Визначення множини. Позначення, запис та зображення числових множин

в) M 3={x|x=2n+1,};

г) M 4= ((x,y)ôxÎR, yÎR ; £ 4);

Завдання 1.2. З'ясувати, яким способом задані такі множини і перерахувати всі елементи цих множин:

1) (x x є дільник числа 100);

2) (xô x є простим дільником числа 100);

3) ( xô x є простий множник числа 100);

4) (xô x ÎN; – 1 = 0 та – 4 = 0);

5) (xô x є буква слова «академія»);

6) (xô x ÎN; 2 = 1);

7) (xô x ÎN; ).

Рішення.

1. Ця множина складається з усіх дільників числа 100, тобто до нього включаються лише ті числа, які ділять число 100 націло. Вочевидь, що є завдання безлічі з допомогою характеристичного предикату «бути дільником числа 100». Перелічимо всі ці числа: 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50. Додавши сюди число 1 і 100, отримаємо шукане безліч. Позначимо його А. Тоді А = (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100).

2. Безліч задано за допомогою характеристичного предикату «бути простим дільником числа 100». Серед дільників попередньої задачі відберемо лише прості числа, якими будуть 2 і 5. Все ж решта дільників є складовими. Число 1, як відомо з курсу шкільної арифметики, не відноситься ні до простих, ні до складових чисел. Позначивши це безліч, отримаємо: В = (2, 5).

3. Безліч задано за допомогою характеристичного предикату «бути простим множником числа 100». Розкладемо 100 на прості множники. Отримаємо таку тотожність: 100 = 2×2×2×5. Ці числа і будуть елементами множини, яку позначимо С = (2, 2, 5, 5). Відповідь можна було б залишити в такому вигляді, проте теоретично множин кількість однакових елементів, як правило, ігнорується. Тому коректніше відповідь подати у вигляді: С = (2, 5).

4. Дане безліч можна вважати заданим за допомогою процедури, що породжує, якою є процедура вирішення квадратних рівнянь і відбору коренів за ознакою належності їх до безлічі натуральних чисел. Проте, заради справедливості, слід зазначити, що часто при визначенні способу завдання множини буває досить важко стверджувати, що безліч задано цим і тільки цим способом. У цьому прикладі цілком можна стверджувати, що спосіб завдання множини – за допомогою характеристичного предикату «відбір коренів рівняння за ознакою приналежності до множини N». Вирішуємо обидва рівняння: його коріння +1 і -1; , його коріння +2 та -2. Оскільки числа -1 і -2 не є натуральними, множина, яку ми позначимо D, буде такою: D = (1, 2).

5. Спосіб завдання – за допомогою характеристичного предикату. Позначимо безліч Е. Отримаємо: Е = (а, к, д, е, м, і, я), де буква «а» згадана лише один раз.

6. Спосіб завдання даної множини аналогічний прикладу 4). Розв'яжемо дане показово-логарифмічне рівняння 2 = 1. ОДЗ цього рівняння – всі х³0. = 1, звідки = 0, коріння дорівнює 2. Натуральним числом є 2. Отже, наша множина, яку позначимо через F, складатиметься тільки з одного елемента: F = (2).

7. Спосіб завдання даної множини аналогічний прикладу 4). Вирішуємо дану ірраціональну нерівність. ОДЗ – усі х ³ 1. Обидві частини зведемо в квадрат: х – 1 ³ 4, звідки х ³ 5. Це не суперечить ОДЗ, тому область розв'язання цієї нерівності х ³ 5. Іншими словами, х Î . Очевидно, що натуральних чисел на даному інтервалі буде безліч. Тому ця множина G буде нескінченною: G = (5, 6, 7, … n,…).

Завдання 1.3. Записати множини за допомогою властивості P (х ):

2) {1, 3, 9, 27, 81, 243};

3) (s, t, u, d, e, n, t).

Рішення.

1) підібрати характеристичний предикат можна, наприклад, так. Перемножимо всі числа. Отримаємо: 2×3×11 = 66. Тоді

А = (aôa – простий дільник числа 66);

2) всі представлені числа є ступенями числа 3 (30 = 1, 31 = 3, 32 = 9 і т.д.). Тому безліч можна задати за допомогою властивості: В = (bôb – ступінь числа 3 з показником від 0 до 5);

3) C = (côc – буква слова "student").

Завдання 1.4. Зобразити такі множини графічно:

1) А = ((x,y)ôxÎR, yÎR ; £ 4);

2) B = ((x,y)ôxÎR, yÎR ; x + y >0, x + y – 2 £ 0);

3) C = ((x,y)ôxÎR, yÎR ; |x | £ 1 і | y + 2| £ 4);

4) D = ((x,y)ôxÎR, yÎR і };

5) E = ((x,y)ôxÎR, yÎR та y £ |sin x|);

6) F = ((x,y)ôxÎR, yÎR і ).

Рішення. Усі задані множини складаються з пар дійсних чисел, які задовольняють деяким умовам. Зображуючи точки, відповідні даним парам в декартовій системі координат на площині, отримаємо деякі області, які і будуть геометричним (графічним) зображенням досліджуваної множини.

1. Побудуємо межу множини А. Для цього від нерівності перейдемо до рівності: = 4. З курсу аналітичної геометрії відомо, що це рівняння є рівнянням кола з центром на початку координат і радіусом 2. Вона і буде межею множини. Далі слід з'ясувати, яку частину площини слід вибрати: ту, що лежить всередині кола чи ту, що лежить ззовні. Для цього задамо координатами будь-якої точки, яка явно знаходиться в обраній області. Наприклад, точка початку координат (0; 0). Підставимо значення х = 0 і у = 0 у нерівність £ 4. Отримаємо: £ 4, тобто в точці О (0; 0) ця нерівність справедлива. Отже, нам потрібно вибрати частину площини всередині кола. Якщо взяти координати інших точок усередині кола і підставити їх у нерівність, результат буде таким самим. Навпаки, для точок ззовні нерівність буде хибною. Наприклад, точка Q(10;10): = 200, а це не менше 4! Підсумовуючи все сказане, можемо стверджувати, що множина А – це коло радіусу 2 з центром на початку координат.

2. Для побудови меж множини розглянемо рівності: x + y = 0, x + y – 2 = 0. Перша пряма (її рівняння можна записати як у = - х) є бісектриса 2-го і 4-го координатних кутів. Вона поділяє координатну площину на дві частини: ту, яка лежить вище (або правіше) прямої і ту, яка нижче (або лівіше) прямої. Щоб вибрати потрібну частину, візьмемо пробну точку з координатами, наприклад, Q(10;10) і підставимо її координати в нерівність x + y > 0. Отримаємо: 10 +10 > 0 тобто нерівність справедлива для частини площини вище (правіше) прямої x + y = 0. Друга пряма (її рівняння x + y – 2 = 0 може бути записано у відрізках на осях) відсікає на обох осях відрізки довжиною по 2 одиниці і проходить паралельно першій прямій через 2-й, 1-й та 3-й квадранти. Вона також поділяє координатну площину на дві частини: одна вище (правіше) і друга нижче (ліворуч). Для вибору потрібної частини можна використовувати, наприклад, точку О(0;0). Підставляємо х = 0 і у = 0 у нерівність x + y – 2 £ 0. Отримаємо: 0 + 0 – 2 £ 0 – справедливо. Отже, вибираємо ту частину площини по відношенню до другої прямої, де лежить точка О(0;0). У результаті отримуємо область, координати точок якої задовольняють обох нерівностей (наприклад, це точки (1; 1), (0; 1), (1; 0); (2; -1) і т.д.). Це смуга, що лежить між двома паралельними прямими, включаючи і точки, що належать другий прямий (оскільки нерівність не сувора). Дана область і визначає потрібну безліч Ст.

3. Нерівність | x | £ 1 еквівалентно двом: -1 £ х £ 1. Здавалося б, що це безліч точок відрізка [-1; 1]. Якби ми розглядали безліч із одного елемента, це було б так. Однак наше безліч складається з пар дійсних чисел (х; у). Тому геометрично нерівність -1 £ х £ 1 являє собою безліч точок, що лежать усередині вертикальної смуги між прямими х = 1 і х = -1. Нерівність | y + 2 | £ 4 також еквівалентно двом: -4 £ y + 2 £ 4. Переносячи 2 ліворуч і праворуч, отримуємо: -6 £ y £ 2. Геометрично це буде безліч точок, що лежать усередині горизонтальної смуги між прямими y = -6 та y = 2 Отже, ми отримали дві смуги, що перетинаються. Яку ж частину необхідно вибрати для шуканої множини? За умови завдання обидві нерівності пов'язані союзом «і». А це означає, що необхідно вибрати ті точки з обох смуг, координати яких одночасно задовольняють обидві нерівності. В результаті одержуємо прямокутник. Це і є наша множина С.

4. Розглянемо нерівність. Щоб воно стало «пізнаваним», зведемо у квадрат ліву та праву його частини. Це можна зробити тому, що справа – невід'ємна величина арифметичного кореня. Зліва величина у також неотрицательна, бо інакше нерівність втрачала всякий сенс. Після зведення в другий ступінь обох частин і деякого перетворення отримуємо: Ця нерівність описує частину координатної площини, що лежить поза еліпсом Однак вихідна нерівність має вигляд , причому, як було сказано, величина негативна. Отже, описувана область включатиме лише верхню частину координатної площини, що лежить поза еліпсом. Розглянемо останню нерівність х ³ 0, яка описує праву частину координатної площини. Зіставляючи всі викладки, отримаємо безліч точок, розташованих у першому квадранті поза еліпсом. Це і буде шукана множина D.

5. Побудуємо графік функції у = sin x, а потім ту частину, яка знаходиться нижче осі абсцис, дзеркально відобразимо на верхню напівплощину. Отримаємо графік у = | sin x |. А нерівність y £ |sin x| визначить шукане безліч Е, точки якого будуть між віссю абсцис і дугами відбитої вгору синусоїди.

6. На відміну від попередніх завдань, маємо рівність x2 = y2 , яка, як відомо, визначає деяку лінію. Для «впізнавання» даної лінії зробимо ряд тотожних перетворень: = 0, (х - у) (х + у) = 0. Далі приходимо до сукупності х - у = 0 і х + у = 0. Отримуємо пару прямих, що перетинаються - бісектрис 1 − 3-го та 2 – 4-го квадрантів. Безліч F і є крапками цих прямих.

Завдання для самостійного вирішення.

1. Перерахувати всі елементи наступних множин:

а) ( xô xє дільник чисел 6 та 8); (Відповідь: 2);

б) ( xô xÎN; x 3 - 5x 2 + 4 = 0); (Відповідь: 1);

в) ( x ô xÎR; x+ 1/x > 2; x> 0); (Відповідь: хÎ(0, ¥));

г) ( x ô x- літера слова "університет");

д) ( xô xÎZ; sin x < 0; cos x> 0); (Відповідь: -1).

2. Зобразити такі множини графічно:

а) (( x, y)ô y£ 2 x 2 };

б) (( x, y)ô y³ | x| + 1};

в) (( x, y)ô x 2 + y 2 – 25 > 0}.

Два перші способи завдання множини припускають, що ми маємо можливість ототожнювати та розрізняти об'єкти. Але така можливість існує не завжди, в цьому випадку ми стикаємося з різними ускладненнями. Так, можливо, що два різних характеристичних якості задають одне й те саме безліч, тобто. кожен елемент, що володіє однією властивістю, має і іншу, і навпаки. Наприклад, в арифметиці властивість "ціле число ділиться на 2" задає те ж безліч, що і властивість "остання цифра ділиться на 2". У багатьох випадках йдеться про збіг двох множин (наприклад, множини рівносторонніх трикутників з безліччю рівнокутних трикутників). Крім того, при завданні множин характеристичними властивостями (предикатами) труднощі виникають через недостатню чіткість, неоднозначність формулювання. Розмежування об'єктів на які належать і які належать даному безлічі утрудняється наявністю значної частини проміжних форм.

Особливо виділяється універсальне(або фундаментальне) безліч, тобто. така множина, яка складається з усіх елементів досліджуваної предметної області (позначається буквою Uі читається «універсум», а геометричній інтерпретації зображується безліччю точок всередині деякого прямокутника).

Зазначимо, що «універсальне безліч» поняття відносне: воно вибирається для якогось певного розділу науки і навіть часто навіть явно не визначається, а просто мається на увазі.

Так, наприклад, в елементарній планіметрії як універсальна множина прийнято розглядати безліч усіх точок площини.

У елементарній арифметиці універсальним безліччю вважається безліч Z всіх цілих раціональних чисел тощо.

1.3. ПОРОЖНЕ БАГАТО

Порожня безліч- множина, яка не містить жодного елемента (позначається символом ). Порожня множина можна визначити будь-якою суперечливою властивістю, наприклад Y не є множиною.

Розглянемо тепер коротко прості теоретико-множинні поняття та теоретико-множинні операції: перетин, об'єднання, доповнення, декартове твір та ін. Для випадку кінцевих множин вони лежать в основі арифметичних дій над натуральними числами і тому дуже важливі для шкільної математики. Ми обмежимося дуже короткими визначеннями та поясненнями.

Безліч не містить жодного елемента називають порожнім безліччю.Його позначається знаком. Порожня множина можна визначити будь-якою суперечливою властивістю, наприклад = (х | xх), в області множин воно відіграє як би роль нуля.

Безліч N називається підмножиною множини Мтоді і тільки тоді, коли кожен елемент множини N належить множині М. Відношення між множиною М і будь-яким його підмножиною N називається включенням і позначається символом: МN.

Зазначимо такі елементарні твердження про поняття підмножини та включення, що прямо випливають з визначення.

а) Кожна множина М є підмножиною самого себе: ММ. Будь-яке підмножина N множини М, відмінне від М, називається власним підмножиною множини М; відповідне включення також називається власним та позначається: МN. Прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини М.

б) Відношення включення транзитивіно, тобто з NМ і РN випливає, що РМ. Транзитивним є також відношення власного включення.

в) Дуже важливо не змішувати відносини приналежності та включення: якщо (а)М, то аМ, і навпаки; але з (a)М не випливає (а)М. Так, наприклад, якщо М = (1, 2), це означає, що 1М і 2М, але для всіх інших об'єктів х справедливо хМ; для включення правильні такі твердження:

М, (1)М, (2)М., (1, 2)М.

Інший приклад. Порожня безліч не має елементів хM для будь-якого об'єкта х. Тим часом містить одне підмножина, саме саме себе.

Введемо кілька операцій над множинами.

а) Перетином множин М і Nназивають безліч тих об'єктів, які належать множинам М і N одночасно.

Позначення: МN = (х | хМ і хN).

б) Об'єднанням множин М і Nназивають безліч тих елементів, які містяться принаймні в одному з множин М або N. Позначення: MN = (х | хМ або хN).

в) Різницею множин М і Nназивають безліч тих елементів, які належать множині М і не належать множині N. Позначення: М \ N. = (х | хМ і хN).

г) Симетричною різницею множин М і Nназивають безліч тих елементів, які належать тільки множині М - або тільки множині N.

Позначення: MN = (x | (xМ і хN) або (хN і хМ)).

Введені теоретико-множинні операції наочно ілюструються малюнком 2, де множини М і N зображені колами, що перетинаються:

МN – точки області II;

МN – точки областей I, II, III;

М\N - точки області I;

N\М - точки області III;

MN – точки областей I та III.

д) У конкретних математичних областях буває корисно ввести в розгляд настільки велику множину U, що всі множини, що розглядаються, виявляться його підмножинами. Така множина U прийнято називати універсальною множиною або універсумом. Зазначимо, що " універсальне безліч " поняття відносне: воно вибирається якогось певного розділу науки і до того ж часто навіть явно не визначається, а просто мається на увазі.

Так, наприклад, в елементарній планіметрії як універсальна множина прийнято розглядати безліч усіх точок площини. Різні фігури, що вивчаються в планіметрії, можна вважати множинами точок, тобто підмножинами так вибраної універсальної множини.

У елементарній арифметиці універсальним безліччю вважається безліч Z всіх цілих раціональних чисел тощо.

е) Якщо вибрано деяку універсальну множину U, то виникає нова теоретико-множинна операція - доповнення. Для всякої множини М (при цьому мається на увазі, що М - підмножина універсальної множини Uйого доповнення, що позначається через М, - це безліч всіх елементів універсуму, які не належать безлічі М:

М = (х | х Uта xM)

Таким чином, доповнення - це окремий випадок різниці:

M = U\ M,
вся відмінність тут у тому, що різницю береться щодо фіксованого безлічі, що містить всі множини, які у зв'язку розглядаються.

Розглянемо тепер операції декартового добутку множин. Нехай A і B - дві множини. Тоді безліч C = ((a, b) | aA, bB)
всіх пар (a, b), де a і b незалежно один від одного набувають усіх значень відповідно з множин A і B називається декартовим твором множин А і В і позначається через А х В. Якщо А і В - кінцеві множини, що містять відповідно m і n елементів, то відразу видно, що безліч Ах містить mn елементів.

Самостійний інтерес представляє той окремий випадок, коли множини А і В збігаються: А = В. Щоб його розглянути, ви введемо новий термін.

Упорядкованою парою елементів множини А називатимемо об'єкт (а 1 , а 2), що складається з двох (не обов'язково різних) елементів а 1 , а 2 А, із зазначенням, який із них слід вважати першим, а який - другим. Так, наприклад, якщо А = (1, 2, 3, 4., 5), то впорядковані пари (2, 3) та (3, 2) слід вважати за визначенням різними. Упорядкованими парами елементів А вважаються також об'єкти (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5). Упорядковані пари ми укладатимемо в круглі дужки і позначатимемо жирними малими латинськими літерами: a= (а 1 а 2), на відміну невпорядкованих пар, які, як і безлічі елементів, записуються у фігурних дужках: (а 1 а 2 ).

Назвемо безліч

З = ((а 1, а 2) | a 1 А, a 2 А)
всіх упорядкованих пар (а 1 а 2) елементів з А декартовим квадратом множини А і позначатимемо його через A 2 .

Розглянуті властивості множин та операції над ними в неявному вигляді присутні в початковому викладанні арифметики. Ми особливо наголошуємо, що йдеться про їхню неявну присутність: безглуздо було б у I чи II класі давати явні визначення арифметичних дій. Саме слово «дія» для арифметичних операцій свідчить про те, що на початковому рівні розвитку дітей додавання, віднімання, множення та розподіл виникають як дії над конкретними множинами зі світу, властивого школярам. Віковий досвід навчання на всіх рівнях показує, що людина зазвичай спочатку робить щось, а лише потім замислюється над тим, якими ж загальними властивостями мають її дії.

Теоретико-множинне обгрунтування арифметичних процесів над натуральними числами дається досить елементарно, оскільки суворіше обґрунтування виявляється досить трудомістким і ми маємо можливості провести його тут з усією необхідною ретельністю. Як ми вже говорили, з погляду теорії множин натуральні кардинальні числа відповідають класам рівноважних кінцевих множин, до них, природно, приєднується і число нуль як кардинальне число, що відповідає порожній множині. Тоді елементарні відносини та дії над натуральними числами вводяться в такий спосіб.

1.Ставлення «рівно», «більше», «менше». Нехай m і n - два натуральні числа і нехай М і N - дві множини, кардинальні числа яких суть відповідно m і n. Тоді m менше n (а n більше m), якщо множина М рівносильна деякому власному підмножини множини N. Як видно з цього ж визначення, m = n означає, що множини М і N рівносильні. Для виправдання такого визначення необхідно, звичайно, показати, що воно не залежить від обраних множин М і N. Інакше кажучи, треба довести, що якщо М" та N" - дві інші множини з числом елементів m і n відповідно і якщо при цьому М рівносильно власному підмножині множини N", то і М" рівносильно власному підмножині множини N", і навпаки. Цей доказ ми надамо читачеві. Зазначимо, що визначення нерівності для нескінченних кардинальних чисел виходить складнішим.

2.Складання.Для визначення суми кардинальних чисел надходять так. Нехай m і n – два натуральні числа. Вибираємо знову довільно два непересічні безлічі М з m N з n елементами відповідно, і нехай S - їх об'єднання: S = MN. Тоді за визначенням сума s = m + n – це кардинальне число множини S. Покажемо, що сума s від вибору множин M та N не залежить, а залежить лише від їх потужностей. Нехай М" і N" - інші множини, рівносильні множин М і N відповідно, і нехай при цьому також M"N" =; тоді S" = М"N" рівносильно множині S = МN. Слід весь час мати на увазі, що кардинальне число об'єднання є сума кардинальних чисел об'єднаних множин, тільки якщо останні не мають загальних елементів (мають порожнє перетинання). місце загальне, правило.

Ця тема містить чимало термінології, тому я додам зміст теми, який дозволить легше орієнтуватися у матеріалі.

Почнемо з того, що ж, власне, розуміти під словом "множина". На інтуїтивному рівні під безліччю розуміють певну сукупність об'єктів, які називаються елементами множини. Наприклад, можна говорити про безліч груш на столі, безліч букв у слові "множина" і так далі. Георг Кантор (німецький математик, засновник сучасної теорії множин) писав, що під "множиною я розумію взагалі все те багато, яке можливо мислити як єдине, тобто таку сукупність певних елементів, яка за допомогою одного закону може бути поєднана в одне ціле" . Деякий час поняття множини, введене Кантором, належало досить очевидним і потребує додаткових пояснень. Здавалося, що поява робіт Больцано, та був і Кантора наприкінці 19 - початку 20 століття, покладе край багатьом питанням (наприклад, остаточно вирішить апорії Зенона, вирішить проблему нескінченності тощо.) і стане початком нової математики. Геніальний німецький математик Давид Гільберт зазначав, що "Ніхто не вижене нас із раю, створеного Кантором".

Однак поява парадоксів (Рассел, Буралі-Форті) поклала край "канторівському раю". Одне з формулювань парадоксу Рассела, відоме під назвою "парадокс цирульника" звучить так: у деякому селі цирульників голить тих і тільки тих жителів села, які не голяться самі. Хто ж тоді голить самого цирульника? Припустимо, він голить себе самостійно. Тобто. він належить до тих жителів села, які голяться самі, - а за умовою цих жителів цирульників не має права голити. Отже, припущення про те, що цирульник голиться сам, призводить до протиріччя. Спробуємо інакше: нехай цирульників не голиться сам. Якщо він сам не голиться, то згідно з умовою його зобов'язаний голити цирульників - знову протиріччя! Були спроби вирішити протиріччя теорії множин, запропонованої Кантором. Саму канторівську теорію множини математики назвали "наївною". Метою багатьох математичних праць стала побудова такої системи аксіом, у якій подібні парадокси були б неможливі. Але завдання виявилося не настільки простим. На даний момент, наскільки мені відомо, єдиної аксіоматики теорії множини немає. Найбільш поширеною вважається система аксіом Цермело-Френкеля (ZFC), в якій особняком стоїть так звана "аксіома вибору". Існують і варіації цієї системи: наприклад, автор B-методу Жан-Раймонд Абріал запропонував типізовану теорію множин, на підставі якої створив формальний метод розробки програм.

Позначення множин. Приналежність елемента до безлічі. Порожня безліч.

Зазвичай множини записуються у фігурних дужках. Наприклад, безліч усіх голосних букв російського алфавіту буде записано так:

$$\(а, е, е, і, о, у, ы, е, ю, я \) $$

А безліч усіх цілих цілих чисел, більших 8, але менших 15, буде такою:

$$\{9,10,11,12,13,14 \} $$

Безліч може взагалі не містити жодного елемента. І тут його називають порожнім безліччюта позначають як $\varnothing$.

Найчастіше в математичній літературі множини позначаються за допомогою великих букв латинського алфавіту. Наприклад:

$ $ A = \ (0, 5, 6, -9 \), \; B = \ (\ Delta, +, -5, 0 \).

Є й усталені позначення певних множин. Наприклад, безліч натуральних чисел прийнято позначати буквою $N$; безліч цілих чисел - літерою $ Z $; безліч раціональних чисел - літерою $ Q $; безліч всіх дійсних чисел - буквою $R$. Є й інші усталені позначення, але до них ми звертатимемося в міру необхідності.

Безліч, що містить кінцеву кількість елементів, називають кінцевою множиною. Якщо безліч містить безліч елементів, його називають нескінченним.

Наприклад, зазначена вище множина $A=\(0, 5, 6, -9 \)$ - кінцева множина, бо містить 4 елементи (тобто кінцеве число елементів). Безліч натуральних чисел $N$ є нескінченним. Взагалі кажучи, ми не завжди можемо відразу з упевненістю сказати, нескінченно безліч чи ні. Наприклад, нехай $F$ - безліч простих чисел.

Що таке просте число: показати\сховати

Найпростішими числами називають такі натуральні числа більші 1, які діляться тільки на 1 або на саму себе. Наприклад, 2, 3, 5, 7 тощо. Для порівняння: число 12 не є простим числом, оскільки воно ділиться не тільки на 12 та 1, а ще й на інші числа (наприклад, на 3). Число 12 є складовим.

Виникає питання: безліч $F$ чи ні? Чи існує найбільш проста кількість? Для відповіді це питання знадобилася ціла теорема, доведена Евклідом, у тому, що безліч простих чисел - нескінченно.

Під потужністю множинидля кінцевих множин розуміють кількість елементів даної множини. Потужність множини $A$ позначається як $|A|$.

Наприклад, оскільки кінцеве безліч $A=\(0, 5, 6, -9 \)$ містить 4 елементи, то потужність безлічі $A$ дорівнює 4, тобто. $ | A | = 4 $.

Якщо нам відомо, що об'єкт $a$ належить безлічі $A$, то записують це так: $a\in A$. Наприклад, для вищезгаданої множини $A$ можна записати, що $5\in A$, $-9\in A$. Якщо ж об'єкт $a$ не належить величезній кількості $A$, то позначається це так: $a\notin A$. Наприклад, $19\notin A$. До речі, сказати, елементами множин можуть бути й інші множини, наприклад:

$$ M=\(-9,1,0, \(a, g\), \varnothing \) $$

Елементами безлічі $M$ є числа -9, 1, 0, а також безліч $\(a,\;g\)$ і порожня безліч $varnothing$. Взагалі, для спрощення сприйняття безліч можна представляти як портфель. Порожня множина - порожній портфель. Ця аналогія знадобиться трохи далі.

Підмножина. Універсальна множина. Рівність множин. Булеан.

Безліч $A$ називають підмножиноюмножини $B$, якщо всі елементи множини $A$ є також елементами множини $B$. Позначення: $A\subseteq B$.

Наприклад, розглянемо безліч $K=\( -9,5\)$ і $T=\(8,-9,0,5,p, -11\)$. Кожен елемент множини $K$ (тобто -9 і 5) є також елементом множини $T$. Отже, безліч $K$ є підмножина безлічі $T$, тобто. $K\subseteq T$.

Оскільки всі елементи будь-якого безлічі $A$ належать самому безлічі $A$, то безліч $A$ є підмножиною безлічі $A$. Порожня безліч $\varnothing$ є підмогою будь-якої множини. Тобто. для довільної множини $A$ вірно наступне:

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Введемо ще одне визначення – універсальна множина.

Універсальна безліч(Універсум) $ U $ має тим властивістю, що всі інші множини, що розглядаються в даній задачі, є його підмножинами.

Іншими словами, універсум містить у собі елементи всіх множин, які розглядаються в рамках якогось завдання. Наприклад, розглянемо таке завдання: проводиться опитування студентів якоїсь академгрупи. Кожному студенту пропонується вказати мобільних операторів РФ, сім-картки яких він використовує. Дані цього опитування можна подати у вигляді множин. Наприклад, якщо студент Василь використовує сім-картки від МТС та Life, то можна записати наступне:

$$ Vasilij = \ (MTC, Life \) $$

Подібні множини можна скласти для кожного студента. Універсумом у цій моделі буде безліч, в якій перераховані всі оператори Росії. В принципі, як універсум можна взяти також безліч, в якій перераховані всі оператори СНД, а також безліч усіх мобільних операторів світу. І це буде протиріччям, бо будь-який оператор Росії входить у безліч операторів як СНД, і всього світу. Отже, універсум визначається лише рамках певної конкретної завдання, у своїй часто можна розглянути кілька універсальних множин.

Безліч $A$ і $B$ називаються рівнимиякщо вони складаються з одних і тих же елементів. Іншими словами, якщо кожен елемент множини $A$ є також елементом множини $B$, і кожен елемент множини $B$ є також елементом множини $A$, то $A=B$.

Визначення рівності множин можна записати і по-іншому: якщо $A subseteq B $ і $ B subseteq A $, то $ A = B $.

Розглянемо пару множин: перше буде $\(\Delta, k\)$, а друге - $\(k, \Delta\)$. Кожен елемент першої множини (тобто $\Delta$ і $k$) є також елементом другої множини. Кожен елемент другої множини (тобто $k$ і $\Delta$) є також елементом другої множини. Висновок: $ \ (\ Delta, k \) = \ (k, \ Delta \) $. Як бачите, порядок запису елементів у багатьох ролі не грає.

Розглянемо ще пару множин: $ X = \ (k, \ Delta, k, k, k \) $ і $ Y = \ (\ Delta, k \) $. Кожен елемент множини $X$ є також елементом множини $Y$; кожен елемент множини $Y$ є також елементом множини $X$. Отже, $ \ (k, \ Delta, k, k, k \) = \ (\ Delta, k \) $. З урахуванням подібних рівностей у теорії множин прийнято однакові елементи не повторювати у записі двічі. Наприклад, безліч цифр числа 11111115555599999 буде такою: $\(1,5,9\)$. Є, звичайно, винятки: так звані мультимножини. У записі мультимножин елементи можуть повторюватися, однак у класичній теорії множин повторення елементів не допускаються.

Використовуючи поняття рівності множин, можна класифікувати підмножини.

Якщо $A\subseteq B$, причому $A\neq B$, то безліч $A$ називають власним (строгим) підмножиноюбезлічі $B$. Також кажуть, що безліч $A$ строго включено до безлічі $B$. Записують це так: $A \subset B$.

Якщо ж якесь підмножина безлічі $A$ збігається з самим безліччю $A$, то це підмножина називають невласним. Іншими словами, безліч $A$ є невласним підмножиною безлічі $A$.

Наприклад, для розглянутих вище безлічі $K=\( -9,5\)$ і $T=\(8,-9,0,5,p, -11\)$ маємо: $K\subseteq T$, при це $K\neq T$. Отже, безліч $K$ є власним підмножиною безлічі $T$, що записується як $K\subset T$. Можна сказати й так: безліч $K$ строго включено до безлічі $T$. Запис $K\subset T$ більш конкретна, ніж $K\subseteq T$. Справа в тому, що записуючи $K\subset T$ ми гарантуємо, що $K\neq T$. Тоді як запис $K\subseteq T$ не виключає випадку рівності $K=T$.

Примітка щодо термінології: показати\сховати

Взагалі, тут є якась плутанина в термінології. Наведене вище визначення невласних множин прийнято в американській та частині вітчизняної літератури. Однак в іншій частині вітчизняної літератури є дещо інше трактування поняття невласних множин.

Якщо $A\subseteq B$, причому $A\neq B$ і $A\neq \varnothing$, то безліч $A$ називають власним (строгим) підмножиною безлічі $B$. Також кажуть, що безліч $A$ строго включено до безлічі $B$. Записують це так: $A \subset B$. Безліч $B$ і $\varnothing$ називаються невласними підмножинами безлічі $B$.

Іншими словами, порожня множина в такому трактуванні виключається зі своїх підмножин і перетворюється на розряд невласних. Вибір термінології – справа смаку.

Безліч всіх підмножин якоїсь множини $A$ називають булеаномабо ступенембезлічі $A$. Позначається булеан як $P(A)$ або $2^A$.

Нехай безліч $A$ містить $n$ елементів. Булеан безлічі $A$ містить $2^n$ елементів, тобто.

$$ \left| P(A) \right|=2^(n),\;\; n = | A |. $$

Розглянемо пару прикладів використання введених вище понять.

Приклад №1

Виберіть із запропонованого списку ті твердження, які є вірними. Відповідь аргументуйте.

1. $ \ (-3,5, 9 \) \ subseteq \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $;
2. $ \ (-3,5, 9 \) \ subset \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $;
3. $ \ (-3,5, 9 \) \ in \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $;
4. $\varnothing \subseteq \varnothing$;
5. $\varnothing=\(\varnothing \)$;
6. $\varnothing \in \varnothing$;
7. $ A = \ (9, -5, 8 \ (7, 6 \) \); \; | A | = 5 $.

1. Нам задані дві множини: $\(-3,5, 9 \)$ і $\(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. Кожен елемент першої множини є також елементом другої множини. Отже, перше безліч є підмножина другого, тобто. $ \ (-3,5, 9 \) \ subseteq \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $. Твердження першого пункту - правильне.
2. У першому пункті ми з'ясували, що $(-3,5, 9 \)\subseteq \(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. У цьому дані множини не рівні між собою, тобто. $ \ (-3,5, 9 \) \ neq \ (-3, 9, 8, 5, 4, 6 \) $. Отже, безліч $\(-3,5, 9 \)$ є власним (в іншій термінології суворим) підмножиною безлічі $\(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. Цей факт записується як $\(-3,5,9\)\subset\(-3, 9, 8, 5, 4, 6\)$. Отже, твердження другого пункту є істинним.
3. Безліч $\(-3,5, 9 \)$ не є елементом безлічі $\(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. Твердження третього пункту помилкове. Для порівняння: затвердження $(-3,5, 9 \)\in \(9, 8, 5, 4, \(-3,5,9\), 6 \)$ істинно.
4. Порожня множина є підмогою будь-якої множини. Тому твердження $\varnothing\subseteq\varnothing$ істинне.
5. Твердження хибне. Безліч $\varnothing$ не містить елементів, а безліч $\(\varnothing \)$ містить один елемент, тому рівність $\varnothing=\(\varnothing \)$ невірна. Щоб це було наочніше, можна звернутися до аналогії, що я описав вище. Безліч – це портфель. Порожня безліч $varnothing$ - порожній портфель. Безліч $\(\varnothing \)$ - портфель, усередині якого лежить порожній портфель. Природно, що порожній портфель і непустий портфель, усередині якого є щось - різні портфелі :)
6. Порожня множина не містить елементів. Жодного. Тому твердження $\varnothing\in\varnothing$ є хибним. Для порівняння: твердження $\varnothing\in\(\varnothing \)$ істинно.
7. Безліч $A$ містить 4 елементи, а саме: 9, -5, 8 та $\(7, 6 \)$. Тому потужність множини $A$ дорівнює 4, тобто. $ | A | = 4 $. Отже, твердження у тому, що $|A|=5$ - хибно.

Відповідь: Твердження в пунктах №1, №2, №4 - істинні

Приклад №2

Записати булеан множини $A=\(-5,10,9\)$.

Безліч $A$ містить 3 елементи. Іншими словами: потужність множини $A$ дорівнює 3, $ | A | = 3 $. Отже, багато $A$ має $2^3=8$ підмножин, тобто. булеан множини $A$ складатиметься з восьми елементів. Перерахуємо всі підмножини множини $A$. Нагадаю, що порожня множина $varnothing$ є підмножиною будь-якої множини. Отже, підмножини такі:

$$ \varnothing, \(-5 \), \( 10\), \( 9\), \(-5,10 \), \(-5, 9 \), \(-10, 9 \) , \(-5, 10, 9 \) $$

Нагадаю, що підмножина $\(-5, 10, 9 \)$ є невласною, тому що збігається з безліччю $A$. Всі інші підмножини – власні. Всі записані вище підмножини є елементами булеану множини $A$. Отже:

$$ P(A)=\left\(\varnothing, \(-5 \), \( 10\), \( 9\), \(-5,10 \), \(-5, 9 \) , \(-10, 9 \), \(-5, 10, 9 \) \right\) $$

Булеан знайдено, залишається лише записати відповідь.

Відповідь: $P(A)=\left\(\varnothing, \(-5 \), \( 10\), \( 9\), \(-5,10 \), \(-5, 9 \) , \(-10, 9 \), \(-5, 10, 9 \) \right\)$.

Способи завдання множин.

Перший спосіб- це простий перелік елементів множини. Звичайно, такий спосіб підходить лише для кінцевих множин. Наприклад, за допомогою цього способу безліч перших трьох натуральних чисел буде записано так:

$$ \{1,2,3\} $$

Часто в літературі можна зустріти позначення такого характеру: $ T = (0,2,4,6,8, 10, \ ldots \) ​​$. Тут безліч задається не перерахуванням елементів, як здається здавалося б. Перерахувати всі парні невід'ємні числа, які становлять безліч $T$, неможливо, бо цих чисел нескінченно багато. Запис виду $T=\(0,2,4,6,8, 10, \ldots \)$ допускається лише тоді, коли не викликає різночитань.

Другий спосіб- Задати безліч за допомогою так званої характеристичної умови (характеристичного предикату) $ P (x) $. У цьому випадку безліч записується в такому вигляді:

$$\(x| P(x)\)$$

Запис $\(x| P(x)\)$ читається так: "безліч всіх елементів $x$, для яких висловлювання $P(x)$ істинно". Що означає словосполучення "характеристичне умова" простіше пояснити з прикладу. Розглянемо такий вислів:

$$P(x)="x\; - \;натуральне\; число,\; остання\; цифра\; якого \;рівна\; 7"$$

Підставимо в цей вислів замість $x$ число 27. Ми отримаємо:

$$P(27)="27\; - \;натуральне\; число,\; остання\; цифра\; якого \;рівна\; 7"$$

Це справжнє висловлювання, тому що 27 дійсно є натуральним числом, остання цифра якого дорівнює 7. Підставимо в цей вислів число $\frac(2)(5)$:

$$P\left(\frac(2)(5)\right)="\frac(2)(5)\; - \;натуральне\; число,\; остання\; цифра\; якого \;рівна\" ; 7"$$

Це висловлювання хибно, оскільки $\frac(2)(5)$ перестав бути натуральним числом. Отже, для деяких об'єктів $x$ висловлювання $P(x)$ може бути хибним, для деяких - істинним (а для деяких взагалі не визначено). Нас будуть цікавити лише об'єкти, котрим вислів $P(x)$ буде істинно. Саме це об'єкти і утворюють безліч, задане з допомогою характеристичного умови $P(x)$ (див. приклад №3).

Третій спосіб- задати безліч за допомогою так званої процедури, що породжує. Процедура, що породжує, описує, як отримати елементи множини з вже відомих елементів або деяких інших об'єктів (див. приклад №4).

Приклад №3

Записати безліч $A=\(x| x\in Z \wedge x^2< 10\}$ перечислением элементов.

Безліч $A$ задано за допомогою характеристичної умови. Характеристичне умова у разі виражено записом " $x\in Z \wedge x^2< 10$" (знак "$\wedge$" означает "и"). Расшифровывается эта запись так: "$x$ - целое число, и $x^2 < 10$". Иными словами, в множество $A$ должны входить лишь целые числа, квадрат которых меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е.

$$ A=\(0,-1,1,-2,2,-3,3\) $$

Безліч $A$ тепер задано за допомогою переліку елементів.

Відповідь: $ A = \ (0,-1,1,-2,2,-3,3 \) $.

Приклад №4

Описати елементи множини $M$, яке задано такою процедурою, що породжує:

1. $3\in M$;
2. Якщо елемент $x\in M$, то $3x\in M$.
3. Безліч $M$ - є підмножиною будь-якої множини $A$, що відповідає умовам №1 і №2.

Давайте поки дамо спокій умову №3 і подивимося, які елементи входять у безліч $M$. Число 3 туди входить згідно з першим пунктом. Оскільки $3\in M$, відповідно до пункту №2 маємо: $3\cdot 3\in M$, тобто. $9\in M$. Оскільки $9\in M$, відповідно до пункту №2 отримаємо: $3\cdot 9\in M$, тобто. $27\in M$. Так як $ 27 in M ​​$, то за тим же пунктом № 2 маємо: $ 81 in M ​​$. Коротше кажучи, побудована множина 3, 9, 27, 81 і так далі - це натуральні ступені числа 3.

$ $ 3 ^ 1 = 1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$

Отже, здається, що безліч задано. І виглядає воно так: $ (3,9,27,81, ldots). Проте чи справді умови №1 та №2 визначають лише цю безліч?

Розглянемо багато всіх натуральних чисел, тобто. $N$. Число 3 - натуральне, тому $3\in N$. Висновок: безліч $N$ задовольняє пункт №1. Далі, для будь-якого натурального числа $x$ безліч $N$ містить і число $3x$. Наприклад, 5 та 15, 7 та 21, 13 та 39 і так далі. Значить, безліч $N$ задовольняє умову №2. І, до речі, не тільки безліч $N$ задовольняє умовам №1 і №2. Наприклад, безліч всіх непарних натуральних чисел $N_1=\(1,3,5,7,9,11, \ldots\)$ теж підходить під умови пунктів №1 та №2. Як же вказати, що нам потрібно саме безліч $(3,9,27,81,ldots)?

Безліч- це сукупність об'єктів, що розглядається як одне ціле. Поняття множини приймається за основне, тобто не зводиться до інших понять. Об'єкти, що становлять це безліч, називаються його елементами. Основне відношення між елементом aі містить його безліччю Aпозначається так ( aє елемент множини A; або aналежить A, або Aмістить a). Якщо aне є елементом множини A, то пишуть ( aне входить до A, Aне містить a). Безліч можна задати вказівкою всіх його елементів, причому в цьому випадку використовуються фігурні дужки. Так ( a, b, c) позначає безліч трьох елементів. Аналогічна запис використовується у разі нескінченних множин, причому невиписані елементи замінюються трьома крапками. Так, безліч натуральних чисел позначається (1, 2, 3, ...), а безліч парних чисел (2, 4, 6, ...), причому під трьома крапками в першому випадку маються на увазі всі натуральні числа, а в другому - тільки парні.

Дві множини Aі Bназиваються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів, тобто. Aналежить Bі назад кожен елемент Bналежить A. Тоді пишуть A = B. Таким чином, безліч однозначно визначається його елементами і залежить від порядку запису цих елементів. Наприклад, безліч із трьох елементів a, b, cдопускає шість видів запису:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

З міркувань формальної зручності вводять ще так зване "порожнє безліч", а саме, безліч, що не містить жодного елемента. Його позначають , іноді символом 0 (збіг із позначенням числа нуль не веде до плутанини, оскільки сенс символу щоразу зрозумілий).

Якщо кожен елемент множини Aвходить у безліч B, то Aназивається підмножиною B, а Bназивається надмножиною A. Пишуть ( Aвходить в Bабо Aміститься в B, Bмістить A). Очевидно, що якщо і , то A = B. Порожня множина за визначенням вважається підмножиною будь-якої множини.

Якщо кожен елемент множини Aвходить в B, але безліч Bмістить хоча б один елемент, що не входить до A, тобто якщо і , то Aназивається власним підмножиною B, а B - власним надмножиною A. У цьому випадку пишуть. Наприклад, запис і означають те саме, а саме, що безліч Aне пусто.

Зауважимо ще, що треба розрізняти елемент aі безліч ( a), що містить aяк єдиний елемент. Така відмінність диктується не лише тим, що елемент і безліч грають неоднакову роль (відношення не симетрично), а й необхідністю уникнути протиріччя. Так, нехай A = {a, b) містить два елементи. Розглянемо безліч ( A), що містить своїм єдиним елементом безліч A. Тоді Aмістить два елементи, в той час як ( A) - лише один елемент, і тому ототожнення цих двох множин неможливо. Тому рекомендується застосовувати запис і не користуватися записом.

Людям постійно доводиться мати справу з різними сукупностями предметів, що спричинило виникнення поняття числа, а потім і поняття множини, яке є одним з основних найпростіших математичних понять і не піддається точному визначенню. Нижченаведені зауваження мають на меті пояснити, що таке безлічале не претендують на те, щоб служити його визначенням.

Безліч називається збори, сукупність, колекція речей, об'єднаних за якоюсь ознакою або за якимось правилом. Поняття множини виникає шляхом абстракції. Розглядаючи будь-яку сукупність предметів як безліч, відволікаються від усіх зв'язків та співвідношень між різними предметами, що становлять безліч, але зберігають за предметами їх індивідуальні риси. Таким чином, множина, що складається з п'яти монет, і множина, що складається з п'яти яблук, - це різні множини. З іншого боку, безліч з п'яти монет, розташованих по колу, і безліч з тих самих монет, покладених одна на одну, - це те саме безліч.

Наведемо кілька прикладів множин. Можна говорити про безліч піщин, що становлять купу піску, про безліч всіх планет нашої сонячної системи, про безліч всіх людей, які перебувають в даний момент в якомусь будинку, про безліч всіх сторінок цієї книги. У математиці теж постійно зустрічаються різні множини, наприклад, безліч всіх коренів заданого рівняння, безліч усіх натуральних чисел, безліч усіх точок на прямій і т.д.

Математична дисципліна, що вивчає загальні властивості множин, тобто властивості множин, що не залежать від природи складових їх предметів, називається теорією множин. Ця дисципліна почала бурхливо розвиватися наприкінці XIX та на початку XX ст. Засновник наукової теорії множин – німецький математик Г. Кантор.

Роботи Кантора з теорії множин виросли з розгляду питань збіжності тригонометричних рядів. Це дуже звичайне явище: часто розгляд конкретних математичних завдань веде до побудови дуже абстрактних і загальних теорій. Значення таких абстрактних побудов визначається тим, що вони виявляються пов'язаними не тільки з тим конкретним завданням, з якого вони виросли, але й мають додатки й у низці інших питань. Зокрема, саме так і з теорією множин. Ідеї ​​та поняття теорії множин проникли буквально у всі розділи математики та суттєво змінили її обличчя. Тому не можна отримати правильного уявлення про сучасну математику, не познайомившись із елементами теорії множин. Особливо велике значення має теорія множин для теорії функцій дійсного змінного.

Безліч вважається заданим, якщо щодо будь-якого предмета можна сказати, чи належить він безлічі, чи не належить. Інакше кажучи, безліч цілком визначається завданням всіх його предметів. Якщо безліч \(M\) складається з предметів \(a,\,b,\,c,\,\ldots\) і тільки з цих предметів, то пишуть

\(M=\(a,\,b,\,c,\,\ldots\)\)

Предмети, що становлять якусь множину, прийнято називати його елементами. Той факт, що предмет т є елементом множини \(M\) записується у вигляді

\(\Large(m\in M)\)

Елементи множини \(M\) можуть самі бути множинами, проте, щоб уникнути протиріч, доводиться вимагати, щоб саме безліч \(M\) не було одним зі своїх власних елементів: \(M\notin M\) .

Безліч, що не містить жодного елемента, називається порожнім безліччю. Наприклад, безліч усіх дійсних коренів рівняння

\(x^2+1=0\)

Якщо для двох множин \(M\) і \(N\) кожен елемент \(x\) множини \(M\) є також елементом множини \(N\) , то кажуть, що \(M\) входить в \ (\) , що \(M\) є частина \(N\) , що \(M\) є підмножина \(M\) або що \(M\) міститься в \(N\); це записується у вигляді

\(M\subseteq N\) або \(N\supseteq M\)

Наприклад, множина \(M=\(1,2\)\) є частина множини \(N=\(1,2,3\)\) .

Ясно, що завжди \(M\subseteq M\) . Зручно вважати, що порожня множина є частиною будь-якої множини.

Дві множини рівніякщо вони складаються з одних і тих же елементів. Наприклад, безліч коренів рівняння (x^2-3x+2=0) і безліч (M = (1,2)) між собою рівні.

Визначимо правила дій над множинами.

Об'єднання або сума множин

Нехай є безліч (M, N, P, ldots). Об'єднанням або сумою цих множин називається безліч (X) , що складається з усіх елементів, що належать хоча б одному з "доданків"

\(X=M+N+P+\ldots\) або \(X=M\cup N\cup P\cup\ldots\)

У цьому, навіть якщо елемент \(x\) належить декільком доданком, він входить у суму \(M\) лише один раз. Зрозуміло, що

\(M+M=M\cup M=M\)

\(M+N=M\cup N=N\)

Перетин множин

Перетином або загальною частиною множин (M,N,P,ldots) . називається безліч \(Y\), що складається з усіх тих елементів, які належать одночасно всім множинам \(M,N,P,\ldots\).

Ясно, що \(M\cdot M=M\) , і якщо \(M\subseteq N\) , то \(M\cdot N=M\) .

Якщо перетин множин \(M\) і \(N\) порожній: \(M\cdot N=\varnothing\) , то кажуть, що ці множини не перетинаються.

Для позначення операції суми і перетину множин використовують також знаки (textstyle (sum)) і (textstyle (prod)). Таким чином,

\(E=\sum E_i\) є сума множин \(E_i\), a \(F=\prod E_i\) - їх перетин.

\(M(N+P)=MN+MP,\)

\(M+NP=(M+N)(M+P).\)

Різниця множин

Різницею двох множин \(M\) і \(N\) називається безліч \(Z\) всіх тих елементів з \(Z\) , які не належать \(N\) :

\(Z=M-N\) або \(Z=M\setminus N\) .

Якщо \(N\subseteq M\) , то різницю \(Z=M\setminus N=M-N\) називають також доповненням до множини \(N\) щодо \(M\) .

Неважко показати, що завжди

\(M(N-P)=MN-MP\) і \((M-N)+MN=M.\)

Таким чином, правила дій над множинами значно відрізняються від звичайних правил арифметики.

Кінцеві та нескінченні множини

Безліч, що складаються з кінцевого числа елементів, називаються кінцевими множинами. Якщо ж кількість елементів множини необмежена, то така множина називається нескінченною. Наприклад, безліч усіх натуральних чисел нескінченна.

Розглянемо два якихось множини \(M\) і \(N\) і поставимо питання про те, однаково чи ні кількість елементів у цих множинах.

Якщо безліч (M) звичайно, то кількість його елементів характеризується деяким натуральним числом - числом його елементів. У цьому випадку для порівняння кількості елементів множин \(M\) і \(N\) достатньо порахувати число елементів в \(M\) , число елементів в \(N\) і порівняти отримані числа. Природно також вважати, що якщо одна з множин (M) і (N) звичайно, а інша нескінченно, то безліч містить більше елементів, ніж кінцеве.

Однак, якщо обидва безлічі (M) і (N) нескінченні, то шлях простого рахунку елементів нічого не дає. Тому відразу виникають такі питання: чи всі нескінченні множини мають однакову кількість елементів, чи існують нескінченні множини з більшою та меншою кількістю елементів? Якщо вірне друге, то яким способом можна порівнювати між собою кількість елементів у нескінченних множинах? Цими питаннями ми тепер займемося.

Взаємно однозначна відповідність множин

Нехай знову \(M\) і \(N\) - дві кінцеві множини. Як дізнатися, яке з цих множин містить більше елементів, крім числа елементів у кожному множині? Для цього будемо складати пари, об'єднуючи в пару один елемент з (M) і один елемент з (N). Тоді, якщо якомусь елементу з (M) не знайдеться парного до нього елемента з (N), то в (M) більше елементів, ніж в (N). Пояснимо це міркування прикладом.

Нехай у залі знаходиться кілька людей і кілька стільців. Щоб дізнатися чого більше, достатньо попросити людей зайняти місця. Якщо хтось залишився без місця, значить, людей більше, а якщо, скажімо, всі сидять і зайняті всі місця, то людей стільки ж, скільки стільців. Описаний спосіб порівняння кількості елементів у множинах має ту перевагу перед безпосереднім рахунком елементів, що він без особливих змін застосовується не тільки до кінцевих, а й до нескінченних множин.

Розглянемо багато всіх натуральних чисел

\(M=\(1,\,2,\,3,\,4,\,\ldots\)\)

\(N=\(2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots\)\)

Яка множина містить більше елементів? На перший погляд, здається, що перше. Однак ми можемо утворити з цих елементів множини пари, як зазначено нижче.

\((\color(blue)\begin(array)(c|c|c|c|c|c) (\color(black)M) &(\color(black)1) &(\color(black)) 2) &(\color(black)3) &(\color(black)4) &(\color(black)\cdots)\\hline (\color(black)N) &(\color(black)2 ) &(\color(black)4) &(\color(black)6) &(\color(black)8) &(\color(black)\cdots) \end(array))\)

Таблиця 2

\((\color(blue)\begin(array)(c|c|c|c|c|c)c) (\color(black)M)&(\color(black)1)&(\color( black)2)&(\color(black)3)&(\color(black)4)&(\color(black)5)&(\color(black)\cdots)\\hline (\color(black) )N)&(\color(black)-)&(\color(black)2)&(\color(black)-)&(\color(black)4)&(\color(black)-)&( \color(black)\cdots) \end(array))\)

Таблиця 3

\((\color(blue)\begin(array)(c|c|c|c|c|c|c|c|c)) (\color(black)M)&(\color(black)-)& (\color(black)1)&(\color(black)-)&(\color(black)2)&(\color(black)-)&(\color(black)3)&(\color(black) )-)&(\color(black)\cdots)\\hline (\color(black)N)&(\color(black)2)&(\color(black)4)&(\color(black) 6)&(\color(black)8)&(\color(black)10)&(\color(black)12)&(\color(black)14)&(\color(black)\cdots) \end (array))\)

Таким чином, якщо множини (A) і (B) нескінченні, то різним способам утворення пар відповідають різні результати. Якщо існує такий спосіб утворення пар, при якому кожен елемент \(A\) і кожного елемента \(B\) має парний до нього елемент, то кажуть, що між множинами \(A\) і \(B\) можна встановити взаємно однозначна відповідність. Наприклад, між розглянутими вище множинами (M) і (N) можна встановити взаємно однозначну відповідність, як
це видно із табл. 1.

Якщо між множинами \(A\) і \(B\) можна встановити взаємно однозначну відповідність, то кажуть, що вони мають однаковекількість елементів або рівносильні. Якщо ж при будь-комуспособі утворення пар деякі елементи з (A \) завжди залишаються без пар, то кажуть, що безліч (A) містить більше елементів, ніж (B), або що безліч (A) має більшу потужність, ніж \ (B \).

Таким чином, ми отримали відповідь на одне з поставлених вище питань: як порівнювати між собою кількість елементів у нескінченних множинах. Проте це анітрохи не наблизило нас до відповіді інше питання: чи існують взагалі нескінченні множини. мають різні потужності? Щоб отримати відповідь це питання, досліджуємо деякі найпростіші типи нескінченних множин.

Рахункові множини. Якщо можна встановити взаємно однозначну відповідність між елементами множини \(A\) та елементами множини всіх натуральних чисел

\(Z=\(1,\,2,\,3,\,\ldots\),\)

\(a_1,~a_2,~\ldots,~a_n,~\ldots\)

Таблиця 1 показує, що багато всіх парних чисел рахунково (верхнє число розглядається тепер як номер відповідного нижнього числа).

Рахункові множини це, так би мовити, найменші з нескінченних множин: у всякій нескінченній множині міститься лічильне підмножина.

Якщо два непустих кінцевих множини не перетинаються, їх сума містить більше елементів, ніж кожне з доданків. Для нескінченних множин це правило може і не виконуватись. Справді, хай \(G\) є безліч всіх парних чисел, \(H\) - безліч всіх непарних чисел і \(Z\) - безліч усіх натуральних чисел. Як показує таблиця 4, множини \(G\) і \(H\) рахункові. Однак безліч (Z = G + H \) знову лічильна.

\((\color(blue)\begin(array)(c|c|c|c|c|c) (\color(black)G)&(\color(black)2)&(\color(black)) 4)&(\color(black)6)&(\color(black)8)&(\color(black)\cdots)\\hline (\color(black)H)&(\color(black)1 )&(\color(black)3)&(\color(black)5)&(\color(black)7)&(\color(black)\cdots)\\hline (\color(black)Z) &(\color(black)1)&(\color(black)2)&(\color(black)3)&(\color(black)4)&(\color(black)\cdots) \end(array ))\)

Порушення правила "ціле більше частини" для нескінченних множин показує, що властивості нескінченних множин якісно відмінні від властивостей кінцевих множин. Перехід від кінцевого до нескінченного супроводжується повною згодою з відомим становищем діалектики – якісною зміною властивостей.

Доведемо, що безліч усіх раціональних чисел рахунково. Для цього розташуємо всі раціональні числа до такої таблиці:

\(\)

Тут у першому рядку поміщені всі натуральні числа в порядку їх зростання, у другому рядку 0 і цілі негативні числа в порядку їх зменшення, у третьому рядку - позитивні нескоротні дроби зі знаменником 2 у порядку їх зростання, у четвертому рядку - негативні нескоротні дроби зі знаменником 2 у порядку їх спадання і т. д. Зрозуміло, що кожне раціональне число один і лише один раз знаходиться в цій таблиці. Перенумеруємо тепер
усі числа цієї таблиці у тому порядку, як це зазначено стрілками. Тоді всі раціональні числа розмістяться у порядку однієї послідовності:

Номер місця, яке займає
раціональним числом 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .
Раціональне число 1. 2, О, 3, - 1, 4 -2 _

Цим встановлено взаємно однозначну відповідність між усіма раціональними числами та всіма натуральними числами. Тому безліч всіх раціональних чисел є рахунковим.

Безліч потужності континууму

Якщо можна встановити взаємно однозначну відповідність між елементами множини \(M\) і точками відрізка \(0\leqslant x\leqslant1\) , то кажуть, що безліч \(M\) має потужність континууму. Зокрема, згідно з цим визначенням, саме безліч точок відрізка \(0 \ leqslant x \ leqslant1 \) має потужність континууму.

З рис. 1 видно, що безліч точок будь-якого відрізка (AB) має потужність континууму. Тут взаємно однозначна відповідність встановлюється геометрично за допомогою проектування.

Неважко показати, що безлічі точок будь-якого інтервалу \(x\in\) і всієї числової прямої (x\in[-\infty,+\infty]\) - мають потужність континууму.

Значно більш цікавий такий факт: безліч точок квадрата \(0 \ leqslant x \ leqslant1, \) \ (0 \ leqslant y \ leqslant1 \) має потужність континууму. Таким чином, грубо кажучи, у квадраті "стільки ж" точок, скільки і у відрізку.