Окружність властивості та ознаки формули. Основні теореми, пов'язані з колами

“А в коло я закохався і на ньому зупинився.

Інформаційно-навчальний проект.

Тема: коло

Мета проекту: Вивчити властивості, види різних кіл та теореми, з ними пов'язані.

Я розпочав свою роботу з того, що вивчив властивості кола у шкільному курсі геометрії за підручником А.В.Погорелова “Геометрія 7-9” та матеріал за рамками шкільного курсу. При зборі інформації з різних джерел і в роботі над проектом я розширив свої знання і продовжуватиму далі вивчати цю тему і ділитися знаннями з однокласниками та всіма, кому це цікаво.

Окружність- геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром, на задану ненульову відстань, яку називають її радіусом. Замкнене коло, що не має внутрішнього простору.

Інші визначення

Окружність діаметра AB - це фігура, що складається з точок A, B і всіх точок площини, з яких відрізок AB видно під прямим кутом.

Коло - це фігура, що складається з усіх точок площини, для кожної з яких відношення відстаней до двох даних точок дорівнює даному числу, відмінному від одиниці. (Див. Окружність Аполлонія)

Також фігура, що складається з усіх таких точок, для кожної з яких сума квадратів відстаней до двох даних точок дорівнює заданій величині більшої половини квадрата відстані між даними точками.

Пов'язані визначення

Радіус- як величина відстані, а й відрізок, що з'єднує центр кола з однією з її точок.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається її хордий. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром.

Коло називається одиничноюякщо її радіус дорівнює одиниці. Одиничне коло є одним із основних об'єктів тригонометрії.

Будь-які дві точки, що не збігаються, кола ділять її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугого кола. Дуга називається півколоякщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром.

Теорема Птолемея.

Клавдій Птолемей(), який жив наприкінці першого - початку другого століття н.е., був давньогрецьким ученим-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком та теоретиком музики. Він відомий як коментатор Евкліда. Птолемей намагався довести знаменитий П'ятий постулат. Основна праця Птолемея - "Альмагест", в якому він виклав відомості з астрономії. Включав "Альмагест" та каталог зоряного неба.

Теорема Птолемея.Навколо чотирикутника можна описати коло тоді і лише тоді, коли добуток його діагоналей дорівнює сумі творів його протилежних сторін.

Доказ необхідності. Оскільки чотирикутник вписаний у коло, то

З трикутника по теоремі косінусів знаходимо

Аналогічно з трикутника:

Сума цих косінусів дорівнює нулю:

Звідси висловимо:

Розглянемо трикутники і знайдемо :

що і потрібно було довести.

Принагідно ми довели ще одне твердження. Для чотирикутника, вписаного в коло,

Доказ достатності.Нехай виконано рівність

Доведемо, що навколо чотирикутника можна описати коло.

Позначимо через радіус кола, описаного навколо . З точки опустимо перпендикуляри на прямі і позначимо точки перетину цих прямих і перпендикулярів до них через і відповідно. По теоремі синсів для трикутника отримуємо (діаметр описаного кола для цього трикутника дорівнює):

По теоремі синусів для трикутника маємо

Отже,

Таким же чином, розглядаючи трикутники та отримаємо співвідношення

Звідси, підставляючи ці висловлювання у вихідну рівність, маємо

звідки випливає, що крапки і лежать на одній прямій.

Доведемо тепер, що з цього випливає, що навколо чотирикутника можна описати коло (достатня умова теореми Сімсона).

Побудуємо кола на відрізках і як на діаметрах. Перша їх проходить через точки і (кути і прямі), а друга - через точки і ( ). Кути і рівні як вертикальні, звідки випливає, що , отже, і . Звідси і навколо чотирикутника можна описати коло.

Формула Ейлераназвана на честь Леонарда Ейлера, який її ввів, та пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого речового числа xвиконано таку рівність:

де e- основа натурального логарифму,

i- Уявна одиниця.

Кут, утворений дугою кола, що дорівнює по довжині радіусу, приймається за 1 радіан.

Довжина одиничного півкола позначається через π.

Геометричне місце точок площини, відстань від яких до цієї точки не більше ніж задане ненульове, називається кругом .

Пряма, що має з колом рівно одну загальну точку, називається дотичної до кола, а їх загальна точка називається точкою торкання прямої та кола.

Пряма, що проходить через дві різні точки на колі, називається січучої .

Центральний кут - Кут з вершиною в центрі кола. Центральний кут дорівнює градусній мірі дуги, на яку спирається.

У разі кут АОВ є центральним.

Вписаний кут - Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, яку спирається. У цьому випадку кут ABC є вписаним.

Два кола, що мають спільний центр, називаються концентричними .

Два кола, радіуси яких перетинаються під прямим кутом, називаються

ортогональними.

Довжина кола: C = 2∙π∙R = π∙D

Радіус кола: R = C/(2∙π) = D/2

Діаметр кола: D = C/π = 2∙R

Два кола, задані рівняннями:

є концентричними (тобто мають загальний центр) у цьому і лише тому випадку, коли A1 = A2 і B1 = B2.

Два кола є ортогональними (тобто перетинаються під прямим кутом) тоді і лише тоді, коли виконується умова

Вписане коло

Коло називається вписаним у кут, якщо вона лежить усередині кута і стосується його сторін. Центр кола, вписаного в кут, лежить на бісектрисі цього кута.

Коло називається вписаним у опуклий багатокутник, якщо вона лежить усередині даного багатокутника і стосується всіх прямих, що проходять через нього. сторони.

У трикутнику

Властивості вписаного кола:

У кожен трикутник можна вписати коло, до того ж лише одну.

Якщо пряма, яка проходить через точку паралельно стороні AB, перетинає сторони BC і CA в точках A 1 та B 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .

Точки торкання вписаного в трикутник T кола з'єднані відрізками - виходить трикутник T 1

• бісектриси T є серединними перпендикулярами T 1

  Нехай T 2 - ортотрикутник T 1 . Тоді його сторони паралельні сторонам вихідного трикутника T.

  Нехай T 3 - Середній трикутник T 1 . Тоді бісектриси T є висотами T 3 .

• Центр O вписаного кола називається інцентром, він рівновіддалений від усіх сторін і є точкою перетину бісектрис трикутника.

  Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює

У багатокутнику

Якщо в даний опуклий багатокутник можна вписати коло, то бісектриси всіх кутів даного багатокутника перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола.

Радіус вписаного в багатокутник кола дорівнює відношенню його площі до напівпериметра

Описане коло.

Описане коло - Коло, що містить всі вершини багатокутника. Центром є точка (прийнято позначати O ) перетину серединних перпендикулярів до сторін багатокутника.

Властивості

Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить у точці перетину серединних перпендикулярів до його сторін. Як наслідок: якщо поряд з n-кутником описано коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).

Навколо будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і до того ж лише одну.

Для трикутника :

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж лише одну. Її центром буде точка перетину серединних перпендикулярів

У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить усередині, у тупокутного - поза трикутником, у прямокутного - на середині гіпотенузи.

3 з 4 кіл, описаних щодо серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), що перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центром описаного кола основного трикутника.

Центр описаного біля трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами в серединах сторін цього трикутника.

Відстань від вершини трикутника до ортоцентра удвічі більше, ніж відстань від центру описаного кола до протилежного боку.

Радіус

Радіус описаного кола може бути знайдений за формулами

Де:

a , b , c - Сторони трикутника,

α - кут, що лежить проти сторони a ,

S - площа трикутника.

Положення центру описаного кола

Нехай радіус-вектори вершин трикутника - радіус-вектор центру описаного кола. Тоді

де

Рівняння описаного кола

Нехай координати вершин трикутника в деякій декартовій системі координат на площині - Координати центру описаного кола. Тоді

а рівняння описаного кола має вигляд

Для точок, що лежать усередині кола, визначник негативний, а для точок поза нею - позитивний.

Формула Ейлера: Якщо d - відстань між центрами вписаного та описаного кіл, а їх радіуси рівні r і R відповідно, то d 2 = R 2 − 2 Rr .

Для чотирикутника.

Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник необхідно опуклим.

Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді й лише тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180° (π радіан).

Можна описати коло навколо:

будь-якого прямокутника (частковий випадок квадрат)

будь-якої рівнобедреної трапеції

У чотирикутника, вписаного в коло, добуток довжин діагоналей дорівнює сумі творів довжин пар протилежних сторін:

|AC|·|BD| = | AB | · | CD | + |BC|·|AD|

Коло Аполлонія - геометричне місце точок площини, відношення відстаней від яких до двох заданих точок - величина постійна, не рівна одиниці.

Біполярні координати – ортогональна система координат на площині, заснована на колах Аполлонія.

Нехай на площині дано дві точки A і B . Розглянемо всі крапки P цієї площини, для кожної з яких

,

де k - Фіксоване позитивне число. При k = 1 ці точки заповнюють серединний перпендикуляр до відрізка AB ; в інших випадках зазначене геометричне місце - коло, зване коло Аполлонія .

Кола Аполлонія. Кожне блакитне коло перетинає кожну червону під прямим кутом. Кожне червоне коло проходить через дві точки (C і D) і кожне блакитне коло оточує лише одну з цих точок

Радіус кіл Аполлонія дорівнює :

Одиничне коло - це коло з радіусом 1 та центром на початку координат. Поняття одиничного кола можна легко узагальнити до n-мірного простору ( n 2). У разі використовується термін «поодинока сфера».

Для всіх точок на колі дійсно згідно з теоремою Піфагора: x 2 + y 2 = 1.

Не плутайте терміни «коло» та «коло»!

Окружність на даній відстані від цієї точки, однією площині - крива.

Коло - геометричне місце точок, розташоване не далі ніж коло , на одній площині – фігура.

Також до одиничного кола можна віднести розділ алгебри, як тригонометрію.

Тригонометрія.

Синус і косинус можуть бути описані таким чином: з'єднавши будь-яку точку ( x , y ) на одиничному колі з початком координат (0,0), ми отримуємо відрізок, що знаходиться під кутом α щодо позитивної півосі абсцис. Тоді справді:

cos α = x

sin α = y

Підставивши ці значення у вищезгадане рівняння x 2 + y 2 = 1, ми отримуємо:

cos 2 α + sin 2 α = 1

Зверніть увагу на загальноприйняте написання cos 2 x = (cos x ) 2 .

Відразу ж наочно описується періодичність тригонометричних функцій, оскільки кут відрізка залежить від кількості «повних оборотів»:

sin( x + 2 π k ) = sin( x )

cos( x + 2 π k ) = cos( x )

для всіх цілих чисел k , іншими словами, k належить Z .

Комплексна площина.

У комплексній площині одиничне коло описує безліч:

Безліч G задовольняє умовам мультиплікативної групи (з нейтральним елементом e i 0 = 1).

Теорема про січучих - Теорема планіметрії. Формулюється так:

Якщо з точки, що лежить поза коло, проведено дві січучі, то добуток однієї січе на її зовнішню частину дорівнює твору іншої січе на її зовнішню частину.

Якщо перекласти це твердження на мову букв (згідно з малюнком праворуч), то вийде таке:

Приватним випадком теореми про січучих є Теорема про дотичну та січну:

Якщо з однієї точки проведені до кола дотична і січна, то добуток всієї січе на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичної.

Використані інтернет ресурси:

www.wikipedia.org

А також література: Геометрія 7-11 класи Визначення, властивості, методи розв'язання задач у таблицях Е.П.Нелін

\[(\Large(\text(Центральні та вписані кути)))]]

Визначення

Центральний кут – це кут, вершина якого лежить у центрі кола.

Вписаний кут - це кут, вершина якого лежить на колі.

Градусна міра дуги кола – це градусна міра центрального кута, що на неї спирається.

Теорема

Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, яку він спирається.

Доведення

Доказ проведемо у два етапи: спочатку доведемо справедливість затвердження для випадку, коли одна із сторін вписаного кута містить діаметр. Нехай точка \(B\) - вершина вписаного кута \(ABC\) і \(BC\) - діаметр кола:

Трикутник \(AOB\) - рівнобедрений, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) - зовнішній, тоді \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), звідки \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Тепер розглянемо довільний вписаний кут (ABC). Проведемо діаметр кола \(BD\) з вершини вписаного кута. Можливі два випадки:

1) діаметр розрізав кут на два кути \(\angle ABD, \angle CBD\) (для кожного з яких теорема вірна за доведеним вище, отже вірна і для вихідного кута, який є сумою цих двох і означає дорівнює напівсумі дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, яку він спирається). Рис. 1.

2) діаметр не розрізав кут на два кути, тоді у нас з'являється ще два нових вписаних кута \(\angle ABD, \angle CBD\) , у яких сторона містить діаметр, отже, для них теорема вірна, тоді вірна і для вихідного кута (який дорівнює різниці цих двох кутів, отже, дорівнює напіврізності дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, на яку він спирається). Рис. 2.

Наслідки

1. Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.

2. Вписаний кут, що спирається на півколо, прямий.

3. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.

\[(\Large(\text(Дотична до кола)))\]

Визначення

Існує три типи взаємного розташування прямого та кола:

1) пряма (a) перетинає коло у двох точках. Така пряма називається січною. У цьому випадку відстань (d) від центру кола до прямої менше радіуса (R) кола (рис. 3).

2) пряма (b) перетинає коло в одній точці. Така пряма називається дотичною, які загальна точка \(B\) – точкою дотику. У цьому випадку (d = R) (рис. 4).

Теорема

1. Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.

2. Якщо пряма проходить через кінець радіуса кола і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною до кола.

Слідство

Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.

Доведення

Проведемо до кола з точки \(K\) дві дотичні \(KA\) і \(KB\):

Значить, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) як радіуси. Прямокутні трикутники \(\triangle KAO\) і \(\triangle KBO\) рівні по катету та гіпотенузі, отже, \(KA=KB\) .

Слідство

Центр кола \(O\) лежить на бісектрисі кута \(AKB\), утвореного двома дотичними, проведеними з однієї точки \(K\).

\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з кутами)))\]

Теорема про вугілля між січними

Кут між двома січними, проведеними з однієї точки, дорівнює напіврізності градусних заходів більшої і меншої дуг, що ними висікаються.

Доведення

Нехай \(M\) - точка, з якої проведено дві січучі як показано на малюнку:

Покажемо, що \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) – зовнішній кут трикутника \(MAD\), тоді \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), звідки \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\)але кути \(\angle DAB\) і \(\angle MDA\) – вписані, тоді \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), що і потрібно було довести.

Теорема про вугілля між хордами, що перетинаються.

Кут між двома хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі градусних заходів дуг, що ними висікаються: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Доведення

\(\angle BMA = \angle CMD\) як вертикальні.

З трикутника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Але \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), звідки укладаємо, що \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smile\over(CD)).\]

Теорема про вугілля між хордою та дотичною

Кут між дотичною і хордою, що проходить через точку дотику, дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.

Доведення

Нехай пряма \(a\) стосується кола в точці \(A\) , \(AB\) - хорда цього кола, \(O\) - її центр. Нехай пряма, що містить (OB), перетинає (a) в точці (M). Доведемо, що \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Позначимо \(\angle OAB = \alpha\). Так як \(OA\) та \(OB\) - радіуси, то \(OA = OB\) і \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким чином, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Оскільки \(OA\) – радіус, проведений у точку торкання, то \(OA\perp a\) , тобто \(\angle OAM = 90^\circ\) , отже, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Теорема про дуги, що стягуються рівними хордами

Рівні хорди стягують рівні дуги, менші півкола.

І навпаки: рівні дуги стягуються рівними хордами.

Доведення

1) Нехай (AB = CD). Доведемо, що менші півкола дуги .

По трьох сторонах, отже, \(\angle AOB=\angle COD\) . Але т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральні кути, що спираються на дуги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)відповідно, то \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Якщо \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\)по обидва боки \(AO=BO=CO=DO\) і кут між ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Отже, і (AB = CD) .

Теорема

Якщо радіус ділить хорду навпіл, він їй перпендикулярний.

Вірно і зворотне: якщо радіус перпендикулярний хорді, то точкою перетину він ділить її навпіл.

Доведення

1) Нехай (AN = NB) . Доведемо, що (OQ perp AB) .

Розглянемо \(\triangle AOB\): він рівнобедрений, т.к. \ (OA = OB \) - Радіуси кола. Т.к. \ (ON \) - Медіана, проведена до основи, то вона також є і висотою, отже, \ (ON \ perp AB \) .

2) Нехай (OQ perp AB). Доведемо, що (AN = NB) .

Аналогічно \(\triangle AOB\) - рівнобедрений, \(ON\) - висота, отже, \(ON\) - медіана. Отже, (AN = NB) .

\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з довжинами відрізків)))\]

Теорема про створення відрізків хорд

Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.

Доведення

Нехай хорди (AB) і (CD) перетинаються в точці (E).

Розглянемо трикутники \(ADE\) та \(CBE\). У цих трикутниках кути \(1\) і \(2\) рівні, оскільки вони вписані і спираються на ту саму дугу \(BD\) , а кути \(3\) і \(4\) рівні як вертикальні. Трикутники \(ADE\) і (CBE\) подібні (за першою ознакою подоби трикутників).

Тоді \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), Звідки \ (AE \ cdot BE = CE \ cdot DE \) .

Теорема про дотичну та січну

Квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку січе на її зовнішню частину.

Доведення

Нехай дотична проходить через точку \(M\) і стосується кола в точці \(A\). Нехай січна проходить через точку \(M\) і перетинає коло в точках \(B\) і \(C\) так що \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Розглянемо трикутники \(MBA\) і \(MCA\): \(\angle M\) - загальний, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). За теоремою про вугілля між дотичною та січною, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Таким чином, трикутники \(MBA\) і \(MCA\) подібні по двох кутах.

З подоби трикутників \(MBA\) та \(MCA\) маємо: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)що рівносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Слідство

Твір січної, проведеної з точки \(O\), на її зовнішню частину не залежить від вибору січної, проведеної з точки \(O\).

Радикальна вісь - пряма, що проходить через точки перетину двох кіл.
Лінія центрів кіл - пряма, що проходить через центри двох кіл.

Теорема 1.

1) Радикальна вісь перпендикулярна до лінії центрів кіл.
2) Відрізки дотичних, проведених із будь-якої точки радикальної осі до цих кіл, рівні.

Доведення:

1) Розглянемо \(\triangle BMN\) і \(\triangle AMN\): вони рівні по трьох сторонах (\(BM=AM=R_1, BN=AN=R_2\) - радіуси першого та другого кіл відповідно). Таким чином, \(\angle BNM=\angle ANM\) , отже, \(MN\) - бісектриса в рівнобедреному \(\triangle ANB\) , отже, \(MN\perp AB\) .

2) Зазначимо довільну точку \(O\) на радикальній осі і проведемо дотичні \(OK_1, OK_3\) до першого кола та \(OK_2, OK_4\) до другого кола. Т.к. квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку січе на її зовнішню частину, то \(OK_1^2=OK_2^2=OK_3^2=OK_4^2=OB\cdot OA\).

Теорема 2.

Нехай два кола з центрами (M) і (N) стосуються зовнішнім чином у точці (A). Дві загальні дотичні (внутрішня та зовнішня) \(a\) і \(b\) цих кіл перетинаються в точці \(B\) . Точки торкання - точки \(A, K_1, K_2\) (як показано малюнку). Тоді \[(1) \ (\large(K_1B=AB=K_2B))\] \[(2) \ (\large(\angle K_1AK_2=90^\circ))\]

Доведення:

1) Т.к. \(BA\) і \(BK_1\) - дві дотичні, проведені до першого кола з однієї точки, то відрізки дотичних дорівнюють: \(BA=BK_1\) . Аналогічно, \(BA = BK_2 \). Отже, \(BA=BK_1=BK_2\) .

2) Отже, \(BA\) - медіана в \(\triangle K_1AK_2\) , що дорівнює половині сторони, до якої вона проведена. Отже, \(\angle A=90^\circ\) .

Теорема 3.

Нехай два кола стосуються зовнішнім чином у точці \(A\). Через точку \(A\) проведено дві прямі \(B_1B_2\) і \(C_1C_2\) , що перетинають кожне коло у двох точках, як показано на малюнку. Тоді: \[(1) \ (\large(\triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_2C_2))\] \[(2) \ (\large(B_1C_1\parallel B_2C_2))\]

Доведення:

1) Проведемо через точку \(A\) загальну дотичну цих кіл\(OQ\) . \(\angle OAC_2=\angle QAC_1=\alpha\)як вертикальні. Т.к. кут між дотичною і хордою, проведеною через точку дотику, дорівнює половині дуги, укладеної між ними, то \(\angle OAC_2=\frac12\buildrel\smile\over(AC_2)\), \(\angle QAC_1=\frac12\buildrel\smile\over(AC_1)\). Отже, \(\buildrel\smile\over(AC_1)=\buildrel\smile\over(AC_2)=2\alpha\). Таким чином, \(\angle AB_1C_1=\angle AB_2C_2=\alpha\). Значить, по двох кутах \(\triangle AB_1C_1\sim \triangle AB_2C_2\).

2) Т.к. \(\angle AB_1C_1=\angle AB_2C_2\), то прямі \(B_1C_1\parallel B_2C_2\) по навхрест лежачим кутам при січній \(B_1B_2\) .

Теорема Птолемея

У вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі творів протилежних сторін: \

Доведення

Нехай для визначеності \(\angle ABD<\angle CBD\) . Проведем отрезок \(BO\) так, чтобы \(O\) лежала на \(AC\) и \(\angle ABD=\angle CBO\) :

Т.к. \(\angle ACB=\angle ADB\) (спираються на ту саму дугу), то по двох кутах \(\triangle OBC\sim \triangle ABD\). Значить: \[\dfrac(OC)(AD)=\dfrac(BC)(BD) \Rightarrow AD\cdot BC=OC\cdot BD\phantom(00000000000) (1)\]

Т.к. \(\angle BAC=\angle BDC\) (спираються на ту саму дугу), \(\angle ABO=\angle CBD\) (складаються з рівних по побудові (помаранчевих) кутів і загального кута \(\angle DBO \) ), то по двох кутах \(\triangle ABO\sim \triangle BDC\). Значить: \[\dfrac(AO)(DC)=\dfrac(AB)(BD) \Rightarrow AB\cdot CD=AO\cdot BD \phantom(00000000000) (2)\]

Складемо рівності \((1)\) і \((2)\): \(AD\cdot BC+AB\cdot CD=OC\cdot BD+AO\cdot BD=AC\cdot BD\), Чтд.

Формула Ейлера:

Нехай \(R\) - радіус описаного біля трикутника \(ABC\) кола, \(r\) - радіус вписаного кола. Тоді відстань \(d\) між центрами цих кіл обчислюється за формулою: \[(\large(d^2=R^2-2Rr))\]

Доведення:

а) Припустимо, що \(d\ne 0\) . Нехай \(O, Q\) - центри описаного та вписаного кола відповідно. Проведемо діаметр описаного кола \(PS\) через точку \(Q\). Проведемо також бісектриси кутів \(\angle A, \angle B\) - \(AA_1, BB_1\) відповідно (зауважимо, що вони перетнуться в точці \(Q\) , тому що центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис) . Хорди (PS) і (BB_1) перетинаються, отже, відрізки цих хорд рівні: (PQcdot QS = BQcdot QB_1).

Т.к. \(OP=OS=R, OQ=d\) , то остання рівність можна переписати у вигляді \((R-d)(R+d)=BQ\cdot QB_1 \ (*)\).

Зауважимо, що т.к. \(AA_1, BB_1\) - бісектриси, то \(\buildrel\smile\over(AB_1)=\buildrel\smile\over(B_1C)=x, \ \buildrel\smile\over(CA_1)=\buildrel\smile\over(A_1B)=y\). Т.к. кут між хордами дорівнює напівсумі дуг, укладених між ними, то:
\(\angle AQB_1=\frac12(x+y)\) .

З іншого боку, \(\angle B_1AA_1=\frac12\big(\buildrel\smile\over(B_1C)+\buildrel\smile\over(CA_1)\big)=\frac12(x+y)\)

Таким чином, \(\angle AQB_1=\angle B_1AA_1\). Отже, \(\triangle QB_1A\) - рівнобедрений і (B_1Q=B_1A\) . Отже, рівність ((*)) можна переписати як:
\(R^2-d^2=BQ\cdot AB_1 \ (**)\).

Проведемо ще один діаметр описаного кола \(B_1B_2\). Тоді \(\triangle B_1AB_2\) - прямокутний (\(\angle A\) спирається на діаметр). Нехай також вписане коло стосується сторони (AB) у точці (K). Тоді \(\triangle BKQ\) - Прямокутний.
Зауважимо також, що (angle KBQ=angle AB_2B_1) (тому що вони спираються на одну і ту ж дугу).
Значить, \(\triangle B_1AB_2\sim \triangle BKQ\)по двох кутах, отже:

\(\dfrac(KQ)(AB_1)=\dfrac(BQ)(B_1B_2) \Rightarrow \dfrac(r)(AB_1)=\dfrac(BQ)(2R) \Rightarrow BQ\cdot AB_1=2Rr\).

Підставимо це в \((**)\) і отримаємо:

\(R^2-d^2=2Rr \Rightarrow d^2=R^2-2Rr\).

б) Якщо (d = 0), тобто. центри вписаного та описаного кіл збігаються, то \(AK=BK=\sqrt(R^2-r^2) \Rightarrow AB=2\sqrt(R^2-r^2)\). Аналогічно (AC=BC=AB=sqrt(R^2-r^2)), тобто. трикутник рівнобічний. Отже, \(\angle A=60^\circ \Rightarrow \angle KAO=30^\circ \Rightarrow r=\frac12R \Rightarrow R=2r\)або \(0=R^2-2Rr\) (тобто в цьому випадку формула також вірна).

Теорема про метелика:

Нехай через середину хорди (AB) - точку (O), проведені дві хорди (MN) і (KP). Нехай \(MP\cap AB=X, KN\cap AB=Y\). Тоді \[(\large(OX=OY))\]

Доведення:

Проведемо перпендикуляри \(XX_1, YY_2\perp MN, XX_2, YY_1\perp KP\).
Наступні кути рівні, т.к. спираються на ту саму дугу: \(\angle PMO=\angle NKO, \angle MPO=\angle KNO\).
Наступні кути рівні, т.к. вертикальні: \(\angle XOX_1=\angle YOY_2, \angle XOX_2=\angle YOY_1\).

Наступні прямокутні трикутники подібні до:

1) \(\triangle XX_1O\sim \triangle YY_2O \Rightarrow \dfrac(XO)(YO)=\dfrac(XX_1)(YY_2)\)

2) \(\triangle XX_2O\sim \triangle YY_1O \Rightarrow \dfrac(XO)(YO)=\dfrac(XX_2)(YY_1)\)

3) \(\triangle MXX_1\sim \triangle KYY_1 \Rightarrow \dfrac(XX_1)(YY_1)=\dfrac(MX)(KY)\)

4) \(\triangle PXX_2\sim \triangle NYY_2 \Rightarrow \dfrac(XX_2)(YY_2)=\dfrac(PX)(NY)\)

З 1) та 2) випливає, що

\(\dfrac(XO^2)(YO^2)=\dfrac(XX_1\cdot XX_2)(YY_1\cdot YY_2)\)

З 3) та 4) випливає, що

\(\dfrac(XX_1\cdot XX_2)(YY_1\cdot YY_2)=\dfrac(MX\cdot PX)(KY\cdot NY)\)

Поєднавши останні дві рівності, отримаємо:

\(\dfrac(XO^2)(YO^2)=\dfrac(MX\cdot PX)(KY\cdot NY)\)

Зауважимо, що для хорд, що перетинаються \(AB\) і \(MP\) : \(AX\cdot XB=MX\cdot PX\) . Аналогічно \ (AY \ cdot YB = KY \ cdot NY \) . Значить:

\(\dfrac(XO^2)(YO^2)==\dfrac(AX\cdot XB)(AY\cdot YB)\)

Позначимо \(OX=x, OY=y, OA=OB=t \Rightarrow\)

\(\dfrac(x^2)(y^2)=\dfrac((t-x)(t+x))((t+y)(t-y))=\dfrac(t^2-x^2)( t^2-y^2) \Rightarrow x^2t^2-x^2y^2=y^2t^2-x^2y^2 \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow x=y\).

Добре відомо визначення кола як геометричного місця точок, рівновіддалених від деякої фіксованої точки .

Однак визначити коло можна і багатьма іншими способами. Наведемо кілька прикладів.

1. Окружність є геометричним місцем точок, сума квадратів відстаней від яких до двох заданих точок постійна і більше половини квадрата відстані між цими точками.

2. Окружність є геометричним місцем точок, відношення відстаней від яких до двох даних точок А і В постійно і не дорівнює 1.

Таке коло називається коло Аполлонія точок А та В .

3. Окружність діаметра AB - це фігура, що складається з точок A, B і всіх точок площини, з яких відрізок AB видно під прямим кутом.

Коло має багато красивих властивостей, доказ яких не представляєпраці. Складніше визначити, чи є властивості також і ознаками кола, тобто. чи існують інші криві, які мають ними. Перерахуємо спочатку деякі з властивостей кола, не властиві жодним іншим кривим.

"Унікальні" властивості кола

1. Два кути з вершинами на колі, що спираються на ту саму дугу, рівні.

2. Дотичні до кола, проведені з однієї точки, рівні.

3. Зі всіх замкнутих кривих даної довжини коло обмежує область максимальної площі.

4. Зі всіх замкнутих кривих, для яких довжини всіх хорд не перевищують заданої величини, коло обмежує область максимальної площі.

5. Будь-які дві дуги кола рівної довжини можна поєднати.

Ця властивість називається самоконгруентністю. На площині їм, крім кола, має лише пряма. Якщо крива може не лежати в площині, вона задає гвинтову лінію.

Проте замкнутих самоконгруентних кривих, відмінних від кола, немає. Завдяки цій властивості меч, що має форму дуги кола, можна вставляти і виймати з піхов тієї ж форми.

6. При будь-якому розташуванні двох рівних кіл на площині вони мають не більше двох загальних точок.

7. Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, є її віссю симетрії.

Для деяких із перелічених властивостей докази того, що вони визначають коло, а отже є її ознаками, дуже елементарні. Для інших, навпаки, дуже складні. Найбільш цікаві докази ознак 2 і 6. (Спробуйте знайти їх самостійно; якщо не вийде - дивіться нижче.)

А тепер наведемо дві красиві властивості кола, якими володіють й інші криві.

"Не унікальні" властивості кола

1. Коло є кривою постійної ширини.

Це означає, що якщо провести до кола дві паралельні дотичні, то відстань між ними не залежить від їхнього напрямку.

Як не дивно, цією властивістю володіють багато криві, у тому числі досить відрізняються від кола. Найбільш проста з них, так званий трикутник Рело зображена на наступному малюнку.

Він складається з трьох дуг кіл, центри яких розташовані у вершинах правильного трикутника, а радіуси рівні його стороні. Якщо виготовити кілька ковзанок, поперечні перерізи яких є кривими постійної ширини, то можна перевозити на них плоску платформу, і вона не переміщатиметься вгору та вниз.

Зазначимо також, що всі криві даної постійної ширини мають ту саму довжину .

2. Будь-яка пряма, яка ділить навпіл периметр кола, ділить навпіл і площу обмеженого нею кола.

Зрозуміло, крім кола цією властивістю мають будь-які криві, що мають центр симетрії. Набагато цікавіше те, що володіти ним можуть і не центрально-симетричні криві, у тому числі опуклі. Ось зображення однієї з таких фігур:

Її можна задати такими рівняннями:

х= 12 · cos φ + cos 2 φ + ½ · cos 4φ,

у= 12 · sin φ - sin 2φ +½ · sin 4φ ,

де φ змінюється від 0 до 2π .

Доказ ознаки 2

Нехай дана опукла гладка крива, дотичні до якої будь-якої точки рівні. Візьмемо довільну точку А поза кривою та проведемо дотичні АВ" та АС". Доведемо, що для всіх точок А", що лежать на дузі В"С" (однієї і тієї ж), кути В"А"С" збігаються.

Проведемо через А" дотичну до кривої і знайдемо точки В і С її перетину з АС" та АВ".

За умовою трикутники В"А"С" та C"A"B" рівнобедрені, отже:

∠ BA"C" = ½ · (π - ∠ CBA),

∠ CA"B" = ½ · (π - ∠ ACB),

∠C "A"B" = π - ∠BA"C" - ∠CA"B" = ½ · (∠CBA - ∠ACB) = ½ · (π - ∠BAC).

Таким чином кут, під яким видно хорду "С", не залежить від вибору точки на дузі. Для другої дуги доказ аналогічний. За першою ознакою, з наведених вище, крива є коло.

Доказ ознаки 6

Насамперед, зазначимо, що у будь-яку замкнуту криву можна вписати правильний трикутник. Справді, візьмемо на кривій довільну точку А і повернемо криву навколо А на π /3. Точка перетину старого і нового кривої, відмінна від А буде другою вершиною трикутника.

Тож нехай правильний трикутник із центром О вписаний у нашу криву. Повернемо її навколо Про на кут 2 /3. Старе і нове становище кривої перетинаються, по крайнього заходу, у трьох точках (вершинах трикутника) і, отже, збігаються, тобто. Це центр симетрії 3 порядку. Розглянемо тепер поворот кривої навколо О довільний кут φ . Якщо старе і нове положення кривої не збігаються, то точок їх перетину кратно 3 (з симетрії) і не дорівнює 0 (інакше одна крива лежала б цілком усередині іншої, що для конгруентних кривих неможливо). Отже, крива перетворюється на будь-якому повороті навколо Про , тобто. є коло.

Джерела: А. Заславський. Властивості та ознаки кола. ("Квант", №6, 2001), Вікіпедія.

Коло в математиці є постаттю однієї з найголовніших і найважливіших. Вона потрібна для безлічі розрахунків. Знання якостей цієї постаті зі шкільної програми неодмінно знадобляться у житті. Довжина кола потрібно при розрахунку багатьох матеріалів із круглим перетином. Займатися кресленнями, будувати паркан біля клумби – для цього знадобиться знання геометричної фігури та її властивостей.

Поняття кола та його основні елементи

Фігура на площині, що складається з численних точок, розташованих на рівній відстані від центральної, називається коло. Відрізок, що виходить із центру і з'єднує його з однією з точок, що утворюють коло, називається радіусом. Хордою є відрізок, який з'єднує пару точок, розташованих по периметру кола між собою. Якщо вона розташована так, що проходить через центральну точку, одночасно є діаметром.

Довжина радіуса кола дорівнює довжині діаметра, зменшеної вдвічі. Пара несхожих точок, що знаходяться на колі, поділяють її на дві дуги. Якщо відрізок з кінцями в цих точках проходить через центральну точку (тим самим є діаметром), то дуги, що утворюються, будуть півколо.

Довжина окружності

Розрахунок периметра кола визначається декількома способами: через діаметр чи через радіус. Насправді було виявлено, що довжина кола (l) при розподілі її ж діаметр (d) завжди дає одне число. Це число π, яке дорівнює 3,141692666… Розрахунок провадиться за формулою: π= l/ d. Перетворюючи її, виходить довжина кола. Формула така: l = πd.

Для знаходження радіусу застосуємо таку формулу: d=2r. Це стало можливим завдяки поділу. Адже радіус – це половина діаметра. Як тільки отримали вищезазначені значення, можна обчислити, чому дорівнює довжина кола, за формулою наступного виду: l=2πr.

Основні властивості

Площа кола завжди більша, якщо порівнювати її з площами інших замкнутих кривих. Стосовна - це пряма, яка стикається з колом тільки в одній точці. Якщо пряма перетинає її у двох місцях, вона є січною. Точка, в якій 2 різні кола стикаються один з одним, завжди знаходиться на прямій, що проходить через їхні центральні точки. Пересічні на площині є такі кола, які мають 2 загальні точки. Кут між ними розраховується як кут, утворений дотичними до точок дотику.

Якщо через точку, що не є точкою кола, провести дві прямі, що січуться до неї, то утворений ними кут дорівнюватиме різниці довжин дуг, зменшеній вдвічі. Це правило діє і в протилежному випадку, коли йдеться про дві хорди. Дві хорди, що перетинаються, утворюють кут, рівний сумі довжин дуг, зменшеній в два рази. Дуги в такій ситуації вибирають у даному кутку та кутку, розташованому навпроти. Оптична властивість кола свідчить таке: промені світла, відбиті від дзеркал, розставлених по периметру кола, збираються у його центр. В даному випадку джерело світла має бути встановлене в центральній точці кола.