рис.27.)

Поділ кола на 5 і 10 рівних частин. Побудова правильного

вписаного п'ятикутника та десятикутника.

1/5 1/10

а) б)

Рис. 28

Половину будь-якого діаметру (радіус) ділять навпіл ( Рис. 28, а), отримують точку N.З точки N,як із центру, проводять дугу радіусом R 1, що дорівнює відстані від точки Nдо точки А, до перетину з другою половиною цього діаметра, у точці Р.Відрізок АРдорівнює хорді, що стягує дугу, довжина якої дорівнює 1/5 довжини кола. Роблячи засічки на колі радіусом R 2 ,рівним відрізку АР,ділять коло п'ять рівних частин. Початкову точку вибирають залежно від розташування п'ятикутника. ( ! Не можна виконувати засічки в один бік, тому що відбувається набігання помилок і остання сторона п'ятикутника виходить перекошеною.)

Розподіл кола на 10 рівних частин виконують аналогічно поділу кола на п'ять рівних частин ( Рис. 28, б), але спочатку ділять коло на п'ять частин, починаючи побудову з точки А, а потім з точки, що знаходиться на протилежному кінці діаметра. Можна використовувати для побудови відрізок ВР- Довжина якого дорівнює хорді 1/10 довжини кола.

Поділ кола на 7 рівних частин.

1/7

а Б В)

Рис. 29

З будь-якої точки (наприклад, А) кола, радіусом заданого кола рводят дугу до перетину з колом в точках Уі D (рис. 29, а).З'єднавши точки Уі Dпрямий, отримують відрізок НД,рівний хорді, яка стягує дугу, що становить 1/7 довжини кола. Засічки виконують у послідовності, вказаній на Рис. 29 б.

Сполучення

Часто в конструкції деталей одна поверхня перетворюється на іншу. Зазвичай ці переходи роблять плавними, що підвищує міцність деталей і робить їх зручнішими у роботі. Сполучення - Це плавний перехід від однієї лінії до іншої. Побудова сполучення зводиться до трьох моментів: 1) визначення центру сполучення; 2)знаходження точок сполучення; 3) побудова дуги сполучення заданого радіусу. Для побудови пари найчастіше заданий радіус сполучення. Центр та точка сполучення визначаються графічно.