Визначення негативних чисел. Література:,

Натуральні числа, протилежні їм числа та число 0, називаються цілими числами. Позитивні числа(цілі та дробові), негативні числа(цілі та дробові) і число 0 складають групу раціональних чисел.

Раціональні числапозначаються великою латинською літерою R. Число 0 відноситься до цілих раціональних чисел. З натуральними та дрібними позитивними числами ми ознайомилися раніше. Розглянемо докладніше негативні числа у складі раціональних чисел.

Від'ємне числоз давніх часів асоціюється зі словом «борг», тоді як додатне числоможна асоціювати зі словами «наявність» чи «дохід». Отже, позитивні цілі та дробові числа при обчисленнях — те, що ми маємо, а негативні цілі та дробові числа — те, що становить борг. Відповідно, результат обчислень — це різниця між наявною кількістю та нашими боргами.

Негативні цілі та дробові числа записуються зі знаком «мінус» («-») перед числом. Чисельна величина негативного числа – це його модуль. Відповідно, модуль числа- Це значення числа (і позитивного, і негативного) зі знаком плюс. Модуль числазаписується так: |2|; |-2|.

Кожному раціональному числу числової осі відповідає єдина точка. Розглянемо числову вісь (малюнок унизу), позначимо на ній точку Про.

Точці Пропоставимо у відповідність число 0. Число 0 служить кордоном між позитивними та негативними числами: праворуч від 0 - позитивні числа, величина яких змінюється від 0 до плюс нескінченності, а зліва від 0 - негативні числа, Величина яких теж змінюється від 0 до мінус нескінченності.

Правило. Будь-яке число, що стоїть на числовій осі правіше, більше числа, що стоїть ліворуч.

Виходячи з цього правила, позитивні числа зростають зліва направо, а негативні зменшуються праворуч наліво (при цьому модуль від'ємного числа збільшується).

Властивості чисел на числовій осі

Будь-яке позитивне число і 0 більше за будь-яке негативне число.

Будь-яке позитивне число більше 0. Будь-яке від'ємне число менше 0.

Будь-яке від'ємне число менше позитивного числа. Позитивне чи негативне число, яке стоїть правіше, більше позитивного чи негативного числа, що стоїть ліворуч на числовій осі.

Визначення. Числа, які відрізняються один від одного лише знаком, називаються протилежними.

Наприклад, числа 2 та -2, 6 та -6. -10 і 10. Протилежні числа розташовані на числовій осі в протилежних напрямках від точки, але на однаковій відстані від неї.

Дробові числа, що являють собою в записі звичайний або десятковий дріб, підпорядковуються тим самим правилам на числовій осі, що і цілі числа. З двох дробів більше той, який стоїть на числовій осі правіше; негативні дроби менші за позитивні дроби; будь-який позитивний дріб більше 0; всякий негативний дріб менше 0.

Складається з позитивних (натуральних) чисел, негативних чисел та нуля.

Всі негативні числа, і тільки вони менше, ніж нуль. На числовій осі негативні числа розташовуються ліворуч від нуля. Їх, як й у позитивних чисел, визначено ставлення порядку , що дозволяє порівнювати одне ціле з іншим.

Для кожного натурального числа nіснує одне і лише одне негативне число, що позначається -n, яке доповнює nдо нуля:

Повна і цілком строга теорія негативних чисел була створена лише у ХІХ столітті (Вільям Гамільтон і Герман Грассман).

Відомі негативні числа

Див. також

Література

• Вигодський М. Я.Довідник з елементарної математики. – М.: АСТ, 2003. – ISBN 5-17-009554-6
• Глейзер Г. І.Історія математики в школі. – М.: Просвітництво, 1964. – 376 с.

Примітки

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Камінь
• Озон (значення)

Дивитися що таке "Негативне число" в інших словниках:

ВІД'ЄМНЕ ЧИСЛО- дійсне число а, менше нуля, тобто задовольняє нерівності а … Велика політехнічна енциклопедія– 1.50. негативний біноміальний розподіл Розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини Х такий, що за x = 0, 1, 2, ... і параметрах c > 0 (ціле позитивне число), 0< p < 1, где Примечания 1. Название… … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Число Вольфа- (W) кількісна характеристика ступеня сонячної активності; є число сонячних плям та їх груп, виражене у формі умовного показника: W=k(m+10n), де m загальна кількість всіх плям, оформлених у вигляді груп або розташованих… Екологія людини

ЧИСЛО, одне з основних понять математики; зародилося в давнину і поступово розширювалося і узагальнювалося. У зв'язку з рахунком окремих предметів виникло поняття про цілі позитивні (натуральні) числа, а потім ідея про безмежність натурального ряду чисел: 1, 2, 3, 4. Завдання вимірювання довжин, площ тощо, а також виділення часток іменованих величин призвели до поняття раціонального (дрібного) числа. Поняття про негативні числа виникло в індійців у 6-11 ст.

Вперше негативні числа зустрічаються в одній з книг давньокитайського трактату "Математика в дев'яти розділах" (Джан Цань - 1 століття до нашої ери). Негативне число розумілося як борг, а позитивне як майно. Додавання та віднімання негативних чисел проводилося на основі міркувань про борг. Наприклад, правило додавання формулювалося так: «Якщо до одного боргу додати інший борг, то в результаті вийде борг, а не майно». Знаку мінус тоді не було, а щоб відрізняти позитивні та негативні числа, Джан Цань писав їх різним кольором чорнилом.

Ідея негативних чисел важко завойовувала собі місце в математиці. Ці числа здавалися математикам давнини незрозумілими і навіть хибними, події із нею – незрозумілими і мають реального сенсу.

Використання негативних чисел індійськими математиками.

У 6-7 століттях нашої ери індійські математики вже систематично користувалися негативними числами, як і раніше розуміючи їх як обов'язок. Починаючи з 7 століття, індійські математики користувалися негативними числами. Позитивні числа вони називали "дхана" або "сва" ("майно"), а негативні - "рина" або "кшайя" ("борг"). Вперше всі чотири арифметичні дії з негативними числами наведені індійським математиком та астрономом Брахмагуптою (598 – 660 рр.).

Наприклад, правило поділу він формулював так: «Позитивне, поділене на позитивне, або негативне, поділене на негативне, стає позитивним. Але позитивне, поділене на негативне, і негативне, поділене на позитивне, залишається негативним».

(Брахмагупта (598 – 660 рр.) – індійський математик і астроном. До нас дійшов твір Брахмагупта «Перегляд системи Брахми» (628), значна частина, якого присвячена арифметиці та алгебрі. Найважливішим тут є вчення про арифметичну прогресію та розв'язання квадратних урів з якими Брахмагупта справлявся у всіх випадках, коли вони мали дійсні рішення.Брахмагупта допускав і розглядав вживання нуля у всіх арифметичних діях.Окрім того Брахмагупта вирішував деякі невизначені рівняння в цілих числах, він дав правило складання прямокутних трикутників з раціональними сторонами і раціональними сторонами. відомо зворотне потрійне правило, у нього зустрічається наближення П, сама рання інтерполяційна формула 2 - го порядку. рівних проміжках. Його роботи були у 8 столітті перекладені арабською мовою.)

Розуміння негативних чисел Леонардом Фібоначчі Пізанським.

Незалежно від індійців до розуміння негативних чисел як протилежності позитивних прийшов італійський математик Леонардо Фібоначчі Пізанський (13 ст). Але знадобилося ще близько 400 років, перш ніж "абсурдні" (безглузді) негативні числа отримали повне визнання математиків, а негативні рішення в завданнях перестали відкидатися як неможливі.

(Леонардо Фібоначчі Пізанський (бл. 1170 – після 1228) – італійський математик. Народився в Пізі (Італія). Початкову освіту здобув у Буші (Алжир) під керівництвом місцевого вчителя. Тут він опанував арифметику та алгебру арабів. Відвідав багато країн Європи. і всюди поповнював свої знання з математики.

Видав дві книги: «Книгу про абак» (1202), де абак розглядався не стільки як прилад, скільки, як обчислення взагалі, та «Практичну геометрію» (1220). За першою книгою багато поколінь європейських математиків вивчали індійську позиційну систему числення. Виклад матеріалу в ній було оригінальним та витонченим. Вченому належать і власні відкриття, зокрема він започаткував розробку питань, пов'язаних з Т. Н. числами Фібоначчі, і дав оригінальний прийом отримання кубічного кореня. Його праці набули поширення лише наприкінці 15 століття, коли Лука Пачолі переробив їх і опублікував у своїй книзі «Сума».

Розгляд негативних чисел Михайлом Штифелем по-новому.

У 1544 році німецький математик Михайло Штіфель вперше розглядає негативні числа як числа, менші за нуль (тобто «менші, ніж ніщо»). З цього моменту негативні числа розглядаються не як борг, а зовсім по-новому. (Штифель Михайло (19. 04. 1487 – 19. 06. 1567) – знаменитий німецький математик. Михайло Штифель навчався в католицькому монастирі, потім захопився ідеями Лютера і став сільським протестантським пастором. Вивчаючи біблію, намагався знайти в ній математичне. своїх досліджень передбачив кінець світу на 19 жовтня 1533 року, який, звичайно, не стався, а Михайло Штіфель був ув'язнений до Вюртембергської в'язниці, з якої його визволив сам Лютер.

Після цього Штіфель повністю присвячує свою роботу математиці, в якій він був геніальним самоуком. Один із перших у Європі після Н. Шюке почав оперувати негативними числами; ввів дробовий та нульовий показники ступеня, а також термін «показник»; у роботі «Повна арифметика» (1544) дав правило розподілу на дріб як множення на дріб, зворотний дільник; зробив перший крок у розвитку прийомів, що спрощують обчислення з великими числами, для чого зіставляв дві прогресії: геометричну та арифметичну. Пізніше це допомогло І. Бюргі та Дж. Неперу створити логарифмічні таблиці та розробити логарифмічні обчислення.)

Сучасне тлумачення негативних чисел Жираром та Рене Декартом.

Сучасне тлумачення негативних чисел, засноване на відкладанні поодиноких відрізків на числовій осі вліво від нуля, було дано в 17 столітті, в основному в роботах голландського математика Жірара (1595 - 1634 рр..) І знаменитого французького математика і філософа Рене Декарта (1596). (Жирар Альберт (1595 – 1632) – бельгійський математик. Жирар народився у Франції, але втік до Голландії від переслідувань католицької церкви, оскільки був протестантом. Альберт Жирар зробив великий внесок у розвиток алгебри. Основним його твором була книга «Нове відкриття в алгебри". Вперше висловив основну теорему алгебри про наявність кореня у рівняння алгебри з одним невідомим. Хоча суворий доказ вперше дав Гаусс. Жирару належить висновок формули площі сферичного трикутника.) З 1629 в Нідерландах. Заклав основи аналітичної геометрії, дав поняття змінної величини та функції, ввів багато алгебраїчних позначень. Висловив закон збереження кількості руху, дав поняття імпульсу сили. Автор теорії, що пояснює освіту та рух небесних тіл вихровим рухом частинок матерії (вихори Декарта). Ввів уявлення про рефлекс (дуга Декарта). В основі філософії Декарта – дуалізм душі і тіла, «мислячої» та «протяжної» субстанції. Матерію ототожнював із протягом (або простором), рух зводив до переміщення тіл. Загальна причина руху, за Декартом, – Бог, який створив матерію, рух та спокій. Людина - зв'язок неживого тілесного механізму з душею, що має мислення і волю. Безумовне основа всього знання, за Декартом, - безпосередня достовірність свідомості («мислю, отже, існую»). Існування Бога розглядало як джерело об'єктивної значущості людського мислення. У вченні про пізнання Декарт - родоначальник раціоналізму та прихильник вчення про вроджені ідеї. Основні твори: «Геометрія» (1637), «Міркування про метод. »(1637), «Початки філософії» (1644).

ДЕКАРТ (Descartes) Рене (латинізоване - Картезій; Cartesius) (31 березня 1596, Лае, Турень, Франція - 11 лютого 1650, Стокгольм), французький філософ, математик, фізик і фізіолог, засновник новоєвропейського раціоналізму та один з впливових.

Життя та твори

Народившись у дворянській сім'ї, Декарт здобув гарну освіту. 1606 року батько відправив його в єзуїтську колегію Ла Флеш. Враховуючи не дуже міцне здоров'я Декарта, йому робили деякі послаблення у суворому режимі цього навчального закладу, напр. , дозволяли вставати пізніше за інших. Придбавши в колегії чимало знань, Декарт в той же час перейнявся антипатією до схоластичної філософії, яку він зберіг на все своє життя.

Після закінчення колегії Декарт продовжив освіту. У 1616 році в університеті Пуатьє він отримав ступінь бакалавра права. У 1617 році Декарт вступає на службу в армію і багато подорожує Європою.

1619 в науковому відношенні виявився ключовим для Декарта. Саме в цей час, як він сам писав у щоденнику, йому відкрилися підстави нової «найдивовижнішої науки». Швидше за все, Декарт мав на увазі відкриття універсального наукового методу, який він згодом плідно застосовував у різних дисциплінах.

У 1620-ті роки Декарт знайомиться з математиком М. Мерсенном, через якого він довгі роки "тримав зв'язок" з усім європейським науковим співтовариством.

У 1628 році Декарт більш ніж на 15 років обгрунтовується в Нідерландах, але не поселяється в якомусь одному місці, а близько двох десятків разів змінює місце проживання.

У 1633 році, дізнавшись про засудження церквою Галілея, Декарт відмовляється від публікації натурфілософської роботи «Мир», в якій викладалися ідеї природного виникнення всесвіту за механічними законами матерії.

У 1637 французькою мовою виходить робота Декарта «Міркування про метод», з якої, як багато хто вважає, і почалася новоєвропейська філософія.

У 1641 з'являється головний філософський твір Декарта «Роздуми про першу філософію» (латинською мовою), а в 1644 «Першопочатку філософії», робота, що замишлялася Декартом як компендій, що підсумовує найважливіші метафізичні та натурфілософські теорії автора.

Великий вплив на європейську думку зробила і остання філософська робота Декарта «Пристрасті душі», опублікована 1649 р. У тому ж році на запрошення шведської королеви Христини Декарт вирушив до Швеції. Суворий клімат і незвичний режим (королева змушувала Декарта вставати о 5-й ранку, щоб давати їй уроки і виконувати інші доручення) підірвали здоров'я Декарта, і, підхопивши застуду, він помер від пневмонії.

Філософія Декарта яскраво ілюструє прагнення європейської культури до звільнення від старих догм та побудови нової науки та самого життя «з чистого аркуша». Критерієм істини, вважає Декарт, може бути лише «природне світло» нашого розуму. Декарт не заперечує і пізнавальної цінності досвіду, але він бачить його функцію виключно в тому, щоб він приходив на допомогу розуму там, де власних сил останнього недостатньо для пізнання. Розмірковуючи умови досягнення достовірного знання, Декарт формулює «правила методу», з допомогою якого можна дійти істини. Спочатку мислилися Декартом дуже численними, в «Міркуванні про методі», вони зводяться до чотирьох основних положень, що становлять «квінтесенцію» європейського раціоналізму: 1) починати з безперечного і самоочевидного, тобто з того, протилежне чому не можна подумати, 2 розділяти будь-яку проблему на стільки частин, скільки необхідно для її ефективного вирішення, 3) починати з простого і поступово просуватися до складного, 4) постійно перевіряти ще раз правильність висновків. Самоочевидне схоплюється розумом інтелектуальної інтуїції, яку не можна змішувати з чуттєвим спостереженням і яка дає нам «ясне і виразне» розуміння істини. Поділ проблеми на частини дозволяє виявити в ній «абсолютні», тобто самоочевидні елементи, від яких можна відштовхуватись у наступних дедукціях. Дедукцією Декарт називає "рух думки", в якому відбувається зчеплення інтуїтивних істин. Слабкість людського інтелекту вимагає перевіряти коректність зроблених кроків щодо відсутності прогалин у міркуваннях. Таку перевірку Декарт називає «енумерацією» чи «індукцією». Підсумком послідовної та розгалуженої дедукції має стати побудова системи загального знання, «універсальної науки». Декарт порівнює цю науку з деревом. Коренем його є метафізика, стовбур складає фізика, а плодоносні гілки утворюють конкретні науки, етика, медицина та механіка, які приносять безпосередню користь. З цієї схеми видно, що запорукою ефективності цих наук є правильна метафізика.

Від методу відкриття істин Декарт відрізняє метод викладу вже розробленого матеріалу. Його можна викладати «аналітично» та «синтетично». Аналітичний метод проблемний, він менш систематичний, але більше сприяє розумінню. Синтетичний, як би «геометризуючий» матеріал, строгіший. Декарт все ж таки віддає перевагу аналітичному методу.

Сумнів і безперечний

Вихідною проблемою метафізики як науки про найзагальніші пологи сущого є, як і в будь-яких інших дисциплінах, питання про очевидні підстави. Метафізика повинна починатися з безперечної констатації будь-якого існування. Декарт «пробує» на самоочевидність тези про буття світу, Бога та нашого «Я». Світ можна уявити неіснуючим, якщо уявити, що наше життя є довгим сновидінням. У бутті Бога також можна сумніватися. А ось наше «Я», вважає Декарт, не можна поставити під сумнів, оскільки саме сумнів у своєму бутті доводить існування сумніву, а значить і Я, що сумнівається. Новий час. У більш загальному вигляді ця теза звучить так: «Думаю, отже існую» - cogito, ergo sum. Сумнів становить лише один із «модулів мислення», поряд з бажанням, розумовим розумінням, уявою, пам'яттю і навіть відчуттям. Основою мислення є свідомість. Тому Декарт заперечує існування несвідомих ідей. Мислення є невід'ємною властивістю душі. Душа не може не мислити, вона - "мисляча річ", res cogitans. Визнання безперечним тези про своє існування не означає, однак, що Декарт вважає взагалі неможливим неіснування душі: вона не може не існувати, лише поки що мислить. В іншому ж душа - випадкова річ, тобто може бути, так і не бути, бо вона недосконала. Усі випадкові речі черпають своє буття ззовні. Декарт стверджує, що душа щомиті підтримується у своєму існуванні Богом. Проте її можна назвати субстанцією, оскільки вона може існувати окремо від тіла. Втім, насправді душа та тіло тісно взаємодіють. Проте важлива незалежність душі від тіла є для Декарта запорукою можливого безсмертя душі.

Вчення про Бога

Від філософської психології Декарт переходить до вчення про Бога. Він надає кілька доказів існування вищої істоти. Найбільш відомим є так званий «онтологічний аргумент»: Бог є вседосконала істота, тому в понятті про нього не може бути предикат зовнішнього існування, що означає неможливість заперечувати буття Бога, не впадаючи в суперечність. Інший доказ, запропонований Декартом, більш оригінальний (перший був добре відомий у середньовічній філософії): у нашому розумі є ідея Бога, у цієї ідеї має бути причина, але причиною може бути тільки сам Бог, тому що в іншому випадку ідея вищої реальності була б породжена тим, що ця реальність не має, тобто в дії було б більше реальності, ніж у причині, що безглуздо. Третій аргумент ґрунтується на необхідності існування Бога для підтримки людського існування. Декарт вважав, що Бог, не будучи сам собою пов'язаний законами людської істини, є джерелом «вродженого знання» людини, в яке входить сама ідея Бога, а також логічні і математичні аксіоми. Від Бога, вважає Декарт, виходить і наша віра у існування зовнішнього матеріального світу. Бог не може бути ошуканцем, а тому ця віра є істинною, і матеріальний світ дійсно існує.

Філософія природи

Переконавшись у існуванні матеріального світу, Декарт приступає до вивчення його властивостей. Головною властивістю матеріальних речей виявляється протяг, який може виступати в різних модифікаціях. Декарт заперечує існування порожнього простору на тій підставі, що скрізь, де є протяг, є і «довга», res extensa. Інші якості матерії мисляться неясно і, можливо, вважає Декарт, існують лише у сприйнятті, а самих предметах відсутні. Матерія складається з елементів вогню, повітря та землі, вся відмінність яких полягає лише у величині. Елементи не є неподільними і можуть перетворюватися один на одного. Намагаючись узгодити концепцію дискретності матерії з тезою про відсутність порожнечі, Декарт висуває цікаву тезу про нестабільність і відсутність певної форми у найдрібніших частинок речовини. Єдиним способом передачі взаємодій між елементами і речами, що складаються з їх змішування, Декарт визнає зіткнення. Воно відбувається за законами сталості, які з незмінної сутності Бога. За відсутності зовнішніх впливів речі не змінюють свій стан і рухаються прямою, що є символом сталості. Крім того, Декарт говорить про збереження вихідної кількості руху у світі. Сам рух, однак, спочатку не властивий матерії, а привноситься до неї Богом. Але вже одного першоштовху достатньо, щоб із хаосу матерії поступово самостійно зібрався правильний та гармонійний космос.

Тіло та душа

Багато часу приділяв Декарт вивченню законів функціонування тварин організмів. Він вважав їх тонкими машинами, здатними самостійно адаптуватися до навколишнього середовища та адекватно реагувати на зовнішні дії. Випробуваний вплив передається в мозок, що є резервуаром «тварини духів», найдрібніших частинок, потрапляння яких у м'язи через пори, що відкриваються внаслідок відхилень мозкової «шишковидної залози» (що є сідницею душі), призводить до скорочень цих м'язів. Рух тіла складається послідовністю таких скорочень. Тварини позбавлені душ і не потребують їх. Декарт говорив, що його більше дивує наявність душі у людини, ніж її відсутність у тварин. Наявність душі в людини, проте, не марна, оскільки душа може коригувати природні реакції тіла.

Декарт-фізіолог

Декарт вивчав будову різних органів у тварин, досліджував будову зародків різних стадіях розвитку. Його вчення про «довільні» і «мимовільні» рухи заклало основи сучасного вчення про рефлекси. У роботах Декарта представлені схеми рефлекторних реакцій з відцентровою та відцентровою частиною рефлекторної дуги.

Значення робіт Декарта з математики та фізики

Природно-наукові досягнення Декарта народилися як «побічний продукт» єдиного методу єдиної науки, що розробляється ним. Декарту належить заслуга створення сучасних систем позначень: він запровадив знаки змінних величин (x, y, z.), коефіцієнтів (a, b, c.), позначення ступенів (a2, x-1.).

Декарт одна із авторів теорії рівнянь: їм сформульовано правило знаків визначення числа позитивних і негативних коренів, поставив питання межі дійсних коренів і висунув проблему приводимості, т. е. уявлення цілої раціональної функції з раціональними коефіцієнтами як твори двох функцій цього роду. Він зазначив, що рівняння 3-го ступеня можна розв'язати в квадратних радикалах (а також вказав рішення за допомогою циркуля і лінійки, якщо це рівняння наводиться).

Декарт є одним із творців аналітичної геометрії (яку він розробляв одночасно з П. Ферма), що дозволяла алгебраїзувати цю науку за допомогою методу координат. Запропонована ним система координат отримала його ім'я. У роботі «Геометрія» (1637), що відкрила взаємопроникнення алгебри та геометрії, Декарт ввів уперше поняття змінної величини та функції. Змінна трактується їм двояко: як відрізок змінної довжини і постійного напрямку (поточна координата точки, що описує своїм рухом криву) і як безперервна числова змінна, що пробігає сукупність чисел, що виражають цей відрізок. В область вивчення геометрії Декарт включив «геометричні» лінії (пізніше названі Лейбніцем алгебраїчними) - лінії, що описуються під час руху шарнірними механізмами. Трансцендентні криві (сам Декарт називає їх «механічними») він виключив зі своєї геометрії. У зв'язку з дослідженнями лінз (див. нижче) у «Геометрії» викладаються способи побудови нормалей та дотичних до плоских кривих.

«Геометрія» вплинула на розвиток математики. У декартовій системі координат отримали реальне тлумачення негативні числа. Дійсні числа Декарт фактично трактував як відношення будь-якого відрізка до одиничного (хоча саме формулювання дав пізніше І. Ньютон). У листуванні Декарта містяться інші його відкриття.

В оптиці він відкрив закон заломлення світлових променів на межі двох різних середовищ (викладені в Діоптриці, 1637). Декарт зробив серйозний внесок у фізику, давши чітке формулювання закону інерції.

Вплив Декарту

Декарт вплинув на подальшу науку і філософію. Європейські мислителі сприйняли від нього заклики до створення філософії як точної науки (Б. Спіноза), до побудови метафізики на основі вчення про душу (Дж. Локк, Д. Юм). Декарт активізував і теологічні суперечки щодо можливості доказів буття Бога. Величезний резонанс мало обговорення Декартом питання взаємодії душі і тіла, яке відгукнулися М. Мальбранш, Р. Лейбніц та інших. , і навіть його космогонічні побудови. Багато мислителів робили спроби формалізувати методологію Декарта (А. Арно, Н. Ніколь, Б. Паскаль). У 20 столітті до філософії Декарта часто звертаються учасники численних дискусій з проблем філософії свідомості та когнітивної психології.

Щоб розробити цей зрозумілий і природний нині для нас підхід, знадобилися зусилля багатьох вчених протягом вісімнадцяти століть від Джан Цаня до Декарта.

Негативні числа- Це числа зі знаком мінус (-), наприклад -1, -2, -3. Читається як: мінус один, мінус два, мінус три.

Приклад застосування негативних чиселє термометр, що показує температуру тіла, повітря, ґрунту чи води. У зимовий час, коли на вулиці дуже холодно, температура буває негативною (або як кажуть у народі мінусової).

Наприклад, −10 градусів холоду:

Звичайні числа, які ми розглядали раніше, такі як 1, 2, 3 називають позитивними. Позитивні числа - це числа зі знаком плюс (+).

При записі позитивних чисел знак + не записують, тому ми бачимо звичні нам числа 1, 2, 3. Але слід пам'ятати, що це позитивні числа виглядають так: +1, +2, +3.

Це пряма лінія, де розташовуються всі числа: і негативні і позитивні. Виглядає наступним чином:

Тут показані числа від -5 до 5. Насправді координатна пряма нескінченна. На малюнку представлений лише невеликий фрагмент.

Числа на координатній прямій відзначають як точок. На малюнку жирна чорна точка є початком відліку. Початок відліку починається з нуля. Зліва від початку відліку відзначають негативні числа, а праворуч - позитивні.

Координатна пряма продовжується нескінченно по обидва боки. Нескінченність у математиці позначається символом ∞. Негативний напрямок позначатиметься символом −∞, а позитивний символом +∞. Тоді можна сказати, що на координатній прямій розташовуються всі числа від мінус нескінченності до плюс нескінченності:

Кожна точка на координатній прямій має своє ім'я та координату. Ім'я- це будь-яка латинська літера. Координата- Це число, яке показує положення точки на цій прямій. Простіше кажучи, координата це те саме число, яке ми хочемо відзначити на координатній прямій.

Наприклад, точка А(2) читається як "точка А з координатою 2" і буде позначатись на координатній прямій наступним чином:

Тут A- це ім'я точки, 2 - координата точки A.

приклад 2.Крапка B(4) читається як "точка B з координатою 4"

Тут B- це ім'я точки, 4 - координата точки B.

приклад 3.Точка M(−3) читається як "точка M з координатою мінус три" і буде позначатись на координатній прямій так:

Тут M- це ім'я точки, -3 - координата точки M .

Крапки можна позначати будь-якими літерами. Але прийнято позначати їх великими латинськими літерами. Більше того, початок звіту, який інакше називають початком координатприйнято позначати великою латинською літерою O

Легко помітити, що негативні числа лежать лівіше щодо початку відліку, а позитивні числа правіше.

Існують такі словосполучення, як «чим лівіше, тим менше»і «Чим правіше, тим більше». Напевно, ви вже здогадалися, про що йдеться. При кожному кроці вліво, число зменшуватиметься у менший бік. І при кожному кроці праворуч число збільшуватиметься. Стрілка, спрямована праворуч, вказує на позитивний напрямок відліку.

Порівняння негативних та позитивних чисел

Правило 1. Будь-яке негативне число менше від будь-якого позитивного числа.

Наприклад, порівняємо два числа: −5 та 3. Мінус п'ять менше, ніж три, незважаючи на те, що п'ятірка впадає в око в першу чергу, як цифра більша, ніж три.

Пов'язано це про те, що −5 є негативним числом, а 3 — позитивним. На координатній прямій можна побачити, де розташовуються числа −5 та 3

Видно, що −5 лежить ліворуч, а 3 правіше. А ми казали, що «чим лівіше, тим менше» . І правило говорить, що будь-яке негативне число менше за будь-яке позитивне число. Звідси слідує що

−5 < 3

«Мінус п'ять менше, ніж три»

Правило 2 З двох негативних чисел менше те, що розташовується ліворуч на координатній прямій.

Наприклад, порівняємо числа −4 та −1. Мінус чотири меншеніж мінус одиниця.

Пов'язано це знову ж таки з тим, що на координатній прямій -4 розташовується лівіше, ніж -1

Видно, що −4 лежить ліворуч, а −1 правіше. А ми казали, що «чим лівіше, тим менше» . І правило говорить, що з двох негативних чисел менше те, що розташовується ліворуч на координатній прямій. Звідси слідує що

Мінус чотири менше, ніж мінус одиниця

Правило 3 Нуль більше будь-якого негативного числа.

Наприклад, порівняємо 0 та −3. Нуль більшеніж мінус три. Пов'язано це з тим, що на координатній прямій 0 розташовується правіше, ніж −3

Видно, що 0 лежить правіше, а −3 ліворуч. А ми казали, що «Чим правіше, тим більше» . І правило каже, що нуль більше за будь-яке негативне число. Звідси слідує що

Нуль більше, ніж мінус три

Правило 4 Нуль менше будь-якого позитивного числа.

Наприклад, порівняємо 0 і 4. Нуль менше 4. Це в принципі ясно і так. Але ми спробуємо побачити це на власні очі, знову ж таки на координатній прямій:

Видно, що на координатній прямій 0 розташовується лівіше, а 4 правіше. А ми казали, що «чим лівіше, тим менше» . І правило каже, що нуль менший за будь-яке позитивне число. Звідси слідує що

Нуль менше, ніж чотири

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Ми знаємо, що якщо скласти два чи кілька натуральних чисел, то в результаті отримаємо натуральне число. Якщо перемножувати натуральні числа між собою, то в результаті виходять натуральні числа. А які числа будуть у результаті, якщо від одного натурального числа відняти інше натуральне число? Якщо з більшого натурального числа відняти менше, то результат також буде натуральним числом. А яке число буде, якщо від меншого числа відняти більше? Наприклад, якщо з 5 відняти 7. Результат такої дії вже не буде натуральним числом, а буде числом менше за нуль, яке ми напишемо як натуральне, але зі знаком «мінус», так званим, негативним натуральним числом. На цьому уроці ми познайомимося із негативними числами. Тому ми розширюємо множину натуральних чисел, додаючи до нього «0» і цілі негативні числа. Нова розширена безліч складатиметься з чисел:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Ці числа називаються цілими. Отже, результат прикладу 5 -7 = -2 буде цілим числом.

Визначення. Цілі числа – це натуральні, негативні натуральні та число «0».

Зображення цієї множини ми бачимо на градуснику для вимірювання температури на вулиці.

Температура то, можливо з «мінусом», тобто. негативною, можливо з «плюсом» тобто. позитивною. Температура 0 градусів не позитивна і не негативна, число 0 – межа, яка відокремлює позитивні числа від негативних.

Зобразимо цілі числа на числовій осі.

Малюнок осі

Ми бачимо, що на числовій осі існує безліч чисел. Позитивні та негативні числа розділені між собою банкрутом. Негативні цілі числа, наприклад, -1, читаються як «мінус одиниця» або «негативна одиниця».

Позитивні цілі числа, наприклад "+3" читається як позитивна 3 або просто "три", тобто у позитивних (натуральних) чисел знак "+" не пишеться і слово "позитивне" не вимовляється.

Приклади: познач на числовій осі +5, +6, -7, -3, -1, 0 і т.д.

При русі вправо по числовій осі числа збільшуються, а при русі вліво - зменшуються. Якщо ми хочемо збільшити число на 2, ми рухаємось праворуч по координатній осі на 2 одиниці. Приклад: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 і т. д. І навпаки, якщо ми хочемо зменшити число на 3 ми рухатимемося вліво на 3 одиниці. Наприклад: 6-3 = 3; 3-3 = 0; 0-3=-3; і т.д.

1. Спробуй збільшити число (-4) за 3 кроки, збільшуючи щоразу на 2 одиниці.

Рухаючись числової осі, як показано малюнку, ми отримаємо в результаті 2.

2. Зменши число 6 за шість кроків, зменшуючи його за кожний крок на 2 одиниці.

3. Збільши число (-1) за три кроки, збільшуючи його на 4 одиниці на кожному кроці.

За допомогою координатної прямої легко порівнювати цілі числа: із двох чисел більше те, що на координатній прямій розташоване правіше, а менше те, що стоїть лівіше.

4. Порівняй числа, поставивши знак > або< , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 та 2; 0 та -5; -34 та -67; -72 та 0 і т.д.

5. Згадай, як ми відзначали на координатному промені точки з натуральними координатами. Крапки прийнято називати великими латинськими літерами. Намалюй координатну пряму і взявши зручний одиничний відрізок, зобрази точки з координатами:

А) А(10),(20),С(30),М(-10),N(-20)
Б) С(100),В(200),К(300),F(-100)
В) U(1000),Е(2000),R(-3000)

6. Запиши всі цілі числа, розташовані між -8 та 5, між -15 та -7, між -1 та 1.

Порівнюючи числа, ми повинні вміти відповісти на скільки одиниць одне число більше або менше за інше.

Намалюємо координатну пряму. Зобразимо на ній точки з координатами від -5 до 5. Число 3 на дві одиниці менше 5, на одиницю менше 4, на 3 одиниця більше за нуль. Число -1 на одиницю менше за нуль, на 2 одиниці більше -3.

7. Відповідай, на скільки одиниць:

3 менше 4; -2 менше 3; -5 менше -4; 2 більше -1; 0 більше -5; 4 більше -1

8. Намалюй координатну пряму. Випиши 7 чисел, кожне з яких на 2 одиниці менше попереднього, починаючи з 6. Яке у цього ряду останнє число? Скільки може бути всього таких чисел, якщо кількість чисел, що виписуються, не обмежувати?

9. Випиши 10 чисел, кожне з яких на 3 одиниці більше від попереднього починаючи з (-6). Скільки таких чисел може існувати, якщо ряд не обмежуватиме десятьма?

Протилежні числа.

На числовій осі для кожного позитивного числа (або натурального) існує негативне число, розташоване зліва від нуля на такій відстані. Наприклад: 3 та -3; 7 та -7; 11 та -11.

Кажуть, що -3 є протилежним числу 3, і навпаки, -3 протилежно 3.

Визначення: Два числа, які відрізняються один від одного, тільки знаком називаються протилежними.

Ми знаємо, що якщо помножити число на +1, число не зміниться. А якщо число помножити на (-1), що буде? У такої кількості зміниться знак. Наприклад, якщо 7 помножити на (-1) або негативну одиницю, результат буде (-7), число стає негативним. Якщо (-10) помножити на (-1), то отримаємо (+10), тобто отримуємо вже позитивне число. Таким чином, бачимо, що протилежні числа виходять простим множенням вихідного числа на (-1). Ми бачимо на числовій осі, що з кожного числа є лише одне протилежне число. Наприклад, у (4) протилежне буде (-4), у числа (-10) протилежне буде (+10). Спробуймо знайти протилежне число у нуля. Його нема. Тобто. 0 - протилежний самому собі.

А тепер подивимося на числовій осі, що вийде, якщо скласти 2 протилежні числа. Ми отримуємо, що сума протилежних чисел дорівнює 0.

1. Гра: нехай ігрове поле розділене навпіл на два поля: ліве та праве. Між ними проходить розділова риса. На полі є числа. Перехід через межу означає множення на (-1), інакше при переході через роздільну межу число стає протилежним.

Нехай у лівому полі знаходиться число (5). Яке число перетвориться (5), якщо п'ятірка перейде розділову смугу 1 раз? 2 рази? 3 рази?

2. Заповни наступну таблицю:

3. З безлічі пар вибери пари протилежних. Скільки таких пар ти отримав?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

Додавання та віднімання цілих чисел.

Додавання (або знак «+») означає рух праворуч на числовій осі.

1. 1+3 = 4

1. -1 + 4 = 3
2. -3 + 2 = -1

Віднімання (або знак»-«) означає рух вліво на числовій осі

1. 3 – 2 = 1
2. 2 – 4 = -2
3. 3 – 6 = -3
4. -3 + 5 = 2
5. -2 – 5 = -7
6. -1 + 6 = 5
7. 1 – 4 = -3

Розв'яжи наступні приклади за допомогою числової осі:

1. -3+1=
2. 2)-4-1=
3. -5-1=
4. -2-7=
5. -1+3=
6. -1-4=
7. -6+7=

У Стародавньому Китаї при складанні рівнянь коефіцієнти зменшуваних і віднімаються записувалися цифрами різного кольору. Прибуток - позначали червоною фарбою, а збитки - синій. Наприклад, продали 3 бики і купили 2 коня. Розглянемо інший приклад: господиня принесла ринку картоплю і продала її за 300 рублів, ці гроші ми додамо до майна господині і напишемо їх як +300(червоне), та був вона витратила 100 рублів (ці гроші ми запишемо как(-100)( сині) Таким чином, вийшло, що господиня повернулася з ринку з прибутком в 200 рублів (або +200) Інакше числа записані червоною фарбою завжди складали, а записані синьою фарбою вичитали За аналогією будемо синьою фарбою позначати негативні числа.

Таким чином, ми можемо усі позитивні числа вважати виграшем, а негативні програшем чи боргом чи втратою.

Приклад: -4 + 9 = +5 результат (+5) можна розглядати як виграш у будь-якій грі; після того, як спочатку було програно 4 очки, а потім виграно 9 очок, то в результаті залишиться виграш у 5 очок. Розв'яжи такі завдання:

11. У грі у лото Петя спочатку виграв 6 очок, потім програв 3 очки, потім знову виграв 2 очки, потім програв 5 очок. Який результат гри у Петі?

12 (*). Мама пожила цукерки у вазочку. Маша з'їла 4 цукерки, Мишко з'їв 5 цукерок, Оля з'їла 3 цукерки. Мама поклала ще у вазочку 10 цукерок, і у вазі стало 12 цукерок. Скільки цукерок було спочатку у вазі?

13. У будинку одна драбина веде з підвалу на другий поверх. Сходи складається з двох прольотів по 15 сходинок кожен (один із підвалу на перший поверх, а другий з першого поверху на другий). Петро був на першому поверсі. Спочатку він піднявся сходами на 7 сходинок вгору, а потім спустився на 13 сходинок вниз. Де опинився Петя?

14. Коник стрибає вздовж числової осі. Один стрибок коника складає 3 поділи на осі. Коник спочатку робить 3 стрибки вправо, а потім 5 стрибків вліво. Де виявиться коник після цих стрибків, якщо спочатку він знаходився в 1) "+1"; 2) "-6"; 3) "0"; 4) "+5"; 5) "-2"; 3»; 7) «-1».

Досі ми звикли до того, що ці числа відповідали на запитання «скільки». Але негативні числа неможливо знайти відповіддю питанням «скільки». У життєвому значенні негативні числа пов'язані з боргом, програшем, з такими діями, як недолив, недострибнув, недоважив і т.д. У всіх цих випадках ми просто віднімаємо борг, програш, недовага. Наприклад,

1. На запитання « Скільки буде «тисяча без 100»?», ми з 1000 маємо відняти 100 і отримаємо 900.
2. Вираз «3 години без чверті» – означає, що ми маємо відняти 15 хв з 3 годин. Отримаємо таким чином 2 години 45 хв.

А тепер розв'яжи наступні завдання:

15. Сашко купував 200гр. олії, але недобросовісний продавець недоважив 5 гр. Яку масу олії купив Сашко?

16.На біговій дистанції в 5 км. Володя зійшов із дистанції, не добігши до фінішу 200м. Яку відстань Володя пробіг?

17. Заповнюючи трилітрову банку соком, мама не долила 100мл соку. Скільки соку вийшло у банку?

18. Кіно має розпочатися без двадцяти хвилин вісім. скільки хвилин О котрій годині й у скільки хвилин має початися кіно?

19. У Тані було 200руб. і вона винна Петі 50 руб. Після того, як вона дала борг, скільки грошей залишилося у Тані?

20. Петя з Ванею пішли до магазину. Петро захотів купити книгу за 5 карбованців. Але в нього виявилося лише 3 рублі, і він зайняв у Вані 2 рублі та купив книгу. Скільки грошей виявилося після покупки у Петі?

3 - 5= -2 (з того, що в нього було до покупки віднімемо вартість покупки, отримаємо -2 рублі, тобто два рублі боргу).

21. Вдень температура повітря була 3° тепла або +3°, а вночі 4° морозу або -4°. На скільки градусів знизилася температура? І на скільки градусів нічна температура менша, ніж денна?

22. Таня домовилася зустрітися з Володею без чверті сім. О котрій годині й у скільки хвилин вони домовилися зустрітися?

23. Тіма з приятелем пішов у магазин купувати книгу, яка коштувала 97 рублів. Але коли вони прийшли до магазину, то з'ясувалося, що книга подорожчала і стала коштувати 105 рублів. Тіма зайняв приятеля суму, і все-таки купив книгу. Скільки грошей Тіма став винен приятелю?