Описана навколо трикутника коло з відомим радіусом. Як знайти радіус кола, описаного біля трикутника

Визначення 2

Багатокутник, що відповідає умові визначення 1, називається описаним біля кола.

Малюнок 1. Вписане коло

Теорема 1 (про коло, вписане в трикутник)

Теорема 1

У будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж лише одну.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому бісектриси, які перетинаються в точці $O$ і проведемо з неї перпендикуляри на сторони трикутника (рис. 2).

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Існування: Проведемо коло з центром у точці $O$ і радіусом $OK.\ $Оскільки точка $O$ лежить на трьох бісектрисах, то вона рівновіддалена від сторін трикутника $ABC$. Тобто $ OM = OK = OL $. Отже, побудоване коло також проходить через точки $M і L$. Так як $ OM, OK \ і OL $ - перпендикуляри до сторін трикутника, то по теоремі про дотичну до кола, побудована коло стосується всіх трьох сторін трикутника. Отже, через довільність трикутника, у будь-який трикутник можна вписати коло.

Єдиність: Припустимо, що в трикутник $ABC$ можна вписати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від сторін трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OK$ Але тоді це коло збігається з першим.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр вписаної в трикутник кола лежить у точці перетину його бісектрис.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних із поняттям вписаного кола:

Не у всякий чотирикутник можна вписати коло.

У кожному описаному чотирикутнику суми протилежних сторін дорівнюють.

Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюють, то в нього можна вписати коло.

Визначення 3

Якщо на колі лежать усі вершини багатокутника, то коло називається описаним біля багатокутника (Рис. 3).

Визначення 4

Багатокутник, що задовольняє умові визначення 2, називається вписаним у коло.

Малюнок 3. Описане коло

Теорема 2 (про коло, описане біля трикутника)

Теорема 2

Біля будь-якого трикутника можна описати коло і лише одну.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому серединні перпендикуляри, що перетинаються в точці $O$, і з'єднаємо її з вершинами трикутника (рис. 4)

Рисунок 4. Ілюстрація теореми 2

Існування: Побудуємо коло з центром у точці $O$ та радіусом $OC$. Точка $O$ рівновіддалена від вершин трикутника, тобто $OA=OB=OC$. Отже, побудоване коло проходить через усі вершини даного трикутника, отже, воно є описаним біля цього трикутника.

Єдиність: Припустимо, що біля трикутника $ABC$ можна описати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від вершин трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OC. Але тоді це коло збігається з першою.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр описаного біля трикутника кола збігається з точкою перетину його серединних перпендикулярів.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям описаного кола:

Біля чотирикутника не завжди можна описати коло.

У кожному вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $(180)^0$.

Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $(180)^0$, то біля нього можна описати коло.

Приклад задачі на поняття вписаного та описаного кола

Приклад 1

У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 8 см, бічна сторона дорівнює 5 см. Знайти радіус вписаного кола.

Рішення.

Розглянемо трикутник $ABC$. За наслідком 1, ми знаємо, що центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис. Проведемо бісектриси $AK$ і $BM$, які перетинаються у точці $O$. Проведемо перпендикуляр $OH$ з точки $O$ убік $BC$. Зобразимо малюнок:

Малюнок 5.

Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BM$ і медіана та висота. За теоремою Піфагора $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\sqrt (25-16) = \ sqrt (9) = 3 $. $ OM = OH = r $ - шуканий радіус вписаного кола. Оскільки $MC$ і $CH$ відрізки дотичних, що перетинаються, то по теоремі про дотичних, що перетинаються, маємо $CH=MC=4\ см$. Отже, $ BH = 5-4 = 1 см $. $BO=3-r$. З трикутника $OHB$, за теоремою Піфагора, отримаємо:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Відповідь:$\frac(4)(3)$.

Початковий рівень

Описане коло. Візуальний гід (2019)

Перше питання, яке може виникнути: описана – навколо чого?

Ну, взагалі-то іноді буває і навколо чого завгодно, а ми міркуватимемо про коло, описаного навколо (іноді ще кажуть «біля») трикутника. Що це таке?

І ось, уяви собі, має місце дивовижний факт:

Чому цей факт дивовижний?

Але ж трикутники – то бувають різні!

І для кожного знайдеться коло, яке пройде через усі три вершини, тобто описане коло.

Доказ цього дивовижного факту можеш знайти в наступних рівнях теорії, а тут зауважимо тільки, що якщо взяти, наприклад, чотирикутник, то вже зовсім не для кожного знайдеться коло, яке проходить через чотири вершини. Ось, скажімо, паралелограм - відмінний чотирикутник, а кола, що проходить через усі його чотири вершини - ні!

А є лише для прямокутника:

Ну ось, а трикутник кожен і завжди має власне описане коло!І навіть завжди досить просто знайти центр цього кола.

Чи знаєш ти, що таке серединний перпендикуляр?

А тепер подивимося, що вийде, якщо ми розглянемо цілих три серединні перпендикуляри до сторін трикутника.

Ось виявляється (і це якраз і треба доводити, хоч ми й не будемо), що всі три перпендикуляри перетнуться в одній точці.Дивись на малюнок - всі три серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці.

Як ти думаєш, чи завжди центр описаного кола лежить усередині трикутника? Уяви собі - зовсім не завжди!

А от якщо гострокутний, то - всередині:

Що робити з прямокутним трикутником?

Та ще з додатковим бонусом:

Раз вже заговорили про радіус описаного кола: чому він дорівнює довільному трикутнику? І є відповідь це питання: так звана .

А саме:

Ну і, звісно,

1. Існування та центр описаного кола

Тут виникає запитання: а чи для будь-якого трикутника існує таке коло? Ось виявляється, що так, для кожного. Більше того, ми зараз сформулюємо теорему, яка ще й відповідає на питання, де ж знаходиться центр описаного кола.

Дивись, ось так:

Давай наберемося мужності та доведемо цю теорему. Якщо ти вже читав тему « » розбирався в тому, чому ж три бісектриси перетинаються в одній точці, то тобі буде легше, але і якщо не читав - не переживай: зараз у всьому розберемося.

Доказ проводитимемо, використовуючи поняття геометричного місця точок (ГМТ).

Ну от, наприклад, чи є безліч м'ячів – «геометричним місцем» круглих предметів? Ні, звичайно, тому що бувають круглі кавуни. А чи є безліч людей, «геометричним місцем», які вміють говорити? Теж ні, бо є немовлята, які не вміють говорити. У житті взагалі складно знайти приклад справжнього геометричного місця точок. У геометрії простіше. Ось, наприклад, саме те, що нам потрібно:

Тут безліч - це серединний перпендикуляр, а властивість "" - це "бути рівновіддаленою (точкою) від кінців відрізка".

Перевіримо? Отже, потрібно впевнитись у двох речах:

1. Будь-яка точка, яка рівновіддалена від кінців відрізка - знаходиться на серединному перпендикулярі до нього.

З'єднаємо з і с. Тоді лінія є медіаною та висотою ст. Значить, рівнобедрений, переконалися, що будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, однаково віддалена від точок і.

Візьмемо – середину і з'єднаємо в. Вийшла медіана. Але – рівнобедрений за умовою не лише медіана, а й висота, тобто – серединний перпендикуляр. Значить, точка – точно лежить на серединному перпендикулярі.

Всі! Повністю перевірили той факт, що серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним місцем точок, що рівно віддалені від кінців відрізка.

Це все добре, але чи не забули ми про описане коло? Зовсім ні, ми якраз підготували собі «плацдарм для нападу».

Розглянемо трикутник. Проведемо два серединні перпендикуляри і, скажімо, до відрізків і. Вони перетнуться в якійсь точці, яку ми назвемо.

А тепер, увага!

Крапка лежить на серединному перпендикулярі;
точка лежить на серединному перпендикулярі.
Отже, в.

Звідси випливає відразу кілька речей:

По - перше , точка повинна лежати третьому серединному перпендикулярі, до відрізку.

Тобто серединний перпендикуляр теж повинен пройти через точку, і всі три серединні перпендикуляри перетнулися в одній точці.

По - друге: якщо ми проведемо коло з центром у точці і радіусом, то це коло також пройде і через точку, і через точку, тобто буде описаним колом. Значить, вже є, що перетин трьох серединних перпендикулярів - центр описаного кола для будь-якого трикутника.

І останнє: про єдиність. Ясно (майже), що точку можна отримати єдиним чином, тому й коло - єдине. Ну, а "майже" - залишимо на твоє роздуми. Ось і довели теорему. Можна кричати "Ура!".

А якщо в задачі стоїть питання «знайдіть радіус описаного кола»? Або навпаки, радіус дано, а потрібно знайти щось інше? Чи є формула, що зв'язує радіус описаного кола з іншими елементами трикутника?

Зверніть увагу: теорема синусів повідомляє, що для того щоб знайти радіус описаного кола, тобі потрібна одна сторона (будь-яка!) і протилежний їй кут. І все!

3. Центр кола - усередині чи зовні

А тепер питання: чи може центр описаного кола лежати зовні трикутника.
Відповідь: ще як може. Більше того, так завжди буває у тупокутному трикутнику.

І взагалі:

ОПИСАНА ОКРУЖНІСТЬ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Окружність, описана біля трикутника

Це коло, яке проходить через усі три вершини цього трикутника.

2. Існування та центр описаного кола

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 499 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Найчастіше під час вирішення геометричних завдань доводиться робити події з допоміжними постатями. Наприклад, знаходити радіус вписаного або описаного кола тощо. Ця стаття покаже, як знаходити радіус кола, описаного біля трикутника. Або, іншими словами, радіус кола, в яке вписано трикутник.

Як знайти радіус кола, описаного біля трикутника – загальна формула

Загальна формула виглядає так: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), де R – радіус описаного кола, p – периметр трикутника поділений на 2 (напівпериметр). a, b, c – сторони трикутника.

Знайти радіус описаного кола трикутника, якщо a = 3, b = 6, c = 7.

Таким чином, виходячи з наведеної вище формули, обчислюємо напівпериметр:
p = (a + b + c) / 2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Підставляємо значення формулу і отримуємо:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Відповідь: R = 126/16√5

Як знайти радіус кола, описаного біля рівностороннього трикутника

Для знаходження радіусу кола, описаного біля рівностороннього трикутника, існує досить проста формула: R = a/√3, де a – величина його сторони.

Приклад: Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5. Знайти радіус описаного кола.

Так як у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, для вирішення завдання потрібно лише вписати її значення у формулу. Отримаємо: R = 5/3.

Відповідь: R = 5/√3.

Як знайти радіус кола, описаного біля прямокутного трикутника

Формула виглядає так: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, де a і b – катети і c – гіпотенуза. Якщо скласти квадрати катетів у прямокутному трикутнику, отримаємо квадрат гіпотенузи. Як видно з формули, цей вираз знаходиться під коренем. Обчисливши корінь із квадрата гіпотенузи, ми отримаємо саму довжину. Множення виразу, що вийшов, на 1/2 в результаті призводить нас до виразу 1/2 × c = c/2.

Приклад: Обчислити радіус описаного кола, якщо катети трикутника дорівнюють 3 і 4. Підставимо значення формулу. Отримаємо: R = 1/2 × √ (3 ² + 4 ²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

У цьому вираз 5 – довжина гіпотенузи.

Відповідь: R = 2.5.

Як знайти радіус кола, описаного біля рівнобедреного трикутника

Формула виглядає так: R = a²/√(4a² – b²), де a – довжина стегна трикутника і b – довжина основи.

Приклад: Обчислити радіус кола, якщо його стегно = 7, а основа = 8.

Рішення: Підставляємо у формулу дані значення та отримуємо: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Відповідь можна записати прямо так.

Відповідь: R = 49/√132

Онлайн ресурси для обчислення радіуса кола

Можна дуже легко заплутатися у всіх цих формулах. Тому за потреби можна скористатися онлайн калькуляторами, які допоможуть вам у вирішенні завдань перебування радіуса. Принцип роботи таких міні-програм дуже простий. Підставляєте значення сторони у відповідне поле та отримуєте готову відповідь. Можна вибрати кілька варіантів заокруглення відповіді: до десяткових, сотих, тисячних і т.д.

Радіус - це відрізок, який сполучає будь-яку точку на колі з її центром. Це одна з найважливіших характеристик цієї фігури, оскільки на її основі можна обчислити всі інші параметри. Якщо знати, як знайти радіус кола, то можна розрахувати його діаметр, довжину, а також площу. У тому випадку, коли ця фігура вписана або описана навколо іншої, можна вирішити ще цілий ряд завдань. Сьогодні ми розберемо основні формули та особливості їх застосування.

Відомі величини

Якщо знати, як знайти радіус кола, який зазвичай позначають буквою R, його можна обчислити за однією характеристикою. До таких величин відносять:

• довжину кола (C);
• діаметр (D) - відрізок (вірніше хорда), який проходить через центральну точку;
• площа (S) - простір, обмежений цією фігурою.

По довжині кола

Якщо задачі відома величина C, то R = З / (2 * П). Ця формула є похідною. Якщо ми знаємо, що собою являє довжина кола, то її вже не потрібно запам'ятовувати. Припустимо, що завдання C = 20 м. Як знайти радіус кола у разі? Просто підставляємо відому величину вищенаведену формулу. Зазначимо, що у таких завданнях завжди мається на увазі знання числа П. Для зручності розрахунків приймемо його значення за 3,14. Рішення у разі виглядає так: записуємо, які величини дані, виводимо формулу і проводимо обчислення. У відповіді пишемо, що радіус дорівнює 20/(2*3,14) = 3,19 м. Важливо не забути про те, що ми вважали, і згадати назву одиниць виміру.

По діаметру

Відразу підкреслимо, що це найпростіший вид завдань, у яких питається про те, як знайти радіус кола. Якщо такий приклад попався вам на контрольній, можете бути спокійні. Тут навіть не потрібний калькулятор! Як ми вже говорили, діаметр – це відрізок або, правильніше сказати, хорда, яка проходить через центр. При цьому всі точки кола рівновіддалені. Тому ця хорда складається з двох половинок. Кожна з них є радіусом, що випливає з визначення як відрізка, який з'єднує точку на колі і її центр. Якщо задачі відомий діаметр, то знаходження радіуса потрібно просто розділити цю величину на два. Формула виглядає наступним чином: R = D / 2. Наприклад, якщо діаметр задачі дорівнює 10 м, то радіус - 5 метрів.

За площею кола

Цей тип завдань зазвичай називають найскладнішим. Це пов'язано насамперед із незнанням формули. Якщо знати, як знайти радіус кола в цьому випадку, то решта – справа техніки. У калькуляторі потрібно лише заздалегідь знайти значок обчислення квадратного кореня. Площа кола - це твір числа П і радіусу, помноженого самого себе. Формула виглядає так: S = П * R 2 . Відокремивши радіус на одній зі сторін рівняння, можна легко вирішити завдання. Він дорівнюватиме квадратному кореню з приватного відділення площі на число П. Якщо S = 10 м, то R = 1,78 метрів. Як і в попередніх завданнях, важливо не забути про одиниці вимірювання, що використовуються.

Як знайти радіус описаного кола

Припустимо, що a, b, c – це сторони трикутника. Якщо знати їх величини, то можна знайти радіус описаного навколо нього кола. Для цього спочатку потрібно знайти напівпериметр трикутника. Щоб було легше сприйняття, позначимо його маленькою літерою p. Він дорівнюватиме половині суми сторін. Його формула: p = (a + b + c)/2.

Також обчислимо добуток довжин сторін. Для зручності позначимо його буквою S. Формула радіуса описаного кола буде виглядати так: R = S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Розглянемо приклад завдання. У нас є коло, описане навколо трикутника. Довжини її сторін становлять 5, 6 та 7 см. Спочатку обчислюємо напівпериметр. У нашому завданні він дорівнюватиме 9 сантиметрам. Тепер обчислимо добуток довжин сторін – 210. Підставляємо результати проміжних розрахунків у формулу та дізнаємося результат. Радіус описаного кола дорівнює 3,57 сантиметра. Записуємо відповідь, не забуваючи про одиниці виміру.

Як знайти радіус вписаного кола

Припустимо, що a, b, c – довжини сторін трикутника. Якщо знати їх величини, то можна знайти радіус вписаного в нього кола. Спочатку потрібно знайти його напівпериметр. Для полегшення розуміння позначимо маленькою літерою p. Формула його обчислення виглядає так: p = (a + b + c) / 2. Цей тип завдання дещо простіше, ніж попередній, тому більше не потрібно ніяких проміжних розрахунків.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Розглянемо це конкретному прикладі. Припустимо, в задачі описаний трикутник зі сторонами 5, 7 і 10 см. У нього вписано коло, радіус якого і потрібно знайти. Спочатку знаходимо напівпериметр. У нашій задачі він дорівнює 11 см. Тепер підставляємо його в основну формулу. Радіус виявиться рівним 1,65 сантиметрам. Записуємо відповідь і не забуваємо про правильні одиниці виміру.

Окружність та її властивості

Кожна геометрична фігура має свої особливості. Саме від їхнього розуміння залежить правильність вирішення завдань. Є вони й коло. Найчастіше їх використовують при вирішенні прикладів з описаними чи вписаними фігурами, оскільки вони дають чітке уявлення про таку ситуацію. Серед них:

• Пряма може мати нуль, одну або дві точки перетину з колом. У першому випадку вона з нею не перетинається, у другому є дотичною, у третьому – січною.
• Якщо взяти три точки, що не лежать на одній прямій, то через них можна навести лише одне коло.
• Пряма може бути дотичною відразу двох фігур. У цьому випадку вона проходитиме через точку, яка лежить на відрізку, що з'єднує центри кіл. Його довжина дорівнює сумі радіусів даних фігур.
• Через одну або дві точки можна провести нескінченну кількість кіл.

Серединний перпендикуляр до відрізка

Визначення 1 . Серединним перпендикуляром до відрізканазивають пряму, перпендикулярну до цього відрізка і проходить через його середину (рис. 1).

Теорема 1 . Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка знаходиться на тому самому відстані від кінців цього відрізка.

Доведення . Розглянемо довільну точку D , що лежить на серединному перпендикулярі до відрізка AB (рис.2), і доведемо, що трикутники ADC та BDC дорівнюють .

Справді, ці трикутники є прямокутними трикутниками, які мають катети AC і BC рівні, а катет DC є загальним. З рівності трикутників ADC і BDC випливає рівність відрізків AD і DB. Теорему 1 доведено.

Теорема 2 (Зворотна до теореми 1). Якщо точка знаходиться на тому самому відстані від кінців відрізка, то вона лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Доведення . Доведемо теорему 2 шляхом «від неприємного». З цією метою припустимо, що деяка точка E знаходиться на тому самому відстані від кінців відрізка, але не лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка. Наведемо це припущення протиріччя. Розглянемо спочатку випадок, коли точки E та A лежать по різні боки від серединного перпендикуляра (рис.3). У цьому випадку відрізок EA перетинає серединний перпендикуляр у певній точці, яку позначимо буквою D .

Доведемо, що відрізок AE довший відрізка EB . Справді,

Таким чином, у випадку, коли точки E та A лежать по різні боки від серединного перпендикуляра, ми одержали протиріччя.

Тепер розглянемо випадок, коли точки E та A лежать по одну сторону від серединного перпендикуляра (рис.4). Доведемо, що відрізок EB довший за відрізок AE . Справді,

Отримана суперечність і завершує доказ теореми 2

Окружність, описана біля трикутника

Визначення 2 . Колом, описаним біля трикутника, називають коло, що проходить через усі три вершини трикутника (рис.5). У цьому випадку трикутник називають трикутником, вписаним у коло,або вписаним трикутником.

Властивості описаної біля трикутника кола. Теорема синусів

Фігура	Малюнок	Властивість
Серединні перпендикуляри до сторін трикутника		перетинаються в одній точці .
Центр описаної біля гострокутного трикутника кола		Центр описаної близько гострокутного всередині трикутник.
Центр описаної біля прямокутного трикутника кола		Центром описаної близько прямокутного середина гіпотенузи .
Центр описаного біля тупокутного трикутника кола		Центр описаної близько тупокутного трикутника кола лежить поза трикутник.
		,
Площа трикутника		S = 2R 2 sin A sin B sin C ,
Радіус описаного кола		Для будь-якого трикутника справедлива рівність:

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника

Усі серединні перпендикуляри , проведені до сторін довільного трикутника, перетинаються в одній точці .

Окружність, описана біля трикутника

Біля будь-якого трикутника можна описати коло . Центром описаного біля трикутника кола є точка, в якій перетинаються всі серединні перпендикуляри, проведені до сторін трикутника.

Центр описаного біля гострокутного трикутника кола

Центр описаної близько гострокутного трикутника кола лежить всередині трикутник.

Центр описаного біля прямокутного трикутника кола

Центром описаної близько прямокутного трикутника кола є середина гіпотенузи .

Центр описаного біля тупокутного трикутника кола

Центр описаної близько тупокутного трикутника кола лежить поза трикутник.

Для будь-якого трикутника справедливі рівність (теорема синусів): , де a, b, c – сторони трикутника, A, B, С – кути трикутника, R – радіус описаного кола.

Площа трикутника

Для будь-якого трикутника справедлива рівність: S = 2R 2 sin A sin B sin C , де A, B, С – кути трикутника, S – площа трикутника, R – радіус описаного кола.

Радіус описаного кола

Для будь-якого трикутника справедлива рівність: де a, b, c – сторони трикутника, S – площа трикутника, R – радіус описаного кола.

Докази теорем про властивості описаного біля трикутника кола

Теорема 3 . Усі серединні перпендикуляри, проведені до сторін довільного трикутника, перетинаються лише у точці.

Доведення . Розглянемо два серединні перпендикуляри, проведені до сторін AC і AB трикутника ABC , і позначимо точку їх перетину буквою O (рис. 6).

Оскільки точка O лежить на серединному перпендикулярі до відрізка AC , то через теорему 1 справедлива рівність:

Оскільки точка O лежить на серединному перпендикулярі до відрізка AB , то через теорему 1 справедлива рівність:

Отже, справедлива рівність:

звідки за допомогою теореми 2 укладаємо, що точка O лежить на серединному перпендикулярі відрізку BC. Таким чином, всі три серединні перпендикуляри проходять через одну і ту ж точку, що і потрібно довести.

Наслідок. Біля будь-якого трикутника можна описати коло . Центром описаного біля трикутника кола є точка, в якій перетинаються всі серединні перпендикуляри, проведені до сторін трикутника.

Доведення . Розглянемо точку O , у якій перетинаються всі серединні перпендикуляри, проведені до сторон трикутника ABC (рис. 6).

За доказом теореми 3 було отримано рівність:

з якого випливає, що коло з центром у точці O і радіусами OA, OB, OC проходить через всі три вершини трикутника ABC, що і потрібно було довести.